Rotacion

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GUIA DE APRENDIZAJE Nº9 
Transformaciones Isométrica 
Departamento de Matemática 
Nombre del profesor(a): GINA NORAMBUENA. 
 
Nombre del Estudiante:……………………………………………………………………………Curso: 4° Medio C 
Nombre de la Unidad: Rotación . 
Objetivo de aprendizaje: Aplicar rotaciones en distintos ángulos a puntos y figuras planas. 
Retroalimentación vía plataforma Google meet en horario estipulado por U.T.P. 
 
ROTACIÓN EN EL PLANO 
 
Una rotación consiste en girar una figura en un ángulo dado con respecto a un punto llamado 
centro de rotación. Una rotación es positiva si el giro se realiza en sentido antihorario (contrario 
al movimiento de los punteros del reloj), y es negativa si se realiza en sentido horario (a favor del 
movimiento de los punteros del reloj). 
Cuando se aplica una rotación con respecto al origen de un punto (x, y), se obtiene lo siguiente: 
 
ANGULO 90° 180° 270° 360° 
PUNTO ( - y , x ) ( - x , - y ) ( y , - x ) ( x , y ) 
 
Por ejemplo, aplicando las relaciones de la tabla anterior para rotar P ( -2,3), se obtienen los 
siguientes puntos 
 
ANGULO 90° 180° 270° 360° 
PUNTO P´( - 3, - 2 ) P´´( 2 , - 3 ) P´´´(3 , 2 ) P ( - 2 , 3 ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para rotar un punto P(x1, y1) con respecto a un punto C(x0, y0) distinto del origen en un ángulo α, 
es equivalente a rotar el punto Q(x1 – x0, y1 – y0) con respecto al origen en un ángulo α y luego 
sumar este resultado al punto C. 
 
Por ejemplo: 
Para rotar el punto P(6, 4) en 90° con respecto al punto C(2, 1), se rota el punto Q(6 – 2, 4 – 1) = 
Q(4, 3) con respecto al origen en 90°, obteniendo el punto Q’(– 3, 4), el cual se suma al centro de 
rotación C, obteniendo el punto Q'(– 3, 4) + C(2, 1) = P'(– 1, 5). 
 
 
 
 
Si se aplica una rotación negativa con respecto al origen (en sentido horario), se 
tiene que realizar el proceso inverso. Al rotar un punto en – 90° (rotación 
negativa) con respecto al origen, se deben invertir las coordenadas del punto y 
cambiar el signo de la nueva segunda coordenada. Es equivalente a una rotación 
positiva en 270° con respecto al origen. 
 
 
EJERCICIO RESUELTO 
En la figura adjunta, los puntos A y B se encuentran en el plano cartesiano. Es correcto afirmar 
que : 
I) Si el punto B se refleja respecto a la recta que contiene al punto A y es paralela al eje Y, se 
obtiene el punto (– 6, 3). 
II) Una traslación de vector (– 4, – 4) trasforma al punto B en el punto A. 
III) Una rotación de 90°, en sentido antihorario, del punto A en torno al punto B resulta en el punto 
A’(6, – 1) 
Es (son) verdadera(s) 
A) solo II. 
B) solo I y II. 
C) solo I y III. 
D) solo II y III. 
E) I, II y III. 
Según el gráfico adjunto a la pregunta, las coordenadas del punto A son (– 2, – 1) y las 
coordenadas de B son (2, 3). Luego, 
I) Verdadera, ya que la recta que pasa por el punto A y es paralela al eje Y, se encuentra a cuatro 
unidades de distancia del punto B de forma horizontal. Por lo tanto, el punto resultante de esta 
transformación isométrica se encontrará a las mismas cuatro unidades de distancia, pero al otro 
lado de este eje de simetría, conservando la altura en la que se encuentra. Es decir, se obtiene el 
punto (– 6, 3). 
II) Verdadera, ya que al aplicar el vector de traslación (– 4, – 4) al punto B(2, 3), se obtiene el 
punto (2 + (– 4), 3 + (– 4)) = (– 2, – 1), coincidiendo con las coordenadas del punto A. 
III)Verdadera, ya que para trasladar al origen el punto B, que es el centro de la rotación, se 
necesita un vector de traslación T(– 2, – 3). 
Luego: A(– 2, – 1) T(– 2, – 3) (– 2 – 2, – 1 – 3) = (– 4, – 4) (Aplicando el vector T al punto A) 
 (– 4, – 4) R(90°) (4, – 4) (Aplicando rotación de 90º) 
 (4, – 4) – T (4 + 2, – 4 + 3) = (6, – 1) (Aplicando el vector – T = (2, 3)) 
Luego, el punto resultante de la rotación del punto A en torno al punto B es (6, – 1). 
Por lo tanto, I, II y III son verdaderas. 
 
 
EJERCICIOS (TRASLACION Y ROTACION) 
1) En el sistema de ejes coordenados se ha ubicado el punto P de coordenadas (-4, 6). Al 
aplicar una rotación horaria de 90º con centro en el origen, las coordenadas de P’ son 
 
A) (6, -4) 
B) (-6, 4) 
C) (-6, -4) 
D) (6, 4) 
E) (4, 6) 
2) ¿Cuál de las siguientes alternativas representa una rotación de la figura en 45º con centro P ? 
 
 
 
 
 
 
 
3) Si al polígono cuyos vértices son los puntos A(5,4), B(6,1) y C(9,8) se le realiza un 
desplazamiento de vector (-4,-3),entonces sus vértices quedarán en los puntos: 
 
A) A(-1,-1); B(-2,2) y C(-5,5) 
B) A(1,-1); B(2,2) y C(-5,-5) 
C) A(-1,1); B(-2,2) y C(5,5) 
D) A(-1,1); B(-2,-2) y C(-5,5) 
E) A(1,1); B(2,-2) y C(5,5) 
 
4) En la figura, el polígono de vértice A, B y C, cuyas coordenadas son (-1,-2); (2,-2) y (2,2) 
respectivamente si se le aplica una rotación en 90º en sentido antihorario, con centro en A, ¿Cuál 
será la coordenada del vértice C del polígono en la nueva posición? 
 
A) ( 1, - 5 ) 
B) ( - 5 . 1 ) 
C) ( 3 , - 5 ) 
D) ( - 5 , 3 ) 
E) ( 3 , 5 ) 
 
 
 
 
 
5) Considere la siguiente figura: 
 
I: Q es una traslación de P 
II: R es una rotación en 180° de P 
III: S se obtiene por rotación de R de 180° en el plano 
 
Es o son correctas 
 
A) Sólo II 
B) Sólo III 
C) Sólo I y II 
D) Sólo II y III 
E) Ninguna 
 
 
6) En la figura, al punto B se la aplica una rotación en 90º con respecto al punto A, en sentido 
horario. Las nuevas coordenadas del B son 
 
 
A) (6, 2) 
B) (-3, 6) 
C) (6, -7) 
D) (6, -3) 
E) (6, -5) 
 
 
 
7) En la figura, al vértice C del cuadrado ABCD se le aplica una rotación en 180º en el 
sentido horario, con centro en A. ¿Cuáles son las coordenadas de C en su nueva 
posición? 
 
 
A) En (2, 2) 
B) En (2, 0) 
C) En (4, 2) 
D) En (0, 0) 
E) En (0, 2) 
 
 
8) En la figura, el polígono A se desplaza hasta A’. ¿Cuál es el vector de desplazamiento 
aplicado? 
 
A) (1,-5) 
B) (-5,-1) 
C) (5,1) 
D) (-1,-5) 
E) (5,-1) 
 
 
 
 
9) El cuadrado ABCD de la figura se ha trasladado transformándose en el cuadrado EFGH. 
¿Cuál es la dirección de traslación? 
 
 
A) (1,2) 
B) (1,-2) 
C) (2,1) 
D) (2,-1) 
E) (-2,1) 
 
 
 
10) Al punto Q( -5,2) se le efectúa una rotación de 90º en torno al origen y en sentido positivo. 
¿Cuáles son sus nuevas coordenadas? 
 
 
A) ( 2,5 ) 
B) ( -2,5 ) 
C) ( -2,-5 ) 
D) ( 5,-2 ) 
E) ( -5,-2 ) 
11) Al aplicar una rotación de centro O y un ángulo de giro de 900 al 
polígono de la figura se obtiene: 
 
 
 
 
 
 
 
12) Al aplicar la rotación con centro en el origen y ángulo de 180°, al triángulo de vértices A(2,3), 
B(7,-2), C(5,8), resulta otro triángulo de vértices: 
A) A´( - 2, - 3 ) B´( -7 , 2 ) C´( -5 , -8 ) 
B) A´( 2 , - 3 ) B´( 7 , 2 ) C´( 5 , - 8 ) 
C) A´( - 2 , 3 ) B´( -7 , - 2 ) C´( - 5 , 8) 
D) A´( 3 , 2 ) B´( - 2 , 7 ) C´( 8, 5 ) 
E) A ´ ( -3 , 2 ) B ´( 2 , 7 ) C ´( -8 , 5) 
 
 
 
MUY BUEN TRABAJO!!!!