169980682-Actividad-1

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SECRETARÍA DE EDUCACIÓN PÚBLICA
UNIVERSIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA DE MÉXICO
Carrera: Ingeniería en Telemática.
4o. Cuatrimestre.
Materia: Física I.
Unidad: 3. Electromagnetismo.
Actividad: 1. Foro: El uso de los modelos electrostáticos.
Facilitador: Julio César Reyna Escaname.
Alumno: Raúl Márquez Garza (AL12500577).
Fecha: 22 de septiembre de 2013.
Actividad 1. Foro: El uso de los modelos electrostáticos
Trabaja esta primera actividad con tus compañeros(as) de grupo. Para ello
realiza puntualmente los siguientes pasos:
1. Investiga por tu cuenta la ecuación de Poisson-Boltzmann y su aplicación en
los sistemas macromoleculares.
2. Entra al foro: El uso de los modelos electrostáticos, e intercambia opiniones
con tus compañeros(as) de grupo acerca de:
• La utilidad de la electrostática para el estudio de sistemas biológicos.
• La aplicación actual y sus posibles aplicaciones en la salud, el medio
ambiente y los alimentos.
3. Comparte tus conclusiones con los demás
4. Participa al menos dos veces y recuerda ser respetuoso(a) con tus
compañeros(as). Tu Facilitador(a) retroalimentará tu participación.
5. Descarga la Rúbrica de foro, para que conozcas los parámetros de
evaluación.
Documento descargable Da clic en el icono para descargar el documento.
Para ingresar al foro: En la ruta (parte superior izquierda del aula) da clic en
Física. Se enlistarán las actividades, da clic en Actividad 1. Foro: El uso de los
modelos electrostáticos.
Modelos electrostáticos.
de JULIO CESAR REYNA ESCANAME - lunes, 19 de agosto de 2013, 22:35
 
Estimado estudiante, nuevamente me dará mucho gusto iniciar este foro y con
mucho ánimo continuar leyendo tus comentarios y aportaciones sobre la
utilidad de los modelos electrostáticos, los cuales hacen referencia a la
situación donde dos cargas de determinados materiales entran en contacto
entre sí por fricción, originando una transferencia de electrones de uno de los
materiales al otro, por lo que ambos materiales se cargan eléctricamente.
 
En cuanto a su utilidad en sistemas biológicos, su relación está determinada
por la presencia de las estructuras biomoleculares que de forma adecuada
desempeñan una función metabólica altamente eficiente en el interior celular y
por tanto requieren de permanecer en medios acuosos, de ahí su importancia
y/o relevancia porque químicamente son sistemas que interactúan por
diferencia de carga proporcionada a partir del arreglo, distribución y secuencia
de sus átomos. Es por ello que las implicaciones en los alimentos, salud y
medio ambiente, está en estrecha relación y función de cambio, cuando varia la
concentración del medio acuoso en el que se encuentren las estructuras
químicas y/o sustancia de una fruta por ejemplo, su cantidad de agua en forma
de jugo o zumo, cambia o se diluye cuando la ingerimos, que si bien nos aporta
energía, también aportara e incrementará la concentración de iones Na+, K+ o
Ca+ (OH-) NH2- cuyo papel directo en el metabolismo celular cambia a su vez,
la capacidad de permeabilidad de la membrana, para el flujo libre o activo de
dichos iones hacia el interior de celular. Este o otros ejemplos puede ser
discutidos o referidos en el presente foro.
 
En base a lo anterior reitero mi compromiso y deseo de mejorar día con día al
reconocer su esfuerzo para cumplir con mucho entusiasmo las indicaciones
señaladas en esta actividad, en la cual te deseo suerte, paciencia y sabiduría
para tu logro.
 
Por favor y gracias escribe tus comentarios y/o participaciones, aquí mismo, de
tal forma que aparezca uno tras otro, para leer, comentar y conocer lo que
todos queremos decir.
Desarrollo de la Actividad
Ley de Gauss.
En física la ley de Gauss establece que el flujo de ciertos campos a través de
una superficie cerrada es proporcional a la magnitud de las fuentes de dicho
campo que hay en el interior de dicha superficie. Dichos campos son aquellos
cuya intensidad decrece como la distancia a la fuente al cuadrado. La
constante de proporcionalidad depende del sistema de unidades empleado.
Se aplica al campo electrostático y al gravitatorio. Sus fuentes son la carga
eléctrica y la masa, respectivamente. También puede aplicarse al campo
magnetostático.
Flujo del campo eléctrico.
El flujo (denotado como ) es una propiedad de cualquier campo vectorial
referida a una superficie hipotética que puede ser cerrada o abierta. Para un
campo eléctrico, el flujo ( ) se mide por el número de líneas de fuerza que
atraviesan la superficie.
Para definir al flujo eléctrico con precisión considérese la figura, que muestra
una superficie cerrada arbitraria ubicada dentro de un campo eléctrico.
La superficie se encuentra dividida en cuadrados elementales , cada uno
de los cuales es lo suficientemente pequeño como para que pueda ser
considerado como un plano. Estos elementos de área pueden ser
representados como vectores , cuya magnitud es la propia área, la
dirección es perpendicular a la superficie y hacia afuera.
En cada cuadrado elemental también es posible trazar un vector de campo
eléctrico . Ya que los cuadrados son tan pequeños como se quiera, puede
considerarse constante en todos los puntos de un cuadrado dado.
 y caracterizan a cada cuadrado y forman un ángulo entre sí y la figura
muestra una vista amplificada de dos cuadrados.
El flujo, entonces, se define como sigue:
O sea:
Flujo para una superficie cilíndrica en presencia de un campo uniforme.
Supóngase una superficie cilíndrica colocada dentro de un campo uniforme 
tal como muestra la figura:
El flujo puede escribirse como la suma de tres términos, (a) una integral en
la tapa izquierda del cilindro, (b) una integral en la superficie cilíndrica y (c) una
integral en la tapa derecha:
Para la tapa izquierda, el ángulo , para todos los puntos, es de , tiene un
valor constante y los vectores son todos paralelos.
Entonces:
siendo el área de la tapa. Análogamente, para la tapa derecha:
Finalmente, para la superficie cilíndrica:
Por consiguiente: da cero ya que las mismas líneas de fuerza que entran,
después salen del cilindro.
Flujo para una superficie esférica con una carga puntual en su interior.
Considérese una superficie esférica de radio r con una carga puntual q en su
centro tal como muestra la figura. El campo eléctrico es paralelo al vector
superficie , y el campo es constante en todos los puntos de la superficie
esférica.
En consecuencia:
Deducción de la ley de Gauss a partir de la ley de Coulomb.
Este teorema aplicado al campo eléctrico creado por una carga puntual es
equivalente a la ley de Coulomb de la interacción electrostática.
La ley de Gauss puede deducirse matemáticamente a través del uso del
concepto de ángulo sólido, que es un concepto muy similar a los factores de
vista conocidos en la transferencia de calor por radiación.
El ángulo sólido que es subtendido por sobre una superficie
esférica, se define como:
siendo el radio de la esfera.
como el área total de la esfera es el ángulo sólido para ‘’toda la esfera’’
es:
la unidad de este ángulo es el estereorradián (sr)
Si el área no es perpendicular a las líneas que salen del origen que
subtiende a , se busca la proyección normal, que es:
Si se tiene una carga "q" rodeada por una superficie cualquiera, para calcular el
flujo que atraviesa esta superficie es necesario encontrar para cada
elemento de área de la superficie, para luego sumarlos. Como la superficie que
puede estar rodeando a la carga puede ser tan compleja como quiera, es mejor
encontrar una relación sencilla para esta operación:
De esta manera es el mismo ángulo sólido subentendido por una
superficie esférica. como se mostró un poco más arriba para
cualquier esfera, de cualquier radio. de esta forma al sumar todos los flujos que
atraviesan a la superficie queda:
que es la forma integral de la leyde Gauss. La ley de Coulomb también puede
deducirse a través de Ley de Gauss.
Forma diferencial de la ley de Gauss.
Tomando la ley de Gauss en forma integral.
Aplicando al primer termino el teorema de Gauss de la divergencia queda
Como ambos lados de la igualdad poseen diferenciales volumétricas, y esta
expresión debe ser cierta para cualquier volumen, solo puede ser que:
Que es la forma diferencial de la Ley de Gauss (en el vacío).
Esta ley se puede generalizar cuando hay un dieléctrico presente,
introduciendo el campo de desplazamiento eléctrico . de esta manera la Ley
de Gauss se puede escribir en su forma más general como
Finalmente es de esta forma en que la ley de gauss es realmente útil para
resolver problemas complejos de maneras relativamente sencillas.
Forma integral de la ley de Gauss.
Su forma integral utilizada en el caso de una distribución extensa de carga
puede escribirse de la manera siguiente:
donde es el flujo eléctrico, es el campo eléctrico, es un elemento
diferencial del área A sobre la cual se realiza la integral, es la carga total
encerrada dentro del área A, es la densidad de carga en un punto de y 
es la permitividad eléctrica del vacío.
Interpretación.
La ley de Gauss puede ser utilizada para demostrar que no existe campo
eléctrico dentro de una jaula de Faraday. La ley de Gauss es la equivalente
electrostática a la ley de Ampère, que es una ley de magnetismo. Ambas
ecuaciones fueron posteriormente integradas en las ecuaciones de Maxwell.
Esta ley puede interpretarse, en electrostática, entendiendo el flujo como una
medida del número de líneas de campo que atraviesan la superficie en
cuestión. Para una carga puntual este número es constante si la carga está
contenida por la superficie y es nulo si está fuera (ya que hay el mismo número
de líneas que entran como que salen). Además, al ser la densidad de líneas
proporcionales a la magnitud de la carga, resulta que este flujo es proporcional
a la carga, si está encerrada, o nulo, si no lo está.
Cuando tenemos una distribución de cargas, por el principio de superposición,
sólo tendremos que considerar las cargas interiores, resultando la ley de
Gauss.
Sin embargo, aunque esta ley se deduce de la ley de Coulomb, es más general
que ella, ya que se trata de una ley universal, válida en situaciones no
electrostáticas en las que la ley de Coulomb no es aplicable.
Aplicaciones.
Distribución lineal de carga.
Sea una recta cargada a lo largo del eje z. Tomemos como superficie cerrada
un cilindro de radio r y altura h con su eje coincidente al eje z. Expresando el
campo en coordenadas cilindricas tenemos que debido a la simetría de
reflexión respecto a un plano z=cte el campo no tiene componente en el eje z y
la integración a las bases del cilindro no contribuye, de modo que aplicando la
ley de Gauss:
Debido a la simetría del problema el campo tendrá dirección radial y podemos
sustituir el producto escalar por el producto de módulos (ya que la dirección de
la superficie lateral también es radial).
Despejando el campo y añadiendo su condición radial obtenemos:
Distribución esférica de carga.
Considérese una esfera uniformemente cargada de radio R. La carga existente
en el interior de una superficie esférica de radio r es una parte de la carga total,
que se calcula multiplicando la densidad de carga por el volumen de la esfera
de radio r:
Si Q es la carga de la esfera de radio R, entonces, se tiene:
Dividiendo miembro a miembro ambas expresiones y operando
apropiadamente:
Como se demostró en una sección anterior y teniendo en
cuenta que según la ley de Gauss , se obtiene:
Por lo tanto, para puntos interiores de la esfera:
Y para puntos exteriores:
En el caso de que la carga se distribuyera en la superficie de la esfera, es decir,
en el caso de que fuera conductora, para puntos exteriores a la misma la
intensidad del campo estaría dada por la segunda expresión, pero para puntos
interiores a la esfera, el valor del campo sería nulo ya que la superficie
gaussiana que se considerara no encerraría carga alguna.
Ley de Gauss para el campo magnetostático.
Al igual que para el campo eléctrico, existe una ley de Gauss para el
magnetismo, que se expresa en sus formas integral y diferencial como
Esta ley expresa la inexistencia de cargas magnéticas o, como se conocen
habitualmente, monopolos magnéticos. Las distribuciones de fuentes
magnéticas son siempre neutras en el sentido de que posee un polo norte y un
polo sur, por lo que su flujo a través de cualquier superficie cerrada es nulo.
En el hipotético caso de que se descubriera experimentalmente la existencia de
monopolos, esta ley debería ser modificada para acomodar las
correspondientes densidades de carga, resultando una ley en todo análoga a la
ley de Gauss para el campo eléctrico. La Ley de Gauss para el campo
magnético quedaría como
 donde densidad de corriente , la cual obliga a modificar la
ley de Faraday
Caso gravitacional.
Dada la similitud entre la ley de Newton de la gravitación universal y la ley de
Coulomb, puede deducirse una ley análoga para el campo gravitatorio, la cual
se escribe
siendo G la constante de gravitación universal. El signo menos en esta ley y el
hecho de que la masa siempre sea positiva significa que el campo gravitatorio
siempre es atractivo y se dirige hacia las masas que lo crean.
Sin embargo, a diferencia de la ley de Gauss para el campo eléctrico, el caso
gravitatorio es sólo aproximado y se aplica exclusivamente a masas pequeñas
en reposo, para las cuales es válida la ley de Newton. Al modificarse la teoría
de Newton mediante la Teoría de la Relatividad general, la ley de Gauss deja
de ser cierta, ya que deben incluirse la gravitación causada por la energía y el
efecto del campo gravitatorio en el propio espaciotiempo (lo que modifica la
expresión de los operadores diferenciales e integrales).
Ecuación de Poisson-Boltzmann.
La ecuación de Poisson-Boltzmann es una ecuación diferencial que describe
interacciones electrostáticas entre moléculas en soluciones iónicas. Es la base
matemática para el modelo de la Doble Capa Eléctrica Interfacial de Gouy-
Chapman, propuesta inicialmente por Gouy en 1910 y completada por
Chapman en 1913. La ecuación es importante en los campos de la dinámica
molecular y la biofísica, porque puede usarse en el modelado de disoluciones
continuas, como aproximación de los efectos de los disolventes en estructuras
de proteínas, ADN, ARN, y otrasmoléculas en disoluciones de distinta fuerza
iónica. Algunas veces la ecuación Poisson–Boltzmann resulta difícil de resolver
para sistemas complejos, problema que se está solucionando con el desarrollo
del análisis numérico por computadora.
La ecuación puede escribirse como:
Donde:
 es el operador divergencia,
 representa la posicion-dependencia dieléctrica,
 representa el gradiente del potencial electrostático,
 representa la densidad de carga del soluto,
 representa la concentración del ion i a una distancia de infinito desde el
soluto,
 es la carga del ion, q es la carga del protón,
 es la constante de Boltzmann, T es la temperatura, y : es un factor para
la acesibilidad de la posicion-dependencia de la posición r hasta los iones en la
disolución.
Si el potencial no es grande, la ecuación se puede linealizar para así poder ser
resuelta más fácilmente, llevando a la ecuación Debye–Hückel.
Aplicación de la ecuación de Poisson en macromoléculas.
En el estudio de las macromoléculas es posible hacer uso de ecuaciones
utilizadas habitualmente en la dinámica de fluidos o en el electromagnetismo;
una de estas es la ecuación de Poisson, que es posible obtener a partir de la
ley de Gauss en forma diferencial:
con:
Reemplazando, se obtiene:
la cual es la ecuación de Poisson, si se toma en una región del campo donde la
densidad de carga es cero:
cuyaecuación es la ecuación de Laplace.
Una de las características del operador laplaciano es ser invariante, por que es
el resultado de dos operaciones sucesivas invariantes. Por ejemplo, el
laplaciano de un potencial electrostático es cero en regiones donde hay carga
espacial cero. Así, el problema general se remonta a encontrar el potencial
electrostático V correspondiente a una distribución de carga dada y encontrar
una solución de la ecuación de Laplace o de Poisson que satisfaga las
condiciones de contorno.
Condiciones de contorno.
•Potencial: en la frontera entre 2 medios diferentes el potencial debe ser
continuo. Una discontinuidad implicaría una intensidad infinitamente grande de
campo eléctrico, lo cual es imposible en la física. El potencial debe ser cero en
el infinito si la distribución de carga está extendida de manera finita, y debe ser
constante a través de algún conductor en todo el tiempo que las cargas estén
en reposo.
•
•Momento dipolar inducido: moléculas polarizadas o con un diminuto
desplazamiento de las cargas positivas (+) y negativas (-)
•Equilibrio de polarización: debe existir alineación neta.
Los modelos electrostáticos asumidos para estudiar las macromoléculas están
basados en la ecuación de Poisson. Las dificultades que esto implican tienen
que ver con el hecho de que, teniendo los modelos macromoleculares, se
requieren los métodos para aplicar la ecuación de Poisson. Si las cargas se
representan explícitamente como formas puntuales, y sus interaccione se
efectúan en el espacio libre, se puede aplicar como solución la ley de Coulomb:
donde la sumatoria se efectúa sobre todas las i, el término r1 es la posición y el
qi la magnitud de la i+n cargas puntuales.
En otros casos puede suceder que si la distribución de carga que genera el
potencial está presente en un medio complejo, es posible usar promedios
espaciales para cuantificar la respuesta del medio a los campos generados por
la distribución de carga.
Si el dieléctrico varía en el espacio, entonces la ecuación de Poisson toma la
forma:
Puesto que tal distribución de carga puede estar en un medio complejo se
puede promediar la respuesta del medio ante ese campo eléctrico por medio de
los momentos dipolares.
	Forma diferencial de la ley de Gauss.
	Forma integral de la ley de Gauss.
	Aplicaciones.
	Distribución lineal de carga.
	Condiciones de contorno.