El algebra escolar en el diseno curricular para la educacion secundaria de la provincia de Entre Rios

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LICENCIATURA EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA 
 
 
 
 
 
 
El álgebra escolar en el Diseño Curricular para la Educación 
Secundaria de la provincia de Entre Ríos 
 
 
 
 
 
 
Núcleo de Investigación en Educación en Ciencia y Tecnología NIECyT 
Departamento de Formación Docente 
Facultad de Ciencias Exactas 
Universidad Nacional de Centro de la Provincia de Buenos Aires 
UNCPBA 
2021 
 
 
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LICENCIATURA EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA 
 
 
 
 
El álgebra escolar en el Diseño Curricular para la Educación 
Secundaria de la provincia de Entre Ríos 
 
 
Tesista: Prof. Yanina Macarena Morales 
Directora: Dra. Viviana Carolina Llanos 
Codirectora: Dra. María Rita Otero 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tesis de Licenciatura realizada 
bajo la dirección de la Dra. 
Viviana Carolina Llanos, y la 
Codirección de la Dra. María 
Rita Otero, presentada en la 
Facultad de Ciencias Exactas de 
la Universidad Nacional del 
Centro de la Provincia de 
Buenos Aires, como requisito 
parcial para la obtención del 
título de Licenciada en 
Educación Matemática. 
Tandil, octubre de 2021 
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RESUMEN 
Esta investigación estudia el álgebra escolar en el Diseño Curricular (en adelante DC) de 
la Provincia de Entre Ríos para el nivel secundario. Se adopta como referencial teórico la 
Teoría Antropológica de lo Didáctico (TAD) de Yves Chevallard (1989). Además, desde 
una perspectiva epistemológica se analizan las características de las Tradiciones de la 
Matemática desarrolladas por Klimovsky y Boido (2005). 
A partir de los constructos teóricos antes mencionados se formulan y describen las 
categorías de análisis que permiten definir las características del DC de la provincia de 
Entre Ríos, entorno al álgebra escolar. El análisis realizado es de tipo documental, la 
fuente de datos está constituida por los lineamientos curriculares de la provincia de Entre 
Ríos en sus dos tomos: tomo I correspondiente al Ciclo Básico de educación secundaria 
(1°, 2° y 3°) y, tomo II correspondiente al Ciclo Orientado de educación secundaria (4°, 
5° y 6°) 
Los resultados obtenidos muestran que el álgebra involucrada en DC de la provincia de 
Entre Ríos se identifica con una aritmética generalizada. El estudio de los conocimientos 
algebraicos se genera alrededor de tres tipos fundamentales de tareas: el cálculo numérico, 
la generalización de propiedades y la “traducción” de enunciados verbales a ecuaciones 
o expresiones algebraicas. La “modelización” a la que refiere el DC no es entendida en 
términos de la TAD, sino que consiste en la resolución de problemas de aplicación 
aislados, en su mayoría provenientes de otras ciencias. Una consecuencia que se identifica 
de la ausencia del álgebra como instrumento de modelización es que el DC no presenta 
unidad funcional, las OM presentes en él se caracterizan por su marcado carácter 
prealgebraico y las fórmulas juegan el papel de reglas dadas. 
En relación a las características de las Tradiciones de la Matemática desarrolladas por 
Klimovsky y Boido (2005) implícitas en el DC es posible afirmar que existe un 
predominio de la Tradición Computacional, siendo menor la presencia de rasgos de la 
Tradición Estructural y prácticamente nula la presencia de la Tradición axiomática. Lo 
anterior coincide con la interpretación del álgebra como aritmética generalizada, ya que 
se focaliza en los números, sus propiedades y los cálculos que con ellos se realizan. 
Finalmente se propone una posible tarea con potencial para generar un proceso de 
modelización algebraica en términos de la TAD en la educación secundaria. 
 
4 
 
ABSTRACT 
This research studies school algebra in the curriculum design (hereinafter DC) from Entre 
Ríos Province for the secondary education level. The Anthropological Theory of 
Didactics (TAD) by Yves Chevallard (1999) is adopted as a theoretical reference. 
Furthermore, from an epistemological perspective, the characteristics of the Traditions of 
Mathematics developed by Klimovsky and Boido (2005) are analyzed. 
From the aforementioned theoretical constructs, it is formulated and described the 
categories of analysis that allow defining the characteristics of the CD of Entre Ríos, 
around school algebra. The analysis made is documentary type, the data source is 
constituted by the curricular guidelines of the province of Entre Ríos in its two volumes: 
volume I corresponding to the Basic Cycle of secondary education (1st, 2nd and 3rd) and, 
Volume II corresponding to the Oriented Cycle of secondary education (4th, 5th and 6th). 
The results obtained show that the algebra involved in DC in the province of Entre Ríos 
is identified with a generalized arithmetic. The study of algebraic knowledge is generated 
around three fundamental types of tasks: numerical calculus, generalization of properties 
and the “translation” of verbal sentences into equations or algebraic expressions. The 
“modeling” to which the CD refers is not understood in terms of the TAD, but consists of 
solving isolated application problems, mostly from other sciences. One consequence that 
is identified from the absence of algebra as a modeling tool is that the CD does not present 
a functional unit, the OM present in it are characterized by their marked pre-algebraic 
character and the formulas play the role of given rules. 
In relation to the characteristics of the Traditions of Mathematics developed by 
Klimovsky and Boido (2005) implicit in the CD, it is possible to affirm that there is a 
predominance of the Computational Tradition, the structural tradition is less presented 
and the axiomatic tradition is void. The previously mentioned coincides with the 
interpretation of algebra as generalized arithmetic, since it focuses on numbers, their 
properties and the calculations that are made with them. 
Finally, a possible potential task is proposed in order to generate an algebraic modeling 
process in terms of ADT in secondary education. 
 
5 
 
Agradecimientos 
Quiero agradecer: 
A la Facultad de Ciencias Exactas de la Universidad Nacional del Centro de la Provincia 
de Buenos Aires, por apoyar la formación de docentes. 
A mi Directora de Tesis, Dra. Viviana Carolina Llanos y a mi Codirectora, la Dra. María 
Rita Otero, por el acompañamiento intelectual brindado durante este proceso. 
A mis compañeros de la Licenciatura en Educación Matemática. 
A mi familia, por motivarme a cumplir mis sueños, por la escucha y las palabras amables 
en el momento preciso, y, sobre todo, por siempre confiar en mí. 
A mis compañeros y colegas, en especial a Sergio por motivarme a iniciar esta carrera y 
apoyarme en su desarrollo. 
A mis amigos, por estar presentes en cada momento importante de mi vida, en especial a 
Flor y a Carina por las tardes de charlas, mates y estudio, por los consejos y las palabras 
de aliento siempre que las necesité. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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ÍNDICE 
Capítulo 1 ........................................................................................................................ 8 
1. Introducción y formulación del problema .................................................................... 9 
 1.1 Objetivos ............................................................................................................... 10 
1.2 Antecedentes de la investigación .......................................................................... 10 
2. Organización de la presentación ................................................................................. 12 
Capítulo 2 ...................................................................................................................... 14 
1. El álgebra escolar desde la perspectiva de la TAD .................................................... 15 
1.1 Algunos conceptos de la TAD .............................................................................. 152. Evolución histórica del álgebra como saber sabio y del álgebra como saber a enseñar
 ........................................................................................................................................ 17 
2.1 Evolución histórica del álgebra ............................................................................. 17 
2.2 El álgebra escolar. ................................................................................................. 22 
2.2.1 Evolución del álgebra como saber a enseñar ................................................. 22 
2.2.2 El pasaje de la aritmética al álgebra ............................................................... 22 
2.2.3 La reforma de las matemáticas modernas ...................................................... 24 
2.2.4 Dialéctica entre lo numérico y lo algebraico .................................................. 25 
2.2.5 Sistemas de números y cálculos algebraicos .................................................. 26 
3. La actividad de modelización matemática en la TAD ................................................ 28 
3.1 La modelización matemática como instrumento de articulación de la matemática 
escolar ......................................................................................................................... 32 
3.2 Modelización algebraica ....................................................................................... 33 
Capítulo 3 ...................................................................................................................... 35 
1. Metodología de la investigación ................................................................................. 36 
1.2 Características del DC de la Provincia de Entre Ríos ........................................... 36 
1.2 Construcción de categorías de análisis ................................................................. 37 
Capítulo 4 ...................................................................................................................... 43 
1. Análisis de datos ........................................................................................................ 57 
1.1 Discusión sobre la categoría C1: características del álgebra escolar................... 48 
1.2 Discusión sobre la categoría C2: nivel de algebrización ..................................... 50 
1.3 Discusión sobre la categoría C3: tradiciones ........................................................ 56 
Capítulo 5 ...................................................................................................................... 57 
1. Propuesta de una tarea de modelización ..................................................................... 57 
 
7 
 
Capítulo 6 ...................................................................................................................... 70 
1. Conclusiones ............................................................................................................... 70 
Referencias .................................................................................................................... 74 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Capítulo 1 
 
9 
 
CAPÍTULO 1 
1. Introducción y formulación del problema 
El trabajo se enmarca dentro del problema didáctico del álgebra escolar. Diversas 
investigaciones dentro de la Teoría Antropológica de lo Didáctico (TAD) (Chevallard, 
1989; Gascón 1993, 1994-95, 1999; Bolea, Bosch y Gascón 1998, 2001, 2004; Bolea 
2002; García 2005; Ruíz Munzón, 2010) han estudiado qué es lo que se enseña bajo el 
apelativo de álgebra elemental y, en consecuencia, qué se entiende por “álgebra 
elemental” en la clase de matemáticas, en la escuela y, más ampliamente, en la sociedad. 
Así se han cuestionado ¿Qué actividades y conocimientos constituyen el álgebra 
elemental en cuanto saber enseñado? y a su vez ¿Qué actividades y conocimientos 
relativos al álgebra no se enseñan en la escuela? (Chevallard y Bosch, 2012). Dichas 
investigaciones concuerdan en que el modelo implícito dominante del álgebra escolar se 
corresponde con una generalización de la aritmética. 
Entender al álgebra como aritmética generalizada es considerarla como una prolongación 
de la aritmética, que permite extender propiedades y relaciones de números particulares 
a números cualesquiera (Chevallard, 1989). Así el álgebra escolar es presentada como un 
instrumento superior a la aritmética, pero que sirve para una tarea similar, es decir, se 
proponen problemas que bien pueden ser resueltos en un contexto aritmético y luego se 
presenta la solución desde el álgebra, lo cual oculta la verdadera utilidad del instrumento 
algebraico. 
Esta concepción del álgebra no es compatible con el modelo epistemológico general de 
la actividad matemática que propone la TAD, y junto con otros aspectos de la 
epistemología dominante escolar actual, limita la actividad matemática que es 
didácticamente viable en secundaria, contribuyendo esto a una desarticulación de la 
matemática escolar y de las relaciones funcionales elementales (Gascón 2000). Las 
investigaciones realizadas en el marco de la TAD han dado lugar a la formulación de un 
modelo epistemológico “alternativo” del álgebra escolar, desde el cual enunciar y abordar 
nuevos problemas de investigación didáctica. El modelo propuesto por Chevallard sitúa 
la modelización matemática en el núcleo de toda actividad matemática y considera al 
álgebra escolar como instrumento de modelización de todas las organizaciones 
matemáticas escolares (Chevallard, 1989). 
En los últimos desarrollos, la TAD ha proporcionado nuevos instrumentos teóricos que 
han permitido reformular el problema didáctico del álgebra escolar en términos más 
cercanos a la actividad matemática misma, tomando en consideración la estructura y la 
dinámica de lo que Chevallard (1999) denomina praxeologías matemáticas y didácticas, 
que se han desarrollado alrededor de los objetos matemáticos que en la cultura escolar se 
consideran como objetos “algebraicos”. Se han construido así problemas didácticos que 
toman como objeto de estudio las características del álgebra escolar en la educación 
secundaria obligatoria, estudiando si la misma aparece como una praxeología u 
organización matemática en sí misma o como un instrumento de estudio de otras 
10 
 
praxeologías (Bolea, 2002). Este aspecto es considerado como punto de partida de esta 
investigación. 
En esta investigación, el problema del álgebra escolar (en adelante AE) se analiza a partir 
de los conocimientos de álgebra contenidos en el Diseño Curricular (DC) de Matemática 
de la escuela secundaria de la Provincia de Entre Ríos, y se discuten las características de 
la modelización propuesta en el diseño. Se propone además un ejemplo para describir lo 
que se entiende por modelización en la TAD. 
1.1 Objetivos 
Generales 
 Analizar las características del Álgebra escolar propuesta para enseñar en el DC 
de Matemática de la Provincia de Entre Ríos en la Educación Secundaria. 
 Identificar las características de la modelización algebraica en el DC de la 
Provincia de Entre Ríos. 
 Analizar las características del álgebra escolar desde una perspectiva 
epistemológica. 
Específicos 
 Generar una categorización inductiva que permita analizar las características del 
algebra escolar y la modelización algebraica en el DC de la Provincia de Entre 
Ríos. 
 Analizar las características del álgebra escolar del DC, a partir de las Tradiciones 
de la Matemática desarrolladas por Klimovsky y Boido (2005) 
 Proponer un ejemplo de posible tarea de modelización matemática en el sentido 
de la TAD para la escuela secundaria 
Preguntas de la Investigación: 
 ¿Cuáles son las características del AE propuesta para en el DC de la Provincia de 
Entre Ríos? ¿Qué características tiene la modelización algebraica propuesta en el DC de 
Matemática de la Provincia de Entre Ríos? 
 ¿Qué características de las tradiciones epistemológicas definidas por Klimovsky 
y Boido (2005) se pueden identificar en el DC de la provincia de Entre Ríos con 
relación al álgebra escolar? 
1.2 Antecedentes de la investigación 
En este apartado se realiza de una síntesis de las investigaciones relativas al álgebra 
escolar. Con ella se pretenden especificar ciertos resultados que son la base para las ideas 
de este trabajo, y justifican a su vez la relevancia del problema estudiado. También, 
debemos mencionar que dichos antecedentes serán organizados de la siguiente forma: en 
11 
 
primer lugar, se presentarán aquellas conclusiones derivadas del análisis de las 
organizaciones matemáticas presentes en el currículo y relativas al modelo dominante del 
álgebra escolar en la escuela secundaria, y luego se citarán aquellas vinculadas al estudio 
del álgebra como instrumento de modelización. 
Chevallard (1989) en sus estudios deja en evidencia las transformaciones que ha sufrido 
el álgebra escolar a lo largo del tiempo, y señala que en la actualidad el álgebra es 
entendida como una aritmética generalizada, es decir, se la concibe como una 
continuación de la aritmética, que permite generalizar propiedades y relaciones de los 
números. El autor afirma que en este modo de entender el álgebra la dialéctica entre lo 
numérico y lo algebraico se pierde, ya que es lo numérico lo que "justifica" y "permite 
comprender" lo algebraico (p.27), pero se desconoce el uso del instrumento algebraico 
para estudiar lo numérico. 
Por su parte, Gascón (2000) coincide con Chevallard (1989) en que en la actualidad el 
álgebra escolar es considerada una ampliación y generalización de las prácticas 
aritméticas, y analiza las consecuencias de dicho fenómeno, entre las que destaca la 
desalgebrización del currículo escolar. Plantea además la necesidad de ubicar a la 
enseñanza del álgebra en el marco de la modelización matemática que propone 
Chevallard (1989). 
En concordancia con lo afirmado por Chevallard (1989) y Gascón (2000), Bolea (2003) 
en su tesis “El proceso de algebrización de organizaciones matemáticas escolares” 
demuestra, a partir de una revisión detallada de documentos curriculares, libros de texto 
y de una encuesta entre profesores, que dicho modelo del álgebra escolar como aritmética 
generalizada es fuertemente aceptado en la institución escolar como único e 
incuestionable. 
García (2005) analiza documentos curriculares y manuales escolares, y describe cómo 
“vive” la proporcionalidad en la escuela secundaria y cómo se vincula su estudio con el 
del resto de las relaciones funcionales. A partir de dicho análisis demuestra cómo el 
carácter prealgebraico de la actividad matemática escolar provoca la existencia de 
diferentes organizaciones matemáticas (puntuales, a lo sumo locales), atomizadas y 
deficientemente articuladas entre sí. 
Ruiz Munzón (2010) en su tesis titulada “La introducción del álgebra elemental y su 
desarrollo hacia la modelización funcional” afirma que el álgebra enseñada en la 
Enseñanza Secundaria Obligatoria consiste en resolver ecuaciones (de primer y segundo 
grado y sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas) y aprender a manipular 
expresiones algebraicas. Sostiene además que, el primer aprendizaje del cálculo 
algebraico se hace en un marco formal y no funcional, lo que limita considerablemente la 
actividad matemática, por un lado, porque el álgebra escolar se enseña implícitamente en 
referencia a la aritmética y al cálculo con números; y por otro, porque el aprendizaje 
formal es incapaz de recrear toda la variedad de manipulaciones que el alumno puede 
12 
 
necesitar en el momento en que deba hacer un uso funcional de la herramienta, surgiendo, 
de esta manera, recetas que se refieren a las distintas manipulaciones formales. 
En relación al álgebra escolar como instrumento de modelización es necesario mencionar 
en primer lugar a Chevallard (1989), quien, a partir del análisis de la génesis del álgebra, 
puso en evidencia que, ante todo, el álgebra surge como un instrumento al servicio del 
trabajo matemático, dando lugar a un cambio radical al permitir explicitar y manipular la 
estructura de los problemas matemáticos, ampliándose enormemente la posibilidad de 
abordar matemáticamente los problemas complejos que, antes del álgebra, se reducían a 
problemas de primer y segundo grado con una o dos incógnitas. En esta línea, en Bolea, 
Bosch y Gascón (1998) se propone un modelo epistemológico de referencia alternativo 
del álgebra escolar, en el que se la concibe inicialmente, no como una organización 
matemática al mismo nivel que el resto, sino como instrumento de modelización de todas 
las organizaciones matemáticas escolares. A su vez, Bolea (2003) propone cuatro 
indicadores del grado de algebrización de una organización matemática y los utiliza para 
responder a la cuestión acerca del grado de algebrización de la matemática escolar en el 
ámbito de la Escuela Secundaria Obligatoria. 
Por su parte, García (2005) analiza los fenómenos identificables en el Sistema de 
Enseñanza de las Matemáticas relacionados con la ausencia de la modelización algebraica 
y se centra precisamente en el de la desarticulación y atomización de la matemática 
escolar, estudiándolo en profundidad en el caso de la relación de proporcionalidad en la 
Escuela Secundaria Obligatoria, haciendo evidente la necesidad de cuestionar los sectores 
y las áreas en las que tradicionalmente se “compartimenta” la matemática escolar. 
Además, presenta una propuesta de articulación del estudio de las relaciones funcionales 
mediante un proceso de modelización algebraica. A raíz de las dificultades suscitadas en 
la implementación de la propuesta, ligadas a las restricciones transpositivas generales, a 
las restricciones “pedagógicas” y “escolares”, al contrato didáctico generalizado en las 
instituciones docentes, entre otras, se generó en el autor la necesidad de investigar en qué 
niveles y cómo introducir y hacer evolucionar la modelización algebraica para que ésta 
llegue a alcanzar un determinado grado de desarrollo a la finalización de la Educación 
Secundaria 
Los trabajos de tesis de Pilar Bolea (2002) y Javier García (2005) dan lugar al estudio del 
problema ecológico de la modelización funcional, con la tesis de Ruíz Munzón (2010), 
en la cual se elabora un modelo epistemológico de referencia que permite fundamentar la 
génesis escolar del álgebra como instrumento de modelización y, a su vez, sustentar un 
desarrollo progresivo de las sucesivas etapas del proceso de algebrización de la 
matemática escolar que desemboca en la modelización funcional. 
2. Organización de la presentación 
En el capítulo 1 se ha descrito brevemente el problema de investigación. Se ha 
mencionado cuál es el estado actual de las investigaciones sobre este problema. Se 
formularon las preguntas y objetivos que dirigen la investigación. 
13 
 
En el capítulo 2 se desarrollan los elementos básicos de la TAD con relación al álgebra 
escolar y a la modelización algebraica. Se presenta un análisis de la evolución del álgebra 
como saber sabio y del álgebra como saber a enseñar a partir del recorrido realizado por 
Chevallard (1989). Se describe el modelo de álgebra como instrumento de modelización 
propuesto en el seno de la TAD. 
En el capítulo 3 se presenta la metodología de investigación y se describen las categorías 
de análisis generadas para analizar el DC para Educación Secundaria de la Provincia de 
Entre Ríos, documento que rige los contenidos que deben desarrollarse en dicho nivel. 
Las primeras dos categorías “características del álgebra” y “nivel de algebrización” serán 
formuladas teniendo en cuenta las características del álgebra escolar presentadas en el 
capítuloI. Además, para estudiar la concepción epistemológica de la Matemática, 
específicamente del álgebra escolar según el DC de la provincia de Entre Ríos se 
desarrolla la tercera categoría que será formulada teniendo en cuenta las Tradiciones 
Matemáticas (Axiomática, Estructuralista y Computacional) definidas por Klimovsky y 
Boido (2005). 
En el capítulo 4 se analizan y describen las características del álgebra propuesta en el DC 
de la Provincia de Entre Ríos para la escuela secundaria, a partir de las categorías de 
análisis descriptas en el capítulo 3. 
En el capítulo 5 se presenta un ejemplo de tarea que permitiría generar, en la escuela 
secundaria, un proceso de modelización (en términos de la TAD) de un sistema 
proveniente de la geometría. 
En el capítulo 6 se responden las preguntas de investigación y se formulan las 
conclusiones. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Capítulo 2 
 
15 
 
CAPÍTULO 2 
1. El álgebra escolar desde la perspectiva de la TAD 
Se presentan algunos elementos de la Teoría Antropológica de lo Didáctico (Chevallard, 
1989; Gascón, 1993, 1994; Bolea, Bosch y Gascón, 1998, 1999, 2001; Bolea, 2003; Ruiz, 
Bosch y Gascón, 2015) y se describe el álgebra escolar en términos de la TAD. Se detalla 
el modelo epistemológico del álgebra escolar formulado por Chevallard (1989), en el cual 
es entendida como un instrumento que permite llevar a cabo una actividad de 
modelización que atraviesa a todos los sectores de la matemática, concibiéndola, de este 
modo, como un instrumento genérico de modelización de lo que Chevallard (1999) 
denomina organizaciones matemáticas, que permite un proceso de algebrización de las 
mismas. 
1.1 Algunos conceptos de la TAD 
El Enfoque Antropológico de Yves Chevallard (1999) surge con la necesidad de estudiar 
las condiciones de creación y difusión del conocimiento matemático en las diferentes 
instituciones sociales, desde las productoras o creadoras del conocimiento, hasta las 
instituciones centradas en la enseñanza de las matemáticas y de cualquier otra disciplina. 
 El origen de los primeros desarrollos se sitúa en los años 80, cuando se descubre que 
muchos de los fenómenos relativos a la enseñanza de las matemáticas sólo pueden 
abordarse científicamente si se tienen en cuenta los fenómenos de “transposición 
didáctica” (Chevallard, 1985), es decir, los fenómenos que regulan las transformaciones 
que sufre un saber desde su lugar de origen hasta que llega a la institución en la que se 
estudia, hasta volverse objeto de enseñanza. Además, diferentes saberes matemáticos 
adquieren distintas características en función de la institución en la que se encuentran, es 
decir, existe una relatividad institucional del saber matemático. Los procesos de 
transposición didáctica distinguen diferentes tipos de saberes que intervienen en todos los 
procesos de enseñanza y aprendizaje: 
 Saber sabio: es el producido por matemáticos u otros científicos. 
 Saber a enseñar: lo que se pretende enseñar, gestionado por la noosfera y 
plasmado en los documentos curriculares, en los libros de texto, en todo lo que 
pueda considerarse una referencia. 
 Saber enseñado: es el producido en el aula. 
Es así, que desde la TAD se ubica a la actividad matemática en el conjunto de las 
actividades humanas y de instituciones sociales, por lo que su enseñanza debe ser 
entendida como una actividad colectiva e institucional (Chevallard, 1999). 
Muchas de las teorías didácticas centran su análisis en el saber enseñado y el saber 
aprendido. La TAD postula que no es posible explicar las características de saber que 
construyen los alumnos ni ninguno de los fenómenos didácticos que emergen en él, sin 
tomar en consideración todas las etapas del proceso transpositivo. El investigador se debe 
16 
 
situar en una posición externa con relación a las diversas instituciones que forman parte 
de su objeto de estudio. Surge así, la necesidad de disponer de un modelo que permita 
describir las prácticas matemáticas institucionales y haga posible el estudio de las 
condiciones de su realización. 
Chevallard (1999) introduce la noción de praxeología o de organización praxeológica 
como elemento básico para la descripción del saber y la define como la unidad básica en 
que uno puede analizar la acción humana en general. Sostiene que es posible analizar 
cualquier acto humano en dos componentes principales interrelacionados: praxis (la parte 
práctica) y logos (hace referencia al pensamiento y razonamiento humano), es decir, toda 
acción humana requiere ser explicada y justificada para existir. La noción de praxeología 
o de organización praxeológica, constituye así una herramienta fundamental para 
modelizar la actividad matemática considerándola como una actividad humana más. 
Praxeología matemática 
Chevallard (1999) afirma que, como toda obra humana, una praxeología matemática 
surge como una respuesta a un conjunto de cuestiones y a la vez como un medio para 
realizar, en el seno de cierta institución, determinadas tareas problemáticas. Tal como se 
ha mencionado anteriormente, se pueden distinguir en toda praxeología matemática dos 
aspectos inseparables: “praxis” y “logos”. 
El nivel de la praxis se compone de un conjunto de tareas que deben realizarse mediante 
técnicas determinadas. Las tareas suelen comenzar con un verbo, por ejemplo “integrar 
la función 𝑓(𝑥) = 𝑥2 ”, ahora si sólo se considera “integrar” no es un tipo de tareas sino 
un género de tareas. Un género de tareas incluye diferentes tipos de tareas. Todo tipo de 
tareas requiere a su vez de una manera de realizar las tareas, es decir, requiere de una 
técnica para resolverlas, sin embargo, una técnica es relativa, lo que significa que sirve 
para algunas tareas dentro del tipo de tareas (Chevallard, 1999). 
En una institución dada puede identificarse un amplio abanico de tareas que son llevadas 
a cabo a través de “maneras de hacer” institucionalmente reconocidas. Aunque un mismo 
tipo de tareas puede abordarse mediante diferentes técnicas, se tiende a identificar cada 
tipo de tareas con la técnica normalmente utilizada en la institución para su realización. 
Por su parte, el nivel del logos está compuesto por tecnologías y teorías. Para que pueda 
existir una técnica en una determinada institución debe ser comprensible, legible y 
justificable, son las tecnologías las que justifican racionalmente las técnicas, para 
asegurarse que estas permitan realizar las tareas de su tipo, y explican además por qué 
una determinada técnica funciona para la tarea que se quiere resolver. A su vez, las teorías 
tienen respecto de las tecnologías la misma función que las tecnologías respecto de las 
técnicas, es decir, justifican y explican la tecnología. 
Todos los componentes de las praxeologías se encuentran fuertemente relacionados entre 
sí. Tareas, técnicas, tecnologías y teorías son doblemente relativos. En primer lugar, son 
17 
 
relativos a la institución de referencia considerada, es decir, que lo que es considerado 
como un tipo de tarea (o técnica o tecnología o teoría) en una institución no tiene por qué 
serlo en otra institución, es más, en una institución solo tendrían que considerarse como 
tipos de tareas aquellas para las cuales se dispone de algún tipo de técnica con un mínimo 
entorno tecnológico más o menos explícito. En segundo lugar, las nociones de tipos de 
problemas, técnicas, tecnología y teoría son relativas a la función que hace cada uno de 
estos objetos en una actividad determinada, es decir, los objetos pueden tomar diferentes 
funciones en las diferentes instituciones sociales y en las diferentes actividades 
institucionales (Chevallard, 1999). 
2. Evolución histórica del álgebra como saber sabio y del álgebra como saber a 
enseñar 
En este apartado se realizará un recorrido por las transformaciones queha sufrido el 
álgebra hasta constituirse en un saber a enseñar, específicamente las que provienen del 
saber sabio y de los documentos oficiales, ya que la evolución de cada saber en las 
diferentes etapas del proceso de transposición didáctica se ve condicionada por la 
evolución de las demás. Se mostrarán primero los cambios que se han producido 
históricamente en el propio saber sabio y luego la evolución del álgebra como saber a 
enseñar. 
2.1 Evolución histórica del álgebra 
El recorrido por la evolución histórica del saber sabio, mostrará cómo se ha constituido 
lo que hoy se denomina como álgebra elemental. El mismo se hará a partir de la 
descripción histórica realizada por Kline (1972) y siguiendo la división en tres grandes 
etapas propuesta por Chevallard (1989). 
Etapa 1: álgebra retórica 
En esta etapa se sitúa el origen del álgebra. Esta nace como generalización de la 
aritmética, es decir, se identifica al álgebra con la resolución de “problemas aritméticos”, 
y se la denomina álgebra retórica. En ella el lenguaje utilizado para plantear y resolver 
problemas es el denominado lenguaje natural y, en ocasiones, se utilizan las 
representaciones de la geometría sintética. Las cuestiones se plantean siempre en 
situaciones aritméticas o geométricas concretas, sin pretensión de generalización ni 
formalización. En este periodo ya se resolvían ecuaciones lineales y cuadráticas por 
métodos exclusivamente aritméticos, muy distantes del pensamiento algebraico posterior. 
La presencia de problemas algebraicos se remonta a los babilónicos (5000 a.C. -500 a.C.), 
dichos problemas eran formulados y resueltos en lenguaje coloquial y en las resoluciones 
no se incluían explicaciones ni validaciones acerca de los procedimientos utilizados. Se 
presentaba el mismo problema para distintas colecciones de datos, con el fin de mostrar 
en la variedad de ejemplos una supuesta generalización del algoritmo usado. Estaban 
familiarizados con la resolución de ecuaciones cuadráticas, cúbicas, bicuadradas y 
18 
 
sistemas de ecuaciones de varios tipos. Las incógnitas eran representaban por medio de 
palabras como “longitud”, “anchura”, “área” “volumen”. 
Uno de los principales aportes al álgebra en este período provino de los árabes, más 
precisamente de Al-Khwarizmi (780 – 850), quien desarrolló la teoría de ecuaciones en 
la primera parte del siglo IX y la publicó en su libro “precisiones sobre el cálculo del ál-
jabr y al-muqabala”. Este libro fue la base del álgebra en lengua árabe y su influencia en 
la Edad Media occidental fue significativa. En él se realizaba un estudio de la resolución 
de ecuaciones de segundo grado a coeficientes numéricos, en lenguaje completamente 
retórico, sin la utilización de ningún símbolo. Todos los ejemplos numéricos que se 
presentaban tenían soluciones racionales positivas. Se utilizaba el sistema de numeración 
hindú (compuesto de 10 caracteres) para el tratamiento de lo numérico, refiriéndose a las 
operaciones a partir de las unidades, decenas, centenas, etc de un número. Si aparecía 
algún número irracional se lo llamaba gidr asamm (raíz muda o ciega) (Kline, 1972) 
En el texto se definían las especies de números como tesoros (término cuadrático de la 
ecuación), raíces (que se denominan así por las raíces del tesoro) y simples números (no 
atribuidos a raíces ni tesoros) 
Al ser la totalidad de los números considerados los positivos, presentaba 5 casos distintos 
de ecuaciones cuadráticas y uno lineal: “raíces y números iguales a tesoros”, “tesoros y 
números iguales a raíces”, “raíces iguales a tesoros”, “tesoros iguales a números” y 
“raíces iguales a números”, que en nuestra simbología actual corresponderían a las 
ecuaciones del tipo 𝑥2 = 𝑏𝑥 + 𝑐 , 𝑥2 + 𝑐 = 𝑏𝑥, 𝑥2 = 𝑏𝑥, 𝑥2 = 𝑐 y 𝑏𝑥 = 𝑐 
respectivamente.En el libro se explicaba cómo resolver cada una de estas ecuaciones a 
partir de un ejemplo numérico. Las dos operaciones fundamentales que aparecían en el 
tratamiento de las ecuaciones eran: 
- Al-jabr: restaurar, componer, complementar, agregar. 
- Al-muqabala: poner en oposición, balancear. 
Al-jabr es la operación a través de la cual se completa un cuadrado y, consecuentemente 
se agrega lo mismo a aquello que se tenía por equivalente. Al-muqabala es la manera de 
poder eliminar aquello que aparece igual en dos expresiones equivalentes. Los ejemplos 
se presentaban siempre con coeficiente 1 para la parte cuadrática, el tesoro. Si aparecía 
más de un tesoro se reducía la expresión a sólo 1; y si tuviera menos de un tesoro, se lo 
completaba hasta que tuviera 1. Con las operacines Al-jabr y al-muqabala se 
transformaba cualquier relación que se obtenga del enunciado de un problema en una de 
las formas canónicas. Las ecuaciones y las operaciones sobre ellas estaban todas 
expresadas en lenguaje retórico. 
Etapa 2: álgebra sincopada 
Antes del siglo XVI el único matemático que había introducido conscientemente el 
simbolismo para hacer más compacto y efectivo el razonamiento y la escritura algebraica 
19 
 
fue Diofanto. Todos los demás cambios de notación eran esencialmente abreviaturas de 
palabras normales introducidas de una forma un tanto accidental. En el renacimiento el 
estilo habitual era aún retórico, con uso de palabras especiales, abreviaturas, y por 
supuesto los símbolos de los números (Kline, 1972). En el siglo XVI, las demandas 
científicas que se ejercían sobre los matemáticos llevaron a la introducción de un mejor 
simbolismo. 
Probablemente las primeras abreviaturas usadas del siglo XV en adelante fueron p para 
“más”, y m para “menos”, pero en el renacimiento, y especialmente en los siglos XVI y 
XVII se introdujeron símbolos especiales. Lo símbolos + y – fueron introducidos por los 
alemanes en el siglo XV para denotar excesos y defectos en los pesos de cofres y arcas, 
y los matemáticos los adoptaron apareciendo en los manuscritos ya desde 1481. El 
símbolo x para “por” se debe a Oughtred, aunque Leibniz planteó la certera objeción de 
que podía confundirse con la letra x. (Kline, 1972) 
El signo = fue introducido por Robert Recorde (1510-58) en el 1557 quien escribió el 
primer tratado del álgebra. 
El uso de símbolos para las incógnitas y sus potencias fue implementado de forma más 
lenta, autores, como Pacioli, a comienzo del XVI se referían a la incógnita como “radix” 
(raíz en latín), o res (cosa en latín), cosa (cosa en italiano), o coss (cosa en alemán), razón 
por el cual el álgebra llegó a ser conocida como el arte “cósico” 
Los exponentes fueron gradualmente introducidos para denotar las potencias de x. En su 
álgebra Bombelli utilizaba la palabra tanto en vez de cosa. Para designar x, 𝑥2, 𝑥3 escribía 
1,2,3 así 1 + 3𝑥 + 6𝑥2 + 𝑥3 era 1p.31𝑝. 62𝑝. 13. En 1585 Stevin escribía esta expresión 
de la forma 10 + 31 + 62 + 3.Descartes hizo un uso bastante sistemático de los 
exponentes enteros positivos. Escribía 1 + 3𝑥 + 6𝑥2 + 𝑥3como1 + 3𝑥 + 6𝑥𝑥 + 𝑥3 
El cambio más significativo en el carácter del álgebra fue introducido por Francois Viète 
(1540 -1603) en relación con el simbolismo. Fue el primero en usar letras 
sistemáticamente y con un propósito, no sólo para representar una incógnita o las 
potencias de una incógnita, sino como coeficientes generales. Habitualmente usaba 
consonantes para las cantidades conocidas y vocales para las desconocidas. “Viète trazó 
la línea divisoria entre aritmética y álgebra” (Klein, 1972, p. 350), él denominaba 
logística speciosa al método de operar con especies o formas de cosas, y logística 
numerosa al método de operar con números. Viète trató de establecer las identidades 
ocultas en forma geométrica en las obras griegas clásicas. Intentó recobrar tales 
identidades, completó el cuadrado de una expresión cuadrática general y expresó 
identidades del tipo general como 𝑎3 + 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 + 𝑏3 = (𝑎 + 𝑏)3, aunque él lo 
escribía como “a cubus +bin a quadr . 3 + a in b quad . 3 + b cubo aequalia 
𝑎 + 𝑏̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ cubo”. 
20 
 
A descartes se deben ciertas mejoras en el uso de las letras de Viète. Empleaba las 
primeras letras del alfabeto para las cantidades conocidas y las últimas para las incógnitas, 
como se hace modernamente. 
Hacia fines del siglo XVII el uso deliberado del simbolismo y la conciencia de la potencia 
y generalidad que confiere habían hecho su entrada en la matemática. 
La solución de las ecuaciones de trecer y cuarto grado 
La solución de las ecuaciones de segundo grado por el método de completar cuadrado era 
conocida desde la época de los babilónicos y prácticamente el único progreso hasta 1500 
fue llevado por los hindúes que trataban ecuaciones como 𝑥2 + 3𝑥 + 2 y 𝑥2 − 3𝑥 −
2 como un solo tipo, mientras que sus sucesores renacentistas preferían tratar las últimas 
como 𝑥2 = 3𝑥 + 2. Cardano (1501-1576) resolvió una ecuación de segundo grado con 
raíces complejas, pero despreció las soluciones como inútiles. La ecuación cúbica, 
excepto en casos aislados, había desafiado la matemática e incluso, Pacioli en 1494 
afirmaba que la solución de ecuaciones de tercer grado era imposible. Fueron Tartaglia 
(1499-1557) y Ferrari (1522-1565) quienes aportaron las fórmulas de resolución de las 
ecuaciones cúbica y cuártica respectivamente, las mismas fueron divulgadas por Cardano 
en su libro Ars Magna en 1545, donde además desarrolló la generalización de la fórmula 
de Tartaglia, aplicable a la ecuación de la forma 𝑥3 + 𝑝𝑥 = 𝑞 . En los años posteriores se 
intentaron encontrar fórmulas para la ecuación de grado 5 por métodos similares, lo cual 
no fue posible, y entre finales del XVIII con Vandermonde y Lagrange y principios del 
XIX con Abel y Galois, se confirma la imposibilidad de resolver algebraicamente, “por 
radicales”, las ecuaciones de grado superior o igual a 5. De este trabajo surgieron los 
primeros conceptos del álgebra moderna (cuerpos, anillos, etc.) que marcan un nuevo 
periodo de desarrollo de la Matemática sabia. 
Fue en esta etapa donde el álgebra se apartó de la aritmética, con la logística de François 
Viète (1540-1603) el álgebra aparece ya como un método completo para operar sobre las 
especies o las formas de las cosas, y la aritmética, como una técnica que se ocupaba de 
los números. El álgebra se transformó así en el estudio de los tipos generales de formas y 
de ecuaciones, tomando como objeto de estudio el propio cálculo algebraico y 
constituyéndose como una nueva área de las matemáticas. 
Etapa 3: álgebra simbólica 
En la tercera etapa de la evolución del álgebra, todos los ámbitos de la matemática son 
atravesados por la herramienta que constituye el cálculo algebraico bajo su forma 
simbólica moderna, que encuentra nuevos campos de aplicación, primero en la geometría 
a partir de Descartes (1596-1650) y la teoría de números con Fermat (1601-1665) y 
después en el análisis matemático (que inicialmente se designaba como “análisis 
algebraico”) con la creación, a finales del siglo XVII, del cálculo infinitesimal. René 
Descartes llevó adelante un proyecto esencialmente nuevo: resolver problemas 
geométricos a través de la herramienta algebraica. Propuso representar los objetos 
21 
 
geométricos a través de objetos numéricos: a los puntos los identificaba con pares de 
números y a las rectas con conjuntos de pares que verificaban una cierta ecuación. Hay 
herramientas geométricas esenciales en esta modelización, por ejemplo, el teorema de 
Pitágoras, que permite identificar las rectas con las soluciones de una ecuación lineal. 
El principio de homogeneidad, presente en el trabajo matemático por más de 20 siglos, 
perdió vigencia con este tratado y la consideración de una unidad de cada eje del sistema 
de representación permitió ubicar en una misma línea, todas las potencias de un número 
ya localizado. Así, el trabajo algebraico fue adquiriendo el aspecto que actualmente 
conocemos. 
En este periodo moderno que llega hasta hoy día, se puede decir que todos los ámbitos de 
la matemática sabia actual están completamente algebrizados ya que es difícil encontrar 
actividades que se desarrollen sin recurrir al simbolismo algebraico. 
Fermat aplicó sus contribuciones al álgebra al estudio de curvas, inaugurando así el 
estudio de los espacios geométricos. Este matemático consideró una curva cualquiera y 
un punto genérico J sobre ella. La posición de J viene fijada por una posición “A” medida 
desde un punto O sobre una línea de base a un punto z. y la longitud E de Z a J. Fermat 
emplea así lo que denomina coordenadas oblicuas. Fermat había enunciado con 
anterioridad su principio general: siempre que en una ecuación se hallen dos cantidades 
incógnitas tenemos un lugar geométrico cuyo extremo describe una línea recta o una 
curva. Así los extremos J, J´ y J´´ de E en sus diversas posiciones describen la línea. Sus 
cantidades desconocidas A y E son en realidad variables, esto es, la ecuación en A y E es 
indeterminada. Aquí usó Fermat la idea de Viète de representar con una letra toda una 
clase de números. A continuación, Fermat dio varias ecuaciones algebraicas en A y E y 
analizó las curvas que describían. 
Resumiendo, en el recorrido anterior por cada una de las etapas en la historia de álgebra 
se aprecia el progreso en el descubrimiento de técnicas y fórmulas para la resolución de 
ecuaciones y la evolución de un lenguaje en el que esas técnicas y esas fórmulas aparecen, 
en el tercer período, verdaderamente expresadas. En la primera etapa se encuentra un 
álgebra relacionada a problemas aritméticos en la que enunciados y resoluciones eran 
expresados en lenguaje natural, en la segunda etapa los textos siguen escritos en lenguaje 
natural, pero se incorporan algunos términos técnicos escritos mediante abreviaturas, es 
en este período donde se toma como objeto de estudio el propio cálculo algebraico y se 
desarrolla la teoría de ecuaciones que será considerada una prioridad para los algebristas 
de la época. En la tercera y última etapa, el álgebra toma la forma simbólica moderna y 
encuentra nuevos campos de aplicación, esta etapa se extiende hasta la actualidad. 
22 
 
2.2 El álgebra escolar. 
2.2.1 Evolución del álgebra como saber a enseñar 
Chevallard (1989) analiza las características del corpus matemático enseñado en los 
colegios de Francia y muestra la profunda reorganización que éste ha sufrido producto de 
sucesivos cambios, dentro de los cuales uno de los más potentes ha sido la reforma de las 
matemáticas modernas (1969-1972). Hacia el año 1958 en Europa comenzó a surgir la 
idea de generar un cambio en la enseñanza de las matemáticas como respuesta a la 
necesidad de una modernización que permitiera además adecuar la formación matemática 
al desarrollo científico y tecnológico de las principales sociedades occidentales. En esta 
línea, en el seminario de Royaumont, realizado en Francia en el año 1959 se congregó a 
matemáticos y representantes de 20 países europeos para prescribir las líneas centrales de 
lo que sería la reforma de la enseñanza de la matemática en primaria y secundaria. Hacia 
mediados de la década del 60 se convocaron reuniones y seminarios en los demás países 
europeos y en los Estados Unidos, siendo en este último donde la propuesta se 
institucionalizó gracias al contexto político que se vivía en ese momento. 
Chevallard (1989) realiza un recorrido por las transformaciones que ha sufrido el corpus 
matemático propuesto para ser enseñado, buscando mostrar cómo las modificaciones 
estructurales realizadas históricamente en el texto de la enseñanza imponen sus efectos, 
aunque de una manera oculta, incluso en la actualidad. 
Tradicionalmente el corpus matemático propuesto para ser enseñado “se organizaba en 
base a una gran dicotomía, la de la aritmética y el álgebra” (Chevallard, 1989, p.1). Así, 
en los documentos curriculares se diferenciabandos momentos, el primer tiempo es aquel 
del aprender de la aritmética que constituye la base sobre la cual, en un segundo tiempo, 
los autores fundamentan el recorrido del álgebra (Chevallard, 1989). Así, en la mayoría 
de los sistemas educativos los primeros años de escolaridad se limitaban al abordaje del 
corpus tradicional de la aritmética práctica, se encontraba así una primera parte destinada 
al estudio de la numeración con sus cuatro operaciones y problemas aplicados, las 
fracciones y el universo de las razones y proporciones junto con la regla de tres, así como 
también sus aplicaciones a problemas práctico. Se continuaba con el estudio de nociones 
geométricas y del sistema legal de medidas. La enseñanza del álgebra llegaba recién en 
el segundo curso de secundaria (13-14 años), donde la matemática se dividía en los tres 
bloques tradicionales de aritmética, álgebra y geometría. 
En esta organización clásica de las matemáticas enseñadas, en la enseñanza del álgebra 
tres temas aparecían como esenciales: los números algebraicos (es decir, los números 
relativos), el cálculo sobre expresiones algebraicas y el tratamiento de las ecuaciones 
algebraicas (de primer y segundo grado) y los problemas asociados Chevallard (1989). 
2.2.2 El pasaje de la aritmética al álgebra 
Como quedó de manifiesto en el recorrido anterior, en sus comienzos, el álgebra sabia 
posibilitaba la resolución de problemas aritméticos, por lo que se consideraba como una 
23 
 
continuación y ampliación de la aritmética. La relación entre algebra y aritmética ha dado 
origen a diferentes concepciones que han condicionado la forma de organizar el corpus 
matemático escolar. 
Chevallard (1989) señala que en un principio aritmética y álgebra eran consideradas como 
opuestas, y si la aritmética constituía, en un primer nivel de instrucción, un conjunto 
coherente y relativamente completo, ella era entonces en un segundo nivel, el fundamento 
sobre el cual el aprendizaje del álgebra tomaba apoyo. 
En relación a cómo debería darse el pasaje de la aritmética al álgebra Chevallard (1989) 
expone que lo esperado sería proponer un problema que en un principio se asemejara a 
un problema de esos que la aritmética permite resolver, pero que al estudiarlo las 
herramientas que esta proporciona resultaran insuficientes, sin embargo, ocurre que la 
mayoría de los autores parten de un problema al que se le puede obtener la solución desde 
la aritmética, para presentar luego la solución desde el álgebra. Para ejemplificar lo 
anterior, el autor selecciona y analiza un problema de un manual de álgebra de la escuela 
primaria publicado en 1924: “Tenemos un corte de tela de cierta longitud y un segundo 
corte que es 4 metros más largo. Estos dos juntos miden 40 metros. Preguntamos la 
longitud de cada corte” (Chevallard, 1985, p.4). 
La solución aritmética y algebraica que propone Chevallard para este ejemplo, se 
desarrollan a continuación. 
Solución desde la aritmética: 
Representan la longitud del 1er corte por una línea. 
Para el segundo corte, una línea similar aumentada en 4 m. 
 
 
Examinando esta representación gráfica, se puede ver que el 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 𝑝𝑒𝑞𝑢𝑒ñ𝑜 +
 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 𝑝𝑒𝑞𝑢𝑒ñ𝑜 + 4𝑚 = 40, o 2 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 𝑝𝑒𝑞𝑢𝑒ñ𝑜 + 4𝑚 = 40𝑚. 
Por lo tanto, 2 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 = 40𝑚 − 4𝑚 = 36𝑚. 
Así el 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 𝑝𝑒𝑞𝑢𝑒ñ𝑜 = 36𝑚: 2 = 18𝑚 𝑦 𝑒𝑙 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑢𝑝ó𝑛 = 18 + 4𝑚 = 22𝑚 
Solución algebraica 
En lugar de la línea, se propone para el 1er cupón de la letra x. 
Lugo, para el 2do cupón: 𝑥 + 4 
 
24 
 
 
 
De allí se puede escribir: 
𝑥 + 𝑥 + 4 = 40𝑚 
2 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠 𝑥 + 4 = 40 𝑚 
2 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠 𝑥 = 40 𝑚 − 4 𝑚 = 36 𝑚 
𝑥 = 36 𝑚: 2 = 18 𝑚 
𝑦 𝑒𝑙 𝑐𝑢𝑝ó𝑛 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒 = 18𝑚 + 4𝑚 = 22𝑚 
Como puede observarse se presenta un problema de estructura simple que no requiere la 
introducción de procedimientos algebraicos ya que puede obtenerse la solución a través 
de métodos aritméticos sin mayores dificultades. La enseñanza del álgebra como 
generalización de los conocimientos aritméticos perdura hasta la actualidad. 
Chevallard (1989) menciona que el pasaje de la aritmética al álgebra es aún más marcado 
a principios del siglo XIX, y es con el estudio del álgebra que se introducen los "signos 
algebraicos". En un manual que puede fechar finales del siglo XVIII, y cuyo primer 
capítulo está apropiadamente titulado "Nociones preliminares sobre el pasaje de la 
Aritmética al Algebra, explicación y uso de signos algebraicos", el autor introduce 
cuidadosamente los signos de suma, resta, multiplicación, división, el signo de igualdad, 
y finalmente el desconocido x. La introducción de signos "algebraicos" a partir de los 
elementos de la aritmética, que definitivamente prevalecerán en el siglo XIX, atenúa de 
algún modo la marca formal del paso de la aritmética al álgebra. 
Así, en una segunda etapa de la dialéctica entre la aritmética (la antigua) y el álgebra (la 
nueva), el álgebra aparece como el cumplimiento de la aritmética, es un instrumento 
superior para una tarea similar. Es una aritmética universal -como lo llama Newton- o una 
aritmética generalizada, como señala Poinsot un siglo después, quien considera que: "El 
álgebra elemental no es más que una aritmética generalizada, es decir, extendida de 
números particulares, a números cualesquiera y, en consecuencia, las operaciones reales 
que uno realizaba se convierten en operaciones que solo están indicadas por signos; por 
lo que en esta primera parte especulativa se establece el resultado de operaciones 
sucesivas y se busca descubrir fórmulas para la solución de todos los problemas de la 
misma clase" (Chevallard, 1989). 
2.2.3 La reforma de las matemáticas modernas 
La llegada de la reforma de las matemáticas modernas a partir de los años 60, generó un 
profundo cambio en la organización tradicional del cuerpo matemático enseñado. En los 
nuevos programas de la enseñanza secundaria publicados en 1969 ya no se encuentra 
25 
 
ningún rastro de los tres bloques de contenido tradicionales y sólo se indica una serie 
lineal de lecciones o temas sin ninguna agrupación aparente, es así que la estructuración 
aritmética/álgebra, antes mencionada, desaparece Chevallard (1989). 
Con los cambios que sufre la aritmética con la llegada de la reforma algunas partes 
desaparecen, más precisamente las constituidas por problemas prácticos. Por su parte, el 
sector de los números y de las operaciones con los números que constituía la base del 
sistema anterior, no solamente no desaparece, sino que, por el contrario, se produce una 
progresión en el estudio de las estructuras numéricas. 
En lo que respecta al álgebra, esta sí se ve fuertemente desfavorecida con los cambios 
producido, al punto tal de que su nombre desaparece por completo de la organización del 
cuerpo matemático a enseñar. El conjunto de cálculos algebraicos y ecuaciones 
algebraicas se vio fuertemente reducido en los programas reformados. Sin embargo, la 
pérdida que sufre el álgebra es selectiva, ya que las partes numéricas del álgebra resisten 
bien a la reforma. Las fracciones, por ejemplo, que fueron dejadas en el olvido durante 
largo tiempo serán reinstaladas como un elemento central del programa (en 1971). Tal 
como lo afirma Chevallard (1989) “Son las partes "algebraicas" del álgebra, del cálculo 
y las ecuaciones algebraicas- que se pierden en la modernización” (p.13). 
2.2.4 Dialéctica entre lo numérico y lo algebraico 
Para explicar la desaparición de las partes algebraicas del álgebra, Chevallard (1989) 
realiza un análisis de la evolución de la dialéctica entre lo numérico y lo algebraico. La 
oposición estructural de la aritmética y el álgebra correspondía, en principio, a una 
dialéctica funcional numérico / algebraica. Dicha dialéctica existe aún desde antes de la 
construcción de un lenguaje algebraico propiamentedicho. Ejemplo de lo anterior es la 
distinción que hacían los griegos entre dos aritméticas, la aritmética vulgar o logística y 
la aritmética que implicaba la teoría de los números. Si bien en ambas se manipulaba un 
lenguaje numérico no lo hacían para las mismas tareas, en la primera lo utilizaban para 
realizar cálculos mientras que en la segunda los aritméticos estudiaban la estructura del 
mundo numérico. El dominio del cálculo numérico se rige por la ley de simplificación, 
donde uno de sus principios es el de realización de cálculos. De acuerdo con este principio 
la expresión 4+8 no sería una respuesta numérica, sino más bien un paso intermedio ya 
que el cálculo está “incompleto”. Desde esta postura “4+8” y 12 son equivalentes ya que 
designan el mismo número, en cambio, para la aritmética “algébrica” es necesario hacer 
una distinción entre “4+8” y 12 ya que si bien designan la misma cosa no aportan la 
misma información, por ejemplo, en la primera queda en evidencia que el doce es la suma 
de dos potencias de dos. 
La creación del lenguaje algebraico permitió mejorar el estudio de lo numérico, que hasta 
ese momento era realizado con métodos matemáticos insuficientemente adecuados, así lo 
algebraico pasó a ser una herramienta del estudio de lo numérico, la primera y más 
elemental. A su vez, para que el funcionamiento de esta herramienta fuera efectivo lo 
numérico debía ser también una herramienta para estudiar lo algebraico, de esta manera 
26 
 
el flujo se invierte y es por esto que se puede hablar de dialéctica entre lo numérico y lo 
algebraico. 
Con la reforma de las matemáticas modernas más allá de las transformaciones en el 
corpus matemático del álgebra y de la aritmética los cambios sustanciales se vieron en la 
dialéctica entre ambas. Con la eliminación de la oposición álgebra - aritmética, se 
alteraron las condiciones de la conexión entre lo numérico y lo algebraico, ambos 
dominios “coexisten en una simple yuxtaposición y encuentran en sí mismos su propia 
justificación” (Chevallard, 1989, P.27), la distancia entre la herramienta y el objeto de 
estudio desaparecen y “ya no es lo algebraico lo que permite estudiar lo numérico, es lo 
numérico lo que "justifica" y "permite comprender" lo algebraico” (Chevallard, 1989, 
P.27). Chevallard (1989) resume lo anterior diciendo: 
“La dialéctica de lo numérico y lo algebraico se pierde: uno de sus términos 
(el algebraico) se disuelve en el otro (el numérico), a quien se le otorga por 
naturaleza una existencia casi material, y del cual lo algebraico procederá 
genéticamente” (p. 27). 
En la actualidad el primer aprendizaje del cálculo algebraico se hace en un marco formal 
y no funcional, en el que el alumno aprende a desarrollar, factorizar, simplificar 
expresiones porque se le pide hacerlo, no porque ello le permita resolver o facilitar alguna 
tarea. Por ejemplo, si le pidiera a un estudiante factorizar la expresión (2𝑥 − 3)2 − 4(𝑥 +
1)(4𝑥 − 6)(4𝑥2 − 9) aunque llegara rápidamente a la expresión factorizada, es probable 
que el estudiante no pudiera establecer conexión alguna entre la transformación a la que 
ha sometido a la expresión y por ejemplo la sustitución de valores numéricos. En este 
ejemplo relación del estudiante con el cálculo algebraico no incorpora la idea de una 
relación entre la manipulación algebraica de la expresión, por un lado, y los valores 
numéricos en la expresión. 
La manipulación de las expresiones algebraicas en el curso del primer aprendizaje 
organizado en el colegio, en efecto, no está dirigida hacia ninguna meta matemática 
exterior al cálculo algebraico, el cual debe ahora encontrar en sí mismo su propia 
justificación. Entonces las "reglas" de esta manipulación están inmotivadas por causas 
puramente formales y se expresan por las consignas que ellas mismas estandarizan 
(desarrollar, factorizar, etc.) (Chevallard, 1989). 
2.2.5 Sistemas de números y cálculos algebraicos 
El lugar y el rol del cálculo algebraico en el colegio, inevitablemente conducen entonces 
a la cuestión de los sistemas numéricos, entre uno y otro existe una relación necesaria. 
Por un lado, como ya se ha mencionado, los sistemas numéricos proporcionan los 
dominios de cálculo que serán la base para el desarrollo del cálculo algebraico, por otro 
el cálculo algebraico constituirá una herramienta fundamental de la construcción de los 
sistemas de números sucesivos. 
27 
 
Una definición formal de sistema numérico sería la siguiente: se llama sistema de 
números a todo el conjunto 𝑆𝑛 sobre el cual se puede en un principio definir: 
1. una adición (denotada +), operación binaria asociativa, conmutativa, que posee un 
elemento neutro (denotado 0); 
2. una multiplicación, operación binaria asociativa, conmutativa, que posee un elemento 
neutro (denotado 1), y distributiva con respecto a la adición. 
Los sistemas de números poseen además una relación de orden total compatible con la 
adición y la multiplicación. 
Un cuarto requisito (rara vez enunciado) indica: dados 𝑃(𝑥) 𝑦 𝑄(𝑥), ambos polinomios 
de primer grado con coeficientes en 𝑆𝑛 (𝑃 (𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, 𝑄 (𝑥) = 𝑐𝑥 +
 𝑑, 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 𝑒𝑛 𝑆𝑛), se llama "ecuación de primer grado sobre Sn" a una igualdad del tipo 
𝑃(𝑥) = 𝑄(𝑥). y se establece que toda ecuación de primer grado en Sn que no es una 
identidad posee en Sn al menos una solución. Esta última propiedad aleja los dominios 
de cálculo no integrados, como por ejemplo el anillo de matrices cuadradas de orden dos 
y proporciona además un primer ejemplo de la manera en que el álgebra va a permitir la 
formulación y el estudio de las propiedades de los sistemas numéricos (Chevallard, 1989). 
Finalmente, Chevallard (1989) enuncia una última propiedad de la definición de sistemas 
de números, motivada por el problema recurrente y fundamental que tienen los sistemas 
de números estudiados en el colegio: “tales sistemas, en efecto, nunca contiene suficientes 
números”. La necesidad de su extensión repetida (de N a Z, de Z a Q, etc.) proviene de 
esta insuficiencia, a la cual se le puede encontrar un doble origen. El primero es 
extrínseco, nace con el uso original que se hace de los números para medir magnitudes. 
Para hacer frente a esta necesidad impuesta por los problemas de medida, Chevallard 
(1989) agrega a su definición la siguiente exigencia: 
“Si 𝑎 > 𝑏, entonces existe c tal que 𝑏 + 𝑐 = 𝑎. En estas condiciones, una 
ecuación de primer grado se escribe bajo la forma 𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑐 y las reglas 
de simplificación implican inmediatamente que una ecuación de ese tipo tiene 
por lo menos una solución en 𝑆𝑛, por lo que entonces ella no es una 
identidad” (p. 57). 
Como puede observarse, la condición anterior se expresa con la ayuda de una ecuación 
(de primer grado) y de una desigualdad: si 𝑎 > 𝑏, entonces la ecuación 𝑥 + 𝑏 = 𝑎 
posee una solucion (y solo una) en 𝑆𝑛. En general, la noción de ecuación (algebraica) es 
la herramienta esencial para conducir extensiones sucesivas de sistemas de números 
estudiados, por lo menos hasta los Racionales. 
El segundo tipo de insuficiencia de los sistemas de números utilizados es intrínseco, 
proviene del hecho de que, en un momento dado, no disponemos de los números 
necesarios para que resulte un cálculo algebraico "agradable". 
28 
 
Los dos tipos de insuficiencia en algunos casos se superponen, entonces el pasaje de Z a 
Q, dominio de cálculo sobre el cual la ecuación 𝑎𝑥 = 𝑏 (con a no nulo) tiene siempre 
una solución, permite a la vez medir desde el principio las magnitudes (por ejemplo, una 
parte de un segmento de medida 1 que uno ha dividido en 3 partes iguales) y también 
disponer de un cálculo más manejable (en el cual la división por un número no nulo es 
siempre posible) (Chevallard, 1989). 
Desde el punto de vista didáctico, Chevallard (1989) establece que, cualquiera sea la 
estrategia didácticautilizada se deben distinguir dos objetivos en la enseñanza del álgebra 
en la escuela: por un lado, dicha enseñanza debe asegurar un manejo formal satisfactorio 
del cálculo algebraico, y por otro permitir una dialéctica entre el manejo formal del 
cálculo algebraico y el conocimiento de los sistemas de números. Para precisar esta 
afirmación el autor introduce la noción de modelización algebraica que se desarrollará en 
el apartado siguiente. 
3. La actividad de modelización matemática en la TAD 
El enfoque antropológico considera a la actividad de modelización matemática como el 
núcleo de la actividad matemática. Se habla de la producción de conocimientos 
matemáticos relativos a un sistema a partir del uso de un modelo matemático de dicho 
sistema. Chevallard, Bosch, y Gascón (1997) afirman que: 
“Un aspecto esencial de la actividad matemática consiste en construir un 
modelo (matemático) de la realidad que queremos estudiar, trabajar con 
dicho modelo e interpretar los resultados obtenidos en este trabajo para 
contestar a las cuestiones planteadas inicialmente. Gran parte de la actividad 
matemática puede identificarse, por lo tanto, con una actividad de 
modelización matemática” (p.51). 
Tradicionalmente la noción de modelización se ha reservado al estudio de sistemas no 
matemáticos como los provenientes de la Física, Biología, Economía, etc. usando algún 
sistema teórico de la Matemática. Sin embargo, Chevallard (1989) reivindica también la 
noción de modelización para pensar la producción de conocimientos de un sistema 
matemático a través de otro sistema, también matemático, a esta modelización la 
denomina modelización intramatemática. En relación a esta idea Chevallard, Bosch y 
Gascón (1997) agregan: 
“Hemos caracterizado el hacer matemáticas como un trabajo de 
modelización. Este trabajo convierte el estudio de un sistema no matemático 
o un sistema previamente matematizado en el estudio de problemas 
matemáticos que se resuelven utilizando adecuadamente ciertos modelos. Se 
pueden destacar tres aspectos en este trabajo: la utilización rutinaria de 
modelos matemáticos ya conocidos; el aprendizaje y, la eventual enseñanza, 
de modelos y de la manera de utilizarlos; y la creación de conocimientos 
29 
 
matemáticos, es decir de nuevas maneras de modelizar los sistemas 
estudiados” (p. 52). 
Es por lo mencionado anteriormente que cualquier actividad matemática se puede 
describir en términos de la interrelación entre sistemas y modelos, es decir, que en toda 
actividad matemática se puede identificar un sistema en torno al cual se formulan 
cuestiones problemáticas que motivan, y dan origen, a la construcción de ciertos modelos 
que permiten aportar respuestas a dichas cuestiones. 
A fin de pensar en un mismo movimiento de los dos tipos de estudio (modelización de un 
sistema matemático o extramatemático), Chevallard (1989) propone un esquema general 
de modelización organizados en tres estadios: 
1. Un primer estadio corresponde a la problemática inicial. Se define el sistema que 
se pretende estudiar, especificando los aspectos relevantes para el estudio. En este 
primer momento también surgen cuestiones generales sobre el sistema, en un 
principio ingenuas y a las que no se les puede dar respuesta inmediata. 
2. El segundo estadio corresponde a la construcción del modelo: acá se construye el 
modelo estrictamente mediante el establecimiento de una serie de relaciones, R, 
R´, R´´, etc., entre las variables determinadas en la primera etapa. 
3. El tercer y último estadio corresponde al trabajo sobre el modelo obtenido con el 
fin de producir conocimiento relativos al sistema estudiado, conocimientos que 
toman la forma de nuevas relaciones entre las variables del sistema y que 
permitirán enunciar luego problemas nuevos cuya formulación no hubiese sido 
posible sin disponer del modelo algebraico del sistema y del trabajo realizado con 
su ayuda. Esta última etapa es siempre una fase propiamente matemática. 
Chevallard (1989). A su vez, el autor propone un ejemplo de modelización en el 
que se pueden apreciar los pasos descriptos anteriormente: 
En el mismo se considera como sistema a los rectángulos sin considerar en ellos la 
posición en el plano, se comienzan identificando las variables medidas de los lados con 
las letras a y b, a la diagonal se la designa con la letra d, al área con la letra S y con las 
letras u y v se nombran las medias de los ángulos que forman las diagonales con los lados 
(primer estadio). 
30 
 
 
Figura 1: imagen extraída de Chevallard (1989) 
A partir de lo anterior establece el siguiente repertorio de relaciones: 𝑆 = 𝑎𝑏, 𝑑2 = 𝑎2 +
𝑏2, 𝑢 = 𝐴𝑟𝑐𝑡𝑔 (
𝑏
𝑎
), 𝑣 = 𝐴𝑟𝑐𝑡𝑔 (
𝑎
𝑏
) (estadio 3). 
Y finalmente, a partir de un trabajo simple sobre el modelo obtiene un nuevo 
conocimiento: el sistema, parametrizado inicialmente por las medidas a y b, puede ser 
también producido pode las medidas de d y u de la siguiente manera: 
 
𝑑2 = 𝑎2 + 𝑏2 
𝑏
𝑎
= 𝑡𝑎𝑛𝑔(𝑢) 
Entonces: 𝑎2 + 𝑎2 ∙ 𝑡𝑎𝑛2(𝑢) = 𝑎2(1´ + 𝑡𝑎𝑛2(𝑢)) =
𝑎2
𝑢2
= 𝑑2 
De esta forma pueden expresarse sus lados en relación a la diagonal y un ángulo: 
𝑎 = 𝑑 ∙ cos(𝑢) 
𝑏 = 𝑑 ∙ 𝑠𝑒𝑛 (𝑢) 
Es a partir del trabajo con el modelo que pueden establecerse las siguientes relaciones 
𝑎𝑏 = 𝑆 y 
𝑏
𝑎
= 𝑡𝑔(𝑢) y se deduce también que 𝑏 = √𝑆 ∙ 𝑡𝑎𝑛𝑔(𝑢) y 𝑎 = √𝑆 ∙
𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛𝑔(𝑢). Estas relaciones constituyen un conocimiento nuevo que no habría sido 
visible en el sistema inicial. 
Chevallard (1989) afirma: “un modelo es interesante toda vez que él permite producir 
conocimientos que con otra visión no se nos darían tan fácilmente” (p. 63). A su vez, el 
autor propone para ilustrar esta afirmación el siguiente ejemplo: 
 “El teorema de Pitágoras enuncia una relación característica de los 
triángulos rectángulos, por lo que constituye un modelo de los triángulos 
rectángulos, donde las variables son las medidas de los lados a, b, c, y 
entonces 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2. Esta igualdad tiene una interpretación clásica en el 
31 
 
registro del sistema: el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa es 
igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los dos lados 
que forman el ángulo recto. Pero esta igualdad aparece producto de 
relaciones que no resultan directamente visibles desde el punto de vista 
geométrico. Si multiplicamos ambos miembros de la igualdad anterior por 
𝜋
8
 
se obtiene 
𝜋
8
𝑐2 =
𝜋
8
𝑎2 +
𝜋
8
𝑏2 a partir de lo cual se puede establecer la 
siguiente interpretación geométrica: el semicírculo cuyo diámetro es la 
hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los semicírculos construidos 
sobre los dos lados que forman el ángulo recto. Y, a su vez, si se multiplicara 
la igualdad de Pitágoras por un coeficiente numérico adecuado k uno podrá 
decir la misma cosa a propósito de los triángulos equiláteros: (𝑘 = √3/4), 
o de todas las otras figuras parecidas entre ellas construidas sobre los lados 
del triángulo” (Ibid., p. 63). 
En el ejemplo analizado, la distancia entre el sistema y el modelo resulta clara, el segundo 
funciona como un dispositivo que permite obtener conocimientos sobre el sistema que 
modeliza. En relación a este aspecto, Chevallard (1989) afirma que el modelo no debe ser 
una imagen del sistema, sino más bien una “máquina” que permite producir 
conocimientos sobre el sistema modelado. Dicho en otras palabras, un modelo no es una 
copia o reproducción de la realidad, sino más bien una construcción artificial, puesta en 
relación con la realidad de determinada manera que se supone adecuada. Se enfatiza así 
que la principal función del modelo no es la de parecerse al sistema que modeliza, sino la 
de aportar conocimientos sobre él y hacerlo de la forma más económica y eficaz posible. 
Chevallard (1989) describe además dos aspectos esenciales de la modelización: 
reversibilidady recurrencia. 
La condición de reversibilidad refiere a que el modelo puede invertirse y el sistema puede 
aparecer como un modelo de su modelo. El autor propone el siguiente ejemplo: 
𝑎2 𝑎𝑏 
ab 𝑏2 
 
En este caso las relaciones entre las áreas pueden ser modelizadas por la igualdad 
algebraica (𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 𝑏2, pero a su vez la figura puede considerarse un modelo 
geométrico de la igualdad. En este sentido Chevallard (1989) afirma: 
“El estudio de un modelo puede cambiar de sentido, donde un conocimiento 
que se refiere sobre uno de los términos de la relación de modelización puede 
ser transformado en el otro término”. A su vez el autor agrega que “cuando 
a b
32 
 
un sistema ha sido estudiado y en este caso, se supone conocido, ofrecerá por 
traslación, indicaciones sobre uno u otro de los modelos” (p. 65). 
Por su parte la idea de recurrencia se asocia a la idea de que todo objeto matemático es 
fruto de un proceso de modelización, pero que, a su vez, todo modelo puede ser tomado 
como sistema en un estudio de nivel superior, lo cual genera una sucesión de 
modelizaciones y una serie de modelos. En dicha sucesión de modelizaciones los sistemas 
van siendo cada vez más matematizados y los sucesivos modelos progresivamente 
construidos e integrados en los sistemas anteriores, van generando nuevas cuestiones 
problemáticas y provocando la necesidad de seguir con el proceso de modelización 
Chevallard (1989). De la idea anterior se desprende que la modelización intramatemática 
es una etapa necesaria de todo proceso de modelización extramatemática y, por otro lado, 
que el proceso de modelización es un proceso continuo y progresivo impulsado por el 
cuestionamiento constante de la adecuación del modelo al sistema y de su capacidad para 
dar respuesta tanto a las cuestiones iniciales como a las que van apareciendo a lo largo 
del proceso de estudio. 
Chevallard (1989) ejemplifica esta característica con el sistema de dos ecuaciones con 
dos incógnitas 𝑥 + 𝑦 =
11
2
 𝑦 𝑥 ∙ 𝑦 = 6 que modeliza el sistema formado por un 
rectángulo de área 6 y perímetro 11, del cual se puede a su vez dar un modelo 
matemáticamente equivalente a través de la ecuación cuadrática 2𝑥2 − 11𝑥 + 12 = 0. 
Considerado en su momento como un sistema matemático, esta ecuación tiene entonces 
un modelo “estándar”, la fórmula 𝑥 =
11±√(−11)2−4∙2∙12
2∙2
 que permitiría determinar el valor 
de uno de los lados del rectángulo y por consiguiente los restantes. Así el trabajo sobre 
el modelo puede ser interpretado como la construcción de modelos sucesivos que 
permiten responder cuestiones que inicialmente no podían ser resueltas. 
Esta "recurrencia" de los modelos se conjuga con la reversibilidad de la relación de 
modelización antes mencionada. 
Invirtiendo la relación de la modelización vista anteriormente, es posible encontrar 
ventaja al mirar al modelo constituido sobre las ecuaciones 𝑥 + 𝑦 = 4, 𝑥 ∙ 𝑦 = 3 que 
muestra inmediatamente que los números 1 y 3, donde la suma vale 4 y el producto 3 son 
soluciones de la ecuación propuesta, la cual no admite otras soluciones puesto que es una 
propiedad general de estos sistemas matemáticos que son las ecuaciones cuadráticas que 
no admiten más que dos soluciones. 
3.1 La modelización matemática como instrumento de articulación de la matemática 
escolar 
Como se ha mencionado anteriormente, desde la visión de la TAD, las obras matemáticas, 
así como también el propio proceso de estudio tienen una estructura praxeológica. Cuando 
en un proceso de modelización se generan cuestiones más amplias y complejas que las 
anteriores surgen a su vez nuevas necesidades teóricas que permitan construir y justificar 
33 
 
nuevas técnicas capaces de resolver dichas cuestiones. Es así que el proceso de estudio 
de un tipo de problemas desemboca en la reconstrucción institucional de organizaciones 
o praxeologías de complejidad creciente. 
La consideración de una cuestión problemática inicial surge siempre en el ámbito de una 
praxeología previamente disponible. La delimitación del sistema no es más que la 
delimitación de esta praxeología. La construcción de un modelo matemático de este 
sistema implica construir una nueva praxeología que actuará como una máquina 
productora de conocimiento sobre el sistema considerado. 
Es por lo anterior que puede distinguirse entre modelos locales, y modelos regionales. 
Chevallard (1989) lo ejemplifica de la siguiente manera: la geometría de Descartes puede 
considerarse un modelo algebraico de la geometría del plano, este modelo fue extendido 
al espacio en 1700 y recién a fines del siglo XVII se desarrolló en toda su amplitud. Sin 
embargo, estos aún resultaban insuficientes para el estudio de otros fenómenos del plano 
o del espacio y fue necesaria la elaboración de modelos más potentes como la geometría 
diferencial y la geometría algebraica. El modelo algebraico de la geometría es lo que se 
considera un modelo regional o también una teoría. Es habitual que se utilice la palabra 
modelo sin hacer distinción entre modelos regionales y locales, la construcción de los 
modelos locales se inscribe en relación a una teoría o modelo regional. Por su parte la 
construcción de un modelo regional se apoya en otros sistemas a modelizar y en el sector 
en el que ellos aparecen y supone por lo menos una teoría parcial de los sistemas 
estudiados, permitiendo ampliar el campo de conocimientos relacionados. 
3.2 Modelización algebraica 
Como ya se ha mencionado, Chevallard (1989) postula que la actividad matemática es 
una actividad de modelización. Además, el autor, a partir del análisis de la génesis del 
álgebra muestra que, ante todo el álgebra es un instrumento al servicio del trabajo 
matemático y como tal, permite explicitar y manipular la estructura de los problemas 
matemáticos. En este sentido puede decirse que el álgebra es un instrumento de 
modelización de las praxeologías matemáticas, que posibilita un proceso de 
algebrización de las mismas. 
A partir del análisis del texto “La modelización como concepto” de Yves Chevallard 
(1989). Se describen las siguientes características del álgebra como instrumento de 
modelización: 
- El álgebra escolar es un instrumento que permite llevar a cabo una actividad de 
modelización ya sea de sistemas extramatemáticos como intramatemáticos (dicho 
instrumento atraviesa todos los sectores de la matemática). 
- Permite explicitar y manipular la estructura de los problemas matemáticos. 
- A través del proceso de modelización algebraica es posible generar conocimiento 
sobre un sistema (lo matematizado), conocimiento al que no se podría acceder si 
34 
 
no fuera a través de la construcción del modelo (lo matemático) y el posterior 
trabajo sobre él. 
- La gestión del instrumento algebraico supone un conocimiento previo del objeto 
que se pretende matematizar, aplica tanto para los sistemas intramatemáticos 
como extramatemáticos. Dicho de otro modo, la delimitación del sistema, la 
construcción del modelo, y el mismo trabajo sobre el modelo, se basan en nuestro 
conocimiento previo del dominio de realidad del cual se trata de estudiar uno de 
sus fragmentos (el sistema considerado). 
- Las actividades que se privilegian en la modelización algebraica son: 
 La construcción de modelos de sistemas extra o intramatemáticos, así como 
también el trabajo sobre el modelo construido seguido de la interpretación y 
justificación en términos del sistema estudiado. 
 Formulación de nuevos problemas sobre el sistema estudiado. 
 El juego entre parámetros y variables. La funcionalidad el uso el instrumento 
algebraico presupone el uso de parámetros, alienta la reapropiación de la 
noción de fórmula y lleva a familiarizarse desde el principio con la noción de 
utilidad. 
 Construcción de ecuaciones o fórmulas a partir de expresar de dos formas 
diferentes una misma cantidad