Esenciales de Matematicas Financieras

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Prefacio 
 
Cuando se escucha el nombre de “matemáticas financieras”, tal vez venga a la mente 
del lector imágenes de bancos nacionales y empresas trasnacionales. Pero las 
matemáticas financieras pueden ayudar al “hombre de la calle”, el ciudadano común y 
corriente. ¿Quién no a entrado en una tienda que ofrezca descuentos, expresados como 
porcentajes? ¿Qué persona no sería afectada por la tasa de interés mientras ahorra o ha 
pedido un préstamo? 
 
Se puede pensar también que matemáticas financieras y economía son sinónimas. 
Aunque es cierto que la matemática que es útil para matemáticas financieras se puede 
usar en economía, lo cierto es que a un economista se ocupa de saber (por ejemplo) por 
qué los bancos pueden subir o bajar las tasas de interés de ahorro o préstamos, mientras 
que en finanzas esas tasas se toman como algo dado, un dato, para poder aplicarlo en las 
distintas fórmulas para cálculo de pago de capital e intereses. El o la economista puede 
decidir si a un gobierno le podría convenir vender bonos de la tesorería o bien en cuánto 
se deberían vender las acciones de una empresa que cotice en la bolsa de valores, pero 
es tarea de las matemáticas financieras el calcular explícitamente la ganancia de un 
bono o acción en concreto. En suma, pudiéramos definir un tanto libremente que la 
economía se encarga de explicar los grandes “por qués” relacionados con las 
transacciones comerciales entre los países del mundo, las grandes empresas, y el 
conjunto de empresas, negocios y actividades económicas que realicen las personas 
como miembros de un colectivo, mientras que la matemática financiera se encarga de 
cuantificar los rendimientos o las obligaciones monetarias para casos particulares, con 
los datos numéricos que ya existen, y que son consecuencia de los movimientos de la 
economía mundial, usando las conceptos matemáticos aplicados a las finanzas. 
 
Con esto no se quiere decir que no se vayan a abordar algunos problemas de micro y 
macroeconomía, aunque sea con fines ilustrativos de aplicaciones de las matemáticas. 
Entonces, en donde sea pertinente se marcará [Macroeconomía] ó [Microeconomía] 
(respectivamente) para enfatizar que el problema es de ese tipo. 
 
Este libro se ha enfocado en ser extenso en cuanto a la aplicación de las matemáticas 
aprendidas en los primeros semestres de preparatoria, y no tanto en el desarrollo 
conceptual de las mismas. Tampoco pretende ser un sustituto de la teoría de los libros 
que revisan con profundidad los conceptos de matemáticas financieras. Sin embargo, lo 
que sí se pretende es que este libro sea una colección de ejemplos y ejercicios, un 
primer enlace entre la parte abstracta y la aplicada de las matemáticas, en este caso a las 
finanzas. Por lo mismo es que la organización de esta obra ha sido en el orden 
matemático, y los temas financieros se han agrupado respecto de esos temas. De esta 
manera, en el índice se encontrarán los temas matemáticos agrupados en orden creciente 
de dificultad. Al final de cada indexación por capítulo se hace una lista de los temas 
financieros que se han de tratar con las herramientas matemáticas aludidas hasta ese 
momento (en cursivas, encerradas en llaves), pero esto no necesariamente en el orden en 
que se encuentran enlistadas. 
 
Es importante hacer mención que si bien en México, al momento de escribir estas líneas 
(octubre de 2007), se usa como un estándar el “punto” para separar las cantidades 
enteras de los decimales; además, y especialmente en círculos financieros, es común 
separar cada tres cifras (por ejemplo) con una coma. El punto es un símbolo que ayuda 
a la base del sistema de conteo (en este caso decimal, pero puede ser cualquier otro, 
incluyendo el binario, octal y hexadecimal), cuando incluye fracciones más pequeñas 
que la unidad de la base, para separar la parte entera (generalmente a la izquierda del 
punto) de la fraccionaria (a la derecha del punto). Por ejemplo en 0.5, lo que me esta 
diciendo es que hay “cero unidades” y “.5” de unidad. Sin embargo, hay otros países en 
donde la situación es al revés: el símbolo para separar las fracciones es la coma y aquél 
para los grupos de cifras enteras (o incluso decimales) es el punto. Los países que usan 
el punto como separador de enteros y decimales incluyen al nuestro, Estados Unidos de 
América, Gran Bretaña y la República Popular China. Entre los países que usan la coma 
se encuentran Argentina, Francia, la República Checa, Serbia, España y Venezuela. 
Además, hay países llamados “Momayyez”, los cuales usan una especie de “/” para 
separar los decimales de los enteros. Estos últimos países incluyen a Iran, Iraq, Arabia 
Saudita y la Unión de Emiratos Árabes. Se recomienda que las personas que entren en 
negociaciones con personas de otros países, se informen de este tipo de peculiaridades, 
y que una vez que se adopte un estándar, éste se mantenga consistentemente. La página 
donde se puede consultar la usanza en otros países que no se hayan mencionado aquí es 
en 
http://en.wikipedia.org/wiki/Decimal_point#Dot_countries 
 
O su equivalente en castellano (aunque esta última página no es tan exhaustiva, ni 
menciona a los países Momayyez) 
 
 http://es.wikipedia.org/wiki/Separador_decimal 
 
 
ISO (Organización Internacional de Estándares, por sus siglas en inglés) ha considerado 
que para documentos de carácter internacional, se use la coma, como separador de 
decimales y enteros. No obstante, debido a la tradición que todavía se sigue en México, 
en este libro se usará el punto decimal, para evitar posibles confusiones. 
 
La página consultada para el estándar fijado por ISO es 
http://isotc.iso.org/livelink/livelink/fetch/2000/2489/Ittf_Home/PubliclyAvailableStand
ards.htm 
 
(a la cual se tuvo acceso en octubre de 2007). Se consultó la sección “Information 
technology—Vocabulary—Part 5: Representation of data” (ISO/IEC 2382-5:1999) 
 
Para la elaboración de este libro se han consultado una serie de obras, cuya bibliografía 
se enlista al final (incluyendo, por supuesto, la Wikipedia) y que se podrían usar como 
material de estudio de los conceptos en profundidad. El autor espera que esta obra 
cumpla con el cometido para el cuál fue concebida. 
Capítulo 1: Lógica 
 
1.1. Propósito de estudiar lógica en un marco financiero 
 
La lógica se define, de una manera muy sucinta, como el estudio de los principios y 
criterios que hacen válidos la inferencia y la demostración. Dicho de otra manera, la 
lógica es parte del proceso de abstracción y formalización de una situación para 
convertirla a términos matemáticos, por un lado, pero también es parte sustancial de la 
interpretación correcta del lenguaje. 
 
Ejemplo 1: la fórmula “X” requiere que le de proporcione el tiempo en cantidades 
discretas de años (es decir en, términos de números enteros); se me ocurre transformar 
meses en años, obteniendo como resultado 4.5, para introducirlo en la fórmula. El 
resultado será 
a) Correcto, hice la transformación necesaria 
b) Incorrecto, porque la fórmula me pide enteros y yo le estoy proporcionando un 
número racional con decimales (o real positivo). 
 
La respuesta es b), ya que si una fórmula se dedujo para usar números enteros, la 
introducción de números que contengan decimales arrojará un error numérico. 
 
Ejemplo 2: En un contrato de tiempo compartido me aseguran que podré ir a hacer uso 
de mi habitación de hotel las veces que yo quiera, previo aviso a la administración del 
hotel. Encuentre usted las inconsistencias lógicas de este párrafo. 
 Respuesta: 
 La primera parte de este párrafo me debería inducir a pensar cuántas veces al año 
realmente puedo hacer uso de este servicio, es decir, no es solo lo que quiera, si no 
también lo que pueda lo que ha de tomarse en cuenta en la firma de este contrato. La 
segunda parte de este párrafo (“previo aviso”) me dice que yo no soy tan libre de hacer 
uso de este servicio. No es como llegar a mi casa con mi llave, abro y ya esta. 
 
Se puede ver,entonces, que el estudio de la lógica, tanto matemática como relacionada 
con el lenguaje (dialéctica, retórica, etc.) le puede servir al estudiante de matemáticas 
financieras para ser un individuo crítico (quizá incluso un matemático financiero, 
formalmente hablando) y no solamente un calculista, alguien con manos y ojos que 
manipule una calculadora o un numerólogo, es decir, alguien que crea mágica y 
tácitamente en la validez de las fórmulas matemáticas (sin cuestionarlas), solamente 
porque tienen un aspecto abstracto. 
 
Aparte de los ejemplos ofrecidos en este capítulo, a lo largo del libro se hará la 
anotación [Lógica] para indicar que además de la parte estrictamente matemática, el 
ejemplo invita a razonarlo en cuanto a su validez. 
 
 
1.2. Argumentos y conclusiones 
 
Un argumento es la afirmación de que un conjunto dado de enunciados { }1 2, ,..., nP P P , 
llamados premisas, implica (tiene como consecuencia) otro enunciado C llamado la 
conclusión. Luego el argumento completo (conjunto de premisas y la conclusión que de 
ellas se desprende) se podría escribir como 
{ }1 2, ,..., nP P P C⇒ 
Nótese que puesto que las premisas y la conclusión son enunciados, el argumento 
completo es también un enunciado, por lo que a la vez que podemos asignarles valores 
de verdad a las premisas y a la conclusión, el argumento entero puede ser verdadero, en 
cuyo caso decimos que el argumento es válido; si es falso estamos hablando de una 
falacia. 
 
Ejemplo 3 
 1P : Algunos animales que tienen cerebro pueden razonar 
 2P : Los seres humanos somos animales con cerebro 
 C : Los seres humanos podemos razonar 
 
Aunque es cuestionable cuáles animales en concreto sí pueden usar su cerebro para 
razonar (sin mencionar que “razonar” es un fenómeno cuya definición precisa es todavía 
incompleta), lo cierto es que tenemos un ejemplo concreto de lo que un argumento es 
 
Ejemplo 4 
 El cielo es azul 
Es un enunciado verdadero, pero no es un argumento, ya que no existe una conclusión o 
una premisa que arme completo al argumento (el cielo es azul, ¿y qué?). Compare en 
cambio. 
 
Ejemplo 5 
 1P : La luz de una estrella como nuestro Sol, a través de una atmósfera como la de la 
Tierra, hacen ver al cielo azul, desde el suelo del planeta “X”. 
2P : Desde el suelo de nuestro planeta el cielo se ve azul. 
C : Por lo tanto la Tierra es un claro ejemplo de planeta “X”. 
 
Parece una obviedad, ya que desde la premisa 1 prácticamente se define todo aquello 
con lo cual habrá de concluirse. Sin embargo, debería ser clara la diferencia entre un 
enunciado aislado y un argumento (aunque, y solo por ser puntilloso, nótese que la 
premisa 2 habla de “nuestro planeta”, no se habló de “la Tierra”, con lo cual aunque la 
conclusión en ambos casos sería verdadera, se hace de una forma un tanto forzada). 
 
Ejercicios 
Determine cuál es simple enunciado y cuál es un argumento completo, sin pretender 
asignar valores de verdad. 
 
6. ¡Felicidades! 
7. P1: Algunos animales son chistosos 
 P2: Mi gato es un animal 
 C: Mi gato es chistoso 
8. P1: algunos empresarios son ricos 
 P2: Carlos Slim es un empresario 
 C: Por lo tanto Carlos Slim es rico 
9. ¿Qué pasa? 
10. El archivero esta lleno de papeles 
11. P1: Un cinéfilo es alguien que conoce y ve muchas películas 
 P2: Fulana conoce y ve muchas películas 
 C: ello implica que Fulana es cinéfila 
12. P1: Para tener una caja de seguridad bancaria necesito tener al menos 100 mil pesos. 
 P2: tengo 99,999.00 pesos 
 C: por lo tanto ya puedo pedir mi caja de seguridad bancaria. 
13. tengo un reloj nuevo 
 
14. Transforme el ejemplo 5 de tal manera que su interpretación sea directa, y no 
forzada. 
 
Respuestas: 
6. Enunciado, 7. Argumento, 8. Argumento, 9. Enunciado, 10. Enunciado, 11. 
Argumento, 12. Argumento, 13. Enunciado. 
 
14. Hay varias maneras de transformar al ejemplo 5, en un argumento más consistente, 
así que digamos que: 
1P : La luz de una estrella como nuestro Sol, a través de una atmósfera como la de la 
Tierra, hacen ver al cielo azul, desde el suelo del planeta “X”. 
2P : Desde el suelo de la Tierra el cielo se ve azul. 
C : Por lo tanto la Tierra es un claro ejemplo de planeta “X”. 
 
Otra forma podría ser 
1P : La luz de una estrella como nuestro Sol, a través de una atmósfera como la de la 
Tierra, hacen ver al cielo azul, desde el suelo del planeta “X”. 
2P : Desde el suelo de nuestro planeta el cielo se ve azul. 
C : Por lo tanto nuestro planeta es un claro ejemplo de planeta “X”. 
 
1.3. Silogismos 
Los argumentos de la sección anterior son ejemplos de silogismos. Un silogismo es 
una forma de argumento lógico, en donde una proposición (la conclusión) es 
inferida de otras dos (o más) las premisas. En muchos libros a este tipo de lógica se 
le denomina Aristotélica. Aunque no tenemos la seguridad de que haya sido 
Aristóteles quien inventó este tipo de argumentación, es a través de los escritos 
filosóficos de Aristóteles, principalmente Analytica Priora, escrita en el 4º siglo 
antes de nuestra era. 
 
Uno puede transformar un fragmento de texto en un silogismo. 
 
Ej. 15 
 
El hierro adquiere una capa rojiza, llamada óxido, en presencia de oxígeno, lo cual 
degrada la calidad del hierro. Como el agua contiene oxígeno, una buena manera de 
evitar la oxidación de objetos ferrosos expuestos a la intemperie, es cubriéndoles de una 
capa de pintura. 
 
P1. El hierro se oxida en presencia de oxígeno 
P2. El agua contiene oxígeno 
C. El agua oxida al hierro 
 
Además 
P1. Una capa de pintura aísla al hierro de quedar expuesto al oxígeno 
P2. Al aislar al hierro del oxígeno, este ya no se oxida 
C. La pintura protege al hierro de la oxidación. 
 
Obsérvese el papel que juegan las palabras “lo cual” y “Como” (sin acento), que son 
indicadoras de algún tipo de conclusión. 
 
Convierta los siguientes textos en silogismos 
 
16. Hatch logró pasar la valla de hierro del edificio y luego colocó una escalera sobre la 
fachada; subió rápidamente antes de que fuera detenido por la policía. Para que Hatch 
cumpliera con su misión, varios militantes de la agrupación distrajeron a los guardias en 
la puerta principal del palacio 
17. "Nuestra sospecha de que hay varias anomalías sumamente preocupantes no es 
infundada", aseguró. Por ejemplo: "nos hemos enterado de que la Patrulla Fronteriza 
traslada al centro de detención de Tucson no sólo a los connacionales que manifiestan 
su interés en ser repatriados a México, sino también a cualquier compatriota que los 
agentes consideran que corren mayor riesgo en caso de un nuevo intento de cruzar la 
frontera". Añadió que esto último se hace sin que se conozcan los criterios que utilizan 
para tomar tal determinación. 
18. Cuando se comparan unos con otros, para que tenga validez la comparación, a todos 
se les mide con la misma vara. [El] Times británico, que evaluó a las universidades, 
[usó] cinco criterios y a todas se les evaluó con esos mismos cinco criterios. 
 
19. el juez Juan Guzmán Tapia ordenó el arresto domiciliario del ex dictador Augusto 
Pinochet, pero la aplicación de la medida quedó en suspenso por un recurso de habeas 
corpus presentado por los abogados de Pinochet, por lo que el arresto no se concretará 
hasta que la Cuarta Sala de la Corte se pronuncie sobre el amparo. 
20. El escritor estadunidense Gore Vidal considera a George W. Bush el presidente más 
tonto y peligroso que ha tenido su país…Estados Unidos no ama la guerra, pero 
constantemente hemos estado involucrados en la guerra porque, según nuestra política, 
ésta es la forma de hacer dinero. 
21. Revive el turismo en el lago al recuperar, por las lluvias, 40% de su capacidad 
 
22. Con la decadencia del lago, la vitalidad que inundaba esas casas también se apagó. 
Cuando el agua se empezó a distanciar de su ribera natural, los visitantes tradicionales y 
los turistas también se alejaron. 
 
23. Puesto que la Cámara de Diputados, que fue la de origen, nopodía hacer ya nuevos 
cambios a la minuta, el Senado le pidió remitir al Ejecutivo el proyecto 
 
24. se eliminaron de la minuta enviada por la Cámara de Diputados los párrafos 
segundo y tercero del artículo cuarto transitorio, donde se establecía indebidamente un 
gobierno corporativo para Pemex y la posibilidad de incluir en el consejo de 
administración de la empresa a los llamados consejeros independientes, porque "no 
queremos que se busquen por ahí nuevas vías para intentar la privatización de la 
empresa". 
 
25. Cuando un libro se vende bien no es gracias a grandes campañas publicitarias, sino 
por la recomendación oral, que es infalible, pero para que surta efecto, los libros 
requieren mayor tiempo de exhibición 
 
26. El valor creciente de un recurso que escasea más y más es una forma de renta 
monopólica… M. King Hubbert fue un connotado geólogo que, en 1956, profetizó que 
la producción petrolera estadunidense alcanzaría su clímax en los años 70 y de ahí 
comenzaría su declive irreversible.[Estamos en 2007 y algunas de las predicciones de 
este geólogo se han transformado en una realidad parcialmente correcta]. 
 
27. La huella los condujo hasta el año 400 antes de Cristo. Encontraron[…] hornos[…] 
la destilación del mezcal no la introdujeron los españoles a nuestras tierras. sino que es 
un proceso realizado mucho antes, desde la época prehispánica. Las evidencias: los 
hornos hallados contienen restos de maguey. 
 
28. En las luchas entre bandas, escribe el poeta alemán, siempre son los perdedores 
quienes disparan contra otros perdedores, los desdichados contra otros desdichados. 
De este modo cualquier vagón del metro puede convertirse en una Bosnia en miniatura. 
 
29. El año pasado el presidente promulgó una ley que autorizó a las fuerzas armadas de 
Estados Unidos a enviar tropas a La Haya, en caso necesario, para rescatar a cualquier 
soldado estadounidense presentado ante la Corte Penal Internacional [Por ] que sólo 
están defendiendo a sus ciudadanos ante casos "políticamente motivados". 
 
Respuestas: 
 
16. P1. Para que Hatch cumpliera su misión, los guardias tenían que ser distraídos. 
 P2. Varios militantes de la agrupación de Hatch distrajeron a los guardias 
 C. Hatch logró pasar la valla de hierro[…] subió rápidamente antes de que fuera 
detenído. 
 
17. P1. Sospechamos que hay varias anomalías 
 P2. La Patrulla Fronteriza traslada […] sin que se conozcan los criterios que 
utilizan para tomar tal determinación. 
 C. Por lo tanto nuestra sospecha no es infundada. 
 
18. P1. Para que una comparación sea válida, a todos se les debe aplicar el mismo 
criterio. 
 P2. El Times Británico evaluó a las universidades usando los mismos cinco 
criterios para todas. 
 C. Por lo tanto la comparación es válida. 
 
19. P1. Para que la orden de arresto del juez pueda ser efectuada, no debe haber recursos 
interpuestos. 
 P2. Se interpuso el recurso de Habeas Corpus 
 C. El arresto no se concretará hasta que la Cuarta Sala de la Corte se pronuncie 
sobre el amparo. 
20. P1. El escritor[…] considera a […] Bush el presidente más tonto y peligroso de la 
historia 
 P2. [Bush] constantemente involucra a Estados Unidos en la guerra porque, […] ésa 
es la forma de hacer dinero. 
 C. Bush es el presidente más tonto y peligroso de la historia. 
 
21. P1. Al turismo le gusta visitar un lago con agua. 
 P2. el lago recuperó con las lluvias 40% de su capacidad. 
 C. Se revivió el turismo. 
 
22. P1. A los visitantes tradicionales y turistas les gusta un lago con agua. 
 P2. el agua se empezó a distanciar de su ribera natural. 
 C. Los visitantes[…] también se alejaron. 
 
23. P1. Si la Cámara de Diputados ya no puede hacer nuevos cambios a la minuta, el 
Senado puede pedir remitir el proyecto al Ejecutivo. 
 P2. La cámara de Diputados ya no podía hacer nuevos cambios a la minuta. 
 C. El Senado pidió remitir al Ejecutivo el proyecto. 
 
24. P1. [En] los párrafos segundo y tercero del artículo cuarto transitorio se establecía 
indebidamente un gobierno corporativo para PEMEX y la posibilidad de incluir en el 
consejo de administración de la empresa a los llamados consejeros independientes. 
 P2. No se quiere que se busquen por [los párrafos segundo y tercero del artículo 
cuarto transitorio] nuevas vías para intentar la privatización de [PEMEX] 
 C. Se eliminaron de la minuta los párrafos segundo y tercero del artículo cuarto 
transitorio. 
 
25. P1. Un libro se vende bien por la recomendación oral 
 P2. La recomendación oral funciona si mucha gente ha visto el libro. 
 C. Para que surta efecto la recomendación oral, los libros requieren mayor tiempo de 
exhibición. 
 
26. P1. El valor creciente de un recurso que escasea más y más es una forma de renta 
monopólica 
 P2. Hubbert[…] profetizó que la producción petrolera después los años 70 
comenzaría su declive 
 P3. Estamos en 2007 y algunas de las predicciones[…] son correctas. 
 C. El petróleo se esta convirtiendo cada vez más en una renta monopólica. 
 
27. P1. Se encontraron hornos de destilación de mezcal del año 400 antes de Cristo. 
 P2. Los hornos contienen restos de maguey 
 P3. Los españoles llegaron a México en 1512, es decir, más de 1900 años después. 
 C. Por lo tanto los españoles no pudieron haber enseñado la técnica de destilación 
del mezcal a los aborígenes mexicanos. 
 
28. P1. En las luchas entre bandas[…] siempre son los perdedores quienes disparan 
contra otros perdedores. 
 P2. Cualquier vagón de metro contiene al menos algunos perdedores. 
 P3. Bosnia es una región europea donde en alguna parte de su historia todo mundo 
se disparaba contra todo mundo. 
 C. Cualquier vagón de metro puede convertirse en una Bosnia en miniatura. 
 
29. P1. Estados Unidos rescataría a cualquiera de sus ciudadanos ante casos 
“políticamente motivados”. 
 P2. Los soldados estadounidenses podrían ser llevados a la Corte Penal 
Internacional por motivos políticos. 
 C. el presidente promulgó una ley que autorizó a las fuerzas armadas de Estados 
Unidos a enviar tropas a La Haya[…] para rescatar a cualquier soldado estadounidense 
presentado ante la Corte Penal Internacional. 
 
 
1.4. Diagramas de Venn 
 
El matemático y filósofo británico John Venn (1834-1923) desarrolló el concepto de 
diagrama de Venn en 1881, con el propósito de mostrar gráficamente las posibles 
relaciones matemáticas o lógicas entre conjuntos. 
 
Ejemplo 30. 
Dibujar un diagrama de Venn para la siguiente frase 
 
Las matemáticas financieras son parte de las matemáticas aplicadas, y estas a su vez, 
son parte de las matemáticas en general. 
 
 
 
Nótese que se ha designado a las “Matemáticas” como el “Universo” del discurso, 
porque en este caso sabemos que ese es el caso. En caso de que desconociera cuál es 
exactamente el Universo del discurso, se podría dibujar la relación anterior como tres 
círculos anidados. 
 
Haga el diagrama de Venn para las siguientes proposiciones 
 
31. Los pinos son árboles que pertenecen a las coníferas y a las gimnospermas. 
32. El índigo esta entre los azules y los violetas. 
33. La estación del metro Pantitlán es parte de las líneas 1, 5, 9 y A 
34. La ingeniería es parte de la física, las matemáticas y otras materias específicas al 
tipo de ingeniería. 
35. Un economista computacional conoce de economía y de programación. 
36. Debian es un tipo de Linux, y a su vez Linux es un sistema operativo. 
37. Los números racionales son parte de los números reales y estos a su vez de los 
complejos, pero los números imaginarios, aunque son parte de los números complejos, 
no lo son de los reales. 
38. Las cajas de ahorro son una parte de las instituciones financieras, y los bancos 
poseen una sección de ahorro, traslapándose con las cajas de ahorro y también son parte 
de las instituciones financieras, como un todo. 
39. El interés compuesto es una aplicación de lasprogresiones geométricas. 
40. El porcentaje se encuentra en varios temas de las matemáticas financieras. 
41. Algunos relojes de cuarzo son de manecillas y otros son digitales. 
42. El Valor Presente se puede estudiar con ayuda de las progresiones geométricas, pero 
las progresiones geométricas, estrictamente hablando, no son parte de la geometría. 
43. La anualidad simple es una posibilidad de anualidad, y esta a su vez es una forma de 
progresión geométrica. 
44. Los cheques son un instrumento negociable, al igual que el papel moneda, pero no 
son parte de las tarjetas de crédito y todos ellos son formas de dinero. 
 
 
Respuestas: 
31. 
32. 
33. 
34. 
35. 
36. 
37. 
38. 
39. 
40. 
41. 
42. 
43. 
44. 
 
 
1.5 Argumentos y Cuantificadores 
 
Los argumentos lógicos se pueden cuantificar en términos existencia y generalidad, es 
decir, se pueden separar los casos particulares de los generales y esto se puede expresar 
en forma simbólica 
 
Ejemplo 45. 
En el habla cotidiana se pueden escuchar afirmaciones generalizadoras como “todas las 
plantas tienen clorofila”. Esta frase se podría simbolizar con la, así llamada, lógica de 
primer orden (la lógica de segundo orden es usada generalmente en demostraciones 
matemáticas y no será discutida en esta obra): 
 ( , , )p c c p p planta c clorofila∀ ∃ ∈ = = 
En donde los símbolos ∀ se lee “para todo…”, ∃ se lee “existe…” y lo que esta entre 
paréntesis es la descripción de lo que se esta cuantificando, que se puede leer como 
“…de tal manera que…”. El símbolo ∈ se lee “…pertenece a…”. 
 
Si queremos negar la pertenencia, la generalidad o la existencia de un caso particular, 
esto lo podemos hacer de la siguiente manera: 
 No para toda "y"
 No existe un "x"
 No pertenece
y
x
∀
∃
∉
∼
∼ 
 
Otros símbolos auxiliares a los cuantificadores son aquellos para expresar unión o 
alternativa inclusiva. Alternativa inclusiva (el “o” inclusivo) quiere decir que ante dos 
posibilidades, cualquiera de ellas puede darse o ambas a la vez. 
 "y"
 "o" (inclusivo)
∧
∨
 
 
Ejemplo 46. 
En los supermercados las transacciones se hacen con dinero en efectivo o por medios 
electrónicos (tarjetas de crédito y de débito) 
 
{ }
{ }
( ,
medios electrónicos=m.e., m.e. tarjetas de crédito
m.e. tarjetas de débito
S p
p pago p efectivo
p
∀ ∃
= ∈ ∨
∈ 
 ∈ ∨ 
 ∈ 
 
Nótese que este ejemplo no es exhaustivo, es decir, no se incluyeron “pagos con 
cheques”, ni “vales de despensa”, o en general, algún otro “instrumento negociable”. 
Nótese además que seguimos la convención matemática de simbolizar conjuntos por 
medio de llaves, con su descripción en el interior de los mismos. Así mismo, nótese que 
el orden de los cuantificadores es esencial, ya que si hubiéramos dicho que existe una 
“x” forma de pago en todos los supermercados, en general esto no tiene que ser cierto, 
ya que puede haber algunos supermercados que no acepten alguna forma concreta de 
pago (por ejemplo, los vales de despensa). 
 
 
Problemas 47-51 
Exprésense en términos de cuantificadores los problemas 39 al 43 de la sección “1.4 
Diagramas de Venn” 
 
Respuestas: 
 
47. 
. interés compuesto,
. . . . . . Progresión geométrica,
. . Matemáticas
i c
i c P G P G
P G
= 
 ∀ ∃ = 
 ∈ 
 
48. 
{ }
{ }Matemáticas Financieras
porcentaje tema
porcentaje tema
tema
∈ ∧ 
∀ ∃   ∈ 
 
49. 
{ }
{ }
. . reloj de cuarzo,
.
. .
r c
x manecillas
r c x
x digitales
r c relojes
= 
 ∈ ∨ ∀ ∃  ∈
 
 ∧ ∈ 
 
50. { }
{ }
{ }( )
. valor presente, 
. . ,
. .
Matemáticas Financieras ,
Progresiones geométricas
. . . .
v p
v p tema
v p tema
tema
tema
v p v p geometría
= 
 ∈ ∀ ∃  ∈
 
 ∧ ∈ 
∧ ∃ ∈∼
 
 
51.
{ }
{ }
{ }
. . anualidad simple, 
. ,
.
M.Financieras
Progresión Geométrica
a s
a s Anualidad
a s
Anualidad
Anualidad
= 
 ∈ ∀  ∈
 
 ∧ ∈ 
 
 
1.6 Razonamiento deductivo e inductivo 
 
Los argumentos pueden ser divididos en tres clases: deductivos, inductivos y 
abductivos. 
 
 El razonamiento deductivo consiste en que la conclusión necesariamente se desprende 
de o esta implicada por las premisas. Por ejemplo, los silogismos contienen con 
frecuencia razonamiento deductivo, cuando están armados de tal manera que la 
conclusión se infiera rigurosamente de las premisas. 
 
Ejemplo 53. 
P1. Las hembras de los osos tienen mamas (“mama” sin acento, pues se refiere a la parte 
anatómica, la cual es palabra ortográficamente grave). 
P2. Todos los mamíferos tienen mamas. 
C. Los osos son mamíferos. 
 
El razonamiento inductivo es un proceso en el cual las premisas de un argumento se 
cree que apoyan a la conclusión, pero no la garantizan. Se usa para establecer 
propiedades o relaciones basadas en un número pequeño de observaciones o 
experiencias; o bien para formular leyes basadas en una cantidad limitada de 
observaciones de patrones recurrentes. 
 
Muchas fórmulas matemáticas son establecidas por inducción. Se toman algunos casos, 
se observan los patrones recurrentes y a partir de ellos se formula una ley general que 
abarque muchos (posiblemente todos) los casos concernientes al patrón observable. Sin 
embargo, en muchas ocasiones, la única garantía de que esta fórmula obtenida por 
inducción sea correcta, se puede establecer apoyándola con razonamientos deductivos, 
es decir, demostrando que la inducción a lo general es válida considerando los axiomas 
(premisas) del problema matemático en cuestión. 
 
Ejemplo 54. 
Sean los números pares 
2, 4, 6, 8, 10… Obténgase por inducción alguna fórmula general que los describa. 
Solución: Un número par, parece ser el “doble” de cualquier número, por lo tanto: 
{ }2 , ( =naturales)pares n n= ∈ ℕ ℕ 
Se demuestra considerando los axiomas de divisibilidad: puesto que los números pares 
son divisibles entre 2, y la definición inductiva que se acaba de dar multiplica por dos 
cualquier número de la serie de números naturales (1, 2, 3, …n+1), entonces siempre 
tendremos 
{ }
{ }
2 1,2,3,..., 1
2 1,2 2,2 3,...,2 ( 1)
n
n
+ =
× × × × +
 
Puesto que “n” es un número natural arbitrario, entonces cualquier número definido de 
esta forma es un número par y por lo tanto nuestra fórmula es válida. 
Nótese que esta fórmula no abarca a los números pares negativos, ni aquellos números 
complejos o vectores o matrices cuyo módulo (“tamaño”) se divisible entre 2. Pero 
siempre y cuando estemos claros que nos referimos a una propiedad de los números 
naturales, la inferencia es correcta. 
 
Ejemplo 55. 
 Este balón de fútbol se movió cuando lo pateó ese jugador 
Por lo tanto, siempre que el balón sea pateado por cualquier jugador, de cualquier 
manera y en cualquier circunstancia, el balón de fútbol se moverá. 
 
Pero, a menos que podamos sistemáticamente establecer la falsedad de que algún balón 
de fútbol se quede quieto cuando sea pateado, en alguna circunstancia, de alguna 
manera, por algún jugador, la conclusión puede de hecho ser falsa. Sin embargo, puesto 
que en la abrumadora mayoría de los casos se observa que un balón se mueve cuando se 
le patea, podemos decir que hay una inducción fuerte, y que la posibilidad de que el 
balón en alguna circunstancia se quede quieto después de patearlo aunque permanece, 
queda oculta semánticamente. Supondremos, entonces, que hablamos de inducción 
fuerte, cuando a ella nos refiramos. 
 
Ejemplo 56. 
Yo me he refrescado con un ventilador toda la vida 
Por lo tanto todas las personas se refrescan con ventiladores. 
 
Este es un ejemplo de inducción débil. No todas las personas usan ventiladores para 
refrescarse, puesto que hay quienes usan algún sistema de aire acondicionado (aunque 
alguien pudiera observar que estos sistemas contienen al menos algún tipo de ventilador 
para expulsar el aire enfriado); o algún abanico (nuevamente, si cambiamos la palabra 
“ventilador” por “abanico eléctrico”, pudiéramos incluir a los “abanicos manuales” 
dentro de todas las formas de abanicarse); o bienhay personas que se sienten más 
frescas bebiendo algo frío, o algo caliente (su cuerpo suda y se enfría un poco, luego 
sienten menos algún calor seco, como en el desierto). En general, la inducción débil 
pretende hacer generalizaciones a partir de casos muy particulares, sin ninguna otra 
evidencia que permita hacer válida ese tipo de generalizaciones. 
 
Es común encontrarse que el pensamiento deductivo va de “…de lo general a lo 
particular…”, mientras que el pensamiento inductivo va “de lo particular a lo general”. 
Aunque, como vimos en el caso matemático, hay técnicas de demostración inductivas, 
no es necesariamente cierto que lo deductivo particularice y que lo inductivo generalice. 
 
Ejemplo 57. 
“Pedro es glotón, por lo tanto alguien es glotón.” Es un argumento deductivo que va de 
lo particular a lo general. 
 
Ejemplo 58 
“Todos los alumnos del posgrado de la UNAM son inteligentes, por lo tanto, este 
alumno en particular es inteligente”. Se puede notar que es un razonamiento inductivo, 
ya que usa un caso particular para intentar apoyar una conclusión general, pero 
obsérvese que esta inducción va de la generalidad a un caso particular. 
 
El razonamiento abductivo es la inferencia hacia la mejor explicación. Es un método de 
razonamiento en el cual uno escoge una hipótesis de trabajo, la cual, si resultase cierta, 
explicaría de la mejor manera la evidencia. 
 
Ejemplo 59. 
Este tipo de razonamiento (junto con el inductivo fuerte) es el que con mayor frecuencia 
usaba el famoso detective ficticio Sherlock Holmes. Rara vez usaba pensamiento 
realmente deductivo. Tal es el caso de cierta ocasión, dentro de la historia “Estudio en 
escarlata”, el Dr. Watson hace mención de que Holmes le llegó a mostrar salpicaduras 
de lodo en sus pantalones, y por el color y la consistencia de las mismas, le podía decir 
en que parte de Londres las había obtenido. 
 
La explicación, aunque plausible, permite la posibilidad de que no sea necesariamente 
cierta, ya que, si bien el conocimiento geológico de Londres pudiera ser extenso, no es 
exhaustivo, es decir, existe la posibilidad, aunque sea pequeña y muy remota, de que 
(digamos) algún fragmento del suelo de una parte de Londres haya sido transportada de 
alguna manera a otra parte de Londres, con lo que la “deducción” (de hecho abducción) 
de Holmes quedaría invalidada. Situaciones parecidas crean en las historias de Sherlock 
Holmes paradojas, con las que se juega a fin de hacer más interesante la historia. 
 
Problemas 
Decida si los siguientes argumentos son deductivos, inductivos o abductivos. Si puede, 
mencione si es inductivo fuerte o débil. 
 
60. El dueño del banco “x” es rico, por lo tanto todos los banqueros son ricos. 
61. P1. Todos los relojes tienen alguna forma de registrar algún tipo de cambio 
repetitivo que se le toma como medida del tiempo. 
 P2. Algunos relojes de manecillas contienen un arreglo de engranajes y resortes que 
permiten un movimiento interno repetitivo, que se registra periódicamente en algún 
engrane que mueve las manecillas. 
 C. Los relojes de manecillas pueden medir el tiempo a través de su juego de engranes 
y resortes. 
62. Yo compré este objeto a un precio “x” y lo vendí al doble de su precio con lo que 
tuve una ganancia del 100%, por lo tanto siempre que se aplique la regla “compro 
barato y vendo caro” tiene que haber ganancia. 
63. Siempre te he visto con el mismo traje, pero hoy tienes un traje nuevo y reloj de oro. 
Además, el día de ayer escuche que alguien se había sacado la lotería, y que esa persona 
recogió el premio con un traje del mismo color y estilo que el que tenías antes, por lo 
que infiero que tú eres esa persona que se sacó la lotería. 
64. P1. Todas las fórmulas de interés compuesto se deducen de la misma manera que las 
progresiones geométricas. 
 C. Por lo tanto, la fórmula de interés compuesto es una forma de progresión 
geométrica. 
65. El objeto que tienes en tu casa se puede conseguir en esta ciudad en dos lugares 
distintos, pero uno de ellos es difícil de acceder, ya que varias calles a su alrededor están 
en reparación; la otra tienda queda más lejos, pero ayer no tenías ese objeto y ahora lo 
veo en tu casa, por lo que pienso que lo compraste en la tienda que queda más lejos, 
pero que es mucho más fácil de acceder a la misma. 
 
Respuestas: 
60. Inductivo (fuerte) 
61. Deductivo 
62. Inductivo (fuerte) 
63. Abductivo 
64. Deductivo 
65. Abductivo 
 
 
 
 
 
1.7. Consistencia, Solidez, Completitud 
 
Cuando una persona cualquiera supone que algo es “lógico”, implícitamente supone que 
un argumento contiene las siguientes características: 
 
Consistencia: ninguna de las partes del argumento (o de un sistema de argumentos) se 
contradice una con otra. 
 
Ejemplo 66. 
“Puesto que un año tiene doce meses, los pagos anuales prorrateados (distribuidos) a 
mensualidades los puedo dividir entre 12.” 
 
Ninguna parte del argumento anterior se contradice, por lo tanto, es consistente. 
 
Solidez: significa que el sistema de argumentos nunca permitirá una conclusión falsa a 
partir de premisas verdaderas. Si un sistema es sólido y las partes que componen al 
argumento o sistema de argumentos son verdaderas, entonces todo lo que se derive de 
este sistema tiene la garantía de ser verdadero. 
 
Ejemplo 67. 
“Si yo tenía 20,000 pesos y me acaban de pagar 5 deudores, la suma de cuyas deudas se 
remonta a 12,000 pesos, entonces ahora tendré 32,000 pesos. “ 
 
Este argumento se sostiene gracias a los axiomas –reglas- de la aritmética; si 
cambiáramos las reglas de la aritmética, entonces tendríamos resultados distintos a lo 
expresado. 
 
Completitud: no hay frases verdaderas que pertenezcan al sistema, que de alguna 
manera no puedan ser demostradas a partir de los elementos que conforman al sistema. 
 
Ejemplo 68. 
Los sistemas de ahorro bancarios permiten una ganancia con intereses. Yo tengo un 
ahorro en el banco “x”. Por lo tanto el banco “x” (sin importar cual sea) debería darme 
un cierto porcentaje de ganancia en forma de intereses por el hecho de que yo tenga 
ahorrada la cantidad “y” de dinero en ese banco. 
 
Este es un ejemplo de razonamiento deductivo: partiendo de que conocemos todas las 
premisas y todas ellas son verdaderas, entonces cualquier caso particular que este 
contemplado por las premisas, debería ser verdadero. 
 
Efectividad: Cuando existe un algoritmo que puede revisar y correctamente decidir si 
acaso una secuencia de argumentos es una prueba válida o no. Esta última propiedad se 
puede requerir cuando uno esta proponiendo un programa nuevo de computadora que 
resuelva algún problema o grupos de problemas financieros. Un algoritmo programado 
en una computadora puede estar arrojando resultados numéricos que no tienen ningún 
sentido, pero a menos que se tenga otro algoritmo (a mano o programado aparte) que 
puede ir revisando los resultados, no hay manera de garantizar que los resultados del 
programa nuevo sean confiables. 
 
 
Ejemplo 69. 
Digamos que hacemos un programa, ya sea en alguna hoja de cálculo o dentro de algún 
lenguaje de programación de alto nivel (por ejemplo: Java, Fortran 90, C++), que se 
encargue de prorratear los pagos a “12 meses sin intereses”. Omitiendo el resto de los 
detalles de este tipo de promociones, nuestro programa tendría que ser capaz de al 
menos poder dividir cualquier cantidad que le demos entre doce. La forma de 
comprobar que nuestro programa esta haciendo lo correcto, es simplemente aplicando la 
operación inversa de la división: multiplicamos el resultado de la división por doce y el 
resultado nos tiene que dar la cantidad original. Entonces, por lo menos en el sentido 
“lógico-matemático” no tenemos error, sin embargo, ello no quiere decir que el 
programa nos de resultados correctos, ya que tenemos que tener en cuenta si al 
momento de dividir hemos redondeado las cifras (ver el siguiente capítulo); al 
redondear perdemos una parte de la información original, por lo que si la cantidadredondeada es multiplicada por doce, dependiendo de cómo hayamos hecho el redondeo 
y la multiplicación posterior, no necesariamente obtendremos la cantidad que 
originalmente hemos prorrateado. Para que este tipo de error no suceda, entonces 
tendríamos que buscar la manera de que el objeto a vender tenga un precio tal que sea 
divisible entre doce, ya sea de forma exacta (enteros) o bien que incluya hasta un 
máximo de dos decimales, o que del tercero en adelante no nos importe lo que pase. 
 
Problemas. 
Decida si los siguientes argumentos son consistentes, sólidos y completos y proponga 
alguna forma de comprobar los resultados. 
 
70. Un contrato es un vínculo legal de intercambio de promesas o acuerdos entre dos 
partes, de tal manera que la ley obligue a su cumplimiento (“los pactos deben ser 
mantenidos”). La empresa “x” se dedica a la renta, compra y venta de videos de 
películas en diversos formatos. El contrato de dicha empresa establece con claridad 
todos los fundamentos legales que la sustentan; las características que deben de tener 
sus clientes, incluyendo solvencia económica y mayoría de edad; y las condiciones de 
renta, compra y venta de videos. Una vez firmado este contrato, yo tendré derecho a 
rentar todos los videos que allí se ofrezcan. 
 
71. Un seguro de vida es un contrato legal. Los eventos asegurados incluyen la muerte y 
la muerte accidental y describe las limitaciones de los eventos asegurados en caso de 
suicidio, fraude, o guerra. Se muere la señora “x” suponiéndose muerte por enfermedad, 
con lo cual suponemos que la aseguradora debe de pagar el seguro. 
 
Respuestas: 
70. Es consistente, ya que este contrato en particular cumple con la definición de 
contrato en general. El argumento es sólido, por cuanto a que la forma de definir un 
contrato en general no permite que se establezca un contrato en donde, habida cuenta de 
todas sus cláusulas, no se cumpla el contrato por alguna de sus partes. Es completo, 
porque todos los casos particulares o situaciones exclusivas a mi persona están 
contemplados en el contrato, incluso aquellas que normalmente no uso. Por último, la 
efectividad del contrato se puede comprobar simplemente intentando rentar un video, 
siempre y cuando yo sea el firmante, en donde se supone que tengo dinero para rentar el 
video y que soy mayor de edad, principalmente. 
 
71. Es consistente, ya que el seguro cumple con la definición de contrato en general. Es 
sólido, por cuanto habida cuenta de todas sus cláusulas, siempre el seguro deberá pagar 
a las personas que haya designado explícitamente el asegurado. No es completo, porque 
en el seguro no se definió el caso de “muerte por enfermedad”. La efectividad del 
contrato se ve al momento de que la aseguradora haya pagado a los destinatarios del 
seguro, cuando alguien hubiese muerto en circunstancias muy similares a las de otra 
persona cuya caso esta en disputa. Suponiendo que el seguro de vida cubriese el caso de 
muerte por enfermedad, la aseguradora de todos modos no necesariamente estaría 
obligada a pagar, a menos que se le hiciera un estudio al cadáver, con el fin de descartar 
envenenamiento, lo cual puede ser fraude o suicidio, que sí se contemplan en este 
seguro. 
 
 
1.8 
Una condición necesaria para un cierto argumento debe ser satisfecho con el fin de que 
el argumento sea verdadero. Formalmente, una premisa P es una condición necesaria 
para el argumento Q, si Q implica P. Coloquialmente esto equivale a decir “Q no puede 
ser verdadera a menos que P también lo sea”, es decir, Q implica P, o P siempre que sea 
el caso Q. 
 
Ejemplo 72: 
Comer es necesario para que un ser humano este vivo. “Comer” implica “estar vivo” 
 
Una condición suficiente es aquella en la que, de ser satisfecha, asegura que el 
argumento sea verdadero. Formalmente, una premisa P es una condición suficiente para 
la afirmación Q, si P implica Q (nótese cómo se invierte la implicación). 
 
Ejemplo 73: 
Saltar al interior de una alberca llena de agua es suficiente para mojarse. 
 
Hay premisas que aunque sean necesarias, no son suficientes, y viceversa. 
 
Ejemplo 74: 
Comer es necesario, pero no suficiente para estar vivo (se necesita que la persona, 
respire, beba agua, y en general que pueda cumplir con todas sus necesidades 
fisiológicas). 
 
Ejemplo 75: 
Saltar al interior de una piscina llena de agua es suficiente para mojarse, pero no 
necesaria, ya que uno también puede mojarse con el aspersor de un jardín, o con los 
chorros de una fuente, o bajo una cascada, y en general, en cualquier situación que 
involucre entrar en contacto directo con agua en estado líquido. 
 
Matemáticamente la necesidad y la suficiencia establecen una dualidad, ya que al decir 
que “P es suficiente para Q” es lo mismo que decir “Q es necesaria para P”, puesto que 
ambas afirmaciones significan que “P implica Q”. 
 
Ejemplo 76: 
Si nació en México, esa persona necesariamente es mexicana. 
Si es mexicana, es suficiente con que haya nacido en México. 
(Pero obsérvese que estas frases no son exactamente equivalentes, ya que no es 
necesario que una persona haya nacido en México, para poder ser mexicana). 
 
 
Ejercicios: 
Diga en cuáles casos se establece una relación de necesidad, suficiencia o equivalencia. 
 
77. Si ahorro, tendré dinero para el futuro. 
78. Yo tengo más dinero, porque he trabajado más. 
(los ejercicios 79-81 son adaptaciones del código de Hammurabi) 
79. Si “x” tiene un objeto parecido al de “z”, y “x” trae testigos de que es la legítima 
dueña, entonces “z” es una ladrona. 
80. Si alguien es atrapado in fragrante (en el acto) de tomar la posesión de otra persona, 
y hay testigos del hecho, entonces es declarado ladrón. 
81. Si a alguien se le rompe su represa de agua para regar cultivos, es porque fue muy 
flojo para conservarla. 
82. Si es un número par, entonces es divisible entre 2. 
 
Respuestas: 
77. Suficiente (pero no necesaria, ya que hay otras formas de acumular dinero; a través 
de una inversión que rinda intereses, por ejemplo). 
78. Necesaria (pero no suficiente, ya que además se requiere que sus gastos no sean 
comparables numéricamente con lo que gana). 
79. Necesaria (pero no suficiente, ya que el objeto parecido no tiene que ser el mismo 
que a la otra persona le fue hurtada) 
80. Suficiente y necesaria. 
81. Suficiente (pero no necesaria, ya que catástrofes naturales o personas que quieran 
ver involucrada en un problema a la persona declarada “floja”) 
82. Suficiente y necesaria. De hecho, en todas las fórmulas, si se conocen todas las 
variables que involucra y se conoce el resultado, entonces ambos lados de la fórmula 
son numéricamente equivalentes. 
 
1.9 Lógica modal 
 
En lingüística, la modalidad se refiere a que las partes de una frase pueden cambiar su 
semántica (significado) por ciertos verbos especiales (deber, tener, poder, entre otros) o 
partículas modales (“quizá”, “tal vez”, o preposiciones como “algún”, o universales 
como “todo”, “siempre” y sufijos que modifican a los verbos). 
 
Ejemplo 83 
“Los bancos prestan a los ahorradores” 
“Los bancos prestan a algunos ahorradores” 
“Los bancos deberían prestar a los ahorradores” 
Ninguna de las tres frases significa lo mismo desde el punto de vista de la lógica 
modal. En el primer caso la frase implica que los bancos prestan sin mayor distinción 
que el hecho de ser ahorrador. La segunda frase es más restrictiva, ya que al decir 
‘algunos’ se supone que solo se presta a aquellos ahorradores que reúnan ciertos 
requisitos. La última frase es una recomendación 
 
 
Ejemplo 84 
“Esta fórmula tiene que dar el resultado correcto” 
“Esta fórmula podría dar el resultado correcto” 
”Esta fórmula puede dar el resultado correcto” 
En la primera frase el verbo ‘tiene’ es un requerimiento, una obligación, no deja opción 
o alternativa. La segunda frase implica que la ‘fórmula’ es una opción. La tercera frase 
indica que es posible que la fórmula funcione. 
 
Ejemplo 85 
“Este contrato siempre se ha de cumplir al pie de laletra” 
“Este contrato algunas veces se ha de cumplir al pie de la letra” 
“Este contrato nunca se ha de cumplir al pie de la letra” 
La primera frase implica que no hay restricciones para que el contrato se cumpla tal y 
cual esta escrito. La segunda indica que hay condicionantes para que se cumpla o no el 
contrato, tal y cual esta escrito, dependiendo de las circunstancias. La tercera frase nos 
dice que necesariamente tenemos que interpretar el contrato para que se cumpla “en su 
espíritu” o a través de alguna regla implícita o preestablecida, y no rigurosamente tal y 
cual lo vemos escrito. 
 
La mayoría de los verbos modales tiene dos interpretaciones distintas: 
Epistémico, es decir que expresan que tan certero es el estado factual de una 
proposición 
Deóntico, que involucra nociones de permiso y obligación 
 
Ejemplo 86 
Epistémico: Debes de estar sediento (“es necesariamente el caso de que tu te encuentres 
sediento” –porque acabas de cruzar el desierto o acabas de hacer ejercicio-) 
Deóntico: Te debes quedar (“estas obligado a quedarte”) 
Ambiguo: Tú debes de saber matemáticas 
 Primer caso, epistémico: “es seguramente el caso que tu sepas matemáticas” (por 
ejemplo, después de haber estudiado la licenciatura, la maestría y el doctorado en 
matemáticas) 
 Segundo Caso, deóntico: “es un requerimiento que tú sepas matemáticas” (por 
ejemplo, si quieres solicitar trabajo involucrado con el diseño y funcionamiento de 
reactores nucleares “portátiles”, en un centro de diseño de submarinos nucleares) 
 
 
Las palabras “suficiente”, “demasiado”, “poco”, y todas aquellas que indiquen cantidad, 
también pueden cambiar el sentido exacto de la frase que se quiere establecer. 
 
Ejemplo 87 
“Me gusta mucho” 
“Me gusta demasiado” 
“Me gusta” 
La primera frase es un superlativo acerca de la atracción que yo tengo hacia un “algo” o 
“alguien”. En el segundo caso se implica que puede ser el caso que “algo” o “alguien” 
me guste más allá de lo que se podría considerar saludable para mi persona (por cierto, 
el uso de la segunda frase como sinónima de la primera es un disparate). La tercera frase 
no usa ningún cuantificador, simplemente establece un hecho. 
 
Hay que aclarar que el uso de cuantificadores, verbos modales y otras palabras o 
partículas que modifiquen el sentido exacto de la frase, si se llegan a encontrar en algún 
contrato, deben de tomarse con mucho cuidado, porque para fines legales muchas veces 
se debe de ser totalmente específico. 
 
Ejemplo 88 
“…que el cliente sea solvente económicamente…” (¿A qué le llaman ‘solvente’? ¿Es la 
persona que tiene el efectivo o se incluyen aquellas personas con propiedades, digamos 
casas, automóviles, joyas, y otros bienes muebles o inmuebles? ) 
“..para todos los casos probables…” (¿Qué probabilidad debe de tener para que se 
considere ‘probable’? ¿o que circunstancias determinan que esos casos se puedan 
demostrar?) 
 
 
Ejercicios 
Califique si necesariamente la segunda afirmación se puede inferir de la primera, o diga 
si la conclusión es falsa o verdadera, o si es ambigua, según el caso. Explíquese. 
 
89. La memoria de esta computadora podría ser de mala calidad, por lo que es seguro 
que tendrás problemas. 
90. Puesto que en México el Sol es intenso, es posible que algunos mexicanos y 
mexicanas usen sombrero, siempre y cuando caminen bajo el sol. 
91. Esa caja debe de estar llena. 
92. La persona que fuma demasiado abusa de sus pulmones. 
93. La persona que come demasiado se esta alimentando bien. 
94. Si un seguro de gastos médicos cubre algunos accidentes, y me caigo al escalar una 
montaña, la aseguradora debe cubrir mis gastos hospitalarios. 
95. Si un seguro de gastos médicos cubre algunos accidentes, y me caigo al esquiar una 
montaña, la aseguradora podría cubrir mis gastos hospitalarios. 
 
Respuestas: 
89. Falso. No existe certeza en cuanto a que la memoria sea de mala calidad, por lo que 
el que la computadora cause problemas es solo una posibilidad. 
90. Verdadero. Basta con que al menos un mexicano o mexicana use sombrero para 
protegerse del Sol, a fin de que este argumento sea verdadero. 
91. Ambiguo: no sabemos si es obligatorio que la caja este llena, o si es consecuencia 
de algún proceso que la ha estado llenando. 
92. Verdadero. Demasiado en este contexto implica un abuso. 
93. Falso. Demasiado en este contexto no implica que sea bondadoso. 
94. Falso, ya que la aseguradora no necesariamente contempla accidentes relacionados 
con deportes de riesgo. 
95. Verdadero, porque basta con que al menos una aseguradora, de alguna manera sí 
pueda cubrir accidentes causados por algunos deportes riesgosos, para que exista la 
posibilidad de que la aseguradora pague por el percance. 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.10 Falacias 
Una falacia es el componente de un argumento que se demuestra incorrecto ya sea en su 
lógica o en su forma, lo que hace inválido al argumento como un todo. 
 
Ejemplo 96 
Si votar es democracia, entonces los criminales y trastornados mentales deben de votar. 
 
Esta una falacia por accidente, ya que argumenta erróneamente desde una regla general 
a un caso particular, sin tomar en cuenta la circunstancia concreta que pudiera viciar la 
aplicación de la regla general. 
 
Ejemplo 97 
Si la gente no vota por mi, habrá terribles consecuencias para el país. 
 
Esto es una conclusión irrelevante, esto es, la argumentación no busca demostrar un 
hecho en disputa, pero sí “demostrar” su verdad distrayendo la atención hacia algún 
hecho ajeno al argumento. En este argumento en concreto, se apela al miedo en la 
audiencia, aunque también se podría apelar con base al pensamiento popular (“el 
sentimiento de esta nación…”), o creencias comunes (“el tiempo es oro”). 
 
Ejemplo 98 
Nosotros debemos estar aquí, porque hasta aquí hemos llegado. 
 
Esta es una petición de principio, o razonamiento en círculos. La conclusión se 
“demuestra” a través de premisas que presuponen la conclusión. 
 
Ejemplo 99 
Si han caído tres rayos antes de que el reloj toque las tres de la mañana, entonces 
mañana a las tres ganaré la lotería. 
 
Esta es una falacia de causa falsa, en donde un evento se le supone consecuencia de 
otro, particularmente si hay una sucesión cronológica (temporal). 
 
Ejemplo 100 
¿Es verdad que ya no has robado? 
 
Esta es la falacia de las muchas preguntas, o falacia de la pregunta cargada. Consiste 
en agrupar varias impropiamente varias preguntas de tal manera que aparentemente 
formen una, la cual exige una respuesta categórica. En este caso hay dos preguntas: 
1) ¿Alguna vez has robado? 
2) ¿Ya no robas? 
La pregunta original presupone que la persona interrogada “ha robado” alguna vez en su 
vida, quizá por algún tiempo, y sin tener tal certeza, pregunta a la vez si acaso la 
persona ha dejado de hacerlo. 
 
 
 
 
Ejercicios 
Diga si acaso alguno de los siguientes argumentos es una falacia, y en su caso, de que 
tipo 
 
101. Puesto que los pingüinos viven en la Antártica, probablemente les guste el frío. 
102. ¿Es verdad que ya no le pega a su esposa? 
103. P1. Dios es amor 
 P2. El amor es ciego. 
 C. Dios es ciego. 
104. Si se cae, es porque ha descendido. 
105. Si “z” es buena en matemáticas financieras, entonces es una buena persona. 
106. Si esta persona no quiere pagar, es porque no desea pagar. 
107. P1. El tiempo es oro 
 P2. Los relojes miden el tiempo 
 C. Los relojes miden la cantidad de oro. 
108. Todas las personas en puestos ejecutivos altos, seguro que se han humillado ante 
sus superiores. 
109. ¿Es verdad que usted ya respeta los semáforos en “alto”? 
110. Adolf Hitler gustaba de leer a Frederick Nietzche, por lo tanto lo que escribió 
Nietzche debe ser malo. 
 
101. No es una falacia. 
102. Pregunta cargada 
103. Falacia por accidente 
104. razonamiento en círculos 
105. causa falsa 
106. Razonamiento circular. 
107. Falacia por accidente. 
108. Causa falsa 
109. Pregunta cargada 
110. conclusión irrelevante. (El que una persona calificada como personificacióndel 
mal se haya inspirado en algún filósofo, no quiere decir que el filósofo en sí haya tenido 
un propósito maligno en todo lo que escribió). 
 
 
1.11. Tablas de Verdad 
Las tablas de verdad son tablas matemáticas aplicables a la lógica, que permiten 
visualizar las posibles alternativas de falsedad o veracidad al combinar los valores 
lógicos de los argumentos individuales. Una vez que tenemos la tabla de verdad, ésta 
puede ser usada en un proceso de decisión, por ejemplo, dentro de algún algoritmo. 
 
Históricamente el desarrollo de las tablas de verdad datan de al menos 1880, con los 
trabajos de los matemáticos Frege, Peirce y Schröder . Charles Lutwidge Dodgson, 
mucho mejor conocido como Lewis Carroll (así es, el autor de “Alicia en el país de las 
maravillas” y “A través del espejo”), llegó a usar tablas de verdad ya desde 1894, pero 
su trabajo no se reveló, sino hasta 1977, cuando se revisaron sus documentos 
personales. Sin embargo, el trabajo matemático-filosófico que realmente impulsó el uso 
de tablas de verdad fue el “Tractatus Logico-Philosophicus” del filósofo de las 
matemáticas y la lengua austriaco, Ludwig Josef Johann Wittgenstein. 
 
 
Conjunción: La conjunción lógica exige la veracidad de todas las premisas que la 
conforman. 
 
Ejemplo 111. 
Una de las tablas de verdad más sencillas es la de conjunción de dos premisas 
 
p q p q
V V V
V F F
F V F
F F F
∧
 
Nos podemos dar cuenta que para que el resultado sea verdadero, ambas premisas tienen 
que ser verdaderas. En todos los demás casos, si al menos una de las premisas es falsa, 
entonces todo el argumento es falso, ya que la conjunción exige la veracidad de todas 
las premisas simultáneamente. En las hojas de cálculo (como Calc de Open Office y 
Excel) existe la función “Y” (o “AND” para las hojas de cálculo en inglés), la cual 
puede contener todas las premisas que uno desee, pero la mecánica es idéntica: todas las 
premisas deben de ser verdaderas para que la celda de como resultado un valor 
“verdadero”. La función lógica “.AND.” existe en Fortran 77, Fortran 90 y en otros 
lenguajes computacionales, con algunas diferencias de sintaxis. En “Mathematica” 
(todas sus versiones) usa el símbolo “&&” para construir la conjunción lógica, mientras 
que “MATLAB” usa “&”. Las calculadoras electrónicas programables también poseen 
esta función desde mediados de los 1970’s (es la función “AND”). 
 
Una aplicación clara de esta tabla de verdad es al aplicar algunas reglas de tránsito 
 
Ejemplo 112: 
“Sí viene ‘borracho’ y esta manejando, aplicar sanciones diversas”. Aunque es evidente 
que exigimos la veracidad de ambas premisas, la primera exige que se haga una 
distinción cuantitativa, ya que no cualquier persona que haya bebido alcohol 
necesariamente esta ebria. Para ello se aplican los “alcoholímetros”, y entonces la tabla 
de verdad en realidad debería escribirse como 
( )p x q p x q
V V V
V F F
F V F
F F F
> > ∧
 
En donde “x” es el umbral de alcoholización en la sangre, arriba del cual se considera 
que la persona ha bebido más de lo que se supone le permitiría manejar con prudencia. 
(Que una persona este sobria no es garantía que sea prudente manejando, pero desde el 
punto de vista de la lógica, no esta violando la ley) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Negación: 
La negación cambia los valores verdaderos a falsos y viceversa 
 
Ejemplo 113: 
Usando la misma tabla que el ejemplo 111, pero negando la segunda premisa 
p q q p q
V V F F
V F V V
F F V F
¬ ∧ ¬
 
Nótese que ahora se ha usado el símbolo “¬ ” que es lo mismo que si hubiéramos usado 
el símbolo “∼ ” 
 
O inclusivo 
Esta conjunción lógica admite que al menos una de las premisas sea verdadera para que 
el argumento sea verdadero 
 
Ejemplo 114 
p q p q
V V V
V F V
F V V
F F F
∨
 
Solamente se obtiene “Falso” cuando ambas premisas lo son. En los lenguajes 
computacionales, las hojas de cálculo en inglés, y las calculadoras electrónicas 
programables se simboliza como “OR” (en castellano es “O”), en “Mathematica” se usa 
“ ∨ ” (o “||”) y en “MATLAB” y otros sistemas algebraicos se usa “|”. Al igual que el 
operador lógico “AND”, “OR” puede ser usado para tantas premisas como se requiera. 
 
O exclusivo (XOR) 
Este operador no admite que sean verdaderas simultáneamente dos premisas, es decir, 
exige que ambas tengan valores distintos para que el argumento sea verdadero. 
 
Ejemplo 115 
XORp q p q
V V F
V F V
F V V
F F F
 
La función “XOR” es manejada por muchas calculadoras programables y en algunos 
sistemas algebraicos que incluso pueden evaluar todos las premisas que uno desee, en 
cuyo caso da verdadero, siempre que exista un número impar de premisas que sean 
verdaderas y el resto sean falsas (y evalúa a falso de otra manera), pero (en el caso de 
Mathematica), “Xor” tiene que evaluar siempre todos sus argumentos, y esto causa que 
no sea una buena estructura de control. Como alternativa se usa el “OR” (“O” inclusivo) 
y la negación de alguna de las premisas. XOR también se simboliza con “⊕ ” o “ ≠ ”. 
 
 
 
“Ni ‘A’ ni ‘B’” o “NOR” 
Es operador lógico solo produce “verdadero”, cuando ambos valores son falsos (o 
todos ellos, cuando se usa en algún sistema algebraico que admite multiplicidad de 
premisas) 
 
Ejemplo 116 
 
NORp q p q
V V F
V F F
F V F
F F V
 
“NOR” También se simboliza con “↓ ” o “ ⊥ ”. 
 
“No ambos a la vez” o “NAND” 
Este operador lógica da como resultado “verdadero”, siempre que al menos una de las 
premisas sea “falsa”. “NAND” existe en algunas calculadoras programables y sistemas 
algebraicos computacionales como “Mathematica”; en esta última “NAND” se 
simboliza como “∧ ”, y en otros contextos se puede simbolizar como “↑ ”. 
 
Ejemplo 117 
 
NANDp q p q
V V F
V F V
F V V
F F V
 
Coloquialmente esto se puede ejemplificar con: “ese programa seguramente dará 
resultados incorrectos si no se tienen los datos correctos y las fórmulas correctas”. A 
reserva de las varias interpretaciones que se le pudiera dar a esta frase, lo cierto es que 
la única garantía de que el programa falle es cuando se carezcan de dos premisas a la 
vez: los datos y las fórmulas; de otra manera, a lo mejor con algunos datos correctos, 
que sean “especiales” numéricamente, es posible que nos de resultados correctos. Por 
otro lado, podemos tener las fórmulas correctas, y aunque algunos datos no estén 
correctos, es posible que de resultados correctos de todas formas, sobre todo para 
ámbito de datos, en donde a las fórmulas no les afecte demasiado el valor numérico 
concreto de que estemos hablando. 
 
Condicional “Si” 
En computación es común ver la función “Si” (para hojas de cálculo en castellano) o 
“IF” en general, para los lenguajes de programación y algunas calculadoras 
programables. Este condicional no es exactamente lo mismo que el “Si” de implicación 
en lógica (al menos directamente), y su uso es para ramificar la secuencia de 
operaciones dentro de algún proceso de cálculo. 
 
 
Ejemplo 118: 
“Sea el número real ‘A’; si ‘A’ es igual o mayor que cero, entonces aplicar raíz 
cuadrada, de lo contrario, imprimir ‘raíz imaginaria’”. 
En este algoritmo lo que hacemos es evitar que ocurra un error numérico, ya que solo 
tienen raíz cuadrada real aquellos números que sean iguales o mayores que cero; de lo 
contrario, el programa tiene la instrucción de ramificar hacia el mensaje de error 
apropiado, 
 
 
Aunque las tablas de verdad que se han ilustrado hasta el momento usan los símbolos 
“V” y “F” para significar “verdadero” y “falso” respectivamente, matemáticamente 
ambas son equivalentes a los valores numéricos 1 y 0, es decir: 
 
1
0
V
F
=
=
 
Muchos de los elementos del lenguaje común también pueden ser “matematizados”; las 
expresiones “aunque”, “tal vez”, “quizá” y otras similares, quieren expresar, en general, 
que existen alternativas en algún argumento dado. Esto se traduce al condicional “Si”, 
en donde “Si ‘x’ es verdadero entonces se procede al caso 1, de lo contrario, se procedeal caso 2”. Hay expresiones que tal vez requieran de condicionales anidados. 
 
Ejemplo 119 
“Una persona puede ganar más dinero trabajando más, aunque también puede estudiar y 
hacer un trabajo diferente que le pague mejor”, se traduce con ayuda del condicional: 
Si(trabaja o estudia) 
 Si(trabaja más) 
 Por lo tanto más dinero 
 Si no 
 Mismo estado económico 
 (Fin del primer condicional interno) 
 Si (estudia para otro trabajo mejor remunerado) 
 Por lo tanto más dinero 
 (Fin del segundo condicional interno) 
Si no estudia y además no trabaja más 
 Por lo tanto Mismo estado económico 
 (Fin del condicional que abarca a los dos condicionales internos) 
 
Nótese que este condicional no contempla eventos fortuitos, como heredar o ganarse la 
lotería. 
 
Implicación: 
“p” implica “q”; o bien “q” es consecuencia (necesaria) de “p”, o bien “p” es suficiente 
para que sea posible “q”. La única forma en que un argumento de implicación sea falso, 
es cuando la consecuencia es falsa 
 
Ejemplo 120 
La tabla de verdad de la implicación es como sigue: 
p q p q
V V V
V F F
F V V
F F V
⇒
 
Nótese que la implicación no tiene la misma función que la estructura de control 
computacional “IF”, ya que este última es una conexión ramificada de acuerdo a una 
condición, mientras que en la implicación se presupone una relación lógica entre dos 
premisas. 
 
Ejercicios 
 
121. Demuestre que la tabla de verdad para implicación es equivalente a la tabla de 
verdad que tendría el negar la primera premisa y usar la conjunción lógica “O” para 
conectarla con la segunda premisa (es decir, demuestre que p q p q⇒ = ¬ ∨ ) 
122. Establezca la tabla de verdad para ( )p q x∨ < . 
Problemas 123-129 
Usando los ejemplos 111, 113, 114, 115, 116, 117 y 120, niegue la primera premisa y 
construya su tabla de verdad correspondiente. Use “0” y “1” en lugar de “F” y “V”. 
 
Respuestas: 
121. 
p p q p q
V F F F
F V V V
F V F V
V F V V
¬ ¬ ∨
 
 
122. 
( )p q p q x
V V V
V F V
F V V
F F F
∨ <
 
 
123. 
1 0 1 0
1 0 0 0
0 1 1 1
0 1 0 0
p p q p q¬ ¬ ∧
 
 
 
 
 
124. 
1 0 1 0 0
1 0 0 1 0
0 1 1 0 0
0 1 0 1 1
p p q q p q∧∼ ∼ ∼ ∼
 
 
125. 
1 0 1 1
1 0 0 0
0 1 0 1
0 1 1 1
p p q p q∨∼ ∼
 
 
126. 
1 0 1 1
1 0 0 0
0 1 1 0
0 1 0 1
p p q p q¬ ¬ ⊕
 
 
127. 
1 0 1 0
1 0 0 1
0 1 0 0
0 1 1 0
p p q p q⊥∼ ∼
 
 
128. 
NAND
1 0 1 1
1 0 0 1
0 1 0 1
0 1 1 0
p p q p q¬ ¬
 
 
129. 
1 0 1 1
1 0 0 1
0 1 1 1
0 1 0 0
p p q p q⇒∼ ∼
 
 
2) Fundamentos numéricos 
 
2.1 Los números 
Los sistemas numéricos que más se usan en matemáticas financieras son: 
 
a) Los números enteros (positivos y negativos), siendo aquellos mayores a cero 
usados principalmente para conteos e indexación. 
 
Ejemplo 130 
 
3, 2, 1,0,1,2,3− − − 
b) Los racionales (expresables como fracciones comunes o decimales y mezclas de 
enteros con fracciones): 
Ejemplo 131 
1 1 1
, , ,0.25,.5,1.5
4 3 2
− − − 
c) Y los algebraicos en general, es decir, soluciones de polinomios no nulos con 
coeficientes racionales: 
Ejemplo 132 
2
2
0
4
2
ax bx c
b ac
x
a
+ + = ∴
± −=
 
“ x ” es la raíz de algún polinomio cuadrático y " "," "," "a b c son números racionales, 
donde además, exigimos que 24 , 0ac b ac< ≥ , si queremos tener números reales. Nótese 
que si el producto de “a ” y “ c ” es negativo, entonces no importa que magnitud tenga 
este producto, ya que al multiplicarse por el signo negativo que antecede al “4”, se 
volverá una magnitud positiva. 
 
Ocasionalmente se usan aproximaciones de números transcendentales (números que no 
son soluciones de ningún polinomio no nulo, con coeficientes racionales) 
Ejemplo 133 
3.1415926535
2.7182818284590452354e
π ≈
≈
 
La razón por la que se usa la palabra “aproximaciones” es porque la cantidad de dígitos 
representables en una calculadora o computadora, por poderosa que sea, siempre es 
finita, cuando los números reales se pueden representar en forma exacta únicamente a 
condición de usar una cantidad infinita de dígitos; dicha aproximación equivale a un 
número racional. De hecho las aproximaciones se pueden (y tienen) que usarse para 
expresar los números algebraicos y algunos racionales, como veremos más adelante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A los números los podemos agrupar de acuerdo al siguiente diagrama de Venn: 
 
 
 
Ejemplo 134: 
Nótese que la anidación que tienen los diferentes conjuntos de números sugiere, por 
ejemplo, que los naturales son parte de los enteros (pero no todos, ya que los enteros 
abarcan también al negativo de todos los naturales más el cero), o que los algebraicos 
abarcan a todos los conjuntos que allí estén anidados, incluyendo aquellos que aunque 
no sean racionales, ni enteros, sean soluciones de polinomios no nulos con coeficientes 
racionales. Sin embargo, en este libro, cuando hablemos de “racionales” (por ejemplo) 
nos estamos refiriendo a todos aquellos números que sean abarcados nada más por la 
definición de racional, es decir, que incluya fracciones y de ninguna manera incluimos a 
sus subconjuntos. 
 
Además, en este libro no se usarán los números complejos ni imaginarios, aunque 
algunas ramas de la [economía] sí hagan uso ocasional de ellos, que consideran a los 
movimientos económicos como sistemas dinámicos lejanos del equilibrio, y que usan 
fractales o inteligencia artificial. 
 
Recordemos que en lo que se refiere a las operaciones aritméticas fundamentales: 
Nombre de la operación Nombre del resultado Se compone de 
Adición Suma Sumandos 
Sustracción Diferencia Minuendo y sustraendo 
Multiplicación Producto Factores 
División Cociente Dividendo y divisor 
 
 
Ejercicios: 
Diga si los siguientes números son racionales, enteros, o algebraicos. 
 
135. ;bx a a b= ∧ ∈ ℕ 
136. 315898989897− 
137.5.789 
 
Respuestas: 
135. Algebráico (porque " "x es solución de la ecuación polinomial 0bx a− = , donde 
" " y " "a b pertenecen al conjunto de los números naturales. 
136. Entero 
137. Racional 
 
 
 
 
 
2.2 Breve descripción de conceptos financieros usados en este capítulo. 
 
Con el fin de hacer más eficiente la combinación de los conceptos financieros y las 
matemáticas que los componen, en esa sección se hará una descripción somera de ellos, 
y los ejemplos matemáticos serán distribuidos a lo largo del resto de las secciones de 
este capítulo. Un tratamiento similar será expuesto en todos los capítulos subsecuentes. 
 
Registro de transacciones: Una transacción financiera es el cambio en el estado de 
las finanzas de dos o más negocios o individuos; de esta manera, las compras y 
ventas son parte de las transacciones, y su registro se puede hacer, por ejemplo, con 
números racionales negativos (compras) y positivos (ventas). 
Ejemplo 138 
Compras Ventas 
20 Kg Papel@$30/Kg 100 revistas@$20/pieza 
2 litros de tinta@$5/litro 
=-610 =2000 
 
 
Reconciliación de informes bancarios y chequera: Un informe bancario es un 
documento emitido por una entidad bancaria con el fin de informar a sus clientes 
sobre las transacciones realizadas en un cierto período, digamos, mensualmente. Las 
transacciones registradas suelen incluir los ingresos, egresos, transferencias 
bancarias, y pagos a cheques emitidos desde una cierta cuenta bancaria que los 
clientes posean. Los pagos con la chequera son una parte de las transacciones 
realizables dentro de alguna cuenta bancaria. Suponiendo que se tuviese una cuenta 
bancaria dedicada únicamente a la chequera, entonces el balance de la chequera 
consistiría en comparar las ganancias monetarias que van a dar a la cuenta de esta 
chequera, contra la suma de los cheques emitidos por esta persona durante el 
período de tiempo respectivo. Por ejemplo, si la chequera pertenece a una cuenta de 
nómina, y la persona recibe dinero cada mes, entonces el balance es la suma de los 
cheques emitidos en el mes anterior y luego sustraer esta suma al depósito de la 
nómina.Ejemplo 139: 
Cheque #...a favor de Cantidad Balance 
1…”x” 2000 (ingresos): 7000 
2…”y” 3000 
3…”z” 1200 
 6400 (total gastado) (diferencia):7000-6400 
=600 
 
Nómina: (del plural en latín de nomen = nombre) es la lista de personas que cobran 
en una empresa o institución, y que deben de justificar dicho cobro mediante su 
firma. 
Ejemplo 140: 
Una firma tiene 2000 empleados y en promedio se les paga $10,000 mensuales 
¿cuánto paga la firma por sus empleados anualmente? Respuesta: 
2000 10000 12 240millones× × = 
 
Salario anual: es la percepción monetaria de una persona por año. Algunas veces nos 
puede interesar cuánto gana la persona por mes. O al revés, sabiendo cuánto recibe 
en la nómina cada quince días o mensualmente, nuestro propósito sería saber cuánto 
gana anualmente. 
Ejemplo 141: si a una persona se le paga mensualmente y gana $60,000 anuales, 
¿cuánto gana mensualmente? R: 
60000
$5000
12
= 
 
Honorarios por hora: Algunas personas cobran por hora devengada de trabajo. Sus 
ganancias son iguales al número de horas trabajadas, multiplicadas por sus 
honorarios. 
Ejemplo 142: Un técnico de computadoras cobra $245/hora, ¿cuántas horas habrá de 
trabajar, si quiere juntar al menos $2450? R: 2450 245 10÷ = 
 
Honorarios por destajo: Algunas personas (como algunos albañiles) cobran por 
trabajo terminado. Entonces sus ingresos dependen literalmente de cuán arduo 
trabajen y de en cuanto se pague el trabajo que se supone deben terminar. 
Ejemplo 143: 
Si a un albañil se le pagaría $500 por construir una barda y al final del primer día ha 
terminado el 80% de la misma, ¿cuánto recibe el primer día? 
Respuesta: 500 0.8 400× = 
 
Precio de venta y ganancia: Entre el costo de producción de un artículo y el precio 
de venta al consumidor final hay una diferencia. Dicha diferencia representa una 
ganancia y puede haber varios niveles de compra/venta. Entre la fábrica y los 
vendedores al consumidor directo (también llamados detallistas, o vendedores al 
menudeo) suele haber intermediarios o compradores al mayoreo, es decir, gente que 
compra en grandes cantidades y cuya ganancia reside más en el volumen de ventas 
que en la diferencia entre lo que le costó y el precio en que vendió la mercancía. 
 Ejemplo 144: 
Si una persona compra una joya a $3000, y le quiere ganar al menos el 10%, ¿a qué 
precio debería ofrecerla para su venta? 
Respuesta: 
3000
3000 $3300
10
+ = 
 
Comisiones: Es el porcentaje sobre el precio de algún artículo que puede ganar un 
vendedor perteneciente a una empresa. 
 Ejemplo 145: 
A un vendedor se le da un 5% de comisión sobre el precio de venta, de cada coche 
que logre vender. ¿Cuánto ganaría, si vende un automóvil en $60000 y otro de 
$40000? 
Respuesta: 60000 0.05 40000 0.05 5000× + × = 
 
Deducciones de nómina: Las empresas, instituciones o contratistas de construcción 
por ley necesitan hacer pagos a los seguros de gastos médicos (u otros, como 
vivienda o aportaciones para la jubilación, dependiendo de la ley de cada país); 
dicho pago suele ser complementado por pagos que se requieren directamente del 
salario en bruto del trabajador; es decir, a su salario declarado en las oficinas 
dedicadas a la recaudación de impuestos, se les descuenta todos aquellos pagos que 
se deban hacer a los diferentes rubros de asistencia social a que tenga derecho el 
trabajador, y puesto que es un descuente que se debe hacer por ley, en este sentido 
también son una obligación estos rubros de asistencia social. 
Ejemplo 146: 
 Una persona recibe de la nómina $10000 mensuales en bruto, pero antes de recibir 
su dinero le deducen $145 de su aportación para el ahorro de jubilación y $254 para 
el seguro de gastos médicos. ¿Cuánto gana en salario neto esta persona? 
Respuesta: ( )10000 145 254 9601− + = 
 
Acciones: Una acción es cada una de las partes alícuotas (es decir, resultado de una 
división equitativa) en que se divide el capital de una sociedad anónima. Esta parte 
alícuota puede ser representada en un documento oficial, que para la mayoría de las 
grandes empresas, es una forma de posesión de la misma. Dependiendo de los 
movimientos económicos que existan en el mercado de valores, las acciones pueden 
subir o bajar de precio, lo cual se puede volver una oportunidad de ganancia (o un 
evento de pérdida) para los poseedores de las mismas. 
Ejemplo 147: 
Las acciones de la Apple valen $100 en noviembre del 2000; pero el 23 de Octubre 
del 2001, Apple lanza al mercado el “iPod” (en aquel entonces únicamente capaz de 
reproducir algunos archivos de audio) y sus acciones valen ahora un 250% sobre del 
precio que tenían en ese momento; además, la firma Toshiba fabrica los discos 
duros que almacenan la información dentro de los iPods, y por lo tanto, sus acciones 
también subieron, aunque un 30% menos que lo que pudieron subir las acciones de 
Apple, con un precio original también de $100. ¿Cuál es el precio final de las 
acciones de la Apple y de la Toshiba? 
Respuesta: ( )
:100 100 2.5 350
: (100 100 2.5) 1 0.3 245
Apple
Toshiba
+ × =
+ × × − =
 
 
Bonos: En general, los bonos son documentos que emiten los gobiernos de muchos 
países para financiarse, y que prometen pagar a su poseedor la suma que allí se 
estipule, más un cierto porcentaje de rendimiento. Dicho rendimiento se suele 
relacionar con algún período de tiempo, generalmente anual. 
Ejemplo 148: 
Los bonos de la tesorería nacional se venden con un valor de $100, y pagan un 
rendimiento anual del 11%. Si al final del año cambio mi bono por efectivo, ¿cuánto 
me habrán de pagar? 
Respuesta: ( )100 100 .11 111+ × = 
 
Tarjetas de Crédito: Las tarjetas de crédito son instrumentos de compra, a través de 
un objeto plástico plano, de forma cuadrangular y de un tamaño entre 5-7 cm de 
largo y 3-4 cm de alto. Suelen poseer un microprocesador sencillo, una pista 
magnética y otros elementos de seguridad, entre ellos el nombre y la firma del 
poseedor de la tarjeta, llamado tarjetahabiente. Financieramente hablando, las 
tarjetas de crédito representan un dinero que la persona no tiene ahorrado en ningún 
lado, y que sin embargo puede hacerse uso de él. Los bancos que emiten tarjetas de 
crédito suelen ganar un porcentaje sobre el saldo insoluto, es decir, sobre la cantidad 
de dinero que aún no ha sido pagada del crédito que se ha usado. 
Ejemplo 149: 
Una persona tiene un crédito de $35000, y ha usado del mismo $30000 con su 
tarjeta de crédito. Supongamos que la tasa de interés es del 15% anual. ¿Qué 
porcentaje de su crédito ha usado? Si la persona decide saldar su crédito un mes 
después, ¿cuánto deberá pagar de intereses? 
Respuesta: 
( )
30000
% : 100 85.71%
35000
:30000 30000 .15 12 30375
usado
pago
× ≈
+ × ÷ =
 
 
Inflación: es el alza de los precios en general; se le suele representar como un 
porcentaje respecto de los precios anteriores. 
Ejemplo 150: 
Supongamos que la inflación anual es del 7%. Si un objeto costaba $100 al principio 
del año ¿cuánto costará al cambiar el año? 
Respuesta: ( )100 100 0.07 107+ × = 
 
Devaluación: Es la disminución del valor de la moneda de algún país, respecto de la 
de otro país. También se le suele representar como un porcentaje respecto del valor 
anterior. 
Ejemplo 151: 
Supongamos que al principio de un período de tiempo el dólar se cotizaba a la venta 
en $10. Si al final de ese período de tiempo subió el dólar a $11 ¿En qué porcentaje 
se devaluó el peso contra el dólar? ( )1/10 100 10%− × = − 
 
Impuesto de bienes y servicios (IVA o impuesto al valor agregado en México): Es 
un impuesto que cobra por la suma de los cambios que sufren los productos, al irse 
transformando de materias primas a objetos muy elaborados, por ejemplo, aparatos 
electrónicos. Lo inventó el economista francés Maurice Lauré en 1954, con el fin de 
que fuera más equitativa la distribución de costos en las cadenas de producción. De 
esta manera, los consumidores finales, en general, no se supone que puedan 
recuperar el IVA, pero todos los negocios o