Tránsito de ondas de flujo

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TRANSITO DE ONDAS 
DE FLUJO 
 
 
1. DEFINICIÓN 
 El tránsito de avenidas es un 
procedimiento matemático para 
predecir el cambio en magnitud, 
velocidad y forma de una onda de flujo 
en función del tiempo (Hidrograma de 
Avenida), en uno o más puntos a lo largo 
de un curso de agua (Cauce o canal). 
 El curso de agua puede ser un río, una 
quebrada, un canal de riego o drenaje, 
etc, y el hidrograma de avenida puede 
resultar del escurrimiento producto de la 
precipitación y/o deshielo, descargas de 
un embalses etc. 
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 En 1871, Barré de Saint Venant 
formuló la teoría básica para el 
análisis unidimensional del flujo 
transitorio o no permanente, sin 
embargo para obtener soluciones 
factibles que describan las 
características más importantes de 
la onda de flujo y su movimiento, es 
necesario realizar simplificaciones 
de dichas ecuaciones. 
 Según Gupta*, los principales 
propósitos del tránsito de ondas de 
flujo son: 
*Ram S. Hydrology and Hydraulics Systems, 2008 
• Estimar el agua producida en 
diferentes puntos específicos o 
progresivas en un curso de 
agua. 
• Calcular las elevaciones de 
avenida para el diseño de 
diques de protección. 
• Estudio del efecto de un 
reservorio en la modificación 
del caudal pico. 
• Determinación del tamaño de 
los vertederos de demasías. 
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 Los métodos de tránsito de flujo se 
pueden clasificar en hidrológicos o 
también denominados agrupados 
(lumped) e hidráulicos o también 
denominados distribuidos 
(distributed). 
 En el tránsito hidrológico el flujo se 
calcula como una función del 
tiempo para todo un tramo a lo 
largo de un curso de agua. En el 
tránsito hidráulico, el flujo se calcula 
también como una función de 
tiempo pero de manera simultánea 
en varias secciones transversales a 
lo largo del curso de agua. 
2. TRÁNSITO DE FLUJO DEL TIPO AGRUPADO 
(TRÁNSITO HIDROLÓGICO) 
 Considerando flujo no permanente a 
lo largo de un curso de agua (Figura 
N°1), en el cual la descarga de 
entrada I(t) en el extremo aguas 
arriba y la descarga de salida Q(t) en 
el extremo aguas abajo del curso de 
agua están en función del tiempo. 
 Se aplica el principio de la 
conservación de la masa igualando 
la diferencia entre las descargas con 
el cambio de almacenamiento S en 
el intervalo de tiempo entre los 
extremos: 
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 Generalmente los diversos métodos existentes 
relacionan el almacenamiento S con I y/o Q 
mediante una función denominada de 
almacenamiento y del tipo empírica. 
 Entre las relaciones más simple se tiene S=f(Q) ó 
S=f(h), esto último implica la existencia de una 
relación directa entre la superficie de agua y el 
caudal o nivel a lo largo del cuerpo de agua, 
usualmente esta relación se utiliza en los casos 
de tránsito de flujo a través de un lago o 
reservorio. 
 La solución de la ecuación (1), es relativamente 
simple en comparación con los métodos de 
tránsito distribuido debido a que existen 
técnicas gráficas y matemáticas bastante 
conocidas. 
𝐼 𝑡 − 𝑄 𝑡 =
𝑑𝑆
𝑑𝑡
 (1) 
 Las limitaciones que tienen éstos 
métodos son la no posibilidad de 
describir el efecto de remanso así 
como también no son lo 
suficientemente exactos para 
transitar hidrogramas de rápido 
ascenso o lo largo de ríos con poco 
pendiente o para grandes embalses. 
 
2.1 Tránsito a través de reservorios. 
 Esta técnica denominada ‘The Puls 
Method’, asume que el reservorio 
tiene una superficie de agua lo 
suficientemente horizontal a lo largo 
de toda su longitud, similar al nivel de 
una piscina. 
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 Se asume que los cambios de la 
elevación de la superficie de agua en 
el tiempo h(t) tiene relación directa 
con la salida de agua desde el 
reservorio y el almacenamiento del 
mismo. 
 Este es el caso de reservorios con 
vertederos de demasías de descarga 
libre. También se puede realizar el 
cálculo para vertederos con 
compuerta o controlados sin embargo 
debe tenerse en cuenta que el caudal 
de salida por el vertedero (outflow) sólo 
debe ser función de h, por lo que se 
debe considerar completamente 
abierta las compuertas. 
2.1.1 Método iterativo de integración 
trapezoidal 
 La solución del método consiste en 
utilizar la regla trapezoidal para 
integrar la ecuación de la 
conservación de la masa. 
 La tasa de variación temporal del 
almacenamiento es producto del 
área del espejo de agua del 
reservorio y del cambio de la 
elevación de la superficie de agua 
h en el paso de tiempo j. 
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 Se asumen que se conoce las curvas 
características del embalse altura-
volumen-área o se tiene tablas con la 
relación entre la superficie Sa y h. 
 Usando valores promedio para I(t) y 
Q(t) en el intervalo de tiempo ∆ t, se 
tiene: 
 
 
 Los términos conocidos son: I en j y j+1, 
Qj [Se tiene la ecuación de descarga 
del vertedero Q=f(h) y las curvas 
características del embalse para 
determinar Saj]. 
𝑑𝑆
𝑑𝑡
=
0.5(𝑆𝑎𝑗 + 𝑆𝑎𝑗+1)(ℎ𝑗+1 − ℎ𝑗)
∆𝑡𝑗
 
 Los términos no 
conocidos serán: hj+1, 
Qj+1, Saj+1, en vista que 
los dos últimos son 
función de hj+1, puede 
ser resuelto en 
términos de hj+1 
mediante el método 
iterativo de Newton 
Raphson. 
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Ejemplo teórico 
 Supóngase se tiene la siguiente 
información sobre la relación Volumen – 
Elevación de un embalse y la ecuación de 
descarga del vertedero. 
 
Curva Volumen-Elevación: 
Vol.(MMC) = 10 Elev.^1.18/1000 
Vertedero 
Coef.desc. 2 
Long.cresta (m) 15 
Qk (m3/s) 20 
Q.sal.(m3/s) = Coef.desc.*Long.cresta (Elev - 
Elev.o)^3/2 + Qk 
 
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 Se puede encontrar la relación Qsal. 
vs. 2 Vol/Δt + Qsal 
 
 
 
 
 Ajustando la relación anterior a una 
función potencial 
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Aplicación del algoritmo 
2.2 Tránsito a lo largo de cauces – 
Método Muskingum 
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 K y X son determinados mediante 
calibración de hidrogramas 
observados de entrada y salida 
de un tramo del río. 
 
 
 Ej: Supongamos que se dispone 
de los registros de los hidrogramas 
de entrada y salida de un tramo 
de río. 
 Definiendo Numerador = 
 
 Denominador = 
𝐾 =
0.5∆𝑡 𝐼𝑗+1 + 𝐼𝑗 − (𝑄𝑗+1 + 𝑄𝑗)
𝑋 𝐼𝑗+1 − 𝐼𝑗 + (1 − 𝑋)(𝑄𝑗+1 − 𝑄𝑗)
 
0.5∆𝑡 (𝐼𝑗+1+𝐼𝑗) − (𝑄𝑗+1 + 𝑄𝑗) 
𝑋 𝐼𝑗+1 − 𝐼𝑗 + (1 − 𝑋)(𝑄𝑗+1 − 𝑄𝑗) 
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3. TRÁNSITO DE FLUJO DEL TIPO DISTRIBUIDO 
(TRÁNSITO HIDRÁULICO) 
 Según Gupta*, dependiendode los 
términos incluidos en la solución de 
las ecuaciones hidrodinámicas, los 
procedimientos son denominados 
cinemático, difusivo o dinámico. 
 El más simple de estos métodos es 
el cinemática el cual a sido 
aplicado satisfactoriamente en 
problemas de cálculo de 
escurrimiento superficial y 
escorrentía superficial. 
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Fuente: meted.ucar.edu 
3.1 Método de la Onda Cinemática 
 Es el tipo de modelo más simple y 
fue introducido por Lighthill y 
Whitham (1955), en el articulo 'On 
kinematic waves. I: Flood 
movement in long rivers', Proc.Royal 
Society, Londres, Inglaterra. 
 Se aplica en aquellos flujos en los 
cuales la componente de peso 
debido a la fuerza de gravedad y la 
fuerza de fricción se encuentran 
balanceadas de manera que el 
flujo no se acelera 
apreciablemente. Estas fuerzas son 
mucho mayores que las fuerzas 
inerciales y de presión, por lo tanto: 
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𝜕𝑦
𝜕𝑥
= 0 → 𝑠 = 𝑠𝑓 (8) 
 Esta ecuación establece la 
igualdad entre el componente 
de peso y la resistencia 
hidráulica. 
 Si además se considera la 
ecuación de Manning para 
obtener una relación simple 
entre el caudal y la 
profundidad: 
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 Donde la velocidad de la onda 
cinemática o celeridad 'c' se puede 
calcular como: c = k' v 
 Según Ponce V.M. et al. (1997), se 
puede demostrar que k' toma el 
valor de 5/3 si se utiliza la ecuación 
de Manning y 3/2 si se utiliza la 
ecuación de Chezy. 
 Los modelos de onda cinemática se 
propagan solamente en la dirección 
aguas abajo. Son apropiados para 
ser usados como componente de 
modelos hidrológicos de cuencas, 
especialmente para transitar el 
escurrimiento superficial en planos 
(overland flow). 
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 No se recomienda para 
realizar el tránsito del flujo en 
canales o ríos a menos que el 
hidrograma tenga una muy 
suave rama ascendente, la 
pendiente del canal sea de 
moderada a fuerte y la 
atenuación del hidrograma 
sea muy pequeña. 
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a b c d 
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 El residuo será: 
𝑟 = 𝑄𝑖+1
𝑗+1
𝑎 + 𝑄𝑖+1
𝑗
𝑏 + 𝑄𝑖
𝑗+1
𝑐 + 𝑄𝑖
𝑗
(𝑑) 
 Procedimiento Newton Raphson: 
𝑄𝑖+1
𝑗+1,𝑘
= 𝑄𝑖+1
𝑗+1,𝑘−1
+ ∆𝑄𝑖+1
𝑗+1
 
 Donde k: Iteración 
 y 
∆𝑄𝑖+1
𝑗+1
= −
𝑟
𝜕𝑟
𝜕𝑄𝑖+1
𝑗+1
 
Programa en Matlab: Onda_cinematica_newton_raphson.m 
clear;close all;clc 
% Curso Hidráulica Computacional 
% Tránsito hidráulico mediante onda cinemática 
% Eduardo Chávarri V. 
% Feb-2013 
% Datos: 
n_nodos=50; 
teta=0.5; % Factor ponderación temporal 
fi=0.7; % Factor ponderación espacial 
% vel=1.19 Descenso de caudales en el tiempo y espacio 
% vel=1.21 Ascenso de caudales en el tiempo y espacio 
vel=1.19; % Velocidad m/s 
cel=5*vel/3; % Celeridad m/s 
Courant=1; % Número Courant 
delta_t=30; % Segundos 
delta_x=cel*delta_t/Courant; % Metros 
load onda_cinematica.txt 
[m,n]=size(onda_cinematica); 
q=zeros; 
h=zeros; 
deltax=zeros; 
deltat=zeros; 
q1=reshape(onda_cinematica,60,m/60); 
 
for j=1:m 
for i=1:n_nodos 
 deltax(i,j)=delta_x*i/1000; % km 
end 
end 
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for j=1:m 
for i=1:n_nodos 
 deltat(i,j)=delta_t*j/60; % minutos 
end 
end 
 
 
for j=1:m % Condición de Frontera. Caudal del Nodo 1 
conocido para todo los tiempos 
 q(1,j)=q1(j); % Hidrograma de ingreso 
end 
for i=1:n_nodos % Condición Inicial. Caudal conocido 
para t=1 
 q(i,1)=15.0; % Hidrograma inicial en todos los nodos 
end 
 
% Solución numérica Newton Raphson 
a=1-fi/delta_t+cel*teta/delta_x; 
b=-1/delta_t+fi/delta_t+cel/delta_x-cel*teta; 
c=-cel*teta/delta_x+fi/delta_t; 
d=-fi/delta_t-cel/delta_x+cel*teta/delta_x; 
for j = 1:m-1 % Bucle tiempo 
 for i = 1:n_nodos-1 % Bucle espacio 
 k = 1; % Iteración 1 
 delta_q=10; 
 while (abs(delta_q) >= 0.0001) % || (k < 100)) 
 if k == 1 
% q(i+1,j+1)=q(i+1,j); 
 q(i+1,j+1)=q(i,j+1); 
 else 
 q(i+1,j+1)=qk; 
 end 
 k = k + 1; 
 t1 = a * q(i+1, j+1); 
 t2 = b * q(i+1, j); 
 t3 = c * q(i, j+1); 
 t4 = d * q(i, j); 
 r = t1 + t2 + t3 + t4; 
 dr_dq = a; 
 delta_q = -r / dr_dq; 
 qk = q(i+1, j+1) + delta_q; 
 end 
 end 
 end 
p=q'; % Hidrogramas en cada punto 
 
% Cálculo de profundidades de agua (Mediante Manning) 
 
s=0.001; % Pendiente 
n=0.035; % Coeficiente de Rugosidad de Manning 
alfa=sqrt(s)/n; 
beta=5/3; 
 
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 for j=1:m 
 for i=1:n_nodos 
 h(i,j)=(q(i,j)/alfa).^(1/beta); % Hidrograma profundidades de agua 
por nodo 
 end 
end 
 
ht=h'; 
 
% [num, txt] = xlsread('graf_jerarquizacion.xlsx'); 
% [m,n]=size(num); 
% rep=num(:,4); 
% A=reshape(rep,10,m/10); 
% A_M=mean(A'); 
 
% plot(p,ht,'*-');hold on; 
 
figure (1) 
for j=1:m 
 for i=1:n_nodos 
 plot(p(j,i),ht(j,i),'*-');hold on; % Hidrograma profundidades de agua 
por nodo 
 ylabel('Caudal (m3/s)'),... 
 xlabel('Profundidad Agua (m)'),... 
 title('Curva Altura - Gasto') 
 end 
end 
figure (2) 
for j=1:m 
for i=1:n_nodos 
 plot(deltax(i,j),h(i,j),'*-');hold on; % metros 
 ylabel('Profundidad Agua (m)'),... 
 xlabel('Longitud(m)'),... 
 title('Perfil hidráulico') 
end 
end 
 
figure (3) 
for j=1:m 
for i=1:n_nodos 
 plot(deltat(i,j),h(i,j),'*-');hold on; % minutos 
 ylabel('Profundidad Agua (m)'),... 
 xlabel('Tiempo(s)'),... 
 title('Hidrograma') 
end 
end 
 
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3.2 Método Muskingum – Cunge 
 Aunque el método de Muskingum es 
popular y fácil de usar, incluye 
parámetros que no poseen base física 
y son dificultosos de estimar. 
 El método de Muskingum - Cunge es 
una variación del método de 
Muskingum hecha por Cunge et al, la 
cual consiste en cambiar la base 
cinemática del método de Muskingum 
a un método análogo del tipo difusivo 
para tener la capacidad de predecir 
la atenuación de la onda del 
hidrograma. 
 El modelo se basa en la solución de la 
ecuación de continuidad (Incluyendo 
flujo lateral). 
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 Además de la forma de difusión de la 
ecuación de momento. 
 
 
 Combinando las dos ecuaciones 
anteriores, se produce la 
denominada ecuación de difusión 
convectiva (Miller y Cunge, 1975). 
𝜕𝐴
𝜕𝑡
+
𝜕𝑄
𝜕𝑥
= 𝑞 
𝑆𝑓 = 𝑆0 −
𝜕𝑦
𝜕𝑥
 
𝜕𝑄
𝜕𝑡
+ 𝑐
𝜕𝑄
𝜕𝑥
= 𝜇
𝜕2𝑄
𝜕𝑥2
+ 𝑐𝑞 
 Donde 'c' es la celeridad de la onda y ' 𝜇 ' la 
difusividad hidráulica. 
 
 
 Donde 'B' es el ancho superior de la 
superficie de agua. 
 El método Muskingum-Cunge es más 
efectivo al ser utilizado con técnicas 
distribuidas de tránsito de flujo. La ecuación 
recursiva aplicable a cada ∆ x para cada ∆ t 
es: 
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 Los coeficientes serán: 
𝐶1 =
∆𝑡
𝐾 + 2𝑋
∆𝑡
𝐾 + 2(1 − 𝑋)
 𝑐
𝑑𝑄
𝑑𝐴
 𝑦 𝜇 =
𝑄
2𝐵𝑆0
 
𝑂𝑗 = 𝐶1𝐼
𝑗−1 + 𝐶2𝐼𝑗 + 𝐶3𝑂
𝑗−1 + 𝐶4(𝑞∆𝑥) 
𝐿3/𝑇 
𝐴𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 
𝐶2 =
∆𝑡
𝐾
− 2𝑋
∆𝑡
𝐾 + 2(1 − 𝑋)
 
𝐴𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 
𝐶3 =
2 1 − 𝑋 −
∆𝑡
𝐾
∆𝑡
𝐾 + 2(1 − 𝑋)
 𝐴𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 
𝐶4 =
2
∆𝑡
𝐾
∆𝑡
𝐾 + 2(1 − 𝑋)
 𝐴𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 
 En el método Muskingum-Cunge, K y X son 
calculados mediante (Cunge 1969, Ponce 
1978) 
 
 
 
 
 Pero c, Q y B cambian con el tiempo, así 
que los coeficientes C1, C2, C3 y C4 deben 
también cambiar. 
 Para el método Muskingum - Cunge, la 
elección de los pasos de tiempo (∆ t) y 
distancia (∆ x) son bastante críticos. 
 Con respecto al paso de tiempo (∆ t), se ha 
encontrado que: 
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 Con respecto al paso de tiempo (∆ t), 
se ha encontrado que: 
 
 
 Donde M >= 5 y Tr es el tiempo de 
ascenso del hidrograma. 
 El manual del HEC-HMS, señala que el 
∆ t debe ser el valor mínimo de lo 
siguiente: 
 El paso de tiempo especificado en 
el 'control de especificaciones'. 
 El tiempo de viaje a lo largo del 
tramo de cauce. 
 M = 20 
 
𝐾 =
∆𝑥
𝑐
 𝑇 
𝑋 =
1
2
1 −
𝑄
𝑐𝐵𝑆0∆𝑥
 
∆𝑡 ≤
𝑇𝑟
𝑀
 
𝐴𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 
 Una vez definido ∆ t se calcula ∆ x 
como: ∆ x = c ∆ t 
 Sin embargo ∆ x tiene una restricción: 
 
 
 Donde: 
 
 QB: Caudal base 
 Qpico: Caudal pico 
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 Ejemplo: Tránsito de la onda de flujo 
mediante el método de Muskingum 
- Cunge 
𝑄0 = 𝑄𝐵 +
1
2
𝑄𝑝𝑖𝑐𝑜 − 𝑄𝐵 
∆𝑥 <
1
2
𝑐∆𝑡 +
𝑄0
𝑐𝐵𝑆0
 
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Programación del modelo Muskingum - Cunge 
clear;close all;clc 
% Tránsito de onda de flujo mediante el método de Muskingum Cunge 
% E. Chávarri V. (Junio 2014) 
[num, txt] = xlsread('Inf_Transito_MC.xlsx'); 
q=num(:,1); % Caudal aguas arriba - m3/s 
b=num(1,2); 
ta=num(1,3); % Tiempo ascenso hidrograma - días 
m=num(1,4); % m=5 
so=num(1,5); % Pendiente de fondo 
n=num(1,6); % Coef. Rugosidad Manning 
qb=num(1,7); % Caudal base (m3/s) 
qmax=max(q); % Caudal pico (m3/s) 
qlat=0; 
qo=qb+0.5*(qmax-qb); 
delta_t=ta/m; 
[m1,n1]=size(q); 
j=0; 
tacum=0.0; 
t_acum=zeros; 
y=zeros; 
c=zeros; 
delta_x=zeros; 
delta_xc=zeros; 
k=zeros; 
x=zeros; 
c1=zeros; 
c2=zeros; 
c3=zeros; 
c4=zeros; 
qs=zeros; 
qs(1)=q(1); 
 while j<m1 
 j=j+1; 
 tacum=tacum+delta_t; 
 t_acum(j)=tacum; 
 y(j)=(q(j)*n/(b*so^0.5))^0.6; 
 c(j)=(5/3)*(so^0.5/n)*y(j)^(2/3); 
 delta_x(j)=c(j)*delta_t; 
 delta_xc(j)=(1/2)*(c(j)*delta_t+(qo/(c(j)*b*so))); 
 if delta_x(j)> delta_xc(j) 
 break; 
 end; 
 k(j)=delta_x(j)/c(j); 
 x(j)=0.5*(1-q(j)/(c(j)*b*so*delta_x(j))); 
 c1(j)=((delta_t/k(j))+2*x(j))/((delta_t/k(j))+2*(1-x(j))); 
 c2(j)=((delta_t/k(j))-2*x(j))/((delta_t/k(j))+2*(1-x(j))); 
 c3(j)=(2*(1-x(j))-delta_t/k(j))/((delta_t/k(j))+2*(1-x(j))); 
 c4(j)=(2*delta_t/k(j))/((delta_t/k(j))+2*(1-x(j))); 
 if j > 1 
 qs(j)=c1(j)*q(j-1)+c2(j)*q(j)+c3(j)*qs(j-1)+c4(j)*qlat*delta_x(j); 
 end 
 end 
 area(q, 'FaceColor',[1 0 0],'EdgeColor',[1 0 0]); figure(gcf) 
 title('Tránsito Muskingum - Cunge') 
 xlabel('Tiempo (días)'); 
 ylabel('Caudal(m3/s)'); 
 grid on; 
 hold on; 
 area(qs, 'FaceColor',[0 0 1],'EdgeColor',[0 0 1]); figure(gcf) 
 
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Base de datos 
118.0 100.0 8 6 0.025 0.025 50 
186.0 
 258.0 
 430.5 
 441.0 
 491.4 
 682.5 
 1274.2 
 1442.1 
 1209.8 
 993.6 
 655.2 
 527.8 
 410.8 
 338.0 
 273.0 
 126.0 
 112.0 
 95.2 
 82.6 
 82.6 
 
 
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Resultados 
Hidrograma de salida: 
118 145.24 199.01
 308.12 380.97 436.68
 554.73 912.38 1176.91
 1196.88 1099.12 885.93
 701.86 552.86 440.56
 353.74 247.68 166.55
 125.93 101.77 89.55 
 
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0
500
1000
1500
Tránsito Muskingum - Cunge
Tiempo (días)
C
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d
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3
/s
)
Escuela de Postgrado – Universidad Nacional Agraria La Molina 
Maestría en Recursos Hídricos 
 
gracias!!