TP 4 TRIGONOMETRIA

Vista previa del material en texto

1 
 
 
MÓDULO DE MATEMÁTICA – INGRESO 2023 
TRABAJO PRÁCTICO N° 4 
UNIDAD N° 4: CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA 
 
 
1.- Indicar si las siguientes afirmaciones son Verdaderas (V) o Falsas (F) 
 
a) Dos rectas paralelas a una tercera tienen un punto en común. 
b) Una recta es un subconjunto propio del espacio que tiene al menos dos puntos. 
c) Dos rectas perpendiculares tienen al menos un punto en común. 
d) La letra A se forma por rectas paralelas. 
e) La letra T se forma por rectas perpendiculares. 
f) La senda peatonal está conformada por rectas secantes. 
 
2.- A partir de la siguiente imagen indicar si las afirmaciones son Verdaderas (V) o Falsas (F) 
 
 
a) INK̂ es un ángulo llano. 
b) INM̂ e JNÎ son ángulos suplementarios. 
c) KNL̂ es un ángulo convexo. 
d) LNK̂ y INM̂ son ángulos opuestos por el vértice. 
e) INM̂ y MNL̂ son ángulos adyacentes. 
f) KNĴ y JNÎ son ángulos consecutivos. 
 
3.- A partir de los siguientes datos: 
 
a) b = 50 m; c = 64 m. Calcular los ángulos A, B, C y la hipotenusa a. 
 
b) a = 60 cm; c = 28 cm. Calcular los ángulos A, B, C y el cateto b. 
 
c) b = 2 cm; c = 4 cm. Calcular las razones trigonométricas de B̂ y Ĉ 
 
 
2 
 
 
 
4.- ¿Cuánto miden los ángulos interiores de un triángulo equilátero? ¿Y los exteriores? 
 
 
5.- Calcular: 
 
 𝑏𝑎�̂� =_______ 
 𝑎𝑐�̂� =_______ 
 𝑎𝑏̅̅ ̅ =_______ 
 
 
 
6.- Dado un triángulo con ángulos interiores α̂, β̂ y γ̂, cuyos ángulos exteriores son â, b̂ y ĉ 
respectivamente, completar el siguiente cuadro: 
ÁNGULOS INTERIORES ÁNGULOS EXTERIORES CLASIFICACIÓN DEL TRIÁNGULO 
SEGÚN SUS ÁNGULOS 
 α̂ β̂ γ̂ â b̂ ĉ 
a) 125°30’ 32°18’ 
b) 65°23’15’’ 89°42’45’’ 
 
 
7.- Dada la siguiente figura, responder: 
 
 
a) ¿Es cierto que �̂� + �̂� − �̂� = 90° 
 
b) Si 𝛾 = 70°15′ y �̂� = 43°27′10′′ ¿Cuál es el valor del ángulo �̂�? 
 
 
 
 
3 
 
 
8.- En la siguiente figura, el área sombreada es igual a 27 𝑚2 ¿Cuál es el valor del lado x? 
 
 
 
9.- Indicar si las siguientes afirmaciones son Verdaderas (V) o Falsas (F) 
 
a) En todo triángulo, el valor de un ángulo exterior es igual a la suma de los dos ángulos 
internos no adyacentes. 
 
b) Es posible construir un triángulo cuyos lados midan 5 m, 30 dm y 1500 mm. 
c) En la siguiente figura, el valor del ángulo 𝑥 es igual a α̂ + β̂ + γ̂. 
 
 
d) Es posible construir un triángulo obtusángulo con dos ángulos internos obtusos. 
e) En todo triángulo, los ángulos exteriores son obtusos. 
f) Se puede construir un triángulo equilátero y rectángulo. 
g) Todo triángulo isósceles es también acutángulo. 
h) El área de un triángulo rectángulo es igual a 
𝑐1.𝑐2
2
, donde c1 y c2 son los catetos. 
 
 
10.- En la siguiente figura, calcule el valor del ángulo �̂�. 
 
 
 
11.- Resolver: Un pintor está pintando un edificio de 9 metros de alto. Cuenta con una escalera de 
12 metros, pero para que la misma este estable debe apoyar la base como mínimo a una distancia 
de 6 metros del edificio. ¿Podrá pintar el edificio completo con esa escalera? 
 
 
 
4 
 
 
12.- Observar la siguiente figura, resolver y completar la tabla: 
 
 
 
 
 a b c �̂� 𝛾 𝑠𝑒𝑛 �̂� 𝑐𝑜𝑠 �̂� 𝑡𝑔 �̂� 𝑠𝑒𝑛 𝛾 𝑐𝑜𝑠 𝛾 𝑡𝑔 𝛾 
a) 8 30° 
b) 5 45° 
c) 25 7 
d) 10 5 
 
 
13.- Plantear y resolver: 
 
a) Se realiza un inventario de uno de los productos que vende la empresa para evaluar las unidades 
que aún quedan en stock. 
El encargado de realizar la tarea analiza los ficheros del depósito y encuentra que el producto que 
desea recontar solo se ubica en el último estante de la pared izquierda del depósito. 
Para llevar a cabo el trabajo, el responsable utiliza una escalera que se inclina a 62° del suelo. 
Teniendo en cuenta que dicho estante se encuentra a 5 metros sobre el suelo: 
a.1) ¿Cuál es el ángulo que se forma entre la pared y la escalera? 
a.2) ¿Cuántos metros mide la escalera? 
a.3) ¿A qué distancia de la pared se ubica el inicio de la escalera? 
 
 
b) Al mes siguiente, el mismo encargado del ejercicio anterior, debe realizar el inventario, pero de 
otro producto que esta vez se encuentra ubicado en el primer estante de la pared derecha del 
depósito. Entre los elementos disponibles con los que cuenta en ese momento para acceder a dicho 
estante solo hay una escalera de 7 metros que fija a 4 metros de distancia respecto a la pared. 
En este caso: 
 
b.1) ¿Cuál es el ángulo que se forma entre la escalera y la pared? 
b.2) ¿Cuál es el ángulo que se forma entre la escalera y el suelo? 
b.3) ¿A cuántos metros sobre el suelo está ubicado el estante? 
 
 
 
 
5 
 
 
c) Una empresa quiere realizar una ampliación para reorganizar sus departamentos (compras, 
producción, ventas) de manera que resulte más eficiente la interrelación entre ellos. 
Luego de analizar los presupuestos otorgados por distintas compañías de la construcción, contrató 
con una de ellas para comenzar con la obra. 
Los obreros cuentan con una madera de 17 metros que ubican desde el suelo hasta el techo de la 
empresa de 8 metros de altura, a los fines de ser utilizada como una rampa que permita trasladar 
los materiales necesarios hasta la zona de la construcción. ¿Qué pendiente tendrá la rampa? 
 
d) La planta de producción de una empresa tiene forma rectangular. Uno de los lados de la planta 
mide 284 metros y si se traza una diagonal formaría con este un ángulo de 30°. 
d.1) ¿Cuál es la longitud de la diagonal? 
d.2) ¿Cuál es el área de la planta de producción? 
 
e) Con el objetivo de separar dos especies de legumbres, un productor desea cercar con tres piezas 
de madera un terreno de la siguiente manera: 
e.1) ¿Cuántos metros debería comprar de madera? 
e.2) ¿Qué ángulo debería considerar para alinear la pieza de madera que se 
ubica en la diagonal? 
 
 
 
f) Un camión recorre durante el proceso de producción un camino establecido que une tres 
estaciones dentro de la empresa, primero traslada las materias 
primas de la estación A hacia la estación B, luego transporta los 
productos en proceso de la estación B hasta la estación C y 
finalmente traslada los productos terminados desde la estación C 
a la estación A donde se cargan a los camiones que salen de la empresa y recorren el país 
repartiendo la mercadería. 
La distancia que realiza desde la estación A hasta la estación B y desde la estación B a la estación 
C es exactamente igual y el ángulo que se forma entre ambos recorridos es de 40°, sin embargo, 
desde la estación C hasta la estación A recorre 64 metros. ¿Cuál es el perímetro del recorrido? 
 
g) Cerca del centro está ubicado un edificio de cinco pisos perteneciente a una empresa, en los 
primeros cuatro se encuentran las oficinas del departamento de finanzas y del departamento de 
marketing, y en el último piso se encuentran las oficinas de la dirección general. 
Un ingeniero es contratado para evaluar el daño estructural del edificio debido a que se trata de unaconstrucción bastante antigua. 
 
 
 
6 
 
El profesional se ubica a 20 metros de la base del edificio para obtener una visión global, a partir de 
su línea de visión que está a 1,90 metros sobre el suelo al mirar hacia el cuarto piso eleva su mirada 
38° y al mirar hacia la cúspide del edificio la eleva 5° más. 
g.1) ¿Cuál es la altura del edificio? 
g.2) ¿Qué parte de la altura del edificio corresponde a las oficinas de la dirección general? 
g.3) ¿Qué parte de la altura del edificio corresponde a las oficinas del departamento de finanzas y 
del departamento de marketing? 
 
h) A un barco se lo ve desde un faro de 25 m ubicado en la costa con un ángulo de depresión de 
12°, ¿Cuál es la distancia entre la costa y el barco? 
 
i) Una columna sostiene una estatua. Con un teodolito (aparato para medir ángulos) ubicado a 8 m 
del pie de la columna se ve el extremo superior de la estatua bajo un ángulo de elevación de 55° y 
el extremo inferior de la misma bajo un ángulo de 35°, ¿Cuál es la altura de la estatua? 
 
j) Una antena de comunicaciones está sujeta desde su extremo al piso por un cable de acero de 16 
m de longitud, que forma un ángulo de 25° con dicha antena. ¿Cuál es la altura de la antena y a 
que distancia de la misma está amarrado el cable al suelo? 
 
Repaso teórico: Teorema del seno y del coseno 
 
Teorema del seno: 
En trigonometría, el teorema de los senos o también llamado Ley de los senos, es una 
relación de proporcionalidad entre las longitudes de los lados de un triángulo y los senos de sus 
respectivos ángulos opuestos. Usualmente se presenta de la siguiente forma: 
 
 
 
7 
 
 
Teorema del coseno: 
El cuadrado de un lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos 
lados, menos el doble producto de dichos lados por el coseno del ángulo que forman: 
 
 
a2 = b2 + c2 − 2bc ∙ cos α 
b2 = a2 + c2 − 2ac ∙ cos β 
c2 = a2 + b2 − 2ab ∙ cos γ 
 
 
14.- Observar la siguiente figura, resolver y completar la tabla: 
 
 a b c �̂� �̂� 𝛾 
a) a) 2 47° 57° 
b) b) 5 6 70° 
 
 
 
 
15.- En una empresa, el encargado de la logística y distribución de las mercaderías quiere elegir el 
recorrido más eficiente para el camión que las transporta. Para ello analiza diferentes recorridos 
entre diversas cadenas de supermercados. 
Al trazar uno de los caminos en un plano arma la siguiente gráfica: 
En este caso ¿Cuál es la distancia total que debe recorrer el 
camión? 
 
16.- Al evaluar las diferentes alternativas para reforzar la seguridad del depósito de una empresa, 
se decide instalar tres cámaras cerca de su perímetro. Dichas cámaras tienen diferentes rangos de 
visión, aunque todas se mantienen fijas. 
Se instala la cámara A a 75 metros de distancia de la B y a 55 metros de la C, y esta última a 30 
metros de la cámara B. ¿Cuál es la cámara que tiene mayor ángulo de visión sobre el depósito? 
 
 
8 
 
 
17.- Dos veces por semana, el gerente de producción de una empresa observa y evalúa el 
funcionamiento de las distintas maquinarias necesarias para 
convertir las materias primas en producto terminado. 
En total hay cinco maquinarias que forman parte del proceso 
de producción, distribuidas en la planta como indica la 
siguiente figura: 
El recorrido que realiza el gerente empieza en la maquinaria 
1, continúa por la maquinaria 2, sigue por la maquinaria 3, luego analiza la maquinaria 4 y finalmente 
la maquinaria 5. Al volver pasa por la maquinaria 3 para llegar directamente a la maquinaria 1 donde 
arma un informe y posteriormente se retira. 
De la maquinaria 1 a la 2 hay una distancia de 175 metros y los ángulos �̂� y �̂� miden 105° y 15° 
respectivamente. 
Luego, de la maquinaria 3 a la 4 hay 150 metros de distancia y de la 4 a la 5 hay 100 metros, 
además el ángulo �̂� mide 38° 57´ 48,92´´. ¿Cuántos kilómetros recorre el gerente de producción 
por semana para visualizar el desempeño de la planta? 
 
18.- Un observador que se encuentra sobre el tejado de una casa, halla que el ángulo de elevación 
desde su punto de vista hasta la punta de una torre de alta tensión es de 18° y el ángulo de depresión 
hasta el pie de esta es de 7°. Hallar la distancia (medida horizontalmente) entre el observador y la 
torre, además encuentre la altura de dicha torre si la distancia en línea recta desde los ojos del 
observador hasta el pie de la torre es de 41 m. 
 
19.- Un edificio tiene en su techo una antena de radio. Si desde unos 150 m en la vereda se ve que 
el ángulo que va desde la base de la antena y su extremo es de 10° y sabiendo que el edificio mide 
60 m. ¿Cuál es la altura de la torre? 
 
20.- Un globo aerostático asciende verticalmente a velocidad constante. Cuando se encuentra a 80 
m de altura, una persona desde la canastilla del globo ve un objeto a cierta distancia de su vertical. 
En ese instante la línea de visión del observador con el objeto forma un ángulo de 67° con la vertical. 
Después de un tiempo, en que continúa subiendo en dirección vertical, el ángulo cambia a 56°. 
Considerando despreciable la altura del objeto. ¿Qué altura alcanzo el globo durante el periodo de 
observación? 
 
21.- Una valla que rodea un terreno tiene forma triangular, con su lado mayor 
midiendo 20 m y otro de sus lados 6 m. Si el ángulo entre estos 2 lados es de 60°, 
calcular el perímetro de la valla. 
 
9 
 
 
22.- Para medir la altura de un edificio uno puede utilizar un teodolito, un 
instrumento de medición de ángulos. Si se sabe que la altura del edificio es de 15m, 
la distancia entre la base del edificio y el teodolito es de 9.25m y que el ángulo que 
barre el instrumento entre la base y techo del edificio es de 92°. Calcule la distancia 
entre el techo y el instrumento. 
 
 
23.- Un proyector con un ángulo de apertura de 70° dista 5 m con respecto a la 
parte inferior de la pantalla y 6 m con la parte superior de la pantalla. Encuentre la 
dimensión de la pantalla y los ángulos internos del triángulo que se forma. 
 
24.- Resolver las siguientes ecuaciones trigonométricas: 
a) 3 + 3cosx = 2sen2x 
b) sen x + 1 = cos x 
c) cos x + 2 sen x = 2 
d) tan x = tan (
π
2
− 2x) 
e) sen2x − cos2x =
1
2
 
f) sen2x. cosx = 6sen3x 
g) 2cosx = 3tgx 
 
 
25.- Pruebe las siguientes identidades trigonométricas: 
a) 
𝑠𝑒𝑐 𝑦
tan y+cot y
= 𝑠𝑒𝑛 𝑦 
b) 
csc x
tan x +cot x
= cos x 
c) 1 + tan2 x = sec3 𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 
d) tan x + tan y = tan x ∙ tan y ∙ (cot x + cot y) 
 
26.- Dos estudiantes resolvieron el siguiente problema con dos métodos distintos, llegando a dos 
conclusiones distintas. 
A continuación, se detallan los dos métodos y sus respectivas justificaciones. 
 
6m 
5m 
70° 
 
10 
 
 
Responder: 
a) Alguno de ellos, ¿resolvió correctamente el problema? 
b) ¿Cuál es el error en la(s) conclusión(es)equivocada(s)? 
 
Problema: Verificar si 𝒔𝒆𝒏(𝒙) = −𝒔𝒆𝒏(𝒙) es una identidad. 
Estudiante A (resolución) Estudiante A (justificación) 
𝑠𝑒𝑛(𝑥) = −𝑠𝑒𝑛(𝑥) 
[𝑠𝑒𝑛(𝑥)]2 = [−𝑠𝑒𝑛(𝑥)]2 
𝑠𝑒𝑛2(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛2(𝑥) 
 
 
Primero elevé al cuadrado a ambos miembros, 
luego simplifiqué la paréntesis y obtengo que la 
expresión a la izquierda es exactamente la misma 
que la de derecha, por lo que la igualdad vale 
para todo 𝑥, es decir, es una identidad. 
Estudiante B (resolución) Estudiante B (justificación) 
𝑠𝑒𝑛(𝑥) = −𝑠𝑒𝑛(𝑥) 
𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 𝑠𝑒𝑛(𝑥) = 0 
2 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝑥) = 0 
𝑠𝑒𝑛(𝑥) = 0 
𝑥 = 0°, 180°, 360° 
Primero sumé 𝑠𝑒𝑛(𝑥) a ambos miembros, luego 
simplifiqué la suma y dividí ambos miembros por 
2. Así obtengo una ecuación que resolví mediante 
la función 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛. Como la ecuación sólo vale 
para tres valores de 𝑥, no es una identidad. 
 
27.- Un campo de cultivo de 2 ha tiene la forma de un triángulo isósceles. Se sabe que cada uno 
de los lados iguales mide el doble que el lado distinto, si se quiere cercar el campo completo con 
malla ¿cuántos metros de malla se necesita para hacerlo? Redondee a la centésima. 
 
28.- En el diagrama se muestra dos círculos idénticos y un rectángulo 𝐴𝐵𝐶𝐷. Los puntos 𝐴 y 𝐵 
están sobre la circunferencia de los dos círculos; y los puntos 𝐶 y 𝐷 son los centros de los dos 
círculos respectivamente. El radio de los círculos es 20 𝑐𝑚 y el área del 
rectángulo es 200𝜋 𝑐𝑚2. Verificar que las dos áreas sombreadas tienen 
igual magnitud. 
 
29.- La figura está formada por un semicírculo con un triángulo rectángulo inscrito 𝐴𝐵𝐶. Se sabe 
que 𝐵𝐶 = 42 𝑐𝑚 y las razones 𝐵𝐶: 𝐶𝐴: 𝐴𝐵 es de 3: 4: 5. Tomando 𝜋 =
22
7
, calcular: 
a) La longitud de los dos lados 𝐶𝐴 y 𝐴𝐵. 
b) El área de la región sombreada. 
c) El perímetro de la región sombreada. 
 
30.- En un polígono regular, un ángulo interior mide 140°. ¿Cuántos lados tiene este polígono? 
 
 
 
11 
 
 
31.- Calcular y responder 
a) La suma de los ángulos interiores de un polígono regular de 10 lados. 
b) En un cierto polígono regular, el ángulo interior es 7 veces el ángulo exterior. ¿Cuánto mide el 
ángulo exterior? 
 
32.- ¿Cuál es el área y el perímetro de la figura? 
 
 
 
 
 
 
 
 
33.- Una pileta rectangular de largo 12 𝑚 y ancho 7,8 𝑚 cuenta con un borde de ancho uniforme de 
0,9 𝑚. El borde va a estar adornado con baldosas importadas que miden 30 𝑐𝑚 × 30 𝑐𝑚. 
a) ¿Cuántas baldosas se necesitan para adornar el borde? 
b) Si las baldosas vienen en cajas de 15 unidades a un precio de $1250 por caja, con un descuento 
de 20% si se compra más de 50 cajas: 
b.1) ¿Podría aprovecharse del descuento? 
b.2) ¿Cuánto costaría adornar el borde? 
 
34.- A continuación, se muestran cuatro figuras geométricas de igual altura. Dado que el área del 
triángulo es 72 𝑐𝑚2, encontrar el área de las otras tres figuras restantes. 
 
 
35.- A la derecha se ve un octágono regular de lado 8 𝑐𝑚. 
Dado que el ángulo 𝐶𝐷�̂� es de 45°, encontrar: 
a) El ángulo 𝐸𝐷�̂�. 
b) La longitud del lado 𝐴𝐸̅̅ ̅̅ . 
c) El perímetro del triángulo 𝐴𝐷𝐸. 
 
 
12 
 
 
36.- Calcular los volúmenes y áreas superficiales de las siguientes pirámides. 
 
 
37.- Calcular los volúmenes y áreas superficiales de los siguientes conos. 
 
 
38.- Calcular los volúmenes y áreas superficiales de las siguientes esferas. 
 
 
39.- Responder 
a) El área de la base de una pirámide es de 21 𝑐𝑚2 y su volumen 112 𝑐𝑚3. Calcular su altura. 
b) La altura de una pirámide con base cuadrada es de 15 m y su volumen 405 𝑚3. Calcular la 
longitud de un lado de la base. 
c) La base de una pirámide tiene forma de pentágono regular con área 64 𝑚2 y altura 6 m. Calcular 
su volumen. 
 
13 
 
 
d) El diámetro de un cono es 24 m y su volumen 3768 𝑚3. Calcular su altura. 
e) La circunferencia de la base de un cono es de 88 cm y su altura 18 cm. Calcular su área superficial 
total. 
f) El área superficial total de un cono de radio 28 cm es 5500 𝑐𝑚2. Calcular la longitud de su 
generatriz. 
g) Una esfera metálica sólida de radio 6 cm es fundida y vertida en un molde con forma de cono de 
radio 8 cm. Calcular la altura del cono formado. 
h) La razón entre el volumen de un hemisferio (mitad de una esfera) y el volumen de un cilindro es 
3:4. Si el radio de la base del cilindro es 8 cm y su altura 24 cm, calcular el área superficial total del 
hemisferio. 
 
40.- Una emprendedora quiere fabricar velas caseras y venderlas. Ella compra cera industrial en 
cubos de lado 0,5 m para derretirlos en su taller y luego formar velas cilíndricas de radio 1 cm y 
altura 6 cm. Si se sabe que: 
 En el proceso de producción, se sufre una pérdida de 10% de la materia prima. 
 Un cubo de cera cuesta 60 mil pesos. 
 El costo de materia prima es 75% del costo total de producción. 
 Ella busca una ganancia de 25%. 
 Quiere vender las velas en paquetes de docenas. 
¿Cuánto debe cobrar por cada paquete de velas? 
 
41.- Un queso cilíndrico tiene radio 14 𝑐𝑚 y altura 12 𝑐𝑚. Se cortó un pedazo 
de queso verticalmente hacia abajo, y hasta el centro. Si la proporción del 
pedazo cortado es 12,5% del queso, calcular el volumen y el área superficial 
total del queso que queda. 
 
42.- Sea 𝜃 un ángulo obtuso que cumple la igualdad 𝑠𝑒𝑛(𝜃) =
8
17
. Indicar el valor para: 
a) cos(θ̂) = 
b) tg(θ̂) = 
c) sec(θ̂) = 
d) cosec(θ̂) = 
e) cotg(θ̂) = 
 
 
 
14 
 
 
43.- ¿Verdadero o Falso? 
 
¿V o F? 
a) En el intervalo [0°, 360°], la ecuación 𝑠𝑒𝑛(𝑥) = 0 tiene 3 soluciones. 
b) En el intervalo [0°, 360°], la ecuación 𝑐𝑜𝑠(𝑥) = 0 tiene 3 soluciones. 
c) En el intervalo [0°, 360°], la ecuación 𝑠𝑒𝑛(𝑥) = 1 tiene 2 soluciones. 
d) En el intervalo [0°, 360°], la ecuación 𝑐𝑜𝑠(𝑥) = 1 tiene 2 soluciones. 
e) 𝑠𝑒𝑛−1[𝑠𝑒𝑛(𝑥)] = 𝑥 en el intervalo [0°, 90°] 
f) 𝑠𝑒𝑛−1[𝑠𝑒𝑛(𝑥)] = 𝑥 en el intervalo [0°, 360°] 
g) Si una ecuación trigonométrica tiene 2 soluciones en grados, entonces también 
tiene 2 soluciones en radianes. 
 
 
44.- Sea 𝐴𝐵𝐶 un triángulo con 𝐴𝐵 = 12 𝑐𝑚, 𝐴𝐶 = 9 𝑐𝑚, y el ángulo 𝐴𝐵�̂� = 42°. 
a) Dibujar un esquema del triángulo. 
b) Encontrar la magnitud del ángulo 𝐴𝐶�̂�. 
 
45.- Sea 𝐴𝐵𝐶 un triángulo con 𝐴𝐵 = 7 𝑐𝑚, 𝐴𝐶 = 9 𝑐𝑚, y el ángulo 𝐵𝐴�̂� = 95°. Calcular las siguientes 
medidas: 
a) Longitud del lado 𝐵𝐶 
b) El ángulo 𝐴𝐵�̂� 
 
 
 
 
46.- Complete la tabla y el dibujo con el signo que corresponda: 
 
 
 
 
15 
 
 
47.- Usando la siguiente imagen como referencia, marque con una X, al final de la oración, la o las 
respuestas correctas: 
a) La función en letras blancas cos recibe como argumento un lado. 
b) La función en letras amarillassin−1 se activa apretando shift sin y 
es equivalente a calcular 
1
𝑠𝑒𝑛
 pero como se usa tanto directamente 
queda como función de la calculadora para sacar cuentas más 
rápidamente. 
c) La función en letras amarillas tan−1 se activa apretando shift tan 
y me sirve para despejar el ángulo si teníamos como dato el valor de 
la tangente. 
d) La función hyp calcula la hipotenusa de un triángulo. 
e) Todas las anteriores son correctas 
f) Ninguna de las anteriores son correctas 
 
48.- Con la siguiente regla presentada en la tabla para el cálculo de ángulos notables sin 
calculadora, calcule: 
a) sen 30°= 
b) cos 60°= 
c) sen 0°= 
d) cos 0°= 
e) sen 90°= 
f) cos 90°= 
g) sen 60°= 
h) cos 30°= 
i) sen 45°= 
j) cos 45°= 
 
49.- Calcule el valor de la tangente de 60° usando la tabla de ángulos notables brindada 
anteriormente y la definición de tangente. Calcule el valor de la relación recíproca. Racionalice si 
corresponde. 
 
50.- Halle las soluciones de las siguientes ecuaciones trigonométricas comprendidas en el intervalo 
[0,2𝜋]. 
a) 𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 𝑡𝑔2𝑥 = 0 
b) 2𝑠𝑒𝑛𝑥 + √3𝑡𝑔𝑥 = 0 
c) 𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 𝑠𝑒𝑛𝑥 = 𝑠𝑒𝑛2𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 
 
 
16 
 
 
51.- Si 𝑠𝑒𝑛 (𝑥 +
𝜋
4
) . 𝑠𝑒𝑛 (𝑥 −
𝜋
4
) =
1
2
. 𝑠𝑒𝑛𝑥, encuentre un valor de x que pertenezca al tercer 
cuadrante. 
 
52.- Dada (
𝑠𝑒𝑛𝑥
1+𝑐𝑜𝑠𝑥
+ 𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥), encuentre una expresión equivalente. 
 
53.- Un avión vuela a una altura de 920 metros y puede observar una pista de aterrizaje con un 
ángulo de depresión de 20°, si el avión se dirige en línea recta: 
 
 
a) ¿Cuánto tiene que recorrer para estar exactamente arriba de la pista? 
b) ¿Cuál es la distancia desde avión hasta la pista? 
 
Nota: Si un objeto está por debajo de la horizontal, se llama ángulo de depresión al ángulo formado por una línea 
horizontal y la línea visual hacia el objeto. 
Si un objeto está por encima de la horizontal, se llama ángulo de elevación al ángulo formado por una línea 
horizontal y la línea visual hacia el objeto 
 
 
54.- En un depósito con dimensiones de 8 m de largo, 3 m de alto y 4 m de ancho se quiere 
almacenar cajas de dimensiones de 80 cm largo, 60 cm alto y 50 cm ancho ¿Cuántas cajas se 
puede almacenar? 
 
 
 
 
 
 
 
17 
 
 
 
55.- En el juego de Pac-Man, los fantasmas pueden ser dibujados mediante figuras geométricas 
como muestra la figura, siendo 𝑟 = 3𝑐𝑚. ¿De cuánto es el área del color del fantasma? (sin contar 
los ojos) 
 
 
 
 
56.- Si se quiere medir la altura de una estatua que se encuentra en el centro 
de una plaza, sabiendo que de una distancia x, el ángulo hasta su punto más 
alto es de 45°. Mientras que, si se acerca unos 5 m a la estatua, el ángulo se 
incrementa en unos 15°. ¿Cuál es la altura de la estatua?