Castegnaro_(Curso de calculo)-financiero-CAP 3 Capitalizacion a interes simple y compuesta

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CAPÍTULO III
CAPITALIZACIÓN A INTERÉS SIMPLE Y COMPUESTA
~ A través del desarrollo de la potencia n de un binomio de la función fi-
.nancíera -Binomio de Newton o bien mediante el desarrollo por Mac Laurin
de FUJ::=(l+i)n;podemos analizar ~I comporta~ientode la función.
"... En donde (. .~ -b)" _n .: n-lb· "n(n-l) n-2b"2 n(n -l)(n - 2) n-3b3.a+-Q +na +-·-a + a ...
c'. • 2!" . 3!"
"O bien;
.~(X) =.f(o)+f'(Ó).x + f" (O)x~ + f'''(Ojx3. ••• en nuestro caso:
2! " 3!
'(1+i)n::='"1' + i . n + n (n-ll i + .n(n-11 (n-21 i2
.' ""\.. 21 ' 31 J
a·
Vn=O=l
.(l+i)n= 1:+ i .n - a ~(I+i)n < (1 + i . n) V O< n <1
4; Acá estaríamos considerando un período fraccionario en donde pode-
"mas observar que el monto a interés simple es mayor al monto a interés com-
,puesto cuando se trata de un período "f" menor que la unidad de tiempo.
Tiene"ciertas aplicaciones, tales como el pago de cuotas o cancelaciones
en un período fraccionario de tiempo. Acontinuación lo trataremos.
Convención linealy exponencialen casode un período fraccionario
Laférmula de monto ha sido planteada considerando "n" entero. Pero:
¿cómo procedemos si queremos buscar el monto al cabo de un tiempo= (n-f)
representando a "f" como el período fraccionario?
a) Cn+f= C, (1+i)n (1+i.f) ~ Convención lineal
b) Cn+f= C, (1+i)° (l+i.)f .. Convención exponencial
62 AíDA B. CASTEGNARO
Como vimos en el punto anterior en fracciones de período elmontoa
interés compuesto es menor al monto a interés simple.' .,o
'. "; ~ ':" ... -
Veamos el casó de una deuda de $ 128.000 contraída ellQ/03conintere.
ses que se capitalizan mensualmente al 6% mensual.. '#_.;
a) Calculemos el monto adeudado a18107.
b) Si deseamos cancelar el 31/07 en un intervalo que media, entreun
vencimiento ,y el próximo. Hallemos cuál es el importe deintereses
adicionales 'que se deben cargar al cálculo del punto anterior.
• -'o '10-03 9-04 9-05 8-06" 8-07 31;-07
- O " 1 2 3 4 ... n-sf
I ' 1 1 . 1 1
Co=128.000 C4;1~8.00.0.{1+0,06)4==161.597,05
t ..~-Tratamiento delperío.~o.fraccionario
, -,', 2J' ",', "
161597,05 .~.O,06 '=7~433,4(5
',::: ..30 . "'"~";'~
-Convención lineal:
-Convencíón exponencial: 161597,05 .[C1+0706)~ -1};;7.382~¿7
.EI monto a interés compuesto es mayor que elmonto a interés simple cuan-
donxI. Pero en el caso que 0<n<1se producelarelación ínversa..
• • ''7~~__, __~
Si seguimos la convención exponencial también para la capitalización del:
período fraccionario dada la propiedad de escíndíbílidad: (l+i)n (1~i)f=(1+i)5n:~..
Empezamos aencontrar úna coherencia financiera en el régimen.ainté-
rés compuesto ya que se trata de una ley financiera completa, es prolongo-
conjugada, se puede transformar financieramente un capital original avan-
zando en el eje de tiempo por la coordenada temporal positiva utilizando el
primer cuadrante del grafico de la función y se puede retroceder en el eje
negativo del tiempo utilizando el segundo cuadrante. Sin embargo no seutí-."
liza este cuadrante que se corresponde con el eje de tiempo negativo y el " .
análisis de la ley financiera sea de capitalización o sea de actualízación.se
realiza utilizando siempre el mismocuadrante l.
o •
Magnitudes
.Podríamos definir las magnitudes principales que son propias de cada
operación financiera y sin las cuales no existe operación financiera: sonla
cuantía y el vencimiento de cada cuantía. \
Las magnitudes derivadas son aquellas que derivan de las anteriores y
son las que nos permiten encontrar características básicas de cada ley finan-
CAPITALIZACIÓN A INTERÉS SIMPLE Y COMPUESTA 63
ciera. Nos ayudan a expresar la dinámica de un capital considerando un de-
terminado periodo que podrá ser:
• a parti~del"momento. O(momento inicial), o
• entre dos momentos cualesquiera.
Expresaremos las magnitudes que son características para cada una de
las funciones financieras singulares o de capital único vistas:
Magnitudes,
~ Factor de
capitalización .
• Interés
unitario
• Interés
acumulado
• Interés
periódico
• Intensidad
unitaria
• Intensidad
" periódica
Expresa el monto de una unidad de capital
luego de n períodos colocada a una tasa de
interés "i" periódica considerando el
criterio:
• Lineal -interés simple
• Exponencial -interés compuesto
El producto del factor de capitalización y la
cuantía del capital inicial-Co-Io transforma
en el capital equivalente -C, .
Es el incremento de un capital unitario
durante el plazo total de la operación -n-
Es una variación absoluta
Es el incremento de un capital de cuantía Co
durante el plazo total de la operación -n- Es
una variación absoluta
Es la -diferencia de intereses en dos
,mo'meinossucesivos:p y P+~
Es la telaciónentre el interés ,unitario y la'
amplitud del intervalo -el plazo de la
operación. .
Es la relación entre el interés periódico y el
monto al inicio del periodo
Interés Simple
f(n)= (1+i . n)
I'(O;n) = (1+i n) - 1
I(O;n) = in
I(O;n) :::CoI'(O;n)
I(O;n)=Co [(l+i n)-l]
I(O;n)=Co .i, n
I(p;p+1) =[l+i(p+ 1)]
- (l+ip)
I(p;p+l) =i'"
constante
l'(O;n) =(1+; n) - 1
n
l(p;p+l)=~
(l+ip)
~ decreciente
, Interés Compuesto
f(n)=(l+i )n
I'(O;n) =(1+i )n- 1
I(O;n) = ClI'(O;n)
I(O;n)=Co[(l+i )n-1
I(p;p+1) = (l+i)p+l-
(l+i)p .
I(p;p+1) =i (l+i)P-t
creciente
I'(O;n) = (1+;)n -1
n
l(p;p+l) = i (1+i)P
(I +.i)p
i~ constante
Vamos a identificar las magnitudes en las fórmulas de capitalizaciónuti-
lízando; .
'. Leyfinanciera a interés simple en fórmulas y aplicadas para un capi-
tal de $1.
Magnitud "Interés Acumulado",
Capital Interés
Co I(O;n)
1 in
k'"
Magnitud "Interés Unitario"
Monto
Cn
(l+in),
Magnitud "factor de capitalización"
Aplicamos la regla de las proporciones; tenemos:
1 in (1 +in)
-=---=---
Co I(O;n) Cn
6~ AíDA B. CASTEGNARO
Entonces surge:
.1(O;n) =Co . i .n I
Co . (1+ i . n ) =Cn
c.. i . n =I(O;n) . ( 1+ i.n)
• ..Leyfinanciera a interés compuesto ..'
'Aplicamos laregla de las proporciones; tenemos:
_ '1 .(1 +i)n -1 (l+iJ
'~.~= I(O;n) =---c:-
Co ·I(O;n) ,.
1 . (l~i)n_r
Magnitud "Interés Acumulado" "=,
Capital .' Interés
~
·M~gn.itudIflnt~rés Unit~~io"
',#,
Monto
Entonces surge: - .
I(O;n) =Ce [ (l+i)n .... l"]
Cn =Co. (1+ i)n .... ---
Cn[(l+i)n .;..1] =I(O;n)". ( 1+ i)I)
Cn = I(O;n) . ( 1+ i)n -
[(1+i)n-1]
I(O;n)=Cn [(1 + i)"- 1] =Cn [1 - (1 + i) -11]
(1 + i)1t
Aplicaciones
1) Dados dos capitales C(j) expresados en el momento j; en dondeCíü)»
12000 y C.(4)= 18000; se sabe que ambos resultan equivalentes
financieramente en base a la Ley de Capitalización: L.= (1 + i . t) y,'.
L,= (1 +i)t. .
Determinar: a) El valor del parámetro "í": b) El Interésperíódíco:"
e) Laintensidad periódica. . . ..
Rta.:
L=(l+ is t ) L = (1 +;)'
i -valor relativo- "0,125" "0,1067"
Interés. Periéd.> "0,125" "0,1067; 0,1181; 0,13007 y 0,1445"
unid. monet.-
Intensidad Periéd "0,125; 0,111; 0,10 Y0,09" "0,1067"
.-valor relat-
CAPITALIZACIÓN Á INTERÉS SiMPLE Y COMPUESTA
Si: L =(1 + i . t)
a) 12000. (1 + 4 . i) ='18000.
i = [ 18000 - 1]1 4,= 0.125.
12000
,l' b) I (t;i+l) ==C(t+1) - C(t) «C(O) = l.
I(t; t+1)'= {[ 1 +i (t+1) 1- (1 +i t)}
I(t; t+l) = i -constante-.
i =0.125.
e) I' (t; t+1) = I( t: t+11 = l-deereeiente-.
ero l+i.t.
l' (O; 1) = 0.125.
, 1'(~;2) :: 0.1251 (1+0.125) = 0.111.
1'(2;3) = 0.125 1 (1+0.25) = 0.10.
1'(3,4) = 0.125/,(i+0.37.5) =0.09. '
Si: L =(1- + i ) t
6S
á) . Como los capitales son financieramente equivalentes, ~e cumple
, que:
12000., (1 .f.' i) 4 ='18000.
1/4.
i = (18000) - 1. '
12000
i = 0.1067.
b) l (t; t+l) = C(t+1) ~ Cít).
'VC(O) = 1, tenemos:.
t+1 t.
1ft; t+l) = [(I+i) - (l+i) l.
t.
'I(t; t+l) = i . (l+i). -+ És creciente, a medida que incrementa t.. ,
Para C(O) = 1 YC(O)=12000,tenemos:
1(0;1)= 1 *0.1067 = 0.1067 * 12000 = 1280
1(1;2) = 1.1067 *0.1067 = 0.1181 * 12000= 1417 .
1(2;3) '= 1.2247 * 0.1067 = 0.1307 * 12000 = 1568
1(3;4)= 1.3554 *0.1067 = 0.1445 * 12000 = 1735
0.5000 6000
t.
e) I'(t;t+l)'= '1 (t;-t+l1 = i (1+0 = i-constante-.
C(t) t
(l+i).
i = 0.1067.
66 . An», B. CASTEGNARO
2) Un inversor realizó una serie de colocaciones financíerasde acuerdoal siguiente esquema: .
1/3 1/4 1/5 1/6 ir: 1/8 1/9 1/10 1/11 l/1?"" l(Of~""
,__/ /__",_-_.-_1_,_1__I_-_I__,l~t;",':":'1
- $ SO _. - $ 150 $ 80 .
Sabiendo que los réditos mensuales de capítalízaciónson: '1.03,:3.1-,'.
-1.06...=0.02; 1.06 al 1.09..=. 0.017; 1.09 all.Ol= 0.032." :;,,' , "
Determinar la suma financiera obtenida al 1.01, a) si sé produce la
reinversión periódica de los intereses yblsi se retiran períodícamen-
te los intereses. Considerar período mensual. "
Rta.: a) 328,79; b) 325,49
.........
a) Reinversión mensual de los intereses
C(n)=50(l+0.02)2(1+0.017)3(1+0.032)4+150 (1+0.Q17l2'(1+O,03,~-)4f
... '80 (~tO.032):
C(n) =50 * 1.241315 + 150 * 1.1731692 + 80 * 1.1342761
C(n) = 62.07 + 175.98 + 90.74
C(n) =328.79
b) Retiro periódico de los intereses
Cín) = 50[1 +0,.02 *2 + 0.017 *3 + 0.032* 4] +150 [10..017*2 + 0.932 .
*4]+80[1+0.032*4] ,
Cín) =50 * [ 1 +0.219 ] + 150 [1+0.1621 +.80 Jl+0.128]
CCn) = 60.95.+ 174.3 + 90.24
Cm) = 325.49
3) La cuantía de dos capitales iniciales es de $ 20.000 Yresultan serin-
vertidos al 2,5% mensual, generando $ 2.400 de intereses cada uno.
Sabiendo que el segundo de ellos estuvo colocado 4 meses más que el. , (
primero, determinar cuál fue el tiempo de colocación de cada uno de
ellos y su cuantía. Considerar retiro periódico de intereses.
Rta.:nO) = 8 ; en: 12.000 yC(2) 8.0~Ó.
C(l) + C(2) =20.000; n(2) = [n(1) + 41 .; 1(1) =1(2) = 2400 e i=0.02!i.
. 2400 =CO) * n(l) * 0.0,25 2400 =, C(2) * [n(l)+4] * 0.025.
C(2) = 240Q
[n(l) +4) * 0.025
2400
[n(1) + 4] * 0.025
CO) = 2400
n(1) * 0.025
20000 = 2400 +
---~-
n(l) * 0.025
'C-\~~TAlIZACIÚN A INTERÉS SIMPLE Y COMPUESTA
n(l)= 8 ~ n(2) = 12
Entonces:.
2400 :;: CO) *8 *0.025.
cen = 12000.~C(2) =20000- 12000:::8000
67
_. "
4) Dada una unidadde capital colocada durante 3 períodos trimestra-
les, conretiro periódico de intereses, siendo la T.N.A.paraelplazode
90 días del 42%. Expresar el montante como un sistema de capitaliza-
ción con tasa periódícavariable decreciente. "
i(90) = 0,42 *90-:: 0';1035616
365
3'
(1 + i * 3):::n (1 + r l ..
90 j = 1 "j
r =, { ~ 0,10356; ", denotando. a. r: r~ndiIniento o. intensidad periódica.
'} . j
·r·.:::·,~ = 0,093843
'2' -'. (1 + i)
r = _'_i_' ::: 0,0857921
. 3 (1 +2.i)
Comprobación:
~~'(l+ 0,1035616 *3) =(1+0,1035616) * (1+0,093843) * (1+0,0857921) = .
1;3106849