Apuntes de Física 3 (2009) - J Gratton

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Apunte de F́ısica II
Julio Gratton
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19 de agosto de 2009
0.0
2
Prefacio
Esto es el prefacio
i
0.0
ii
Índice general
Prefacio I
1. Introducción 1
1.1. Las interacciones fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Fenómenos eléctricos, magnéticos y ópticos . . . . . . . . . . . 6
2. Electrostática 9
2.1. Carga eléctrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.1. La botella de Leiden y el pararrayos . . . . . . . . . . . 10
2.1.2. Triboelectricidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.3. Generadores electrostáticos . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.4. Cuantificación de la carga eléctrica . . . . . . . . . . . 13
2.1.5. Conservación de la carga . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.6. Cargas puntiformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2. La Ley de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.1. Comentarios sobre la Ley de Coulomb . . . . . . . . . 16
2.2.2. Unidades de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3. El campo eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4. Potencial eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4.1. Dimensiones y unidades del potencial y el campo eléctrico 24
2.5. La Ley de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.6. Distribuciones continuas de carga . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.6.1. Cargas de volumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.6.2. Las ecuaciones de Laplace y de Poisson . . . . . . . . . 27
2.6.3. Cargas de superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.6.4. Condiciones de contorno en un conductor . . . . . . . . 29
2.7. Cálculo de campos electrostáticos . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.7.1. Ĺıneas de fuerza y equipotenciales . . . . . . . . . . . . 31
2.7.2. El dipolo eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.7.3. Cargas inducidas sobre un conductor . . . . . . . . . . 34
2.8. Enerǵıa del campo electrostático . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
iii
0.0
2.8.1. Cargas puntiformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.8.2. Cargas de volumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.8.3. Cargas de volumen y de superficie . . . . . . . . . . . . 36
2.8.4. Enerǵıa del campo eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.9. Dieléctricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.9.1. Tratamiento fenomenológico . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.9.2. El desplazamiento eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.9.3. Interpretación microscópica . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.9.4. Densidad de enerǵıa en un dieléctrico . . . . . . . . . . 47
2.9.5. Ruptura de un dieléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.10. Capacitores y capacidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.10.1. Capacidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.10.2. Dimensiones y unidades de capacidad . . . . . . . . . . 48
2.10.3. Capacitores en el vaćıo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.10.4. Capacitores con dieléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.10.5. Capacitores en paralelo y en serie . . . . . . . . . . . . 48
2.10.6. Enerǵıa de un capacitor cargado . . . . . . . . . . . . . 48
3. Corriente eléctrica 49
3.1. Intro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2. Corriente eléctrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.3. La ecuación de continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.4. Corrientes estacionarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.4.1. Unidades de corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.5. Ley de Ohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.5.1. Ideas sobre la conducción en metales . . . . . . . . . . 53
3.5.2. Unidades de resistencia y resistividad . . . . . . . . . . 54
3.6. Fuerza electromotriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.7. Enerǵıa y potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.7.1. Unidades de potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.7.2. Potencia de salida y de entrada de una fuente . . . . . 56
3.7.3. Potencia disipada en una resistencia . . . . . . . . . . . 57
3.8. Efectos fisiológicos de la corriente . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4. Magnetostática 59
4.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.1.1. Magnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.2. Fuerza de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.2.1. Unidades de B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.3. Flujo magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.4. Movimiento en un campo uniforme . . . . . . . . . . . . . . . 63
iv
0
4.4.1. Derivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.5. Fuerza sobre un conductor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.5.1. Fuerza y momento sobre una espira conductora . . . . 65
4.5.2. Espira en campo magnético no uniforme . . . . . . . . 66
4.5.3. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.6. Efecto Hall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.6.1. Aplicaciones del efecto Hall . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.7. Fuentes de campo magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.7.1. Campo de una carga en movimiento . . . . . . . . . . . 68
4.7.2. Campo magnético de un elemento de corriente . . . . . 68
4.8. Ley de Biot-Savart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.8.1. Conductor rectiĺıneo infinito . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.9. Fuerza entre conductores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.9.1. Campo magnético de una espira circular . . . . . . . . 72
4.10. Fuerza entre conductores paralelos . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.11. Definición del ampere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.12. Ley de Ampère en magnetoestática . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.13. El potencial vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.14. Corriente de desplazamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.15. Materiales magnéticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.16. Inducción electromagnética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.17. Ley de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.18. Inductancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.18.1. Autoinducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.18.2. Unidades de inductancia . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.18.3. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.19. Enerǵıa del campo magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.19.1. Enerǵıa magnética de un inductor . . . . . . . . . . . . 88
4.19.2. Enerǵıa magnética de un sistema de corrientes . . . . . 89
4.19.3. La enerǵıa magnética en términos de B y H . . . . . . 91
5. Teoŕıa de Circuitos 93
5.1. Componentes de los circuitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.1.1. Capacitores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.1.2. Resistores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.1.3. Inductores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.1.4. Fuentes de fem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.2. Diagramas de circuitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.3. Reglas de Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.3.1. Nodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.3.2. Mallas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
v
0.0
5.4. Instrumentos de medición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.5. Circuito RC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.5.1. Carga de un capacitor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.5.2. Descarga de un capacitor . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.6. Circuito RL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 101
5.6.1. Corriente creciente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.6.2. Corriente decreciente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.6.3. Circuito abierto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.7. Circuito LC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.8. La analoǵıa mecánica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.9. Circuito RLC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.9.1. Amortiguamiento débil . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.9.2. Amortiguamiento fuerte . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.9.3. Amortiguamiento cŕıtico . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.9.4. Comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.10. Corriente alterna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.11. Circuito RLC excitado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.12. Fasores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.12.1. Impedancias en serie y paralelo . . . . . . . . . . . . . 114
5.13. Potencia en circuitos de CA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.14. Transitorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.15. Transformadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.15.1. Transformador ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.15.2. Transformadores reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.16. Sistemas de distribución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.17. Circuitos no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
6. Las ecuaciones de Maxwell 123
6.1. Las ondas electromagnéticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
6.2. Ondas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
6.2.1. Ondas sinusoidales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
6.3. Ondas EM en medios materiales . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
6.4. Densidad de enerǵıa de una onda . . . . . . . . . . . . . . . . 131
6.5. Flujo de enerǵıa de una onda EM . . . . . . . . . . . . . . . . 132
6.6. Presión de la radiación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
6.7. Espectro de las ondas EM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
6.8. Los ĺımites del Electromagnetismo Clásico . . . . . . . . . . . 133
6.8.1. La radiación del cuerpo negro . . . . . . . . . . . . . . 133
6.8.2. El fotón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
6.8.3. La luz: ¿onda o part́ıcula? . . . . . . . . . . . . . . . . 134
6.9. Emisión de ondas EM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
vi
0
6.9.1. Coherencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
6.10. Polarización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
6.11. Efectos biológicos de la radiación EM . . . . . . . . . . . . . . 134
7. Introducción a la Óptica 135
7.1. Breves notas históricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
7.2. Naturaleza de la luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
8. Óptica Geométrica 139
8.1. Principio de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
8.2. Leyes de la Óptica Geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
8.2.1. Propagación rectiĺınea . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
8.2.2. Ley de reflexión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
8.2.3. Ley de refracción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
8.2.4. Reflexión total interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
8.3. Algunas consecuencias de las leyes de la Óptica Geométrica . . 144
8.3.1. Espejismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
8.3.2. Espejos planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
8.3.3. Prismas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
8.3.4. Arco iris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
8.3.5. Objetos sumergidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
8.4. Formación de imágenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
8.5. Espejos esféricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
8.6. Dioptras y lentes delgadas y gruesas . . . . . . . . . . . . . . . 145
8.7. Aberraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
8.8. El Telescopio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
8.9. El Microscopio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
8.10. La Cámara fotográfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
8.11. El ojo humano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
8.12. Validez de la Óptica Geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
9. Óptica f́ısica 147
9.1. El Principio de Huygens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
9.2. Coherencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
9.2.1. Coherencia temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
9.2.2. Coherencia espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
9.3. Interferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
9.3.1. Experimento de Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
9.3.2. Interferómetro de Michelson . . . . . . . . . . . . . . . 153
9.4. Difracción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
9.4.1. Difracción de Fraunhofer . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
vii
0.0
9.4.2. Difracción de Fresnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
9.5. Espectroscoṕıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
A. Unidades y dimensiones 155
A.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
A.2. Los diferentes sistemas de unidades electromagnéticas . . . . . 158
A.3. Conversiones entre el SI y el SG . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
B. Números complejos 161
viii
Caṕıtulo 1
Introducción
1.1. Las interacciones fundamentales
De acuerdo con la visión actual, que recibe el nombre de modelo stan-
dard, los constituyentes últimos de la materia son los quarks y los leptones,
llamados colectivamente fermiones. Los neutrones y los protones, que hasta
hace poco se créıan elementales, están compuestos por quarks. De las pro-
piedades e interacciones de los quarks se derivan las de los protones y los
neutrones. Las propiedades de estos últimos determinan a su vez las diferen-
tes especies de núcleos atómicos y sus caracteŕısticas, en particular el número
de protones y neutrones que contienen, su masa y su carga eléctrica. La car-
ga del núcleo establece cuántos electrones poseen los átomos. Los electrones
atómicos determinan las propiedades f́ısicas y qúımicas de los elementos y
sus compuestos, es decir las moléculas. Estas caracteŕısticas son la base de
los modelos que describen la materia y los fenómenos a escala macroscópica
(como los cambios de estado) y aśı sucesivamente.
Toda la materia del universo está constituida, en última instancia, por
leptones y quarks, y sus propiedades derivan (aunque de una manera muy
indirecta) de las propiedades e interacciones de esas part́ıculas. Los leptones
comprenden los electrones, los muones, los tauones y tres clases de neutrinos,
aśı como sus respectivas antipart́ıculas1. Los quarks (de los cuales hay seis
clases diferentes) son los constituyentes primarios del neutrón, del protón y de
otras part́ıculas que aparecen en procesos de alta enerǵıa (llamadas bariones
y mesones), todas las cuales integran la familia de los hadrones. Igual que
1Una antipart́ıcula tiene la misma masa que la part́ıcula correspondiente, pero su carga
eléctrica (si tiene) es de signo opuesto y también tienen signo opuesto los otros atributos
(llamados números cuánticos internos) que determinan como interactúa con otras part́ıcu-
las. Por ejemplo el positrón, que es la antipart́ıcula del electrón, tiene le misma masa que
éste y su carga eléctrica tiene igual valor absoluto pero signo opuesto
1
1.1
en el caso de los leptones, a cada quark le corresponde una antipart́ıcula
(o antiquark). Las antipart́ıculas forman la antimateria. Si una part́ıcula
se encuentra (choca)con una antipart́ıcula de su misma especie se puede
producir la aniquilación de ambas. En este proceso desaparece la materia y
se libera una cantidad equivalente de enerǵıa. Es posible también el proceso
inverso, por el cual desaparece enerǵıa y se crea un par formado por una
part́ıcula más su correspondiente antipart́ıcula.
f '
f
b
 las líneas llenas representan un
Figura 1.1: El proceso básico de interacción. Las ĺıneas llenas representan un
fermión (quark o leptón) antes (f) y después (f ′) de emitir o absorber un
bosón, representado por la linea ondulada (b). Notar que f y f ′ pueden ser de
diferente especie). El cambio de dirección de la ĺınea llena simboliza los cam-
bios sufridos por la part́ıcula. Estos cambios dependen de la naturaleza de la
interacción y además de alterar el estado de movimiento del fermión, también
pueden modificar otros atributos (por ejemplo la carga, ya sea eléctrica o de
otra clase) y con ello la part́ıcula puede cambiar de especie o incluso transfor-
marse en una antiparticula. El vértice donde se juntan las tres ĺıneas simboliza
la interacción propiamente dicha.
Además de los fermiones existe una segunda familia de part́ıculas, los
bosones, que comprende los fotones, los bosones W± y Z0, los gluones y los
gravitones. Los bosones son responsables de las interacciones de los leptones
y quarks, es decir de las fuerzas2 que se ejercen entre ellos. Las interacciones
entre quarks y leptones responden todas al mismo patrón: se trata siempre
de combinaciones de procesos elementales que consisten en la emisión o ab-
sorción de un bosón por parte del quark o leptón. Este proceso elemental se
suele representar mediante un diagrama (Fig. 1.1), que representa un evento
en que un fermión emite o absorbe un bosón, que transporta enerǵıa, canti-
2Corresponde aclarar que aqúı estamos usando el término fuerza con un significado
diferente del que tiene en Mecánica.
2
1
dad de movimiento, momento angular y eventualmente otros atributos (como
carga eléctrica o de otra clase) y aśı los transfiere de una part́ıcula a otra.
De esta manera los bosones actúan como intermediarios entre los fermiones.
En la Fig. 1.2 se ven los diagramas de los procesos elementales de emi-
sión, absorción, creación de un par part́ıcula-antipart́ıcula y aniquilación de
un par3. El tipo de interacción determina que clase de bosón es emitido o
absorbido y que cambios experimenta el fermión. Dicho bosón lleva consigo
una constancia de los cambios producidos en los atributos del fermión. En
la interacción hay un balance entre los atributos del bosón y los cambios
soportados por el fermión, de forma tal que se garantiza el cumplimiento de
ciertas leyes generales de conservación.
f'
f
b
emisión
f
_
f
b
aniquilación de un par
b
f
_
f
creación de un par
f'
f
b
absorción
Figura 1.2: Procesos elementales de interacción. La emisión y la absorción
de un bosón puede estar acompañada por un cambio de especie del fermión.
Los pares consisten siempre de una part́ıcula y una antipart́ıcula de la misma
especie. Las antipart́ıculas se designan con el mismo śımbolo que la part́ıcula,
con una ĺınea superpuesta.
Cualquier interacción entre dos fermiones se representa mediante diagra-
mas que se obtienen combinando los que describen los procesos elementales.
Por ejemplo, dos electrones pueden interactuar intercambiando un fotón como
lo indica el diagrama de la Fig. 1.3.
Las interacciones entre part́ıculas se describen mediante esquemas del tipo
de la Fig. 1.3 y variantes más complejas que surgen de intercambiar dos, tres
o más bosones. La clase de bosones intercambiados depende de reglas que
establecen qué bosones puede absorber y/o emitir una part́ıcula. De acuerdo
3En este tipo de diagramas, llamados diagramas de Feynman, es usual interpretar que
la dirección del tiempo es hacia arriba y que ĺıneas de fermiones dirigidas hacia arriba
representan part́ıculas, y ĺıneas hacia abajo, antipart́ıculas.
3
1.1
e'
e
g
e
1
e'
2
2
1
Figura 1.3: Interacción entre dos electrones debida al intercambio de un fotón.
Procesos de este tipo dan origen a la fuerza de Coulomb que estudiaremos en
el Caṕıtulo 2.
con eso se reconocen cuatro clases de interacciones (o fuerzas) fundamentales,
que se resumen en la Tabla 1.1.
Cuadro 1.1: Interacciones fundamentales
Interacción Part́ıculas que in-
teractúan
Bosón mensajero Manifestaciones
Gravitatoria todas gravitón atracción gravitatoria
Electromagnética part́ıculas con car-
ga eléctrica
fotón fenómenos eléctricos y magnéticos,
fuerzas entre átomos y moléculas,
propiedades de la materia, radiación
Débil leptones y quarks bosones W± y
Z0
decaimiento radioactivo
Fuerte quarks gluones estructura y propiedades del núcleo
atómico
La interacción gravitatoria produce la atracción gravitacional, que es el
origen del peso de los cuerpos y que determina la estructura y el compor-
tamiento de la materia en escala cósmica. La interacción electromagnética
causa las transiciones entre estados nucleares y atómicos debidas a la emi-
sión o absorción de radiación y es responsable de la estructura atómica y
molecular, e indirectamente de las propiedades macroscópicas de la mate-
ria aśı como de los fenómenos eléctricos, magnéticos y ópticos que se tratan
en estas notas. La interacción débil puede producir transformaciones entre
leptones de diferente especie y entre quarks de diferente especie. Su princi-
pal manifestación es el decaimiento radioactivo y por lo tanto influye sobre
la estabilidad del núcleo atómico4. La interacción fuerte es responsable de
4En realidad la interacción electromagnética y la interacción débil son dos aspectos de
4
1
la existencia de los protones y neutrones y de sus interacciones (las fuerzas
nucleares) y determina aśı las propiedades del núcleo.
En principio las fuerzas fundamentales de la Tabla 1.1 determinan por
completo las propiedades y el comportamiento de la materia, no sólo a es-
cala microscópica, sino también macroscópica y cósmica. Esta afirmación es
cierta con las salvedades que provienen de la falta de completitud y de la
provisoriedad del conocimiento f́ısico.
Las part́ıculas fundamentales (tanto los fermiones como los bosones men-
sajeros) se describen matemáticamente por medio de campos cuánticos5. El
marco para la descripción de esas part́ıculas y sus interacciones está dado
por dos teoŕıas fundamentales:
la Teoŕıa Cuántica de Campos, que comprende la teoŕıa electrodébil
y la cromodinámica; la teoŕıa electrodébil (que abarca a su vez la
electrodinámica cuántica y la teoŕıa de la fuerza débil) describe las
interacciones electromagnética y débil; la cromodinámica describe las
interacciones de los quarks mediadas por los gluones;
la Teoŕıa General de la Relatividad, que es la descripción más funda-
mental de la interacción gravitatoria.
Las caracteŕısticas de las part́ıculas y de sus interacciones están subordi-
nadas a simetŕıas de la naturaleza y propiedades generales de la geometŕıa
del espacio–tiempo. No vamos a entrar en los detalles de estas cuestiones que
son muy profundas, pero conviene mencionar aqúı que las leyes fundamen-
tales de conservación provienen de propiedades del espacio-tiempo. Algunos
ejemplos de estas relaciones se dan en la Tabla 1.2.
Cuadro 1.2: Simetŕıas y leyes de conservación
Simetŕıa Ley de conservación asociada
Homogeneidad del espacio Conservación de la cantidad de movi-
miento
Isotroṕıa del espacio Conservación del momento angular
Homogeneidad del tiempo Conservación de la enerǵıa
Además de las que figuran en la Tabla 1.2 hay otras propiedades de si-
metŕıa de los campos que representan las part́ıculas fundamentales, que se
relacionan con otras leyes de conservación, por ejemplo la que establece la
una única interacción: la interacción electrodébil. No obstante se las suele considerar por
separado porque sus manifestacionesson muy diferentes.
5Más adelante introduciremos la noción de campo, que es de enorme importancia en la
F́ısica.
5
1.2
conservación de la carga eléctrica, y otras más. No nos detendremos más
sobre estos temas, pero conviene que el lector sepa que hay un marco más
amplio dentro del cual se insertan las nociones y conceptos que desarrollare-
mos en estas páginas.
Es importante señalar dos caracteŕısticas de las leyes y principios funda-
mentales de la F́ısica. Una de ellas es la simplicidad. La otra es la univer-
salidad. Las leyes básicas de la F́ısica son pocas, muy simples (basta ver en
efecto los diagramas de las Figs. 1.1 a 1.3) y dependen de un número pequeño
de parámetros. Sin embargo no es fácil aplicarlas a situaciones concretas. En
la práctica eso suele ser muy dif́ıcil, cuando no lisa y llanamente imposible.
Justamente, el esfuerzo de los f́ısicos ha consistido (y sigue consistiendo) en
superar dos clases de dificultades:
reconocer en la compleja realidad de la naturaleza las leyes simples que
la rigen, y
conocidas las leyes, hacer las aproximaciones necesarias para deducir
sus consecuencias en los casos de interés.
Que las leyes fundamentales de la F́ısica sean simples no significa que sean
fáciles de entender, porque su simplicidad se logra al precio de introducir
conceptos cada vez más abstractos y por lo tanto menos intuitivos. Por eso
su sencillez no es evidente para el profano y se percibe sólo después de un
estudio paciente y profundo. Gran parte del proceso de aprendizaje consiste
precisamente en familiarizarse con esos conceptos, para manejarlos y usarlos
correctamente.
La segunda caracteŕıstica de las leyes f́ısicas fundamentales es su univer-
salidad: consiste en que se aplican al macrocosmos y al microcosmos. Rigen
tanto para los seres vivientes como para la materia inanimada. Valen en
nuestros laboratorios, en el espacio, en las estrellas y hasta los confines del
universo. Se extienden desde el pasado más remoto hasta el más lejano futuro.
Esto, por lo menos, dentro de ĺımites muy amplios.
1.2. Fenómenos eléctricos, magnéticos y ópti-
cos
Los fenómenos eléctricos, magnéticos y ópticos que tratamos en estas
notas responden a la interacción electromagnética, que se ejerce entre las
part́ıculas fundamentales que poseen carga eléctrica6. Es importante no ol-
6En la práctica ésto implica solamente a los electrones y los protones, ya que en los
fenómenos que se consideran en estas notas se puede ignorar la estructura de los protones.
6
1
vidar este hecho porque la unidad básica de fenómenos aparentemente muy
diferentes no es evidente a primera vista.
Muchos fenómenos eléctricos y magnéticos se conocen desde la antigüedad
pero recién en el siglo XIX se reconoció que están relacionados. Estos resul-
tados permitieron a Maxwell formular en 1873 las ecuaciones que llevan su
nombre (que son la base del Electromagnetismo Clásico) y mostrar que la luz
es un fenómeno electromagnético. Debemos recordar, sin embargo, que cuan-
do Maxwell formuló su teoŕıa todav́ıa no se conoćıa la existencia del electrón,
que fue descubierto en 1897. El núcleo atómico fue descubierto por Ruther-
ford en 1911 y la existencia del fotón fue propuesta en 1905 por Einstein. Por
estos motivos el Electromagnetismo Clásico es una teoŕıa macroscópica, y del
mismo modo que la Mecánica del Continuo, ignora la estructura atómica y
trata la materia como un medio continuo que se puede subdividir en partes
tan pequeñas como se quiera y que posee ciertas propiedades (como la re-
sistividad, las susceptibilidades eléctrica y magnética y otras) que se tienen
que determinar emṕıricamente o calcular por medio de la Mecánica Estadis-
tica. Igual que la Mecánica del Continuo, el Electromagnetismo Clásico es
una aproximación que podemos usar sin temor de equivocarnos, siempre y
cuando no pretendamos describir lo que sucede en la escala atómica y sub-
atómica. Por eso hay numerosos fenómenos cuya descripción está fuera del
Electromagnetismo Clásico. En particular muchos que involucran la interac-
ción de la radiación electromagnética con la materia, por ejemplo el efecto
fotoeléctrico y otros más, no se pueden describir por medio de las ecuaciones
de Maxwell y para su explicación es preciso recurrir a la teoŕıa fundamental,
es decir la Electrodinámica Cuántica.
Por otra parte es oportuno mencionar que la teoŕıa de Maxwell no es com-
patible con la Mecánica Newtoniana que se estudia en F́ısica I. El problema
proviene de que las leyes de Newton son invariantes por transformaciones de
Galileo, cosa que no es cierta para las ecuaciones de Maxwell. La dificultad
fue superada gracias a la introducción de la Teoŕıa restringida de la Relati-
vidad, debida a Einstein, la cual implica que las transformaciones de Galileo
no son correctas cuando las velocidades en juego son muy grandes porque la
velocidad de la luz es un ĺımite insuperable. Sin entrar en mayores detalles,
en esos casos la Mecánica de Newton se debe reemplazar por la Mecánica
Relativ́ıstica. De todos modos la podemos aplicar con confianza, siempre y
cuando estudiemos movimientos cuya velocidad es pequeña en comparación
con la velocidad de la luz (aproximadamente 300 000 km/s) porque cuando
eso ocurre no hay diferencia apreciable entre la Mecánica Relativ́ıstica y la
Mecánica Newtoniana.
Para la gran mayoŕıa de las aplicaciones que interesan al ingeniero, las
ecuaciones de Maxwell son más que suficientes. Es más, muchas veces se
7
1.2
usan aproximaciones más sencillas como la Teoŕıa de Circuitos. También
gran parte de la Óptica7 se puede estudiar prescindiendo de las ecuaciones
de Maxwell.
7En particular los temas que se tratan en estas notas.
8
Caṕıtulo 2
Electrostática
2.1. Carga eléctrica
Desde la antigüedad se sabe que si se frota un trozo de ámbar1 con un
paño de lana el ámbar adquiere una propiedad en virtud de la cual atrae
otros objetos. La primera constancia de esta observación se debe a Tales de
Mileto, filósofo y matemático griego que vivió en el siglo VI a.C. También
se sabe desde la antigüedad que si se frotan entre śı otros pares de mate-
riales diferentes ocurren fenómenos del mismo tipo. Sin embargo fue recién
a principios del siglo XVIII que comenzó la investigación sistemática de los
fenómenos eléctricos. Fue aśı que entre 1729 y 1736 Stephen Gray y Jean
Desaguliers encontraron que si un tubo de vidrio previamente frotado (y por
lo tanto electrificado) se une por medio de un alambre metálico a un trozo
de corcho, éste se electrifica y atrae trozos de papel. Este fenómeno persiste
aún si el vidrio y el corcho se separan a distancias de muchos metros, pero si
la ĺınea de transmisión toca el suelo el corcho no se electrifica. Por otra parte
si en vez de unirlos con un alambre metálico se emplea un hilo de seda, el
corcho no se electrifica.
Gracias a estos experimentos concluyeron de que la electrificación es un
efecto que se presenta en la superficie de los cuerpos, donde aparece lo que
llamaron una virtud o fluido eléctrico y que hoy llamamos carga eléctrica,
y que la carga eléctrica se mueve libremente de un cuerpo a otro a través
de ciertos materiales (el cuerpo humano, los metales, el aire húmedo, etc.)
que llamaron conductores, pero que también hay otros materiales que no
conducen la electricidad, que se llaman aisladores (madera, seda, cerámica,
etc.).
1El ámbar es una resina fósil muy bonita que se emplea en joyeŕıa. En griego, ámbar
se dice elektron y de esta palabra se deriva el término electricidad.
9
2.1
Entre 1733 y 1734 François du Fay frotó con tela de seda dos tubos de
vidrio iguales y encontró que los tubos se repelen si se los acerca. Como
cada uno de los tubos adquiere el mismo tipo de carga esto implica que
cargas iguales se repelen. A partir de varias pruebas semejantes concluyó que
dos objetos idénticos se repelen cuando se electrifican de idénticamanera.
Haciendo experimentos del mismo tipo con diferentes materiales encontró que
hay dos tipos de electricidad; a una la llamó vitrosa (la que aparece cuando
se frota el vidrio con un tejido de seda) y a la otra resinosa (la que aparece
cuando se frota el ámbar con un paño de lana). Aśı du Fay concluyó que
una carga resinosa repele otra carga resinosa y una carga vitrosa repele otra
carga vitrosa, pero una carga resinosa atrae una carga vitrosa.
Durante la década siguiente Benjamı́n Franklin, sin conocer los trabajos
de du Fay, hizo idénticos descubrimientos. Según él, tras ser frotado con un
trozo de seda el vidrio electrificado adquirere un exceso de fluido (carga)
eléctrico, y llamó positivo a este estado. Al estado de la seda con la que se
frotó el vidrio lo llamó negativo, pues interpretó que en la seda es produce
una deficiencia de fluido (carga) eléctrico. La terminoloǵıa de Franklin se
sigue usando hoy.
En resumen, existen en la naturaleza dos tipos de carga eléctrica: po-
sitiva y negativa. Dos cargas eléctricas del mismo tipo (negativa–negativa
o positiva–positiva) se repelen, mientras que dos cargas de tipos distintos
(positiva–negativa) se atraen.
2.1.1. La botella de Leiden y el pararrayos
En 1746 Pieter van Musschenbroek construyó en Leiden (Holanda) el
primer dispositivo para almacenar cargas eléctricas. Se trata de una botella de
vidrio recubierta por dentro y por fuera por sendas capas delgadas de estaño.
En la botella de Leiden se pueden almacenar considerables cantidades de
carga eléctrica. Posteriormente se diseñaron otros dispositivos más prácticos
para almacenar carga eléctrica, que se llaman condensadores.
Hacia mediados del siglo XVIII Benjamı́n Franklin encontró que duran-
te las tormentas hay efectos eléctricos en la atmósfera y descubrió que los
rayos son descargas eléctricas. Franklin logró recoger cargas eléctricas de la
atmósfera por medio de varillas con extremos agudos. Fue aśı que inventó el
pararrayos, que consiste de una varilla metálica con extremos agudos conec-
tada a la tierra por medio de un conductor; aśı el rayo es atráıdo por la
varilla y la carga eléctrica es conducida a la tierra sin causar daños. Ésta fue
la primera aplicación práctica de la investigación cient́ıfica de la electricidad.
10
2
2.1.2. Triboelectricidad
Los fenómenos de electrificación mencionados en los párrafos preceden-
tes se deben al efecto triboeléctrico, gracias al cual ciertos materiales quedan
cargados cuando se separan después de estar en contacto con un material
diferente (como ocurre cuando se frotan). La polaridad que adquieren y la
magnitud del efecto dependen de los materiales y de la rugosidad de las su-
perficies, la temperatura, etc. Por lo tanto el efecto no es muy reproducible y
solamente se pueden dar algunas de sus caracteŕısticas generales. El nombre
viene del griego tribos (frotar), pero en realidad para que tenga lugar el efecto
basta que los materiales se toquen. Al entrar en contacto algunas partes de
las superficies se adhieren y hay un pasaje de cargas eléctricas de un mate-
rial al otro para igualar sus potenciales electroqúımicos, de resultas del cual
ambos objetos se cargan. Cuando se los separa, algunos de los átomos que
estaban adheridos tienden a llevarse consigo electrones extra, mientras que
otros tienden a ceder algunos de los suyos, a pesar de que el desequilibrio
aśı producido suele ser destrúıdo parcialmente por otros efectos que no dis-
cutiremos aqúı2. Además algunos materiales pueden intercambiar iones3 de
diferente movilidad o bien fragmentos de moléculas de mayor tamaño.
La serie triboeléctrica que se presenta en la Tabla 2.1 es una lista de
materiales, ordenados de positivos a negativos de acuerdo con la polaridad
de la separación de carga que ocurre cuando entran en contacto. De este
modo cuando se tocan dos materiales, el que figura antes en la serie adquiere
una carga positiva y el que figura después una carga negativa. Cuanto más
alejados en la serie, tanto mayor es la separación de las cargas. Aśı, por
ejemplo, el aire en contacto con la seda adquiere carga positiva y la seda
una carga negativa. La polaridad de las cargas es la misma si el aire está en
contacto con polietileno, pero la magnitud del efecto es mayor en este último
caso. La tabla no es rigurosa y puede ocurrir que materiales cercanos en la
serie no intercambien carga, o que intercambien carga de polaridad opuesta
a la que implica su posición dentro de la lista. Esto ocurre porque el efecto
no depende únicamente de la naturaleza de los materiales ya que también
influyen otros factores.
El efecto triboeléctrico se relaciona con la fricción solamente porque am-
bos se deben a la adhesión y aumenta cuando se frotan los materiales porque
entonces se tocan y se separan muchas veces. Existen también otros efectos
que favorecen la electrificación por contacto, aśı como otros que se oponen a
2Uno de estos efectos es la descarga de corona, que se trata más adelante.
3Normalmente los átomos y moléculas tienen igual número de cargas positivas y ne-
gativas y por lo tanto su carge neta es nula. Un ion es un átomo o una molécula que ha
perdido (o ganado) uno o más electrones y por eso tiene una carga eléctrica no nula.
11
2.1
Cuadro 2.1: Serie triboeléctrica: + indica carga positiva, − carga negativa.
(+) aire - piel humana - cuero - piel de conejo - vidrio - cuarzo - mica
- cabello - nylon - lana - plomo - piel de gato - seda - aluminio - papel
- algodón y acero (no se cargan) - madera - lucite - ámbar - cera -
poliestireno - caucho elástico - resinas - caucho ŕıgido - ńıquel y cobre
- azufre - bronce y plata - oro y platino - acetato y rayon - caucho
sintético - poliester - estireno - orlon - membrana plástica - poliuretano
- polietileno - polipropileno - vinilo (PVC) - silicio - teflon - goma de
silicona - ebonita (−)
ella. El tema todav́ıa no se conoce bien y es materia de investigación.
Cuando la superficie de un material tiene carga eléctrica, si se acerca mu-
cho a un conductor descargado o a un objeto cuya carga es muy diferente
puede ocurrir una descarga eléctrica, que se manifiesta porque salta una chis-
pa. La carga que adquiere una persona que caminó sobre una alfombra puede
dar lugar a un potencial de varios miles de volt4, suficiente para causar una
chispa de un cent́ımetro de longitud o más. Cuando la humedad relativa del
aire es baja es mayor el potencial necesario para que se produzca la descarga,
lo que aumenta la capacidad del material electrificado de conservar su carga
y al ser menor la conductividad del aire seco se hace más dif́ıcil eliminar
gradualmente la carga que se ha acumulado. En aire seco basta quitarse la
camisa para que salten chispas. Al viajar en automóvil la carroceŕıa acumu-
la carga y pueden saltar chispas desde la misma a un pasajero cuando éste
desciende y toca el suelo.
Las descargas de esta clase son inofensivas para las personas porque la
enerǵıa en juego es minúscula (del orden de pocos microjoules en aire seco
y mucho menos con humedad). Sin embargo pueden incendiar mezclas de
aire y gases inflamables, como el gas natural y vapores de ĺıquidos como la
nafta, el éter y otras sustancias. Por eso se tiene que evitar la acumulación de
carga eléctrica al transportar ĺıquidos inflamables en carritos, como se suele
hacer en los hospitales. Una superficie frotada que aduirió una carga, aún
pequeña, puede atraer part́ıculas de polvo, lo que en la manufactura de tex-
tiles puede causar manchas permanentes en las telas. Una descarga estática
de alto voltaje puede destruir ciertos dispositivos electrónicos como circui-
tos integrados CMOS y transistores MOSFET y por lo tanto se tienen que
tomar precauciones adecuadas para almacenarlos y manipularlos. Por otra
parte la electrificación por frotamiento se aprovecha en dispositivos como las
fotocopiadoras y las impresoras de chorro de tinta. Por todo esto la triboelec-4Ver más adelante el significado de estos términos.
12
2
tricidad es un tema importante para la industria, no solamente por razones
de seguridad y para evitar eventuales daños a los bienes.
2.1.3. Generadores electrostáticos
En 1663 Otto von Guericke construyó el primer generador de cargas
eléctricas por medio de la fricción. Consta de una esfera de azufre que pue-
de girar alrededor de eje montado sobre un armazón de madera. Si con una
mano se hace girar la esfera mientras se la presiona con la otra mano la esfera
se carga y atrae objetos cercanos. Posteriormente Isaac Newton propuso usar
una esfera de vidrio en lugar de una de azufre. Al transcurrir los años se cons-
truyeron otros generadores electrostáticos más eficientes y a comienzos del
siglo XIX ya exist́ıan varios dispositivos de este tipo, basados en discos que se
hacen girar por medio de manivelas y se cargan al frotar otra superficie. Esas
máquinas producen cantidades apreciables de carga eléctrica y pueden dar
lugar a chispas muy llamativas al acercar los terminales a otras superficies.
Hoy los generadores basados en el efecto triboeléctrico se utilizan sola-
mente para demostraciones de clase porque se cuenta con dispositivos mucho
más eficientes para producir electricidad para los usos prácticos. Una excep-
ción es el generador de Van de Graaf, que se emplea en varios laboratorios
cient́ıficos para producir voltajes estáticos de varios millones de volt.
2.1.4. Cuantificación de la carga eléctrica
Los experimentos que mencionamos hasta ahora muestran la existencia
de cargas eléctricas y algunas de sus propiedades pero nos dicen poco acerca
de donde residen últimamente esas cargas. Sin entrar en mayores detalles de
como se llegó a aclarar esta cuestión, hoy sabemos que la carga eléctrica es
una propiedad de los electrones y de los protones que integran (junto con
los neutrones) el núcleo atómico. Todos los electrones son idénticos y poseen
cargas negativas5 cuya magnitud se indica con e. La carga de los protones es
positiva y su magnitud es también e, mientras que los neutrones no tienen
carga6. En cualquier cuerpo macroscópico, aún muy diminuto, hay un número
enorme de electrones y protones, pero habitualmente el número de electrones
5De acuerdo con la convención introducida por Franklin, que se sigue usando hoy.
6Los protones y neutrones están formados por combinaciones de tres quarks, cada uno
de los cuales posee una carga eléctrica que según la especie vale +2e/3 o −e/3. Pero la
naturaleza de la interacción fuerte obliga a los quarks a agruparse de a tres y no permite
la existencia de quarks aislados. Por ese motivo no se pueden observar cargas de magnitud
menor que e, salvo en los experimentos con part́ıculas de alta enerǵıa que permiten observar
la estructura interna de los protones y los neutrones.
13
2.2
es igual al número de protones de modo que la carga neta del cuerpo es nula
y se dice que el cuerpo es (eléctricamente) neutro. La carga eléctrica que
un cuerpo adquiere (por ejemplo cuando se lo frota con otro) se debe a que
queda con un déficit o con un superávit de electrones, según si su carga es
positiva o negativa. En cualquier caso, la carga q del cuerpo es siempre un
múltiplo exacto de la carga elemental e: la carga eléctrica está cuantificada.
Por otra parte la magnitud de e es muy pequeña en comparación con la carga
de un cuerpo macroscópico7. Por lo tanto en la escala macroscópica se puede
ignorar la atomicidad de la carga y suponer que q es una variable continua.
2.1.5. Conservación de la carga
Todas las interacciones fundamentales de la naturaleza conservan la carga
eléctrica8. Por lo tanto no hay procesos cuyo resultado sea la creación o la
destrucción de una cantidad neta de carga9. Un cuerpo puede ganar o perder
carga eléctrica, pero toda vez que en un cuerpo aparece una carga eléctrica,
en alguna otra parte debe aparecer una carga de igual magnitud y signo
opuesto.
2.1.6. Cargas puntiformes
Según se acaba de ver la carga de un cuerpo macroscópico proviene del
exceso o defecto de electrones que tiene y no es fácil saber con exactitud
donde se ubican las cargas elementales responsables de la misma. Por lo tanto
por ahora vamos a considerar solamente cuerpos cargados cuyas dimensiones
lineales son despreciables en comparación con las distancias que los separan,
de modo que podemos suponer que sus cargas están concentradas en puntos
(cargas puntiformes). Más adelante veremos como proceder cuando estemos
en presencia de cuerpos extensos.
2.2. La Ley de Coulomb
En 1785 el ingeniero militar francés Charles Auguste Coulomb midió con
precisión10 la fuerza entre dos part́ıculas con cargas eléctricas Q y q en varias
7T́ıpicamente por unos 9 órdenes de magnitud, ver la Subsección 2.2.2.
8Esta ley de conservación está relacionada con una simetŕıa de los campos cuánticos
que describen las part́ıculas y sus interacciones.
9Si bien se pueden crear o destruir pares, como la part́ıcula y la antipart́ıcula tienen
cargas de igual magnitud y signo opuesto la carga neta no vaŕıa.
10Para eso usó una balanza de torsión. Una breve descripción de este dispositivo se
encuentra en J. Gratton, Mecánica, tomo I, Cap 4.
14
2
situaciones (Fig. 2.1). Cambiando la magnitud de la carga q, sin cambiar
la carga Q y manteniendo fija la distancia r entre 1 y 2, encontró que la
magnitud Fq de la fuerza que Q ejerce sobre q (ya sea atractiva si Q y q tienen
distinta polaridad, o repulsiva si la polaridad es la misma) es proporcional a
la magnitud de q, o sea que
Fq ∼ |q|. (2.1)
Q
q
r
F
Q
F
q
r
Q
r
q
O
Q
q
r
F
Q
F
q
r
Q
r
q
O
(a)
(b)
Figura 2.1: Fuerza entre dos particulas cargadas: (a) cargas de igual polaridad
(++) y (−−), (b) cargas de polaridad opuesta (+−) y (−+).
Viceversa, cambiando la magnitud de la carga Q, sin cambiar la carga q
y manteniendo fija r, encontró que la magnitud de Fq es proporcional a la
magnitud de Q, es decir que
Fq ∼ |Q|. (2.2)
También estudió el efecto de cambiar r, manteniendo constantes ambas car-
gas. Aśı encontró que Fq es proporcional a la inversa del cuadrado de la
distancia, esto es
Fq ∼ 1/r2. (2.3)
15
2.2
Por supuesto la fuerza FQ que q ejerce sobre Q es siempre igual en módulo
y dirección a Fq, tiene sentido opuesto y ambas se ejercen en la dirección de
r, como manda la Tercera Ley de Newton. Este conjunto de resultados recibe
el nombre de ley de Coulomb.
La Ley de Coulomb se puede expresar en forma sencilla utilizando la
notación vectorial:
F q = k1qQ
r
r3
= k1qQ
r̂
r2
= −FQ. (2.4)
En esta ecuación k1 es una constante de proporcionalidad, r̂ ≡ r/r es un
versor en la dirección y sentido de r y el signo de q es positivo (q > 0) o
negativo (q < 0) según si la polaridad de esa carga es positiva o negativa y
lo mismo vale para Q (Q > 0 o Q < 0 de acuerdo con la polaridad de Q).
2.2.1. Comentarios sobre la Ley de Coulomb
Corresponde aclarar que la ec. 2.4 describe correctamente la fuerza en-
tre dos cargas a condición de que éstas estén en reposo. Cuando una carga
se mueve, la fuerza de Coulomb no es la única fuerza que se ejerce sobre
ella, porque como veremos más adelante también actúa una fuerza de origen
magnético cuya magnitud es proporcional a la velocidad que lleva la carga.
Es oportuno comentar ahora las caracteŕısticas de la fuerza de Coulomb.
En primer lugar la ec. 2.4 se parece mucho a la expresión de la fuerza de
atracción gravitatoria entre dos masas, que también es proporcional al pro-
ducto de las masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia
entre ellas, aunque a diferencia de la fuerza de Coulomb es siempre atracti-
va11. La fuerza 2.4 es central y conservativa12. Esto último, como veremos en
breve, permite definir la enerǵıa potencial electrostática.
Al igual que la ley de Newton de la gravitación, la ley de Coulomb implica
que un objeto puede ejercer una fuerza sobre otro a pesar de estar lejos e
incluso separadode él por el vaćıo. Esta idea, llamada acción a distancia,
choca contra la noción intuitiva de que para interactuar con un objeto es
preciso entrar en contacto con él o bien contar con un intermediario que
le transmita nuestra acción. Por este motivo la acción a distancia nunca fue
vista con buenos ojos por los teóricos y los filósofos, a pesar de que las leyes de
Newton y de Coulomb son perfectamente satisfactorias13 del punto de vista
11Por este motivo muchos de los resultados que se obtienen para la gravitación (ver
por ejemplo J. Gratton, Mecánica, Tomo 1, Cap. 9) se pueden adaptar fácilmente a la
electrostática.
12ver por ejemplo J. Gratton, Mecánica, Tomo 1, Cap. 5
13Se entiende que dentro de su ámbito de validez.
16
2
práctico. Más adelante veremos que la introducción del concepto de campo
eléctrico permite superar el inconveniente de la acción a distancia, dado que
el campo juega el rol del intermediario que transmite la interacción.
En la escala atómica la fuerza eléctrica es enormemente más intensa que
la atracción gravitatoria. Por ejemplo la repulsión Coulombiana entre dos
protones es mayor que la atracción gravitatoria entre esas mismas part́ıcula
por un factor 1,2 × 1036. Por este motivo la estructura y las propiedades
de la materia (gases, ĺıquidos y sólidos) están determinadas por las fuerzas
eléctricas: la fuerza gravitatoria no juega ningún rol. Por otra parte los cuer-
pos de escala astronómicas y cósmica son eléctricamente neutros y la fuerza
dominante es la atracción gravitatoria.
La ley 2.4 describe la interacción entre dos cargas puntuales. Los expe-
rimentos a escala macroscópica muestran que cuando dos cargas Q1 y Q2
interactúan simultáneamente con una tercera carga q, la fuerza que actúa
sobre q es F q = F 1q + F 2q, donde F 1q y F 2q son las fuerzas que Q1 y Q2
ejerceŕıan individualmente sobre q. Un resultado semejante vale para cual-
quier número n de cargas, esto es
F q =
n
∑
i=1
F iq , F iq = k1qQi
r̂i
r2i
, (2.5)
donde ri es el vector que va de Qi a q. Esta propiedad se llama principio
de superposición de fuerzas y permite aplicar la ley de Coulomb a cualquier
número de cargas14.
La ley de Coulomb vale para cargas en el vaćıo y gracias al principio de
superposición se puede aplicar a cualquier número de cargas siempre que to-
das estén en el vaćıo. Pero el problema se complica cuando las cargas están
rodeadas por un medio material. Como vimos en 2.1.4, en todo medio mate-
rial hay una cantidad enorme de cargas que residen en los electrones y núcleos
atómicos. Aunque la carga total (neta) del medio sea nula, la presencia de
esas cargas no es irrelevante y se debe tomar en cuenta de alguna manera.
El efecto es muy pequeño en el caso del aire pero puede ser muy grande
cuando se trata de otros medios. Por ahora vamos a suponer que estamos
tratando con cargas en el vaćıo y dejamos para más adelante el estudio de la
electrostática de medios materiales.
14El principio de superposición de fuerzas es una consecuencia de las ecuaciones de
Maxwell, que establecen una relación lineal entre el campo eléctrico y sus fuentes. En
el dominio subatómico, donde no se pueden aplicar las ecuaciones de Maxwell, aparecen
efectos no lineales que se describen en el marco de la electrodinámica cuántica. De todos
modos estos efectos son irrelevantes en el dominio macroscópico.
17
2.2
2.2.2. Unidades de carga
El valor de k1 y sus dimensiones dependen del sistema de unidades. Es
muy importante tener presente esto porque en el electromagnetismo se usan
varios sistemas de unidades que difieren entre śı no solamente por factores
numéricos sino también por una diferente elección de las dimensiones funda-
mentales. Aqúı usaremos casi siempre el Sistema Internacional (SI), que es el
que emplean los ingenieros15. En el SI hay cuatro dimensiones fundamentales:
las tres que se usan en Mecánica, a saber longitud ([longitud] ≡ L), tiempo
([tiempo] ≡ T ) y masa ([masa] ≡ M) y una dimensión eléctrica adicional
que se puede elegir como la carga eléctrica ([carga] ≡ Q). De acuerdo con
esto en el SI las dimensiones de k1 son L3MT −2Q−2, como el lector puede
deducir fácilmente de la ec. 2.4.
En este sistema las unidades de longitud, tiempo y masa son el metro
(m), el segundo (s) y el kilogramo (kg) y la unidad de carga eléctrica se
llama coulomb16 y se indica con C. Además la constante k1 se escribe como
k1 ≡ 1/4πǫ0 donde ǫ0 es otra constante17. Por lo tanto en el SI la ley de
Coulomb se escribe como
F q =
qQ
4πǫ0
r
r3
=
qQ
4πǫ0
r̂
r2
= −FQ (SI). (2.6)
Debido a la presencia del factor 1/4π en la ec. 2.6 se dice que el SI es un
sistema racionalizado para distinguirlo de otros sistemas parecidos (no ra-
cionalizados) en los que ese factor no aparece en la expresión de la Ley de
Coulomb. Dado que la unidad de fuerza es el newton (N), resulta entonces
ǫ0 = 8,854187818 × 10−12 N−1 m−2 C2 y por lo tanto
k1 = 8,987551787 × 109 N m2 C−2 (SI). (2.7)
El valor de ǫ0 depende de la velocidad de la luz en el vaćıo, que por definición
18
vale exactamente
15La principal ventaja de este sistema es que incorpora las unidades técnicas habituales
(volt, ampere, coulomb etc.) y por lo tanto se presta para tratar las aplicaciones que
involucran circuitos eléctricos. Esas unidades técnicas implican que la unidad de tiempo
es el segundo y que la unidad de potencia es el watt, luego es natural elegir el metro, el
kilogramo y el segundo como unidades mecánicas.
16Más adelante veremos como se define el coulomb.
17La razón de esta aparente complicación es que las fórmulas resultan más sencillas.
Debe quedar claro que ǫ0 no se relaciona con una propiedad f́ısica, pues es un factor que
aparece por la elección del sistema de unidades, que como sabemos es arbitraria.
18En 1983 se redefinió el metro como la distancia que recorre la luz en el vaćıo perfecto
en 1/299792458 segundos. De resultas de esto el mencionado valor de c es exacto.
18
2
c = 2,99792458 × 108 m/s. (2.8)
En términos de c el valor de k1 en el SI es
k1 = (10
−7 N s2 C−2) c2 (SI). (2.9)
En el SI el valor de la carga elemental e es19
e = 1,60217733(49) × 10−19 C (SI). (2.10)
Por lo tanto el coulomb equivale (salvo el signo) a la carga de aproximada-
mente 6 × 1018 electrones. En comparación un cubo de cobre de 1 cm de
lado contiene unos 2,4 × 1024 electrones. Para que este cuerpo tenga una
carga positiva de 1 C tiene que haber un déficit de electrones de apenas un
0.00025 %.
Es oportuno mencionar que en los estudios teóricos se prefiere usar un
sistema diferente, que se llama Gaussiano, porque las fórmulas resultan más
sencillas cuando se escriben en este sistema. En algunos casos lo usaremos en
estas notas. En el sistema Gaussiano (SG) hay solamente tres dimensiones
fundamentales: las tres que se usan en Mecánica (longitud, tiempo y masa)
y se elige20 k1 = 1 en la ec. 2.4. Por lo tanto la ley de Coulomb se escribe
como
F q =
qQr
r3
=
qQr̂
r2
= −FQ (SG). (2.11)
De aqúı se desprende que en este sistema las dimensiones de la carga son
M1/2L3/2T −1. El SG emplea las unidades mecánicas cgs. La unidad de carga
eléctrica de este sistema se llama statcoulomb (statC) o franklin (Fr) o unidad
electrostática de carga (esu) y se define aśı: si dos objetos en reposo cada
uno de los cuales lleva una carga de 1 statC están a la distancia de 1 cm se
repelen con la fuerza de 1 dina. Por lo tanto es una unidad derivada y vale
1 statC = 1 g1/2cm3/2s−1 = 1 erg1/2cm1/2.
Puesto que ǫ0 tiene dimensiones, las dimensiones del coulomb no son las
mismas que las del statcoulomb (no se puede expresar el coulomb en términos
de masa, longitud y tiempo solamente). Es fácil verificar que 1 C corresponde
a 2997924580 statC o en otras palabras, si un cuerpo tiene una carga de
19El número entre paréntesis es la incertidumbre de los dos últimos d́ıgitos.
20Con esta elección el SG no es racionalizado. Pero existen variantes racionalizadas en
las cualesk1 = 1/4π.
19
2.3
1 coulomb, ese cuerpo tiene una carga de 2997924580 statcoulombs21. El
número 2997924580 es exacto e igual a 10 veces el valor de c expresado
en m/s. En forma aproximada 1 C corresponde a 2,99792 × 109 statC y
viceversa 1 statC corresponde a 3,33564× 10−10 C. Se debe notar es un error
escribir 1 C = 2997924580 statC porque los dos miembros tienen diferentes
dimensiones. Una fórmula escrita en el SI no se puede transformar en una
fórmula del sistema Gaussiano simplemente multiplicando el valor de la carga
por 2997924580 para pasar de C a statC (como se hace, por ejemplo, para
pasar de metros a cent́ımetros). La forma correcta para pasar del SI al sistema
Gaussiano es:
1 C = 4πǫ0 × 2997924580 statC. (2.12)
Sirvan estas aclaraciones para mostrar que en el electromagnetismo hay
que tener cuidado con el manejo de diferentes sistemas de unidades. Salvo
mención expresa, en lo que sigue escribiremos las ecuaciones sin hacer re-
ferencia a un particular sistema de unidades, escribiendo la ley de fuerza y
demás ecuaciones relacionadas en terminos de la constante de proporcionali-
dad k1. Aśı con la sustitución 1/4πǫ0 → k1 se obtienen las expresiones en el
SI y con la sustitución 1 → k1 las que corresponden en el sistema Gaussiano.
2.3. El campo eléctrico
Se puede reformular la electrostática de manera de evitar el problema de
la acción a distancia que mencionamos en el punto 2.2.1 introduciendo el
concepto de campo eléctrico22. La idea consiste en suponer que la presencia
de una carga puntiforme Q situada en el punto rQ modifica el espacio que la
rodea de modo tal que cada punto rP adquiere una propiedad que llamamos
campo eléctrico y que indicamos con E(Q, rQ, rP ). En virtud de esa pro-
piedad una carga de prueba q ubicada en rP experimenta una fuerza dada
por
F q = qE(Q, rQ, rP ). (2.13)
Aqúı23 E(Q, rQ, rP ) no depende de q. En el caso que estamos considerando
el campo se origina en la única carga puntiforme Q y a partir de la Ley de
Coulomb 2.4 es evidente que
21El coulomb es una carga muy grande que raramente se encuentra en problemas reales
de electrostática, mientras que el statcoulomb tiene un tamaño más acorde con las cargas
electrostáticas habituales.
22La noción de campo fue introducida por Michael Faraday.
23Puesto que E depende de la posición la 2.13 se aplica solo si q es puntiforme.
20
2
E(Q, rQ, rP ) = k1Q
r̂QP
r2QP
, (2.14)
donde rQP ≡ rP − rQ. Debe quedar claro que en la 2.14 el punto donde se
encuentra Q, la fuente del campo, está fijo y P , el punto donde alculamos el
campo, es arbitrario.
Si tenemos varias cargas puntiformes Qi ubicadas en r i (i = 1, ..., n), el
principio de superposición 2.5 nos dice que
E =
n
∑
i=1
E i , E i = k1Qi
r̂iP
r2iP
, (2.15)
donde riP ≡ rP − r i es el vector que va de Qi a P .
En el caso general de una distribución arbitraria de cargas el campo
eléctrico se define a partir de
F = qE , (2.16)
donde q es la carga del cuerpo de prueba, F es la fuerza sobre dicho cuerpo
y E es el campo eléctrico, que no depende de la carga de prueba y está de-
terminado solamente por las cargas fuentes del campo.
Es esencial aqúı suponer la existencia de cargas de prueba que no pertur-
ben el campo, o cuyo efecto sobre el campo es despreciable. En la electrostáti-
ca macroscópica esto no trae dificultades porque en la práctica la magnitud
q de la carga de prueba se puede hacer arbitrariamente pequeña. Además,
si las fuentes del campo son cargas puntiformes (o casi puntiformes) fijas,
q puede ser incluso arbitrariamente grande. Sin embargo si las fuentes del
campo son cargas situadas sobre superficies conductoras extensas, la intro-
ducción de una carga de prueba grande produce el desplazamiento de esas
cargas y por lo tanto modifica el campo.
A diferencia de la electrostática macroscópica, cuando se intenta aplicar
estas nociones al dominio atómico aparecen serias dificultades. En ese domi-
nio los efectos de las cargas de prueba sobre el campo no se pueden despre-
ciar nunca porque esas cargas no se pueden hacer arbitrariamente pequeñas.
Además las fuentes del campo no están en reposo.
2.4. Potencial eléctrico
La fuerza que un campo electrostático ejerce sobre una carga de prueba es
conservativa. Esto es evidente porque la fuerza de Coulomb entre dos cargas
es conservativa y por el principio de superposición la fuerza sobre la carga de
21
2.4
prueba se puede siempre imaginar como la suma de las fuerzas que ejercen
sobre ella las cargas puntiformes fuentes del campo eléctrico24. Por lo tanto
se cumple que el trabajo de la fuerza eléctrica en un desplazamiento de la
carga de prueba a lo largo de un camino cerrado cualquiera C (Fig 2.2, (a))
es nulo:
(a) (b)
C
P
ds
F
q
F
q
P
1
C'
C''
ds
P
2
Figura 2.2: La fuerza eléctrica que un campo electrostático ejerce sobre una
carga de prueba es conservativa: (a) el trabajo en cualquier camino cerrado
C es nulo, (b) el trabajo en un desplazamiento desde cualquier punto P1 a
cualquier punto P2 no depende del camino recorrido.
∮
C
F · ds = 0. (2.17)
Por lo tanto el trabajo de la fuerza eléctrica en un desplazamiento de la
carga de prueba desde cualquier punto P1 a cualquier otro punto P2 depende
solamente de P1 y P2 y no depende del camino seguido para ir de P1 a P2.
Procediendo como en Mecánica25 podemos definir la enerǵıa potencial
electrostatica de la carga de prueba en el punto P (Fig. 2.3, (a)) como
VP ≡ −
∫ P
O
F · ds + VO =
∫ O
P
F · ds + VO. (2.18)
Aqúı O es un punto de referencia que se puede elegir arbitrariamente y VO es
la enerǵıa potencial de la carga de prueba en O, cuyo valor se puede también
24Esto se puede generalizar fácilmente al caso de campos generados por distribuciones
continuas de cargas (tanto distribuciones en un volumen, sobre una superficie o a lo largo
de una ĺınea) reemplazando la suma por oportunas integrales, como veremos más adelante.
25Ver por ejemplo J. Gratton, Mecánica, tomo I, Cap 5.
22
2
(a) (b)
F
O
P
q
V
O
V
P
Fds
O
P
1
V
P1
P
2
V
P2
ds q
V
O
Figura 2.3: Enerǵıa potencial electrostatica: (a) definición, (b) el trabajo
eléctrico en un desplazamiento desde P1 a P2 depende de la diferencia de
enerǵıa potencial entre ambos puntos.
fijar arbitrariamente26. De lo anterior resulta que
∫ P2
P1
F · ds = −(VP2 − VP1). (2.19)
Esta ecuación expresa que el trabajo realizado en un desplazamiento de la
carga de prueba desde P1 a P2 (Fig. 2.3, (b)) es igual a menos la variación
de la enerǵıa potencial.
Puesto que F = qE lo anterior implica que
∮
C
E · ds = 0 (2.20)
y que podemos definir el potencial electrostático (enerǵıa potencial por unidad
de carga) por medio de
V = qφ (2.21)
donde
φP = −
∫ P
O
E · ds + φO. (2.22)
Aqúı O es un punto de referencia arbitrario y φO es el potencial en O, cuyo
valor se puede fijar arbitrariamente.
El potencial electrostático es una función escalar de la posición (un campo
escalar) que depende solamente de las cargas fuente. Si conocemos φ(r) el
26La arbitrariedad de la elección de O y VO no tiene consecuencias porque solamente
interesan las variaciones de V .
23
2.5
campo eléctrico se puede calcular a partir de la ecuación
E = −∇φ, (2.23)
que se puede obtener diferenciando27 la 2.22. Es fácil ver que el potencial de
una carga puntiforme Q es
φ(rP ) = k1
Q
rQP
, (2.24)
y que el potencial de varias cargas puntiformes Qi ubicadas en r i (i = 1, ..., n)
es
φ(rP ) =
∑
i
φi(rP ) , φi(rP ) = k1
Qi
riP
, (2.25)
donde riP ≡ rP − r i es el vector que va de Qi a P . Para usar las fórmulas
2.24 y 2.25 en el SI hay que poner k1 = 1/4πǫ0.
2.4.1. Dimensiones y unidades del potencial y el cam-
po eléctrico
De la ec. 2.21 se desprende que [φ] = [enerǵıa]/Q y por lo tanto la unidad
de potencial del SI, que se llama volt y se indica con V, es:
1 V = 1 J/C (SI). (2.26)
De las ecs. 2.16 y 2.22 resulta que [E ] = [fuerza]/Q = [φ]/L y por consi-
guiente en el SI la unidad de campo eléctrico es1 N/C = 1 V/m (SI). (2.27)
En el sistema Gaussiano las unidades de potencial y campo son el statvolt
(statV) que vale
1 statV = 1 erg/statC (SG)
y el statV/cm cuyo valor es
1 statV/cm = 1 dina/statC (SG).
Se deja como ejercicio para el lector encontrar las dimensiones de φ y E
en el sistema Gaussiano y las relaciones que permiten pasar del statV y el
statV/cm a V y V/m.
27Se tiene que diferenciar respecto de las coordenadas del punto del campo rP , mante-
niendo fijas las fuentes Qi.
24
2
2.5. La Ley de Gauss
La ley de Gauss28 establece la relación entre el campo eléctrico y la distri-
bución de cargas. Se la puede expresar tanto de forma integral como de forma
diferencial y se puede pasar de una forma a la otra por medio del teorema de
la divergencia29. Es una de las cuatro ecuaciones de Maxwell, que establecen
las relaciones entre los campos eléctrico y magnético y sus fuentes (o sea las
cargas y las corrientes eléctricas) y son la base de la Electrodinámica Clásica.
También está vinculada (como veremos) con la Ley de Coulomb, pero es más
general porque vale también cuando las cargas están en movimiento (es decir
en presencia de corrientes eléctricas).
De acuerdo con la ley de Gauss en su forma integral el flujo del campo
eléctrico E que sale de una superficie cerrada S cualquiera es proporcional
a la carga total QV dentro del volumen V encerrado por la superficie. Por el
momento vamos a considerar solamente distribuciones de cargas en el vaćıo,
pero más adelante vamos a mostrar como se escribe la Ley de Gauss en pre-
sencia de medios materiales. En su forma integral la Ley de Gauss establece
que
ΦE ,S ≡
∮
S
E · dS = 4πk1QV (2.28)
Aqúı ΦE ,S es el flujo de E que sale de la superficie cerrada S y que se define
como la integral sobre S del producto escalar de E por dS , que es un vector
infinitesimal cuyo módulo es el diferencial de área dS de la superficie S y
cuya dirección y sentido son los de la normal exterior a S. La superficie S
limita el volumen V y QV es la carga total dentro de V .
Para demostrar la Ley de Gauss consideremos primero qué sucede si te-
nemos una única carga. Sea entonces q una carga dentro de S y sea r la
posición del elemento dS referida a q (Fig. 2.4 (a)). Claramente
E(r) = k1q
r̂
r2
.
Pero r̂ · dS = r2dΩ donde dΩ es el diferencial de ángulo sólido subtendido
por dS desde la posición de q. Por lo tanto el integrando de 2.28 es k1q dΩ y
entonces
∮
S
E · dS = k1q
∮
4π
dΩ = 4πk1q (q dentro de V )
28Esta ley, también llamada Teorema de Gauss del flujo, fue formulada por Carl Friedrich
Gauss en 1835 aunque fue publicada recién en 1867.
29También llamado Teorema de Gauss.
25
2.6
(a)
S
q
r
dS
E
q
dΩ
V
(b)
S
q
r
1
E
q1
dΩ
V
dS
1
E
q2
dS
2
r
2
S
1
S
2
Ω
Figura 2.4: Flujo del campo eléctrico que sale de la superficie cerrada S: (a)
carga dentro de S, (b) carga fuera de S.
Si en cambio la carga está fuera de S (Fig. 2.4 (b)), desde la posición de q
la superficie subtiende el ángulo sólido Ω y queda dividida en dos partes: S1
(la parte más lejana a q) y S2 (la parte más cercana). Si ahora consideramos
los dos elementos dS 1 y dS 2 que subtienden ambos el mismo elemento de
ángulo sólido dΩ y cuyas posiciones referidas a q son r 1 y r 2, es evidente
que sus contribuciones se cancelan y por lo tanto integrando sobre el ángulo
sólido Ω resulta
∮
S
E · dS = k1q
(
∫
Ω
dΩ −
∫
Ω
dΩ
)
= 0 (q fuera de V )
Si ahora repetimos el mismo razonamiento para todas las cargas q1, q2, ...
presentes dentro y fuera de la superficie S queda demostrada la ley 2.28.
Se debe notar que el campo E depende de todas las cargas presentes, no
solamente de aquellas que están en V . Sin embargo ΦE ,S depende solamente
de las cargas que están en V . Las cargas fuera de V no contribuyen a ΦE ,S.
2.6. Distribuciones continuas de carga
En el dominio macroscópico podemos ignorar la atomicidad de la carga
eléctrica y en muchos casos convviene tratarla como si estuviese distribuida
26
2
en el espacio de forma continua en vez de consistir de una serie de cargas
puntiformes, porque aśı se pueden aprovechar mejor las herramientas del
análisis matemático.
2.6.1. Cargas de volumen
Cuando estamos en presencia de cargas dentro de un volumen V podemos
imaginar que el número de cargas tiende a infinito al mismo tiempo que la
magnitud de cada una de ellas tiende a cero, de modo tal que la carga total
se mantiene constante, o sea
Q =
∑
i
qi →
∫
V
ρ dV.
La función ρ = ĺımV →0(Q/V ) se llama densidad (volumétrica) de carga
30.
En términos de ρ el potencial y el campo eléctrico (ecs.2.25 y 2.15) de una
distribución de cargas se escriben (rQP = rP − rQ) como
φP = k1
∫
V
ρQ
rQP
dVQ (2.29)
y31
EP = −∇PφP = k1
∫
V
ρQr̂QP
r2QP
dVQ (2.30)
En estas integrales no aparecen singularidades32 cuando r̂QP → 0 a diferencia
de lo que ocurre cuando se calculan las sumas 2.25 y 2.15. Por lo tanto E y
φ son regulares dentro de la región de las fuentes si la distribución de cargas
es continua.
2.6.2. Las ecuaciones de Laplace y de Poisson
Para una distribución continua de cargas la Ley de Gauss (ec. 2.28) se
escribe como
∮
S
E · dS = 4πk1
∫
V
ρ dV. (2.31)
30En general ρ es una función de la posición y del tiempo, pero en electrostática tratamos
solamente distribuciones de carga que no dependen del tiempo.
31La notación ∇P indica que el gradiente se calcula respecto de la posición de P .
32Dicho sin pretensión de rigor esto se debe a que los factores 1/rQP y 1/r
2
QP de los
integrandos tienden al infinito más lentamente de lo que tiende a cero dV .
27
2.6
Usando el Teorema de la Divergencia el primer miembro de esta ecuación se
transforma en
∮
S
E · dS =
∫
V
∇ ·EdV.
Por lo tanto la 2.31 es equivalente a
∫
V
∇ ·EdV = 4πk1
∫
V
ρ dV.
Puesto que este resultado vale para cualquier volumen V se debe cumplir que
∇ ·E = 4πk1ρ. (2.32)
Esta ecuación es la forma diferencial de la Ley de Gauss y es una de las
cuatro ecuaciones de Maxwell. Puesto que E = −∇φ podemos escribir la
2.32 como
∇2φ = −4πk1ρ. (2.33)
Esta ecuación se llama ecuación de Poisson.
Claramente en una región del espacio donde no hay cargas (ρ = 0) el
potencial satisface la ecuación
∇2φ = 0, (2.34)
que se conoce con el nombre de ecuación de Laplace.
2.6.3. Cargas de superficie
Mediante un proceso análogo al que empleamos anteriormente podemos
introducir el concepto de densidad superficial de carga. Si suponemos que
la carga Q debida a n cargas Qi dentro de una capa delgada de espesor δ
está distribuida en forma continua y tomamos el ĺımite para δ → 0, n→ ∞ y
Qi → 0 de modo que la carga total Q se mantiene constante y la capa tiende
a una superficie matemática S, podemos escribir
Q =
∫
S
σdS. (2.35)
Aqúı σ es la densidad superficial de carga y en general es una función de la
posición y del tiempo (en electrostática σ no depende del tiempo).
El potencial y el campo que una distribución superficial de carga producen
en un punto P están dados por
φP = k1
∫
S
σ
rQP
dS (2.36)
28
2
y
EP = −∇PφP = k1
∫
S
σr̂QP
r2QP
dS. (2.37)
A medida que el punto P cruza la superficie dS/rQP se mantiene finito
33 y
por lo tanto φ es continuo.
Por otra parte la componente del campo normal a la superficie es dis-
continua. Esto se puede mostrar aplicando la Ley de Gauss a una superficie
ciĺındrica imaginaria Σ cuya base y tapa son paralelas a la superficie carga-
da, cuyas paredes laterales son perpendiculares a dS , y que contiene dicho
elemento. En efecto
∮
Σ
E · dΣ = 4πk1
∫
S
σdS
En el ĺımite en que la altura del cilindro tiende a cero y tanto la base como
la tapa tienden a dS se obtiene
∫
dS
(En2 − En1)dS = 4πk1
∫
dS
σdS,
donde En2 es la componente de E normal a dS del lado 2 (aquél hacia donde
apunta dS) y En1 es la componente de E normal a dS del lado 1, opuesto
al anterior. Puesto que el área dS es arbitraria, resulta
En2 − En1 = 4πk1σ
y
(
∂φ
∂n
)
2
−
(
∂φ
∂n
)
1= −4πk1σ.
Por lo tanto la componente normal de E es discontinua a través de una
superficie cargada.
Por otra parte la componente tangencial de E es continua, porque φ es
continuo sus variaciones en direcciones paralelas a la superficie tienen que ser
iguales de ambos lados.
2.6.4. Condiciones de contorno en un conductor
Un conductor es un medio en el que hay electrones que se pueden mover
libremante. Por lo tanto cualquier campo eléctrico en el seno de un conductor
produce un movimiento de las cargas, esto es una corriente eléctrica. Las
condiciones para que no haya corrientes, o lo que es equivalente, para que el
campo sea estático son
33En efecto, dS ∼ r2.
29
2.7
el campo eléctrico dentro del medio debe ser nulo: E = 0;
la componente tangencial del campo en la superficie S del conductor
debe ser nula: E‖ = 0.
Por otra parte la componente normal fuera del conductor no tiene porqué ser
nula porque puede haber cargas en la superficie. Por lo tanto E es nulo en
el medio, pero fuera del mismo es normal a S y vale
En = −
∂φ
∂n
= 4πk1σ.
Puesto que el gradiente del potencial es perpendicular a S se debe tener
φ = const. sobre la superficie. Por lo tanto S es una superficie equipotencial.
2.7. Cálculo de campos electrostáticos
El cálculo del campo producido por un distribución de cargas no siem-
pre es sencillo, pero en general conviene calcular primero el potencial dado
que se trata de una función escalar de la posición. En las regiones vaćıas el
potencial satisface la ecuación de Laplace 2.34. Por lo tanto es útil conocer
algunas soluciones sencillas de dicha ecuación ya que mediante oportunas
superposiciones de las mismas se puede calcular el potencial para casos más
complicados. No vamos a entrar en mayores detalles sobre el tema, pero va-
mos a mencionar dos soluciones sencillas muy útiles y mostraremos como a
partir de ellas se pueden obtener otras en casos de interés.
En problemas con simetŕıa axial que involucran condiciones de contorno
sobre las superficies de esferas y conos conviene emplear coordenadas esféricas
r, θ, ϕ. Si el problema no depende de ϕ la ecuación de Laplace es
∂
∂r
(
r2
∂φ
∂r
)
+
1
senθ
∂
∂θ
(
senθ
∂φ
∂θ
)
= 0. (2.38)
La primera de estas soluciones es la que corresponde a una carga puntiforme
(ec. 2.24), para la cual φ ∼ 1/r. Sustituyendo en 2.38 es fácil verificar que esta
solución satisface la ecuación de Laplace en todos punto, salvo naturalmente
en r = 0 que es la posición de la carga.
La segunda solución es
φ ∼ r cos θ (2.39)
que representa un campo eléctrico uniforme en la dirección del eje θ = 0.
30
2
2.7.1. Ĺıneas de fuerza y equipotenciales
Una forma conveniente de visualizar un campo eléctrico se basa en los
conceptos de ĺıneas del campo34 (también llamadas ĺıneas de fuerza) y super-
ficies equipotenciales.
Una ĺınea de fuerza L es una curva imaginaria que en todos sus puntos
es tangente al campo E . Por lo tanto está definida por la ecuación vectorial
drL
ds
=
E
E
, (2.40)
donde ds es el diferencial de arco sobre L.
Puesto que en cualquier punto la dirección del campo es única, las ĺıneas
del campo no se intersecan nunca, salvo donde hay una carga puntiforme, que
es donde nacen o mueren. Si C es una curva cerrada cualquiera, el conjunto
de las ĺıneas del campo que pasan por C forman un tubo llamado tubo de
flujo (Fig. 2.5, (a)). Las ĺıneas del campo nunca atraviesan las paredes del
tubo de flujo: toda ĺınea que entra por un extremo sale por el otro. Por lo
tanto el flujo del campo eléctrico a través de las paredes de un tubo de flujo
es nulo. Si consideramos un tramo de un tubo de flujo comprendido entre dos
secciones S1 y S2 , la Ley de Gauss implica que el flujo de E que entra a ese
tramo a través de S1 es igual al que sale a través de S2 (Fig. 2.5, (b)). Luego
dentro de un tubo de flujo la magnitud de E es inversamente proporcional a
la sección del tubo. Aśı las ĺıneas del campo muestran la dirección del campo
en cada punto y su espaciado da una idea de la magnitud del campo: donde
E es intenso las ĺıneas del campo están más juntas y donde E es débil las
ĺıneas están más separadas. En general las ĺıneas del campo son curvas en el
espacio (es decir tridimensionales) y no se pueden dibujar en un plano.
Una superficie equipotencial Sφ0 está definida impĺıcitamente por la con-
dición
φ(r) = φ0 = const. (2.41)
Por lo tanto el potencial es el mismo en todos los puntos de Sφ0 y es evidente
que las ĺıneas del campo son siempre ortogonales a las superficies equipoten-
ciales.
Cuando las ĺıneas del campo son curvas planas, cosa que ocurre si el pro-
blema tiene simetŕıa esférica, ciĺındrica o plana, se pueden trazar diagramas
que muestran las ĺıneas del campo y las intersecciones de las uperficies equi-
potenciales con el plano del diagrama. Por ejemplo la Fig. 2.6 muestra las
ĺıneas del campo y las equipotenciales de una carga puntiforme.
34Este concepto fue introducido por Michael Faraday.
31
2.7
C
C´
S
1
S
2
(a) (b)
E
Φ
1
Φ
2
E
1 E
2
Figura 2.5: Tubo de flujo: (a) las ĺıneas del campo que pasan por la curva C
forman un tubo de flujo, (b) el flujo de E a través de cualquier sección del
tubo se mantiene constante.
Figura 2.6: Ĺıneas del campo y equipotenciales de una carga puntiforme.
2.7.2. El dipolo eléctrico
Sean dos cargas +q y −q separadas por una distancia d (Fig. 2.7). El
momento dipolar de este sistema es por definición el vector
p = qd . (2.42)
En general para un número arbitrario de cargas cuya suma es nula, se define
p =
∑
i
qir i
donde los r i son los vectores posición de las cargas y puesto que
∑
i qi = 0
los r i no dependen del origen elegido.
32
2
P
d
r
q+P
–q+q
r
q−P
Figura 2.7: Dipolo eléctrico.
Campo y potencial de un dipolo
El potencial debido a las dos cargas es
φP =
q
rq+P
− q
rq−P
.
Si r ≫ d (sea porque r → ∞ o porque q → ∞ mientras d → 0 de modo
de mantener finito el producto qd) este sistema de cargas se llama dipolo.
Desarrollando en serie de Taylor el potencial del dipolo y tomando el ĺımite
r q±P → r qP se obtiene
φP = k1q(d · ∇q)
1
rqP
= (p · ∇q)
1
rqP
(2.43)
= −k1p
cos θ
r3qP
.
Aqúı ∇q indica que el gradiente se toma respecto de las coordenadas del
dipolo r q. El campo producido por el dipolo es entonces
EP = (p · ∇q)
rP − rq
r3qP
. (2.44)
Usando coordenadas polares (r, θ, ϕ) las componentes de E son
33
2.8
Er = −
∂φ
∂r
= −2k1p
cos θ
r3
Eθ = −
1
r
∂φ
∂θ
= 4k1p
senθ
r3
(2.45)
Eϕ = 0.
En la Fig. 2.8 se muestran las ĺıneas del campo y las equipotenciales de un
dipolo.
p
Figura 2.8: Ĺıneas del campo (ĺıneas llenas) y equipotenciales (ĺıneas de trazos)
de un dipolo.
Fuerza y momento sobre un dipolo
En preparación.
2.7.3. Cargas inducidas sobre un conductor
En preparación.
34
2
− +
−
−
−
−
−
−
+
+
+
+
+
+
Figura 2.9: Conductor esférico en un campo eléctrico uniforme: ĺıneas del cam-
po y equipotenciales.
2.8. Enerǵıa del campo electrostático
2.8.1. Cargas puntiformes
La enerǵıa potencial de un sistema de cargas puntiformes es igual al tra-
bajo necesario para traer las cargas desde el infinito a la posición que ocupan.
Para dos cargas Q1 y Q2 este trabajo vale
U = k1
Q1Q2
r12
donde r12 es la distancia entre ellas. Para un número arbitrario de cargas
puntiformes podemos calcular la enerǵıa potencial de cada par y sumar sobre
todos los pares. Resulta aśı
U = k1
∑
i<j
QiQj
rij
(2.46)
La ecuación anterior se puede escribir también en forma simétrica como
U =
k1
2
∑
i,j
′QiQj
rij
. (2.47)
35
2.8
Aqúı la prima indica que la sumatoria no incluye los términos con i = k.
De esta última expresión vemos que la energia que hemos aśı definido no
depende del orden seguido al traer las cargas desde el infinito.
Hay una tercera manera de escribir la enerǵıa potencial electrostática de
un sistema de cargas puntiformes, basada en el concepto de potencial. El
potencial en la posición de la i–ésima