UNIDAD 4_2015

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22/10/2015 
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UNIDAD IV 
GRAFOS Y ARBOLES 
TEORIA 
 
 
MATEMATICA DISCRETA 
2015 
CONTENIDOS 
 Grafo No dirigido. Propiedades 
 Grafos especiales 
 Subgrafos. 
 Grafo Cociente. 
 Trayectorias y circuitos. 
 Trayectorias y circuitos de Euler y de Hamilton. 
 Árbol con raíz. Propiedades. Subárbol. 
 Árbol n-ario. Arbol binario. Casos especiales. 
 Búsqueda en árboles: en preorden, entreorden y postorden. 
 Árboles etiquetados. Árboles que representan expresiones 
algebraicas y sus notaciones prefija, infija y posfija 
 
 
UNIDAD IV - 2015 
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GRAFO 
 
 Un grafo no dirigido G (o simplemente Grafo) consta de un conjunto finito V de 
objetos ( a los que llamaremos vértices o nodos), un conjunto finito E de 
objetos (a los que llamaremos aristas , arcos o lados) y una función  que 
asigna a cada arista eE un par no ordenado {v,w}, donde v , w  V. 
 Notación: G = (V , E,  ) 
 (e) ={v,w} significa que la función  asigna a la arista e los vértices v y w. 
También se dice que e incide en v y w o que v y w son adyacentes a través 
de e 
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EJEMPLO 
Sea G = (V , E,  ) donde V = {v1,v2,v3,v4} 
E={e1, e2, e3, e4, e5, e6} y  dada por 
(e1)= (e5)={v1,v2} 
(e2)={v3,v4} (e3)={v1,v3} 
(e4)={v2,v4} (e6)={v2, v2} 
Una posible representación se muestra 
a la derecha, en ella están etiquetadas las aristas, 
pero podría prescindirse de dichas etiquetas 
 
 
Observación: También es usual, prescindir de la función  y representar a las aristas con el par no 
ordenado de vértices a los que conecta. Ejemplo: e2={v3,v4} 
e1 
e2 
e3 e4 
e5 
v1 
v3 
v2 
v4 
e6 
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DEFINICIONES 
 Grado de un vértice: número de aristas que inciden en él. 
 Notación: g(v): grado del vértice v 
 Propiedad: g(v)=2|E| 
 Observaciones: 
 1)La suma de los grados es par. 2)La cantidad de vertices de grado impar es par 
 Bucle o lazo: arista de un vértice a sí mismo. Contribuye en dos unidades al 
grado del vértice 
 Vértice aislado: es un vértice de grado 0 
 Aristas paralelas: Dos aristas que inciden en los mismos vértices 
 Grafo Simple: Aquel que no tiene lazos ni aristas paralelas 
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ACTIVIDAD Nº1 
UNIDAD IV - 2015 
Sea G = (V , E,  ) donde V = {a,b,c,d,e,f} 
E={e1, e2, e3, e4, e5, e6} y  dada por 
(e1)= {c,d} , (e2)={a,b} , (e3)={d,b} , (e4)={c,b} 
(e5)={b,e} , (e6)={a,e} 
Confeccionar el grafo y responder: 
i) Posee vértices aislados? Y lados paralelos? Y lazos? 
ii) Es un grafo simple? 
iii) Verificar la propiedad de los grados de los vértices 
 
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MAS DEFINICIONES 
•Una trayectoria o camino en G es una sucesión finita de vértices donde 
cada uno es adyacente al siguiente y donde no se repiten aristas. 
•La longitud de un camino es el número de aristas que hay en él. 
•En caso de un grafo con aristas paralelas , la secuencia debe indicar 
las aristas e inevitablemente las aristas deben estar etiquetadas 
•Un circuito es un camino que comienza y termina en el mismo vértice 
•Un camino simple es el camino donde todos los vértices son distintos 
•Un circuito simple o ciclo es aquel circuito que no repite vértices 
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UNIDAD IV - 2015 
ACTIVIDAD Nº2 
UNIDAD IV - 2015 
Trayect 
o 
Camino 
Circuito Camino 
simple 
Circuito 
simple 
(Ciclo) 
Long. 
1,5,2,3,4 4 
6,3,4,5,2,6 
1,4,5,3,2,6,1 
5,1,2,5,3,2,6,4 
1,4,6 
1,4,6,1 
6,4,3,6,1,2 
2,5,4,3,6,4,1,5,3,2,1,6,2 
1,2,1,5,1 
Marca con una tilde la clasificación que 
corresponda para cada sucesión de vértices que 
se dan en la tabla, e indica la longitud, como lo 
indica el ejemplo 
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GRAFO CONEXO Y ARISTAS PUENTES 
 Sea G = (V,E, ). Decimos que G es conexo si 
existe una trayectoria entre cualesquiera par 
de vértices distintos de G. 
 Un grafo que no es conexo se dice disconexo 
y sus diversas partes conexas se dicen 
componentes conexas del grafo. 
 Dado un grafo conexo, una arista de él se 
dice puente si al eliminarla provoca que el 
grafo quede disconexo 
 En el grafo del ejemplo hay varias aristas 
puentes, una de ellas es la arista {1,2} 
 
 
 
 
 
 
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GRAFOS ESPECIALES 
1. GRAFO DISCRETO: Sea nN, se llama 
Grafo Discreto a todo grafo con n vértices y sin 
aristas. 
 Se denota con Dn 
2. GRAFO LINEAL: nN , se llama Grafo 
Lineal a Ln , grafo con n vértices y con una 
arista entre dos vértices consecutivos. 
3. GRAFO COMPLETO: Sea nN, llamamos 
Grafo Completo a todo grafo simple con n 
vértices y con una arista entre cada par de 
vertices distintos. Se denota Kn 
 
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Grafo D5 
Grafo L5 
Grafo K4 
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 4. GRAFO REGULAR: Es una grafo donde todos los vértices tienen el 
mismo grado. Se dice grafo n-regular cuando el grado de todos los 
vertices sea n 
 Ejemplos: Todos los Kn y Dn para todo n  1 son grafos regulares 
 Observación: Hay grafos regulares que son completos y otros que no lo son. 
 
 
 
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 Grafo completo K5 y 4-regular 
 Grafos 3-regular pero no completos 
ACTIVIDAD Nº3 
G1 
G2 
G3 G4 G5 
G6 G7 
G8 
Clasifica a los siguientes grafos conexos y no 
discretos según sean lineales, regulares y/o 
completos. Indica además si poseen aristas 
puentes y cuales son 
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SUBGRAFOS 
 Sea G = (V,E, ) y sean E1  E , V1  V , tales que V1 contenga al menos todos 
los extremos de las aristas de E1 , entonces H= (V1,E1, 1) se dice subgrafo de G 
donde 1 es  restringida a las aristas en E1 
 
UNIDAD IV - 2015 
G 
H 
Ejemplo 
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ACTIVIDAD Nº4 
Son H1, H2 y H3 subgrafos de G ? 
G 
H1 
H3 
H2 
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GRAFO COCIENTE 
 Sean G = (V,E, ) y sea R una relación de equivalencia 
sobre V. El grafo cociente GR es tal que sus vértices 
son las clases de equivalencia de V producidas por R y 
las aristas son tales que si [v] y [w] son las clases de 
equivalencia de v y w de G, entonces existe una arista 
en GR de [v] a [w] si algún vértice en [v] está conectado 
con algún vértice en [w] en la gráfica G. 
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ACTIVIDAD Nº5 
 Sea G el grafo de la figura y sea 
R la relación de equivalencia 
definida en V del siguiente modo 
 xRy  x-y es múltiplo de 5 
 
 Encontrar el grafo Cociente 
generado 
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D 
B 
C 
A 
A 
E 
F 
APLICACIÓN 
El grafo dado representa a seis pueblos unidos 
por carreteras. Entonces 
V = { A,B,C,D,E,F} y 
Sea la relacion R dada por 
XRY  X e Y pertenecen al mismo municipio 
Se puede ver que R es de equivalencia 
Supongamos que la partición 
determinada por R sea : 
V/R={{A,B},{F},{C,D},{E}} 
 
Encontrar el grafo cociente GR 
y decir cual es su 
interpretación. 
E = {{A,B},{A,C},{A,F},{B,F},{C,D},{C,E},{D,E}} 
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C 
GR INTERPRETACION 
- Existen rutas entre los 
municipios de : 
 A y F 
 A y C 
 C y E 
-No existe ruta entre los 
municipios de: 
 A y E 
 F y E 
 F y C 
 
E 
[A] [F] 
[E] [C] 
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LOS SIETE PUENTES DE KÖNIGSBERG 
Durante el primer tercio del siglo XVIII, en la ciudad de Königsberg (hoy Kaliningrado) 
se planteó un famoso problema conocido como el problema de los siete puentes de 
Königsberg. 
En esta ciudad y en aquel momento, existían siete puentes que cruzaban el río Pregel 
(actualmente solo hay cinco), conectando las cuatro regiones que separaba este. A la 
izquierda una imagen actual, donde se encuentran señalados en rojo los puentes que 
hubo. 
 
 Por aquel entonces los ciudadanos se 
planteaban si existía alguna ruta que 
permitiese cruzar todos los puentes una y solo 
una vez. 
La solución a esteproblema llegó en 1736 de 
mano de Leonard Euler (Basilea 1707, San 
Petesburgo 1783), cuando éste demostró que 
no era posible. 
19 
19 
 Para su demostración lo que hizo fue modelar la situación para quedarse solo 
con aquello que era trascendente para el problema, en este caso las cuatro 
regiones y los siete puentes que las conectaban. 
 A 
 
B 
D 
 
C 
 La estrategia de resolución del 
problema se considera el inicio de la 
Teoría de Grafos, así como de la 
topología. Sencillamente observó que 
para que en un grafo de este tipo se 
pudiese recorrer cada arista una y solo 
una vez, era necesario que a cada vértice 
llegara un número par de aristas, salvo a 
lo sumo dos vértices (inicial y final), y en 
este caso todos los vértices tienen un 
grado impar. 
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 Dada una gráfica G, se dice que posee una 
trayectoria de Euler si posee una trayectoria que 
incluye todas las aristas sólo una vez. 
 Ejemplo: E, D, B, A, C, D 
 
GRAFOS CON TRAYECTORIA DE EULER 
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 Dada una gráfica G, se dice que posee un Circuito de 
Euler si posee una trayectoria de Euler que es a la vez 
un circuito, o sea, comienza y termina en el mismo 
vértice. 
 Ejemplo: 
 5, 3, 2, 1, 3, 4, 5 
5 1 
2 4 
GRAFOS CON CIRCUITO DE EULER 
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Dada una gráfica conexa G 
a) G posee al menos un circuito de Euler si y solo si 
todos los vértices poseen grado par. 
b) G posee al menos una trayectoria de Euler si y solo si 
posee exactamente dos vértices de grado impar, los 
que serán el inicio y fin de cualquier trayectoria 
 
 
TEOREMAS: CONDICIONES NECESARIAS Y SUFICIENTES PARA LA 
EXISTENCIA DE TRAYECTORIAS Y CIRCUITOS DE EULER 
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 Sea G = (V,E, ) un grafo conexo con todos sus vértices de grado par: 
– Paso 1. Se elige v V como vértice inicial para el circuito. Sea : v el inicio 
de la trayectoria a construir 
– Paso 2. Suponga que ya se construyó la trayectoria  : v, …..,w. 
– Si en w sólo existe una arista {w,z}, se extiende  : v, …..,w, z. Se elimina {w,z} de E y 
 w de V . 
– Si en w existen varias aristas, se elige , por orden alfabetico o numérico, una arista 
{w, z}que no sea un puente. Extienda  a  : v, …..,w, z y elimine {w,z} de E. 
– Paso 3. Repita el Paso 2 hasta que no sobren aristas en E. 
– Fin del algoritmo. La trayectoria lograda es un Circuito de Euler para el grafo G 
ALGORITMO DE FLEURY 
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ACTIVIDAD Nº6 
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a 
j 
i h 
g 
f 
e 
d c 
b 
Aplica el algoritmo de Fleury para obtener un 
Circuito Euleriano, si es que existe, que comience 
y termine en el vèrtice j (jota) 
25 
EL JUEGO DE LA VUELTA DEL MUNDO 
William Hamilton desarrollo en 1857 un 
juego que consistía en una cuerpo de 
madera en forma de dodecaedro 
regular, donde cada vértice 
representaba una ciudad del mundo y la 
instrucción era encontrar un recorrido q 
cubra todas las ciudades pasando una 
sola vez por cada una y volviendo a la 
ciudad de partida. Se llamaba: Juego 
de la vuelta del mundo o Juego del 
Icosaedro 
 
https://es.wikipedia.org/wiki/Juego_Icosian 
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Reacomodando los vértices, el 
mismo grafo puede verse así y un 
ciclo de Hamilton posible es : 
1,2,3,12,13,20,19,11, 
10,9,18,17,16,15,14,4,5,6,7,8,1 
Por lo tanto es posible recorrer las 
20 ciudades, pasando una sola vez 
por cada ciudad y volver a la 
ciudad de partida 
 
Ver otras soluciones en: 
https://es.wikipedia.org/wiki/Juego
_Icosian 
 
UNIDAD IV - 2015 
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TRAYECTORIAS Y CICLOS HAMILTONIANOS 
 Una trayectoria Hamiltoniana para un grafo G es 
aquella que contiene todos los vértices de G una 
vez. 
 Un ciclo Hamiltoniano es una trayectoria de Hamilton 
que comienza y termina en el mismo vértice. 
 
 
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https://es.wikipedia.org/wiki/Juego_Icosian
https://es.wikipedia.org/wiki/Juego_Icosian
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Teoremas : Condiciones Suficientes para 
la existencia de Ciclos de Hamilton 
Sea G un grafo con n vértices, n>2, sin bucles ni aristas paralelas 
Teorema1: G posee un ciclo hamiltoniano si para cualesquiera dos 
vértices u y v de G que no sean adyacentes, el grado de u más el 
grado de v es mayor o igual que n. 
Corolario: G tiene ciclo hamiltoniano si cada vértice tiene grado mayor 
o igual que n/2 
Teorema 2: Sea m el número de aristas de G. Entonces G tiene un ciclo 
hamiltoniano si m  (n2-3n+6)/2 
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G1 G2 G3 
Dados los grafos G1 , G2 y G3 de las figuras. Realice algún 
análisis para determinar si existe un Ciclo de Hamilton para ellos. 
ACTIVIDAD Nº7 
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ÁRBOL CON RAÍZ 
 Definición: Sea A un conjunto y T una relación en A . Se dice que T es 
un árbol si posee un vértice vo en A con la propiedad de que 
existe una única trayectoria de vo hacia cualquier otro vértice de 
A pero no existe una trayectoria de vo a vo. 
 Notación: Se dice que T es un árbol con raíz y se denota (T, vo) 
 vo se denomina raíz del árbol T, cualquier otro elemento de A es 
un vértice en T. 
Observación: T, como toda relacion, se representa por su Digrafo 
 
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31 
ACTIVIDAD Nº8 
v2 
v1 
v0 
v3 
v4 
v5 
v6 
v7 
v8 
v11 
v9 
v10 
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Es la siguiente relación un árbol? 
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Diseño de un árbol con raíz 
- Se ubica a la raíz vo , de la cual se dirá que esta en el nivel 0. 
- Ninguna arista entra a vo pero pueden salir varias, que se trazan hacia abajo. Los 
vértices terminales de las aristas que comienzan en vo son los vértices del nivel 1 
- Cada vértice del nivel 1 no tienen otras aristas 
que entren en él, pero cada uno de estos 
vértices pueden tener varias aristas que salen 
de él. Se trazan las aristas que salen del nivel 
1 hacia abajo y terminan en vértices que 
estarán en el nivel 2 
- Y asi sucesivamente con cada nivel. 
33 
UNIDAD IV - 2015 
MAS DEFINICIONES 
 El nivel de un nodo está dado por el número de aristas que deben ser recorridos 
para llegar a él desde el vértice raíz..La altura de un árbol es el nivel más grande 
del mismo. 
 Un vértice X se dice padre de otro vértice Y cuando existe una trayectoria de 
longitud 1 que sale de X y termina en Y, el que a su vez se dice hijo de X. Por 
ejemplo vo se dice padre de todos los vértices del nivel 1.Los vértices hijos del mismo 
padre se dicen hermanos. Un vértice se dice hoja cuando no tiene hijos 
 Un vértice X se dice descendiente de otro Y cuando existe una trayectoria de 
cualquier longitud que comienza en X y termina en Y. En ese caso se dice que Y es 
antecesor de X 
 Un árbol se dice ordenado cuando los hijos de cada vértice están linealmente 
ordenados de izquierda a derecha 
34 
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ACTIVIDAD Nº9 
 Distinguir cual de las siguientes relaciones son 
árboles con raíz y en caso afirmativo decir quien es 
la raíz 
35 
PROPIEDADES DE LOS ÁRBOLES 
Sea (T, vo) un árbol con raíz. Entonces: 
a) No existen ciclos en T. 
b) vo es la única raíz en T. 
c) Cada vértice en T distinto de vo tiene grado 
interno (grado de entrada) uno y vo tiene grado 
interno cero. 
(Hacer demostraciones) 
Teorema 1: 
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 Sea (T, vo) un árbol con raíz sobre un conjunto A. 
a) T es una relación arreflexiva : 
(a,a) T , a A 
b) T es asimétrica: 
a, b  A , (a,b)T  (b,a)  T 
c) T es atransitiva: 
a, b,c  A , (a,b)T  (b,c)T  (a,c)T 
 
Teorema 2: 
37 
Subárbol 
 Sea (T,vo) un árbol con raíz sobre A 
 Sea el vértice v  A y todos sus descendientes. Al árbol obtenido de T 
eliminando todos los vértices que no sean hijos de v y todas las aristas 
que comienzan o terminan en un vértice de este tipo se le llama 
subarbol de T de raiz v y se denota T(v). 
 
 Sea A = { v0,v1, …..v20} y sea T la relacion dada por su digrafo, 
entonces tenemos muchos subgrafos entre ellos T(v1), T(v2), T(v7) y T(v8) 
 
Ejemplo 
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20 
v1 
vo 
v3 
v4 v5 
v2 
v6 v7 
v8 v9 
v10 v11 
v12 v13 
v13 
v18 v19 
v20 
v14 v15 v16 
v17 
T(v1) 
T(v8) 
T(v7) 
T(v2) 
Ejemplo 
39 
 Sea nN. Un árbol T es un n-árbol (o árbol n-ario) si cada vértice tiene a lo 
 sumo n hijos. Se dice que T es un n-árbol Completo si todos los vértices de T, 
 distintos de las hojas, tienen exactamente n hijos. 
 Árboles 2-arios o binarios 
 Un árbol T es un árbol binario si cada vértice tiene a lo sumo 2 hijos 
 Un árbol T es un árbol binario completo si cada vértice exactamente 2 hijos 
 Un arbol T es un arbol binario completo y total cuando todas las hojas estan 
en el mismo nivel. Se dice árbol binario posicional cuando los hijos tienen una 
posición definida: izquierda o derecha. 
 
ÁRBOLES N-ARIOS 
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ACTIVIDAD Nº10 
Clasificar a los siguientes árboles según la 
cantidad de hijos. En el caso de los binarios 
decir si son completos ,posicionales y totales 
41 
Búsqueda en árboles binarios posicionales 
 Llamamos así al proceso mediante el cual se visita cada 
vértice de un árbol en un orden específico 
 Sea T un árbol binario posicional con raíz v. Designaremos 
con vI al hijo izquierdo y con vD al hijo derecho, donde uno o 
ambos pueden estar ausentes. Entonces, si existe vI, el 
subárbol T(vI) es el subárbol izquierdo de T y si existe vD, el 
subárbol T(vD) es el subárbol derecho de T 
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Búsqueda en pre-orden 
 Sea T un árbol binario posicional con raíz v: 
Paso 1: Visitar v (anotar) 
Paso 2: Si existe vI, entonces aplicar este algoritmo a T(vI) 
Paso 3: Si existe vD, entonces aplicar este algoritmo a T(vD) 
Paso 4: Fin del algoritmo 
 
 
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Búsqueda en entre-orden 
 Sea T un árbol binario posicional con raíz v: 
Paso 1: Si existe vI, entonces aplicar este algoritmo a T(vI) 
 Paso 2: Visitar v 
Paso 3: Si existe vD, entonces aplicar este algoritmo a T(vD) 
Paso 4: Fin del algoritmo 
 
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Búsqueda en post-orden 
 Sea T un árbol binario posicional con raíz v: 
Paso 1: Si existe vI, entonces aplicar este algoritmo a T(vI) 
Paso 2: Si existe vD, entonces aplicar este algoritmo a T(vD) 
Paso 3: Visitar v 
Paso 4: Fin del algoritmo 
 
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45 
ACTIVIDAD Nº 11 
 Encontrar los recorridos del siguiente árbol 
 
 
 
 
46 
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ÁRBOLES ETIQUETADOS 
 Para muchos usos de los árboles en las ciencias de la 
computación, es útil etiquetar los vértices o aristas de un digrafo. 
 Los arboles binarios etiquetados sirven, por ejemplo, para 
representar operaciones binarias. 
+ 
a b 
a+b 
x y 
xy 
p q 
pq 
 
47 
Procedimiento para encontrar el árbol 
etiquetado de una exp. algebraica 
◦ Se etiqueta la raíz con el operador principal de la expresión. 
◦ Se etiqueta a los hijos izquierdo y derecho de la raíz mediante el operador 
principal de las expresiones para los argumentos de la izquierda y derecha, 
respectivamente. 
◦ Si un argumento es cte o variable, se lo utiliza para etiquetar el vértice 
descendiente que corresponde. 
◦ Se continúa con este proceso hasta concluir con la expresión 
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ACTIVIDAD Nº 12 
 Construir el árbol que corresponde a la siguiente 
expresión 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 UNIDAD IV - 2015 
 23
2
yx
yx


49 
Notaciones prefijas (o polaca) , infijas y 
posfijas 
 Cuando se aplica el algoritmo de búsqueda en preorden a 
un árbol correspondiente a una expresión algebraica, el 
resultado de la búsqueda se llama forma prefija (o 
polaca) de la expresión algebraica dada. 
 Si se aplican los algoritmos de entreorden y postorden, se 
obtienen las notaciones infija y posfija, respectivamente, de 
la expresión algebraica. La primera es la más usada. La 
segunda tiene el inconveniente de necesitar paréntesis para 
evitar ambigüedades 
 
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ACTIVIDAD Nº 13 
 Dada la expresión algebraica que se muestra a la 
derecha en su notación usual 
a) Confeccionar el árbol correspondiente 
b) ¿Cuál es su altura? 
c) Los vértices hojas pueden estar etiquetados con 
operadores? 
d) Dar el nivel de cada operación 
e) Encontrar la notaciones prefija, infija y posfija 
correspondiente a la expresión 
 
 
1
5
32 2


x
x
51 
ACTIVIDAD Nº 14 
UNIDAD IV - 2015 
Dada la siguiente expresión algebraica 
 
 
 
Diga 
 En que notación está 
 Cuales son las otras notaciones correspondientes a 
la misma expresión 
- 2 c b - * a 2 3 2 
52 
22/10/2015 
27 
M
A
PA
 C
O
N
C
E
P
TU
A
L 
U
N
ID
A
D
 I
V
 
53 
UNIDAD IV - 2015