INTEGRALES TP10 P2

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PRACTICO INTEGRALES 2° PARTE 
 
 
EJERCICIO 3: 
𝒖. 𝒗 − ∫ 𝒗. 𝒅𝒖 
 
a.- ∫ 𝑥2. 𝑒𝑥 . 𝑑𝑥 = 𝒖 = 𝒙𝟐 → 𝒅𝒖 = 𝟐𝒙. 𝒅𝒙; 𝒅𝒗 = 𝒆𝒙. 𝒅𝒙 → 𝒗 = 𝒆𝒙 
∫ 𝑥2. 𝑒𝑥 . 𝑑𝑥 = 𝑥2. 𝑒𝑥 − 2 ∫ 𝑒𝑥. 𝑥. 𝑑𝑥 𝒖 = 𝒙 → 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙; 𝒅𝒗 = 𝒆𝒙. 𝒅𝒙 → 𝒗 = 𝒆𝒙 
∫ 𝑥2. 𝑒𝑥 . 𝑑𝑥 = 𝑥2. 𝑒𝑥 − 2 [(𝑥. 𝑒𝑥) − ∫ 𝑒𝑥𝑑𝑥] = 𝒙𝟐. 𝒆𝒙 − 𝟐𝒙. 𝒆𝒙 + 𝟐𝒆𝒙 + 𝒄 
 
b.- ∫ 𝑥. 𝐶𝑜𝑠 𝑥. 𝑑𝑥 = 𝒖 = 𝒙 → 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙; 𝒅𝒗 = 𝑪𝒐𝒔 𝒙. 𝒅𝒙 → 𝒗 = 𝑺𝒆𝒏 𝒙 
∫ 𝑥. 𝐶𝑜𝑠 𝑥. 𝑑𝑥 = 𝑥. 𝑆𝑒𝑛 𝑥 − ∫ 𝑆𝑒𝑛 𝑥. 𝑑𝑥 = 𝒙. 𝑺𝒆𝒏 𝒙 + 𝑪𝒐𝒔 𝒙 + 𝒄 
 
c.- ∫ 𝐿𝑛(3𝑥). 𝑑𝑥 = 𝒉 = 𝟑𝒙 → 𝒅𝒉 = 𝟑. 𝒅𝒙 → 𝒅𝒙 =
𝒅𝒉
𝟑
 
1
3
∫ 𝐿𝑛(ℎ). 𝑑ℎ = 𝑢 = 𝑳𝒏(𝒉) → 𝒅𝒖 =
𝟏
𝒉
. 𝒅𝒉; 𝒅𝒗 = 𝒅𝒉 → 𝒗 = 𝒉 
1
3
∫ 𝐿𝑛(ℎ). 𝑑ℎ = 𝐿𝑛(ℎ). ℎ − ∫ ℎ. 
1
ℎ
. 𝑑ℎ = 𝐿𝑛(ℎ). ℎ − ℎ + 𝑐 = 𝑳𝒏(𝟑𝒙). 𝟑𝒙 − 𝟑𝒙 + 𝒄 
 
e.- ∫ 𝐴𝑟𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥. 𝑑𝑥 = 𝒖 = 𝑨𝒓𝒄𝒐𝒕𝒈 𝒙 → 𝒅𝒖 =
𝟏
𝟏+𝒙𝟐
. 𝒅𝒙; 𝒅𝒗 = 𝒅𝒙 → 𝒗 = 𝒙 
∫ 𝐴𝑟𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥. 𝑑𝑥 = 𝐴𝑟𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥. 𝑥 − ∫ 𝑥.
1
1 + 𝑥2
. 𝑑𝑥 𝒉 = 𝟏 + 𝒙𝟐 → 𝒅𝒉 = 𝟐𝒙. 𝒅𝒙 → 𝒅𝒙 =
𝒅𝒉
𝟐𝒙
 
∫ 𝐴𝑟𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥. 𝑑𝑥 = 𝐴𝑟𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥. 𝑥 −
1
2
∫ 𝑥.
1
ℎ
.
𝑑ℎ
𝑥
= 𝐴𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥. 𝑥 −
1
2
. 𝐿𝑛 ℎ + 𝑐 
∫ 𝐴𝑟𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥. 𝑑𝑥 = 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒈 𝒙. 𝒙 −
𝟏
𝟐
. 𝑳𝒏(𝟏 + 𝒙𝟐) + 𝒄 
 
g.- ∫
𝑥
𝑒𝑥
. 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥. 𝑒−𝑥. 𝑑𝑥 𝒖 = 𝒙 → 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙; 𝒅𝒗 = 𝒆−𝒙 → 𝒗 = − 𝒆−𝒙 
∫ 𝑥. 𝑒−𝑥. 𝑑𝑥 = 𝑥. (−𝑒−𝑥) − ∫(−𝑒−𝑥). 𝑑𝑥 = 𝑥. (−𝑒−𝑥) + ∫ 𝑒−𝑥. 𝑑𝑥 = 𝒙. (−𝒆−𝒙) − 𝒆−𝒙 + 𝒄 
 
j.- ∫ 𝑒𝑥. 𝐶𝑜𝑠 𝑥. 𝑑𝑥 = 𝒖 = 𝒆𝒙 → 𝒅𝒖 = 𝒆𝒙. 𝒅𝒙; 𝒅𝒗 = 𝑪𝒐𝒔 𝒙. 𝒅𝒙 → 𝒗 = 𝑺𝒆𝒏 𝒙 
∫ 𝑒𝑥. 𝐶𝑜𝑠 𝑥. 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 . 𝑆𝑒𝑛 𝑥 − ∫ 𝑆𝑒𝑛 𝑥. 𝑒𝑥 . 𝑑𝑥 𝒖 = 𝒆𝒙 → 𝒅𝒖 = 𝒆𝒙. 𝒅𝒙; 𝒅𝒗 = 𝑺𝒆𝒏 𝒙. 𝒅𝒙 → 𝒗 = −𝑪𝒐𝒔 𝒙 
∫ 𝑒𝑥 . 𝐶𝑜𝑠 𝑥. 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥. 𝑆𝑒𝑛 𝑥 − [𝑒𝑥(−𝐶𝑜𝑠 𝑥) − ∫(−𝐶𝑜𝑠 𝑥). 𝑒𝑥. 𝑑𝑥] 
∫ 𝑒𝑥. 𝐶𝑜𝑠 𝑥. 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 . 𝑆𝑒𝑛 𝑥 + 𝑒𝑥. 𝐶𝑜𝑠 𝑥 − ∫ 𝐶𝑜𝑠 𝑥. 𝑒𝑥. 𝑑𝑥 
2. ∫ 𝑒𝑥. 𝐶𝑜𝑠 𝑥. 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 . 𝑆𝑒𝑛 𝑥 + 𝑒𝑥. 𝐶𝑜𝑠 𝑥 → ∫ 𝑒𝑥 . 𝐶𝑜𝑠 𝑥. 𝑑𝑥 =
𝟏
𝟐
. 𝒆𝒙. (𝑺𝒆𝒏 𝒙 + 𝑪𝒐𝒔 𝒙) + 𝒄 
 
EJERCICIO 4: 
 
b.- ∫
𝒅𝒙
(𝒙−𝟏)(𝒙+𝟐)(𝒙+𝟑)
 
𝟏
(𝒙−𝟏)(𝒙+𝟐)(𝒙+𝟑)
=
𝑨
𝒙−𝟏
+
𝑩
𝒙+𝟐
+
𝑪
𝒙+𝟑
 𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑜𝑣𝑒𝑟 𝑙𝑎𝑠 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎 
 
Vamos a tener en cuenta cuales son los valores de (x) que anulan cada termino en el denominador 
𝑥 = 1; 𝑥 = −2; 𝑥 = −3 
 
1
(𝑥 − 1)(𝑥 + 2)(𝑥 + 3)
=
𝐴(𝑥 + 2)(𝑥 + 3) + 𝐵(𝑥 − 1)(𝑥 + 3) + 𝐶(𝑥 − 1)(𝑥 + 2)
(𝑥 − 1)(𝑥 + 2)(𝑥 + 3)
 
 
Para encontrar el valor de A hacemos 𝑥 = 1 
1 = 𝐴(1 + 2)(1 + 3) + 𝐵(1 − 1)(1 + 3) + 𝐶(1 − 1)(1 + 2) 
1 = 𝐴(3)(4) + 𝐵(0)(4) + 𝐶(0)(3) → 12𝐴 = 1 → 𝑨 =
𝟏
𝟏𝟐
 
Para encontrar el valor de B hacemos 𝑥 = −2 
1 = 𝐴(−2 + 2)(−2 + 3) + 𝐵(−2 − 1)(−2 + 3) + 𝐶(−2 − 1)(−2 + 2) 
1 = 𝐴(0)(1) + 𝐵(−3)(1) + 𝐶(−3)(0) → −3𝐵 = 1 → 𝑩 = −
𝟏
𝟑
 
Para encontrar el valor de C hacemos 𝑥 = −3 
1 = 𝐴(−3 + 2)(−3 + 3) + 𝐵(−3 − 1)(−3 + 3) + 𝐶(−3 − 1)(−3 + 2) 
1 = 𝐴(−1)(0) + 𝐵(−4)(0) + 𝐶(−4)(−1) → 4𝐶 = 1 → 𝑪 =
𝟏
𝟒
 
Reemplazamos en la Integral 
1
12
∫
1
𝑥 − 1
. 𝑑𝑥 −
1
3
∫
1
𝑥 + 2
. 𝑑𝑥 +
1
4
∫
1
𝑥 + 3
. 𝑑𝑥 =
𝟏
𝟏𝟐
𝐥𝐧|𝒙 − 𝟏| −
𝟏
𝟑
𝐥𝐧|𝒙 + 𝟐| +
𝟏
𝟒
𝐥𝐧|𝒙 + 𝟑| + 𝒄 
 
c.- ∫
𝟐𝒙𝟐+𝟒𝟏𝒙−𝟗𝟏
(𝒙−𝟏)(𝒙+𝟑)(𝒙−𝟒)
. 𝒅𝒙 
2𝑥2+41𝑥−91
(𝑥−1)(𝑥+3)(𝑥−4)
=
𝐴
𝑥−1
+
𝐵
𝑥+3
+
𝐶
𝑥−4
 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 
Vamos a tener en cuenta cuales son los valores de (x) que anulan cada termino en el denominador 
𝑥 = 1; 𝑥 = −3; 𝑥 = 4 
2𝑥2 + 41𝑥 − 91
(𝑥 − 1)(𝑥 + 3)(𝑥 − 4)
=
𝐴(𝑥 + 3)(𝑥 − 4) + 𝐵(𝑥 − 1)(𝑥 − 4) + 𝐶(𝑥 − 1)(𝑥 + 3)
(𝑥 − 1)(𝑥 + 3)(𝑥 − 4)
 
 
Para encontrar el valor de A hacemos 𝑥 = 1 
−48 = 𝐴(1 + 3)(1 − 4) + 𝐵(1 − 1)(1 − 4) + 𝐶(1 − 1)(1 + 3) 
−48 = 𝐴(4)(−3) + 𝐵(0)(−3) + 𝐶(0)(4) → −12𝐴 = −48 → 𝑨 = 𝟒 
Para encontrar el valor de B hacemos 𝑥 = −3 
−196 = 𝐴(−3 + 3)(−3 − 4) + 𝐵(−3 − 1)(−3 − 4) + 𝐶(−3 − 1)(−3 + 3) 
−196 = 𝐴(0)(−7) + 𝐵(−4)(−7) + 𝐶(−4)(0) → 28𝐵 = −196 → 𝑩 = −𝟕 
Para encontrar el valor de C hacemos 𝑥 = 4 
105 = 𝐴(4 + 3)(4 − 4) + 𝐵(4 − 1)(4 − 4) + 𝐶(4 − 1)(4 + 3) 
105 = 𝐴(7)(0) + 𝐵(3)(0) + 𝐶(3)(7) → 21𝐶 = 105 → 𝑪 = 𝟓 
Reemplazamos en la Integral 
 
4 ∫
1
𝑥 − 1
. 𝑑𝑥 − 7 ∫
1
𝑥 + 3
. 𝑑𝑥 + 5 ∫
1
𝑥 − 4
. 𝑑𝑥 = 𝟒 𝐥𝐧|𝒙 − 𝟏| − 𝟕 𝐥𝐧|𝒙 + 𝟑| + 𝟓 𝐥𝐧|𝒙 − 𝟒| + 𝒄 
 
 g.- ∫
𝒅𝒙
𝒙𝟐−𝒙−𝟐 
 
𝟏
𝒙𝟐−𝒙−𝟐
=
𝟏
(𝒙−𝟐)(𝒙+𝟏)
=
𝑨
𝒙−𝟐
+
𝑩
𝒙+𝟏
 𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎 
 
Vamos a tener en cuenta cuales son los valores de (x) que anulan cada termino en el denominador 
𝑥 = 2; 𝑥 = −1 
1
(𝑥 − 2)(𝑥 + 1)
=
𝐴(𝑥 + 1) + 𝐵(𝑥 − 2)
(𝑥 − 2)(𝑥 + 1)
 
 
Para encontrar el valor de A hacemos 𝑥 = 2 
1 = 𝐴(2 + 1) + 𝐵(2 − 2) 
1 = 𝐴(3) + 𝐵(0) → 3𝐴 = 1 → 𝑨 =
𝟏
𝟑
 
Para encontrar el valor de B hacemos 𝑥 = −1 
1 = 𝐴(−1 + 1) + 𝐵(−1 − 2) 
1 = 𝐴(0) + 𝐵(−3) → −3𝐵 = 1 → 𝑩 = −
𝟏
𝟑
 
Reemplazamos en la Integral 
 
1
3
∫
1
𝑥 − 2
. 𝑑𝑥 −
1
3
∫
1
𝑥 + 1
. 𝑑𝑥 =
𝟏
𝟑
𝐥𝐧|𝒙 − 𝟐| −
𝟏
𝟑
𝐥𝐧|𝒙 + 𝟏| + 𝒄 
 
h.- ∫
𝒙𝟐+𝟑
(𝒙−𝟐)(𝒙+𝟐)𝟐
. 𝒅𝒙 
𝒙𝟐+𝟑
(𝒙−𝟐)(𝒙+𝟐)𝟐
=
𝑨
𝒙−𝟐
+
𝑩
𝒙+𝟐
+
𝑪
(𝒙+𝟐)𝟐
 𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 
Vamos a resolver nuestro problema utilizando una IGUALACION DE EXPRESIONES. 
𝒙𝟐 + 𝟑
(𝒙 − 𝟐)(𝒙 + 𝟐)𝟐
=
𝑨(𝒙 + 𝟐)𝟐 + 𝑩(𝒙 − 𝟐)(𝒙 + 𝟐) + 𝑪(𝒙 − 𝟐)
(𝒙 − 𝟐)(𝒙 + 𝟐)𝟐
 
𝑥2 + 3 = 𝐴𝑥2 + 4𝐴𝑥 + 4𝐴 + 𝐵𝑥2 − 4𝐵 + 𝐶𝑥 − 2𝐶 Igualamos los monomios semejantes 
Termino cuadrático 𝑥2 = (𝐴 + 𝐵)𝑥2 → 𝐴 + 𝐵 = 1 → 𝐵 = 1 − 𝐴 (1) 
Termino lineal 0𝑥 = (4𝐴 + 𝐶)𝑥 → 4𝐴 + 𝐶 = 0 → 𝐶 = −4𝐴 (2) 
Termino independiente 3 = 4𝐴 − 4𝐵 − 2𝐶 (3) 
Reemplazamos (1) y (2) en (3) 
4𝐴 − 4(1 − 𝐴) − 2(−4𝐴) = 3 → 16𝐴 = 7 → 𝑨 =
𝟕
𝟏𝟔
 
Reemplazamos en (1) para conocer B 
𝐵 = 1 −
7
16
 → 𝑩 =
𝟗
𝟏𝟔
 
Reemplazamos en (2) para conocer C 
𝐶 = −4.
7
16
 → 𝑪 = −
𝟕
𝟒
 
Reemplazamos en la Integral 
 
7
16
∫
1
𝑥 − 2
. 𝑑𝑥 +
9
16
∫
1
𝑥 + 2
. 𝑑𝑥 −
7
4
∫
1
(𝑥 + 2)2
. 𝑑𝑥 =
𝟕
𝟏𝟔
𝐥𝐧|𝒙 − 𝟐| +
𝟗
𝟏𝟔
𝐥𝐧|𝒙 + 𝟐| +
𝟕
𝟒
.
𝟏
𝒙 + 𝟐
+ 𝒄 
 
i.- ∫
𝟑𝒙𝟐−𝟐𝒙+𝟓
(𝒙+𝟑)𝟑
. 𝒅𝒙 
𝟑𝒙𝟐−𝟐𝒙+𝟓
(𝒙+𝟑)𝟑
=
𝑨
𝒙+𝟑
+
𝑩
(𝒙+𝟑)𝟐
+
𝑪
(𝒙+𝟑)𝟑
 
Tenemos 3 fracciones porque el factor lineal está elevado al cubo. 
Vamos a resolver nuestro problema utilizando una IGUALACION DE EXPRESIONES. 
 
𝟑𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟓
(𝒙 + 𝟑)𝟑
=
𝑨(𝒙 + 𝟑)𝟐 + 𝑩(𝒙 + 𝟑) + 𝑪
(𝒙 + 𝟐)𝟑
 
𝟑𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟓 = 𝐴𝑥2 + 6𝐴𝑥 + 9𝐴 + 𝐵𝑥 + 3𝐵 + 𝐶 Igualamos los monomios semejantes 
Termino cuadrático 3𝑥2 = 𝐴𝑥2 → 𝐴 = 3 
Termino lineal −2𝑥 = (6𝐴 + 𝐵)𝑥 → 6𝐴 + 𝐵 = −2 → 𝐵 = −20 
Termino independiente 5 = 9𝐴 + 3𝐵 + 3𝐶 → 𝐶 =
38
3
 
Reemplazamos en la Integral 
 
3 ∫
1
𝑥 + 3
. 𝑑𝑥 − 20 ∫
1
(𝑥 + 3)2
. 𝑑𝑥 +
38
3
∫
1
(𝑥 + 2)3
. 𝑑𝑥 = 𝟑 𝐥𝐧|𝒙 + 𝟑| + 𝟐𝟎
𝟏
𝒙 + 𝟑
−
𝟏𝟗
𝟑
.
𝟏
(𝒙 + 𝟑)𝟐
+ 𝒄 
 
 
OTRO CASO MUY INTERESANTE 
 
∫
𝟓𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟏
𝒙𝟑 − 𝟐𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟐
. 𝒅𝒙 
5𝑥2 + 3𝑥 − 1
𝑥3 − 2𝑥2 + 𝑥 − 2
=
5𝑥2 + 3𝑥 − 1
(𝑥 − 2)(𝑥2 + 1)
=
𝐴
𝑥 − 2
+
𝐵𝑥 + 𝐶
𝑥2 + 1
 
En este caso debemos utilizar este numerador en el segundo termino puesto que factor es cuadrático 
5𝑥2 + 3𝑥 − 1
(𝑥 − 2)(𝑥2 + 1)
=
𝐴(𝑥2 + 1) + (𝐵𝑥 + 𝐶)(𝑥 − 2)
(𝑥 − 2)(𝑥2+ 1)
 
5𝑥2 + 3𝑥 − 1 = 𝐴𝑥2 + 𝐴 + 𝐵𝑥2 − 2𝐵𝑥 + 𝐶𝑥 − 2𝐶 
Vamos a resolver nuestro problema utilizando una IGUALACION DE EXPRESIONES. 
Termino cuadrático 5𝑥2 = (𝐴 + 𝐵)𝑥2 → 𝐴 + 𝐵 = 5 → 𝐵 = 5 − 𝐴 (1) 
Termino lineal 3𝑥 = (−2𝐵 + 𝐶)𝑥 → −2𝐵 + 𝐶 = 3 (2) 
Termino independiente −1 = 𝐴 − 2𝐶 → 𝐶 =
𝐴
2
+
1
2
 (3) 
Reemplazamos (1) y (3) en (2) 
−2(5 − 𝐴) +
𝐴
2
+
2
2
= 3 → 𝐴 = 5 
Reemplazamos en (1) para conocer B 
𝐵 = 5 − 5 → 𝐵 = 0 
Reemplazamos en (3) para conocer C 
𝐶 =
5
2
+
1
2
 → 𝐶 = 3 
Reemplazamos en la Integral 
 
5 ∫
1
𝑥 − 2
. 𝑑𝑥 + 3 ∫
1
𝑥2 + 1
. 𝑑𝑥 = 𝟓 𝒍𝒏|𝒙 − 𝟐| + 𝟑𝑨𝒓𝒄𝒐𝒕𝒈 𝒙 + 𝒄