3AM3 Herrera Rangel Hector Francisco T1 Conceptos

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INSTITUTO POLITÉCNICO 
NACIONAL. 
Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica 
Unidad Ticomán. 
 
Materia: Mecánica de Sólidos. 
Profesora: Austria Aguilar Estrella. 
 
Conceptos. 
 
Nombre del Alumno: Herrera Rangel Héctor Francisco. 
Boleta: 2022370143. 
Grupo: 3AM3. 
 
 
 
15 de septiembre de 2022.
 
 Herrera Rangel Héctor Francisco 3AM3. 
Conceptos. 
Condiciones de las estructuras. 
Rigidez. 
La capacidad de un objeto de resistir la deformación cuando se aplica una fuerza 
externa se denomina "rigidez". 
Los coeficientes de rigidez son magnitudes físicas que cuantifican la 
rigidez de un elemento resistente bajo diversas configuraciones de 
carga. Normalmente las rigideces se calculan como la razón entre 
una fuerza aplicada y el desplazamiento obtenido por la aplicación 
de esa fuerza. 
Para barras o vigas se tendrán otros conceptos como lo son el de rigidez axial, 
rigidez flexional, rigidez torsional o rigidez frente a esfuerzos cortantes, etc. 
Clasificación para rigideces: 
• Rigideces de prismas mecánicos. 
o Rigidez axial. 
o Rigidez flexional. 
o Rigidez frente a cortante. 
o Rigidez mixta flexión-cortante. 
o Rigidez torsional. 
• Rigideces en placas y láminas. 
o Rigidez de membrana. 
o Rigidez flexional. 
Resistencia de los materiales. 
La resistencia de materiales es el estudio de 
las propiedades de los cuerpos sólidos que 
les permite resistir la acción de las fuerzas 
externas, el estudio de las fuerzas internas 
en los cuerpos y de las deformaciones 
ocasionadas por las fuerzas externas. 
A diferencia de la Estática, que trata del estudio de las fuerzas que se inducen en 
las diferentes componentes de un sistema, analizándolo como cuerpo rígido, la 
Resistencia de Materiales se ocupa del estudio de los efectos causados por la 
acción de las cargas externas que actúan sobre un sistema deformable, es por esta 
pequeña diferencia que también logramos notar una diferencia entre lo teórico 
(cálculos) y práctico (modelaje en ansys) para el desarrollo de barras. 
https://es.wikipedia.org/wiki/Rigidez#Rigideces_de_prismas_mec%C3%A1nicos
https://es.wikipedia.org/wiki/Rigidez#Rigidez_axial
https://es.wikipedia.org/wiki/Rigidez#Rigidez_flexional
https://es.wikipedia.org/wiki/Rigidez#Rigidez_frente_a_cortante
https://es.wikipedia.org/wiki/Rigidez#Rigidez_mixta_flexi%C3%B3n-cortante
https://es.wikipedia.org/wiki/Rigidez#Rigidez_torsional
https://es.wikipedia.org/wiki/Rigidez#Rigideces_en_placas_y_l%C3%A1minas
https://es.wikipedia.org/wiki/Rigidez#Rigidez_de_membrana
https://es.wikipedia.org/wiki/Rigidez#Rigidez_flexional_2
 
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Un modelo de resistencia de materiales establece una relación entre las fuerzas 
aplicadas, también llamadas cargas o acciones, y los esfuerzos y desplazamientos 
inducidos por ellas. 
Para el diseño mecánico de elementos con geometrías complicadas la resistencia 
de materiales suele ser abundante y es necesario usar técnicas basadas en la teoría 
de la elasticidad o la mecánica de sólidos deformables más generales. Esos 
problemas planteados en términos de tensiones y deformaciones pueden entonces 
ser resueltos de forma muy aproximada con métodos numéricos como el análisis 
por elementos finitos. 
En cuanto a la geometría, el diseño del elemento y del conjunto obedece a las 
características del esfuerzo o del conjunto de esfuerzos que se tienen que resistir. 
Tenemos por ejemplo el diseño de los perfiles, con una forma específica que permite 
una resistencia adecuada a los esfuerzos, economizando al máximo la cantidad de 
material empleado. 
 
Estabilidad. 
La estabilidad es la capacidad que tienen los elementos 
de las estructuras de aguantar las acciones sin volcar o 
caer. Las estructuras que, al aplicar una pequeña carga 
o por sí solas, pierden el equilibrio se dice que son 
inestables. 
La estabilidad dependerá de la forma de la estructura, de 
los apoyos y de la distribución de los pesos. 
 
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Para la estabilidad aparecen dos conceptos que cada material tendrá que afectará 
en cierta forma la misma estabilidad que podrá alcanzar dicho compuesto. 
El centro de gravedad es el punto de equilibrio del cuerpo o estructura. Está 
relacionado directamente con la estabilidad de las estructuras. 
El equilibrio es el estado en el que el total de fuerzas que actúan sobre un cuerpo o 
estructura suma cero. Hay tres tipos de equilibrio: 
Equilibrio estable: Si el cuerpo, siendo apartado de su posición de equilibrio, vuelve 
a su lugar por efecto de la gravedad. El c.d.g. siempre está debajo del punto de 
suspensión. 
Equilibrio inestable: Es aquel en el que el cuerpo al ser apartado de su posición de 
equilibrio se aleja del lugar inicial por efecto de la gravedad. 
Equilibrio indiferente: Es aquel en el que el cuerpo cuando se mueve de su posición 
de equilibrio queda en equilibrio en cualquier posición. 
Esfuerzos. 
Esfuerzo. 
Siempre se va a buscar que la estructura realice el menor 
esfuerzo posible, evitar llegar al valor máximo de cedencia, 
esto se logra distribuyendo fuerzas por el área de la 
estructura. 
𝜎 =
𝑃
𝐴
 
Donde: P es la fuerza axial desarrollada por la estructura y A es el área de la sección 
transversal. 
Cuando una fuerza o un momento actúa sobre un elemento de un cuerpo o de una 
estructura, se ven afectadas en mayor o menor medida todas las partículas de este. 
A estas partículas llega el resultado de esa acción que intenta deshacer el equilibrio 
que existía antes de que esta fuerza existiese. Las partículas para mantener el 
equilibrio, para mantener su unión y la propia cohesión del cuerpo, reaccionarán con 
un conjunto de fuerzas internas que intentan mantener unido el cuerpo. Estas 
fuerzas internas son los esfuerzos o tensiones. 
 
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Los esfuerzos son el conjunto de fuerzas internas a las que está sometido un cuerpo 
a consecuencia de las solicitaciones o acciones que actúan sobre él. Estas fuerzas 
internas son el resultado de la interacción de unas partículas del cuerpo sobre las 
otras. 
Tipos de esfuerzo. 
Esfuerzos de tracción: Un elemento trabaja a tracción, o está 
sometido a un esfuerzo de tracción cuando fuerzas con la 
misma dirección y de sentidos contrarios tienden a estirarlo. 
Esfuerzo de compresión: Se produce compresión cuando 
sobre el elemento actúan fuerzas de la misma dirección y 
sentido contrario que intentan a contraerlo. 
Esfuerzo de flexión: Resultante de aplicar fuerzas 
perpendicularmente al eje principal del elemento que tienden 
a doblarlo. La flexión produce compresión en la parte 
cóncava del elemento y tracción en la opuesta, la convexa. 
Esfuerzo de torsión: Las fuerzas que actúan sobre un objeto 
sometido a torsión tratan de retorcerlo, de girarlo en dos 
direcciones contrarias. 
Esfuerzo de cizalla, corte o cortadura: Es un esfuerzo que 
provocan fuerzas perpendiculares al eje longitudinal del 
elemento; aplicadas en sentidos contrarios casi en la misma 
vertical que tienden a cortarlo. 
Esfuerzo de pandeo: Relacionado con la compresión en 
elementos muy largos en relación con su sección transversal. Al deformarse la 
estructura su centro de gravedad se aleja del eje central, aumentando el momento 
de la fuerza y disminuyendo su resistencia. 
Tensor de esfuerzos. 
Las fuerzas superficiales que actúan sobre un Vf(t), es decir, sobre su superficie, 
dependen de la posición, del tiempo y de la orientación del elemento de superficie 
sobre la cual actúan, es decir, del vector normal a dicho elemento de superficie. 
Si se considera un punto fijo de un campo fluido. En un instante dado, pasará por 
ese punto, una partícula fluida. En ese punto e instante de tiempo, unanormal 1 n 
 a la superficie de dicha partícula (para otro instante de tiempo en este mismo 
punto, o para cualquier otro punto del campo fluido la normal puede ser distinta). 
Las fuerzas superficiales dependen, por tanto, en general, además de la posición y 
del tiempo, de la orientación del elemento de superficie. 
 
 
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Dependiendo de la orientación del elemento de superficie, la fs se puede 
descomponer en una componente normal y otra tangencial. Considerando así un 
Vf(t) sumergido en otro fluido, este ejercerá sobre un elemento “dS” una fuerza fs 
que se puede descomponer en un esfuerzo normal y otro tangencial. 
 
Las fuerzas superficiales unitarias actuarán sobre el área “dS”, 
que a su vez viene representada por un vector unitario normal . 
Representando las proyecciones según el sistema de ejes “xyz” del elemento “dS” 
y las componentes de las fuerzas superficiales según las tres direcciones, se 
pueden definir los esfuerzos unitarios para cada superficie proyectada. 
 
 
 
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siendo,  , el tensor de esfuerzos superficiales para el elemento de superficie 
definido por la normal n. El tensor de esfuerzos superficiales es simétrico, es decir: 
 
El tensor de esfuerzos superficiales se puede descomponer en otros dos, un tensor 
de esfuerzos normales de compresión y un tensor de esfuerzos viscosos. Esto es 
posible debido a que en un fluido en “reposo”, no puede haber esfuerzos cortantes 
(si los hubiera dejaría de estar en reposo, por definición de fluido), de modo, que en 
este caso particular de fluidos en reposo. 
Cubo elemental de esfuerzos. 
Para seguir con el análisis de los esfuerzos, 
ahora tenemos un representación gráfica como 
la anteriormente vista en el tensor de 
esfuerzos, el cubo elemental de esfuerzos. 
Las tensiones normales σ se sub indican con el 
eje respecto al cual son paralelos. 
Las tensiones tangenciales en cambio, se sub 
indican con 2 índices, el primero referido al eje 
normal a la cara donde actúa la tensión, y el 
otro referido al eje al cual es paralelo la tensión. 
Las tensiones normales σ son positivas cuando son de tracción, y negativas cuando 
son de compresión. Las tensiones tangenciales τ en cambio son más, menos. 
Para analizar el equilibrio del cubo elemental, sujeto a tensiones, se tiene que hacer 
coincidir en el punto A una terna de ejes coordenados ortogonales y pasamos tres 
planos ortogonales por dicho punto. 
Luego a una distancia dx, dy, y dz, colocamos un punto B. 
Debemos hacer la salvedad que suponemos que las funciones que definen las 
variaciones de tensiones σ y τ, son continuas y derivables para poder obtener una 
solución matemática. 
Esfuerzos unidimensionales, bidimensionales y 
tridimensionales. 
En el caso de construcciones estos 
tienen nombres que los identifican 
claramente, aunque en el mundo 
hispano parlante, estos nombres 
cambian de país a país. 
Básicamente los elementos 
estructurales pueden tener estados 
 
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de tensión uniaxiales, biaxiales o triaxiales según si dimensionalidad y según cada 
una de las direcciones consideradas pueden existir tanto tracciones como 
compresiones y finalmente dicho estado puede ser uniforme sobre ciertas secciones 
transversales o variar de punto a punto de la sección. Los elementos estructurales 
suelen clasificarse en virtud de tres criterios principales: 
• Dimensionalidad del elemento. 
• Forma geométrica y/o posición. 
• Estado tensional y/o solicitaciones predominantes. 
 
Elementos lineales. 
Los elementos lineales o unidimensionales o prismas mecánicos, están 
generalmente sometidos a un estado de tensión plana con esfuerzos tensiones 
grandes en la dirección de Línea baricéntrica (que puede ser recto o curvo). 
Geométricamente son alargados siendo la dimensión según dicha línea (altura, 
luz, o longitud de arco), mucho mayor que las dimensiones según la sección 
transversal, perpendicular en cada punto a la línea baricéntrica. Los elementos 
lineales más comunes son según su posición y forma: 
▪ Verticales, comprimidos y rectos: Columna (sección circular) 
o pilares (sección poligonal), pilote (cimentación). 
▪ Horizontales, flexionados y rectos: Viga o arquitrabe, dintel, zapata 
corrida para cimentación, correa de sustentación de cubierta. 
▪ Diagonales y rectos: Barras de arriostramiento de cruces de San Andrés, 
barras diagonales de una celosía o entramado triangulado, en este caso los 
esfuerzos pueden ser de flexión tracción dominante o compresión 
dominante. 
▪ Flexionados y curvos: Que corresponden a arcos continuos cuando los 
esfuerzos se dan según el plano de curvatura o a vigas balcón cuando los 
esfuerzos son perpendiculares al plano de curvatura. 
Elementos bidimensionales. 
Los elementos planos pueden aproximarse por una superficie y tienen un espesor 
pequeño con relación a las dimensiones generales del elemento. Es decir, en 
estos elementos una dimensión, llamada espesor, es mucho menor que las otras 
dos. Pueden dividirse según la forma que tengan en elementos: 
https://www.urbipedia.org/hoja/Prisma_mec%C3%A1nico
https://www.urbipedia.org/hoja/Columna_(arquitectura)
https://www.urbipedia.org/hoja/Pilar
https://www.urbipedia.org/index.php?title=Pilote_(cimentaci%C3%B3n)&action=edit&redlink=1
https://www.urbipedia.org/hoja/Viga
https://www.urbipedia.org/hoja/Arquitrabe
https://www.urbipedia.org/hoja/Dintel
https://www.urbipedia.org/hoja/Zapata_corrida
https://www.urbipedia.org/hoja/Zapata_corrida
https://www.urbipedia.org/index.php?title=Celos%C3%ADa_(estructura)&action=edit&redlink=1
 
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▪ Horizontales, flexionados y planos: Como los forjados, las losas de 
cimentación, y las plateas o marquesinas. 
▪ Verticales, flexionados y planos: Como los muros de contención. 
▪ Verticales, comprimidos y planos: Como los muros de carga, paredes o 
tabiques. 
▪ Flexionados y curvos: Como lo son las láminas de revolución, como 
los depósitos cilíndricos para líquidos. 
▪ Traccionados y curvos: Son las membranas elásticas como las paredes de 
depósitos con fluidos a presión. 
Elementos tridimensionales. 
Los elementos tridimensionales o volumétricos son elementos que en general 
presentan estados de tensión biaxial o triaxial, en los que no predomina una 
dirección dimensión sobre las otras. Además, estos elementos suelen presentar 
tracciones y compresiones simultáneamente según diferentes direcciones, por lo 
que su estado tensional es complicado. Entre este tipo de elementos están: 
▪ Las ménsulas de sustentación. 
▪ Las zapatas que presentan compresiones según direcciones cerca de la 
vertical al pilar que sustentan y tracciones en direcciones cerca de la 
horizontal. 
Diagrama esfuerzo – deformación. 
El diagrama esfuerzo deformación es una representación gráfica, que resulta de 
representar los esfuerzos que sufre un material en función de la deformación que 
experimenta al mismo tiempo. Este diagrama comprende varios puntos clave con 
sus respectivos valores que servirán para tomar decisiones de ingeniería. 
Existen varios tipos de esfuerzos a las que pueden ser sometidos los materiales; los 
más conocidos son: esfuerzo de tensión, compresión, cortantes. 
 
https://www.urbipedia.org/hoja/Forjado
https://www.urbipedia.org/hoja/Losa_de_cimentaci%C3%B3n
https://www.urbipedia.org/hoja/Losa_de_cimentaci%C3%B3n
https://www.urbipedia.org/index.php?title=Muros_de_contenci%C3%B3n&action=edit&redlink=1
https://www.urbipedia.org/hoja/Muro
https://www.urbipedia.org/hoja/Pared
https://www.urbipedia.org/hoja/Pared
https://www.urbipedia.org/index.php?title=Dep%C3%B3sito_(estructura)&action=edit&redlink=1
https://www.urbipedia.org/hoja/M%C3%A9nsulahttps://www.urbipedia.org/index.php?title=Zapata_(cimentaciones)&action=edit&redlink=1
 
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Límite de proporcionalidad: Cuando un material es sometido a un esfuerzo de 
tracción, al principio trata de oponerse a la deformación y recobrar su forma original 
mientras la fuerza no exceda su límite de proporcionalidad. 
Este es el punto en el que el material está al límite de ser elástico, si el esfuerzo que 
experimenta se excede, el material aún puede comportarse elásticamente pero ya 
no recobrar su forma original. 
Límite de elasticidad: Después del límite de proporcionalidad un material 
experimenta una deformación aun elástica, esto significa que todavía trata de resistir 
al esfuerzo y recuperar su forma; sin embargo, este es un punto bastante cercano 
al punto de fluencia. 
Punto de fluencia: El punto de fluencia es aquella en el cual, el material deja su 
propiedad elástica; el esfuerzo ha superado su capacidad y desde este punto en 
adelante el material se comportará como un material plástico, es decir, ya no trata 
de recuperar su forma original. 
Esfuerzo máximo o último: Llamado también esfuerzo último, en este punto el 
material a alcanzado su capacidad máxima de resistir al esfuerzo que actúa sobre 
ella, si la fuerza sigue actuando, entonces a partir de ahora el material colapsará 
hasta llegar al esfuerzo de rotura. 
Esfuerzo de rotura: También conocida como el esfuerzo de fractura; este punto es 
aquella en la que el material sometido al esfuerzo llega a fracturarse de forma 
permanente. 
Región elástica: Esta región comprende desde la inicio hasta el punto límite de 
elasticidad, en esta región el material presenta un comportamiento plástico, con 
mayor intensidad entre el punto inicial y el límite de proporcionalidad. 
Cabe destacar que entre el punto inicial y el punto límite de proporcionalidad se 
cumple la ley de HOOK que establece que la fuerza de tracción es directamente 
proporcional a la deformación. 
Región plástica: Esta región empieza desde que el material llega al punto de 
fluencia, pasando por el punto de esfuerzo máximo hasta el punto en que se fractura 
el material. En esta región el material sufre una deformación permanente. 
Zona elástica: Es la zona que anteriormente ya mencionamos, en la que el material 
se comporta elásticamente. 
Zona de cedencia: Esta zona se presenta justo después al punto de fluencia, en 
esta zona el material experimenta una deformación permanente plástica con un 
esfuerzo constante, hasta llegar a un punto en el que para seguir deformando al 
material requerirá un aumento en la intensidad del esfuerzo que lo deforma. 
Zona de endurecimiento: Esta zona se presenta después de que el material haya 
experimentado una deformación con esfuerzo constante; llega un punto en el que 
es necesario aumentar el esfuerzo para sacarla de la zona de cedencia; desde que 
se aumenta esfuerzo, el material experimenta una deformación y al mismo tiempo 
 
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experimenta un endurecimiento, es decir aumenta su grado de dureza hasta llegar 
al punto de esfuerzo máximo. 
Zona de estricción: La zona de estricción comprende desde el punto de esfuerzo 
máximo hasta el punto de esfuerzo de rotura. En esta zona el material no puede 
soportar ni un esfuerzo constante, solo decreciente; el material empieza a formar un 
cuello en una región y a partir de ello llega a fracturarse cuando el esfuerzo sigue 
actuando sobre ella. 
Diagrama esfuerzo deformación de materiales 
dúctiles y frágiles. 
Existe una clara diferencia entre el diagrama de 
materiales dúctiles y materiales frágiles; los 
materiales dúctiles presentan menor pendiente 
mientras los frágiles mayor pendiente; esto es debido 
a las propiedades elásticas que naturalmente 
presentan los materiales dúctiles. 
Módulo de elasticidad (E). 
El módulo de elasticidad (E), también llamado módulo de Young es un parámetro 
característico de cada material que indica la relación existente (en la zona de 
comportamiento elástico de dicho material) entre los incrementos de tensión 
aplicados (ds) en el ensayo de tracción y los incrementos de deformación 
longitudinal unitaria (de) producidos. 
 
Equivale a la tangente en cada punto de la zona elástica en la gráfica tensión-
deformación (s-e) obtenida del ensayo de tracción. 
 
En muchos casos el módulo de elasticidad es constante durante la zona elástica del 
material, indicando un comportamiento lineal del mismo (ley de Hooke). 
El módulo de elasticidad indica la rigidez de un material: cuanto más rígido es un 
material mayor es su módulo de elasticidad. 
 
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Módulo de elasticidad al corte (G). 
El módulo de cizallamiento, o módulo de rigidez, se 
deriva de la torsión de una probeta cilíndrica. Describe la 
respuesta del material al esfuerzo cortante. Su símbolo 
es G. El módulo de corte es una de varias cantidades 
para medir la rigidez de los materiales y surge en la ley 
de Hooke generalizada. 
• Esfuerzo cortante. El esfuerzo cortante existe cuando dos partes de un 
material tienden a deslizarse entre sí en cualquier plano típico de cortante al 
aplicar una fuerza paralela a ese plano. La torsión es una variación de corte 
puro en el que se tuerce un miembro estructural. Las fuerzas de torsión 
producen un movimiento de rotación alrededor del eje longitudinal de un 
extremo del miembro con respecto al otro extremo. El esfuerzo cortante 
también es de gran importancia en la naturaleza, ya que está íntimamente 
relacionado con el movimiento descendente de los materiales terrestres 
(como en el caso de las avalanchas). 
• Esfuerzos por cizallamiento. Una deformación cortante resulta de un 
esfuerzo cortante y es una deformación calculada a partir de los 
desplazamientos relativos que se miden en paralelo a dos planos de 
referencia. Las deformaciones cortantes miden el movimiento paralelo 
relativo de un plano de referencia con respecto a otro. El símbolo de la 
deformación por cizallamiento suele ser el símbolo griego en minúsculas 
gamma (γ). 
Relación de Poisson. 
El coeficiente de Poisson (n) es un parámetro característico de cada material que 
indica la relación entre las deformaciones longitudinales que sufre el material en 
sentido perpendicular a la fuerza aplicada y las deformaciones longitudinales en 
dirección de la fuerza aplicada sobre el mismo. Así, si sobre el cuerpo de la figura 
se aplica una fuerza de tracción en dirección x se produce un alargamiento relativo 
εx en esa dirección y un acortamiento relativo εy y εz en las dos direcciones 
transversales, definiéndose el coeficiente de Poisson como: 
 
 
http://www.mecapedia.uji.es/deformacion_longitudinal_unitaria.htm
http://www.mecapedia.uji.es/fuerza.htm
http://www.mecapedia.uji.es/traccion.htm
 
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El coeficiente de Poisson está comprendido entre 0 y 0.5, siendo su valor alrededor 
de 0.3 para gran parte de materiales, como el acero. 
Ley de Hooke generalizada. 
Edgar Popov en su libro Mecánica de Sólidos, 
nos describe la Ley de Hooke como “la relación 
entre esfuerzo y deformación unitaria que puede 
considerarse lineal para todo material” y se puede 
expresar de manera simbólica. 
σ = E•ε 
Que simplemente se puede interpretar que el 
esfuerzo es directamente proporcional a la 
deformación unitaria, donde la constante de 
proporcionalidad es E. 
La constante “E” se llama “módulo de Young” o 
Módulo elástico. 
Como “ε” no tiene dimensiones, “E” tiene las unidades de esfuerzo. En el sistema 
inglés, esta constante se mide usualmente en libras por pulgada cuadrada y en el 
sistema internacional se mide en Newtons por metro cuadrado o Pascales 
 
De manera gráfica, “E”se interpreta como la pendiente de una línea recta que va 
del origen al punto vago “A” sobre un diagrama de esfuerzo-deformación unitaria 
uniaxial. A ese último esfuerzo se denomina Límite proporcional o límite elástico del 
material. 
De manera Física, “E” representa la rigidez del material bajo una carga impuesta. 
La Ley de Hooke se aplica sólo hasta el límite de proporcional del material. Esto es 
muy significativo porque en la mayor parte de los tratamientos subsecuentes, las 
fórmulas obtenidas se basan en esta ley. Es evidente entonces que tales fórmulas 
están limitadas al comportamiento del material en el rango inferior de esfuerzos. 
 
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Ley de Hooke en 2D. 
Deformaciones planas. 
Esta situación física se da cuando una dimensión geométrica del cuerpo a 
analizares mucho mayor que las otras dos, y sobre ella actúan únicamente cargas 
uniformemente distribuidas a lo largo de toda su longitud y contenidas en planos 
ortogonales al eje que une los centros de gravedad de sus distintas secciones 
transversales. 
 
En este caso, suponiendo que la dirección longitudinal corresponde a x3, no existen 
deformaciones perpendiculares a un plano transversal cualquiera del cuerpo, es 
decir, e33=0. Con esto, para un material isótropo se tiene: 
 
Además, la traza se transforma en: 
 
Por tanto, las relaciones constitutivas pueden expresarse como: 
 
 
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Análogamente: 
 
Resumiendo, en forma matricial lo anterior: 
 
Tensiones planas. 
Esta situación física se da cuando una dimensión geométrica del cuerpo es mucho 
menor que las otras dos, por ejemplo, una placa “delgada”, y las cargas solo se 
aplican en el plano definido por las dos dimensiones mayores, no existiendo 
tensiones en las caras de la placa. 
 
En este caso, la no existencia de tensiones en las caras de la placa puede 
expresarse como σ33=0, y las relaciones constitutivas quedan por tanto como: 
 
 
 
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Resumiendo, en forma matricial lo anterior: 
 
Tipos de cargas estructurales. 
Las Cargas estructurales son aquellas cargas que soporta un edificio se clasifican 
en muertas, vivas y accidentales (de viento y sísmica). Las cargas muertas incluyen 
el peso del mismo edificio y de los elementos mayores del equipamiento fijo. 
Siempre ejercen una fuerza descendente de manera constante y acumulativa desde 
la parte más alta del edificio hasta su base. 
Las cargas vivas comprenden la fuerza del viento, las originadas por movimientos 
sísmicos, las vibraciones producidas por la maquinaria, mobiliario, materiales y 
mercancías almacenadas y por máquinas y ocupantes, así como las fuerzas 
motivadas por cambios de temperatura. 
Las cargas sísmicas son cargas inerciales causadas por movimientos sísmicos, 
estas pueden ser calculadas teniendo en cuenta las características dinámicas del 
terreno, de la estructura (amortiguamiento masa y rigidez), y las aceleraciones 
esperadas. 
Clasificación según su estado inercial. 
Clasificación según su estado inercial (que se refiere al estado de reposo o 
movimiento en que se encuentra la larga en el momento de actuar) éstas se 
clasifican en: 
Cargas Estáticas: Son las que no cambian nunca su estado de reposo o lo hacen 
lentamente en el tiempo. En todos los casos son las que durante el tiempo que 
actúan están en estado de reposo, y por extensión también aquellas que tienen 
estado inercial despreciable, es decir que si bien varían en el tiempo lo hacen en 
forma muy lenta. 
Cargas Dinámicas: Son las que varían rápidamente en el tiempo. En todos los 
casos son las que durante el tiempo que actúan están en estado de movimiento 
(inercial) considerable. 
Según como sea la dirección del movimiento podemos clasificarlas en: 
Cargas Móviles: Son aquellas en las cuales la dirección del movimiento es 
perpendicular a la dirección en que se produce la carga. 
 
 
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Cargas De Impacto: Son aquellas en las cuales la dirección del movimiento 
es coincidente con la dirección en que se produce la carga. Se caracterizan 
por un tiempo de aplicación muy breve (instantánea). 
Clasificación según su ubicación en el espacio. 
Concentradas O Puntuales: Son las que actúan sobre una superficie muy reducida 
con respecto a la total. 
Cargas Distribuidas: Son las que actúan sin solución de continuidad a lo largo de 
todo el elemento estructural o parte de él. A la vez se dividen en uniformemente 
distribuidas y distribuidas no uniformes: 
Uniformemente Distribuidas: Son aquellas que mantienen un mismo valor en toda 
su expansión. 
No Uniformemente Distribuidas: Son aquellas en las que varía su valor en los 
distintos puntos de su extensión. 
Empuje Pasivo: La tierra tiende a mover la estructura. 
Empuje Activo: El muro se opone al movimiento del suelo. 
Tipo de apoyos. 
Soporte móvil o rodillo (Apoyo guiado). 
Es un apoyo que es libre de girar y traducir a lo largo de la 
superficie sobre la que descansan. La superficie sobre la que 
se instalan los apoyos de los rodillos puede ser horizontal, 
vertical e inclinada a cualquier ángulo. 
La razón para proporcionar apoyos de rodillos en un extremo 
es permitir la contracción o expansión de la cubierta de 
puentes con respecto a las diferencias de temperatura en la atmósfera. Si no se 
proporciona soporte para rodillos, causará graves daños a las orillas de estructuras 
como puentes. 
 Los apoyos del rodillo solo tienen una reacción, esta 
reacción actúa perpendicularmente a la superficie y lejos 
de ella. 
Los apoyos de rodillos no pueden resistir las cargas 
laterales (las cargas laterales son las cargas vivas cuyos 
componentes principales son las fuerzas horizontales). 
Solo resisten cargas verticales. 
El mejor ejemplo de apoyos de rodillos son los patines. Los 
patines resisten las cargas verticales de las personas que 
están de pie sobre él. Cuando las cargas laterales son 
aplicadas por las personas, comienza a traducirse. La 
traducción se debe a su incapacidad para resistir las cargas laterales. 
 
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Apoyo fijo (Apoyo simple). 
Es un tipo de apoyo que resiste las cargas horizontales y 
verticales, pero no puede resistir el momento. 
El apoyo fijo tiene dos reacciones de soporte y estas son 
reacciones verticales y horizontales. Permite que el miembro 
estructural gire, pero no permite traducir en ninguna dirección. El 
apoyo fijo permite la rotación solo en una dirección y resiste la rotación en cualquier 
otra dirección. 
 El apoyo fijo también se conoce como apoyo de 
bisagra. 
El mejor ejemplo en el que podemos al apoyo fijo son 
las puertas y ventanas de nuestras casas y nuestra 
articulación de rodilla. Aquí la rotación se produce en 
una dirección, pero el movimiento de traslación está 
restringido. 
Usando ecuaciones de equilibrio, se pueden encontrar los componentes de las 
fuerzas horizontales y verticales. 
Apoyo empotrado. 
Es un apoyo capaz de resistir todo tipo de cargas, es decir, 
horizontales, verticales y momentos. El apoyo empotrado no 
permite el movimiento de rotación y traslación a los miembros 
estructurales. 
El apoyo empotrado también se denomina apoyo rígido. 
 Un asta de bandera fijado en la base de hormigón es el mejor ejemplo 
de apoyo empotrado. Los otros ejemplos del apoyo empotrado son el 
poste eléctrico en las calles, un soporte en la pared y todas las juntas 
remachadas y soldadas en el acero, etc. 
Proporciona una mayor estabilidad a la estructura en comparación con 
todos los demás soportes. 
Relaciones desplazamiento – deformación. 
La forma deformada de una estructura elásticabajo un sistema dado de cargas y 
distribución de temperatura puede ser descrita completamente por los tres 
desplazamientos. 
 
 
 Herrera Rangel Héctor Francisco 3AM3. 
Los vectores que representan estos tres desplazamientos en un punto de la 
estructura son mutuamente ortogonales y sus direcciones positivas corresponden a 
las direcciones positivas de los ejes de coordenadas. En general, los tres 
desplazamientos se representan como funciones de x, y y z. Las deformaciones en 
la estructura deformada se pueden expresar como derivadas parciales de los 
desplazamientos ux, uy, y uz. Para pequeñas deformaciones, las relaciones 
deformación-desplazamiento son lineales y los componentes de deformación están 
dados por (ver, por ejemplo, Timoshenko y Goodier) * 
 
Donde exx, eyy, y ezz representan cepas normales, mientras que exy, eyz y ezx. 
representan esfuerzos cortantes. Algunos libros de texto sobre elasticidad definen 
las deformaciones cortantes con un factor j a la derecha de las Ecs. (2.2b). Aunque 
tal definición permite el uso de una sola expresión para las deformaciones tanto 
normales como cortantes en notación tensorial, esto no tiene ninguna ventaja 
particular en el análisis estructural de matrices. De las Ecs. (2.2b) se sigue que la 
relación de simetría. 
 
Es válido para todas las deformaciones por corte y, por lo tanto, se requiere un total 
de solo seis componentes de deformación para describir los estados de deformación 
en problemas de elasticidad tridimensionales. 
Para obtener las ecuaciones de deformación-desplazamiento (2.2), consideraremos 
un pequeño elemento rectangular ABCD en el plano xy dentro de un cuerpo elástico, 
como se muestra en la figura 2.1. Si el cuerpo sufre una deformación, el elemento 
no deformado ABCD se desplaza hacia A'B'C'D'. Observamos aquí que el elemento 
tiene dos formas geométricas básicas. 
 
 Herrera Rangel Héctor Francisco 3AM3. 
 
Deformaciones, cambio de longitud y distorsión angular. El cambio de longitud de 
AB es (aux/ax) dx, y si definimos la deformación unitaria normal como la razón del 
cambio de longitud sobre la longitud original, se deduce que la deformación unitaria 
normal en la dirección x es aux/ax. De manera similar, se puede demostrar que las 
deformaciones unitarias normales en las direcciones y y z están dadas por las 
derivadas auy/ay y auz/az. La distorsión angular del elemento se puede determinar 
en términos de los ángulos y1 e y2 que se muestran en la figura 2.1. Es claro que 
para pequeñas deformaciones y1 = auy/ax e y2 = aux/ay. Si la deformación 
tangencial exy, en el plano xy se define como la deformación angular total, es decir, 
la suma de los ángulos y1 y y2, se deduce que esta componente de la deformación 
tangencial está dada por auy/ax + aux/ay. Los otros dos componentes de la 
deformación por corte pueden obtenerse considerando las deformaciones 
angulares en los planos yz y zx. 
DISTRIBUCIONES DE TENSIONES TRIDIMENSIONALES. 
Dado que la determinación de los esfuerzos térmicos juega un papel importante en 
el diseño de estructuras que operan a temperaturas elevadas, las ecuaciones de 
esfuerzo-deformación deben incluir los efectos de la temperatura. Para explicar 
cómo la temperatura modifica las ecuaciones tensión-deformación isotérmicas 
tridimensionales, consideraremos un pequeño elemento en el cuerpo elástico sujeto 
a un cambio de temperatura T. 
Si la longitud de este elemento es dl, entonces, bajo la acción del cambio de 
temperatura T, el elemento se expandirá a una nueva longitud (1 + a.T) dl, donde a. 
es el coeficiente de dilatación térmica. Para materiales isotrópicos y homogéneos 
este coeficiente es independiente de la dirección y posición del elemento, pero 
puede depender de la temperatura. 
 
 Herrera Rangel Héctor Francisco 3AM3. 
Posteriormente, la atención se limitará a los cuerpos isotrópicos, para los cuales las 
expansiones térmicas son las mismas en todas las direcciones. Esto significa que 
un paralelepípedo sin restricciones infinitamente pequeño en un cuerpo isotrópico 
sometido a un cambio de temperatura experimentará solo una expansión uniforme 
sin distorsiones angulares, y el paralelepípedo conservará su forma rectangular. Por 
lo tanto, las deformaciones térmicas (dilataciones térmicas) en un elemento no 
restringido se pueden expresar como: 
 
 
 Herrera Rangel Héctor Francisco 3AM3. 
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