CN_Modulo de Fisica 2023

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Universidad Nacional de Rosario 
Facultad de Ciencias Veterinarias 
Curso de Nivelación 
Módulo de Física 
Contenidos 
Potencias. Notación Científica. Unidades. Conversión de unidades. 
Sistemas de coordenadas. Elementos de trigonometría. Vectores en el 
plano. 
Autor 
Dr. Danilo G. Renzi 
Profesor Asociado 
Cátedra de Física Biológica 
Año 
2023 
"Si queremos saber el modo en que funciona la naturaleza, la miramos 
cuidadosamente, observándola y... ese es el aspecto que tiene. ¿No te gusta? Pues vete a 
otra parte, a otro universo donde las reglas sean más simples, filosóficamente más 
agradables, psicológicamente más fáciles. No puedo evitarlo ¿vale? Si voy a decirles 
honestamente como parece ser el mundo para los seres humanos que han luchado tan 
duro como han podido para entenderlo, sólo puedo decirles el aspecto que tiene." 
"Para aquellos que no conocen las matemáticas, es difícil sentir la belleza, la profunda 
belleza de la naturaleza... Si quieres aprender sobre la naturaleza, apreciar la 
naturaleza, es necesario aprender el lenguaje en el que habla." 
Richard P. Feynman, Premio Nobel de Física 1965 
 
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Contenidos 
1. POTENCIAS ....................................................................................................................... 3 
1.1. Definición .................................................................................................................... 3 
1.2. Propiedades de las potencias ...................................................................................... 3 
1.3. Operaciones con potencias ......................................................................................... 3 
1.4. PROBLEMAS ................................................................................................................ 4 
2. NOTACIÓN CIENTÍFICA ..................................................................................................... 4 
2.1. PROBLEMAS ................................................................................................................ 5 
3. UNIDADES ........................................................................................................................ 6 
3.1. Introducción ............................................................................................................... 6 
3.2. Última Revisión del Sistema Internacional de Unidades .............................................. 7 
3.3. Múltiplos y Submúltiplos ............................................................................................. 8 
3.4. Unidades fuera del SI .................................................................................................. 9 
3.5. Sistema Métrico Legal Argentino (SIMELA) .................................................................. 9 
3.6. PROBLEMAS .............................................................................................................. 10 
4. CONVERSIÓN DE UNIDADES ........................................................................................... 10 
4.1. Método del factor 1 (uno) ......................................................................................... 10 
4.2. Reemplazar una dada cantidad por “otra equivalente” ............................................. 11 
4.3. PROBLEMAS .............................................................................................................. 12 
5. SISTEMAS DE COORDENADAS ........................................................................................ 12 
5.1. Representación en la recta ........................................................................................ 12 
5.2. Representación en el plano ....................................................................................... 13 
5.3. PROBLEMAS .............................................................................................................. 15 
6. ELEMENTOS DE TRIGONOMETRÍA .................................................................................. 15 
6.1. ¿Cómo se puede construir un ángulo plano? ............................................................. 15 
6.2. ¿Cómo se miden y en qué escala se expresan los ángulos? ....................................... 16 
6.3. ¿Cómo se relacionan estas escalas? .......................................................................... 17 
6.4. Funciones Trigonométricas ....................................................................................... 17 
6.5. ¿Cómo se pueden utilizar estas relaciones para “resolver” un triángulo rectángulo? 18 
6.6. PROBLEMAS .............................................................................................................. 19 
7. VECTORES EN EL PLANO ................................................................................................. 20 
7.1. Magnitudes escalares y vectoriales ........................................................................... 20 
7.2. ¿Cómo se define un vector? ...................................................................................... 20 
7.3. Definición de vector .................................................................................................. 21 
7.4. Notación ................................................................................................................... 21 
7.5. Operaciones entre vectores ...................................................................................... 22 
7.6. Descomposición de vectores ..................................................................................... 24 
7.7. Suma de vectores en forma analítica......................................................................... 27 
7.8. PROBLEMAS .............................................................................................................. 28 
8. BIBLIOGRAFÍA ................................................................................................................ 31 
 
“Si no podemos pensar por nosotros mismos, 
si somos incapaces de cuestionar la autoridad, 
somos pura masilla en manos de los que 
ejercen el poder”. 
Carl Sagan 
en: El mundo y sus demonios (1996) 
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1. POTENCIAS 
1.1. Definición 
 Una potencia (an) está formada por dos números: la base a y el exponente n. Con 
esta notación se indica que la base “a” debe multiplicarse por sí misma “n” veces, es decir: 
a
n
 = a . a . a . … a (n veces) 
Ejemplos: 
Potencia Base Exponente Resultado 
42 4 2 4.4 = 16 
(-4)2 -4 2 (-4).(-4) = 16 
-(42) 4 2 -(4.4) = -16 
-(-4)2 -4 2 -((-4).(-4)) = -16 
43 4 3 4.4.4 = 64 
(-4)3 -4 3 (-4).(-4).(-4) = -64 
-(-4)3 -4 3 -((-4).(-4).(-4)) = 64 
 
 Observar cuidadosamente cómo influyen en el resultado los exponentes en relación 
con el signo de la base y cómo influyen los paréntesis. 
1.2. Propiedades de las potencias 
• Potencia con exponente cero 
Cualquier número real (distinto de cero) elevado a la “cero” da “uno”: a0 = 1 
• Potencia con exponente uno 
Cualquier número real elevado a la “uno” da el mismo número: a1 = a 
Ejemplos: 
40 = 1 41 = 4 
(-4)0 = 1 (-4)1 = -4 
100 = 1 101 = 10 
00 = Indeterminado 01 = 0 
1.3. Operaciones con potencias 
• Potencia de un producto 
 Se multiplican las potencias: (a . b)n = an . bn 
• Potencia de un cociente 
 Se dividen las potencias: (a / b)n = an / bn 
• Producto de potencias de igual base 
 Se suman los exponentes: an . as = an+s 
 En particular, an . a− n = an+(− n) = a0 = 1, entonces an . a− n = 1 y a− n = 1 / an 
• Cociente de potencias de igual base 
 Se restan los exponentes: an / as = an− s 
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• Potencia de potencia 
 Se multiplican los exponentes: ( an )s = an . s 
 En particular, ����� �⁄ =	�� �⁄ = 	�� = �, entonces �	
�� 
⁄ = √	
 = 	 
Ejemplos: 
(2.4)3 = 23.43 = 8.64 = 512 (2/4)2 = 22/42 = 4/16 = 1/4 (-6/2)3 = (-6)3/23 = -216/8 = -27 
43.42 = 43+2 = 45 = 1024 43/42 = 43-2 = 41 = 4 (43)2 = 43.2 = 46 = 4096 
(-4)3.(-4)1 = (-4)3+1 = (-4)4 = 256 (-4)3/(-4)1 = (-4)3-1 = (-4)2 = 16 ((-4)3)1 = (-4)3.1 = (-4)3 = -64 
102.104 = 106 = 1.000.000 102/104 = 102-4 = 10-2 = 0,01 (102)4 = 108 = 100.000.000 
10-3.105 = 10-3+5 = 102 = 100 
10-3/105 = 10-3-5 = 10-8 
= 0,00000001 
(10-3)5 = 10-15 
= 0,000000000000001 
1.4. PROBLEMAS 
Calcular: 
2
–4
 = (–3)
3
 = 9
0
 = 
2
4
 . 2
2
 = 10
4
 . 10 . 10
3
 = 10
2
 . 10
–3
 = 
10
4
/10
3
 = (–2)
2
/(–2)
3
 = (–3)
5
/(–3)
3
 = 
(2
2
)
3
 = [(–3)
2
]
3
 = (10
3
)
 –2
 = 
(–1/5)
3
 = (–1)
3
/5
3
 = 1
3
/(–1)
3
 = 
a
2
+(–a)
2
 = (–2)
3
 – (–2)
3
 = 10
2
 + 10
–3
 = 
3
2
 . 2
3
 = (2 . 3)
3
 = (2 / 10)
2
 = 
(–2 . a)
2
 = (–2)
1
 . a
2
 = (–2)
0
 . a
2
 = 
2. NOTACIÓN CIENTÍFICA 
 Los números muy grandes (aquellos que tienen muchos ceros a la derecha) o los muy 
pequeños (aquellos que tienen muchos ceros a la izquierda) se escriben de manera más 
sencilla utilizando potencias de base 10. 
 Si bien en la actualidad se admiten tanto al punto como a la coma para separar la 
parte entera de un número de sus decimales, en este curso usaremos la coma como signo 
para la parte decimal y el punto como separador de miles. 
 En Astronomía, si se trabaja en unidades del SI, las cantidades pueden ser muy 
grandes, como por ejemplo: 
• Un año ≈ 31.536.000 s 
• Velocidad de la luz ≈ 300.000.000 m/s 
• Un año-luz ≈ 9.460.800.000.000.000 m 
 En cambio, en Física Cuántica, las cantidades con las que se trabaja son números muy 
pequeños, muy cercanos a cero: 
• Masa de un electrón ≈ 9,11x10-31 kg 
• Carga eléctrica elemental ≈ 1,602x10-19 C 
• Constante de Planck (h) ≈ 6,63x10-34 J s 
 
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Ejercicio: para comprobar las ventajas y desventajas de escribir con potencias de 10 (o sea 
en notación científica), números muy grandes o muy pequeños, reescribir las seis cantidades 
anteriores: las tres primeras en potencias de 10, y las tres últimas en forma decimal. 
 
 Básicamente, en notación científica, las cantidades (muy grandes o muy pequeñas) se 
escriben multiplicando dos números. El primer factor (denominado coeficiente) es un 
número mayor que 1 y menor que 10 (en general conservaremos dos o tres cifras decimales) 
y el segundo es una potencia de base 10 y exponente entero. Matemáticamente, 
 Por ejemplo, si se requiere escribir el número cuatrocientos treinta y cinco millones, 
en notación científica se escribe: 
4,35x108 
Dado que, 
435.000.000 = 435x106 = 4,35x102x106 = 4,35x108 
 
Ejercicio: ¿Cómo se escribiría el número “cincuenta y siete milésimas”? ¿Cómo se 
introduciría este número en la calculadora? ¿Cómo se lo leería? 
2.1. PROBLEMAS 
Escribir las siguientes cantidades en notación científica: 
Cantidad 
Notación 
Científica 
El radio del planeta Tierra ≈ 6.370.000 m 
Presión atmosférica normal ≈ 101.300 Pa 
El número de Avogadro = 602.214.076.000.000.000.000.000 mol
−1 
La carga eléctrica elemental = 0,0000000000000000001602176634 C 
El radio de un átomo de hidrógeno ≈ 0,0000000000529177 m 
La masa de un electrón ≈ 0,00000000000000000000000000000091096 kg 
Ejercicio: ¿Qué significa este símbolo “≈”? ¿Cómo se lo lee? ¿Qué diferencia existe entre los 
símbolos “=” y “≈”? 
Expresar los números siguientes en notación ordinaria: 
1) 9,65x104 = 
2) 8,2x10–2 = 
3) 9x109 = 
4) 5,67x10–8 = 
5) 3,156x107 = 
6) 1,013x10–5 = 
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Ejercicio: ¿Cómo muestra los resultados la calculadora cuando los números son muy grandes 
o muy pequeños? ¿Cómo se introducen en la calculadora los números en notación científica? 
Realizar las siguientes operaciones usando: (a) propiedades, (b) calculadora. 
1) 3x105 + 5x105 = 
2) 6,5x104 – 3,5x103 = 
3) 9,8x10–10 – 0,21x10–9 = 
4) 3x105 + 8x10–3 = 
5) (3,45x10–7)x(2x10–7) = 
6) (1,5x103)x(4,0x104) = 
7) 6,3x109 / 2,1x10–3 = 
8) 62,8x10–13 / 3,14x10–12 = 
9) (107)4 = 
10) (1,1x10–3)2 = 
3. UNIDADES 
3.1. Introducción 
 En la Física, al igual que otras ciencias naturales como la Geología, la Biología o la 
Química, se estudia el comportamiento de los diversos fenómenos que ocurren en la 
naturaleza, basándose en observaciones experimentales y formulando teorías mediante 
leyes que generalmente se expresan en forma matemática. Cualquier afirmación que se 
haga o ley que se proponga, y no pueda comprobarse experimentalmente, carece de 
sentido físico. 
 Diariamente, en distintos lugares del mundo, se realizan numerosos experimentos y 
mediciones de todo tipo. Por este motivo, constantemente se revisa el instrumental que se 
utiliza, los métodos o técnicas de medición, y las definiciones de las distintas unidades de 
medida. Al mismo tiempo, con el desarrollo de nuevos descubrimientos o de nuevas 
tecnologías se introducen nuevas definiciones de las unidades de esas magnitudes ya 
establecidas. 
 A lo largo de la historia se han introducido y utilizado diversas formas y patrones para 
medir cantidades de longitud, masa, tiempo, temperatura, etc. En especial, aquellas 
magnitudes relacionadas con el intercambio comercial entre personas o pueblos. Así 
surgieron medidas como la pulgada (2,54 cm) que habría correspondido a “la medida del 
dedo del rey DAVID I” o el pie (30,48 cm) surgida del “pie de CARLOMAGNO”. 
 Estas medidas establecidas arbitrariamente tenían el problema de no poder ser 
reproducidas en cualquier momento, ni en cualquier lugar, razón por la cual se hizo 
imprescindible definirlas con mayor claridad y precisión. Esto ocurrió luego de la Revolución 
Francesa (fines del siglo XVIII), momento en el que se instaura el Sistema Métrico Decimal 
basado en el metro y el kilogramo. 
 Casi un siglo después, el 20 de mayo de 1875 se creó el Bureau International des 
Poids et Mesures (BIPM) con el objetivo de establecer las bases de un sistema de unidades 
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simple y coherente que fuera usado por todo el mundo. En esa convención Argentina fue 
uno de los 17 países que estuvieron presentes. 
 Se fabricaron nuevos patrones para el metro y el kilogramo y fueron formalmente 
adoptados por la primera Conférence Générale des Poids et Mesures (CGPM) realizada en 
1889. En la 11ma Conferencia de 1960, se decidió que debía llamarse Sistema Internacional 
(SI) al conjunto de 7 unidades básicas (metro, kilogramo, segundo, kelvin, ampere, mol, 
candela), a partir de las cuales pueden derivarse las demás 
(https://www.bipm.org/en/measurement-units/). 
3.2. Última Revisión del Sistema Internacional de Unidades 
 Por supuesto, el SI no es estático, sino que evoluciona para dar respuesta a las 
demandas de precisión de las mediciones provenientes de todas las áreas de la ciencia y de 
la tecnología. En la 26ta Conferencia General de Pesas y Medidas celebrada en Versalles en 
noviembre del año 2018 (https://www.bipm.org/utils/common/pdf/CGPM-2018/26th-
CGPM-Resolutions.pdf), se decidió que a partir del día 20 de mayo de 2019 se consideran 
válidos, en el Sistema Internacional de unidades, los siguientes valores: 
• La frecuencia de transición hiperfina del átomo de cesio 133, en el estado 
fundamental no perturbado, ∆νCs es 9.192.631.770 Hz 
• La velocidad de la luz en el vacío c es 299.792.458 m/s 
• La constantede Plank h es 6,62607015x10-34 J s 
• La carga elemental e es 1,602176634x10-19 C 
• La constante de Boltzmann kB es 1,380649x10-23 J/K 
• La constante de Avogadro NA es 6,02214076x1023 mol-1 
• La eficacia luminosa de radiación monocromática de frecuencia Kcd, es 683 lm/W 
 
 A partir de las definiciones numéricas anteriores para las constantes, las siete 
unidades fundamentales del SI, se definen con el siguiente conjunto de enunciados: 
∗ El segundo, símbolo s, es la unidad de tiempo del SI. Queda definido al tomar el valor 
numérico fijo de ∆νCs (9.192.631.770 Hz) para la frecuencia de transición hiperfina 
del átomo de cesio 133 en el estado fundamental no perturbado, siendo Hz = s-1. 
∗ El metro, símbolo m, es la unidad de longitud del SI. Queda definido al tomar el valor 
numérico fijo para la velocidad de la luz en el vacío c (299.792.458) expresado en 
m/s, donde el segundo está definido en términos de ∆νC. 
∗ El kilogramo, símbolo kg, es la unidad de masa del SI. Queda definido al tomar el 
valor numérico fijo para la constante de Planck h (6,62607015x10-34) expresada en J 
s, lo cual es igual a kg m2 s-1, donde el metro y el segundo están definidos en 
términos de c y ∆νC. 
∗ El ampere, símbolo A, es la unidad de corriente eléctrica del SI. Queda definido al 
tomar el valor numérico fijo para la carga elemental e (1,602176634x10-19) expresada 
en C (coulomb), la cual es igual a A s, donde el segundo está definido en términos de 
∆νC. 
∗ El kelvin, símbolo K, es la unidad de la temperatura termodinámica en el SI. Queda 
definido al tomar el valor numérico fijo para la constante de Boltzmann k 
(1,380649x10-23) expresada en J/K, la cual es igual a kg m2 s-2 K-1, donde kilogramo, 
metro y segundo están definidos en términos de h, c y ∆νC. 
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∗ El mol, símbolo mol, es la unidad de cantidad de sustancia del SI. Un mol contiene 
exactamente 6,02214076x1023 entidades elementales. Este número fija el valor 
numérico de la constante de Avogadro, NA, cuando se expresa en mol
-1 y recibe el 
nombre de número de Avogadro. 
∗ La cantidad de sustancia de un sistema, símbolo n, es una medida del número de 
entidades elementales específicas, esto es, un átomo, una molécula, un ión, un 
electrón o cualquier otra partícula o grupo de partículas. 
∗ La candela, símbolo cd, es la unidad de intensidad luminosa en una dada dirección 
del SI. Queda definida al tomar el valor numérico fijo para la eficacia luminosa de 
radiación monocromática de frecuencia 540x1012 Hz, Kcd (683) expresada en lm W
-1, 
o cd sr kg-1 m-2 s3, donde el kilogramo, metro y segundo están definidos en términos 
de h, c y ∆νC. 
 
 En la Tabla 1, se detallan las 7 magnitudes fundamentales, sus unidades y símbolos 
para designar dichas unidades. En la Tabla 2 se muestran algunos ejemplos de unidades 
derivadas, con sus nombres. 
Tabla 1: Unidades fundamentales del SI 
Magnitud Unidades Símbolos 
Longitud Metro m 
Masa Kilogramo kg 
Tiempo Segundo s 
Temperatura Absoluta Kelvin K 
Corriente Eléctrica Ampere A 
Cantidad de Sustancia Mol mol 
Intensidad Luminosa Candela cd 
 
Tabla 2: Ejemplos de unidades derivadas del SI 
Magnitud Unidades Símbolos 
En términos de 
unidades fundamentales 
Frecuencia Hertz Hz 1/s o s-1 
Fuerza Newton N kg m/s2 
Energía Joule J kg m2/s2 
Potencia Watt W kg m2/s3 
Presión Pascal Pa kg/(m s2) 
Carga Eléctrica Coulomb C A s 
Potencial Eléctrico Volt V kg m2/(A s3) 
Coeficiente de sedimentación Svedberg S 10-13 s 
 
3.3. Múltiplos y Submúltiplos 
 Para expresar de manera más cómoda cantidades que son mucho mayores o mucho 
menores que las unidades del SI, se suelen usar algunos prefijos, los cuales acompañan no 
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sólo a las unidades fundamentales sino también a las derivadas. La Tabla 3 muestra una lista 
de los prefijos más utilizados. 
 Cuando se utilizan prefijos, el símbolo del prefijo y el de la unidad se unen para 
formar un único símbolo, sin espacios intermedios, para evitar confusiones. Por ejemplo, se 
escribe “mg” para simbolizar al miligramo, mientras “m g” representaría metro por gramo. 
 En el SI hay una excepción, el kg. Aunque es una unidad fundamental, el nombre 
incluye un prefijo por razones históricas (en un principio se definió como unidad de masa, a 
la correspondiente a 1 litro de agua a la temperatura de su máxima densidad). Los múltiplos 
y submúltiplos de la masa se refieren al gramo, de este modo se escribe 1 mg (“miligramo”, 
que equivalen a 10–3 g) en lugar de escribir 1 µkg (“microkilogramo”, lo que representaría 
10–6 kg = 10–3 g). En este sentido, debemos señalar que está prohibida la utilización de dos 
prefijos combinados, como sería el último caso (escribir 1 µkg ES INCORRECTO). 
 
Tabla 3: Prefijos utilizados para designar a las potencias de 10 
Símbolo Nombre Factor Símbolo Nombre Factor 
Y yotta 1024 y yocto 10-24 
Z zetta 1021 z zepto 10-21 
E exa 1018 a atto 10-18 
P peta 1015 f femto 10-15 
T tera 1012 p pico 10-12 
G giga 109 n nano 10-9 
M mega 106 µ micro 10-6 
k kilo 103 m mili 10-3 
H hecto 102 c centi 10-2 
Da deca 101 d deci 10-1 
3.4. Unidades fuera del SI 
 Actualmente subsisten unidades que no pertenecen al SI, pero son muy usadas. Por 
ejemplo, las unidades de tiempo día, hora y minuto sumamente arraigadas en nuestra 
cultura. Otras, se usan por razones históricas o porque pueden resultar más convenientes 
que las unidades del SI, como es el caso de la tonelada, el litro o la atmósfera. 
 Sin embrago, el SI es el único sistema de unidades universalmente reconocido y 
cualquier otra unidad de medida utilizada puede ser convertida o puesta en términos de 
unidades del SI. 
3.5. Sistema Métrico Legal Argentino (SIMELA) 
 Este apunte no pretende desarrollar en detalle la evolución histórica de la adopción 
del Sistema Internacional de Pesas y Medidas en nuestro país, sino simplemente mencionar 
algunas leyes y fechas que se consideran importantes. 
 La República Argentina adoptó el “Sistema de Pesas y Medidas Métrico Decimal” 
durante la presidencia del Gral. Bartolomé Mitre en 1863, mediante la Ley N° 52, donde se 
autorizó al Poder Ejecutivo a declarar obligatorio, en los diferentes departamentos de la 
Administración y en todo el territorio de la República, “el uso de aquellas pesas y medidas 
decimales que juzgue oportunas, según estén allanados los obstáculos que se opongan a su 
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realización”. La Ley N° 856, de 1877 establece que el Sistema Métrico Decimal de Pesas y 
Medidas adoptado en la ley N° 52 de 1863, sea de uso obligatorio en todos los contratos y 
en todas las transacciones comerciales, quedando prohibido el uso de pesas y medidas de 
otros sistemas. 
 La Ley N° 19.511, actualmente vigente, del 2 de marzo de 1972, adoptó el SISTEMA 
INTERNACIONAL (SI) de unidades, creando el SIMELA (Sistema Métrico Legal Argentino). 
3.6. PROBLEMAS 
Empleando prefijos, expresar adecuadamente las siguientes cantidades: 
1,2x10
–15
 m = 6,7x10
–4
 kJ = 
5,0x10
–10
 s = 1,3x10
17
 s = 
3x10
3
 W = 5x10
–11
 m = 
1x10
–12
 g = 0,043x10
2
 V = 
7,5x10
–2
 A = 2,0x10
9
 s = 
4. CONVERSIÓN DE UNIDADES 
 En la asignatura Física Biológica se utilizarán magnitudes cuyas cantidades pueden 
expresarse en diferentes unidades de medida. Por ejemplo, al medir una presión, el 
resultado se puede expresar en: Pa (pascal), baria, mmHg (milímetros de mercurio), atm 
(atmósfera), cmH2O (centímetros de agua), etc. Por este motivo, con bastante frecuencia, se 
tendrá la necesidad de expresar a una dada cantidad en unidades diferentes.Para esto, se 
deberá utilizar algún método u operación matemática. A continuación, se presentan dos 
métodos o razonamientos posibles (sí sí, también se puede usar “regla de tres”). 
4.1. Método del factor 1 (uno) 
 La idea es muy simple y se basa en dos hechos muy conocidos: 
∗ cualquier número multiplicado por el número 1 (uno), da como resultado el 
mismo número. 
Por ejemplo: 
= − = − = =3 33x1 3 0 28x1 0 28 x1 x1
2 2
, , π π 
∗ si a una dada cantidad, la dividimos por otra cantidad igual, el resultado es 
igual a 1 (uno). 
Por ejemplo, sabiendo que: 
3km m min s cm31 1000 1 60 10 1 L= = = 
 
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se puede escribir: 
km
m
m
km
1
1
1000
1000
1
1
=
=
 
1 min
1
60 s
60 s
1
1 min
=
=
 
3
3
10
1
L
1 L
1
10
=
=
3
3
cm
1
cm
 
ya que tanto el numerador como el denominador representan cantidades iguales. 
 El método utiliza esta idea de “fabricar”, a partir de una igualdad conocida, un 
cociente entre dos cantidades iguales, cuyo resultado es igual a 1 (uno). Estos “unos” no son 
casuales ni elegidos al azar, son los factores por los cuales se debe multiplicar a la cantidad 
que se quiere cambiar de unidades. Para cumplir con este objetivo, es necesario contar con 
una equivalencia que de un lado del signo igual contenga a la unidad que debe 
“desaparecer”, y del otro lado del signo igual, la unidad en la cual debe quedar expresada la 
cantidad en cuestión. A partir de dicha igualdad, se construye “el uno” como un cociente en 
el cual el divisor está escrito en las unidades que deben desaparecer y el dividendo en las 
unidades que debe quedar expresada dicha cantidad. 
 Por ejemplo, si se quiere expresar a la distancia “108 kilómetros” en “metros”, se 
procederá así: 
sabiendo que km m1 1000= 
puede fabricarse “un uno” cuyo divisor esté expresado en kilómetros, y el dividendo en 
metros. En este caso: 
m
km
1000
1
1
= 
Luego, se razona y opera como sigue: 
51000 m 108x1000108 km 108 kmx1 108 kmx m 108 000m 1,08x10 m
1 km 1
.= = = = = 
En definitiva, 
5108 km 1,08x10 m= 
4.2. Reemplazar una dada cantidad por “otra equivalente” 
 Consiste en reemplazar las unidades que deben “desaparecer”, por sus equivalentes 
expresados en las unidades que deben “aparecer”. Supongamos que se necesita expresar en 
“m/s” a una velocidad dada en “km/h”. Por ejemplo, 108
km
h
 
Sabiendo que: 
km m y h s1 1000 1 3600= = 
Se procede así: 
km km m m m
h h s s s
1 1000 108x1000
108 108 x 108 x 30
1 3600 3600
= = = = 
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 En este ejemplo, lo que se hace en primer lugar es pensar a la cantidad 108km/h 
como producto del número 108 multiplicado por la cantidad 1km y dividido por la cantidad 
1h. Luego, se reemplaza a la cantidad 1km por otra equivalente pero expresada en las 
unidades de longitud que se quiere que quede expresado el resultado final. Lo mismo se 
hace con las demás unidades que se necesiten cambiar, en este caso, se reemplaza a la 
unidad de tiempo 1h por su equivalente 3600s. Finalmente, se realiza la operación entre los 
números y se agrupan las unidades, que van a ser justamente aquellas en las que debía 
quedar expresada la cantidad en cuestión. 
 Si se mira ahora la expresión matemática anterior, antes del primer “signo igual” se 
tiene a la cantidad expresada en las “viejas” unidades, y a continuación del último “signo 
igual” esa misma cantidad quedó expresada en las “nuevas” unidades. Es decir, 
km m
h s
108 30= 
4.3. PROBLEMAS 
Cambiar de unidades a las siguientes cantidades: 
1) Pasar 9,8 m/s2 a cm/s2 
2) Pasar 108 km/h a m/s 
3) Pasar 50 kg m/s2 a g cm/s2 
4) Pasar 1,03 m3 a cm3 
5) Pasar 1 litro a m3 
6) Pasar 1,013x105 kg/(m s2) a g/(cm s2) 
7) Pasar 3,0x1010 cm/s a km/s 
8) Pasar 5 L/min a m3/s 
9) Pasar 1,03 g/cm3 a kg/m3 
10) Pasar 3,5x106 g cm2/s2 a kg m2/s2 
5. SISTEMAS DE COORDENADAS 
 La Geometría Analítica es un área de estudio en la que se unen la Geometría y el 
Álgebra para resolver analíticamente (o algebraicamente) problemas geométricos. El caso 
inverso también ocurre, es decir, problemas algebraicos que encuentran su solución a partir 
de su representación e interpretación geométrica. Este puente entre Geometría y Álgebra se 
construye asignando números reales (ℝ) a puntos sobre una recta. 
5.1. Representación en la recta 
 Para comenzar tracemos una recta horizontal. Luego sobre esa recta elijamos dos 
puntos, uno cualquiera al que designamos con la letra O y llamamos Origen, y otro a una 
cierta distancia y a la derecha de él, al que designamos con la letra U y llamamos Unidad. El 
segmento OU va a representar la unidad de distancia sobre la recta, y por lo tanto, define 
una escala sobre ella. Para completar esta recta debemos asignarle un sentido positivo, para 
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lo cual se coloca una punta de flecha en uno de sus extremos, y darle un nombre a esta recta 
o eje coordenado; habitualmente se utilizan x, y o z. 
Ahora, sólo resta asociarle números a los puntos mencionados. Al punto Origen le asignamos 
el número cero (0), y al punto U que representa la unidad de distancia, el uno (1). Del mismo 
modo, al punto que se encuentra a una distancia unidad a la derecha del número 1, le 
asignamos el número 2, y al punto que le sigue (una unidad a la derecha del 2) el 3. 
Siguiendo con este procedimiento podemos representar sobre la recta a todos los números 
naturales (ℕ). ¿Se podría graficarlos a todos? ¿Cuántos son? 
 Ahora bien, así como se definen números naturales hacia la derecha, ¿podríamos 
considerar unidades de distancia en el sentido opuesto al indicado por la punta de flecha de 
la recta, o sea, en sentido negativo? Naturalmente, al punto que se encuentra a una 
distancia unitaria a la izquierda del Origen le asignamos el valor −1. Por supuesto, una 
unidad a la izquierda del −1, se encuentra el −2, luego el −3, etc. Como regla general, se 
observa que el número indica la distancia al Origen, y el signo indica si se trata de un punto 
que se encuentra del lado positivo o negativo del eje. De esta forma queda representado 
sobre el eje, el conjunto de los números enteros (ℤ). Análogamente, podemos representar 
sobre la recta a cualquier número racional (ℚ). Por ejemplo, al número 5/2 le corresponde el 
punto que se encuentra a mitad de camino entre los números 2 y 3; mientras que el número 
−5/2 estará a la misma distancia del cero, pero en el lado opuesto. 
 Ahora bien, ¿habrá algún punto al cual no sea posible asociarle un número, o algún 
número al que no le corresponda ningún punto? Siguiendo con el razonamiento anterior 
podemos demostrar que a cada punto de la recta siempre es posible asignarle un número 
real (ℝ), y que a cada número real le corresponde un único punto sobre la recta. En 
definitiva, dado un punto cualquiera sobre la recta (como el punto P) siempre existirá un 
número real que lo designe. 
5.2. Representación en el plano 
 En este apartado, extenderemos la forma de representar puntos sobre una recta 
mediante números (unidimensional), al caso del plano (bidimensional), donde un punto 
cualquiera será representado por un par ordenado de números reales. 
 
 Supongamos ahora, que marcamos sobre una hoja un punto cualquiera al que 
llamamos R. Para ubicarlo, podríamos dibujar un eje o recta que pase por R, asignarle un 
x 
O U P 
0 1 2 –1 3 
x 
O 
U 
R 
0 
1 
2 
Q 
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sentido positivoa dicho eje, llamarlo x como se hizo antes, definir un punto cualquiera como 
origen, una escala y asignarle al punto R el número correspondiente a su distancia al Origen. 
 Ahora bien, imaginemos que además del punto R, debemos representar otro punto 
Q. En este caso, de todas las rectas posibles que pasaban por R, podríamos elegir aquella 
que además pasa por Q y listo, sólo hay que repetir lo hecho antes para R. 
 ¿Pero qué sucede si además de R y Q, debemos representar también a otros puntos 
del plano, como por ejemplo P y S, que no pueden ser simultáneamente ubicados sobre una 
única recta? Es decir, para un solo punto tenemos infinitas opciones (por un punto pasan 
infinitas rectas), por dos puntos pasa una única recta (pero todavía nos alcanza con un eje), 
pero para representar a todos los puntos del plano, con una única recta es imposible. 
 Para resolver este problema necesitamos introducir un segundo eje, perpendicular al 
primero, al que llamaremos y. El punto de intersección entre ellos corresponderá (en general) 
al Origen de ambos ejes. 
 Luego debemos definir una escala para cada uno de los ejes, es decir, las distancias 
unitarias sobre cada uno de ellos (las cuales pueden coincidir, o no). Una vez hecho esto, a 
cada punto del plano le corresponderá un par ordenado de números y a cada par ordenado 
de números, un punto en el plano. 
 Por ejemplo, tomemos el punto P de la figura anterior. Para conocer las coordenadas 
de este punto, procederemos como sigue: trazamos la recta paralela al eje y que pasa por P 
y corta al eje x en el punto Px (abscisa de P), luego trazamos la recta paralela al eje x que 
pasa por P y corta al eje y en el punto Py (ordenada de P). Finalmente, el punto P quedará 
representado en este sistema de ejes coordenados por el par ordenado de números (Px; Py). 
 Es importante notar que ambas coordenadas de P (Px; Py) son positivas. Sin 
embargo, el punto S (–Sx; Sy) tiene abscisa negativa (–Sx) y ordenada positiva (Sy). Por otra 
parte, observemos que las proyecciones de R y Q sobre el eje y lo cortan en el Origen, de 
donde podemos concluir que los puntos pertenecientes al eje x tendrán siempre sus 
ordenadas iguales a cero, en este caso R (Rx; 0) y Q (–Qx ; 0). Algo similar ocurre con los 
puntos que se encuentran sobre el eje y, los cuales tendrán abscisa igual a cero. 
x 
O U Q 
0 1 2 –1 
R 
P (Px ; Py) 
0 
1 
2 
–1 
S (–Sx ; Sy) 
Q (–Qx ; 0) 1 2 –1 x 
y 
R (Rx ; 0) Px 
Py 
–Sx 
Sy 
(I) (II) 
(III) (IV) 
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 Por último, observemos que los ejes dividen al plano en cuatro cuadrantes, a los que 
se designan de la siguiente manera (siguiendo el sentido antihorario): 
∗ Primer cuadrante (I): formado por todos los puntos con ( x > 0 ; y > 0 ) 
∗ Segundo cuadrante (II): formado por todos los puntos con ( x < 0 ; y > 0 ) 
∗ Tercer cuadrante (III): formado por todos los puntos con ( x < 0 ; y < 0 ) 
∗ Cuarto cuadrante (IV): formado por todos los puntos con ( x > 0 ; y < 0 ) 
5.3. PROBLEMAS 
Representar sobre un eje horizontal a los siguientes puntos: 
0 1 5/2 –2 –3,8 π 
Ubicar en el plano a los siguientes puntos e indicar a qué cuadrante o eje pertenecen: 
A(2; 1) B(1; –2) C(–3; 3/2) D(3; –1,5) 
E(–2,5; 0) F(0; –1) G(0; 1/2) H(–1; –3) 
6. ELEMENTOS DE TRIGONOMETRÍA 
 En este apartado presentaremos algunas nociones básicas de Trigonometría a modo 
de repaso de lo estudiado en el nivel medio. Sólo abordaremos aquellos conocimientos con 
los que será necesario contar para resolver algunos problemas que se plantean en el curso 
de Física Biológica. Con este propósito, definiremos ángulo plano y las funciones 
trigonométricas. Finalmente, revisaremos algunas herramientas matemáticas necesarias 
para resolver triángulos rectángulos. 
6.1. ¿Cómo se puede construir un ángulo plano? 
 Tracemos dos rectas que se crucen entre sí, como en la figura siguiente. Al hacerlo 
observamos que el plano queda dividido en cuatro partes o regiones. Cada una de estas 
partes define un ángulo. Al punto de intersección O entre las rectas lo llamamos vértice. 
 Para seleccionar a uno de los cuatro ángulos planos, elegimos dos de las cuatro 
semirrectas que se originan a partir del vértice O, y listo, ya tenemos el ángulo plano α. 
 ¿De qué otra forma podríamos construir el ángulo α? Podríamos suponer dos 
segmentos superpuestos (como los filos de unas tijeras cerradas), y luego dejando quieto a 
uno de ellos (por ejemplo al que dibujamos en forma horizontal) hacer girar al otro en 
sentido antihorario (como agujas de un reloj que giraran al revés) hasta una cierta posición 
final. Esta sería entonces, otra forma de construir un ángulo α. 
O 
α 
O 
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 Por otra parte, si suponemos a los ángulos con su vértice coincidiendo con el Origen 
de un sistema de coordenadas cartesianas ortogonales, y una 
de sus semirrectas (el lado origen del ángulo) coincidiendo con 
el eje x, cuando la semirrecta móvil que define el ángulo gire 
en sentido antihorario, el ángulo será positivo, y cuando gire 
en el otro sentido (horario) será negativo. ¿Qué signo le 
corresponde a cada uno de los ángulos de la figura de la 
derecha? 
 Muy bien, ya está claro cómo se construye un ángulo y 
cómo se define su signo a partir del sentido de giro de la 
semirrecta móvil, pero… 
6.2. ¿Cómo se miden y en qué escala se expresan los ángulos? 
 Aunque hay varias maneras de hacerlo, aquí sólo mencionaremos las dos más usadas: 
∗ El sistema sexagesimal, cuya unidad es el grado (simbolizado: º) 
∗ El sistema radial o circular, cuya unidad es el radián (simbolizado: rad) 
 El grado sexagesimal se obtiene al dividir a la circunferencia en 360 partes iguales 
(sería el ángulo correspondiente a una de las porciones de una pizza redonda que fuera 
cortada diametralmente, hasta formar 360 porciones iguales). A su vez, si se divide a cada 
grado en 60 partes iguales se obtiene el minuto (simbolizado: ’), y si cada minuto es dividido 
a su vez en 60 partes iguales se obtiene el segundo (simbolizado: ”). 
 Por otra parte, consideremos una circunferencia de radio R1 centrada en el vértice O 
del ángulo α, como se muestra en la figura (como si fuera el ángulo comprendido entre dos 
rayos de una rueda de bicicleta). Ahora, podríamos tomar una cinta métrica flexible (como la 
que usan las costureras) y medir la longitud del arco de circunferencia delimitada por los dos 
rayos (S1 en la figura). El cociente entre el valor de S1 (la longitud del arco de circunferencia) 
y el valor de R1 (la longitud del radio de la circunferencia), representa una medida del ángulo 
α. En otras palabras, definimos un ángulo de “un radián (α = 1 rad) como aquel en el cual la 
longitud del arco de circunferencia coincide con la longitud del radio de ella”. 
Matemáticamente escribimos: 
α = =1 2
1 2
S S
R R
 
α : ángulo 
S1 y S2: longitudes de los arcos de las circunferencias 1 y 2 
R1 y R2: radios de las circunferencias 1 y 2 
S1 α 
S2 
R1 R2 
O 
α 
O 
α 
x 
y 
β 
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 La longitud de un arco de circunferencia (como su nombre lo indica) tiene unidades 
de longitud, o sea, estará expresada en metros, centímetros, pulgadas, etc; y el radio de una 
circunferencia también tiene unidades de longitud. Por esta razón, los ángulos así definidos, 
como cociente entre magnitudes de iguales unidades, se dice que son adimensionales. ¿Si 
los ángulos son adimensionales, entonces qué papel desempeñan los símbolos “º” o “rad”? 
Indican la escala en la cual está siendo medido el ángulo, porque indudablemente un ángulo 
de 6º es distintode otro de 6 rad. 
6.3. ¿Cómo se relacionan estas escalas? 
 Para responder a esta pregunta, considérese un arco de circunferencia cuya longitud 
sea igual a la circunferencia. En este caso el valor de S (longitud de arco) sería el 
correspondiente al perímetro del círculo, o sea, S = 2 π R. Luego, el ángulo α medido en 
radianes es: 
πα π= = =S 2 R rad 2 rad
R R
 
Este mismo ángulo, correspondiente a un giro completo, expresado en grados sexagesimales 
tiene un valor: 
α = 360º 
Por lo tanto, se obtiene que: 
2 360ºπ =rad 
Ejercicio: ¿Cuántos grados mide un ángulo de π radianes? ¿Y uno de π /2 radianes? 
6.4. Funciones trigonométricas 
 Las funciones trigonométricas dependen de un ángulo. Nuevamente, por razones de 
comodidad ubicaremos al ángulo de forma tal que el vértice coincida con el Origen de un 
sistema de coordenadas, y la semirrecta fija quede apoyada sobre el eje x. Luego, tomamos 
un punto P1 cualquiera en el plano, y trazamos una semirrecta que tenga Origen en el punto 
O del sistema de ejes coordenados y pase por el punto P1. Sobre esta semirrecta que forma 
un ángulo α con el eje de las abscisas x, elijamos otro punto cualquiera P2. Una vez hecho 
esto queda formado un gráfico como el de la figura que sigue, con los segmentos OP1 y OP2, 
las proyecciones de los puntos P1 y P2 sobre cada uno de los ejes coordenados, o sea, los 
segmentos: OQ1 y Q1P1; y los segmentos: OQ2 y Q2P2. Ahora estamos en condiciones de 
definir a las funciones trigonométricas más utilizadas, que son: 
 
α = =1 1 2 2
1 2
Q P Q P
sen
OP OP
 
α = =1 2
1 2
OQ OQ
cos
OP OP
 
α = =1 1 2 2
1 2
Q P Q P
tg
OQ OQ
 
O 
α 
Q1 Q2 
P1 
P2 
x 
y 
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 Como puede verse de la figura anterior los valores del seno, coseno y tangente de un 
ángulo son independientes del punto que se tome sobre la semirrecta que contiene a los 
puntos P1 y P2. Esto se debe a que los triángulos OP1Q1 y OP2Q2 son semejantes, y por lo 
tanto, sus lados son proporcionales. 
6.5. ¿Cómo se pueden utilizar estas relaciones para “resolver” un triángulo rectángulo? 
 Resolver un triángulo significa determinar las medidas de todos sus lados y ángulos. 
Las funciones trigonométricas serán de gran ayuda para realizar esta tarea. En particular, 
para triángulos rectángulos, donde sabemos que uno de sus ángulos mide 90º, será 
suficiente contar con dos datos (dos de sus lados o un lado y un ángulo) para encontrar los 
restantes. 
 Consideremos entonces un triángulo rectángulo como el que se muestra en la figura 
siguiente. El lado más largo, designado con la letra (h) se llama hipotenusa y los restantes 
lados, catetos. Al fijar la atención sobre uno de los ángulos agudo del triángulo (por ejemplo 
α), los catetos adquieren un “apellido” y se los llama: cateto adyacente (a) y cateto opuesto 
(b) al ángulo en estudio. Tomando en cuenta las definiciones anteriores, las funciones 
trigonométricas para el triángulo rectángulo de la figura son: 
 
 
cateto opuesto a b
hipotenusa h
= =( )
( )
sen
αα 
cateto adyacente a a
hipotenusa h
= =( )cos
( )
αα 
cateto opuesto a b
cateto adyacente a a
= =( )
( )
tg
αα
α
 
 
Ejercicio: escribir las funciones trigonométricas utilizando el ángulo β. ¿Qué cateto es en este 
caso el opuesto? ¿Qué cateto es el adyacente? ¿Cómo se relacionarán las funciones 
trigonométricas asociadas al ángulo β con las correspondientes al ángulo α? 
 
 Para resolver este triángulo contamos además con otros dos resultados muy 
importantes: 
∗ La suma de las medidas de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180º. 
Matemáticamente, y tomando en cuenta que se trata de un triángulo rectángulo: 
90 180 90º º ºα β α β+ + = ⇒ + = 
∗ El Teorema de Pitágoras: en un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es 
igual a la suma de los cuadrados de los catetos. 
h 
α 
β 
a 
b 
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β 
α 
c 
b 
a 
h 
α 
β 
a 
b 
Matemáticamente: 
2 2 2 2 2= + ⇒ = +h a b h a b 
 
6.6. PROBLEMAS 
1) ¿Cuántos grados mide (aproximadamente) un ángulo de 1 radián? 
2) Expresar a los siguientes ángulos en radianes: 0º, 5º, 30º, 45º, 60º, 90º, 150º. 
3) Expresar a los siguientes ángulos en grados: π/9 rad; 5π/36 rad; 2π/3 rad; 3π/2 rad. 
4) Expresar en grados y en radianes los ángulos que forman las agujas del reloj cuando ellas 
indican las horas: 1, 2, 3, 6 y 8. 
5) Dos ángulos de un triángulo miden 120º y 36º. Calcular la magnitud del tercer ángulo del 
triángulo. Luego, expresar a los tres ángulos del triángulo en radianes. 
6) Identificar en el triángulo rectángulo del problema 8, el lado opuesto al ángulo α y el lado 
adyacente al ángulo β. ¿Qué relación encuentra entre el cos α y el sen β? ¿Y entre la tan α 
y la tan β? 
7) Un triángulo rectángulo tiene una hipotenusa de 3m de largo y uno de sus ángulos 30º. 
Calcular la longitud del lado opuesto y del lado adyacente al ángulo de 30º. 
8) Determinar todos los lados y ángulos del triángulo rectángulo de la figura sabiendo que: 
 
 (a) a = 15 cm β = 30º 
 (b) a = 20 cm α = 42º 
 (c) b = 8 cm β = 35º 
 (d) b = 12 cm α = 45º 
 (e) a = 20 cm c = 12 cm 
 (f) c = 15 cm b = 8 cm 
 (g) b= 10 cm a = 20 cm 
 (h) a = 10 cm b = 6 cm 
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7. VECTORES EN EL PLANO 
7.1. Magnitudes escalares y vectoriales 
 Algunas magnitudes físicas quedan completamente especificadas dando solamente su 
cantidad, la cual es expresada mediante una medida (un número) y la unidad de medida 
correspondiente. A este tipo de magnitudes (masa, tiempo, energía, volumen, temperatura, 
etc.) se las denomina escalares. 
 Sin embargo, hay otras magnitudes físicas para las cuales esto no es suficiente, y es 
necesario especificar además de su intensidad, su dirección y sentido (desplazamiento, 
fuerza, velocidad, campo eléctrico, etc.). A estas magnitudes se las denomina vectoriales. 
 A continuación introduciremos una nueva herramienta matemática (los vectores) 
necesaria para desarrollar y comprender algunos temas de la asignatura Física Biológica. 
7.2. ¿Cómo se define un vector? 
 En la bibliografía podemos encontrar muchas definiciones similares, aunque 
presentan alguna diferencia, fundamentalmente en la terminología empleada. Para ilustrar 
esto, transcribimos textualmente algunas definiciones extraídas de libros muy difundidos: 
1. “Los vectores son objetos matemáticos que tienen un módulo, una dirección y 
un sentido”. (KANE) 
2. “Para representar ciertas magnitudes físicas como el desplazamiento es 
necesario dar su magnitud (módulo), su dirección y sentido”. (GIAMBIAGI) 
3. “Segmento dirigido con una flecha en el extremo, es decir, además de tener una 
magnitud determinada tienen una dirección y sentido”. (KALNIN) 
4. “Los vectores son cantidades que tienen tanto magnitud, como dirección y 
sentido”. (RESNICK) 
5. “Las magnitudes que tienen valor y dirección, y que obedecen la ley de la adición 
ilustrada por los desplazamientos, se denominan vectores”. (TIPLER) 
6. “Un vector es una magnitud que tiene módulo, dirección y sentido 
independientes del sistema de coordenadas elegido y se recombina con otros 
vectores según reglas específicas, esto es, debe cumplir la ley de adición del 
paralelogramo”. (KITTEL) 
 En estos enunciados se destacan diferentes aspectos o propiedades de los vectores 
que son utilizadas para su definición. Si bien más adelante nos quedaremos con una de ellas, 
todas son aceptables. A medida que incorporemos otros conceptos vinculados a vectores, 
irán aclarándose cuáles son las coincidencias y diferencias que aparecen en estos 
enunciados.Antes de continuar y para evitar confusiones innecesarias, haremos algunas 
consideraciones respecto del lenguaje que se utilizará en nuestras clases. Cuando hablemos 
de magnitud, estaremos haciendo referencia a conceptos tales como longitud, masa, 
tiempo, fuerza, presión, temperatura, etc., es decir, aquellos parámetros que pueden ser 
medidos o determinados experimentalmente. Por lo tanto, cuando se mida una dada 
magnitud, obtendremos como resultado una cierta cantidad, que estará caracterizada 
cuantitativamente por una medida (un número real) y una unidad de medida que la 
acompaña. Por ejemplo, supongamos que al medir la masa (magnitud) de un perro se 
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obtiene un valor de 10 kg. Esta cantidad está dada por una medida (el número 10) y una 
unidad de medida (el kg). 
 ¿Podríamos expresar esta cantidad como 10.000g? Sí, es evidente que la medida 
(10.000 en lugar de 10) y la correspondiente unidad de medida (g en lugar de kg) cambian, 
pero la cantidad asociada a la magnitud “masa” del perro sigue siendo la misma (10.000g = 
10kg). Es importante tener en mente al realizar un cambio de unidades, que la medida 
también cambia, pero la cantidad sigue siendo la misma. En el ejemplo anterior, el perro no 
puede volverse ni más “gordo” ni más “flaco” como consecuencia de un simple cambio de la 
unidad de medida en la que expresamos su masa. 
7.3. Definición de vector 
 Habiendo hecho estas consideraciones de lenguaje, elegiremos la definición de 
vector que da el libro de Kane. Tres elementos definen y caracterizan a un vector: módulo, 
dirección y sentido. 
 Gráficamente, el vector es representado por 
una flecha. La longitud del segmento es una medida de 
su intensidad o módulo, y requiere la introducción de 
una escala. La dirección del vector está dada por la 
dirección de la recta sobre la cual se apoya o actúa, y 
en este caso es necesario indicar un ángulo respecto de 
una dirección prefijada. Finalmente, para una dada 
dirección hay sólo dos sentidos posibles. El sentido 
correspondiente se indica con una punta de flecha. 
 Por ejemplo, en la ciudad de Casilda, la calle 
Rivadavia se extiende desde la Ruta 33 hasta el Bv. Villada. Si adoptamos una escala donde 
0,25cm sea igual a la longitud de una cuadra, entonces la calle Rivadavia estaría 
representada por un vector de 4,25cm de longitud (correspondiente a 17 cuadras), su 
dirección estaría dada por la recta paralela a dicha calle, y el sentido podríamos asociarlo al 
sentido de circulación, en este caso, de sureste a noroeste. 
7.4. Notación 
 Generalmente los vectores se designan por letras (minúsculas o mayúsculas) con una 
flecha sobre ella (a
r
). La distancia entre los dos puntos extremos, esto es, la longitud del 
vector, representa al módulo del mismo. El módulo de un vector será siempre un número 
(escalar) positivo, y lo indicaremos con la letra cursiva (a), o colocándolo entre barras 
paralelas ( a
r
). 
 Dos vectores son iguales o equivalentes si tienen igual módulo, dirección y sentido. 
De esta definición se desprende que un vector puede ser trasladado paralelamente a sí 
mismo, sin que varíe. Si dos o más vectores están apoyados sobre la misma recta, se dice 
que son colineales. Dos, tres o más vectores se llaman concurrentes si sus direcciones se 
α 
 
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intersecan en un único punto. Si no cumplen con esta condición, se denominan no 
concurrentes. Se define al vector nulo O
ur
, como el vector de módulo igual a cero ( 0O = ). 
Dado un vector cualquiera a
r
, se define el vector opuesto de a
r
 (y se simboliza a−
r
), al 
vector que tiene igual módulo y dirección, pero sentido contrario. 
Iguales Colineales Concurrentes Opuestos 
a b c= =
rr r
 
 
 
 
7.5. Operaciones entre vectores 
 A continuación introduciremos algunas operaciones entre vectores, como son la 
suma, la resta, y el producto de un vector por un escalar. Primero procederemos en forma 
gráfica, y más adelante, lo haremos en forma analítica. 
 Existen dos métodos para sumar (o restar) dos o más vectores en el plano, estos son: 
1. el método de la poligonal. 
2. el método del paralelogramo. 
 Para hacerlo un poco más general, consideremos la suma de los tres vectores: a
r
, b
r
 
y c
r
. Siguiendo el método de la poligonal, trasladamos al vector b
r
 de modo tal que el 
origen de b
r
 coincida con el extremo de a
r
, y luego trasladamos al vector c
r
 de modo que su 
origen coincida con el extremo de b
r
. Luego, el vector suma a b c+ +
rr r
 es el que tiene origen 
en el primero (en este caso a
r
) y extremo coincidente con el extremo del último (en este 
caso c
r
). 
 Alternativamente, los vectores se pueden sumar siguiendo el método o regla del 
paralelogramo. En este caso, como se observa en la figura 2, los vectores a
r
 y b
r
 se grafican 
con origen en común y forman dos de los lados de un paralelogramo. El vector suma ( )a b+
rr
 
está dado por la diagonal que tiene origen en el vértice formado por el origen de los 
vectores sumandos, y extremos en el vértice opuesto del paralelogramo. Luego, el vector 
resultante ( )a b c+ +
rr r
 se obtiene considerando el paralelogramo que definen el vector 
( )a b+
rr
 con el vector c
r
. 
1. 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Por supuesto, con ambos métodos obtenemos el mismo vector resultante. 
 
Ejercicio: ¿La suma de vectores será conmutativa? ¿Se obtiene el mismo vector resultante si 
se suman ( )b c a+ +
r r r
, o si se suman ( )a b c+ +
rr r
? 
 
 Una manera de pensar la resta de vectores consiste en sumar al vector opuesto, es 
decir, considerar a la operación: ( )a b a b− = + −
r rr r
. De acuerdo a esta definición, debe 
cumplirse que ( )a a a a O− = + − =
rr r r r
, es decir, si a un vector cualquiera se le suma su opuesto 
se obtiene como resultado el vector nulo (por definición, el vector nulo es el vector de 
módulo igual a cero). 
 Por otra parte, si multiplicamos un escalar por un vector, es lógico pretender que se 
cumpla con la siguiente condición: 2a a a= +
r r r
. Esto es, el vector 2a
r
 deberá tener la misma 
dirección y sentido que a
r
, y módulo igual al doble de a
r
. Gráficamente, 
 Luego, procediendo del mismo modo, el vector 
1
3
b a=
r r
 es un vector de igual 
dirección y sentido que a
r
, pero su módulo será igual a la tercera parte del módulo de a
r
, en 
símbolos: 
3
a
b = . 
 Ahora bien, ¿qué pasaría si el escalar que multiplica al vector fuera negativo? Para 
responder a esta pregunta, necesitamos recordar la definición de valor absoluto. El valor 
absoluto de un número real λ cualquiera, se simboliza λ , y se define: 
0
0
si
si
λ λ
λ
λ λ
≥
= − <
 
El valor absoluto de un número real (distinto de cero), es siempre positivo. Por ejemplo, 
, ,=5 32 5 32 − =
2 2
7 7
 π π= − =1 1 =0 0 
 Con estas ideas, el vector “opuesto de a
r
” ( a−
r
) que se definió anteriormente, puede 
pensarse como el producto de un escalar por un vector: ( )1a a− = −r r . Ambos vectores ( ar y 
a−
r
) tendrán igual módulo, ya que: ( 1) 1 1a a a a a− = − = − = =
r r r r r
. 
 
 
 
 
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 En general podemos decir que al multiplicar a un vector a
r
 por un escalar λ∈ℝ, se 
obtiene un nuevo vector b
r
, que matemáticamente se expresa así b aλ=
r r
, y que: 
1) 
0
0
0
b a
a
a O b
a
b a
λ
λ
λ
λ


 >≠ ≠   <
 =
dirección de = direcciónde 
igual al sentido de si
Si y sentido de es
opuesto al sentido de si
r r
r
r rr
r
r r
 
En cuanto a los módulos, observemos que: 
si 
si
si
0 1
1
1
b a
b a
b a
λ
λ
λ
 < < <

 = =

> >

r r
r r
r r
 
2) Si 0 o a O entonces b Oλ = = =
r rrr
 
 
 Llamaremos versor o vector unitario a un vector que tiene módulo igual a uno. Una 
manera de “fabricar” un versor a partir de un vector cualquiera es dividiéndolo por su 
módulo. Distinguimos a los versores de los vectores colocándoles un “sombrerito” arriba: 
= =
r
r
r r
1
ˆ 
a
a a
a a
 
En la última igualdad, el versor â queda escrito como producto de un escalar por un vector. 
 Por otra parte, de la siguiente igualdad: 
= = = =
r r
r r r r r
r r ˆ1
a a
a a a a a a
a a
 
observamos que se puede expresar a cualquier vector a
r
, como el producto de un escalar 
(su módulo) por un versor â (que da cuenta de la dirección y sentido de a
r
). 
7.6. Descomposición de vectores 
 Por lo visto hasta aquí, podemos obtener un vector suma (o resultante) a partir de 
dos vectores cualesquiera usando algún método gráfico como pueden ser la regla de la 
poligonal o la del paralelogramo. También podemos recorrer el camino inverso, es decir, 
descomponer a un vector cualquiera como suma de otros dos, llamados vectores 
componentes. Para hacer esto, necesitamos dar las direcciones sobre las cuales se deben 
tomar las componentes del vector. 
 Si bien un vector se puede descomponer de muchas maneras diferentes según las 
direcciones elegidas (¿de cuántas maneras?), entre todos los pares de direcciones posibles 
resulta particularmente importante la descomposición según dos direcciones que sean 
perpendiculares entre sí. 
 Antes de dar una definición más rigurosa, vamos a analizar a modo de ejemplo el 
movimiento de un barco de vela. ¿Cómo consigue desplazarse un barco por el agua con 
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viento en contra? Aquellos que hayan tenido la oportunidad de ver el movimiento, habrán 
notado que lo hace en zigzag. A este movimiento se lo conoce como bordeo. 
 Claro que es imposible ir con las velas en contra del viento. Pero, ¿se podrá ir en 
contra del viento aunque sea formando un ángulo? La posibilidad de “bordear” en contra del 
viento se basa en dos observaciones. En primer lugar, el viento siempre empuja a la vela 
formando un ángulo recto con su plano. En la figura (a), se descompone la fuerza del viento 
en dos componentes: una de ellas obliga al aire a deslizarse a lo largo de la vela, la otra, la 
componente normal, efectúa una presión sobre la vela. En segundo lugar, el yate no se 
mueve hacia donde lo empuja la fuerza del viento, sino hacia donde mira la proa. 
 El movimiento transversal del yate con respecto a la línea de la quilla, encuentra una 
resistencia muy fuerte del agua. Por ende, para que el yate se mueva con la proa hacia 
adelante, es necesario que la fuerza normal sobre la vela tenga una componente a lo largo 
de la línea de la quilla que mire hacia adelante. 
 Ahora tiene que quedarnos clara la figura (b) en la que se representa un yate que va 
en contra del viento. Para esto deberemos orientar a la vela de modo que su plano divida 
por la mitad el ángulo formado por la dirección del movimiento del yate y la dirección del 
viento. 
 Resumiendo, para hallar la fuerza que hace avanzar al yate, tenemos que 
descomponer dos veces al vector que representa la fuerza del viento. Primero, a lo largo y 
perpendicularmente a la vela (sólo tiene importancia la componente normal); después, hay 
que descomponer esta componente normal a lo largo y transversalmente a la línea de la 
quilla. La componente longitudinal, es la que hará avanzar al yate formando un ángulo con el 
viento. 
 Luego de ver este ejemplo, es momento de una nueva definición. Se define 
proyección ortogonal de un vector a
r
 según una dirección o eje “u” (y lo indicaremos 
cosua a α= ) como el número escalar que expresa la longitud del segmento proyectado 
sobre el eje. 
 
(a) (b) 
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 Para estudiar analíticamente la descomposición de vectores, necesitaremos 
introducir un sistema de ejes de coordenadas cartesianas. A uno de los ejes (llamado de las 
abscisas) lo designaremos con la letra x, mientras que al otro eje, perpendicular a este 
(llamado de las ordenadas) lo designaremos con la letra y. En general, el punto de 
intersección entre los ejes define al Origen del sistema coordenado (punto O). 
 Consideremos al vector a
r
de la figura siguiente, al cual debemos descomponer según 
los ejes x e y, 
Podemos pensar al vector a
r
como la suma de dos vectores cuyos módulos están dados por 
las proyecciones ortogonales según cada uno de los ejes coordenados. Matemáticamente, 
x ya a a= +
r r r
 
donde, 
cos
sen
x
y
a a
a a
α
α
=
 =
 
A estas componentes ax y ay (llamadas ortogonales) las usaremos para representar al vector 
como un par ordenado de números. Esta forma de representación se denomina forma 
cartesiana y usaremos la siguiente notación: 
( );x ya a a=r 
donde la primera componente corresponde a la proyección ortogonal del vector sobre el eje 
x, y la segunda a la proyección ortogonal del vector sobre el eje y. 
 Alternativamente, vamos a definir a un vector en forma polar, para lo cual debemos 
dar el valor de su módulo y el ángulo que forma con alguno de los dos ejes. Mirando 
nuevamente la figura, el módulo de a
r
 se puede calcular usando el teorema de Pitágoras: 
2 2
x ya a a= + 
y el ángulo α a partir de alguna función trigonométrica: 
α 
au 
u 
y 
 
x 
α 
O 
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y
x
a
arctg
a
α
 
=  
 
 
 En síntesis, podemos representar gráficamente a un vector a
r
 en un sistema de 
coordenadas x e y (sin ninguna ambigüedad) si conocemos sus componentes ortogonales ax 
y ay; o el valor de su módulo ( a ) y el ángulo que forma con alguno de los ejes (α). Por 
supuesto, si el vector está escrito en forma polar podemos reescribirlo en forma cartesiana, 
y viceversa. 
7.7. Suma de vectores en forma analítica 
 Para comprender la suma analítica de vectores, nos apoyaremos en las figuras 
siguientes. Consideremos dos vectores cualesquiera a
r
 y b
r
 en el plano. Gráficamente, 
podemos sumarlos usando el método de la poligonal. 
 Por otro lado, podemos descomponer ambos vectores a
r
 y b
r
 según dos direcciones 
mutuamente perpendiculares, e introducir un par de ejes cartesianos x e y según esas 
direcciones. De este modo, los vectores quedan representados en forma cartesiana como 
par ordenado de números: ( );x ya a a=r y ( );x yb b b=
r
. 
 
 
 
 
 
 
ay 
 
ax 
bx 
by 
ay 
ax bx 
 by 
y 
x 
 
 
cy 
cx 
y 
ay 
 
by 
cy 
cx 
ax bx x 
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 De la observación cuidadosa de las figuras anteriores, surgen las expresiones para la 
suma analítica. Gráficamente, podemos observar que se cumplen las siguientes expresiones 
matemáticas: 
x x x
y y y
c a b
c a b
= +
 = +
 
Es decir, la componente x del vector suma ( xc ) se obtiene sumando las componentes según 
x de cada uno de los vectores ( x xa b+ ). Análogamente, la componente y del vector suma 
( yc ) es igual a la suma de las componentes según y de los vectores dados ( y ya b+ ). De este 
modo, al vector suma o vector resultante lo podemos expresar en forma cartesiana de la 
siguiente manera ( );x yc c c=r . 
 Si necesitáramosconocer el módulo del vector c
r
 y el ángulo que forma con algún 
eje, deberíamos utilizar el teorema de Pitágoras y alguna función trigonométrica, para 
representarlo en forma polar. 
 
Para pensar: ¿Cómo sumarías tres o más vectores en forma analítica? ¿Cómo restarías dos 
vectores en forma analítica? ¿Cómo multiplicarías un escalar por un vector en forma analítica? 
 
7.8. PROBLEMAS 
1) Graficar dos vectores arbitrarios 
r
a y b
r
 y obtener los vectores: 
(a) suma: a b+
rr
 y b a+
r r
 
(b) diferencia: a b−
rr
 y b a−
r r
. 
2) Sobre los lados de un triángulo rectángulo, se han construido los 
vectores a
r
, b
r
 y c
r
. Obtener el vector suma a b c+ +
rr r
. ¿Qué resultado 
obtendría si el triángulo no fuera rectángulo? 
3) Dibujar tres vectores cualesquiera a
r
, b
r
 y c
r
, y obtener: a b+
rr
, 
a b c+ +
rr r
, a b c+ −
rr r
, a b c− +
rr r
. 
4) Dados los vectores a
r
 y b
r
 en el plano, expresar los 
vectores c
r
, d
r
 y e
r
 en función de a
r
 y b
r
 o de sus 
opuestos a−
r
 y b−
r
. 
5) Dibujar un vector arbitrario 
r
a y junto a él representar gráficamente los vectores: 
(a) 2b a= −
r r
 (b) 
3
2
c a=
r r
 (c) 
1
3
d a
 = − 
 
r r
 (d) 
2
a
e =
r
r
 
6) Dados los vectores: a
r
, b
r
, c
r
 y d
r
 que coinciden con los lados de un rectángulo, construir 
gráficamente los vectores: 
(a) a b+
rr
 (b) a b−
rr
 
(c) ( )2 b d+r r (d) ( ) ( )a b c d− + −r rr r 
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7) Dados dos vectores cualesquiera 
r
a y b
r
, representar gráficamente: 
(a) 3b a− +
r r
 (b) 3a b−
rr
 (c) 3a b− +
rr
 (d) 2a b a− +
rrr
 
8) ¿Tiene dirección un vector de módulo cero? 
9) Hallar la proyección de un vector a
r
 de módulo 4a = , sobre el eje que forma con el 
vector un ángulo de 60º. ¿Cómo obtendría la proyección si el ángulo fuera de 120º? 
10) ¿Cuánto vale la proyección de un vector que es paralelo a un cierto 
eje? ¿Y si fuera perpendicular? ¿Y si fuera el vector nulo? 
11) El tendón del bíceps de la figura ejerce una fuerza mF
r
 de 70N sobre 
el antebrazo. El brazo aparece doblado de tal manera que esta fuerza 
forma un ángulo de 40º con el antebrazo. Hallar las componentes de mF
r
: 
(a) paralela al antebrazo (fuerza estabilizadora) y, (b) perpendicular al 
antebrazo (fuerza de sostén). 
12) Representar gráficamente los siguientes vectores dados en forma cartesiana. Luego, 
determinar el módulo y ángulo que cada uno de ellos forma con algún semieje coordenado. 
(a) (2;4)a =
r
 (b) (1; 1)b = −
r
 (c) ( 3;0)c = −
r
 
(d) ( 3; 6)d = − −
r
 (e) (4; 2)e = −
r
 (f) (0;1)f =
r
 
13) Expresar a los siguientes vectores en forma cartesiana: 
 
 
 
2,0
3,0
1,0
3,5
2,2
2,8
3,0
2,6
3,0
a
b
c
d
e
f
g
h
k
=
=
=
=
=
=
=
=
=
r
r
r
r
r
r
r
r
r
 
14) Dados los siguientes vectores: 
(2;3)a =
r
 (3;2)b =
r
 (0;7)c =
r
 
( 2;5)d = −
r
 ( 1; 1)e = − −
r
 (1;8)f =
r
 
10º x 
y 
45º 
15º 
25º 
60º 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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resolver en forma gráfica y algebraica las siguientes operaciones: 
(a) g a b= +
rr r
 (e) 2m d e= −
rr r
 
(b) h b c= −
r r r
 (f) 2n f d= −
r rr
 
(c) k c d= +
r rr
 (g) q a b e= + +
rr r r
 
(d) 
1
2
l e= −
r r
 (h) p f d a= − +
r rr r
 
15) En el origen de coordenadas se han aplicado tres fuerzas: ( )1 0; 2F = −
uur
, ( )2 4;2F =
uur
 y 
( )3 4; 2F = −
uur
. Hallar la fuerza resultante R
ur
, indicando su módulo y el ángulo que forma con 
alguno de los ejes coordenados. 
16) Dos vectores a
r
 y b
r
 tienen igual módulo. ¿En qué circunstancias el vector suma 
c a b= +
rr r
 tendrá el mismo módulo que a
r
 y b
r
? ¿Cuántas soluciones existen? 
17) Si 
r
c es la suma vectorial de a
r
 y b
r
, esto es, c a b= +
rr r
. ¿Qué condiciones se tienen que 
cumplir para que c = a + b? ¿Y para que c = 0? 
18) ¿Pueden dos vectores de módulos distintos tener un vector suma nulo? 
19) (a) ¿Un vector de módulo cero puede tener alguna de sus componentes distinta de cero? 
Explicar la respuesta. (b) ¿El módulo de un vector puede tomar un valor menor que el de 
cualquiera de sus componentes? Explicar la respuesta. 
20) Un conductor recorre con su vehículo el 
camino indicado en la figura. (a) Representar cada 
tramo a través de un vector. (b) Encontrar 
gráficamente el vector suma. (c) ¿Qué representa el 
módulo de dicho vector suma? (d) Colocar un 
sistema de referencia, descomponer al vector suma 
según cada uno de los ejes. (e) Determinar módulo 
y ángulo del vector suma. 
21) Las partes posterior y anterior del músculo deltoides elevan el brazo al ejercer las 
fuerzas 40pF N= y 60aF N= que muestra la figura. ¿Cuánto vale el módulo de la fuerza 
total sobre el brazo y qué ángulo forma con la vertical? 
 
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8. BIBLIOGRAFÍA 
• Kane, J.W. y M.M Sternheim, “Física”, (Ed. Reverté, Barcelona, 1995). 
• Serway, R.A. y J.S. Faughn, “Fundamentos de Física.”, Vol. 1, (International Thomson 
Editores, México, 2004). 
• Kalnin, R.A., “Álgebra y Funciones Elementales”, (Ed. MIR, URSS, 1978). 
• Pogorélov, A.V., “Geometría Elemental”, (Ed. MIR, URSS, 1974). 
• Curso de ingreso, Facultad de Ingeniería, Universidad Nacional de La Plata, 
https://www.ing.unlp.edu.ar/sitio/ingreso/archivos/Mate_PI_EDULP_corregido2020.pdf. 
• Bollini, C.G. y J.J. Giambiagi, “Mecánica. Ondas. Acústica. Termodinámica.”, (Edicient 
Editores S.A.I.C., Buenos Aires, 1975). 
• Resnick, R. y D. Halliday, “Física”, Parte I, (Compañía Editorial Continental, México, 1977). 
• Tipler, P.A, “Física”, Parte I, (Ed. Reverté, Barcelona, 1980). 
• Kittel,C., W.D. Knight y M.A. Ruderman, “Mecánica”, (Berkeley Physics Course, Vol. 1, Ed. 
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• Sears, F.W., Zemansky, M.W., Young, H.D., Freedman, R.A., “Física Universitaria”, Vol.1, 
(Pearson, México, 2009). 
• Landau, L. y A. Kitaigorodski, “Física para Todos”, (Ed. MIR, Moscú, 1963). 
• Sitio en Internet del CNICE (Centro Nacional de Información y Comunicación Educativa), 
Ministerio de Educación y Ciencia de España, 
http://w3.cnice.mec.es/eos/MaterialesEducativos/mem2002/vectores/index.html.