TRABAJO Y ENERGIA E321 fisica online ejercicios resueltos

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NO ME SALEN 
PROBLEMAS RESUELTOS DE FÍSICA DEL CBC
(Leyes de conservación, choque elástico, energía mecánica)
 
3.21­ Dos esferas de masa mA y mB están suspendidas de modo tal que en su
posición de equilibrio sus centros de masa quedan a la misma altura. Se separa
la esfera A de la posición inicial y se la deja caer desde una altura h contra la
esfera B, con la que choca en forma perfectamente elástica.
La relación entre sus masas es mA/mB = 3. Luego la altura a la que llegará la
esfera B será:
          a) 2 h              b) 1/4 h         c) h 
          d) 9/4 h          e) 2,5 h          f) 3/2 h
Bueno, acá tenés un problema largo y complicado. Pero tu consigna tiene que ser: yo
voy a hacer toda la física que pueda con este choque elástico. Y te aseguro, con eso
alcanza.
Hice una serie de esquemas con la secuencia de eventos encadenados que
vincularemos de a dos, siempre de a dos. Como de costumbre, aprovecho los
esquemas para ponerle nombre a los eventos y a cualquier otra variable que, después,
aparezca en el desarrollo del problema.
   
Bueno, acá tenés, todo empieza
en el instante 0. La bola A se
separa hasta alcanzar una altura
h0A. Cae en un proceso estilo
péndulo y en forma que, damos
por supuesto, es conservativa.
Ahí choca con la bola B. La
velocidad de la bola B justo
antes del choque es 0, y la de la
bola A no la conozco, pero se
llama v1A.
El choque se produce en forma
totalmente elástica. Eso nos da
dos informaciones importantes:
no sólo se conserva la cantidad
de movimiento (del conjunto de
las dos bolas) sino que también
se conserva la energía mecánica
del sistema bibolar (¿?).
Un instante después del choque,
evento al que llamé 2, las bolas
salen despedidas (en este caso
ambas hacia la derecha) con
distintas velocidades.
Cada una, entonces alcanzará
finalmente, F, diferentes alturas.
La que alcanza la bola A la llamé
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hFA, y la que alcanza la B, hFB.
Esta última es la que pide
averiguar el enunciado. Vamos a
hallar ambas, que es mucho más
interesante.
   
Arranquemos con la bajada de la bola A. Es una transformación conservativa de modo
que
EMAo = EMA1
Si tomo el cero de alturas en la posición más baja y recuerdo que la bola A se suelta
desde el reposo ("se la deja caer")...
mA g h0A = ½ mA v1A²
de donde
   
  v1A² = 2 g h0A [1]    
Ahora le sigue el choque. Aunque te enojes voy a plantear las ecuaciones completas, y
después tiro todo lo que sobra. Acá va la de conservación de la cantidad de
movimiento, vale para TODOS los choques, sean del tipo que sean.
mA v1A + mB v1B = mA v2A + mB v2B
Y aquí la de conservación de la energía que solo se aplica en los choques
perfectamente elásticos (idealmente elásticos)
½ mA v1A² + ½ mB v1B² = ½ mA v2A² + ½ mB v2B²
Ok... ahora tiramos todo lo que sobra, v1B es cero, se lleva todo el término; ½ se
cancela porque aparece en todos los términos... ¡Y lo más importante! vamos a realizar
   
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un inteligente reemplazo en ambas ecuaciones, utilizando ese dato curioso que nos
brinda el enunciado, a saber, que mA = 3 mB
  3 mB v1A = 3 mB v2A + mB v2B [2]
  3 mB v1A2 = 3 mB v2A² + mB v2B² [3]
   
Ahora puedo cancelar las masas ya que aparecen en todos los términos.    
  3 v1A = 3 v2A + v2B [4]
  3 v1A2 = 3 v2A² + v2B² [5]
   
Esto ya tiene otro color. La velocidad v1A no me preocupa, ya me dice cuánto vale la
ecuación [1], pero las otras dos... voy a tratar de expresar una en función de la otra.
Hay miles de caminos posibles, a ver si te gusta éste. La ecuación [4] la elevo al
cuadrado (ojo, mirá que el segundo miembro es un binomio), esa es la [6]. Y a ella le
resto la [5] multiplicada por 3, que es la ecuación [7]. No te pierdas.
   
  9 v1A2 = 9 v2A² + v2B2 + 6 v2A . v2B [6]
  9 v1A2 = 9 v2A² + 3 v2B² [7]
   
Supongo que ya te diste cuenta para qué multipliqué la [5] por 3. Mirá cómo queda
esa resta... [6] — [7] = [8] (viste que plomo que es el álgebra... no entiendo cómo
hay gente que le gusta)
   
          0 = 0 — 2 v2B2 + 6 v2A . v2B [8]
entonces  
  2 v2B2 = 6 v2A . v2B  
y finalmente  
  v2B = 3 v2A [9]
ahora con esta sencilla relación puedo volver para atrás, por ejemplo a la ecuación
[4] y reemplazarla
  3 v1A = 3 v2A + 3 v2A  
    v2A = (1/2) v1A [10]
y si meto la [9] en la [10]
  v2B = (3/2) v1A [11]
las elevo al cuadrado la [10] y la [11] y aparecen
  v2A² = (1/4) v1A² [12]
  v2B² = (9/4) v1A² [13]
Todavía falta la subida de cada bola desde el evento 1 (justo después del choque)
hasta el F (la altura máxima que alcanzan). Son ascensos conservativos así que...
   
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  ½ mA v2A² = mA g hFA  
  ½ mB v2B² = mB g hFB  
Simplificando un poco la cosa:  
  hFA = v2A² / 2 g [14]
  hFB = v2B² / 2 g [15]
Meto la [12] en la [14], y la [13] en la [15].
  hFA = (1/4) v1A² / 2 g [16]
  hFB = (9/4) v1A² / 2 g [17]
Ya llegamos. Reemplazo la [1] en la [16] y en la [17] y aparece la respuesta
  hFA = (1/4) h0A  
  hFB = (9/4) h0A respuesta d)
   
Bueno, como viste, este problema tiene 90% de álgebra y 10% de física. Pero ya que
nos tomamos tanto trabajo... hagamos una linda discusión y vas a ver que valió la
pena. Hay más física esperándote.
   
DISCUSION: Por simple curiosidad... ¿cuánto te parece que debe valer la energía
mecánica final del sistema? ¡La misma que la inicial, claro! ¡Si todas las
transformaciones que hubo fueron conservativas! Y la energía mecánica final es
puramente potencial, porque en F los cuerpos tienen velocidad cero. Entonces
EMF = EPFA + EPFB = mA g hFA + mB g hFB
= mA g (1/4) h0A + mB g (9/4) h0A
y reemplazando la relación de masas mB = (1/3) mA
= mA g (1/4) h0A + (1/3) mA g (9/4) h0A
= mA g (1/4) h0A + mA g (3/4) h0A = mA g h0A = EM0 !!!
 
DESAFIO: El sistema evoluciona de esta manera: Las bolas vuelven a bajar y vuelven
a chocar... ¡justo en el punto más bajo de la trayectoria! Se trata de un encuentro
formidable, una cita espectacular. En ese encuentro, en ese nuevo choque la bola B
empuja a la A, transfiriéndole su energia, de forma tal que la B se queda detenida y la
A gana velocidad para poder alcanzar la altura inicial... y así sigue eternamente.
Contarlo es divertido, ¡y demostrarlo es súper sencillo! Ese es el desafío: me alcanza
con que demuestres que aunque las dos bolas salieron con distintas velocidades y
alcanzaron distintas alturas... se van a volver a encontrar en la misma en la posición
que chocaron antes, al que llegan en el mismo e increíble instante.
 
Algunos derechos reservados. Se permite su reproducción citando la fuente. Dijo
Albert Einstein: "toy cansado". Última actualización nov­06. Buenos Aires,
Argentina.
 
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