ERRORES de MEDICION_Teoria

Vista previa del material en texto

Universidad Nacional de Rosario 
Facultad de Ciencias Veterinarias 
Física Biológica 
Nociones Básicas de la 
TEORÍA de ERRORES de MEDICIÓN 
Autor 
Dr. Danilo G. Renzi 
Profesor Titular 
Encargado de la Cátedra de Física Biológica 
Año 
2023 
"Lo que sabemos es una gota, lo que no sabemos es un océano." 
"Llegar a la verdad más simple requiere años de contemplación." 
Sir Isaac Newton 
 
Página 2 de 10 
 
1. NOCIONES BÁSICAS DE MEDICIONES 
1.1. Medir es comparar 
 En Física solemos hablar de magnitudes o de observables. En ambos casos 
nos estamos refiriendo a aquellas cosas que pueden medirse o determinarse 
experimentalmente. Longitud, área, volumen, masa, peso, tiempo, temperatura, 
presión, densidad, caudal, velocidad, fuerza, corriente eléctrica, son todos 
ejemplos de magnitudes físicas u observables. 
 En general, cuando se decide realizar una medición se cuenta con varios 
métodos e instrumentos posibles para cumplir con ese objetivo. Así, cada una de 
estas magnitudes físicas se puede medir en forma directa y/o indirecta. Diremos 
que la medición es directa cuando obtenemos la cantidad leyendo directamente 
en la escala del instrumento de medición. Por ejemplo, cuando se utiliza un 
termómetro de mercurio para medir la temperatura corporal de un animal. En 
cambio, la medición se denomina indirecta si para determinar una dada cantidad 
es necesario usar una relación matemática. Por ejemplo, cuando al determinar el 
área de un lote de campo rectangular, se miden las longitudes de los lados y 
luego se hace el producto entre ambas. 
 En cualquier caso, siempre habrá que realizar mediciones directas, y en 
general, necesitaremos contar con algún instrumento de medición. 
 Para medir una determinada magnitud física es necesario compararla con 
otra del mismo tipo. ¿Cómo haríamos para medir el ancho del salón si no 
contáramos con ningún elemento de medición? Podríamos contar cuántos pasos 
somos capaces de dar antes de completar toda su longitud. Alguien podría 
decirnos que eso depende mucho del tamaño de los pasos que hagamos. 
Entonces podríamos ir poniendo un pie a continuación de otro, y en lugar de 
obtener, por ejemplo 6 pasos, tendríamos como resultado 15 pies. Quizás una 
medición parezca más confiable que otra, pero en ambos casos la medición 
depende de la persona que la realizó. Posiblemente Juan no tenga pasos tan 
largos como Pedro, y sus pies no sean iguales. Además, si se quisiera construir 
un aula como ésta en Jujuy, los albañiles necesitarían contar con la presencia de 
Juan (o de Pedro). Entonces... ¿cómo podría resolverse este asunto? 
 Podría extenderse una cuerda todo a lo ancho del salón, y entonces ya no 
necesitarían viajar Juan o Pedro, sino la cuerda. Este es un avance, ¿pero no se 
podría hacer algo mejor? Una cuerda es flexible, se estira, con el tiempo se 
deteriora, se puede perder... qué tal si buscamos un objeto de una longitud 
apropiada, ni muy largo ni muy corto, que no se deteriore con el paso del tiempo 
(o lo haga muuuuuyyyy poquito, y además nos preocuparíamos de cuidarlo bien), 
que prácticamente no sea afectado por factores ambientales (temperatura, 
humedad, contaminación, etc.), y lo definimos como unidad, más aún, se lo podría 
bautizar “metro”. ¿Les parece bien? Pues bien, esto es lo que hizo en algún 
Página 3 de 10 
 
momento la humanidad. Una vez que hubo acuerdo sobre un “metro unidad” o 
“metro patrón”, todos los países del mundo lo copiaron para tener su réplica del 
metro patrón y cada fabricante de “reglas”, de cada país, hizo a su vez una copia 
para que no haya controversias entre los habitantes del mundo cuando midan una 
dada longitud. Desde ese momento, si medimos el ancho del salón y obtenemos 
un valor de 4,5 m (“cuatro coma cinco metros”) es suficiente información para los 
albañiles que trabajen en Casilda, Jujuy o China, lo hagan hoy, el mes próximo o 
dentro de 1000 años. 
 Medir es comparar. Comparamos la longitud correspondiente al ancho del 
salón con la longitud de un instrumento de medición cuya unidad es el metro, y 
observamos cuántas veces esa unidad está contenida en el ancho del salón. Para 
eso, debimos utilizar un procedimiento. Quizás el instrumento sólo tenga un metro 
de longitud, y lo hayamos trasladado una vez a continuación de otra (como había 
hecho Juan con los pies) para observar que, de un extremo a otro del salón, entra 
cuatro veces entera y media más. Podríamos quizás contar con una cinta métrica 
(un instrumento un poco más sofisticado), hacer coincidir el extremo de la cinta 
con un extremo del salón, estirarla, y leer directamente en su escala la división 
correspondiente al otro extremo. En ambos casos, ¿cuántos personajes participan 
de esta historia? Un objeto a medir (el ancho del salón), un instrumento de 
medición (la regla o cinta métrica), y un operador (la persona que realiza la 
medición). Además, hay un cuarto personaje que no debemos olvidar. Los 
instrumentos utilizados fueron fabricados a partir de un patrón de medida. Con el 
uso, esos instrumentos pueden deteriorarse o sufrir cambios, por lo cual muchas 
veces requieren de una calibración para que las mediciones sean confiables. Es 
importante comprender y recordar que el resultado de una medición depende no 
sólo del objeto medido, sino también del instrumento utilizado, del operador y del 
procedimiento o método empleado. 
1.2. La realidad es incierta 
 Imaginemos a un albañil muy cuidadoso, que además cuenta con una muy 
buena cinta métrica. Su instrumento cuenta con una escala, y en ella, la cantidad 
más pequeña (la distancia entre dos rayitas sucesivas) corresponde al milímetro. 
Entonces este albañil se pregunta, ¿el ancho será de 4,5 m o de 4,500 m? ¿Los 
dígitos correspondientes a las centésimas y milésimas tomarán realmente el valor 
cero? ¿Con qué instrumento habrá medido el ancho del salón la otra persona? 
Probablemente no haya escrito los “ceros” de las centésimas y de las milésimas 
porque no podía apreciarlos, esto es, no podía leerlos en la escala de su 
instrumento. Quizás su regla sólo tenía 10 divisiones (9 rayitas intermedias) entre 
0 y 1 metro. Posiblemente el extremo del salón no haya coincidido “exactamente” 
con la quinta división entre los 4 y 5 metros. ¿Cuál será entonces el “verdadero 
valor” para el ancho del salón? Conocer las centésimas y milésimas le daría 
seguramente una mejor información, pero… ¿sería este el “verdadero valor”? 
¿Qué dígito correspondería a la cuarta, quinta o sexta cifra decimal? ¿Se podrá 
Página 4 de 10 
 
en algún caso llegar a conocer el valor correspondiente a una cantidad con las 
infinitas cifras decimales que puede tener? ¿Seríamos capaces siquiera de 
escribirlo? Determinar el ancho de un salón con una precisión de 20 cifras 
decimales, ¿es más útil o ventajoso que conocerlo con 3 cifras decimales? ¿Vale 
la pena el esfuerzo de medir las restantes 17 (sí esto fuera posible)? Luego de 
meditar sobre estas cuestiones llegaremos a la conclusión de que la cantidad de 
cifras significativas (esto es, que tienen significado) dependerá de la magnitud 
que estemos midiendo, el instrumento con el cual lo hagamos, el procedimiento 
empleado al hacerlo, y también, la razón por la cual requerimos esa información. 
 Aceptémoslo desde ahora, el resultado de una medición nunca 
corresponderá al “valor exacto” o “verdadero valor” de esa cantidad (si es que 
existe). Lo que se obtiene al medir es siempre un valor aproximado, al que 
denominaremos simplemente “valor medido”. Ese valor medido estará afectado por 
cierta incertidumbre o “incerteza”. De forma tal que, el resultado de una medición 
de la magnitud “x”, se expresará (de ahora en más) a través de dos números, 
uno correspondiente al valor medido (x’) y otro a la incerteza (x) de la medición. 
La notación que utilizaremos para expresar el resultado de una medición es la 
siguiente: 
x = x’ ± x 
donde a xse lo denomina valor verdadero (el que no conocemos y no podremos 
conocer jamás), x’ es el valor medido, y x representa a la incerteza de la 
medición. Por ejemplo, el albañil pudo haber recibido la siguiente información 
respecto del ancho del salón: 
An = (4,5 ± 0,1) m 
¿Cómo se interpreta esto? Significa que: 
(4,5 – 0,1) m  An  (4,5 + 0,1) m 
o sea, 
4,4 m  An  4,6 m 
En este caso el albañil no hubiera sabido cuál es “exactamente” el ancho del 
salón, pero muy probablemente se trate de una longitud no menor a 4,4 metros, y 
que no supera los 4,6 metros. Probablemente, el albañil se sentiría más tranquilo 
si hiciéramos una medición más precisa y le dijéramos, por ejemplo, que el ancho 
es de (4,55 ± 0,05) m, porque esto significaría que el verdadero valor se 
encuentra entre 4,50 m y 4,60 m, lo que implica una incerteza menor, es decir, 
una medición más precisa del ancho del salón. ¿Pero qué pasaría si nos 
esforzáramos mucho en hacer esta medición y le dijéramos que el ancho es 
(4,5685 ± 0,0005) m? ¿Se sentiría igualmente feliz? ¿No lo estaríamos poniendo 
en un aprieto si es que él no cuenta con la posibilidad o instrumental para tanta 
precisión? Y además, ¿es necesaria tanta precisión para la construcción de un 
salón? 
Página 5 de 10 
 
 Del ejemplo anterior surge que, si las cantidades medidas son similares, la 
que posee menor incerteza es la más precisa. Pero podríamos indagar un poco 
más acerca de la precisión, y en algún sentido, de la calidad de la medición. 
¿Bastará evaluar a la incerteza para responder a esta cuestión? ¿Conocer el 
ancho del salón con una incerteza de 1 mm, es tan preciso como conocer el largo 
de la lapicera, o el espesor de la hoja que estamos leyendo, con una incerteza de 
1 mm? ¿Qué otro valor entra en juego? ¡Claro, el valor medido! Para cuantificar la 
incidencia de la incerteza sobre el valor medido, se definen el “error relativo” y/o el 
“error relativo porcentual”: 
r = x / x’ 
r (%) = r . 100 
En el ejemplo que venimos trabajando del ancho del salón: 
x’ = 4,5 m 
x = 0,1 m 
r = 0,1 m / 4,5 m = 0,022 
r (%) = 0,022 . 100 = 2,2 % 
Notemos que x’ y x tienen unidades, mientras que r y r(%) no. Estas últimas 
cantidades se denominan adimensionales. El r(%) es más cómodo de escribir y 
comunicar en forma oral que el r, y por esta razón es el más usado de los dos. 
Resulta interesante conocerlo y estimarlo aproximadamente, es decir, es 
interesante saber si la medición tiene un r(%) menor al 1%, del orden del 1% o 
mucho mayor. En general, para que una medición sea “aceptable” no debería 
tener un r (%) mayor al 5%. Pero, como dijimos antes, esto está relacionado a las 
necesidades que dieron lugar a la medición. 
1.3. Cuestión de criterio 
 Supongamos que se esté realizando una medición con un instrumento que 
contiene una escala señalada con “rayitas” o divisiones (no digital) que indican las 
unidades o fracciones de esas unidades, como puede ser una regla, un 
termómetro de mercurio, una probeta o una jeringa. 
 Tomemos el caso de la jeringa. Como resultado del proceso de medición 
podrían sucedernos dos cosas: (1) A simple vista observamos que el líquido en su 
interior coincide con alguna división (rayita) de la escala, o (2) cae entre dos 
divisiones de la escala. 
 Por ejemplo, supongamos que la escala de la jeringa llegue hasta 25 ml y 
que la mínima división corresponda a 1 ml. Imaginemos que el líquido en el 
interior de la jeringa coincide (a simple vista) con una “rayita” de la escala, 
supongamos para fijar ideas, la de 15 ml como se muestra en la figura. 
Página 6 de 10 
 
 ¿Podríamos asegurar que ese es el verdadero valor de volumen de 
líquido? ¿Con cuántas cifras significativas? Lo que sí podríamos decir (con 
bastante certeza), es que el contenido (C) supera al valor 14 ml y se encuentra 
por debajo de 16 ml. Esto es, 
14 ml  C  16 ml 
A partir de esta lectura, podemos determinar cuáles van a ser el valor medido (C’) 
y la incerteza en la medición (C): 
C’ = ( 16 ml + 14 ml ) / 2 = 15 ml 
C = ( 16 ml – 14 ml ) / 2 = 1 ml 
y expresar el resultado de la forma siguiente, 
C = (15 ± 1) ml 
Observemos que tanto el valor medido como la incerteza de la medición tienen 
unidades, y por supuesto, las mismas unidades. 
 ¿Cómo procederíamos si el líquido en el interior de la jeringa no coincidiese 
con ninguna rayita o división de la escala? 
Consideremos una situación como la observada en la figura siguiente: 
En este caso observamos que el contenido es mayor a 12 ml y no alcanza a los 
13 ml. En términos matemáticos, escribimos: 
12 ml  C  13 ml 
Realizamos nuevamente el cálculo anterior para determinar el valor medido y la 
incerteza en la medición: 
C’ = ( 13 ml + 12 ml ) / 2 = 12,5 ml 
C = ( 13 ml – 12 ml ) / 2 = 0,5 ml 
y expresamos el resultado de la forma siguiente, 
C = (12,5 ± 0,5) ml 
Observemos que con el mismo instrumento, y el mismo criterio (leer las rayitas 
anterior y posterior al líquido), estaríamos obteniendo una medición más precisa 
en el segundo caso. ¿Qué pasó? Nada que deba preocuparnos. En general 
5 15 25 20 10 
5 15 25 10 20 
Página 7 de 10 
 
cuando se realizan lecturas o mediciones directas se suele tomar para la 
incerteza un valor igual a la mínima cantidad que ese instrumento puede medir, o 
la mitad de ese valor como encontramos en los casos analizados. Ambas 
incertezas son aceptables. Si no lo fueran, si al elegir como incerteza a la mínima 
división de la escala o la mitad de la mínima división resultara que la medición es 
muy poco precisa, pues entonces deberemos cambiar el instrumento o método de 
medición por otro más preciso. 
 Resumiendo, cuando realicemos mediciones directas vamos a leer en la 
escala del instrumento dos valores. Como ya señalamos, no conoceremos nunca 
al valor verdadero de la cantidad “x” que queremos medir, pero sí podremos decir 
que es menor que un determinado valor “xMAX” y mayor que otro “xmin”. O sea, 
xmin  x  xMAX 
A partir de esta desigualdad, calcularemos el valor medido y la incerteza de la 
medición haciendo las siguientes operaciones: 
x’ = ( xMAX + xmin ) / 2 
x = ( xMAX – xmin ) / 2 
para luego informar el resultado de nuestra medición, de la siguiente forma: 
x = x’ ± x 
1.4. Mediciones indirectas 
 Cuando realicemos mediciones indirectas tendremos que utilizar una o más 
relaciones matemáticas para conocer la cantidad correspondiente a esa magnitud 
dada. ¿Cómo extendemos o adecuamos los criterios anteriores a mediciones 
indirectas? 
 Comencemos por los casos más simples, esto es, por las cuatro 
operaciones elementales. Es decir, supongamos que la operación matemática 
involucrada en la medición indirecta fuera sólo: (a) una suma, (b) una resta, (c) un 
producto, o (d) un cociente. 
 Consideremos dos magnitudes cualesquiera X e Y, medidas en forma 
directa. Sabemos que: 
Xmin  X  XMAX o X = X’ ± X 
Ymin  Y  YMAX o Y = Y’ ± Y 
Analicemos el primer caso, esto es, una suma. Consideremos una magnitud A, 
A = X + Y 
y queremos determinar su valor medido A’ y su incerteza A, para luego informar 
el resultado de la medición indirecta, con el formato habitual: 
A = A’ ± A 
Página 8 de 10 
 
¿Cómo debemos proceder? Podríamos hacer lo mismo que hicimos en el caso de 
las mediciones directas. Si conociéramos AMAX y Amin podríamos calcular A’ y A 
usando las relaciones: 
A’ = ( AMAX + Amin ) / 2 
A = ( AMAX – Amin ) / 2 
Ahora bien, tratándose de una suma, ¿cuándo tomará A su valor máximo? 
¿Cuándo el mínimo? Evidentemente, 
AMAX = XMAX + YMAX 
Amin = Xmin + Ymin 
donde, 
XMAX = X’ + X y Xmin = X’ – X 
YMAX = Y’ + Y y Ymin = Y’ – Y 
El caso (b) de la resta es similar al de la suma. Supongamos una magnitud B, tal 
que: 
B = X – Y 
La única diferencia la encontramos al calcular los valores máximos y mínimos: 
BMAX = XMAX – Ymin 
Bmin = Xmin – YMAX 
Una vez calculados BMAX y Bmin,determinamos B’ y B, y expresamos el resultado 
de la medición: 
B = B’ ± B 
Consideremos ahora una magnitud C, dada por el producto de X e Y, esto es, 
C = X . Y 
Evidentemente, 
CMAX = XMAX . YMAX 
Cmin = Xmin . Ymin 
Y cuando se trate de un cociente, D = X / Y: 
DMAX = XMAX / Ymin 
Dmin = Xmin / YMAX 
 Finalizamos este apartado haciendo algunos comentarios referidos a las 
cifras significativas con las que expresaremos el resultado final, e introduciendo 
una regla de redondeo para cumplir con este objetivo. 
Página 9 de 10 
 
 En una medición indirecta, tanto los valores máximos y mínimos, como el 
valor medido y la incerteza surgen de cálculos matemáticos. En general, 
encontraremos que la calculadora nos da números de muchas cifras. Pero, ¿son 
todas estas cifras significativas? ¿No podríamos escribir estos números de 
manera más sencilla, sin modificar demasiado el resultado de la medición? 
Proponemos utilizar el procedimiento siguiente: 
1. Calcular los valores máximos y mínimos de la magnitud que medimos en 
forma indirecta, de acuerdo a las operaciones involucradas, con TODAS las 
cifras que maneje nuestra calculadora. 
2. Calcular el valor medido y la incerteza, como lo hicimos antes para las 
mediciones directas: 
x’ = ( xMAX + xmin ) / 2 
x = ( xMAX – xmin ) / 2 
3. Expresar a las incertezas de las mediciones con una sola cifra 
significativa, es decir, conservando a la cifra distinta de cero que se 
encuentre en la posición más a la izquierda del número correspondiente (la 
de mayor significado). 
4. La última cifra significativa del valor medido deberá coincidir con la posición 
de la única cifra significativa de la incerteza. 
5. Para llevar a cabo los puntos 3 y 4, seguiremos la siguiente regla de 
redondeo: 
Comenzamos a leer el número correspondiente de derecha a izquierda, 
esto es, desde las cifras menos significativas. Aumentaremos en 1 a la cifra 
de la izquierda, si la que leemos es mayor o igual a cinco (≥5), y dejaremos 
a la cifra de la izquierda sin cambios si la de la derecha es menor a cinco 
(<5). 
 Veámoslo con un ejemplo. Supongamos que medimos con una regla el 
Ancho (An), Largo (La) y Alto (Al) de un libro para calcular su volumen, y 
obtenemos: 
15,7 cm  An  15,9 cm 
21,9 cm  La  22,1 cm 
0,8 cm  Al  1,0 cm 
O, lo podemos expresar como: 
An = (15,8 ± 0,1) cm 
La = (22,0 ± 0,1) cm 
Al = (0,9 ± 0,1) cm 
El volumen se calcula mediante la fórmula: 
V = An . La . Al 
 
Página 10 de 10 
 
Entonces, 
VMAX = AnMAX . LaMAX . AlMAX = 15,9 cm . 22,1 cm . 1,0 cm = 351,39 cm3 
Vmin = Anmin . Lamin . Almin = 15,7 cm . 21,9 cm . 0,8 cm = 275,064 cm3 
Luego, 
V’ = ( VMAX + Vmin ) / 2 = ( 351,39 cm3 + 275,064 cm3 ) / 2 = 313,227 cm3 
V = ( VMAX – Vmin ) / 2 = ( 351,39 cm3 – 275,064 cm3 ) / 2 = 38,163 cm3 
En este momento, podríamos escribir, 
V = (313,227 ± 38,163) cm3 
Como vemos, tanto el valor medido como la incerteza tienen demasiadas cifras, lo 
que dificulta su lectura. Por otra parte, no todas son igualmente significativas. 
Tomemos primero a la incerteza: 
V = 38,163 cm3 
Y descompongamos al número: 
38,163 = 30,000 + 8,000 + 0,100 + 0,060 + 0,003 
De los 5 números en los que descompusimos al 38,163 ¿cuál es el más 
significativo? Si tuviéramos que quedarnos con uno, ¿con cuál nos quedaríamos? 
Si se tratara de dinero, ¿es igualmente significativo ganar $30,000 que $0,003? 
Entonces, ¿de qué tamaño será la incerteza, de “decenas”, “unidades”, “décimas”, 
“centésimas”, o “milésimas”? Para responder a estas preguntas, vamos a aplicar 
el criterio mencionado en el punto 3 anterior, usando la regla de redondeo. 
Comenzamos desde la derecha, esto es, desde la cifra menos significativa, en 
este caso el 3 que corresponde a las milésimas. Como se trata de un número 
menor a 5, dejamos sin modificación al dígito que se encuentra a su izquierda, o 
sea, en el primer paso el número 38,163 es redondeado a 38,16. Repetimos este 
procedimiento y como el 6 es un número mayor o igual a 5, al aplicar la regla de 
redondeo el 38,16 se nos transforma en 38,2. Tenemos que continuar hasta llegar 
a la cifra más significativa, en este caso hasta las decenas. En el siguiente 
redondeo el 38,2 cambia por el 38. Este número tiene dos cifras significativas, y 
recordemos que en el punto 3 dijimos que la incerteza tiene que quedar con una 
sola cifra significativa. Redondeamos una vez más y el 38 cambia a 40 (no a 4!). 
Entonces, “la” cifra significativa de la incerteza es el 4, y ocupa el lugar de las 
“decenas”. A continuación, debemos redondear el valor medido 313,227 hasta la 
cifra correspondiente a la decena. Al hacerlo, el 313,227 se nos transforma en 
310. Finalmente, informamos el resultado de la medición como: 
V = (310 ± 40) cm3 
Al expresarlo de este modo, podemos ver en forma clara el valor medido y la 
incerteza en la medición, podemos rápidamente saber entre qué valores máximo 
y mínimo se encuentra el volumen, y con un simple cálculo mental estimar el error 
relativo porcentual (≈13%).