3AM3 Expo Física Moderna Equipo 12

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INSTITUTO POLITÉCNICO 
NACIONAL. 
Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica 
Unidad Ticomán. 
 
Materia: Introducción a la Física Clásica. 
Profesora: Villanueva Bailón José Ignacio. 
 
Estadística cuántica y aplicaciones de la estadística de 
Bose-Einstein. 
 
Integrantes del equipo: 
 Herrera Rangel Hector Francisco. 
 Suárez Flores Ángel. 
Grupo: 3AM3. 
 
 
15 de noviembre de 2022.
 
 
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Índice. 
• Física estadística. 3 
• Mecánica estadística. 3 
• Mecánica estadística cuántica. 4 
• Interpretación estadística de la mecánica cuántica. 5 
• Problema 1. 6 
• Estadística de Bose-Einstein. 6 
• Aplicaciones de la estadística de Bose-Einstein. 8 
• El quinto estado de la materia. 9 
• Problema 2. 9 
• Conclusiones. 10 
• Bibliografía. 11
 
 
 
 
 
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Física estadística. 
La física estadística es una rama de la física que evolucionó a partir de una base de 
la mecánica estadística, que utiliza métodos de la teoría de probabilidad y la 
estadística, y en particular las herramientas matemáticas para tratar con grandes 
poblaciones y aproximaciones, para resolver problemas físicos. Puede describir una 
amplia variedad de campos con una naturaleza inherentemente estocástica. Sus 
aplicaciones incluyen muchos problemas en los campos de la física, la biología, la 
química, la neurociencia. Su objetivo principal es aclarar las propiedades de la 
materia en conjunto, en términos de las leyes físicas que rigen el movimiento 
atómico. 
La mecánica estadística desarrolla los resultados fenomenológicos de la 
termodinámica a partir de un examen probabilístico de los sistemas microscópicos 
subyacentes. Históricamente, uno de los primeros temas de la física donde se 
aplicaron métodos estadísticos fue el campo de la mecánica clásica, que se ocupa 
del movimiento de partículas u objetos cuando se someten a una fuerza. 
La física estadística explica y describe cuantitativamente la superconductividad, la 
superfluidez, la turbulencia, los fenómenos colectivos en sólidos y plasma, y las 
características estructurales de los líquidos. Subyace en la astrofísica moderna. En 
la física del estado sólido, la física estadística ayuda al estudio de los cristales 
líquidos, las transiciones de fase y los fenómenos críticos. Muchos estudios 
experimentales de la materia se basan enteramente en la descripción estadística de 
un sistema. Estos incluyen la dispersión de neutrones fríos, rayos X, luz visible y 
más. La física estadística también desempeña un papel en la ciencia de los 
materiales, la física nuclear, la astrofísica, la química, la biología y la medicina (por 
ejemplo, el estudio de la propagación de enfermedades infecciosas). 
Mecánica estadística. 
La mecánica estadística proporciona un marco para relacionar las propiedades 
microscópicas de átomos y moléculas individuales con las propiedades 
macroscópicas o a granel de los materiales que se pueden observar en la vida 
cotidiana, por lo que explica la termodinámica como un resultado natural de la 
estadística, la mecánica clásica y la mecánica cuántica a nivel microscópico. Debido 
a esta historia, la física estadística a menudo se considera sinónimo de mecánica o 
termodinámica estadísticas. 
Una de las ecuaciones más importantes de la mecánica estadística (similar a F=ma 
en la mecánica newtoniana, o la ecuación de Schrödinger en la mecánica cuántica) 
es la definición de la función de partición Z, que es esencialmente una suma 
ponderada de todos los estados posibles q disponible para un sistema. 
KB es la constante de Boltzmann, T es la temperatura y E(q) es energía de estado 
q. 
 
 
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Mecánica estadística cuántica. 
Es la rama mecánica estadística aplicable a sistemas cuánticos. En mecánica 
cuántica, una colectividad estadística se describe mediante un operador de 
densidad S, que es un operador no negativo, auto adjunto, clase de traza de traza 
1 en el espacio de Hilbert H que describe el sistema cuántico. Esto se puede mostrar 
bajo varios formalismos matemáticos para la mecánica cuántica. Uno de esos 
formalismos es proporcionado por lógica cuántica. 
Cuando la temperatura de un gas ideal es lo suficientemente baja, la estadística de 
Boltzmann no funciona. Se construye otra, en la que los estados van a ser 
degenerados. En mecánica cuántica a estos estados, se les llama estados 
cuánticos. Un estado cuántico es el estado físico de un sistema en un momento 
dado. Cada estado físico es una de las formas distinguibles mediante la medición 
de sus propiedades que posee un sistema. 
La nueva estadística dependerá del tipo de funciones de ondas que describan al 
gas. La función de onda Ψ de una partícula nos da una medida de la probabilidad 
de que una partícula se encuentre en un estado o en otro. Por ejemplo, si 
tomáramos un sistema de una sola partícula, el módulo de la función de onda al 
cuadrado (x) |2 nos indica con qué probabilidad esa partícula se encontrará en el 
intervalo x + dx. En mecánica cuántica las partículas son indistinguibles, lo que 
significa que |Ψ(x, y)|2=|Ψ(y, x)|2 , es decir, que la probabilidad de que una partícula 
se encuentre en la posición x y otra en la posición y es exactamente la misma de 
que la primera se encuentre en la posición y la segunda en la posición x. Esto no 
quiere decir que necesariamente Ψ(x, y) = Ψ(y, x). Existirán dos tipos de funciones 
de onda para las partículas: simétricas y anti simétricas. Las partículas que cumplen 
Ψ(x, y) = Ψ(y, x) (bosones) vienen descritas por lo tanto por funciones de onda que 
son simétricas y tendrán spin entero y las partículas que cumplen Ψ(x, y) = −Ψ(y, x) 
(fermiones) vienen descritas por funciones de onda anti simétricas y tendrán spin 
semientero. El spin es una propiedad de la partícula cuántica que no se puede 
relacionar de forma directa con una rotación en el espacio puesto que no tiene 
coordenadas espaciales, aunque de manera intuitiva se corresponde con el 
momento angular debido a la rotación sobre su propio eje. 
La mecánica estadística cuántica de divide en dos desarrollos de esta 
• La estadística de Fermi-Dirac. 
Los fermiones. 
𝑍 =∑𝑒−
𝐸(𝑞)
𝑘𝐵𝑇
𝑞
 
 
 
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• La estadística de Bose-Einstein. 
Los bosones. 
 
Interpretación estadística de la mecánica 
cuántica. 
La Interpretación Estadística de la Mecánica Cuántica, también conocida como la 
interpretación conjunta, es una interpretación que puede ser vista como 
interpretación minimalista; es una interpretación mecano cuántica que demanda 
hacer pocas suposiciones asociadas con el formalismo matemático estándar. Ésta 
se extiende más allá de la interpretación por la que de Max Born ganó el premio 
Nobel de física. La interpretación establece que la función de onda no se aplica a 
un sistema individual, por ejemplo, a una partícula simple, siendo una cantidad 
matemática abstracta y estadística que solo se aplica a un conjunto de sistemas 
similares preparados. Probablemente el aficionado más notable de esta 
interpretación fue Albert Einstein: 
“El intento de concebir una descripción teórica cuántica como una completa 
descripción de sistemas individuales conduce a una interpretación teórica no 
natural, que se convierte inmediatamente en innecesaria si uno acepta la 
interpretación que esta descripción se refiere a un conjunto de sistemas y no a 
sistemasindividuales.” 
Albert Einstein. 
A la fecha, probablemente el más prominente acérrimo de esta interpretación es 
Leslie Ballentine, profesor en la Universidad Simon Fraser y escritor del libro 
“Quantum Mechanics, A Modern Development”. 
La interpretación estadística, como muchas otras interpretaciones de la mecánica 
cuántica, no intenta justificar, derivar o explicar la mecánica cuántica desde 
cualquier proceso determinista o hacer cualquier afirmación acerca del estado real 
de la naturaleza del fenómeno cuántico. Esta interpretación solo interpreta la forma 
de la función de onda. 
 
 
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Problema 1. 
¿De cuántas maneras se pueden colocar dos 
bolas indistinguibles en tres cajas, si 
solamente una bola puede estar en una caja? 
Solución 
Solo hay tres maneras de poner las dos bolas 
en las tres cajas, con una bola en cada caja: 
 
Sabiendo que t es el número de formas, g la 
cantidad de cajas o espacios y N el número 
de pelotas 
 
Estadística de Bose-Einstein. 
La estadística de Bose-Einstein es un tipo de mecánica estadística aplicable a la 
determinación de las propiedades estadísticas de conjuntos grandes de partículas 
indistinguibles capaces de coexistir en el mismo estado cuántico (bosones) en 
equilibrio térmico. 
A bajas temperaturas, los bosones tienden a tener un comportamiento cuántico 
similar que puede llegar a ser idéntico a temperaturas cercanas al cero absoluto en 
un estado de la materia conocido como condensado de Bose-Einstein y producido 
por primera vez en laboratorio en el año 1995. El condensador Bose-Einstein 
funciona a temperaturas cercanas al cero absoluto, -273,15 °C (0 kelvin). 
La estadística de Bose-Einstein fue introducida para estudiar las propiedades 
estadísticas de los fotones en 1920 por el físico indio Satyendra Nath Bose y 
generalizada para átomos y otros bosones por Albert Einstein en 1924. Este tipo de 
estadística está íntimamente relacionada con la estadística de Maxwell-Boltzmann 
(derivada inicialmente para gases) y a las estadísticas de Fermi-Dirac (aplicables a 
 
 
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partículas denominadas fermiones sobre las que rige el principio de exclusión de 
Pauli que impide que dos fermiones compartan el mismo estado cuántico). 
La estadística de Bose-Einstein se reduce a la estadística de Maxwell-Boltzmann 
para energías suficientemente elevadas. 
El condensado de Bose-Einstein es un estado de la materia donde prácticamente 
no existe energía en el sistema, en la cual los átomos pierden su identidad individual 
y se condensan en un gran átomo. Es obtenible sólo a temperaturas cercanas al 0 
absoluto. 
Este “super átomo”, el cual puede considerarse un nuevo estado de la materia, 
adquiere propiedades inusuales, como la superfluidez, superconductividad, 
calentamiento de la luz, entre otras. 
El número de partículas en un estado de energía i es: 
 
donde: 
 
 
 
 
8 
Después de hacer integración se obtiene la siguiente fórmula: 
 
Aplicaciones de la estadística de Bose-
Einstein. 
Las aplicaciones más importantes (algunas de ellas todavía en desarrollo y con gran 
actividad de investigación) del fenómeno de la condensación Bose-Einstein son las 
siguientes: 
• Láser de átomos: para 
construcción de nanoestructuras 
de gran precisión. 
• Relojes atómicos: para realizar 
medidas muy precisas del tiempo. 
• Detección de la intensidad del 
campo gravitatorio. 
• Simulación de fenómenos 
cosmológicos a pequeña escala 
para su estudio. 
• Superfluidez y superconductividad 
• Aplicaciones derivadas del fenómeno de “slow light”, por ejemplo, en 
teleportación o en computación cuántica 
• Profundización en el estudio de la mecánica cuántica a partir de experimentos 
más complejos, exóticos y no lineales, testar teorías recientemente formuladas, 
etc. 
• La distribución de energía de la radiación del cuerpo negro se deduce de la 
aplicación de la estadística de Bose-Einstein a los fotones que componen la 
radiación electromagnética. 
 
 
9 
• La capacidad calorífica de los sólidos tanto a altas como a bajas temperaturas 
puede ser deducida a partir de la estadística de Bose-Einstein aplicada a los 
fonones, cuasipartículas que dan cuenta de las excitaciones de la red cristalina. 
En particular la ley de Dulong-Petit puede ser deducida de la estadística de Bose-
Einstein. 
• La estadística de Bose-Einstein predice el fenómeno de la condensación de 
Bose-Einstein, también conocido como el quinto estado de la materia. 
El quinto estado de la materia. 
Sólido, líquido, gaseoso, plasma y condensado de Bose-Einstein (BEC, por sus 
siglas en inglés). Estos son los cinco estados de la materia, o al menos los primeros 
de la lista, pues la ciencia experimenta con otras exóticas formas. Los tres primeros 
se enseñan en primaria, el cuarto puede que nos suene, pero ¿el quinto? Pues con 
esta forma de agregación trabajan en la Estación Espacial Internacional (EEI) donde 
se explota el entorno de microgravedad del espacio para realizar experimentos. 
Un condensado de Bose-Einstein se forma cuando un grupo de átomos se enfría 
hasta cerca del cero absoluto (-273 ºC). Es una forma de agregación de la materia 
que no se encuentra de manera natural, de hecho, este año se cumple un cuarto de 
siglo desde que los físicos Eric Cornell y Carl Wieman lograsen enfriar tanto una 
nube de átomos para que alcanzara este estado. Años más tarde recibirían en Nobel 
de Física por el descubrimiento. 
A esta baja temperatura, dichos átomos se convierten en una entidad única, como 
si fueran un super átomo, con propiedades cuánticas. Es decir, se logra que algo a 
escala macroscópica se rija por las leyes de la física que dominan la materia a 
escala microscópica. Los condensados de Bose-Einstein proporcionan de esta 
manera una ventana única al mundo de la mecánica cuántica. Pero medirlos con 
precisión se ve obstaculizado por la gravedad. 
Problema 2. 
Calcule la temperatura crítica en el que se forma el condesado Bose-Einstein para 
el Helio 4 (isótopo), con 2.2x1028 átomos por metro cúbico. 
 
 
 
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Conclusión. 
En realidad estos temas son ajenos a la cotidianeidad, en cuanto al no 
estar al pendiente o que ciertamente nos afecte su evolución, sin 
embargo, el desarrollo de la estadística cuántica ayuda mucho a que los 
demás tópicos de las matemáticas y física puedan seguir avanzando, 
por otro lado el condensado de Bose-Einstein podría ser un gran avance 
en el efecto que tiene en las características de los materiales, 
independiente del uso que se le pueda dar a estos, todavía se ve muy 
lejos la integración de estos temas a nuestra vida diaria por las 
condiciones que se necesitan pero se muestra bastante interesante el 
conocer sobre ello. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Bibliografía. 
1.- Aplicaciones de La Estadística de Bose. (s/f). Scribd. Recuperado el 
15 de noviembre de 2022, de 
https://es.scribd.com/document/179375302/Aplicaciones-de-la-
estadistica-de-Bose 
2.- MathArg [MathArg]. (2016, marzo 31). 177 Introducción a la 
Mecánica Cuántica - Temperatura critica y Condensados Bose-
Einstein. Youtube. https://www.youtube.com/watch?v=MYdFhCZ3V3k 
3.- Téllez, A. M., & Perfil, V. T. mi. (s/f). La Mecánica Cuántica. 
Blogspot.com.Recuperado el 15 de noviembre de 2022, de http://la-
mecanica-cuantica.blogspot.com/2009/08/mecanica-estadistica-
cuantica-i_11.html 
4.- The Bose-Einstein Distribution. (s/f). Gsu.edu. Recuperado el 15 de 
noviembre de 2022, de http://hyperphysics.phy-
astr.gsu.edu/hbasees/quantum/disbe.html 
5.- Wikipedia contributors. (s/f-a). Estadística de Bose-Einstein. 
Wikipedia, The Free Encyclopedia. 
https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Estad%C3%ADstica_de_Bos
e-Einstein&oldid=146818492 
6.- Wikipedia contributors. (s/f-b). Física estadística. Wikipedia, The 
Free Encyclopedia. 
https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=F%C3%ADsica_estad%C3%
ADstica&oldid=146146616 
7.- Wikipedia contributors. (s/f-c). Interpretación estadística de la 
mecánica cuántica. Wikipedia, The Free Encyclopedia. 
https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Interpretaci%C3%B3n_estad
%C3%ADstica_de_la_mec%C3%A1nica_cu%C3%A1ntica&oldid=145
247528 
 
https://es.scribd.com/document/179375302/Aplicaciones-de-la-estadistica-de-Bose
https://es.scribd.com/document/179375302/Aplicaciones-de-la-estadistica-de-Bose
https://www.youtube.com/watch?v=MYdFhCZ3V3k
http://la-mecanica-cuantica.blogspot.com/2009/08/mecanica-estadistica-cuantica-i_11.html
http://la-mecanica-cuantica.blogspot.com/2009/08/mecanica-estadistica-cuantica-i_11.html
http://la-mecanica-cuantica.blogspot.com/2009/08/mecanica-estadistica-cuantica-i_11.html
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/quantum/disbe.html
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/quantum/disbe.html
https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Estad%C3%ADstica_de_Bose-Einstein&oldid=146818492
https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Estad%C3%ADstica_de_Bose-Einstein&oldid=146818492
https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=F%C3%ADsica_estad%C3%ADstica&oldid=146146616
https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=F%C3%ADsica_estad%C3%ADstica&oldid=146146616
https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Interpretaci%C3%B3n_estad%C3%ADstica_de_la_mec%C3%A1nica_cu%C3%A1ntica&oldid=145247528
https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Interpretaci%C3%B3n_estad%C3%ADstica_de_la_mec%C3%A1nica_cu%C3%A1ntica&oldid=145247528
https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Interpretaci%C3%B3n_estad%C3%ADstica_de_la_mec%C3%A1nica_cu%C3%A1ntica&oldid=145247528