funciones rango

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FUNCIONES 
1. DEFINICION – DOMINIO Y RANGO 
Antes de definir función, uno de los conceptos fundamentales y de mayor importancia de 
todas las matemáticas, plantearemos algunos ejercicios que nos eran de utilidad para 
comprender dicho concepto. 
 Tenemos una tienda vende camisas a $50 cada una, a partir de este dado completar la tabla y 
dibujar la grafica correspondiente de esta relación. 
Nº camisas Precio 
1 50 
2 100 
3 150 
4 200 
5 250 
6 300 
 
 
Los datos que aparecen en a tabla siguiente se registraron cada dos horas para medir la 
temperatura (en ºF) en una ciudad determinada. Utilizando los datos para trazar una grafica de 
T en función del tiempo. 
t T 
0 58 
2 57 
4 53 
6 50 
8 51 
10 57 
2 61 
 
 
46
48
50
52
54
56
58
60
1 2 3 4 5 6
T
T
 
45
50
55
60
1 2 3 4 5 6
T
T
 
La grafica de la derecha muestra el eso de una persona como función de su edad. Describe en 
el espacio de la izquierda la forma en que su peso ha variado a lo largo del tiempo. ¿Qué 
piensas que ocurrió cuando esta persona tenia 30 años? 
 
A partir de los ejemplos anteriores tenemos una idea de por que son importantes las funciones 
en todos los campos del ser humano. Por ejemplo, un economista observa el comportamiento 
del precio de un artículo dependiendo de su demanda; un química se da cuenta del efecto de 
un medicamento con el paso del tiempo, y ambos intentan descubrir la regla o función que 
relaciona las cantidades en estudio. En la siguiente tabla, los números del reglón superior 
están relacionados con los del reglón inferior. 
 
 En este caso es fácil observar que existe una regla que relaciona ambos renglones. Esa regla es 
“elevar el numero del renglón superior al cuadrado”. Para identificar apropiadamente esta 
regla, es necesario que le demos un nombre particular: llamémosla f. De acuerdo con ello, el 
ejemplo anterior puede describirse en estos términos: 
f es la regla “elevar al cuadrado” 
Esta regla se puede expresar algebraicamente de dos maneras: usando notación de flechas o 
funciones: 
� ���� ó ���� 	 �� 
Nosotros usaremos la notación de funciones, f(x), que se lee “f de x”, porque es mas practica y 
fácil. 
Por ejemplo, si escribimos f(3), queremos decir: aplicar la regla f a 3. Por lo tanto, f(3) = 32 = 9. 
Con todo lo antes dicho, estamos en condiciones de definir función. 
FUNCION: es una regla f que asigna a cada elemento X de un conjunto A exactamente un 
elemento, llamado f(x), de un conjunto B. 
Ejemplos: 
1. La función elevar al cuadrado asigna a cada numero real X su cuadrado X2, y se define 
como 
���� 	 �� 
Si quisiéramos evaluar 
��2�, 
�5�� 
�√5�, obtendríamos los valores sustituyendo x, en 
���� 	 ��: 
��2� 	 ��2�� 	 4 
�5� 	 5� 	 25 
�√5� 	 �√5�� 	 5 
Ahora pensemos en la función raíz cuadrada de un número, es decir 
��� 	 √�, y 
reflexionemos en cuales valores reales podríamos asignar a X. 
Es evidente que estos valores tienen que ser mayores que o iguales a cero, es decir, X ≥ 0. 
 
1.1 DOMINIO 
Son los valores que se pueden asignar a la variable X, en el conjunto A generalmente son 
números reales. 
 
1.2 RANGO 
El símbolo f(x) es el valor de f en x, llamado también imagen de X, bajo f. El rango de f es el 
conjunto de todos los posibles valores de f(x) conforme X cambia en todo su dominio. 
El símbolo que representa un número arbitrario de valores en el dominio de una función f se 
denomina variable independiente, y el correspondiente al rango se llama variable 
dependiente. Por ejemplo, en el caso de la grafica del peso de una persona, la edad es la 
variable independiente y el peso la variable dependiente. 
 
Ejemplos 
2) Definimos g(x) = x2, de forma que el dominio de este en el intervalo 0 ≤ x ≤ 3. Entonces, el 
rango estará en: 
0 ≤ x2 ≤ 9 
3) si ���� 	 �� � �� � �, evaluar: 
a) f(a) 
b) f(-a) 
c) f(a+h) 
d) 
�����������
� 
 
a) ���� 	 �� � �� � � 
 
b) ����� 	 ����� � ����� � � 	 �� � �� � � 
 
 
c) ��� � �� 	 �� � ��� � ��� � �� � � 
 	 �� � ��� � �� � �� � �� � � 
 
d) 
�����������
� 	 ��
���������������������������
� 
 	 ���������� 	 ���������� 	 �� � � � � 
 
4) Determinación del dominio de las funciones 
Tenga en cuenta que el dominio ese el conjunto de todos los números reales para los cuales la 
expresión algebraica tiene sentido y define un numero real. Recuerde que la división entre 
cero no esta definida y que en una raíz par el radicando deber ser mayor que o igual a cero. 
a) ���� 	 ����� 
Cuando la función es una fracción el denominador debe ser diferente a cero, es decir 
�� � � � � o bien, x ≠ 0 y x ≠1. Por lo tanto el dominio son todos los números reales excepto 
0 y 1. 
 
b) ���� 	 �√��� 
 t + 1 > 0, si resolvemos la desigualdad, t > -1. Entonces, el dominio son todos los números 
reales mayores que -1. 
 
c) ���� 	 √� � � � �� 
� � � � �� ≥ 0 o bien, factorizando la expresión (2 + x) (1 – x) ≥ 0. Resolviendo: 
2 � � 0 � � �� 1 � � 0 � �� �1 � � # � 
Por tanto, el dominio de h(x) va desde -2 hasta 1, es decir -2 ≤ x ≤ 1. 
 
5) expresar la regla dada en forma de función. 
a) Al cuadrado de un número restarle 3. 
Rta: ���� 	 �� � � 
b) Elevar al cubo un numero, restarle 5 y finalmente, sacarle raíz cuadrada. 
Rta: $��� 	 √�� � % 
 
6) Expresar cada función con palabras 
a) ���� 	 ��� � � 
Rta: El doble de un numero al cuadrado menos 3 unidades. 
b) &��� 	 '���( 
Rta: la raíz cuadrada del cociente de un numero mas 1 entre 4 unidades. 
 
2. GRAFICA DE UNA FUNCIION 
La grafica de una función f(x) es el conjunto de todos los puntos (x, y) tales que y = f(x). En 
otras palabras, estos son los puntos que corresponden a la ecuación y = f(x). 
La grafica de una función es de gran relevancia, porque ilustra fácilmente su dominio, rango, 
punto de interés, etc. 
 
Una ecuación de la forma f(x) = mX + b, representa una función lineal, es decir, una recta con 
pendiente m e intersección en el eje y igual a b. 
 
2.1 FUNCION CONSTANTE 
Cuando la pendiente de una función lineal es cero, la ecuación se reduce a f(x) = b, y el 
resultado es un caso especial de la recta, que se conoce como función constante. 
 
Las siguientes funciones se presentan frecuentemente en el estudio de las matemáticas y en 
aplicaciones de la vida cotidiana. Para trazar su grafica basta con elaborar una tabla de valores 
y marcar los puntos obtenidos. 
 
2.2 FUNCION LINEAL 
Una función lineal es aquella que tiene la forma, o puede ser llevada a la forma: 
y = f (x) = ax + b , con a ≠ 0 , a, b Є IR 
Propiedades 
1. El gráfico de una función lineal es siempre una línea recta. 
2. El coeficiente a es la pendiente de la recta y=ax+b. 
Cuando a>0, la función lineal es creciente, y cuando a <0, la función lineal es decreciente. 
 
 
3. El dominio y el recorrido de una función lineal es IR. 
4. La función lineal y = f (x) = ax + b, con a ≠ 0 es inyectiva (y sobre), por lo tanto, tiene inversa. 
Su inversa es también una función lineal: ������ 	 ��� � )� 
 
Observación. Ecuación general de la recta 
La ecuación general de una recta es Ax+By+C=0 con A ≠ 0 o B ≠ 0 . 
• Cuando B=0, la gráfica es una recta paralela al eje Y o coincidente con este eje. 
• Cuando B ≠ 0 , la gráfica es una recta que tiene pendiente igual a: * 	 � �) 
 
 
 
2.3 FUNCION CUADRATICA O PARABOLICA 
Una función cuadrática es aquella que tiene la forma, o puede ser llevada a la forma: 
+ 	 ���� 	 ��� � )� � ,, ,-. � � �, �, ), , / 01 
Propiedades de una función cuadrática 
1. El grafica de una función cuadrática es una parábola. 
2. La grafica de + 	 ���� 	 ��� � )� � , intercepta al eje Y en el punto (0,c) 
La grafica de + 	 ���� 	 ��� � )� � , intercepta el eje X cuando ∆ = 2� � 434 0, y en tal 
caso, las abscisas de los puntos de intersección son las raíces de la ecuación ��� � )� � , 	 � 
3. Su grafica es unaparábola cuyo vértice es el punto 5� 6�7 , 
�� 6�7�8. 
4. La recta vertical � 	 � 6�7 es una recta eje de simetría de su grafico. 
5. Si a > 0 la parábola se abre hacia arriba, y si a < 0 se abre hacia abajo. 
 
 
2.4 FUNCION CUBICA 
Una función cúbica es aquella que tiene la forma, o puede ser llevada a la forma: 
+ 	 ���� 	 ��� � )�� � ,� � :, ,-. � � �,�, ), ,, : / 01 
Un ejemplo de función cubica es la función � 	 
��� 	 ;<� 
 
Si graficamos correctamente una función f, resulta mas o menos sencillo encontrar su rango y 
el dominio. Por ejemplo, grafiquemos + 	 √= � ��. 
Si bosquejamos la grafica de la ecuación, nos daremos cuenta de que + �, de que la forma 
resultante es la mitad de un círculo. Por lo tanto, a partir de la grafica podemos ver el que el 
dominio es �3 # � # 3. 
 
 
 
2.5 PRUEBA DE LA RECTA VERTICAL. 
Una curva en el plano de coordenadas es la grafica de una función si y solo si ninguna recta 
vertical interseca la curva mas de una vez. 
 
 
EJEMPLO: 
Usando la prueba de la recta vertical, vemos que las curvas de las figuras que (b) y (c) 
representan funciones, mientras las figuras (a) y (d) no lo son. 
 
 
2.6 FUNCION DEFINIDA POR TRAMOS O INTERVALO 
En muchas ocasiones se requiere mas que una sola formula para describir una función. Se dice 
que estas funciones son funciones definidas por tramos o intervalos. 
Ejemplos de funciones definidas por tramos: 
a) 
��� 	 1 � 2� ?@ � A 1 
 � ?@ � 1 
b) 
��� 	 �� � 1, � A �1 
 � � 1, �1 # � A 3 
 4, � A 5 
GRAFICA DE UNA FUNCION NO ES GRAFICA DE UNA FUNCION 
El dominio de la función del ejemplo a) es IR; y en el ejemplo b) es ��∞, 3� C �5,�∞�. 
Como graficamos: 
a) 
��� 	 1 � � ?@ � # 1 
 �� ?@ � D 1 
1. Notamos que ?@ � # 1, entonces 
��� 	 1 � �, por lo que la parte de la grafica de f 
queda a la izquierda de la recta vertical x = 1, debe coincidir con la recta y = 1 – x, que 
tiene pendiente -1 e intersección en y = 1. 
2. ?@ � D 1 , entonces 
��� 	 ��, por lo que la parte de la grafica f se encuentra a la 
derecha de la recta x = 1 debe coincidir con la grafica � 	 ��. 
 
 
2.7 FUNCION VALOR ABSOLUTO 
La función valor absoluto, básica, se define: � 	 
��� 	 |�|. 
Propiedades 
1) Su dominio es IR, y su recorrido es FG� C H0I. 
2) La función 
��� 	 |�| es una función par. 
 
 
2.8 FUNCION RACIONAL 
Una función racional f, es una función definida por una expresión algebraica que es el cociente 
de dos polinomios: 
��� 	 J���K��� 
Donde p(x) y q(x) son polinomios, tal que q(x) ≠ 0. 
Ejemplos de funciones racionales: 
��� 	 4� � 1 
��� 	 1� 
��� 	 
� � 1
� � 3 
��� 	
� � 1
�� � � 
A continuación se presenta la grafica de la función racional 
��� 	 L; 
 
Trazado de la grafica de una función racional 
Para obtener un esbozo de la grafica de 
��� 	 M�;�N�;�, es necesario determinar: 
� El dominio de f. 
� Asíntotas verticales (si es que las hay), y horizontales. 
� Intersecciones de la grafica de f con el eje X, si es que existen, y con el eje Y. 
� Análisis de signos de f(x). 
� Grafica f en cada región del plano XY, determinadas por las asíntotas verticales. 
 
2.9 FUNCION RAIZ CUADRADA 
Ejemplos de funciones raíz cuadrada: la función 
��� 	 √�, la función 
��� 	 �√�, la función 
��� 	 √� � 1, etc. 
 
Grafica de la función 
��� 	 √� 
 
El dominio y el recorrido de esta función es FG� C H0I 
 
3. FUNCIONES DE USO PRACTICO 
Cuando se habla de un modelado matemático, para aun fenómeno del mundo real, se hace 
referencia a una función que describe por lo menos de manera aproximada la dependencia de 
una cantidad física de otra. Ejemplo: el modelo pudiera describir la población de una especie 
animal como función del tiempo, o la presión de un gas como función de su volumen. 
 
3.1 REGLAS PARA OBTENER FUNCIONES DE USO PRACTICO 
 
� Introducir anotación. Asigne un símbolo o letra a la cantidad buscada del problema y 
después seleccione símbolos para que las demás incógnitas. (la llamaremos Q) 
� Relacionar las cantidades. Obtenga ecuaciones que relacionen a Q y las demás 
variables del paso 1, utilizando la información dada. A menudo es útil dibujar un 
diagrama de las variables y cantidades dadas. 
� Eliminar variables innecesarias. Se en el paso 2 Q ha sido expresada como función de 
mas de una variable, utilice las relaciones existentes entre variables para eliminar todo 
excepto una de ellas en la expresión de Q. entonces Q quedara expresada como 
función de una sola variable. 
Ejemplo: Área de una superficie como función del radio. 
Una lata contiene 1Lt de aceite. Exprese el área de la superficie de a lata como función de su 
radio. 
r = radio 
h = altura 
 
ACEITE 
r 
h 
�OP� QRSPOT-O P T.�POT-O 	 UO��QRSPOT-O� � UO� �T.�POT-O� 
�OP� :P V-Q V�:-Q � �V�RO� 	 UO� � UO� 
WRSPO�T,TP � W 	 �UO� � �UO� 
Para eliminar h, utilizamos el volumen que es 1Lt = 1000 cm3 
X 	 UO�� 	 ���� � � 	 ����UO� 
Sustituyendo, 
W 	 �UO� � �UO����UO� 
W 	 �UO� � ����UO S�O� O D 0 
 
Nos da idea de la forma en que cambia el área de la superficie de una lata conforme se 
modifica el radio. 
Conforme r aumenta, al principio el área de la superficie S disminuye y después aumenta. 
 
3.2 VARIACION DIRECTA E INVERSA 
 
� Una variación directa, se presenta cuando una cantidad es un múltiplo constante de 
otra. 
Si X y Y están relacionas mediante la ecuación: 
Y 	 &Z 
Para alguna constante k ≠ 0 decimos que Y varia directamente con X, o que Y es directamente 
proporcional a X o simplemente que Y es proporcional a X. La constante k se conoce como 
constante de proporcionalidad. 
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
s
Ejemplo: durante una tormenta ve el rayo antes de oír el trueno porque la luz viaja a mayor 
velocidad que el sonido, la distancia entre usted y el centro de la tormenta varia directamente 
con la longitud del intervalo de tiempo entre el rayo y el trueno. 
a) Suponga que el trueno de una tormenta cuyo centro esta a 5.400 pies de distancia, 
tarda 5 segundos en alcanzarlo. Determine la constante de proporcionalidad. 
b) Si la longitud del intervalo de tiempo entre el rayo y el trueno es ahora de 8 segundos 
¿Qué tan lejos esta del centro de la tormenta? 
 
 
a) : 	 &� � %(�� 	 & [ % 
 & 	 ��\� � : 	 ��\�� 
 
b) Cuando t= 8 segundos 
: 	 ��\� [ \ 	 \](� STPQ :P :TQ��.,T� 
 
 
� Variación inversa ���� 	 & �^ 
Para alguna constante k ≠ 0 decimos que Y es inversamente proporcional a X, que Y varia 
inversamente con X. 
Ejemplo: la ley de Boyle dice que cuando una muestra de gas se comprime a una temperatura 
constante, la presión del gas es inversamente proporcional al volumen del mismo. 
a) Suponga que la presión de una muestra de aire que ocupa 0.106 m3 a 25ºC es 50Kpa, 
obtenga la constante de proporcionalidad y escriba la ecuación que exprese la 
proporcionalidad inversa. 
b) Si la muestra se expande a un volumen de 0.3 m3 determine la nueva expresión. 
 
a) S 	 &_ 
p = 50Kpa %� 	 &�.��] 
v = 0.106 m3 & 	 %. � `S� [*� 
S 	 %. �_ 
b) S 	 %.�%.� `S�[*��.�*� � S 	 �, %=`S�