SolarAzcarateYDeulofeu

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Este trabajo se ha desarrollado en el marco del grupo de investigación PREMAT, (Resolució 
de Problemes i Educació Matemàtica, Nº 1750) perteneciente a la red REMIC (Xarxa de 
Recerca en Educació Matemàtica i Científica, núm. 2006XIRE0004) Generalitat de 
Catalunya. 
UNA APROXIMACIÓN A LAS COMPETENCIAS MATEMÁTICAS EN 
INTERPRETACIÓN DE GRÁFICAS FUNCIONALES. UN ESTUDIO DE CASO 
 
Horacio Solar, HoracioCristian.Solar@campus.uab.cat 
Carmen Azcárate, carmen.azcarate@uab.es 
Jordi Deulofeu, jordi.deulofeu@uab.es 
Universidad Autónoma de Barcelona 
 
Resumen 
 
La aproximación a las “competencias” matemáticas suele ser un camino diverso, amplio y 
complejo. En nuestra investigación (de tesis doctoral) se indagan las competencias desde un 
punto de vista de “procesos” matemáticos (Niss 2002, OCDE 2003, NCTM 2004). Se estudia 
el caso de Valentina, profesora chilena, en la aplicación a un curso de 2º de ESO, de una 
unidad didáctica de interpretación de gráficas. La discusión se centra en dos puntos: 
(1) Identificar la noción de competencia como un proceso. 
(2) Proponer una caracterización de las prácticas del profesor que potencien las 
competencias en los estudiantes. 
 
Abstract 
 
The approach to mathematics competences can be a wide, diverse and complex way. This 
research (PhD thesis) focus on the competences from a mathematical processes point of view 
(Niss 2002, OCDE 2003, NCTM 2004). We study the case of a chilean teacher, Valentina, 
who applies a teaching unit about graphics interpretation in a 2nd ESO course. 
We develop the subject in two questions: 
(1) Identify the competence notion as a process. 
(2) To propose a characterization of the teacher’s practices that develop the students 
competences. 
 
Palabras clave: competencia, competencias matemáticas, procesos matemáticos, currículum 
de matemáticas, 
Key words: competence, mathematical competence, mathematical processes, mathematical 
models. 
 
 
 
Una aproximación a las competencias matemáticas en interpretación de gráficas funcionales. 
Un estudio de caso 
 
2
Introducción 
En el marco del grupo de didáctica del análisis matemático, presentamos los avances de 
nuestro proyecto de tesis doctoral cuyo marco problemático son las competencias 
matemáticas que se desarrollan en los estudiantes. 
Actualmente la noción de competencias se ha expandido exponencialmente en el campo 
educativo; más aún, gran parte de los currículos europeos se han redactado en términos de 
competencias. También es el caso de España en cuyo marco curricular aparece una 
descripción extensa del significado de competencia matemática. 
En nuestra investigación no se plantea una perspectiva generalista hacia la competencia 
matemática, es decir desde una noción amplia de competencia hacia la competencia 
matemática. Por el contrario, partimos de la base de caracterizar el significado de competencia 
desde la propia actividad matemática. Esta idea se ha llevado a la práctica comenzando en una 
primera instancia el estudio de una noción matemática, que se abocó al estudió en 
profundidad de la interpretación de gráficas funcionales en un 2º de ESO, curso elegido 
porque es donde el currículo da pie a la enseñanza de las funciones. 
Ha sido difícil localizar investigaciones sobre competencias matemáticas que comiencen con 
el estudio de un contenido; más aun, no hemos encontrado evidencia de investigaciones que 
relacionen las tareas de interpretación de gráficas funcionales, con un programa en términos 
de competencias. 
En consecuencia, una de las contribuciones que esperamos logar en la investigación es 
caracterizar la competencia matemática a partir de tareas de interpretación de gráficas 
funcionales. 
 
Competencia matemática 
Definir la competencia matemática es complejo ya que no tiene un único significado; por 
ejemplo en los programas curriculares de universidades y centros escolares que han adoptado 
este término, en varias ocasiones el término competencia se refiere a los objetivos de 
enseñanza, un cambio de terminología que no necesariamente significa un cambio de 
perspectiva. 
Por otra parte, hay numerosos estudios y proyectos educativos que sí caracterizan la 
competencia matemática de una manera propia. Una de los proyectos más completos en este 
sentido es el estudio PISA, en cuyo marco teórico se describe la competencia matemática. 
Solar, H.; Azcárate, P.; Deulofeu, J. 
 3
El marco PISA es una propuesta innovadora que trata de una manera extensa la competencia y 
que va evolucionando en cada informe, lo que ha sobrellevado a que los términos en que se ha 
caracterizado la competencia de un informe a otro se modifiquen; cambio que se ha 
concretado de manera muy sutil y ha traído confusiones a los educadores en la materia. Esta 
complejidad la hemos organizado en dos bloques de interpretaciones de PISA. 
 
Primera interpretación de PISA 
El significado que propone PISA sobre las competencias es variado, y confuso. Rico (2007) 
ha encontrado cuatro significados distintos para competencia en el documento PISA: 
Alfabetización matemática, Procesos, Grupos de procesos, Niveles de complejidad. 
 
Alfabetización matemática: se considera la competencia como dominio de estudio, 
equivalente a la noción de alfabetización matemática, y supone un modo global de entender y 
hacer matemática, como a su vez comprender la naturaleza del conocimiento matemático. 
Desarrollar la competencia matemática se convierte en la finalidad principal de la enseñanza y 
aprendizaje de las matemáticas.(OCDE, 2003) 
 
Procesos: en el informe final (OCDE, 2005) se pasa a denominar procesos a las 
competencias. Este segundo significado pasa a conformar las ocho competencias adoptadas de 
NISS (2002), considerándolas como procesos matemáticos. En el último informe (OCDE, 
2006) las ocho competencias se han descrito de la siguiente manera: 
• Pensar y razonar. Plantear y reconocer preguntas; distinguir entre diferentes tipos de 
proposiciones matemáticas; entender y manipular el rango y los límites de ciertos conceptos 
matemáticos. 
• Argumentar. Saber qué es una prueba matemática y cómo se diferencia de otros tipos de 
razonamientos; poder seguir y evaluar cadenas de argumentos matemáticos de diferentes 
tipos; desarrollar procedimientos intuitivos y construir y expresar argumentos matemáticos. 
• Comunicar. Entender y hacerse entender en forma oral o escrita. 
• Construcción de modelos. Estudiar los procesos de modelización (identificar, reflexionar, 
analizar y plantear críticas a un modelo y sus procesos) 
• Plantear y resolver problemas. Plantear, formular, definir y resolver diferentes tipos de 
problemas matemáticos utilizando una variedad de métodos. 
Una aproximación a las competencias matemáticas en interpretación de gráficas funcionales. 
Un estudio de caso 
 
4
• Representar. Traducir, interpretar y distinguir entre diferentes tipos de representaciones de 
objetos y situaciones matemáticas, y las interrelaciones entre ellas; escoger entre diferentes 
formas de representación, de acuerdo con la situación y el propósito particulares. 
• Utilizar lenguaje y operaciones simbólicas, formales y técnicas. Decodificar, interpretar y 
manipular el lenguaje formal y simbólico, entender su relación con el lenguaje natural, utilizar 
variables, resolver ecuaciones y realizar cálculos. 
 Empleo de material y herramientas de apoyo. Conocer, y ser capaz de utilizar diversas 
ayudas y herramientas (incluyendo las tecnologías de la información y las comunicaciones 
TICs) que facilitan la actividad matemática, y comprender las limitaciones de estas ayudas y 
herramientas. 
 
Grupos de procesos: en el ejercicio de detallar las competencias PISA sugiere otra 
organización que resulte más operativa para clasificar los ítem de preguntas (OCDE, 2003): 
La intención del proyecto OCDE/PISA no consiste en desarrollar preguntas de prueba que evalúen las 
competencias
arriba mencionadas por separado. Dichas competencias se entremezclan y a menudo es 
necesario, al ejercitar las matemáticas, recurrir al mismo tiempo a muchas competencias, de manera que 
el intentar evaluar las competencias por separado resultaría por lo general una tarea artificial y una 
compartimentación innecesaria del área. Las diferentes competencias que presenten los alumnos variarán 
considerablemente de una persona a otra. 
Para describir y transmitir de manera productiva las capacidades de los estudiantes, así como sus puntos 
fuertes y sus puntos débiles desde una perspectiva internacional, es necesaria cierta estructura. Un modo 
de ofrecerla de una manera comprensible y manejable es describir grupos de competencias a partir de los 
tipos de requisitos cognitivos necesarios para resolver diferentes problemas matemáticos. 
El proyecto OCDE/PISA ha elegido describir las acciones cognitivas que estas competencias engloban de 
acuerdo a tres grupos de competencia: el grupo de reproducción, el grupo de conexión y el grupo de 
reflexión. En las secciones siguientes se definen los tres grupos y se tratan las maneras en que se 
interpretan cada una de las competencias dentro de cada grupo. 
Se distingue estos grupos por las demandas cognitivas implicadas en las tareas que los 
ejemplifican (Rico, 2007). En la tabla 1 se definen los tres grupos de procesos y se tratan las 
maneras en que se interpretan cada una de las competencias dentro de cada grupo. 
Tabla 1.Grupos de procesos 
Reproducción Conexión Reflexión 
Las competencias de este grupo implican 
esencialmente la reproducción del 
conocimiento estudiado. Incluyen 
aquellos que se emplean más 
frecuentemente en las pruebas 
Las competencias del 
grupo de conexión se 
apoyan sobre las del 
grupo de reproducción, 
conduciendo a 
Las competencias de este grupo 
incluyen un elemento de reflexión 
por parte del estudiante sobre los 
procesos necesarios o empleados 
para resolver un problema. 
Solar, H.; Azcárate, P.; Deulofeu, J. 
 5
estandarizadas y en los libros de texto: 
conocimiento de hechos, 
representaciones de problemas comunes, 
reconocimiento de equivalentes, 
recopilación de propiedades y objetos 
matemáticos familiares, ejecución de 
procedimientos rutinarios, aplicación de 
destrezas técnicas y de algoritmos 
habituales, el manejo de expresiones con 
símbolos y fórmulas establecidas y 
realización de cálculos. 
situaciones de solución 
de problemas que ya no 
son de mera rutina, pero 
que aún incluyen 
escenarios familiares o 
casi familiares. 
Relacionan las capacidades de los 
alumnos para planificar estrategias 
de resolución y aplicarlas en 
escenarios de problema que 
contienen más elementos y pueden 
ser más «originales» (o inusuales) 
que los del grupo de conexión. 
 
Niveles de complejidad: un cuarto significado corresponde a la clasificación teórica de las 
tareas por el nivel de complejidad requerido para los procesos implicados. La clasificación de 
los procesos descrita en la tabla 1 es genérica y algo imprecisa por su amplitud. En cambio las 
respuestas de los sujetos a tareas con distintos niveles de complejidad permiten establecer 
niveles de competencia entre los estudiantes. En los resultados empíricos de la prueba PISA 
se confirma la hipótesis de que los estudiantes que resuelven problemas de mayor 
complejidad también responden a los problemas de complejidad inferior, por tanto a partir de 
los resultados de los estudiantes se observa una mayor riqueza de niveles que el planteamiento 
teórico en tres categorías de complejidad. En consecuencia para determinar el nivel de 
competencia matemática alcanzada por un estudiante se ha tomado referencia de los 
resultados de los mejores alumnos, los que han mostrado en su actividad distintos niveles de 
dominio en la realización de las tareas. La clasificación de las tareas se ha organizado en seis 
niveles de competencia, que admiten una descripción general y también una descripción 
detallada para cada uno de los campos de contenido. Cada nivel se describe en relación al tipo 
de competencia matemática que el alumno es capaz de realizar y el grado de complejidad con 
que las aborda. 
 
Segunda interpretación de PISA: 
Puig (2008) sugiere una lectura distinta a la diversidad de significados que tiene el término 
competencia en PISA, afirma que hay una confusión en las diversas traducciones del 
documento original inglés a otros idiomas. Puig argumenta que hay un abuso del término 
competencia en la versión en castellano del documento PISA, ya que en la versión original 
inglesa se usan diferentes términos. Si bien se homologa en la versión castellana el término 
Alfabetización matemática por Competencia, en la versión inglesa se mantiene el término 
mathematical literacy, más aun en la versión francesa se traduce por el término culture 
Una aproximación a las competencias matemáticas en interpretación de gráficas funcionales. 
Un estudio de caso 
 
6
mathematique, recogiendo mejor en esta versión que en la castellana el significado que se 
atribuye a mathematical literacy. 
(Puig, 2008, pag 94) afirma que en la versión inglesa el término competencia se atribuye tanto 
a los procesos matemáticos que se ponen en práctica al resolver problemas matemáticos, los 
ochos procesos acuñados por Niss (2002), como a los grupos de competencia: reproducción, 
conexión y reflexión. 
El cuarto significado propuesto por Rico (2007) “los seis niveles de competencia”. En la 
versión inglesa el término que se usa para describir ese nivel es “proficiency”, muy distinto a 
competencia. Para Puig esta confusión en los términos se debe a que el diccionario español 
admite como traducción “competencia” de “proficiency”. En cambio la versión inglesa de 
PISA ha tomado cuidado de distinguir conceptualmente entre competence y proficiency. Puig 
(2008, pag 96) interpreta como “pericia” a proficiency, y plantea que originalmente en el 
texto en ingles se describe como: “la agrupación de las actuaciones (perfomance) en niveles 
de pericia (proficiency) se hace sobre la base de las competencias (competentes) 
subyacentes.” 
La opción de identificar la noción original de alfabetización matemática como competencia 
matemática no creemos que sea algo casual. La definición responde en gran medida a lo que 
se entiende en términos generales por competencia (OCDE, 2003): 
La competencia matemática es la capacidad para identificar y comprender el papel que 
desempeñan las matemáticas en el mundo actual, emitir juicios bien fundamentados, utilizar las 
matemáticas y comprometerse con ellas de manera que puedan satisfacer las necesidades de la 
vida del individuo como ciudadano constructivo, comprometido y reflexivo 
Si bien estamos de acuerdo con que esta definición rescata el espíritu de competencia, no 
obstante no da indicios de cual es la dirección para desarrollar la competencia, y por tanto 
acordamos con dejar esta definición para una noción mayor como alfabetización matemática. 
En definitiva el significado que se atribuye en la versión inglesa de PISA a las competencias, 
segunda interpretación, es la que nosotros coincidimos. Estas ocho competencias, y su 
agrupación en tres niveles, se pueden interpretar como procesos matemáticos. Y en lo que 
sigue del documento se hará referencia indistintamente a procesos y competencia para 
referirse a lo mismo. 
Nos parece más acertado identificar la noción de proceso como competencia porque 
representa el eslabón que anteriormente sugerimos que faltaba hacia la alfabetización 
matemática. Es el dominio de los procesos los que permiten que la persona se desarrolle 
Solar, H.; Azcárate, P.; Deulofeu, J. 
 7
competentemente. Algunos de estos procesos, que se asemejan a las competencias propuestas 
por Niss, son: 
• La capacidad para resolver problemas (aplicar conocimientos matemáticos, utilizar 
diversas destrezas y estrategias,
o crear procedimientos no conocidos de antemano) 
• La capacidad para representar (evocar representaciones, traducir entre ellas, elegir entre 
varias según la situación) 
• La capacidad para modelizar (identificar un modelo, construir, reflexionar sobre el 
proceso) 
• La capacidad para razonar y argumentar (formular conjeturas matemáticas, desarrollar y 
evaluar argumentos, elegir y utilizar varios tipos de razonamiento y demostración 
• La capacidad para comunicar (organizar el pensamientos comunicando, comunicar el 
pensamiento con coherencia, evaluar el pensamiento de los demás, usar el lenguaje 
matemático para expresar ideas matemáticas con precisión) 
Algunas descripciones de los cuatro procesos mencionados son extraídas de la propuesta 
curricular de la NCTM (2003) Principios y Estándares para la Educación Matemática. Los 
principios y estándares propuestas se estructura en: 
Principios: Describen las características particulares de una educación matemática de gran 
calidad (Igualdad, Currículo, Enseñanza, Aprendizaje, Evaluación, Tecnología) 
Estándares de contenido: Describen explícitamente los contenidos que deberían aprender 
(Números, Álgebra; Geometría; Medida, Análisis de datos y probabilidad) 
Estándares de proceso: Ponen en relieve las formas de adquisición y uso de dichos 
contenidos: (Resolución de problemas; Razonamiento y prueba; Comunicación; Conexiones y 
Representación) 
La propuesta de la NCTM de describir un currículo en términos de proceso, representa algo 
único y nuevo, no hay indicios de propuestas curriculares de esta magnitud que describan el 
aula en términos de procesos. Para cada una de las cuatro etapas educativas (Pre-K-2; 3-5;6-8; 
9-12) se describe como debería darse y cual es el papel del profesor en el desarrollo del 
proceso. No obstante los apartados de descripción de estándares de contenido y procesos son 
diferentes, y no hay un apartado que los relacione. Para nosotros esta separación representa 
una carencia puesto que una planificación de una unidad didáctica que considere incorporar 
los procesos, lo más probable es que tienda a incorporarlos a partir de los contenidos. 
Una aproximación a las competencias matemáticas en interpretación de gráficas funcionales. 
Un estudio de caso 
 
8
En nuestra investigación, los procesos matemáticos se caracterizan a partir de la aplicación de 
una unidad didáctica sobre interpretación de gráficos funcionales, estrategia que se justifica 
por nuestro posicionamiento de desarrollar las competencias a partir de un contenido. Este 
enfoque, como se mencionó en la introducción, es una de las contribuciones que esperamos 
desarrollar en la investigación. 
 
Discusión recogida de datos 
Un segundo tema a tratar es el enfoque que hemos desarrollado para conducir los datos. La 
recogida de datos se realizó en Santiago de Chile, en un marco en que el investigador 
participó en la formación de profesores permanente que realiza el grupo Felix Klein1. Se 
trabajó con un conjunto de cuatro profesoras, las que aplicaron una unidad didáctica titulada 
“análisis de gráficos” en el curso de 8º básico (2º de E.S.O). La labor del investigador fue 
hacer un seguimiento de sus clases por medio de grabaciones en video; se registraron 
elementos como: el desarrollo de los estudiantes, la interacción con el profesor, y el rol del 
profesor. Posteriormente se analizaron partes ya seleccionadas de estas grabaciones en un 
seminario con estos mismos profesores que aplicaron la Unidad2. 
Consideramos que la Unidad didáctica (UD) elaborada por el grupo Felix Klein de la cual se 
hace el seguimiento, ha sido una buena UD para indagar las competencias de los estudiantes. 
En efecto, analizamos la UD con un instrumento (Mesa, Solar, Azcárate, 2007) construido a 
partir de una triangulación de las competencias de Niss (2002), los niveles de complejidad de 
PISA (OCDE, 2003) y la interpretación de Lupiáñez (2005, extraído de Rico, 2007) que 
caracteriza tanto el nivel de complejidad de las tareas matemáticas como las competencias que 
potencia3. A partir de su aplicación se adaptó la UD, remplazando algunas actividades por 
actividades elaboradas por nosotros que respondían de mejor manera a desarrollar 
competencias en los estudiantes. 
En la tesis doctoral nuestro problema de investigación se centra en indagar las competencias 
matemáticas que surgen al estudiar la interpretación de gráficas. El objetivo principal, antes 
de iniciar la recogida de datos, era indagar las competencias que se potencian en la aplicación 
 
1 El grupo Félix Klein, Centro de Investigación y Experimentación en Didáctica de las Matemáticas y las 
Ciencias. Está adscrito a la Universidad de Santiago de Chile (USACH). La misión de este equipo es contribuir 
al progreso, tanto científico como profesional, del área de Educación Matemática en todos sus niveles. 
2 Esta implementación responde a otros objetivos que no se detallan en este artículo. Pero que hemos preferido 
describir para contextualizar la investigación. 
3 Este aspecto es analizado más adelante en la discusión teórica. 
Solar, H.; Azcárate, P.; Deulofeu, J. 
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de una unidad didáctica de interpretación de gráficas. Para tal efecto había que determinar 
tanto el papel del estudiante como del profesor. Por tanto nuestro objetivo general se 
segmentó en dos grandes objetivos. 
- Caracterizar las competencias que surgen en los estudiantes al realizar tareas de 
interpretación de gráficos funcionales. 
- Caracterizar las acciones del profesor que potencian las competencias en el estudiante. 
En el proceso de recogida de datos, se hizo seguimiento a las cuatro profesoras, la idea inicial 
era observar un mínimo de tres o cuatro clases de cada profesora, y en el seminario con estas 
profesoras de periodo quincenal, ir conversando que acciones del profesor son las que se 
relacionan (potencian, disminuyen) con el desarrollo de las competencias en los estudiantes. 
En este proceso hubo algunas modificaciones que repercutieron en los objetivos de la 
investigación: 
• No se pudo hacer todas las observaciones mínimas posibles a dos profesoras por presentar 
irregularidades en la aplicación de la UD. 
• La experiencia con otra profesora resultó que si bien se grabaron las tres clases acordadas 
inicialmente, mostró varias inasistencias al seminario y no siguió el ritmo del seminario, 
lo cual repercutió que en sus clases no se aplicaban las orientaciones para las actividades 
que se discutieron en dicha instancia. 
• La profesora “Valentina” que aplicó la unidad mostró las condiciones que se esperaba con 
lo cual el investigador decidió observar más clases de las previstas con esta profesora, 
para así tener un proceso más completo. Además fue la profesora que más participó en 
asistencia y discusión en los seminarios. 
Por estas razones se decidió posteriormente centrarse en Valentina, profesora que más se 
observó, con el propósito de caracterizar sus acciones en el aula, y a su vez analizar su 
discurso en el seminario. En consecuencia la recogida de datos se condujo a un estudio de 
caso. 
La dinámica de clase de Valentina es una combinación entre una gestión tanto expositiva 
como de pregunta y respuesta a los estudiantes. Había espacios para el trabajo de a pares, y 
prácticamente no existió el trabajo individual. Las respuestas escritas fueron escasas y por lo 
general la misma información se daba oralmente en la clase. Así advertimos que los datos que 
se recogieron mostraron una mayor riqueza para fijarse en las acciones de Valentina que en el 
alumno, por lo tanto establecimos profundizar en el segundo objetivo enfocado en las 
Una aproximación a las competencias matemáticas en interpretación de gráficas funcionales. 
Un estudio de caso 
 
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acciones del profesor. En detrimento, el primer objetivo de caracterizar las competencias que 
surgen en los estudiantes
se decidió no desarrollarlo por no tener datos suficientes, y para dar 
pie a una mayor exhaustividad en caracterizar las acciones de la profesora que tengan relación 
con las competencias. 
Es importante advertir que las acciones del profesor en el aula de matemáticas son 
generalmente investigadas dentro de un marco de desarrollo continuo del profesor. Nuestro 
enfoque en cambio son las competencias del estudiante, pero nos centramos en uno de los 
agentes que las potencian: el profesor. 
 
¿Qué competencias considerar? 
Nos enfrentamos a una nueva decisión respecto a qué orientación de las competencias 
considerar. Para caracterizar las competencias que se desarrollan en la interpretación de 
gráficas funcionales, se consideraron tanto las competencias propuestas en PISA como los 
estándares de proceso propuestos por la NCTM, y nos planteamos cuales son las 
competencias (o procesos) que nos parecieron más relevantes de desarrollar en tareas de 
interpretación de gráficas, obteniendo como resultado que se dan tres competencias 
fundamentalmente: Argumentación, Representación y Modelización. Las razones para 
plantear cada una de éstas son: 
Representación: Es un proceso que se identifica tanto en PISA como en los Estándares, de 
igual modo la capacidad de identificar, comprender y elaborar representaciones es parte 
constituyente de las tareas de interpretación de gráficas. 
Argumentación: PISA propone la “Argumentación” como una competencia que hace mención 
a los aspectos en relación con un proceso de prueba. Los Estándares en cambio contemplan 
este proceso en un estándar más amplio, que involucra también al razonamiento matemático. 
Con ello se pone de manifiesto que en los Estándares el razonamiento y la demostración se 
desarrollan de manera conjunta, para probar hay que razonar, y recíprocamente se potencia el 
razonamiento en tareas de prueba. El razonamiento en PISA en cambio se contempla en otra 
competencia más amplia que se identifica como “pensar razonar”, la cual considera: 
plantearse preguntas matemáticas, reconocer propiedades matemáticas y comprender 
conceptos. En la propuesta de PISA se deduce que el razonamiento se observa en la actividad 
matemática transversalmente y no sólo en un proceso de prueba. 
Solar, H.; Azcárate, P.; Deulofeu, J. 
 11
En nuestra investigación tenemos una visión semejante a PISA sobre el razonamiento 
matemático, ya que plantea que se manifiesta más allá de un proceso de prueba. Por tanto la 
argumentación es una competencia que se constituye por si misma, cuyo significado se asocia 
semejantemente al que se presenta tanto en las competencias PISA, como en los Estándares. 
Por tanto argumentar hace referencia a los procesos de evidencia y prueba en la actividad 
matemática. Por otro lado, no se potencia la demostración, sino más bien la interpretación en 
las tareas de gráficas y tablas funcionales. De esta manera el proceso de argumentación se 
manifiesta en la interpretación de gráficas y tablas. 
Modelización: Esta competencia no surge solamente de la una de las ocho competencias 
“construcción de modelos”, más bien se adapta del primer proceso propuesto por PISA 
“Matematización”, dado que la descripción de matematización que se propone es completa y 
robusta, y en definitiva describe lo que es desde nuestra perspectiva un proceso de 
modelización en la actividad matemática (identificar el modelo, construir, reflexionar, 
analizar y plantear críticas a un modelo). Del mismo modo que el proceso de razonar, un 
proceso de modelización es inherente a la actividad matemática. Más aun, no es sólo esta 
característica lo que hace que consideremos modelar como una competencia por si misma. 
Otro punto favorable proviene del marco de competencias que enaltece la perspectiva 
funcional de las matemáticas, las tareas matemáticas tienen como propósito desarrollar 
capacidades para identificar, estudiar y resolver situaciones cotidianas, y el proceso que más 
se ajusta a esta intención es la modelización, en términos de desarrollar cuatro pasos. Una 
situación o comportamiento a observar se simplifica para corresponderlo a un modelo 
matemático, el cual se resuelve para luego interpretarlo en el contexto de la situación. El 
sistema es entendido como dinámico y cíclico, pues en él se producen continuas 
transformaciones que pretenden mejorar la interpretación y predicción del fenómeno, hasta 
obtener un resultado satisfactorio. 
Por otra parte, en el contenido en si mismo, las tareas de interpretación tienen dos 
características sustanciales respecto a considerarlas dentro de un proceso de modelización, por 
una parte las tareas implican identificar, manipular y construir gráficas; y por otra parte 
surgen diversas estrategias para interpretar. 
Otro punto que nos queda por discutir es el rol de la resolución de problemas en la 
modelización. Al definir la competencia modelización con los procesos y estrategias que la 
comporta, con ello también se pretende considerar las estrategias que son parte de un contexto 
Una aproximación a las competencias matemáticas en interpretación de gráficas funcionales. 
Un estudio de caso 
 
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de resolución de problemas. En efecto la interpretación de gráficas no se perfila como un 
contenido en que se trabaje la resolución de problemas como comúnmente se entiende, lo más 
cercano a resolución de problemas son las estrategias para interpretar que van surgiendo a 
partir de la situación y la tarea matemática. Por lo tanto estas estrategias dependen en gran 
medida de modelo que se identifique. Y por tal razón la resolución de problemas la 
trabajamos como una de las partes del proceso para modelar. 
 
Discusión análisis: indicadores 
Hemos caracterizado las acciones de Valentina que se relacionan con las competencias de 
Representación, Argumentación y Modelización. Si bien los indicadores que caracterizan a 
cada competencia en el aula se han desarrollado a partir de una muestra cerrada de cinco 
clases, por comparación recurrente, aun falta someterla a su validación por un agente externo. 
Finalizamos la discusión de este trabajo, presentando los indicadores que se han levantado 
para el proceso de modelización en el aula. 
 
Indicadores Modelización 
Un primer grupo corresponde a las acciones que inducen a una construcción del proceso por 
parte de los estudiantes, con el propósito por una parte de experimentar el proceso y por otra 
de comprender el modelo. En este grupo aparecen una serie de indicadores que describen las 
acciones del profesor. En la Tabla 2 se describen cada una de los indicadores. 
El segundo grupo de acciones corresponde a las acciones del profesor que el mismo realiza 
para modelar. De igual modo que en el primer grupo, hemos caracterizado una serie de 
indicadores que tienen relación con estas acciones. Un tercer grupo corresponde a las 
acciones del estudiante en torno a la modelización, que son las mismas a las acciones directas 
del profesor. Por tanto las ser las mismas en la Tabla 3 aparece la descripción tanto de las 
acciones del profesor como del estudiante. 
 
Tabla 2: Grupo 1 acciones que induce a modelar 
Indicador Descripción 
Induce a identificar el modelo 
Induce a identificar el modelos, sus características e 
indica las variables pero sin llegar a describirlas. 
Induce a describir características del modelo 
Induce a describir las características de un modelo, 
indicando las variables, cualidades, pero sin usar el 
modelo 
Induce a establecer variables didácticas para modelar Induce a que se establezcan condiciones para elaborar 
Solar, H.; Azcárate, P.; Deulofeu, J. 
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un modelo. 
Induce a determinar validez características del modelo 
Induce a determinar la validez de las variables, 
parámetros, o características en general del modelo 
Induce a construir el modelo 
Induce a determinar o construir el modelo que 
responde a la situación problema (sistema
de 
referencia, gráfico, tabla, etc) 
Induce a determinar validez del modelo Induce a determinar la validez de un modelo 
Induce a aplicar el modelo Induce a aplicar o usar el modelo 
Induce a interpretar el modelo 
Induce a interpretar una modelo (gráfica tabla, 
algebraica) 
Induce a describir interpretación modelo Induce a describir interpretación modelo 
Induce a analizar críticamente el modelo 
Induce a reflexionar sobre el modelo, el proceso, y su 
aplicación como solución a la situación problemática 
 
Tabla 3.Grupo 2 acciones del profesor o del estudiante para modelar 
Indicadores Descripción 
Características modelo Señala o describe las características de un modelo 
Describe el uso del modelo 
Describe como se usa el modelo, ya sea que el profesor 
lo proponga o a partir de las descripciones de los 
estudiantes. Puede ser una síntesis o un resumen. 
Variables didácticas del modelo 
Describe las condiciones que se establecen para 
modelizar 
Valida características modelo 
Hace aseveraciones para validar las descripciones de 
las características de un modelo 
Interpreta modelo 
Interpretar un modelo (gráfica, tabla, expresión verbal 
o algebraica) 
Construye el modelo 
Se elabora o identifica una modelo (sistema de 
referencia, gráfica, tabla, etc.) 
Modificar modelo Se cambia de modelo a uno más eficiente 
Aplicar el modelo Se aplica el modelo que se ha construido 
Valida el modelo Valida el modelo. 
Analizar críticamente el modelo 
Reflexiona sobre el modelo, el proceso, y su aplicación 
como solución a la situación problemática 
Reflexionar respecto a la aplicación de la matemática 
 
Reflexionar sobre la aplicación de los gráficos, tablas, 
y modelos en general en diversas situaciones es de la 
vida real 
 
El modelo puede identificarse en varias expresiones, veamos en la Tabla 4 un ejemplo como 
se relaciona un modelo con sus expresiones: 
Tabla 4. Modelo dependencia de variables 
Expresión numérica del modelo Tabla numérica 
Expresión gráfica del modelo Gráfica estadística, funcional, cualitativa, cuantitativa 
Expresión verbal del modelo Descripción verbal de una relación entre variables 
 
Estas expresiones del modelo se combinan con los indicadores anteriores. Por ejemplo se 
puede identificar, describir, construir, aplicar las expresiones de un modelo. 
Los indicadores que se han identificado, tienen semejanza con los criterios de modelización 
que han identificado Henning y Keune (2007), Su esquema clasifica la competencia 
Una aproximación a las competencias matemáticas en interpretación de gráficas funcionales. 
Un estudio de caso 
 
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modelización en tres niveles. La Tabla 1 equipara la clasificación de dicho autor, con los 
indicadores que se han identificado. (En la tabla se han resumido en un mismo indicador los 
criterios del grupo 1 y grupo 2) 
Tabla 5. Comparación indicadores modelizar y criterios de Henning y Keune( 2007) 
 Nivel 1: 
Reconocer el 
modelo 
Nivel 2: Construir el 
modelo 
Nivel 3: Meta- reflexionar 
sobre el modelo 
 
 
 
Niveles de 
Henning y 
Keune 
- Reconocer 
- Describir los 
procesos de 
modelización 
-Caracterizar, 
distinguir y localizar 
las fases del proceso 
de modelización 
- Analizar y estructurar problemas y 
abstraer cantidades. 
- Adoptar diferentes perspectivas 
- Construir modelos matemáticos 
- Trabajar sobre modelos 
- Interpretar resultados u 
declaraciones del modelos 
- Validar el modelo 
- Analizar críticamente la 
modelización 
-Caracterizar los criterios de 
evaluación del modelo 
- Reflexionar sobre las causas de 
la modelización 
- Reflexionar respecto a la 
aplicación de las matemáticas 
 
 
 
Indicadores 
observados 
en 
Valentina 
Identificar 
características 
modelo 
Describir 
características 
 Validar 
características 
modelo 
Describir estrategias para 
caracterizar 
Establecer variables didácticas 
Identificar (construir) modelos 
Aplicar el modelo 
Interpretar el modelo 
Describir interpretación del modelo 
Validar el modelo 
Analizar críticamente el modelo 
Reflexionar respecto a la 
aplicación de la matemática 
 
 
 
La propuesta de Henning y Keune (2007) permite organizar los indicadores en un sistema de 
niveles de competencia. 
El modelo de matematización propuesto por PISA (OCDE, 2006) converge con los 
indicadores descritos. Concretamente la fase final de evaluación se asemeja con los 
indicadores que se identifican con la reflexión del modelo. 
En consecuencia existe una correspondencia entre los indicadores de modelización levantados 
del estudio de caso, con criterios de modelización propuestos en otros marcos teóricos. 
 
Proyecciones de la investigación 
En el momento de entregar esta comunicación, se están validando por comparación recurrente 
los indicadores de modelización, argumentación y representación. Además hemos descrito 
dos de las cinco clases en término de las tres competencias, con el propósito de evidenciar que 
una práctica de aula se puede focalizar desde procesos matemáticos. 
Actualmente se utilizan los indicadores de cada competencia para caracterizar la secuencia de 
la clase, obteniendo de momento dos tipos resultado, ciclos en cada uno de las competencias, 
y modelos de interacción entre Valentina y los estudiantes. 
Solar, H.; Azcárate, P.; Deulofeu, J. 
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