Trabajo de Maria de combinaciones

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Las combinaciones con repetición son grupos de n elementos, tomados de r en r, que se pueden formar con esos elementos, teniendo en cuenta que en este caso los elementos sí pueden repetirse, de tal forma que: NO intervienen todos los elementos. NO importa el orden de los elementos. SÍ se pueden repetir los elementos.
Concepto de Combinación
 Combinaciones con repetición:
Son aquellas combinaciones cuyos elementos pueden repetirse
Examinadas detenidamente las definiciones anteriores se puede concluir lo que en esencia se dejó entreverar en la introducción y podemos definirla así:
- Se parte de un conjunto de m elementos prescindiendo de su naturaleza.
- Los elementos de tal conjunto lo podemos ordenar de uno en uno, de dos en dos, de tres en tres,......, de n en n
- Se pueden tomar todos los elementos del conjunto a la vez, en ese caso n = m
- Se adopta el convenio de que una ordenación se distingue de otra en algún elemento .
Factorial de un número natural n es el producto que resulta de multiplicar todos los números naturales desde el n  hasta el 1, ambos incluidos. 
¿Cómo se cuentan las Combinaciones con repetición?
 Según se ve en la columna de los recuentos: 
CR4,1 = C5,1  =  C(4 + 1-1),1
CR4,2 = C5,2  =  C(4 + 2-1),2
CR4,3 = C6,3  = C(4 + 3-1),3
CR4,4 = C7,4  = C(4 + 4-1),4
Inductivamente podemos concluir que  CRm,n =  C(m + n -1),
 Por tanto, para calcular el número de combinaciones con repetición de m elementos tomados de n, en n, CRm,n se calculan las combinaciones ordinarias de (m + n - 1) elementos tomados de n en n.  
Ejerccios y aplicaciones de Combinaciones ordinarias y de repetición:
 
1º Calcular el número de colores distintos que pueden formarse con los siete colores del arco iris.
Número de elementos del conjunto: 7
Los colores pueden formarse, tomándolos de uno en uno, de dos en dos, de tres en tres y así sucesivamente hasta de siete en siete.
 
Es evidente que al mezclar los colores el orden en que se coloquen es irrelevante y como no se puede repetir color, se trata de combinaciones ordinarias.
 
El problema se resuelve calculando y sumando:
                                                                  n= 7
C7,1 + C7,2 + C7,3 + C7,4 + C7,5 + C7,6 + C7,7 = ∑ C 7, n
                                                                  n = 1
El símbolo ∑ (sigma mayúscula) indica que hay que sumar todas las combinaciones que se pueden formar con siete elementos desde n = 1 hasta n = 7   
Aplicando a cada uno de los sumandos la fórmula de cálculo, 
 
                   Vm,n      m(m -1)(m-2).......(m-n+1)
    Cm,n = -------- = ---------------------------------      
                    Pn                    n!
 
           En la que m = 7 y n, varía desde 1 hasta 7.   Tendríamos:
 
          (7-1+1)  
C7,1 =----------  = 7
             1!
 
         7 ( 7-2+1)          7 x 6
C7,2 =-------------  = --------  = 21
                 2!                  2
 
          7x6(7-3+1)         7x6x5
C7,3 =--------------- =---------- = 35
             3!                         6
 
          7x6x5(7-4+1)     7x6x5x4
C7,4 =--------------- =  ---------- = 35
                  4!              1x2x3x4      
 
          7x6x5x4(7-5+1)      7x6x5x4x3
C7,5 =-------------------- =-------------- = 21
                    5!                  1x2x3x4x5
 
         7x6x5x4x3(7-6+1)   7x6x5x4x3x2
C7,6 =-------------------- =----------------- = 7
                    6!                  1x2x3x4x5x6
 
         7x6x5x4x3x2(7-7+1)         7x6x5x4x3x2x1
C7,7 =-------------------------- =-------------------- = 1
                     7!                          1x2x3x4x5x6x7
Luego:
                                                                                                    n= 7
C7,1 + C7,2 + C7,3 + C7,4 + C7,5 + C7,6 + C7,7 = ∑ C 7, n  =
                                                                  n = 1
7 +21 + 35 + 35 + 21 + 7 + 1 = 127
2º Un obrador de confitería tiene tres clases de bombones y los empaqueta en cajas de diez unidades ¿Cuantas cajas distintas podrá ofrecer a sus clientes?
 
Número de elementos del conjunto: 3 el número de bombones distintos
 
Las cajas han de montarse con 10 bombones. luego los bombones podrán repetirse o no dentro de las posibilidades que den las cajas.
 
Es evidente dos cajas serán distintas si difieren en algún tipo de bombón, por lo que el orden en que se coloquen los bombones no altera a la caja. Se trata por tanto de combinaciones con repetición de tres elementos, los bombones que se distribuyen de diez en diez, los huecos de la caja.
 
El problema se resuelve calculando CR3,10
 
Recuérdese que en la combinatoria con repetición,
m puede ser <, =, ó > que n 
 
Aplicando la fórmula de cálculo (3),
 
CRm,n = C(m + n -1),n
 
Donde m = 3 y n = 10
 
será: CR3,10 = C(3 + 10 -1),10 = C12,10
 
Utilizando la fórmula
 
 Vm,n m!
 Cm,n = -------- = ----------- 
 Pn n!(m-n)!
 
Para m = 12 y n = 10
 
 12! 12! 12x11x 10!
C12,10 =--------------- =-------- = --------------- = 66
 10!(12-10)! 10! 2! 10! 2!
 
La estrategia seguida ha sido expresar 12! en función de 10!, simplificar y operar