Unidad N 7 2020

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE CUYO Ing. Francisco Membrives 
Facultad de Ciencias Aplicadas a la Industria Ing. Sergio Sini 
OPERACIONES UNITARIAS I 
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Unidad Nº 7. Desplazamiento de sólidos en el seno de fluidos 
 
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UNIDAD Nº 7 
 
DESPLAZAMIENTO DE SÓLIDOS EN EL SENO FLUIDOS 
 
Clasificación hidráulica 
 
La dirección del movimiento de las partículas de un sólido en el seno de un fluido se efectuará 
de arriba a abajo, o viceversa, según sea la densidad relativa del sólido con respecto a la del 
fluido. Este hecho constituye la base de un procedimiento para la separación de partículas 
sólidas según sus distintas densidades, operación que se conoce con el nombre de 
clasificación o separación hidráulica. Si se dispone de un fluido cuya densidad sea 
intermedia entre la de los sólidos a separar, las partículas pueden clasificarse, simplemente, 
introduciéndolas en una determinada masa del fluido. 
Aquellas partículas cuya densidad sea inferior a la del fluido, se elevarán y flotarán, mientras 
que las más densas se sumergirán y descenderán en el seno del mismo. 
Cuando no se dispone de un fluido sencillo, dotado de la densidad apropiada, puede utilizarse 
un fluido complejo, o una suspensión en un fluido de partículas sólidas muy finas (tamiz de 
325 mallas) que posea la densidad aparente exigida, suspensión que se comporta de igual 
modo que un fluido simple de densidad idéntica a la de ella. 
 
 
Tensión superficial – Agentes de flotación 
 
En vez de recurrir a una suspensión, como medio para disponer de un fluido de la densidad 
deseada, pueden utilizarse las propiedades superficiales del sólido y la incorporación de 
ciertos productos adsorbidos por las superficies de sus partículas, consiguiéndose así la 
flotación de un sólido o la inmersión de otro, independientemente de cuáles sean las 
respectivas relaciones de densidad entre cada uno de ellos y el fluido. En efecto, es frecuente 
observar cómo flotan sobre el agua las partículas de polvo, cómo corretean sobre su superficie 
ciertos insectos, y es fácil observar cómo una aguja de acero, ligeramente engrasada 
pasándola entre los cabellos, se sostiene sobre la superficie del agua sin hundirse. Todos estos 
fenómenos son posibles gracias a la tensión superficial del agua, motivo por el cual el 
líquido no «moja» al sólido. En cambio, si las partículas de polvo o las patas del insecto se 
mojaran por completo, entonces se hundirán en el agua; y sólo es posible hacer flotar un 
alfiler de acero limpio y seco si se le coloca con sumo cuidado sobre la superficie del agua. 
Con efectos contrarios pueden emplearse los denominados agentes de flotación. Se trata de 
unos productos que, adsorbidos selectivamente por las superficies de uno de los sólidos 
presentes, le permite la adsorción o adhesión de burbujas de aire, confiriéndole una densidad 
efectiva mucho menor que la densidad del fluido que les rodea, ya que la partícula sólida, más 
el agente de flotación adsorbido y el aire, constituyen un conjunto o partícula independiente. 
A las operaciones de esta clase se las denomina flotaciones y tienen gran importancia 
industrial en la clasificación y recuperación de minerales valiosos y en otras muchas 
separaciones. 
Aun cuando las partículas de los dos sólidos que se pretende separar sean más densas que el 
fluido, de modo que ambas se desplacen en el mismo sentido, hacia abajo, cuando se 
introducen en el seno del fluido, puede lograrse la separación si dichas partículas se trasladan 
en el fluido con velocidades diferentes. Así, por ejemplo, supongamos que hay que separar 
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una mezcla de galena (SPb) y de roca silícea (Si02). Primeramente, las partículas deben 
triturarse hasta el tamaño casi uniforme de un centímetro. Mediante ensayos de laboratorio, o 
también por cálculo, puede establecerse que las partículas de galena de tamaño de 1 cm caen 
en el seno del agua quieta a la velocidad de 3,96 m/seg., mientras que las partículas de sílice 
de igual dimensión sedimentan a la velocidad de 2,14 m/seg. Por tanto, si la mezcla de 
partículas se introduce en una corriente vertical de agua ascendente a una velocidad inferior a 
3,96 m/seg., y mayor que 2,14 m/seg., las partículas de sílice serán arrastradas hacia arriba y 
descargadas por el rebosadero, mientras que las de galena se hundirán en el seno del fluido 
ascendente y podrán descargarse por el fondo. Este proceso continuo de separación se 
denomina elutriación, y para efectuarlo se utiliza un cilindro por el que circula un fluido en 
movimiento ascensional a velocidad constante y determinada. El sólido se introduce como tal 
en forma de dispersión en el propio fluido. El tamaño de las partículas mayores arrastradas 
por la corriente ascendente del fluido (después de fluir algún tiempo) es aquel que posee una 
velocidad máxima de sedimentación, justamente inferior a la velocidad ascendente del fluido. 
 
 
 
Clasificación es el término que se usa para designar la separación de las partículas sólidas 
basándose en sus distintas velocidades de precipitación en el seno de los fluidos. Estas 
velocidades dependen de las propiedades del sólido (densidad, tamaño y forma), así como de 
las condiciones de su superficie o de la interfase entre el sólido y el fluido. 
 
 
Velocidad máxima o límite. Velocidad de sedimentación. 
 
La teoría básica del movimiento de los cuerpos sólidos en el seno de los fluidos deriva del 
concepto de movimiento o caída libre de los cuerpos de masa invariable bajo una aceleración 
constante. Si una partícula se mueve verticalmente descendiendo en un fluido, lo hará de 
acuerdo con la ecuación: 
 
Δθ . a v  
 
donde a es la aceleración de la partícula (constante) y  es el intervalo de tiempo 
considerado. Si la única fuerza actuante es la de la gravedad, se puede hacer a = g. 
Fig. 7.1 Elutriador de 3 etapas 
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La presencia de cualquier fluido, como aire o agua, introduce dos fuerzas adicionales: una, el 
efecto de flotación que resulta al ser desplazado el fluido por el sólido, y otra, la resistencia de 
frotamiento producida por el movimiento relativo del sólido en el fluido. El frotamiento 
aumenta cuando la velocidad crece, hasta que las fuerzas de aceleración y de resistencia se 
igualan. Entonces el sólido continúa moviéndose (o cae) a una velocidad constante y máxima, 
llamada también velocidad límite, a menos que otras fuerzas perturben el equilibrio. 
 
Se hacen las siguientes suposiciones teóricas: 
 
a.-Partículas esféricas, no porosas e incompresibles 
b.- Fluido incompresible 
c.- Fuerza aceleradora producida por g = cte. 
d.- La partícula se mueve libremente. 
e.- Suficiente líquido para evitar el efecto de pared. 
 
La fuerza que actúa poniendo en movimiento a la partícula puede expresarse en unidades 
absolutas como el producto de la masa de la partícula por la aceleración. Puesto que la fuerza 
que realmente actúa es una resultante que tiende a arrastrar a la partícula hacia abajo, se 
tendrá: 
 F - E - P R  (1) 
 
Donde: Además: 
R = resultante = m . a m = masa de la partícula 
P = peso de la partícula w = masa de fluido desalojado por 
E = empuje del líquido la partícula. 
F = Fuerza de fricción L = densidad del fluido 
 S = densidad del sólido 
 
g . m P  ; g . w E  y 
2
 v.A . ρ . ́ f
 F
2
L 
Reemplazando en 1: 
 
 
2
 v.A . ρ . ́ f
 - g . w- g . m a . m
2
L 
 
2
v
 . r . π. ρ . f - g . ρ . r . π. 
3
4
 - g . ρ . r . π. 
3
4
 a . ρ . r . π. 
3
4 22
LDL
3
S
3
S
3  (2) 
  
2
v
 . r . π. ρ . f - ρ - ρ . g . r . π. 
3
4
 
dθ
dv
 . ρ . r . π. 
3
4 22
LDLS
3
S
3 





 
 
S
3
22
LD
S
LS
ρ . 2 . r . π. 
3
4
 v. r . π. ρ . f 
 - 
ρ
ρ - ρ
 . g 
dθ
dv
 











 
S
2
LD
S
LS
ρ .r . 8 
 v. ρ . f . 3 
 - 
ρ
ρ - ρ
 . g 
dθ
dv
 











 
P
E
F
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S
2
LD
S
LS
ρ . D . 4 
 v. ρ . f . 3 
 - 
ρ
ρ - ρ
 . g 
dθ
dv
 











 
 
Aquí se ha efectuado la suposición de que las partículas son esferas, por lo que: f ` = f D. 
 
Al principio la partícula se acelera por lo que la velocidad v crece y el rozamiento crece más 
rápidamente (varía con la v2) y empieza el frenado hasta que v se hace constante e igual a vm, 
llamada velocidad límite de la partícula; y por ende a = 0. 
S
2
mLD
S
LS
ρ . D . 4 
 v. ρ . f . 3 
 
ρ
ρ - ρ
 . g 
0 a 
dθ
dv
 












 
 
SLD
SLS2
m
ρ . ρ . f . 3 
 ρ . D . g . ρ - ρ . 4 
 v  
 
 
 (3) 
 
 
De la ecuación anterior puede obtenerse el factor de fricción f D. 
 
 
 (4) 
 
 
 
Ley de Stokes 
 
Para flujo en régimen viscoso o laminar, STOKES demostró que la fuerza de fricción que se 
opone al movimiento de una partícula esférica es la siguiente: 
 
 v.μ . D . π. 3 F  
 
Donde: D = Diámetro de la partícula esférica 
  = viscosidad del fluido 
 v = velocidad de la partícula en relación al fluido 
 
Reemplazando en 2 se obtiene: 
 
  v.μ . D . π. 3 - ρ - ρ . g . r . π. 
3
4
 
dθ
dv
 . ρ . r . π. 
3
4
LS
3
S
3 





 
 
 
 ρ . f . 3 
 ρ - ρ . D . g . 4 
 v
LD
LS
m  
 
 v. ρ . 3 
 ρ - ρ . D . g . 4 
 f 
2
mL
LS
D  
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 
 ρ . r . π. 
3
4
 v.μ . D . π. 3
 - 
 ρ . r . π. 
3
4
ρ - ρ . g . r . π. 
3
4
 
dθ
dv
S
3
S
3
LS
3






 
 
 ρ . r . 4
 v.μ .r . 2 . 9
 - 
 ρ 
ρ - ρ . g 
 
dθ
dv
S
3
S
LS





 
 
 ρ . r . 4
 v.μ . 18
 - 
 ρ 
ρ - ρ . g 
 
dθ
dv
S
2
S
LS





 
 
Para la velocidad límite o máxima, a = dv/d = 0, por lo cual: 
 
 
 ρ . r . 4
 v.μ . 18
 
 ρ 
ρ - ρ . g 
 
S
2
m
S
LS  
 
 ρ . D 
 v.μ . 18
 
 ρ 
ρ - ρ . g 
 
S
2
m
S
LS  
 
 (5) 
 
 
 
Si se sustituye esta expresión de vm en la ecuación 4 obtenida para el factor de fricción, f D : 
 
 
  ρ - ρ . D . g 
μ . 18 
 . 
 v. ρ . 3 
 ρ - ρ . D . g . 4 
 f 
LS
2
mL
LS
D  
 
 v. ρ . D 
μ . 24 
 f 
mL
D  
 
 
 (6) 
 
Siempre que el flujo sea laminar, puede aplicarse la ecuación 6 o expresar el coeficiente de 
fricción como una ecuación logarítmica. 
 
Re log 24 log f log D  
 
Entonces, y como se ha hecho en las figuras siguientes, cuando los valores de log fD se 
grafican en función de los correspondientes valores de log Re, el coeficiente de frotamiento en 
el flujo laminar se representa en coordenadas logarítmicas mediante una línea recta cuya 
pendiente es igual a -1. Esta situación se mantiene hasta un valor del número de Reynolds, Re, 
casi igual a 3, por encima del cual comienzan a formarse remolinos y turbulencias que 
aumentan su efecto al crecer el valor de Re. 
 
 
μ . 18 
ρ - ρ . D . g 
 v LS
2
m  
 
 Re 
 24 
 f D  
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En la región del régimen turbulento (números de Re mayores que 300 ó 400) el valor del 
coeficiente de frotamiento tiende hacia valores constantes e independientes del número de 
Reynolds, como lo indica la parte horizontal de las líneas en la figura. 
Para un número de Reynolds de 200.000, el coeficiente de frotamiento disminuye 
bruscamente, debido al hecho de que el fluido forma un remolino inmediatamente detrás de la 
partícula, desplazándose junto con ella y constituyendo un conjunto aerodinámico. 
 
Si el fluido es agua, el flujo laminar con partículas esféricas de muchos minerales se produce 
cuando sus diámetros son inferiores a 50 micras, pero cuando éstos son de 1 mm (1000 
micras)o más, el régimen de flujo es turbulento. La mayoría de los tamaños hallados en las 
operaciones industriales de sedimentación o de clasificación, oscilan entre 0,05 y 1 mm, y los 
valores del coeficiente de frotamiento fD se pueden hallar mediante la gráfica de la figura. 
La transición entre el régimen laminar y el turbulento es bastante indefinida por no existir un 
cambio brusco entre la pendiente de la línea recta que representa el flujo laminar y la línea 
recta horizontal que corresponde al flujo enteramente turbulento, cuando fD resulta 
prácticamente constante. 
 
 
 
Aplicación a partículas no esféricas 
 
La forma de las partículas puede definirse en términos de la esfericidad, , la cual es: 
 
 = 
partícula la de superficie la de Área
 partícula la de al diámetro igual de esféra una de superficie la de Área
 
Considerando que: 
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diámetro mismo del esfera la de específica Superficie 
 partícula la de específica Superficie
 n  
 
2
MEDD . π esfera la de Superficie  
ψ
D . π
 partícula la de Superficie
2
s 
6
ρ . D . π
 esfera la de Masa
3
MED 
6
ρ . D . π
 partícula la de Masa
3
s 
 
S
MED
2
MED
3
S
3
MED
2
S
D . ψ
D
 
 6 . D . π. ρ . D . π. ψ 
 ρ . D . π. 6 . D . π
 n  
S
MED
D . ψ
D
 n  
 
 
n
1
 . 
ψ
D
 D MEDS  
 
 
El valor de DS es el que ha de usarse en lugar de D, en todas las ecuaciones de flujo en que 
interviene la esfericidad. El coeficiente de frotamiento fD puede hallarse como función del 
número de Reynolds, tal como lo indica la familia de curvas representadas en la figura 
siguiente, usando la esfericidad como parámetro. 
 
La esfericidad y el valor a emplear para DS pueden hallarse fácilmente mediante la siguiente 
Tabla, si la partícula pertenece a una forma semejante a las regulares que en ella se indican. 
n
1
 . 
D
D
 ψ
S
MED 
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Valores de la esfericidad y del diámetro DS en función de la luz de malla. 
Forma Esfericidad DS / DMED 
Esfera 1,00 1,00 
Octaedro 0,847 0,965 
Cubo 0,806 1,24 
Prismas: 
 a x a x 2a 
 a x 2a x 2a 
 a x 2a x 3a 
 
0,767 
0,761 
0,725 
 
1,564 
0,985 
1,727 
Cilindros: 
 h = 3 r 
 h = 10 r 
 h = 20 r 
 
0,860 
0,691 
0,580 
 
1,31 
1,96 
2,592 
Discos: 
 h = 3 r 
 h = r/3 
 h = r/10 
 h = r/15 
 
0,827 
0,594 
0,323 
0,254 
 
0,909 
0,630 
0,422 
0,368 
 
Si la forma de la partícula no es regular, como ocurre en el caso de un cubo multilado, la 
esfericidad y el valor corregido de D pueden hallarse aproximadamente mediante la 
interpolación entre la forma regular básica del cristal y la esfera. 
 
Floculación 
 
Cuando hay presentes un gran número de partículas, aparece en ellas cierta tendencia a 
aglomerarse. 
Cada aglomerado se comporta casi del mismo modo que una simple partícula, aunque de 
tamaño mucho mayor y de forma diferente a las primitivas partículas que constituyen el 
grumo o copo. Por esta razón, la velocidad de sedimentación observada suele ser varias veces 
mayor que el valor hallado, por cálculo, para las pequeñas partículas individuales. Los agentes 
de floculación, que poseen la propiedad de favorecer la formación de grumos, se suelen 
aplicar para aumentar la velocidad de sedimentación de una suspensión y favorecer así la 
obtención de un fluido límpido. 
Los agentes de desfloculación, que disminuyen la tendencia a formar grumos, ejercen un 
efecto contrario al anterior. 
 
Caída retardada de partículas. Sedimentación retardada. 
 
Cuando un fluido contiene muchas partículas en suspensión, se provoca una interferencia 
mutua en los movimientos de las mismas, y su velocidad de desplazamiento, es decir, de 
sedimentación, es mucho menor que la calculada mediante las ecuaciones deducidas bajo la 
hipótesis de movimiento libre de las partículas sólidas. En realidad, la partícula que 
sedimenta, lo hace, en este caso, descendiendo a través de un lodo o suspensión de otras 
partículas en el fluido (en vez de un fluido puro). Por tanto, la densidad aparente del lodo, b, 
calculada por división de la masa del fluido, más la de la materia seca en suspensión, por el 
volumen ocupado por la suspensión, deberá aplicarse en la ecuación 5, en lugar de la densidad 
L del fluido límpido. De igual modo, la viscosidad aparente, b, tal como se determina 
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experimentalmente para la suspensión, puede utilizarse en lugar de la viscosidad  del fluido 
transparente. 
Con estas substituciones, la ecuación 5 toma la forma de: 
 
b = densidad aparente de la suspensión 
 b = viscosidad aparente de la suspensión. 
 
La viscosidad aparente del sistema suele ser una función del gradiente de tensión existente 
entre diversas capas de la suspensión y, por tanto, es un valor indefinido e indeterminado. No 
obstante, el obstáculo causado por la presencia de un gran número de partículas, es una 
función del volumen que ocupa el fluido en la suspensión (X). Por lo tanto, la viscosidad del 
fluido tiene que multiplicarse por un coeficiente que será función de X. 
 
X
10
 
X)-(1 . 1,82
b 


 
 
Esta relación ha sido establecida para partículas esféricas. Puesto que la densidad aparente es 
una función de la misma fracción de volumen, X, y de las densidades del sólido y del fluido, 
un método adecuado para calcular la velocidad de sedimentación retardada consiste en aplicar 
el factor FS a la velocidad calculada para la sedimentación libre. En la siguiente figura se 
grafica el factor FS en función de la fracción X de volumen del fluido, para ser luego utilizado 
como un factor de multiplicación de la ecuación 5 para calcular la velocidad de sedimentación 
cuando existe un gran número de partículas. 
 
 
 F . 
μ . 18 
ρ - ρ . D . g 
 v S
LS
2
m  
 
 
 
 
 μ . 18 
ρ - ρ . D . g 
 v
b
bS
2
p
m  
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Partículas isódromas o equidescendentes 
 
Los efectos debido al tamaño y densidad de las partículas pueden considerarse conjuntamente 
con objeto de establecer cuales son los tamaños de partículas de una mezcla de varios de ellos 
que pueden ser “separados” por diferencia de densidad. Las partículas isódromas son aquellas 
que, perteneciendo a distintos materiales a separar, poseen el tamaño preciso para permitirles 
“caer” en el seno de un fluido a la misma velocidad. 
La velocidad límite de sedimentación será igual para los materiales A (más denso) y B (menos 
denso). 
 
 
   
 ρ . f . 3 
 ρ - ρ . D . g . 4 
 ρ . f . 3 
 ρ - ρ . D . g . 4 
 v
LDB
LBB
LDA
LAA
m  
 
La relación entre los diámetros de las partículas esféricas de los dos materiales, DA/DB, que 
poseen igual velocidad de sedimentación vm, se llama cociente de sedimentación esférica. 
 
 
 
BD
AD
LA
LB
B
A
f
f
 . 
)ρ - (ρ
)ρ - (ρ
 
D
D
 
 
En condiciones de turbulencia, cuando las partículas tienen la misma esfericidad, los valores 
de fD son los mismos y (fD)A/(fD)B = 1. Por lo cual: 
 
 
)ρ - (ρ
)ρ - (ρ
 
D
D
LA
LB
B
A  
 
En condiciones de flujo laminar, como se vio anteriormente, fD = 24/Re. Para todas las 
partículas que posean igual velocidad máxima, vm, en el mismo fluido y con flujo laminar, la 
relación DA/DB puede expresarse como: 
 
)ρ - (ρ
)ρ - (ρ
 
D
D
D
D
 . 
)ρ - (ρ
)ρ - (ρ
 
D
D
LA
LB
2
B
A
A
B
LA
LB
B
A







 
 
La relación DA/DB, cociente de sedimentación esférica, representa la relación entre los 
diámetros máximos y mínimos de las partículas que aparecen en una mezcla. 
 
Para permitir la separación de partículas de distintos materiales que presentan amplios límites 
de tamaño, resulta conveniente trabajar con un valor elevado del cociente de sedimentación. 
La separación sólo es posible si el cociente de sedimentación es mayor que: 
 
n







)ρ - (ρ
)ρ - (ρ
 
D
D
LA
LB
B
A donde: n = ½ para flujo laminar; y n = 1 para flujo turbulento 
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Seleccionando un fluido con densidad casi igual a la de uno de los materiales sólidos (el 
menos denso, B), la relación de sedimentación tiende a cero y es posible separar partículas de 
cualquier intervalo de tamaño. 
La fase líquida puede hacerse más pesada disolviendo un material soluble que incremente la 
densidad o dispersando en él un sólido pesado pulverizado tan finamente que su velocidad de 
sedimentación resulte insignificante. 
 
Flotación 
Se denomina flotación a la operación en la que un sólido se separa de otro, basándose en que 
uno de ellos sobrenada en la superficie de un líquido. En las modernas técnicas de flotación 
con espumas, las partículas sólidas se mantienen constantemente agitadas con agua sobre la 
que se mantiene una capa de espuma espesa. Debido a las distintas propiedades superficiales 
de los cuerpos sólidos, uno de ellos adsorbe con más facilidad la fase acuosa, se moja 
perfectamente y se hunde en el líquido. El otro sólido, en cambio, adsorbe de preferencia al 
aire, quedando recubierto total o parcialmente por la fase gaseosa; la densidad aparente de las 
partículas de este sólido, adheridas a las burbujas de aire (que su superficie adsorbe), resulta 
menor que la del agua, por lo que el conjunto flota y se sostiene en la superficie del líquido, 
formando una espuma “mineralizada” que puede hacerse rebosar continuamente por el borde 
superior de la cuba de flotación. 
La separación por flotación con espumas depende solamente de las características 
superficiales de los sólidos y la separación de éstos se logra con entera independencia de 
cuáles sean sus densidades respectivas. 
 
Células de flotación 
Una célula de flotación es un aparato en el cual se efectúa la flotación del material 
separándolo de las colas residuales. En esencia, está formado por un recipiente o depósito, 
provisto lateralmente de un canal alimentador, un rebosadero para la espuma y un dispositivo 
de descarga para las colas en el lado opuesto, así como de una conducción apropiada para la 
introducción del aire necesario a la formación de las espumas y a la agitación. 
Las llamadas células neumáticas utilizan aire comprimido para la agitación, lo que 
proporciona una agitación suave y forma una espuma limpia y relativamente libre de ganga. 
 
 
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CUYO Ing. Francisco Membrives 
Facultad de Ciencias Aplicadas a la Industria Ing. Sergio Sini 
OPERACIONES UNITARIAS I 
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Unidad Nº 7. Desplazamiento de sólidos en el seno de fluidos 
 
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En general, las células neumáticas implican un tiempo de contacto un 50 % mayor, y la pulpa 
debe estar perfectamente acondicionada, antes de la flotación. 
 
En las células denominadas mecánicas se dispone de un agitador mecánico que incorpora aire 
y lo amasa con la pulpa. Debido a la agitación más violenta que se consigue en las células 
mecánicas se logra una flotación más perfecta, y las colas quedan más exentas del material 
que se desea reunir en el concentrado, pero éste lleva más ganga que el concentrado 
producido en las células de agitación menos violenta.