PF_L1FI201_S4

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Matemáticas Financieras 
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MATERIA: MATEMÁTICAS FINANCIERAS 
SEMANA 4 
 
TEMAS: 
a) Anualidades vencidas 
b) Renta de una anualidad vencida 
c) Valor actual de una anualidad vencida 
d) Monto de una anualidad vencida 
 
 ¿Qué es una anualidad vencida? 
 
Es aquella en la que el pago o abono se realiza al final del periodo, se le 
conocen también como ordinarias y son las operaciones financieras más 
comunes en el mercado. 
Ejemplo: 
En un crédito hipotecario, generalmente se realizan los pagos mensuales. Al 
hacer la firma del contrato el primer pago se realiza al finalizar el mes, por lo 
que se trata de una anualidad vencida. 
 
 ¿Qué es el monto en una anualidad vencida y cómo se calcula? 
 
Es el valor acumulado de una serie de pagos periódicos, efectuados al final de 
cada intervalo de pago, cuya fecha de evaluación se considera al término del 
plazo de la anualidad. Es decir es la suma de todas las rentas realizadas 
durante la operación financiera. Se calcula utilizando la fórmula: 
M=R*((1+i)^n-1)/i) 
Dónde: 
M es el monto de la anualidad 
R es la renta 
i es la tasa por periodo de capitalización 
n es el número de pagos 
 
 
 
 
 
 
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Ejemplo: 
Alan Solís deposita cada seis meses $15,000 en su AFORE, a una tasa de 18% 
capitalizable semestralmente, ¿cuánto recibirá dentro de 15 años? 
Al realizar la lectura del ejercicio vemos que se deposita cierta cantidad 
durante cierto periodo de tiempo igual, por lo que se trata de una anualidad 
vencida, además nos preguntan la cantidad que recibirá en cierto plazo, por lo 
tanto queremos calcular el monto de una anualidad vencida. 
Primero identificamos los datos que tenemos: 
R = 15000 
n = 15años = 30 semestres (Recuerda que se debe homologar el tiempo con la 
capitalización, en este caso semestres) 
Es importante recordar que la tasa que se utiliza es la tasa efectiva y en el 
problema se refieren a la nominal (j) entonces: 
i = 18/100 =0.18 =0.18/2 = 0.09 
 
Una vez que contamos con los datos, sustituimos en la fórmula de monto y 
realizamos las operaciones respetando la jerarquía (primero lo que está entre 
paréntesis, después exponentes o raíces, posteriormente sumas y restas y al 
final multiplicaciones): 
M=R*((1+i)^n-1)/i) 
 =15000*((1+0.09)^30-1)/0.09) 
 =15000*((1.09)^30-1)/0.09) 
 =15000*((13.27-1)/0.09) 
 =15000*(12.27/0.09) 
 =15000*136.31 
 =2044613.08 
Entonces Alan recibirá $2,044,613.31 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 ¿Qué es el valor actual en una anualidad vencida y cómo se 
calcula? 
Es la suma de los valores actuales de todos los pagos (renta o anualidad) 
aplicando una cierta tasa de interés compuesto, se calcula utilizando: 
C=R*(1-(1+i)^-n)/i 
Dónde: 
C es el valor actual de la anualidad 
R es la renta 
i es la tasa por periodo de capitalización 
n es el número de pagos 
 
Ejemplo: 
Calcula el valor de contado de un equipo industrial comprado con 16 pagos 
trimestrales de $25 000, con 10% de interés capitalizable trimestralmente. 
Leyendo el ejercicio nos percatamos de que se trata de una anualidad vencida 
por que los pagos y periodos son constantes, además nos piden calcular el 
“valor de contado” que es otra forma de llamar el valor actual. 
Identificamos cuáles son los datos: 
R = 25000 
n = 16 pagos trimestrales 
Convertimos la tasa nominal a tasa efectiva: 
i = 10/100 =0.10 =0.10/4 = 0.025 
 
Sustituimos en la fórmula de valor presente de una anualidad y realizamos 
operaciones aplicando la jerarquía de operaciones. 
 
C=R*(1-(1+i)^-n)/i 
C=25000*(1-(1+0.025)^-16)/0.025 
 =25000*(1-(1.025)^-16)/0.025 
 =25000*(1-0.6736)/0.025 
 =25000*0.3263/0.025 
 =25000*13.0550 
 =326375.066 
Entonces el valor de contado del equipo es de $326,375.066 
 
 
 
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 ¿Qué es la renta de una anualidad vencida y cómo se calcula? 
 
A la renta la podemos definir de las siguientes maneras: 
• Pago mensual que debe efectuarse para cancelar una deuda en un 
determinado intervalo de tiempo. 
• La cantidad de dinero que hay que colocar periódicamente en un fondo 
de amortización en un cierto plazo. 
• Las cuotas periódicas con las cuales se puede cancelar una mercancía, 
conociendo su valor de contado y la tasa de interés. 
Aquí debemos ser cuidadosos ya que dependiendo si conocemos el capital o la 
renta es la fórmula que vamos a aplicar: 
Si se conoce el monto: 
R=Mi/((1+i)^n-1) 
Dónde: 
R es la renta 
M es el monto de la anualidad 
i es la tasa por periodo de capitalización 
n es el número de pagos 
Si se conoce el valor presente: 
R=Ci/1-(1+i)^(-n) 
Dónde: 
R es la renta 
C es el valor actual de la anualidad 
i es la tasa por periodo de capitalización 
n es el número de pagos 
 
Ejemplo: 
 
¿Cuánto se debe depositar al final de cada bimestre en una cuenta de ahorros 
para que al final de 5 años se tengan acumulados $240 000, si el banco paga 
16% de interés capitalizable bimestralmente? 
Leyendo el problema identificamos que nos piden calcular los pagos que se 
deben realizar al final de cada bimestre por lo que tenemos que calcular la 
renta de una anualidad vencida. 
 
 
 
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Definimos si conocemos el monto o el capital para decidir la fórmula a aplicar. 
En este caso nos dicen que queremos acumular $240,000 por lo tanto se trata 
de monto y la fórmula a utilizar es R=Mi/((1+i)^n-1). 
Identificamos los datos: 
M = 240,000 
n = 5 años = 5*6 = 30 pagos bimestrales (Homologamos el tiempo con la 
capitalización, en este caso bimestres) 
Calculamos la tasa efectiva: 
i = 16/100 =0.16 =0.16/6 = 0.027 
 
Sustituimos en la fórmula de monto y realizamos las operaciones 
correspondientes, respetando la jerarquización de las operaciones. 
R=Mi/((1+i)^n-1) 
R=240000*0.027/((1+0.027)^30-1) 
 =6480/((1.027)^30-1) 
 =6480/(2.223-1) 
 =6480/1.223 
 =5298.44 
Entonces se debe depositar una renta bimestral de $5,298.44