Definiciones y Teoremas

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Índice
1. NÚMEROS REALES Y FUNCIONES 3
1.1. Módulo de un número real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2. Distancia en R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3. Entorno de un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4. Conjuntos acotados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5. Clasificación de los puntos de un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.6. Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.7. Composición de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.8. Clasificación de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.9. Funciones particulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2. LÍMITE Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES 11
2.1. Límite finito de una función en un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2. Límites laterales. No existencia de límite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3. Infinitésimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4. Límite infinito de una función en un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.5. Límite de una función para variable infinita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.6. Asíntotas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.7. Propiedades del límite de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.8. Continuidad de una función en un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.9. Propiedades de las funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.10. Funciones continuas en un intervalo cerrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3. DERIVADAS 23
3.1. Función derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2. Derivada de funciones definidas implícitamente y en forma paramétrica . . . . . . . 28
3.3. Derivadas sucesivas o de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.4. Diferencial de una función en un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.5. Funciones monótonas derivables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.6. Teoremas del valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.7. Concavidad positiva y negativa de una función. Puntos de inflexión . . . . . . . . . 36
3.8. Fórmula de Taylor y Mac Laurin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1
4. INTEGRALES 40
4.1. Integral Definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.2. Propiedades de la Integral Definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.3. Función Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.4. Cálculo de Primitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.5. Métodos de integración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.6. Noción de Ecuación Diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.7. Integrales Impropias o Generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.8. Integrales impropias de primera especie (intervalo de integración no acotado) . . . . 48
4.9. Integrales impropias de segunda especie (función no acotada) . . . . . . . . . . . . . 50
4.10. Aplicaciones de la Integral Definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5. SUCESIONES y SERIES NUMÉRICAS 52
5.1. Sucesiones Numéricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.2. Sucesiones Convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.3. Sucesiones no Convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.4. Sucesiones Monótonas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.5. Subsucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.6. Propiedades de los límites de sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.7. Series Numéricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.8. Series Particulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.9. Serie de términos positivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.10. Series Alternadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.11. Convergencia absoluta y condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6. SERIES DE POTENCIAS 66
6.1. Concepto de serie de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
6.2. Serie de Taylor y Mac Laurin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2
1. NÚMEROS REALES Y FUNCIONES
El conjunto de los números reales será denotado con R . Tal conjunto admite una representación
geométrica en una recta llamada recta real . Tal representación se hace de la siguiente forma :
cada número real se identifica con un punto de la recta y recíprocamente
los puntos de la recta se denominan por su correspondiente número
Se destacan los siguientes subconjutos de R :
R+ = {x ∈ R/x > 0} conjunto de números reales positivos
R− = {x ∈ R/x < 0} conjunto de números reales negativos
N = {1, 2, 3, ...} N0 = {0, 1, 2, 3, ...} conjunto de los números naturales
Z = {..,−2,−1, 0, 1, 2, ...} conjunto de los números enteros
Q =
{a
b
/a, b ∈ Z, b 6= 0
}
conjunto de los números racionales
R−Q conjunto de los números irracionales
Se cumple que N ⊂Z ⊂Q ⊂R
Intervalos reales :
• (a, b) , [a, b] , [a, b) , (a, b] . Se llama amplitud del intervalo al número b− a
• (a,+∞) , [a,+∞) , (-∞, b) , (−∞, b]
En adelante cualquier intervalo real se indicará con I .
1.1. Módulo de un número real
Se llama módulo o valor absoluto de un número real x al número real no negatvio definido por :
| x |=
{
x si x ≥ 0
−x si x < 0
Propiedades del Módulo :
1. Para todo x ∈ R se verifica que :
a) | x |≥ 0
b) | −x |=| x |
3
c)
√
x2 =| x |
2. Para todo x ∈ R y k ∈ R+ se verifica que :
a) | x |< k ⇔ −k < x < k
b) | x |> k ⇔ x > k ó bien x < −k
3. Para todo x, y ∈ R se verifica que :
a) | x.y |=| x | . | y |
b) | x+ y |≤| x | + | y |
c) | x− y |≥| x | − | y |
4. Para todo x ∈ R , y ∈ R− {0} se verifica que :
∣∣∣∣xy
∣∣∣∣ = | x || y |
1.2. Distancia en R
Sean a y b dos números reales . Se llama distancia entre a y b al número d(a, b) =| b− a | .
Propiedades :
1. d(a, b) ≥ 0 , ∀ a, b ∈ R d(a, b) = 0 ⇔ a = b
2. d(a, b) = d(b, a) , ∀ a, b ∈ R
3. d(a, b) ≤ d(a, c) + d(c, b) , ∀ a, b, c ∈ R (desigualdad triangular)
Observar que | x | puede interpretarse geométricamente como la distancia desde x al origen 0
1.3. Entorno de un punto
Sean x0 ∈ R y δ > 0 . Se llama entorno de centro x0 y radio δ al conjunto de puntos de la recta
real que se encuentran a una distancia de x0 menor que δ . Se lo denota E(x0, δ) . En símbolos :
E(x0, δ) = {x ∈ R /d(x0, x) < δ} = {x ∈ R / | x− x0 |< δ} = (x0 − δ, x0 + δ)
Todo intervalo abierto (a, b) se puede expresar como un entorno. En efecto :
(a, b) = E
(
a+ b
2
,
b− a
2
)
Se llama entorno reducido de centro x0 y centro δ al entorno anterior sin su centro. Se denota
E ′(a, δ). Entonces :
E ′(x0, δ) = E(x0, δ)− {x0} = {x ∈ R /0 <| x− x0 |< δ} = (x0 − δ, x0) ∪ (x0, x0 + δ)
4
1.4. Conjuntos acotados
Sea A un subconjunto de R en sentido amplio, es decir, A ⊆ R .
El número d ∈ R es una cota superior de A si y sólo si para todo x ∈ A se cumple que x ≤ d
Si existe una cota superior de A entonces existen infinitas y diremos que A está acotado
superiormente.
El número c ∈ R es una cota inferior de A si y sólosi para todo x ∈ A se cumple que c ≤ x .
Si existe una cota inferior de A entonces existen infinitas y diremos que A está acotado
inferiormente.
Diremos que el conjunto A está acotado si y sólo si lo está superior e inferiormente.
Aceptamos que el conjunto vacío ∅ está acotado.
Si el conjunto A es no vacío diremos que :
k ∈ R es el supremo de A en R si y sólo si k es la menor de todas las cotas superiores de A
Esto es, si k′ es otra cota superior de A entonces k ≤ k′ .
Al supremo de A se lo denota sup(A) .
h ∈ R es el ínfimo de A en R si y sólo si h es la mayor de todas las cotas inferiores de A .
Esto es, si h′es otra cota inferior de A entonces h′ ≤ h .
Al ínfimo de A se lo denota inf(A)
Si k ∈ A se llama máximo de A y si h ∈ A se llama mímino de A .
Ejemplos :
a) A = (−1, 3] b) A
{
1
n
/n ∈ N
}
c) A = N
1.5. Clasificación de los puntos de un conjunto
Sean A ⊆ R y x0 ∈ R .
1. El punto x0 ∈ A es un punto interior de A si y sólo si existe al menos un entorno de x0
totalmente incluido en A . En símbolos :
x0 es un punto interior de A⇔ ∃E(x0, δ) /E(x0, δ) ⊂ A
Al conjunto de los puntos interiores de A se lo denota con A0. Un conjunto se dice que es
abierto si y sólo si todos sus puntos son interiores, es decir :
A es abierto ⇔ A0 = A
La negación de esta afirmación es :
x0 no es un punto interior de A⇔ ∀E(x0, δ) : E(x0, δ) * A
es decir, existe x′ ∈ E(x0, δ) y x′ /∈ A .
5
2. El punto x0 ∈ R es un punto exterior de A si y sólo si existe al menos un entorno de x0 al
que no le pertenecen ningun punto de A . Observar que x0 /∈ A . Es decir :
x0 es un punto exterior de A⇔ ∃E(x0, δ) /E(x0, δ) ∩ A = ∅
La negación de esta afirmación es :
x0 no es un punto exterior de A⇔ ∀E(x0, δ) : E(x0, δ) ∩ A 6= ∅
es decir, existe x′ ∈ E(x0, δ) y x′ ∈ A
3. El punto x0 ∈ R es un punto frontera de A si y sólo si no es interior ni exterior . Es decir :
x0 es un punto frontera de A⇔ ∀E(x0, δ) : E(x0, δ) ∩ A 6= ∅ ∧ E(x0, δ) ∩ (R− A) 6= ∅
Al conjunto de los puntos frontera de A lo denotamos con Fr(A) o bien ∂(A) .
La negación de esta afirmación es :
x0 no es un punto frontera de A⇔ ∃E(x0, δ) /E(x0, δ) ∩ A = ∅ ∨ E(x0, δ) ∩ (R− A) = ∅
4. El punto x0 ∈ A es un punto aislado de A si y sólo si existe al menos un entorno reducido
de x0 al que no le pertencen puntos de A . Es decir
x0 ∈ A es un punto aislado de A⇔ ∃E ′(x0, δ) /E ′(x0, δ) ∩ A = ∅
La negación de esta afirmación es :
x0 ∈ A no es un punto aislado de A⇔ ∀E ′(x0, δ) : E ′(x0, δ) ∩ A 6= ∅
5. El punto x0 ∈ R es un punto de acumulación de A si y sólo si todo entorno reducido de
x0 tiene intersección no vacía con A. Es decir :
x0 es un punto de acumulación de A⇔ ∀E ′(x0, δ) : E ′(x0, δ) ∩ A 6= ∅
Al conjunto de los puntos de acumulación de A se lo llama conjunto derivado y se lo denota
con A′ . Un conjunto se dice que es cerrado si y sólo si le pertenecen todos sus puntos de
acumulación, es decir :
A es cerrado ⇔ A′ ⊆ A
La negación de esta afirmación es :
x0 no es un punto de acumulación de A⇔ ∃E ′(x0, δ) /E ′(x0, δ) ∩ A = ∅
Ejemplo : A = {x ∈ R/ | x− 2 |< 3} ∪ {7}. Entonces A′ = [−1, 5] y A0 = (−1, 5) con lo cual A
no es ni cerrado ni abierto. La frontera de A es el conjunto formado por −1 , 5 y 7 , y el único
punto aislado es 7.
6
1.6. Funciones
Sea A ⊆ R y f : A → R una función . Con RA representamos al conjunto de todas las funciones
de A en R . Si f, g ∈ RA y k ∈ R definimos las siguientes operaciones :
(f + g) (x) = f(x) + g(x) para todo x ∈ A
(f.g) (x) = f(x).g(x) para todo x ∈ A(
f
g
)
(x) =
f(x)
g(x)
para todo x ∈ A y g(x) 6= 0
(k.f) (x) = k.f(x) para todo x ∈ A
Diremos que f ≤ g si y sólo si f(x) ≤ g(x) para todo x ∈ A .
Una función f está acotada si su conjunto imagen está acotado. Es decir :
f está acotada ⇔ ∃ k > 0 / | f(x) |≤ k , ∀x ∈ A
En este caso llamaremos supremo de f , y se escribe sup f , al supremo del conjunto imagen de f
e ínfimo de f al ínfimo del conjunto imagen de f .
Sea f : (−a, a)→ R una función . Decimos que :
f es par si y sólo si f(−x) = f(x) para todo x ∈ (−a, a)
f es impar si y sólo si f(−x) = −f(x) para todo x ∈ (−a, a)
Una función f : R→R se dice que es periódica de periódo p > 0 si f(x + p) = f(x) para todo
x ∈ R .
1.7. Composición de funciones
Dadas dos funciones f : A→ B y g : B → C se llama función compuesta a la función g◦f definida
por :
(g ◦ f)(x) = g (f(x)) para todox ∈ A
Observar que para poder definir la composición se debe cumplir que Imf ⊆ Domg. Si esto no
ocurre se deben efectuar restricciones adecuadas para poder definir tal composición. En forma
análoga se define f ◦ g. En general, g ◦ f 6= f ◦ g .
7
1.8. Clasificación de funciones
Sean A,B ⊆ R y f : A→ B una función. Diremos que :
f es inyectiva si y sólo si para todo par de números x1, x2 ∈ A se verifica que si x1 6= x2
entonces f(x1) 6= f(x2) . Es decir :
f es inyectiva ⇔ ∀x1, x2 ∈ A : x1 6= x2 ⇒ f(x1) 6= f(x2)
O en forma equivalente :
f es inyectiva ⇔ ∀x1, x2 ∈ A : f(x1) = f(x2)⇒ x1 = x2
f es sobreyectiva si y sólo si el conjunto imagen de f es igual a B. Es decir :
f es sobreyectiva ⇔ Imf = B
f es biyectiva si y sólo si es inyectiva y sobreyectiva.
Teorema
Si f : A→ B es una función biyectiva entonces existe una función, llamada inversa de f y que se
denota f−1 , tal que :
1. f−1 : B → A
2. f−1(y) = x si y sólo si f(x) = y , para todo x ∈ A y para todo y ∈ B
3. (f−1 ◦ f) (x) = x para todo x ∈ A y (f ◦ f−1) (y) = y para todo y ∈ B
1.9. Funciones particulares
Es de uso frecuente las siguientes funciones :
1. Función módulo : f : R→ R / f(x) =| x |
2. Función raíz cuadrada : f : [0,+∞)→ R / f(x) =
√
x
3. Función signo : f : R− {0} → R / f(x) = | x |
x
4. Función parte entera : f : R→ R / f(x) = [x] siendo [x] el mayor entero menor que x
5. Función exponencial : f : R→ R / f(x) = ax, con a ∈ R+−{1} . En particular f(x) = ex
6. Función logaritmo : f : (0,+∞) → R / f(x) = loga x , con a ∈ R+ − {1} . En particular
f(x) = ln x
7. Función polinómica : f : R→ R / f(x) = P (x) donde P (x) es un polinomio con coeficien-
tes en R . En particular tenemos la función lineal dada por f(x) = mx+ b (m pendiente y b
ordenada al origen ) cuya gráfica se llama recta (no vertical) , y la función cuadrática dada
por f(x) = ax2 + bx+ c con a 6= 0 cuya gráfica se llama parábola (de eje vertical).
8
8. Función racional : f : A → R / f(x) = P (x)
Q(x)
donde P (x) y Q(x) son polinomios y el
dominio de f es A = {x ∈ R /Q(x) 6= 0}.
En particular tenemos la función homográfica dada por f(x) =
ax+ b
cx+ d
con c 6= 0 y a.d 6= c.b
9. Funciones trigonométricas : Las funciones básicas son :
a) Seno, definida como f : R→ R / f(x) = senx
b) Coseno, definida como f : R→ R / f(x) = cos x
c) Tangente, definida como f : A→ R / f(x) = tg x donde A = {x ∈ R / cosx 6= 0}
Las funciones que se derivan de ellas son secx =
1
cosx
, cscx =
1
senx
y cotx =
1
tg x
Para definir la inversa del seno, coseno y tangente se restringen dominio y codomio en la
forma que se indica y se las llama arco seno, arco coseno y arco tangente respectivamente :
a) sen :
[
−π
2
,
π
2
]
→ [−1, 1]⇔ arc sen : [−1, 1]→
[
−π
2
,
π
2
]
donde arc senx = y ⇔ y = senx
b) cos :
[
−π
2
,
π
2
]
→ [−1, 1]⇔ arc cos : [−1, 1]→
[
−π
2
,
π
2
]
donde arc cosx = y ⇔ y = cosx
c) tg :
(
−π
2
,
π
2
)
→ R⇔ arc tg : R→
(
−π
2
,
π
2
)
donde arc tg x = y ⇔ y = tg x
10. Funciones hiperbólicas : Las funciones básicas son :
a) Seno hiperbólico Sh : R→ R / Sh(x) = e
x − e−x
2
b) Coseno hiperbólico Ch : R→ R /Ch(x) = e
x + e−x
2
c) Tangente hiperbólica Th : R→ R / Th(x) = e
x − e−x
ex + e−x
Se verifica que Th(x) =
Sh(x)
Ch(x)
y Ch2(x)− Sh2(x) = 1 .
La inversa de cada una de estas funciones se las define como :
a) ArgSh : R→ R /ArgSh(x) = ln
(
x+
√
x2 + 1
)
b) ArgCh : [1,+∞)→ [0,+∞) /ArgCh(x) = ln
(
x+
√
x2 − 1
)
c) ArgTh : (−1, 1)→ R /ArgTh(x) = 1
2
ln
(
1 + x
1− x
)
9
10
2. LÍMITE Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES
2.1. Límite finito de una función en un punto
Dada una función f : A→ R y un número real x0, que es un punto deacumulación de A , veamos
qué sucede con los valores de f(x) cuando x se acerca o tiende al número x0, sin importar qué
sucede en x0, es decir, no interesa el valor de f(x0) (más aún, puede no existir f(x0)).
Consideremos el siguiente ejemplo :
f : R→ R / f(x) =

x2 − 4
x− 2
si x 6= 2
1 si x = 2
x
K3 K2 K1 0 1 2 3 4 5
y
2
4
6
8
Graficando la función vemos que a medida que tomamos valores de x cercanos a x0 = 2 , los valores
de f(x) se acercan a 4 . Por ejemplo, f(1, 99) = 3, 99, f(2, 01) = 4, 01, etc.
Convenimos en decir que "x se acerca a 2" es lo mismo que decir "x tiende a 2" y escribiremos
x→ 2 . Análogamente, "f(x) se acerca a 4 " es lo mismo que decir "f(x) tiende a 4" y escribimos
f(x)→ 4 . Luego, para la función dada podemos decir que :
si x→ 2 entonces f(x)→ 4
La implicación anterior se expresa diciendo que "el límite de la función f cuando x tiende a 2 es
igual a 4" y se escribe :
ĺım
x→2
f(x) = 4
Observaciones :
1. El hecho de que f(x) tienda a 4 cuando x tiende a 2 es independiente del valor que toma la
función en x = 2 . Lo que interesa es analizar a la función f "cerca" de 2 y no en x = 2 , o
sea, en un entorno reducido de 2 . Es decir, si tenemos la función
g : R→ R / g(x) =

x2 − 4
x− 2
si x 6= 2
10 si x = 2
11
vemos que g tiende a 4 cuando x tiende a 2, siendo g(2) = 10 6= 1 = f(2) .
2. Hacer que x tienda a 2 significa que | x − 2 | tienda a 0 , o sea, | x − 2 | se puede hacer
tan pequeño como se quiera. Esto significa que dado cualquier número positivo δ se puede
encontrar un x ∈ R tal que | x − 2 |< δ .Como no interesa qué sucede en x = 2, pedimos
que x 6= 2 , con lo cual la condición "que x tienda a 2 sin importar qué sucede en x = 2" se
expresa 0 <| x− 2 |< δ .
3. Para asegurar que f(x) tienda a 4, debemos lograr que | f(x)− 4 | tienda a 0 , o sea , dado
cualquier número positivo ε se debe cumplir que | f(x)− 4 |< ε .
Finalmente, decir que "f(x) tiende a 4 cuando x tiende a 2 sin importar qué sucede en 2" se
expresa diciendo que :
Dado cualquier número positivo ε, se cumple que | f(x) − 4 |< ε si se puede encontrar un
número positivo δ , que dependerá del ε , tal que si x ∈ Domf y 0 <| x − 2 |< δ entonces
| f(x)− 4 |< ε . Como en general el δ depende del ε se suele escribir δ = δ(ε) .
4. En forma simbólica tenemos la siguiente definición
ĺım
x→2
f(x) = 4⇔

2 es un punto de acumulación del dominio de f
∀ ε > 0,∃ δ > 0/∀x ∈ Domf : 0 <| x− 2 |< δ ⇒| f(x)− 4 |< ε
5. Usando entornos la definición de límite es
ĺım
x→2
f(x) = 4⇔

2 es un punto de acumulación del dominio de f
∀ ε > 0,∃ δ > 0/∀x ∈ Domf : x ∈ E ′(2, δ)⇒ f(x) ∈ E(4, ε)
En general, dada una función f : A→ R y x0, l ∈ R decimos que
ĺım
x→x0
f(x) = l⇔

x0 es un punto de acumulación de A (o sea, x0 ∈ A′)
∀ ε > 0,∃ δ > 0/∀x ∈ A : 0 <| x− x0 |< δ ⇒| f(x)− l |< ε
Ejemplo : f(x) = 2x , x0 = 1 .En este caso ĺım
x→1
f(x) = 2 con δ = ε/2
2.2. Límites laterales. No existencia de límite
Diremos que x tiende a x0 por la derecha , y se escribe x→ x+0 si x− x0 → 0 y x > x0 . En forma
análoga, se dice que x tiende a x0 por la izquierda , y se escribe x→ x−0 si x− x0→ 0 y x < x0 .
Si f : A→ R es una función y x0 ∈ A′, diremos que :
f tiene límite lateral l+ por la derecha en x0, y se escribe ĺım
x→x+0
f(x) = l+ si y sólo si :
∀ ε > 0, ∃ δ > 0/∀x ∈ A : 0 < x− x0 < δ ⇒| f(x)− l+ |< ε
12
f tiene límite lateral l− por la izquierda en x0, y se escribe ĺım
x→x−0
f(x) = l− si y sólo si :
∀ ε > 0, ∃ δ > 0/∀x ∈ A : 0 < x0 − x < δ ⇒| f(x)− l− |< ε
Teorema
Sean f : A→ R es una función y x0 ∈ A′. Son equivalentes :
1. ĺım
x→x0
f(x) = l
2. ĺım
x→x+0
f(x) = ĺım
x→x−0
f(x) = l
Resulta entonces que si los límites laterales de una función en un punto son distintos entonces la
función no tiene límite en ese punto. En términos de la definición ε, δ podemos decir que
ĺım
x→x0
f(x) 6= l⇔ ∃ ε > 0/∀ δ > 0,∃x ∈ Domf / 0 <| x− x0 |< δ ∧ | f(x)− l |≥ ε
Ejemplos :
a) f(x) =
| x |
x
en x0 = 0 b) f(x) = [x] en x0 ∈ Z c) f(x) =
{
x2 si x ≤ 1
−2x+ 4 si x > 1
en x0 = 1
2.3. Infinitésimos
Sean f : A→ R una función y x0 un punto de acumulación de A , o sea , x0 ∈ A′
Decimos que una función f es un infinitésimo para x→ x0 si y sólo si ĺım
x→x0
f(x) = 0
Por ejemplo, f(x) = senx en infinitésimo para x0 = π , g(x) = x2−1 es infinitésimo para x0 = −1
Propiedad :
Toda función con límite finito para x→ x0 se puede escribir como su límite más otra función que
es infinitésilmo para x→ x0 . En símbolos
ĺım
x→x0
f(x) =l⇒ f(x) = l + ϕ(x) con ĺım
x→x0
ϕ(x) = 0
Sean f, g : A→ R funciones tales que x0 ∈ A′ y no se anulan en un E ′(x0, δ) . Decimos que :
f y g son infinitésimos equivalentes para x→ x0 si ĺım
x→x0
f(x)
g(x)
= 1
f y g son infinitésimos del mismo orden para x→ x0 si ĺım
x→x0
f(x)
g(x)
= k con k 6= 0 y k 6=∞
13
2.4. Límite infinito de una función en un punto
Hemos visto funciones que no tienen límite (finito) en un punto x0, es decir, los límites laterales
son distintos. Puede suceder que, si bien no existe el límite finito para x→ x0 , la función supera
en valor absoluto cualquier número positivo prefijado cuando x→ x0 .
Consideremos el siguiente ejemplo :
f : R− {1} → R dada por f(x) = 2
(x− 1)2
y=f(x) x=1
x
K1 0 1 2 3
y
K1
1
2
3
4
Se observa que para x→ 1 los valores de f(x) se hacen arbitrariamente "grandes". Es decir, dado
un número cualquiera M > 0 (en el eje Y ), es posible encontrar un δ > 0 tal que para todo
x ∈ E ′(1, δ) se cumpla que f(x) > M . Basándonos en esta idea damos la siguinete definición :
Sea f : A→ R una función y x0 ∈ A′.
Decimos que el límite de f es igual a +∞ (mas infinito) cuando x→ x0, si dado cualquier número
real M > 0 es posible encontrar un δ > 0 tal que f(x) > M para todo x ∈ E ′(x0, δ) .
Se escribe ĺım
x→x0
f(x) = +∞.
En general, dada una función f : A→ R y x0 ∈ R decimos que
ĺım
x→x0
f(x) = +∞⇔

x0 es un punto de acumulación de A (o sea, x0 ∈ A′)
∀M > 0, ∃ δ > 0 /∀x ∈ A : 0 <| x− x0 |< δ ⇒ f(x) > M
En forma análoga se define ĺım
x→x0
f(x) =−∞ y ĺım
x→x0
f(x) =∞ :
ĺım
x→x0
f(x) = −∞⇔

x0 es un punto de acumulación de A (o sea, x0 ∈ A′)
∀M > 0,∃ δ > 0/∀x ∈ A : 0 <| x− x0 |< δ ⇒ f(x) < −M
14
ĺım
x→x0
f(x) =∞⇔

x0 es un punto de acumulación de A (o sea, x0 ∈ A′)
∀M > 0,∃ δ > 0/∀x ∈ A : 0 <| x− x0 |< δ ⇒| f(x) |> M
2.5. Límite de una función para variable infinita
Hemos visto que dada una variable real x , decir que tiende a un punto x0 significa que | x− x0 |
tiende a 0 . Es decir, para cualquier número positivo δ existe un x tal que | x− x0 |< δ .
Decir que x tiende a +∞ significa que dado cualquier número positivo M siempre es posible
encontrar un número positivo x tal que x > M . Se escribe x → +∞. Análogamente, decir que
x tiende a −∞ significa que dado cualquier número positivo M siempre es posible encontrar un
número negativo x tal que x < −M . Por último, decimos que x tiende a ∞ (infinito sin signo) si
dado cualquier número positivo M es posible encontrar un número x tal que | x |> M .
Llamaremos entorno de +∞ , −∞ a los siguientes intervalos :
E(+∞) = (a,+∞) para algún a ∈ R
E(−∞) = (−∞, a) para algún a ∈ R
Sea f : (a,+∞)→ R una función . Definimos :
1. ĺım
x→+∞
f(x) =l ∈ R⇔ ∀ ε > 0,∃M > 0/∀x ∈ (a,+∞) : x > M ⇒| f(x)− l |< ε
2. ĺım
x→+∞
f(x) = +∞⇔ ∀K > 0,∃M > 0/∀x ∈ (a,+∞) : x > M ⇒ f(x) > K
3. ĺım
x→+∞
f(x) =−∞⇔ ∀K > 0,∃M > 0/∀x ∈ (a,+∞) : x > M ⇒ f(x) < −K
Sea f : (−∞, a)→ R una función. Definimos :
1. ĺım
x→−∞
f(x) =l ∈ R⇔ ∀ ε > 0,∃M > 0/∀x ∈ (−∞, a) : x < −M ⇒| f(x)− l |< ε
2. ĺım
x→−∞
f(x) = +∞⇔ ∀K > 0,∃M > 0/∀x ∈ (−∞, a) : x < −M ⇒ f(x) > K
3. ĺım
x→−∞
f(x) =−∞⇔ ∀K > 0,∃M > 0/∀x ∈ (a,+∞) : x < −M ⇒ f(x) < −K
Sea f : (−∞, a) ∪ (b,+∞)→ R una función . Definimos :
1. ĺım
x→∞
f(x) =l ∈ R⇔ ∀ε > 0,∃M > 0/∀x ∈ (−∞, a) ∪ (b,+∞) : | x |> M ⇒| f(x)− l |< ε
2. ĺım
x→∞
f(x) = +∞⇔ ∀K > 0,∃M > 0/∀x ∈ (−∞, a) ∪ (b,+∞) : | x |> M ⇒ f(x) > K
3. ĺım
x→∞
f(x) =−∞⇔ ∀K > 0, ∃M > 0/∀x ∈ (−∞, a) ∪ (b,+∞) : | x |> M ⇒ f(x) < −K
4. ĺımx→∞
f(x) =∞⇔ ∀K > 0,∃M > 0/∀x ∈ (−∞, a) ∪ (b,+∞) : | x |> M ⇒| f(x) |> K
15
2.6. Asíntotas lineales
1. Asíntota vertical
Sean f : A→ R es una función y x0 ∈ A′.
La recta x = x0 es una asíntota vertical de f si se cumple alguna de las siguientes igualdades
a) ĺım
x→x0
f(x) =∞
b) ĺım
x→x+0
f(x) =∞
c) ĺım
x→x−0
f(x) =∞
2. Asíntota horizontal
Sean f : (a,+∞)→ R una función y b ∈ R .
La recta y = b es la asíntota horizontal por la derecha de f si ĺım
x→+∞
f(x) =b
Sea f : (−∞, a)→ R una función y c ∈ R .
La recta y = c es la asíntota horizontal por la izquierda de f si ĺım
x→−∞
f(x) =c
Si b = c diremos que la recta y = b es la asíntota horizontal de f .
3. Asíntota oblícua
Sean f : (a,+∞)→ R una función e y = m1x+ b1 una recta .
La recta y = m1x+ b1 es la asíntota oblícua por la derecha de f si
ĺım
x→+∞
[f(x)− (m1x+ b1)] = 0
Sean f : (−∞, a)→ R una función e y = m2x+ b2 una recta.
La recta y = m2x+ b2 es la asíntota oblícua por la izquierda de f si
ĺım
x→−∞
[f(x)− (m2x+ b2)] = 0
Si m1 = m2 = m y b1 = b2 = b , decimos que y = mx+ b es la asíntota oblícua de f .
Para hallar la pendiente m y la ordenada al origen b calculamos los siguientes límites :
(el infinito puede +∞ ó −∞ ) :
m = ĺım
x→∞
f(x)
x
y b = ĺım
x→∞
[f(x)−mx]
2.7. Propiedades del límite de funciones
En todo lo que sigue a = x0 ∈ R o bien a = ±∞. Con E ′(a) representamos un entorno reducido
de a , es decir :
si a = x0 ∈ R entonces E ′(x0) = (x0 − δ, x0) ∪ (x0, x0 + δ) para algún δ > 0
si a = +∞ entonces E ′(+∞) = (h,+∞) para algún h ∈ R
16
si a = −∞ entonces E ′(−∞) = (−∞, h) para algún h ∈ R
Sean f , g y h funciones definidas al menos en un entorno reducido de a .
1. Si f es una función polinómica, racional, exponencial, logarítmica, trigonométrica o hiper-
bólica y x0 es un punto de su domino (punto de acumulación del dominio de f) , entonces
es :
ĺım
x→x0
f(x) = f(x0)
2. Límites especiales :
a) Si ĺım
x→a
f(x) =0 entonces :
ĺım
x→a
sen f(x)
f(x)
=1 . En particular ĺım
x→0
sen(x)
x
=1
ĺım
x→a
tg f(x)
f(x)
=1 . En particular ĺım
x→0
tg(x)
x
=1
ĺım
x→a
(1 + f(x))
1
f(x) =e . En particular ĺım
x→0
(1 + x)
1
x = e
b) Si ĺım
x→a
f(x) =∞ entonces ĺım
x→a
(
1 +
1
f(x)
)f(x)
= e . En particular ĺım
x→∞
(
1 +
1
x
)x
= e
c) ĺım
x→0+
ln(x) = −∞ y ĺım
x→+∞
ln(x) = +∞
d) ĺım
x→+∞
ex = +∞ y ĺım
x→−∞
ex = 0
e) ĺım
x→0+
√
x =0 y ĺım
x→+∞
√
x = +∞
f ) ĺım
x→+∞
arctan(x) =π/2 y ĺım
x→−∞
arctan(x) = −π/2
g) ĺım
x→∞
a xn =∞ con a ∈ R6=0, n ∈ N y ĺım
x→∞
a
xn
= 0 con a ∈ R, n ∈ N
h) Si k > 1 entonces ĺım
x→+∞
kx = +∞ y ĺım
x→−∞
kx = 0
i) Si 0 < k < 1 entonces ĺım
x→+∞
kx =0 y ĺım
x→−∞
kx = +∞
3. Si se verifica que existe ĺım
x→a
f(x) = l ∈ R entonces :
a) l es único .
b) Existe un entorno reducido de a donde f está acotada .
c) Si l < k entonces existe un E ′(a) tal que f(x) < k para todo x ∈ E ′(a) .
Vale la propiedad análoga cambiando < por > .
d) Si existe un E ′(a) tal que f(x) < k para todo x ∈ E ′(a) entonces l ≤ k .
Vale la propiedad análoga cambiando < por > y ≤ por ≥.
e) ĺım
x→a
k f(x) = k ĺım
x→a
f(x) = l = k · l
17
f ) ĺım
x→a
| f(x) |=| ĺım
x→a
f(x) |=| l |
g) ĺım
x→a
(f(x))n =
(
ĺım
x→a
f(x)
)n
= ln
h) ĺım
x→a
ln (f(x)) = ln
(
ĺım
x→a
f(x)
)
= ln(l) si l > 0
i) ĺım
x→a
n
√
f(x) = n
√
ĺım
x→a
f(x) = n
√
l con l > 0 si n es par
j ) ĺım
x→a
kf(x) = k
ĺım
x→a
f(x)
= kl si k > 0
4. Se verifica que :
a) ĺım
x→a
f(x) =∞=⇒ ĺım
x→a
1
f(x)
= 0
b) ĺım
x→a
f(x) = 0=⇒ ĺım
x→a
1
f(x)
=∞
5. Si se verifica que existe ĺım
x→a
f(x) = +∞ entonces :
a) ĺım
x→a
ln (f(x)) = +∞ b) ĺım
x→a
ef(x) = +∞
6. Si se verifica que ĺım
x→a
f(x) = l y ĺım
x→a
g(x) = l′ con l,l′ ∈ R entonces :
a) ĺım
x→a
[f(x) + g(x)] = ĺım
x→a
f(x) + ĺım
x→a
g(x) = l + l′
b) ĺım
x→a
[f(x) g(x)] = ĺım
x→a
f(x) · ĺım
x→a
g(x) = l · l′
c) ĺım
x→a
f(x)
g(x)
=
ĺım
x→a
f(x)
ĺım
x→a
g(x)
=
l
l′
si l′ 6= 0
d) ĺım
x→a
[f(x)]g(x) =
(
ĺım
x→a
f(x)
) ĺım
x→a
g(x)
= ll
′
si l > 0
e) Si l < l′ entonces existe un E ′(a) tal que f(x) < g(x) para todo x ∈ E ′(a)
Vale la propiedad análoga cambiando < por > .
f ) Si existe un E ′(a) tal que f(x) < g(x) para todo x ∈ E ′(a) entonces l ≤ l′
Vale la propiedad análoga cambiando < por >y ≤ por ≥.
7. Si se verifica que ĺım
x→a
f(x) = 0 y g está acotada en un E ′(a) entonces :
ĺım
x→a
f(x) g(x) = 0
8. Si se verifica que ĺım
x→a
f(x) =∞ y | g(x) |> 0 en un E ′(a) entonces :
ĺım
x→a
f(x) g(x) =∞
9. Si se verifica que ĺım
x→a
f(x) =∞ y g está acotada en un E ′(a) entonces :
ĺım
x→a
[f(x) + g(x)] =∞
10. Si se verifica que ĺım
x→a
f(x) =∞ y ĺım
x→a
g(x) = l entonces :
18
a) ĺım
x→a
[f(x) + g(x)] =∞ b) ĺım
x→a
[f(x) g(x)] =∞ si l 6= 0
11. Si se verifica que ĺım
x→a
f(x) = ĺım
x→a
g(x) = +∞ (ó −∞) entonces :
a) ĺım
x→a
[f(x) + g(x)] = +∞ (ó −∞) b) ĺım
x→a
[f(x) g(x)] = +∞
12. Si se verifica que ĺım
x→a
f(x) = +∞ y ĺım
x→a
g(x) = l > 0 entonces :
ĺım
x→a
[g(x)]f(x) =

+∞ si l > 1
0 si 0 < l < 1
13. Si se verifica que f(x) ≤ g(x) para todo x ∈ E ′(a) entonces :
a) ĺım
x→a
f(x) = +∞ ⇒ ĺım
x→a
g(x) = +∞
b) ĺım
x→a
g(x) = −∞ ⇒ ĺım
x→a
f(x) = −∞
14. Si se verifica que g(x) 6= 0 para todo x ∈ E ′(a) y ĺım
x→a
f(x)
g(x)
= l ∈ (0,+∞) entonces :
ĺım
x→a
f(x) =∞ ⇐⇒ ĺım
x→a
g(x) =∞
15. Si se verifica que :
h(x) ≤ f(x) ≤ g(x) para todo x ∈ E ′(a)
ĺım
x→a
h(x) = ĺım
x→a
g(x) = l
entonces
ĺım
x→a
f(x) = l (propiedad de intercalación)
16. Sean f : A→ R y g : B → R funciones tales que Imf ⊆ B .
Sea x0 ∈ A′ tal que ĺım
x→x0
f(x) =y0 con y0 ∈ B′ . Se verifica que :
Si ĺım
x→x0
f(x) =y0 y ĺım
y→y0
g(y) =l = g(y0) entonces ĺım
x→x0
(g ◦ f) (x) =l
Observar que la condición que tiene que cumplir la función g , esto es l = g(y0) , es necesaria
pues de lo contrario podría ser falsa la implicación . Por ejemplo :
Sean f : R→ R / f(x) = 0 y g : R→ R / g(y) =
{
1 si y 6= 0
0 si y = 0
.
Entonces (g ◦ f)(x) = 0 / ∀x ∈ R con lo cual :
ĺım
x→0
f(x) =0 , ĺım
y→0
g(y) =1 pero ĺım
x→0
(g ◦ f)(x) = 0 6= 1
19
17. Sean A ⊆ R , x0 ∈ A′ , f : A→ R y g : (a,+∞)→ R funciones tales que Imf ⊆ (a,+∞) .
Se verifica que :
Si ĺım
x→x0
f(x) = +∞ y ĺım
y→+∞
g(y) = l entonces ĺım
x→x0
(g ◦ f)(x) = l
18. Sean A ⊆ R , y0 ∈ A′ , f : (a,+∞)→ R y g : A→ R funciones tales que Imf ⊆ A .
Se verifica que :
Si ĺım
x→+∞
f(x) = y0 y ĺım
y→y0
g(y) = l entonces ĺım
x→+∞
(g ◦ f)(x) = l
19. Sean f : (a,+∞)→ R y g : (b,+∞)→ R funciones tales que Imf ⊆ (b,+∞) .
Se verifica que :
Si ĺım
x→+∞
f(x) = +∞ y ĺım
y→+∞
g(y) = l entonces ĺım
x→+∞
(g ◦ f)(x) = l , (l ∈ R ó bien l =∞)
Valen propiedades análogas para funciones definidas en intervalos del tipo (−∞, a)
Nota :
Cuando se calcula el límite de una función que está definida mediante otras funciones, que tienen
límite, puede ocurrir que el límite de la función dada no quede determinado en función de los
límites conocidos. Cuando sucede esto decimos que se presenta una "indeterminación". Por ejemplo,
sabemos que ĺım
x→0
senx = ĺım
x→0
x =0 pero no podemos usar la propiedad del cociente para calcular
ĺım
x→0
senx
x
pues se obtine una expresión que carece de sentido, esto es,
0
0
. En estos casos se debe
recurrir a otras propiedades para calcular el límite.
Las "indeterminaciones" son : "
0
0
" , "
∞
∞
" , "0 · ∞" , "∞−∞" , " 00" , "∞0" , " 1∞"
2.8. Continuidad de una función en un punto
Sean f : A→ R una función y x0 un punto de acumulación de su dominio, o sea, x0 ∈ A′.
Se dice que la función f es continua en el punto x0 si y sólo si ĺım
x→x0
f(x) =f(x0) .
Esto significa que :
Existe f(x0) , o sea , x0 pertenece al dominio A de la función
Existe y es finito ĺım
x→x0
f(x) =l
l = f(x0)
Si no se cumple alguna de las condiciones anteriores se dice que f es discontinua en x0 o presenta
una discontinuidad en x0 . Usando la definición de límite :
f es continua en x0 ⇔

x0 es un punto de acumulación de A (osea, x0 ∈ A′)
∀ ε > 0,∃ δ > 0/∀x ∈ A : | x− x0 |< δ ⇒| f(x)− f(x0) |< ε
20
Si x0 no es punto de acumulación del dominio de f convenimos en decir que f es continua en x0
si existe f(x0) .
Si existe ĺım
x→x0
f(x) =l finito pero l 6= f(x0) o bien no existe f(x0) decimos que f tiene una
discontinuidad evitable en x0. Si no existe ĺım
x→x0
f(x) o bien ĺım
x→x0
f(x) =∞ decimos que f tiene
una discontinuidad esencial en x0 . En tal caso, si existen los límites laterales (que son distintos)
se dice que la discontinuidad es esencial de primera especie, y si alguno de los límites laterales
no existe la discontinuidad se esencial de segunda especie.
Si la función se la define en un intervalo cerrado [a, b] , es decir, f : [a, b] → R , definimos la
continuidad lateral como :
f es continua a la derecha en x = a si ĺım
x→a+
f(x) =f(a)
f es continua a la izquierda en x = b si ĺım
x→b−
f(x) =f(b)
2.9. Propiedades de las funciones continuas
1. Sea f : A→ R una función continua en un punto de acumulación x0 de A . Se verifica que :
a) f está acotada en un E(x0, δ)
b) Si f(x0) 6= 0 entonces sg(f(x)) = sg(f(x0)) para todo x ∈ E(x0, δ)
2. Sean f, g : A→ R funciones continuas en un punto de acumulación x0 de A. Se verifica que :
a) f + g es continua en x0
b) f · g es continua en x0
c)
f
g
es continua en x0 si g(x0) 6= 0
d) fges continua en x0 si f(x0) > 0
3. Si f es una función polinómica, racional, exponencial, logarítmica, trigonométrica o hiper-
bólica entonces es continua en todo su dominio.
4. Sean f : A→ R y g : B → R funciones tales que Imf ⊆ B , x0 ∈ A′ e y0 ∈ B′ con y0 = f(x0)
Se verifica que :
Si f es continua en x0 y g es continua en y0 entonces g ◦ f es continua en x0
2.10. Funciones continuas en un intervalo cerrado
Sea f : [a, b]→ R una función . Decimos que f es continua en [a, b] si :
f es continua en el intervalo abierto (a, b)
f es continua por la derecha en a
21
f es continua por la izquierda en b
Se dice que f alcanza un máximo absoluto en x0 ∈ [a, b] si f(x0) ≥ f(x) para todo x ∈ [a, b].
Análogamente, f alcanza un mínimo absoluto en x1 ∈ [a, b] si f(x1) ≤ f(x) para todo x ∈ [a, b].
Propiedades
1. Primer Teorema de Weierstrass : Toda función continua en un intervalo cerrado [a, b]
está acotada en [a, b] .
2. Segundo Teorema de Weierstrass : Toda función continua en un intervalo cerrado [a, b]
alcanza un máximo y mínimo absolutos .
3. Teorema de Bolzano : Si f es una función continua en [a, b] y verifica que f(a) ·f(b) < 0 , o
sea, f(a) y f(b) tienen distinto signo, entonces existe al menos un c ∈ (a, b) tal que f(c) = 0
Geométricamente significa que el gráfico de f corta al eje X en un punto interior de (a, b) .
Otra forma de interpretar al teorema es decir que la ecuación f(x) = 0 tiene , al menos, una
raíz real en el intervalo (a, b) .
4. Teorema del Valor Intermedio : Sea f una función continua en [a, b] tal que f(a) < f(b)
Para cada k ∈ (f(a), f(b)) existe al menos un c ∈ (a, b) tal que f(c) = k .
5. Continuidad de la función inversa : Sea f : [a, b] → Imf una función continua y
biyectiva en [a, b].
Su inversa f−1 : Imf → [a, b] es continua.
22
3. DERIVADAS
Sean f : A→ R una función y x0 un punto interior de A , o sea, x0 ∈ A0.
Diremos que f es derivable en el punto interio x0 si existe y es finito el siguiente límite, que se
denota f ′(x0), y se llama derivada de f en x0 :
f ′(x0) = ĺım
x→x0
f(x)− f(x0)
x− x0
Si este límite existe cuando x→ x+0 (o bien x→ x−0 ) lo llamaremos derivada lateral por la derecha
(por la izquierda) y se denotan :
f ′(x+0 ) = ĺım
x→x+0
f(x)− f(x0)
x− x0
y f ′(x−0 ) = ĺım
x→x−0
f(x)− f(x0)
x− x0
Observaciones :
1. Al cociente
f(x)− f(x0)
x− x0
se lo llama cociente incremental de f .También se lo indica
4f
4x
2. Haciendo el cambio de variable h = x−x0 resulta que x = x0 +h y si x→ x0 entonces h→ 0
luego :
f ′(x0) = ĺım
h→0
f(x0 + h)− f(x0)
h
f ′(x+0 ) = ĺım
h→0+
f(x0 + h)− f(x0)
h
f ′(x−0 ) = ĺım
h→0−
f(x0 + h)− f(x0)
h
3. Puede suceder que ĺım
x→x0
f(x)− f(x0)
x− x0
=∞ . En ese caso decimos que f tiene derivada infinita
en el punto x0
4. El concepto de derivada es local o puntual, es decir, depende del punto x0
5. Geométricamente la derivada de una función f en un punto x0 se puede ver como la pendiente
de la recta tangente al gráfico de f en el punto (x0, f(x0)). En tal caso la ecuación de la
recta tangente será
y − f(x0) = f ′(x0)(x− x0)
Se llama recta normal al gráfico de f en el punto (x0, f(x0)) a la recta perpendicular a la
tangente en dicho punto. Luego, la ecuación de la recta normal será, siempre que f ′(x0) 6= 0
y − f(x0) = −
1
f ′(x0)
(x− x0)
6. Otras posibles notaciones para la derivada de una función f tal que y = f(x) en el punto x0
son :
df
dx
(x0) ,
dy
dx
(x0) , y′(x0)
23
Teorema (Condición necesaria de derivabilidad)
Sean f : A→ R una función y x0 un punto interior de A .
Si f es derivable en x0 entonces f es continua en x0 .
H) f es derivable en x0
T) f es continua en x0
Demostración
Debemos demostrar que ĺım
x→x0
f(x) = f(x0) , o sea ĺım
x→x0
[f(x)− f(x0)] = 0 . Si f es derivable en x0
entonces existe y es finito el límite
f ′(x0) = ĺım
x→x0
f(x)− f(x0)
x− x0
Entonces :
ĺım
x→x0
[f(x)− f(x0)] = ĺım
x→x0
f(x)− f(x0)
x− x0
·(x−x0) = ĺım
x→x0
f(x)− f(x0)
x− x0
· ĺım
x→x0
(x− x0) = f ′(x0) · 0 = 0
.
Luego
ĺım
x→x0
[f(x)− f(x0)] = 0, con lo cual ĺım
x→x0
f(x) = f(x0) .
El recíproco es falso. Por ejemplo, f(x) =| x | no es derivable en x = 0 pero sí es continua en x = 0
Se dice que f es de clase C1en el punto x0 si su función derivada f ′ es continua en x0.
Se denota f ∈ C1 .
Una función puede ser derivable en un punto pero no ser de clase C1 en dicho punto .
3.1. Función derivada
Si f es una función definida en un conjunto A ⊆ R y es derivable en cada punto interior x ∈ A ,
podemos definir una función que le asigna a cada x ∈ A0 el número f ′(x). Es decir, que definida
la función
x ∈ A0 7→ f ′(x)
A esta función se la llama función derivada de f y se denota naturalmente con f ′ .
Ejemplos :
1. f(x) = x2 es derivable en x0 = 1 y f ′(1) = 2 . En este caso t : y = 2x− 1 y n : y = −
1
2
x+
3
2
.
Observar que la función derivada de f es f ′(x) = 2x para todo x ∈ R . Como f ′es continua
en x = 1 resulta que f ∈ C1 .
2. f(x) =| x− 2 | no es derivable pero si continua en x0 = 2. Es decir, no existe f ′(2) y se dice
que el punto (2, 0) es un punto anguloso.
3. f(x) = 3
√
x2 no es derivable pero si continua en x0 = 0 . En este caso, f ′(0) = ∞ y se dice
que el punto (0, 0) es un punto cuspidal o de retroceso.
24
4. f(x) = 3
√
x tiene derivada infinita en x0 = 0 . En este caso f ′(0) = +∞ .
5. f(x) =
{
x2 si x ≤ 1
−x+ 2 si x > 1
no es derivable en x = 1 .
Es decir, no existe f ′(1) . En este caso f ′(1+) = −1 y f ′(1−) = 2 .
6. f(x) =
x · sen
(
1
x
)
si x 6= 0
0 si x = 0
no es derivable en x = 0 .
En este caso no existen f ′(0) , f ′(0+) ni f ′(0−) .
Reglas de derivación
Sean f, g : A→ R funciones derivables en cada punto interior x ∈ A y k ∈ R . Se verifica que :
1. k · f es derivable en x y (k · f)′ (x) = k · f ′(x)
2. f + g es derivable en x y (f + g)′ (x) = f ′(x) + g′(x)
Demostración
Por definición de derivada sabemos que
(f + g)′ (x0) = ĺım
x→x0
(f + g) (x)− (f + g) (x0)
x− x0
Entonces
(f + g)
′
(x0) = ĺımx→x0
(f + g) (x)− (f + g) (x0)
x− x0
=
= ĺım
x→x0
f(x) + g(x)− f(x0)− g(x0)
x− x0
= ĺım
x→x0
f(x)− f(x0) + g(x)− g(x0)
x− x0
=
= ĺım
x→x0
f(x)− f(x0)
x− x0
+
g(x)− g(x0)
x− x0
= ĺım
x→x0
f(x)− f(x0)
x− x0
+ ĺım
x→x0
g(x)− g(x0)
x− x0
=
= f ′(x0) + g
′(x0) . Siendo x0 un punto cualquiera se obtiene la tesis .
3. f · g es derivable en x y (f · g)′ (x) = f ′(x) · g(x) + f(x) · g′(x)
Demostración
Por definición de derivada sabemos que
(f · g)′ (x0) = ĺım
x→x0
(f · g) (x)− (f · g) (x0)
x− x0
Entonces, sumando y restando f(x0) · g(x) tememos que
(f · g)′ (x0) = ĺım
x→x0
(f · g) (x)− (f · g) (x0)
x− x0
= ĺım
x→x0
f(x) · g(x)− f(x0) · g(x0)
x− x0
=
25
= ĺım
x→x0f(x) · g(x)− f(x0) · g(x) + f(x0) · g(x)− f(x0) · g(x0)
x− x0
=
= ĺım
x→x0
[f(x)− f(x0)] · g(x) + f(x0) · [g(x)− g(x0)]
x− x0
=
= ĺım
x→x0
[
f(x)− f(x0)
x− x0
· g(x) + f(x0) ·
g(x)− g(x0)
x− x0
]
=
= ĺım
x→x0
f(x)− f(x0)
x− x0
· ĺım
x→x0
g(x) + f(x0) · ĺım
x→x0
g(x)− g(x0)
x− x0
=
= f ′(x0) · g(x0) + f(x0) · g′(x0) . Siendo x0 un punto cualquier se obtiene la tesis .
4.
f
g
es derivable en x y
(
f
g
)′
(x) =
f ′(x) · g(x)− f(x) · g′(x)
[g(x)]2
si g(x) 6= 0
Derivada de algunas funciones
1. Sea f(x) = sen x . Entonces f ′(x) = cos x para todo x ∈ R
Demostración
Sea x0 ∈ R . Por definición de derivada sabemos que
f ′(x0) = ĺım
x→x0
senx− senx0
x− x0
pero senx− senx0 = 2 · cos
(
x+ x0
2
)
· sen
(
x− x0
2
)
con lo cual
f ′(x0) = ĺım
x→x0
senx− senx0
x− x0
= ĺım
x→x0
2 · cos
(
x+ x0
2
)
· sen
(
x− x0
2
)
x− x0
=
= ĺım
x→x0
cos
(
x+ x0
2
)
· sen
(
x− x0
2
)
x− x0
2
= ĺım
x→x0
cos
(
x+ x0
2
)
·
sen
(
x− x0
2
)
(
x− x0
2
) =
= ĺım
x→x0
cos
(
x+ x0
2
)
· ĺım
x→x0
sen
(
x− x0
2
)
(
x− x0
2
) = cos(x0) · 1 = cos(x0)
Como el x0 es un punto genérico resulta que (senx)′ = cosx . Siendo x0 un punto cualquiera
se obtiene la tesis .
2. Sea f(x) = ln x . Entonces f ′(x) =
1
x
para todo x > 0
Demostración
26
Sea x0 > 0 . Por definición de derivada sabemos que
f ′(x0) = ĺım
x→x0
lnx− lnx0
x− x0
= ĺım
h→0
ln(x0 + h)− lnx0
h
Entonces, usando propiedades del logaritmo y la definición del número e resulta que
f ′(x0) = ĺım
h→0
ln(x0 + h)− lnx0
h
= ĺım
h→0
1
h
· ln
(
x0 + h
x0
)
=
= ĺım
h→0
1
h
· ln
(
1 +
h
x0
)
= ĺım
h→0
ln
(
1 +
h
x0
)x0
h
·
1
x0 =
= ln
 ĺım
h→0
(
1 +
h
x0
)x0
h
·
1
x0
 = ln
 ĺım
h→0
(
1 +
h
x0
)x0
h

ĺım
h→0
1
x0
= ln e
1
x0 =
1
x0
Luego f ′(x0) =
1
x0
. Como x0 es un punto cualquiera se obtiene la tesis .
Teorema (Derivada de la función compuesta o regla de la cadena)
Sean f : A → R y g : B → R funciones tales que Imf ⊆ B , f es derivable en x ∈ A0 y g es
derivable en f(x) ∈ B0. Entonces g ◦ f es derivable en x y además
(g ◦ f)′ : A→ R / (g ◦ f)
′
(x) = g′ (f(x)) · f ′(x)
Aplicación : Tomando logaritmo natural en ambos miembros de f(x) = xα , con α ∈ R y x > 0
probar que f ′(x) = αxα−1
Teorema (Derivada de la función inversa)
Sean f : A→ R una función biyectiva y x0 ∈ A0 . Si f es derivable en x0 y f ′(x0) 6= 0 entonces :
1. f−1 es derivable en y0 = f(x0)
2. (f−1)
′
(y0) =
1
f ′(x0)
Aplicación : Sabiendo que la función inversa de f(x) = ex es f−1(x) = ln(x) y que se verifica
(f−1 ◦ f) (x) = x∀x ∈ R , probar que f ′(x) = ex .
Ejemplo: Sea f : R→ R la función biyectiva dada por f(x) = x3 + x+ 1.
Hallar (f−1)′ (3) . Rta.:
1
4
27
Tabla de derivadas de las funciones elementales
1. (k)′ = 0
2. (x)′ = 1
3. (1/x)′ = −1/x2
4. (
√
x)
′
= 1/2
√
x
5. (xα)′ = αxα−1
6. (ex)′ = ex
7. (ax)′ = ax ln a
8. (ln(x))′ = 1/x
9. (loga (x))
′ = 1/x ln a
10. (sen(x))′ = cos(x)
11. (cos(x))′ = − sen(x)
12. (tan(x))′ = 1/ cos2(x)
13. (Sh(x))′ = Ch(x)
14. (Ch(x))′ = Sh(x)
15. (arcsin(x))′ = 1/
√
1− x2
16. (arc cos(x))′ = −1/
√
1− x2
17. (arctan(x))′ = 1/1 + x2
3.2. Derivada de funciones definidas implícitamente y en forma para-
métrica
Diremos que una ecuación F (x, y) = 0 define implícitamente a una función f tal que y = f(x) .
en algún intervalo real I , si para todo x ∈ I se verifica que F (x, f(x)) = 0 .
Si la función f es derivable en I entonces F también lo será . En tal caso la expresión de f ′(x)
se puede obtener derivando a F (x, f(x)) como una función compuesta e igualando a cero lo que
resulte para luego despejar f ′(x) . En estos casos la notación usual es y′ en vez de f ′(x) .
Ejemplo : Hallar la expresión de y′ siendo y = f(x) la función dada por y2 senx+ y = arc tg x .
Rta.: y′ =
1− (1 + x)2y2 cosx
(1 + x2)(2y senx+ 1)
Supongamos ahora que las variable x e y dependen de una tercer variable t ∈ I ⊆ R ( t se llama
parámetro).
Esta dependencia funcional se puede expresar como
x = g(t) e y = h(t)
Si g es estrictamente monótona sabemos que tiene inversa g−1, con lo cual t = g−1(x). En estas
condicones podemos encontrar una dependencia funcional entre x e y de modo tal que y = f(x)
para alguna función f (proceso conocido como supresión o eliminación del parámetro t ) y decimos
que f está definida paramétricamente por g y h .
Si g y h son derivables en todo punto interior de I entonces
f ′(x) =
h′(t)
g′(t)
En efecto, como g tiene inversa g−1 y t = g−1(x) tenemos que :
y = h(t) = h(g−1(x)) = (h ◦ g−1)(x) = f(x) con f = h ◦ g−1
28
Como g es derivable , g−1 también lo es, de modo que
f ′(x) = h′(g−1(x))(g−1)′(x) = h′(g−1(x)) · 1
g′(t)
= h′(t) · 1
g′(t)
=
h′(t)
g′(t)
Es usual en las aplicaciones físicas, indicar la dependencia funcional de x e y en función de t como
x = x(t) e y = y(t) , y f ′(x) como
dy
dx
, con lo cual la relación anterior queda
dy
dx
=
y′(t)
x′(t)
Ejemplo : Hallar la derivada de y en función de x de la curva dada en forma paramétrica por{
x = 2 cos t
y = 1 + 2 sen t
Rta.:
dy
dx
= − cotg t
3.3. Derivadas sucesivas o de orden superior
Sean A ⊆ R y f : A→ R una función derivable en todo punto interior x ∈ A .
A la función f ′ también se la llama derivada primera de f en A . Si existe la derivada de f ′ en
cada punto interior de A a ella se la llama derivada segunda de f y se la denota f ′′o bien f (2) .
Entonces
f ′′(x) = ĺım
h→0
f ′(x+ h)− f ′(x)
h
En general, si n ∈ N , la derivada n-ésima de f o de orden n en un punto interior x de A se define
inductivamente como
f (n)(x) =
(
f (n−1)
)′
(x)
Por determinadas razones que luego se verán se considera derivada de orden 0 a f (0)(x) = f(x) .
Diremos que f es n veces derivable en x si existe f (n)(x) , y f es de clase Cn si f es n veces
derivable en todo punto interior de A y la función f (n) es continua en dicho punto . Por último, f
es de clase C∞ si f ∈ Cn para todo n ∈ N , o sea, f puede derivarse tantas veces como se necesite
en todo punto interior de A .
Ejemplo : Hallar la expresión de la derivada n-ésima de f en los siguientes casos :
a) f(x) = x3 b) f(x) = ex c) f(x) = e3x d) f(x) = ln x
3.4. Diferencial de una función en un punto
Sea f : A → R una función derivable en un punto interior x0 de A. Entonces existe y es finito el
límite
f ′(x0) = ĺım
x→x0
f(x)− f(x0)
x− x0
29
Esta iguadad podemos escribirla del siguiente modo :
ĺım
x→x0
f(x)− f(x0)
x− x0
= f ′(x0)⇒ ĺım
x→x0
[
f(x)− f(x0)
x− x0
− f ′(x0)
]
= 0⇒ f(x)− f(x0)
x− x0
= f ′(x0) + α(x)
con ĺım
x→x0
α(x) = 0 . Luego
f(x)− f(x0) = f ′(x0)(x− x0) + α(x)(x− x0) con ĺım
x→x0
α(x) = 0
Llamaremos diferencial de f en el punto interior x0 con respecto al incremento 4x = x − x0 al
producto f ′(x0)(x− x0). Se lo denota con df(x0,4x) . Entonces df(x0,4x) = f ′(x0)(x− x0) .
Si 4x→ 0 el incremento de la función se aproxima al diferencial lo que permite escribir
4f ' df(x0,4x)⇒ f(x)− f(x0) ' df(x0,4x)⇒ f(x) ' f(x0) + df(x0,4x)
Haciendo el cambio de variable h = 4x = x − x0 tenemos que x = x0 + h con lo cual la última
implicación queda
f(x0 + h) ' f(x0) + f ′(x0)h
siendo en este caso df(x0, h) = f ′(x0)h .
Esta expresión se conoce como aproximación lineal de f .
Si usamos la notación y = f(x), el diferencial se suele escribir como dy, con lo cual, para el caso
particular de la función identidad y = f(x) = x , tenemos que dy = dx = x′ 4 x = 1 4 x , de
donde se obtiene la igualdad dx = 4x . Esto justifica la notación dy = f ′(x) dx .
Geométricamente podemos decir que df(x0, h) de una función en un punto de abscisa x0, con un
incremento h , representa la variación de la ordenada de la recta tangente a la curva en (x0, f(x0)),
al pasar de x0 a x0 + h .
Ejemplo : Calcular usando diferenciales el valor aproximado de 4
√
e y comparar el resultado con
el que dá la calculadora.
Rta.: 4
√
e ' 1, 25
Propiedad
La variación de una función y su diferencial son infinitésimos equivalentes para h→ 0 .
En efecto, si f ′(x0) 6= 0 resulta que :
ĺım
h→0
4f
df(x0,h)
= ĺım
h→0
f(x0 + h)− f(x0)
f ′(x0)h
=
1
f ′(x0)
· ĺım
h→0
f(x0 + h)− f(x0)
h
=
1
f ′(x0)
· f ′(x0) = 1
3.5. Funciones monótonas derivables
Sean A ⊆ R , f : A→ R una función y x0 un punto interior de A . Diremos que :
f es estrictamente creciente en x0 si y sólo si existe un E(x0, δ) tal que :
∀x ∈ E(x0, δ) :

x < x0 ⇒ f(x) < f(x0)
x0 < x⇒ f(x0) < f(x)
30
f es creciente en x0 si y sólo si existe un E(x0, δ) tal que :
∀x ∈ E(x0, δ) :

x < x0 ⇒ f(x) ≤ f(x0)
x0 < x⇒ f(x0) ≤ f(x)
f es estrictamente decreciente en x0 si y sólo si existe un E(x0, δ) tal que :
∀x ∈ E(x0, δ) :

x < x0 ⇒ f(x) > f(x0)
x0 < x⇒ f(x0) > f(x)
f es decreciente en x0 si y sólo si existe un E(x0, δ) tal que :
∀x ∈ E(x0, δ) :

x < x0 ⇒ f(x) ≥ f(x0)
x0 < x⇒ f(x0) ≥ f(x)
En cualquiera de los casos se dice que la función es monótona o (estrictamente monótona) en
el punto.
Teorema (Relación entre la monotonía en un punto y el signo de la derivada primera)
Sean A ⊆ R y f : A→ R una función derivable en un punto interior x0 de A. Se verifica que :
1. Si f ′(x0) > 0 entonces f es estrictamente creciente en x0
Demostración
Si f es derivable en x0 sabemos que existe y es finito el límite
f ′(x0) = ĺım
x→x0
f(x)− f(x0)
x− x0
> 0
Por una propiedad del límite, existe un E ′(x0, δ) donde la función conserva el signo de su
límite.
O sea
∀x ∈ E ′(x0, δ) :
f(x)− f(x0)
x− x0
> 0 ⇒ Sg [f(x)− f(x0)] = Sg(x− x0)
con lo cual
x < x0 ⇒ x− x0 < 0⇒ f(x)− f(x0) < 0⇒ f(x) < f(x0)
x > x0 ⇒ x− x0 > 0⇒ f(x)− f(x0) > 0⇒ f(x) > f(x0)
luego f es estrictamente creciente en x0
2. Si f ′(x0) < 0 entonces f es estrictamente decreciente en x0
31
3. Si f es creciente en x0 entonces f ′(x0) ≥ 0
4. Si f es decreciente en x0 entonces f ′(x0) ≤ 0
Sean A ⊆ R y f : A→ R una función . Diremos que :
f es estrictamente creciente en A si y sólo si se verifica que :
∀x1, x2 ∈ A : x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2)
f es creciente en A si y sólo si se verifica que :
∀x1, x2 ∈ A : x1 < x2 ⇒ f(x1) ≤ f(x2)
f es estrictamente decreciente en A si y sólo si se verifica que :
∀x1, x2 ∈ A : x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2)
f es decreciente en A si y sólo si se verifica que :
∀x1, x2 ∈ A : x1 < x2 ⇒ f(x1) ≥ f(x2)
En cualquiera de los casos se dice que la función es monótona o (estrictamente monótona) en
el conjunto.
Teorema (Relación entre la monotonía en un conjunto y el signo de la derivada primera)
Sean A ⊆ R y f : A→ R una función derivable en todo punto interior de A. Se verifica que :
1. Si f ′(x) > 0 ∀x ∈ A entonces f es estrictamente creciente en A
2. Si f ′(x) < 0 ∀x ∈ A entonces f es estrictamente decreciente en A
3. f ′(x) ≥ 0 si y sólo si f es creciente en A
4. f ′(x) ≤ 0 si y sólo si f es decreciente en A
3.6. Teoremas del valor medio
Extremos relativos y absolutos de una función
Sean A ⊆ R , f : A→ R una función y x0 ∈ A . Diremos que :
f admite un mínimo relativo o local en x0 si existe un entorno E(x0, δ) tal que :
E(x0, δ) ⊂ A y f(x0) ≤ f(x) ∀x ∈ E(x0, δ)
f admite un máximo relativo o local en x0 si existe un entorno E(x0, δ) tal que :
E(x0, δ) ⊂ A y f(x0) ≥ f(x) ∀x ∈ E(x0, δ)
32
f admite un mínimo absoluto o global en x0 si f(x0) ≤ f(x) ∀x ∈ A
f admite un máximo absoluto o global en x0 si f(x0) ≥ f(x) ∀x ∈ A
A los máximos y mínimos relativos (o absolutos) se los llama extremos relativos (o absolutos)
Teorema de Fermat (condición necesaria para la existencia de extremos relativos)
Sean A ⊆ R y f : A→ R una función derivable en un punto interior x0 de A .
Se verifica que :
Si f tiene un extremo relativo (máximo o mínimo) en el punto x0 entonces f ′(x0) = 0
Demostración
Supongamos, por el absurdo, que f ′(x0) 6= 0 , entonces se presentan dos casos :
a) f ′(x0) > 0 , con lo cual f es estrictamente creciente en x0
b) f ′(x0) < 0 , con lo cual f es estrictamente decreciente en x0
En ambos casos se llega a un absurdo pues f(x0) es un extremo relativo, con lo cual no es es-
trictamente creciente ni decreciente. Tal abusrdo surgió de suponer f ′(x0) 6= 0 . Luego debe ser
f ′(x0) = 0 .
Observaciones :
1. El recíproco es falso. Un contraejemplo es f(x) = x3 en x0 = 0
2. Si f no es derivable en x0 no tiene sentido aplicar el teorema. Por ejemplo, f(x) =| x |tiene
un mínimo relativo (y absoluto) en x0 = 0 y no existe f ′(0)
3. Si el conjunto A es un intervalo cerrado [a, b] , el teorema no se verifica en los extremos del
mismo (no son puntos interiores). Por ejemplo, f(x) = senx en [0, π/2] alcanza un mínimo
en x = 0 y un máximo en x = π/2
4. El teorema nos "brinda" posibles puntos interiores del dominio de la función donde pueden
tener extremos relativos
5. Diremos que x0 es un punto crítico de f si f ′(x0) = 0 o bien f ′(x0) no existe.
De este modo los extremos absolutos o globales de una función pueden hallarse en :
a) los puntos donde f ′(x) = 0
b) los puntos donde f ′(x) no existe
c) en los extremos del conjunto donde está definida la función
Teorema (Condición suficiente para la existencia de extremos locales)
Sean A ⊆ R , f : A→ R una función y x0 un punto interior de A .
Criterio del signo de la derivada primera
Si se verifica que :
33
1. f es continua en x0
2. f es derivable en un E ′(x0, δ)
3. x0 es un punto crítico de f
Entonces :
Si f ′(x) > 0 para x ∈ (x0− δ, x0) y f ′(x) < 0 para x ∈ (x0, x0 + δ) entonces f tiene en x0 un
máximo relativo
Si f ′(x) < 0 para x ∈ (x0− δ, x0) y f ′(x) > 0 para x ∈ (x0, x0 + δ) entonces f tiene en x0 un
mínimo relativo
Observar que no se pide que f sea derivable en x0.
Teorema de Rolle
Sea f : [a, b]→ R una función . Si se verifica que :
f es continua en [a, b]
f es derivable en (a, b)
f(a) = f(b)
entonces existe al menos un punto c ∈ (a, b) donde f ′(c) = 0 .
Geométricamente, si se cumple el teorema, existe un punto de la gráfica de f donde la recta
tangente es horizotal.
Teorema de Lagrange
Sea f : [a, b]→ R una función . Si se verifica que :
f es continua en [a, b]
f es derivable en (a, b)
entonces existe al menos un punto c ∈ (a, b) tal que f ′(c) = f(b)− f(a)
b− a
.
Observaciones :
1. El segundo miembro de la igualdad es la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos
(a, f(a)) y (b, f(b)) , mientras que el primer miembro es la pendiente de la recta tangente en
(c, f(c)).
2. El teorema de Rolle es un caso particular del teorema de Lagrange pues corresponde al caso
f(a) = f(b) .
3. A este teorema también se lo conoce como Teorema de los Incrementos Finitos o Teorema
del Valor Medio del Cálculo Diferencial
34
Teorema de Cauchy
Sean f, g : [a, b]→ R una funciones . Si se verifica que :
f y g son continuas en [a, b]
f y g son derivables en (a, b)
g′(x) 6= 0 ∀x ∈ (a, b)
entonces existe al menos un punto c ∈ (a, b) tal que f(b)− f(a)
g(b)− g(a)
=
f ′(c)
g′(c)
.
Este teorema es una generalización del teorema de Lagrange tomando g(x) = x .
Como aplicación de este teorema tenemos la llamada
Regla de L’Hospital
Esta regla es una propiedad muy útil para calcular límites que presentan indeterminación del tipo
"0/0" ó "∞/∞" . Si la indeterminación no es de este tipo se debe transformar la expresión de la
función para llevar la indeterminación a una de los casos anteriores .
Sea a = x0 ∈ R o bien a = ±∞.
Si se verifica que :
f y g son derivables en un E ′(a)
g′(x) 6= 0 para todo x ∈ E ′(a)
ĺım
x→a
f(x) = ĺım
x→a
g(x) = 0 o bien ĺım
x→a0
f(x) = ĺım
x→a
g(x) =∞
ĺım
x→a
f ′(x)
g′(x)
existe y es finito o infinito
entonces ĺım
x→a
f(x)
g(x)
= ĺım
x→a
f ′(x)
g′(x)
Ejemplos :
1. ĺım
x→2
x2 − 4
x− 2
= ĺım
x→2
2x
1
= 4
2. La Regla de L’Hopital se puede aplicar en forma iterada, por ejemplo :
ĺım
x→0
ex − x− 1
x2
= ĺım
x→0
ex − 1
2x
= ĺım
x→0
ex
2
=
1
2
3. En algunos casos no es conveniente aplicar esta regla, puesto que no se llega nunca a simpli-
ficar el resultado.
Por ejemplo ĺım
x→+∞
ex + senx
ex + cosx
.
Para resolver este caso basta con dividir numerador y denominador por ex obteniéndose como
límite 1.
35
4. En otros casos no se puede aplicar la regla,por ejemplo ĺım
x→+∞
x+ senx
x+ cosx
. En efecto :
ĺım
x→+∞
(x+ senx)′
(x+ cosx)′
= ĺım
x→+∞
1 + cos x
1− senx
no existe.
Para calcular el límite dividimos numerador y denominador por x :
ĺım
x→+∞
x+ senx
x+ cosx
= ĺım
x→+∞
1 +
senx
x
1 +
cosx
x
= ĺım
x→+∞
1 +
1
x
senx
1 +
1
x
cosx
= 1
5. Notar que la Regla de L’Hospital sólo se puede aplicar para indeterminaciones del tipo ′′0/0′′ o
′′∞/∞′′ . Los otros casos se deben transformar para obtener alguna de las indeterminaciones
anteriores, por ejemplo :
a) ĺım
x→+∞
e−x lnx caso ′′0 · ∞′′
b) ĺım
x→0
(
1
x
− cosx
senx
)
caso ′′∞−∞′′
c) ĺım
x→0
xsenx caso ” 00”
d) ĺım
x→0+
(− lnx)x caso ”∞0 ”
e) ĺım
x→
π
2
(senx)tg x caso ” 1∞ ”
3.7. Concavidad positiva y negativa de una función. Puntos de inflexión
Sean A ⊆ R , f : A → R una función derivable , x0 un punto interior de A y t la recta tangente
en (x0, f(x0)).
Diremos que :
el gráfico de f es cóncavo positivo en el punto x0, si existe un entonrno reducido E ′(x0, δ)
donde la recta tangente se encuentra por "abajo" de la curva. En decir :
f es cónvavo positivo en (x0, f(x0))⇔ ∃E ′(x0, δ) /∀x ∈ E ′(x0, δ) : t(x) < f(x)
el gráfico de f es cóncavo negativo en el punto x0, si existe un entonrno reducido E ′(x0, δ)
donde la recta tangente se encuentra por "encima" de la curva. En decir :
f es cónvavo negativo en (x0, f(x0))⇔ ∃E ′(x0, δ) /∀x ∈ E ′(x0, δ) : f(x) < t(x)
el punto (x0, f(x0)) es un punto de inflexión de f si y sólo si la recta tangente "atraviesa"
el gráfico de f , es decir, es cóncava positiva en (x0− δ, x0] y cóncava negativa en [x0, x0 + δ)
o viceversa.
36
Teorema (Condición necesaria para la existencia de puntos de inflexión)
Sean A ⊆ R y f : A→ R una función dos veces derivable en un punto interior x0 de A .
Si (x0, f(x0)) es un punto de inflexión del gráfico de f entonces f ′′(x0) = 0
El recíproco es falso. Por ejemplo : f(x) = x4 en x0 = 0 .
Nota
Puede definirse punto de inflexíón para una función que no es derivable en el punto x0. En tal
caso se dice que (x0, f(x0)) es punto de inflexión de f si en dicho punto cambia el sentido de la
concavidad (pasa de concavidad positiva a negativa o viceversa).
Teorema
Sea f : A→ R dos veces derivable en todo punto interior de A. Se verifica que :
Si f ′′(x) > 0 ,∀x ∈ A0 entonces f es cóncavo positiva en A
Si f ′′(x) < 0 ,∀x ∈ A0 entonces f es cóncavo negativa en A
Como consecuencia de este teorema surgen otros criterios (condiciones suficientes) para determinar
extremos relativos y puntos de inflexión :
Teorema (Condición suficiente para la existencia de extremos locales)
Sean A ⊆ R , f : A→ R una función y x0 un punto interior de A .
Criterio del signo de la derivada segunda
Si se verifica que :
1. f es continua en x0
2. f es dos veces derivable en todo punto interior de A
3. f ′(x0) = 0
Entonces :
Si f ′′(x0) > 0 entonces f tiene en x0 un mínimo relativo
Si f ′′(x0) < 0 entonces f tiene en x0 un máximo relativo
Teorema (Condición suficiente para la existencia de puntos de inflexión)
Sean A ⊆ R , f : A→ R una función continua en x0 un punto interior de A .
Si se cumplen alguna de las siguientes condiciones :
1. f es dos veces derivable en el interior de A y f ′′(x0) = 0
2. No existe f ′′(x0) pero f es dos veces derivable en A− {x0}
entonces si f ′′ cambia de signo en (x0 − δ, x0) y (x0, x0 + δ) podemos asegurar que (x0, f(x0)) es
un punto de inflexión de f .
37
3.8. Fórmula de Taylor y Mac Laurin
Para analizar el comportamiento de una función f en un entorno de un punto x0, es usual recurrir
a funciones elementales tales como las funciones polinómicas. Si la función es n+ 1 veces derivable
en un entorno de x0 se puede encontrar un polinomio Pn(x) , de grado n, expresado en potencias
de (x− x0) , de modo tal que f(x0) = Pn(x0) , f ′(x0) = P
′
n(x0) , ..., f (n)(x0) = P
(n)
n (x0) .
Tal aproximación se mejora aumentando el valor de n .
Teorema
Sean A ⊆ R , f : A→ R una función y x0 un punto interior de A .
Si f tiene derivada de orden n+ 1 en un entorno E(x0, δ) entonces :
1. f(x) = Pn(x) +Rn(x) para todo x ∈ E(x0, δ)
2. Pn(x) = f(x0) +
f ′(x0)
1!
(x− x0) +
f ′′(x0)
2!
(x− x0)2 + · · ·+
f (n)(x0)
n!
(x− x0)n
o bien
Pn(x) =
n∑
i=0
f (i)(x0)
i !
(x− x0)i donde f (0)(x0) = f(x0)
3. Rn(x) =
f (n+1)(c)
(n+ 1)!
(x− x0)n+1 siendo c un punto entre x0 y x ó entre x y x0.
4. ĺım
x−x0
Rn(x)
(x− x0)n
= 0
El polinomio Pn(x) se llama polinomio de Taylor de grado n asociado a la función f y centrado
en x0.
A Rn(x) se lo llama resto o término complementario de Lagrange.
El error que se comete al considerar a Pn(x) en vez de f(x) se lo indica con ε =| f(x) − Pn(x) |.
Si el error es "pequeño" se puede escribir f(x) ' Pn(x) .
En particular si x0 = 0 , el polinomio de Taylor se llama polinomio de Mac Laurin siendo su
expresión
Pn(x) = f(0) +
f ′(0)
1!
x+
f ′′(0)
2!
x2 + · · ·+ f
(n)(0)
n!
xn=
n∑
i=0
f (i)(0)
i !
xi
Rn(x) =
f (n+1)(c)
(n+ 1)!
xn+1 con c entre 0 y x ó x y 0
Se puede demostrar que el polinomio de Taylor asociado a una función en un punto es único.
Ejemplos :
1. Sea f(x) = ex .
a) Hallar el polinomio de Mac Laurin de grado 1, 2 ,3 y n.
38
b) Calcular 3
√
e con el polinomio de Mac Laurin de grado 2 y comprobar el error que se
comete mediante una calculadora
c) Hallar el grado del polinomio de Mac Laurin para que el error cometido se menor que
10−4
Rta.: a) Pn(x) = 1 + x+
x2
2!
+ · · ·+ x
n
n!
b) 1, 3888 c) n = 4
2. Empleando la fórmula de Taylor calcular ĺım
x→0
x− senx
ex − 1− x− x
2
2
Rta.: 1
39
4. INTEGRALES
Un motivo para introducir el concepto de Integral se encuentra en el siguiente problema : calcular
el área de una región plana no poligonal. Un caso puede ser el de calcular el área de la región
limitada por el gráfico de una función f continua y positiva en un intervalo cerrado [a, b], el eje X
y las rectas verticales x = a y x = b .
Una forma de hacerlo puede ser considerando rectángulos inscriptos en la región, calcular el área
de cada uno de ellos y luego sumarlas. Se obtendría un valor por defecto, es decir, menor al valor
real del área buscada. También se podrían considerar rectángulos que contengan a la región. En
ese caso el valor del área sería por exceso .
4.1. Integral Definida
Sea [a, b] un intervalo cerrado.
Una partición de [a, b] es un conjunto finito P = {x0, x1, · · · , xn} de puntos de [a, b] tales que :
a = x0 < x1 < x2 < · · · < xi−1 < xi < · · · < xn = b
Para cada partición P de [a, b] quedan determinados los intervalos
[x0, x1], [x1, x2], · · · , [xi−1, xi], · · · [xn−1, xn]
Llamaremos intervalo i-ésimo de la partición al intervalo Ii = [xi−1, xi] y anplitud del intervalo Ii
al número xi − xi−1.
Una partición P ′ se dice que es más fina que P si P ⊂ P ′ .
Ejemplo : Sea [a, b] = [1, 4] . Entonces
P0 = {1, 4} es una partición de [1, 4]. Es la "menos fina" ya cualquier otra la debe contener.
P = {1, 3, 4} es otra partición de [1, 4]
Pn =
{
1, 1 +
3
n
, 1 + 2 · 3
n
, 1 + 3 · 3
n
, 1 + 4 · 3
n
, · · · , 1 + i · 3
n
, · · · , 4
}
.
Esta es la llamada partición regular de [1, 4] .
Notar que todos los intervalos tienen la misma amplitud
3
n
.
Sea f : [a, b] → R una función acotada. Esto significa que existen números m y M tales que
m ≤ f(x) ≤M para todo x ∈ [a, b] . Tales números son
m = inf{f(x) /x ∈ [a, b]}
M = sup{f(x) /x ∈ [a, b]}
Si P = {x0, x1, · · · , xn} es una partición de [a, b], para cada i con 1 ≤ i ≤ n definimos
Mi = sup{f(x) /x ∈ [xi−1, xi]}
40
mi = inf{f(x) /x ∈ [xi−1, xi]}
Tales números Mi y mi existen pues se pide que f sea una función acotada en [a, b] , de modo que
f está acotada en cada intervalo [xi−1, xi] , con lo cual existe el supremo y el ínfimo.
Llamaremos suma inferior para f correspondiente a la partición P a la suma
sP (f) = m1(x1 − x0) +m2(x2 − x1) + · · ·+mn(xn − xn−1) =
n∑
i=1
mi (xi − xi−1)
y suma superior para f correspondiente a la partición P a la suma
SP (f) = M1(x1 − x0) +M2(x2 − x1) + · · ·+Mn(xn − xn−1) =
n∑
i=1
Mi (xi− xi−1)
Observar que siendo mi ≤ Mi para todo i , siempre ocurre que sP (f) ≤ SP (f) para cualquier
partición P de [a, b] .
Teorema
Sea f : [a, b]→ R una función acotada. Sean P y P ′ dos particiones de [a, b] . Entonces :
1. sP (f) ≤ SP ′(f)
2. si P ′es más fina que P entonces sP (f) ≤ sP ′(f) y SP (f) ≥ SP ′(f)
Resulta entonces que para cada partición P de [a, b] el conjunto de las sumas inferiores
s = {sP (f) /P es una partición de [a, b]}
y el de las sumas superiores
S = {SP (f) /P es una partición de [a, b]}
son conjutnos acotados. En efecto, el conjunto s está acotado inferiormente porm(b−a) y superior-
mente por cuaquier suma superior . En forma análoga, el conjunto S está acotado superiormente
por M(b− a) e inferiormente por cualquier suma inferior. Luego el conjunto s tiene supremo y el
conjunto S tiene ínfimo en R.
Se verifican entonces las siguientes desigualdades para cualquier partición P de [a, b] :
m(b− a) ≤ sP (f) ≤ SP (f) ≤M(b− a)
Se llama integral inferior de f sobre [a, b] al número
ˆ b
a
f(x) dx = sup {sP (f) /P es una partición de [a, b]}
e integral superior de f sobre [a, b] al número
ˆ b
a
f(x) dx = inf {SP (f) /P es una partición de [a, b]}
41
Diremos que la función acotada f : [a, b]→ R es integrable sobre [a, b] , según Riemann , si
ˆ b
a
f(x) dx =
ˆ b
a
f(x) dx
Observaciones :
1. Los números a y b se llaman límite inferior y limite superior de integración
2. El símbolo
ˆ
es una letra "s alargada " y se llama símbolo integral
3. Existen funciones que no son integrables. Por ejemplo
f : [0, 1]→ R dada por f(x) =
{
1 six es racional
0 six es irracional
En cada intervalo [xi−1, xi] existe un racional qi tal que f(qi) = 1 y un irracional ti tal que
f(ti) = 0 , con lo cual el conjunto
{f(x) /x ∈ [xi−1, xi]} = {0, 1}
luego mi = 0 y Mi = 1 . Entonces
sP (f) = m1(x1 − x0) +m2(x2 − x1) + · · ·+mn(xn − xn−1) =
n∑
i=1
0 (xi − xi−1) = 0
SP (f) = M1(x1 − x0) +M2(x2 − x1) + · · ·+Mn(xn − xn−1) =
n∑
i=1
1 (xi − xi−1) = 1
en consecuencia
s = {sP (f) /P es una partición de [0, 1]} = {0} ⇒ sup{sP (f)} = 0
S = {SP (f) /P es una partición de [0, 1]} = {0} ⇒ inf{SP (f)} = 1
con lo cual ˆ 1
0
f(x) dx = 0 6=
ˆ 1
0
f(x) dx = 1
Esto muestra que f no es integrable en [0, 1] .
4. Si la función es integrable se escribe simplemente
ˆ b
a
f(x) dx o también
ˆ b
a
f
5. La variable x se llama "muda" y esto significa que puede ser cambiada por cualquier otra :
ˆ b
a
f(x) dx =
ˆ b
a
f(t) dt =
ˆ b
a
f(y) dy
6. Puede demostrarse que la condición necesaria y suficiente para que una función acotada
f : [a, b]→ R sea integrable está dada por la siguiente condición de integrabilidad
∀ ε > 0,∃P partición de [a, b] /Sp(f)− sP (f) < ε
42
4.2. Propiedades de la Integral Definida
1. Sea f : [a, b]→ R una función acotada . Se verifica que :
a) Si f(x) ≥ 0 ∀x ∈ [a, b] y f es integrable sobre [a, b] entonces
ˆ b
a
f(x) dx ≥ 0
b) Si f es integrable sobre [a, b] entonces | f | es integrable sobre [a, b] y se cumple que :∣∣∣∣ˆ b
a
f(x) dx
∣∣∣∣ ≤ ˆ b
a
| f(x) | dx
c) Si f es continua en [a, b] , o discontinua en un número finito de puntos de [a, b] ,
entonces f es integrable sobre [a, b]
d) Si f es monótona en [a, b] , entonces f es integrable sobre [a, b]
e) Si f es continua en [a, b] entonces existe un punto c ∈ [a, b] tal que :
ˆ b
a
f(x) dx = f(c)(b− a)
Esta propiedad se conoce como Teorema del Valor Medio del Cálculo Integral .
Demostración
Como f es continua en [a, b] existe mínimo m y máximoM tal que m ≤ f(x) ≤M ∀x ∈
[a, b]
Por la propiedad de monotonía se deduce que
ˆ b
a
mdx ≤
ˆ b
a
f(x) dx ≤
ˆ b
a
M dx
m(b− a) ≤
ˆ b
a
f(x) dx ≤M(b− a)
dividiendo por b− a se obtiene que
m ≤ 1
b− a
ˆ b
a
f(x) dx ≤M
Puesto que f es continua en [a, b], por el Teorema del Valor Intermedio, existe un
c ∈ [a, b] tal que f(c) = 1
b− a
ˆ b
a
f(x) dx con lo cual
ˆ b
a
f(x) dx = f(c)(b− a)
Interpretación geométrica : Si f es una función positiva en [a, b], entonces la expresión
anterior puede pensarse como que el área de la región limitada por el gráfico de f , el
eje X y las rectas x = a e y = b, es igual al área del rectángulo de base b − a y altura
f(c) .
43
f ) Si a < c < b y f es integrable sobre [a, b] entonces f es integrable sobre [a, c] y [c, b] , y
se cumple que ˆ b
a
f(x) dx =
ˆ c
a
f(x) dx+
ˆ b
c
f(x) dx
g) Si f es integrable sobre [a, b] entonces se definen
ˆ a
a
f(x) dx = 0 y
ˆ a
b
f(x) dx = −
ˆ b
a
f(x) dx
2. Sean f, g : [a, b]→ R funciones integrables sobre [a, b] . Se verifica que :
a)
ˆ b
a
[f(x) + g(x)] dx =
ˆ b
a
f(x) dx+
ˆ b
a
g(x) dx
b)
ˆ b
a
k·f(x) dx = k ·
ˆ b
a
f(x) dx con k ∈ R
c) Si f(x) ≤ g(x)∀x ∈ [a, b] entonces
ˆ b
a
f(x) dx ≤
ˆ b
a
g(x) dx
4.3. Función Integral
Sea f : [a, b]→ R una función integrable sobre [a, b] . Puede demostrarse que f es integrable sobre
[a, x], para todo x ∈ [a, b] . Se define entonces una función F : [a, b]→ R como
F (x) =
ˆ x
a
f(t) dt
llamada integral indefinida de f sobre [a, b] .
Esta función tiene las siguientes propiedades :
1. F es continua en [a, b] (aunque f no lo sea)
2. Si f es continua en [a, b] entonces
a) Primer Teorema Fundamental del Cálculo Integral
F ′(x) = f(x) para todo x ∈ [a, b]
Demostración
Sea x0 un un punto interior de [a, b] . Entonces F ′(x0) = ĺım
x→x0
F (x)− F (x0)
x− x0
con lo cual
F ′(x0) = ĺım
x→x0
ˆ x
a
f(t) dt−
ˆ x0
a
f(t) dt
x− x0
= ĺım
x→x0
ˆ x
a
f(t) dt+
ˆ a
x0
f(t) dt
x− x0
= ĺım
x→x0
ˆ x
x0
f(t) dt
x− x0
Por el Teorema del Valor Intermedio del Cálculo resulta que
ˆ x
x0
f(t) dt = f(c)(x− x0)
para algún c entre x y x0 . Luego
44
F ′(x0) = ĺım
x→x0
f(c)(x− x0)
x− x0
= ĺım
x→x0
f(c) . Por ser f continua resulta que ĺım
x→x0
f(c) =
ĺım
c→x0
f(c) = f(x0)
Si x0 = a ó x0 = b se aplican derivadas laterales .
b) Segundo Teorema Fundamental del Cálculo Integral o Regla de Barrow
ˆ b
a
f(x) dx = F (b)− F (a)
Demostración
Sea G(x) =
ˆ x
a
f(x) dx . Siendo f continua en [a, b] es G′(x) = f(x) para todo x ∈ [a, b]
. Luego G′(x) = F ′(x) , con lo cual G(x) = F (x)+C para todo x ∈ [a, b] . En particular
G(a) = F (a) +C Como G(a) = 0 resulta que C = −F (a) , luego G(x) = F (x)−F (a) .
Para el caso x = b tenemos que G(b) = F (b)− F (a) con lo cual
ˆ b
a
f(x) dx = F (b)− F (a)
Se llama primitiva de una función f : [a, b]→ R a toda función derivable F : [a, b]→ R tal que
F ′(x) = f(x)∀x ∈ [a, b] .
Observar que por la propiedad 2 a), toda función continua en un intervalo cerrado posee una
primitiva.
Ejemplos :
1. Si f : [0, 1]→ R está dada por f(t) = 2t entonces F : [0, 1]→ R es F (x) = x2 .
En efecto, F ′(x) = 2x ∀x ∈ [0, 1] . Como f es continua la función F es una primitiva de f .
2. Si f : [0, 2]→ R es la función definida por
f(t) =
{
0 si 0 ≤ t < 1
1 si 1 ≤ t ≤ 2
entonces F : [0, 2]→ R está dada por
F (x) =
{
0 si 0 ≤ x < 1
x− 1 si 1 ≤ x ≤ 2
Notar que F es continua en [0, 2] pero no derivable (no existe F ′(1) ) . Luego, la función f
no tiene primitiva en [0, 2].
Es claro que si f posee una primitiva F entonces posee infinitas : Si G es otra primitiva de f
entonces
G(x) = F (x) + C siendo C una constante
45
Puede ocurrir que en la función integral uno o ambos límites de integración sean a su vez funciones
derivables u y v de x . En tal caso, por composición de funciones , y siendo f continua, se tiene
que :
F (x) =
ˆ u(x)
a
f(t) dt⇒ F ′(x) = f(u(x)) · u′(x)
F (x) =
ˆ u(x)
v(x)
f(t) dt⇒ F ′(x) = f(u(x)) · u′(x)− f(v(x)) · v′(x)
4.4. Cálculo de Primitivas
Sean A ⊆ R y f : A→ R una función continua en A .
Al conjunto de todas las primitivas de una función f se lo denota con
ˆ
f(x) dx
Si f, g : A→ R son funciones que tienen primitiva entonces se verifican las siguientes propiedades
ˆ
[f(x) + g(x)] dx =
ˆ
f(x) dx+
ˆ
g(x) dx
ˆ
k · f(x) dx = k ·
ˆ
f(x) dx con k ∈ R
4.5. Métodos de integración
1. Método por sustitución
Para aplicar este método nos basamos en el siguiente teorema :
Si F es una primitiva de f entonces F ◦ g es una primitiva de (f ◦ g) · g′
Ejemplos:
a)
ˆ
cos(4x) dx
b)
ˆ
(x+ 3)4 dx
c)
ˆ
sen2 x · cosx dx
d)
ˆ
1
3x+ 2
dx
e)
ˆ
tg x dx
f )
ˆ
1
1 + 4x2
dx
g)
ˆ
1
x−
√
x
dx (t = 2x )
h)
ˆ √
x+ 3
√
x
1 + 3
√
x
dx (t = 6
√
x)
i)
ˆ
x5
(1 + x2)4
dx (t = 1 + x2, x5 = x4 · x )
46
2. Método por Partes
Si u y v son dos funciones derivables entonces (u(x) · v(x))′ = u′(x) · v(x) + u(x) · v′(x)
con lo cual :
ˆ
(u(x) · v(x))′ dx =
ˆ
u′(x) · v(x) dx+
ˆ
u(x) · v′(x) dx
u(x) · v(x) =
ˆ
u′(x) · v(x) dx+
ˆ
u(x) · v′(x) dx
luego ˆ
u(x) · v′(x) dx = u(x) · v(x)−
ˆ
u′(x) · v(x) dx
Ejemplos :
a)
ˆ
x ex dx
b)
ˆ
x2 ex dx
c)
ˆ
x lnx dx
d)
ˆ
lnx dx
e)
ˆ
ex senx dx
f )
ˆ
arc senx dx (partes y sustitución)
3. Fracciones Simples
Este método se aplica para integrales cuyo integrando sea una función racional donde el
grado del numerador es menor estricto que el grado del denominador. Se presentan cuatro
casos :
a) El denominador tiene todas sus raíces reales y distintas, por ejemplo :
ˆ
2x+ 1
x3 − 7x+ 6
dx =
ˆ
2x+ 1
(x− 1)(x+ 3)(x− 2)
dx
b) El denominador tiene todas sus raíces reales y algunas múltiples, por ejemplo :
ˆ
x2 − x+ 4
x3 − 4x2 + 5x− 2
dx =
ˆ
x2 − x+ 4
(x− 1)2(x− 2)
dx
c) El denominador tiene algunas raíces complejas simples , por ejemplo :
ˆ
x+ 2
x3 − 2x2 + x− 2
dx =
ˆ
x+ 2
(x2 + 1)(x− 2)
dx
d) El denominador tiene algunas raíces complejas múltiples, por ejemplo :
ˆ
x2 + 3x− 1
x6 − 2x4 − 7x2 − 4
dx =
ˆ
x2 + 3x− 1
(x− 1)(x+ 3)(x2 + 1)2
dx
47
4. Integrales con funciones trigonométricas
Se usan las identidades :
sen2 x =
1− cos(2x)
2
y sen2 x =
1− cos(2x)
2
Por ejemplo :
a)
ˆ
sen3 x dx =
ˆ
sen2 x · senx dx =
ˆ
(1− cos2 x) sen x dx (t = cosx)
b)
ˆ
sen2 x dx =
ˆ
1− cos(2x)
2
dx
4.6. Noción de Ecuación Diferencial
Llamaremos ecuación diferencial a toda ecuación que contenga una función incógnita y sus deri-
vadas, o bien, sólo a sus derivadas. La notación usual para la derivada de y = f(x) es
dy
dx
= y′
Ejemplos :
a) La solución general de y′ =
x+ 3x2
y2
con y(0) = 6 es la curva y =
(
3
2
x2 + 3x3 + 8
)1/3
b) Hallar la curva que pasa por el punto (0,−2), de modo tal que la pendiente de la recta tangente
en cada punto sea igual a la ordenada de ese punto aumentada en tres unidades
Tenemos que
dy
dx
= y + 3 e y(0) = −2 . La curva es y = ex − 3
4.7. Integrales Impropias o Generalizadas
Hasta ahora pedimos que f sea una función acotada en un intervalo cerrado [a, b] . Se generaliza el
concepto de integral para funciones definidas en intervalos no acotados y/o funciones no acotadas.
4.8. Integrales impropias de primera especie (intervalo de integración no
acotado)
Sea f : [a,+∞)→ R una función tal que para todo x ≥ a resulta f integrable en [a, x] .
Definimos entonces ˆ +∞
a
f(x) dx = ĺım
t→+∞
ˆ t
a
f(x) dx
En forma simétrica se define
ˆ b
−∞
f(x) dx = ĺım
t→−∞
ˆ b
t
f(x) dx
48
Si f : R→ R es una función para la cual existe un c ∈ R de modo tal que existan la integrales
ˆ +∞
c
f(x) dx y
ˆ c
−∞
f(x) dx
entonces se define ˆ +∞
−∞
f(x) dx =
ˆ c
−∞
f(x) dx+
ˆ +∞
c
f(x) dx
Si los límites anteriores existen y son finitos la integral se dice que es convergente, si son infinitos
divergente y si no existen oscilantes.
Valor Principal de Cauchy
Sea f : R→ R una función integrable en [−m,m] , ∀m > 0 .
Llamaremos valor principal de Cauchy al siguiente límite :
ĺım
m→+∞
ˆ m
−m
f(x) dx
Si
ˆ +∞
−∞
f(x) dx converge entonces su valor coincide con el valor principal, pero puede ocurrir que
exista el valor principal aún cuando
ˆ +∞
−∞
f(x) dx sea divergente.
Propiedades
Sean f, g : [a,+∞)→ R funciones integrables en [a, x] para todo x ≥ a .
1. Si
ˆ +∞
a
| f(x) | dx converge entonces
ˆ +∞
a
f(x) dx converge
2. Si f y g son integrables en [a, x] para todo x ≥ a y 0 ≤ f(x) ≤ g(x)∀x ≥ a entonces
a) Si
ˆ +∞
a
f(x) dx diverge entonces
ˆ +∞
a
g(x) dx diverge
b) Si
ˆ +∞
a
g(x) dx converge entonces
ˆ +∞
a
f(x) dx converge
3. Si f y g son continuas, positivas para todo x ≥ a y ĺım
x→+∞
f(x)
g(x)
= l se verifica que
a) Si 0 < l < +∞ entonces
ˆ +∞
a
f(x) dx y
ˆ +∞
a
g(x) dx tienen el mismo carácter (ambas
convergen o divergen)
b) Si l = 0 y
ˆ +∞
a
g(x) dx converge entonces
ˆ +∞
a
f(x) dx converge
c) Si l = +∞ y
ˆ +∞
a
g(x) dx diverge entonces
ˆ +∞
a
f(x) dx diverge
Valen propiedades análogas para una función f : (−∞, a]→ R
49
4.9. Integrales impropias de segunda especie (función no acotada)
Sea f : [a, b)→ R una función tal que para todo x < b , con a ≤ x < b , resulta que f es integrable
sobre [a, x].
Si ĺım
x→b−
f(x) =∞ entonces definimos
ˆ b−
a
f(x) dx = ĺım
t→b−
ˆ t
a
f(x) dx
Otras notaciones para esta integral son
ˆ →b
a
f(x) dx o simplemente
ˆ b
a
f(x) dx .
En forma simétrica se define
ˆ b
a+
f(x) dx para f : (a, b]→ R y ĺım
x→a+
f(x) =∞.
Propiedades
Sean f, g : [a, b)→ R funciones integrables en [a, x] para todo x < b .
1. Si
ˆ b−
a
| f(x) | dx converge entonces
ˆ b−
a
f(x) dx converge
2. Si f y g son integrables en [a, x] para todo x < a y 0 ≤ f(x) ≤ g(x)∀x ∈ [a, b) entonces
a) Si
ˆ b−
a
f(x) dx diverge entonces
ˆ b−
a
g(x) dx diverge
b) Si
ˆ b−
a
g(x) dx converge entonces
ˆ b−
a
f(x) dx converge
3. Si f y g son continuas, positivas para todo x ∈ [a, b) y ĺım
x→+∞
f(x)
g(x)
= l se verifica que
a) Si 0 < l < +∞ entonces
ˆ b−
a
f(x) dx y
ˆ b−
a
g(x) dx tienen el mismo carácter (ambas
convergen o divergen)
b) Si l = 0 y
ˆ b−
a
g(x) dx converge entonces
ˆ b−
a
f(x) dx converge
c) Si l = +∞ y
ˆ b−
a
g(x) dx diverge entonces
ˆ b−
a
f(x) dx diverge
Valen propiedades análogas para una función f : (a, b]→ R , integrable en [x, b] con a < x ≤ b
y ĺım
x→a+
f(x) =∞
Ejemplos :
50
a)
ˆ +∞
1
dx
x
= +∞
b)
ˆ +∞
1
dx
x2
= 1
c)
ˆ +∞
−∞
dx
1 + x2
= π
d)
ˆ +∞
−∞
x dx diverge aunque vp = 0
e)
ˆ +∞
a
dx
xp
=
{
converge si p > 1
diverge si p ≤ 1
f )
ˆ +∞
1
e−x
2
dx converge
(comparar con
ˆ +∞
1
e−xdx )
g)
ˆ +∞
1
2 + x3
1 + x6
dx converge
(comparar con
ˆ +∞
1
1
x3
dx )
h)
ˆ 1
0+
lnx dx = −1
Sea
ˆ 1
0
x lnx dx = −1
4
. Observar que no es una integral impropia pues ĺım
x→0+
x lnx = 0, con lo
cual la función está acotada en el intervalo cerrado [0, 1]. Una primitiva es
F (x) =

x2
2
lnx− x
2
4
si 0 < x ≤ 1
0 si x = 0
4.10. Aplicaciones de la Integral Definida
Si la función f : [a, b] → R es continua sobre [a, b] y f(x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b] , la integralˆ b
a
f(x) dx nos dá el área de la región limitida por el gráfico de f , el eje X y las rectas verticales
x = a y x = b.
Si f y g son funciones continuas tales que sus gráficos se cortan en los puntos A = (a, f(a)) y
B = (b, f(b)) , y se cumple que f(x) ≥ g(x)∀x ∈ [a, b] entonces el área de la región limitada por
los gráficos de f y g es ˆ b
a
[f(x)− g(x)] dx
Ejemplos :
1. Hallar el área de la región limitada por el gráfico de f(x) = 2x , el eje X para [0, 2] . Rta.: 4
2. Hallar el área limitada por los gráficos de f(x) = x2 y g(x) = 3− 2x . Rta.: 88/3
3. Hallar el área limitada por las curvas y = −x+ 2 e x = y2 . Rta.: 9/2
4. Hallar el área limitada por las curvas y = x3 e y = 9x . Rta.: 81/2
5. Hallar el área de la región comprendida entre la curva y =
x2 − 1
x2 + 1
y su asíntota. Rta.: 2π
6. Hallar el área de la región limitada por el gráfico de f(x) = x2 , el eje X y la recta tangente
al gráfico de f en el punto (1, 1) . Rta.: 1/3
51
5. SUCESIONES y SERIES NUMÉRICAS
5.1. Sucesiones Numéricas
Se llama sucesión de números reales a toda función a : N→R .
En este contexto N ={1, 2, 3, · · · } o bien N = {0, 1, 2, 3, · · · } .
La imagen de cada elemento de N se indica an en vez de a(n), y el conjunto imagen de la sucesión
es el conjunto ordenado {a1, a2, · · · , an, · · · } donde an se denomima el término general de la
sucesión. La sucesión de término general an se denota de alguna de las siguientes formas :
(an)n∈N , (an)n≥1 o simplemente (an)
Ejemplos :
1. La sucesión de término general an =
n
n+ 1
es
(
1
2
,
2
3
, · · · , n
n+ 1
, · · ·
)
2. La sucesión de término general an = 2n es (2,