Estudio teorico de la interaccion de ondas electromagneticas con particulas - transferencia de cantidad de momento lineal y angular en particulas magnetodielectricas

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Trabajo Especial de Licenciatura en Ciencias Físicas 
 
Estudio teórico de la interacción de ondas 
electromagnéticas con partículas: transferencia de cantidad 
de momento lineal y angular en partículas 
magnetodieléctricas 
 
Alumna: Agustina Alexa Di Rocco 
Director: Dr. Marcelo Lester 
 
 
 
Tandil, Marzo de 2022 
Departamento de Ciencias Físicas y Ambientales 
Facultad de Ciencias Exactas 
Universidad Nacional del Centro de la Provincia de Buenos Aires 
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Agradecimientos 
Voy a empezar por mamá y papá, que son los que me dieron la posibilidad de venir a 
estudiar lo que quería. Los que desde el primer minuto me ayudaron en todo, a buscar 
una universidad que quedara cerca de casa, a encontrar lugar para vivir, a hacer la 
mudanza. Gracias por preguntarme todo el tiempo qué más necesitaba para estar 
cómoda, por las visitas, por llenarme el freezer, por regalarme cosas para que no me 
duela la espalda después de muchas horas sentada. Gracias por la confianza y por 
motivarme a seguir. Gracias por hacer todo más fácil. 
A mis abuelos y mi bisabuela, por estar pendientes todo el tiempo, por prenderme 
velitas hasta para los parcialitos. Gracias por cada visita, porque no hay nada más 
lindo que las visitas de los abuelos. Y gracias por el regalo más grande de todos que 
es tenerlas para festejar el final de esta etapa conmigo. 
A mi hermano, por acompañar desde su lugar. 
A mis tíos y mi prima, que desde lejos compartieron toda esta etapa conmigo. Gracias 
por cada palabra de aliento. Gracias por estar cerca siempre. 
A mis amigas de toda la vida, por acompañarme desde sus ciudades, por entender mis 
tiempos y mi mala comunicación, por nuestros reencuentros que disfruto tanto que 
cuando vuelvo a Tandil hasta me han dicho que estoy más contenta. Gracias por estar 
presentes estos seis años, soy feliz de tenerlas. 
A mis amigos de la facultad, gracias por ser el mejor grupo que me podría haber 
tocado. Por los mejores años de cursadas que fueron los que compartimos juntos. Por 
llorar de la risa en los almuerzos, por enseñarme a compartir resúmenes, y por festejar 
cada logro (por más chico que sea) como si fuera suyo. Gracias por esta amistad que 
trasciende la carrera. 
A Tade y Flor, gracias por tener siempre la palabra justa, por decirme lo que está bien 
y lo que está mal. Por ser los que llamo cuando el problema es más grande que yo. 
Por seguir creciendo juntos y elegirnos. Gracias por entender todo. 
A Fran que lo conocí justo antes de que llegaran los problemas, y me ayudó a pasarlos 
todos. Gracias por ayudarme a desconectar, por cada consejo, por recordarme que 
hay una vida además de la carrera. Por llevarme a rendir cada examen de estos 
últimos cuatro años. Por compartir los nervios y también las alegrías. Gracias por 
hacer esta etapa más linda. 
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A Moni, Ayli y Facu, gracias por ser mi familia en Tandil. Desde que los conozco, los 
domingos son más lindos. 
A Marcelo, que hace ya tres años que lo elegí como director y en ese tiempo me 
demostró un montón de veces que fue la decisión correcta. Gracias por guiarme en 
esta última etapa llena de cosas nuevas, por aceptarme para trabajar juntos, por 
enseñarme con paciencia, y por pensar conmigo soluciones para los problemas. Sobre 
todo, gracias por el compromiso para sacar este trabajo adelante. 
A Manuel Nieto-Vesperinas por su colaboración para desarrollar este trabajo. Gracias 
por facilitarnos el acceso a sus cuentas y por la buena predisposición para responder 
nuestras consultas. 
A Vicky, Seba y Adela, mis primeros directores, por acompañarme en mis primeros 
pasos en la investigación, por enseñarme a escribir, a presentar un trabajo, por cada 
herramienta que me dieron. Gracias por enseñarme mucho más que física. 
A mis compañeros del centro de estudiantes, por enseñarme a trabajar en equipo, a 
tener paciencia. Por mostrarme que lo importante no es sólo hacer las cosas, sino 
cómo se hacen. Gracias por su compromiso, por ser responsables, y por hacer que 
nuestro paso por la facultad sea mejor. 
A todos mis docentes. Los que me dieron clase, y los que compartieron cátedra y el 
Consejo conmigo, gracias por ser ejemplo de lo que quiero ser y también de lo que 
espero no repetir nunca. Gracias a los que enseñan con compromiso, que siempre 
están pensando cómo mejorar y nos transmiten el gusto por su materia. Gracias a los 
que se ponen en el lugar del estudiante, que se preocupan y se ocupan de que 
entendamos. Gracias a los que son humanos y nos cuentan que a ellos también les 
costó y que al final pudieron. Gracias a todos los docentes comprometidos con seguir 
mejorando esta facultad. Gracias porque de cada uno me llevo una frase, una 
anécdota, una palabra de aliento. 
Por último, una mención especial a mis dos docentes favoritos, que tuve la suerte de 
conocerlos en la primer materia y me acompañaron toda la carrera. Gracias por todos 
sus consejos y por un regalo especial que me dieron: la posibilidad de aprender y 
divertirme al mismo tiempo. 
 
 
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Resumen 
Este trabajo consiste en el estudio teórico de la interacción entre una onda 
electromagnética (OEM) y un obstáculo, generalmente una partícula. A partir del 
análisis de los fenómenos físicos que intervienen en la transferencia de la cantidad de 
movimiento que se transfiere de la onda a la partícula, fue posible encontrar 
expresiones que permitan determinar el movimiento al que se someterá a una 
partícula con determinadas características, según el tipo de onda que incide sobre ella. 
La transferencia de momentum (𝒈) se realiza en el marco de leyes de conservación 
de la energía (como es el caso del Teorema Óptico o del Teorema de Poynting) y de 
leyes de conservación del momento lineal, que nos permiten encontrar expresiones 
para la fuerza que ejerce la OEM sobre el obstáculo, a partir de la segunda ley de 
Newton que relaciona el momentum con las fuerzas. 
Se estudiaron distintas expresiones para el momentum transportado por la onda. Las 
expresiones en función de los campos permiten conocer la energía equivalente 
(gracias a la relación entre 𝒈 y el vector de Poynting (𝑺)), y las expresiones en función 
de los parámetros de Stokes hacen que sea posible realizar mediciones para poder 
determinar, también de forma experimental, la cantidad de movimiento. 
Se obtuvieron expresiones para las fuerzas en función de los campos, pudiendo 
caracterizar los términos según si corresponden a efectos eléctricos, magnéticos o a 
una interacción entre ambos. Por último, se desarrolló una expresión que permite 
asociar los términos con características físicas de la onda incidente, como en el caso 
del término de presión por radiación que es el único que prevalece si la onda incidente 
es una onda plana. 
Fue posible reproducir modelos y realizar algunos ejemplos, en los que se aprecia 
gráficamente cómo el método o las expresiones desarrolladas describen los 
movimientos de las partículas interactuantes con la OEM. 
 
 
 
 
 
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Índice 
Agradecimientos ........................................................................................................... 3 
Resumen ...................................................................................................................... 5 
Índice ............................................................................................................................ 6 
Introducción .................................................................................................................. 9 
Capítulo 1: Nociones generales .................................................................................. 11 
Introducción ........................................................................................................................... 11 
1. Ecuaciones de Maxwell ...................................................................................................11 
2. Ecuaciones de onda y condiciones de contorno ......................................................... 13 
2.1 Ecuaciones de onda generales ............................................................................... 13 
2.2 Condiciones de contorno .......................................................................................... 13 
3. Conservación de la energía. Teorema óptico y el vector de Poynting. ................... 16 
4. Fuerzas ópticas ................................................................................................................ 18 
4.1 El tensor de los esfuerzos de Maxwell ................................................................... 18 
Capítulo 2: Propagador de Green ............................................................................... 22 
1.El problema de Green tensorial ...................................................................................... 23 
1.1 Bases matemáticas de las funciones de Green .................................................... 23 
1.2 Obtención de la función de Green para el campo eléctrico ................................ 24 
2. Aproximación dipolar ....................................................................................................... 28 
2.1 Campos de un dipolo eléctrico en un espacio homogéneo ................................ 29 
2.2 Campos para partículas magnetodieléctricas ....................................................... 31 
Capítulo 3: Interacción de una OEM con un obstáculo material: Teorema óptico ........ 32 
Introducción ........................................................................................................................... 32 
Teorema Óptico .................................................................................................................... 32 
1. Polarizabilidad de un medio material ............................................................................ 33 
2. Descripción del problema de la dispersión .................................................................. 34 
3. Secciones eficaces y conservación de la energía ...................................................... 36 
4. Enunciado del Teorema Óptico .................................................................................... 37 
Comentarios finales ............................................................................................................. 41 
Capítulo 4: Estudio del vector de Poynting. Contribuciones del momento angular orbital 
y spin. ......................................................................................................................... 43 
Introducción ........................................................................................................................... 43 
1. Descomposición del vector de Poynting en parte spinorial y orbital ........................ 43 
2. Expresión del momentum en función de observables físicos. .................................. 47 
Capítulo 5: Fuerzas ejercidas sobre partículas magnetodielétricas ............................. 49 
7 
 
Introducción ........................................................................................................................... 49 
1. Fuerza sobre una partícula pequeña con respuesta eléctrica y magnética a una 
onda electromagnética ........................................................................................................ 51 
2. Fuerza sobre una partícula magnetodieléctrica pequeña debida a la interacción 
con una OEM. Relación con el teorema óptico ............................................................... 53 
3. Estudio de las componentes de las fuerzas ejercidas sobre una partícula por una 
OEM ........................................................................................................................................ 56 
4. Cálculos de fuerzas sobre una partícula magnetodieléctrica ................................... 59 
Comentarios finales ............................................................................................................. 66 
Comentarios finales del trabajo ................................................................................... 67 
Anexo I: Cuentas para llegar a la expresión de momentum en función de los 
parámetros de Stokes ................................................................................................. 70 
Anexo II: cálculo de la expresión de la fuerza a partir de la integración de la diferencia 
de vectores de Poynting. Demostración de equivalencia entre expresiones de Fuerza.
 ................................................................................................................................... 73 
Bibliografía .................................................................................................................. 76 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
 
 
 
9 
 
Introducción 
En este trabajo se abordará el estudio teórico de la interacción de luz (ondas 
electromagnéticas) con partículas con tamaños menores a la longitud de onda. Se 
realizará un estudio teórico de la transferencia de la cantidad de momento lineal y 
angular transportada por una onda electromagnética (en adelante, OEM) a momento 
mecánico a una o a un conjunto de partículas, formadas por materiales homogéneos. 
La transferencia de momento desde una OEM a la materia se encuentra en continuo 
estudio desde hace más 50 años pero, recientemente, se ha reabierto un interesante 
debate sobre la cantidad de momento asociada al vector de Poynting. Esto ha dado 
lugar a nuevas interpretaciones e importantes avances, enlazando el 
electromagnetismo clásico con la electrodinámica cuántica (1). 
Comprender la dinámica de éste fenómeno y conseguir una correcta interpretación 
de la dinámica de transferencia, permitirá tener un mejor control de la manipulación de 
pequeños objetos mediante campos electromagnéticos (EM), tanto en el transporte 
como en la difusión de partículas, con aplicación en procesos químicos, biofísica o 
ciencia de los materiales. Si bien se ha avanzado mucho en estos temas, tanto teórica 
como experimentalmente, los fenómenos involucrados en la transferencia de cantidad 
de momento electromagnético a mecánico se encuentran en plena discusión. 
El problema de la transferencia de cantidad de momento desde una OEM a la 
materia fue planteado por Maxwell en su tratado: “A Dynamical Theory of the 
Electromagnetic Field (1865)”, pero no fue hasta 1970 (2) que esta propuesta se pudo 
demostrar experimentalmente, valiéndole el Premio Nobel a Arthur Ashikin en 2018. 
Desde hace unos años, se ha puesto especial interés en aquellos sistemas que 
presentan resonancias morfológicas con grandes concentraciones de campos 
eléctricos y magnéticos en el interior de partículas dieléctricas (no metálicas) con 
grandes contrastes ópticos (3) (4) (5) (6). Dichas partículas se comportan como un dipolo 
magnético en el campo lejano, siendo la partícula no magnética (en la literatura se las 
conoce como partículas magnetodieléctricas) (5). Los campos EM en el interior de estas 
partícula (en una aproximación dipolar), muestran campos 𝑬 y 𝑯 en forma confinada, 
con evidencias de una posible circulación de campos, lo que permitiría un fuerte 
intercambio de momento angular con el campo incidente (7) (8) (9). Esta peculiar forma 
resonante de los campos EM podría ser similar a lo que se conoce como una 
interacción “spin-orbita” en la partícula. Estos efectos se muestran amplificados 
cuando los campos incidentes sobre la partícula no son homogéneos, esto es, una 
onda EM generada por reflexión total interna o por campos EM generados por 
10 
 
excitación de plasmones sobre una superficie o los campos cercanos generados por 
dispersión sobre una partícula (10) (11). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11 
 
Capítulo 1: Nociones generalesIntroducción 
Cuando se trata de estudiar la interacción de la radiación electromagnética con la 
materia, es posible adoptar un modelo ondulatorio (como ejemplo en la reflexión o 
dispersión por superficies) o representar la interacción desde un punto de vista 
corpuscular (como por ejemplo los efectos Compton, fotoeléctrico o radiación gamma 
(12) por mencionar algunas). En particular, para radiaciones no ionizantes o de baja 
energía, el modelo ondulatorio es el que mejor describe los fenómenos de interacción 
de radiación electromagnética con objetos materiales como el de dispersión e 
interferencia o la transferencia de cantidad de momento lineal angular a la materia, 
pinzas ópticas, etc. (2). En longitudes de onda ubicadas en la mitad del espectro, como 
en el caso óptico, es posible caracterizar la interacción de las dos formas según 
resulte conveniente. 
Como el interés de estudio en este trabajo es radiación electromagnética que 
interacciona con partículas materiales, se utilizará una representación ondulatoria para 
describir la radiación electromagnética. Esto nos permite usar la teoría clásica de 
campos basada en las ecuaciones de Maxwell para representar las ondas 
electromagnéticas interactuantes. 
En este capítulo se desarrolla la base de la teoría ondulatoria clásica de la radiación 
electromagnética, sus aspectos más relevantes desde un punto de visto matemático, 
la interacción o propagación de ondas electromagnéticas en la materia y los teoremas 
de conservación de la energía. En estos desarrollos se adopta el sistema de unidades 
SI, lo que no implica que en otras capítulos, por conveniencia, se utilice el sistema 
Gaussiano. 
1. Ecuaciones de Maxwell 
Las ondas electromagnéticas que se propagan en el espacio libre (o vacío) son 
ondas planas. Estas ondas se caracterizan porque el campo eléctrico y el magnético 
son perpendiculares entre sí, y se encuentran en un plano que a su vez es 
perpendicular a la dirección de propagación de la onda. El vacío se caracteriza como 
“medio” de propagación por su permitividad y permeabilidad magnética, que son las 
conocidas contantes 𝜀0 y 𝜇0, respectivamente. 
Llamamos fuente a cualquier elemento o fenómeno físico capaz de generar un 
campo electromagnético. En el espacio libre, no hay presencia de fuentes. Las 
ecuaciones de Maxwell en un medio sin fuentes toman las siguientes expresiones: 
12 
 
∇ × 𝑬(𝒓, 𝑡) = −
𝜕𝑩(𝒓, 𝑡)
𝜕𝑡
, (Ec. 1) 
∇ × 𝑯(𝒓, 𝑡) =
𝜕𝑫(𝒓, 𝑡)
𝜕𝑡
, (Ec. 2) 
∇ • 𝑫(𝒓, 𝑡) = 0, (Ec. 3) 
∇ • 𝑩(𝒓, 𝑡) = 0. (Ec. 4) 
 
con las siguientes relaciones, que surgen a partir de las propiedades de la materia o el 
medio en cuestión: 
𝑫 = 𝜀0𝜀𝑟𝑬 (𝑷 = 𝜀0𝜒𝑒𝑬) (Ec. 5) 
𝑩 = 𝜇0𝜇𝑟𝑯 (𝑴 = 𝜒𝑚𝑯) (Ec. 6) 
𝒋 = 𝜎𝑬 (Ec. 7) 
En la electrodinámica macroscópica, se consideran como fuentes las densidades de 
carga ρ y de corriente j. Así, de forma diferencial y en unidades SI, las ecuaciones de 
Maxwell tienen la forma: 
∇ × 𝑬(𝒓, 𝑡) = −
𝜕𝑩(𝒓, 𝑡)
𝜕𝑡
, (Ec. 8) 
∇ × 𝑯(𝒓, 𝑡) =
𝜕𝑫(𝒓, 𝑡)
𝜕𝑡
+ 𝒋(𝒓, 𝑡), (Ec. 9) 
∇ • 𝑫(𝒓, 𝑡) = 𝜌(𝒓, 𝑡), (Ec. 10) 
∇ • 𝑩(𝒓, 𝑡) = 0. (Ec. 11) 
 
Donde E representa el campo eléctrico, D el vector de desplazamiento eléctrico, H el 
campo magnético, B la inducción magnética, j la densidad de corriente, y ρ la densidad 
de carga. 
Las componentes de estos campos vectoriales y escalares constituyen un sistema 
con dieciséis incógnitas. Dependiendo del medio que consideremos, el número de 
incógnitas se reduce considerablemente. 
Las ecuaciones de Maxwell se recombinan de forma que reproducen las leyes 
formalmente establecidas por Faraday, Ampère, Gauss, Poisson, y otros. Como las 
ecuaciones de Maxwell son ecuaciones diferenciales, no son afectadas por campos 
que sean constantes en el espacio y en el tiempo. De esta forma es posible agregar 
cualquier campo de este tipo a las expresiones de los campos que si varían. 
13 
 
2. Ecuaciones de onda y condiciones de contorno 
2.1 Ecuaciones de onda generales 
Sustituyendo los campos D y B, en las ecuaciones de Maxwell donde aparecen 
rotores (ec. 8 y 9), por las expresiones de las ec. 5 y 6, con P y M explícitas, y 
combinando las ecuaciones resultantes, se obtienen las ecuaciones de onda 
inhomogéneas: 
∇ × ∇ × 𝑬 +
1
𝑐2
𝜕2𝑬
𝜕𝑡2
= −𝜇0
𝜕
𝜕𝑡
(𝒋 +
𝜕𝑷
𝜕𝑡
+ ∇ × 𝑴) 
 
(Ec. 12) 
 
∇ × ∇ × 𝑯 +
1
𝑐2
𝜕2𝑯
𝜕𝑡2
= ∇ × 𝒋 + ∇ ×
𝜕𝑷
𝜕𝑡
−
1
𝑐2
𝜕2𝑴
𝜕𝑡2
 
 
(Ec. 13) 
 
La constante c es la velocidad de la luz en el vacío (√
1
𝜀0𝜇0
). 
La expresión entre paréntesis de la ec. 12 puede asociarse con la densidad de 
corriente total 
𝒋𝑡 = 𝒋𝑓 + 𝒋𝑐 +
𝜕𝑷
𝜕𝑡
+ ∇ × 𝑴 , 
 
(Ec. 14) 
 
donde j se divide en la densidad de corriente de las fuentes 𝒋𝑓 y en una densidad de 
corriente de conducción inducida 𝒋𝑐. Los términos 
𝜕𝑷
𝜕𝑡
 y ∇ × 𝑴 representan la densidad 
de corriente de polarización y la densidad de corriente de magnetización, 
respectivamente. 
Las expresiones anteriores para las ecuaciones de onda (ec. 12 y 13), no imponen 
ninguna condición sobre el medio, y tienen validez general. 
2.2 Condiciones de contorno 
Las propiedades de un material suelen discontinuarse en los bordes, pero aún asi las 
ecuaciones de Maxwell deben mantenerse continuas en ellos. Debido a la 
discontinuidad es más complejo aplicar las formas diferenciales de las ecuaciones de 
Maxwell, pero no existe este problema para sus formas integrales equivalentes. Las 
formas integrales se obtienen aplicando los teoremas de Gauss y Stokes a las formas 
diferenciales (ec. 8-11), obteniendo así las siguientes expresiones: 
∫ 𝑬(𝒓, 𝑡) • 𝑑𝒔 = − ∫
𝜕
𝜕𝑡
𝑩(𝒓, 𝑡) • 𝒏𝑠𝑑𝑎
𝑆𝜕𝑆
 , 
(Ec. 15) 
 
14 
 
 
∫ 𝑯(𝒓, 𝑡) • 𝑑𝒔 = ∫ [𝒋(𝒓, 𝑡) +
𝜕
𝜕𝑡
𝑫(𝒓, 𝑡)] • 𝒏𝑠𝑑𝑎 ,
𝑆𝜕𝑆
 
 
(Ec. 16) 
 
∫ 𝑫(𝒓, 𝑡) • 𝒏𝑠𝑑𝑎 = ∫ 𝜌(𝒓, 𝑡)𝑑𝑉 ,
𝑉𝜕𝑉
 
 
(Ec. 17) 
 
∫ 𝑩(𝒓, 𝑡) • 𝒏𝑠𝑑𝑎 = 0
𝜕𝑉
 . 
 
(Ec. 18) 
 
En estas ecuaciones, da es un elemento de superficie, 𝒏𝑠 es el vector unitario normal 
a la superficie, ds es un elemento de circunferencia, 𝜕𝑉 la superficie que limita el 
volumen V, y 𝜕𝑆 el contorno de la superficie S. 
La forma integral de las ecuaciones de Maxwell nos lleva a las condiciones de 
contorno buscadas cuando se aplican sobre una parte suficientemente pequeña del 
contorno considerado. En la figura 1 este límite es plano y los campos son 
homogéneos a ambos lados. Si consideramos un camino rectangular 𝜕𝑆 a lo largo de 
la interfase (figura 1.a), a medida que se reduce el área S encerrada por este camino, 
los flujos eléctrico y magnético que atraviesan S tienden a cero. 
 
 
15 
 
 
Figura 1: Caminos de integración para obtener las condiciones de contorno sobre la interfase 𝜕𝐷𝑖𝑗entre 
dos dominios adyacentes Di y Dj 
Lo anterior no se aplica cuando hay fuentes de corriente, ya que puede haber una 
densidad superficial de corriente K. Cuando esto ocurre, las primeras dos ecuaciones 
de Maxwell (ec 8 y 9) nos dan las condiciones de contorno para las componentes 
tangenciales de los campos: 
𝒏 × (𝑬𝑖 − 𝑬𝑗) = 0 sobre 𝜕𝐷𝑖𝑗, (Ec. 19) 
𝒏 × (𝑯𝑖 − 𝑯𝑗) = 𝑲 sobre 𝜕𝐷𝑖𝑗, (Ec. 20) 
Donde n es el vector unitario normal a la superficie de contorno o la interface. Una 
relación para las componentes normales de los campos puede obtenerse 
considerando una caja rectangular infinitesimal con volumen V y superficie 𝜕𝑉 como se 
muestra en la figura 1.b. Si los campos son homogéneos a ambos lados y si 
asumimos que la superficie de la interfase tiene una densidad de carga 𝜎, las dos 
últimas ecuaciones de Maxwell (ec. 10 y 11) nos dan las condiciones de contorno para 
las componentes normales de los campos: 
𝒏 • (𝑫𝑖 − 𝑫𝑗) = 𝜎 sobre 𝜕𝐷𝑖𝑗, (Ec. 21) 
𝒏 • (𝑩𝑖 − 𝑩𝑗) = 0 sobre 𝜕𝐷𝑖𝑗. (Ec. 22)En las situaciones en que no hay fuentes dentro de los dominios individuales, K y 𝜎 
se anulan. Las cuatro condiciones de contorno encontradas (ec. 19-22) no son 
16 
 
independientes entre si, debido a que los campos a ambos lados de la interface están 
relacionados por las ecuaciones de Maxwell. 
3. Conservación de la energía. Teorema óptico y el vector de 
Poynting. 
Si bien el Teorema de Poynting no es una consecuencia directa de las ecuaciones de 
Maxwell, nos da una relación convincente entre los campos electromagnéticos y la 
energía que contienen. 
Notando que E • j tiene unidades de densidad de potencia y que al multiplicar 
escalarmente por H a la ec (8) también tiene las mismas unidades, es posible obtener 
una relación entre los campos luego de restar las ecuaciones resultantes 
𝑯 • (∇ × 𝑬) − 𝑬 • (∇ × 𝑯) = −𝑯 •
𝜕𝑩
𝜕𝑡
− 𝑬 •
𝜕𝑫
𝜕𝑡
− 𝒋 • 𝑬 (Ec. 23) 
En esta ecuación, todo el término de la izquierda es equivalente a ∇ • (𝑬 × 𝑯). 
Luego, al integrar ambos lados en el espacio y haciendo uso del teorema de Gauss, la 
ecuación 23 toma la forma: 
∫ (𝑬 × 𝑯) • 𝒏 𝑑𝑎 = − ∫ [𝑯 •
𝜕𝑩
𝜕𝑡
+ 𝑬 •
𝜕𝑫
𝜕𝑡
+ 𝒋 • 𝑬] 𝑑𝑉
𝑉𝜕𝑉
 (Ec. 24) 
Si bien la ec. 24 representa la base para el teorema de Poynting, es posible obtener 
más información si los vectores B y D se sustituyen por las expresiones generalizadas 
correspondientes 
{
𝑫(𝒓, 𝑡) = 𝜀0𝑬(𝒓, 𝑡) + 𝑷(𝒓, 𝑡)
𝑯(𝒓, 𝑡) = 𝜇0
−1𝑩(𝒓, 𝑡) − 𝑴(𝒓, 𝑡)
 (Ec. 25) 
con 𝑷 y 𝑴 la polarización y magnetización del medio en el que se propagan los 
campos. De esta forma, la ec. 24 se transforma en: 
∫ (𝑬 × 𝑯) • 𝒏 𝑑𝑎 +
1
2
𝜕
𝜕𝑡
∫ [𝑫 • 𝑬 + 𝑩 • 𝑯] 𝑑𝑉
𝑉𝜕𝑉
= 
= − ∫ 𝒋 • 𝑬 𝑑𝑉 −
1
2
∫ [𝑬 •
𝜕𝑷
𝜕𝑡
− 𝑷 •
𝜕𝑬
𝜕𝑡
] 𝑑𝑉 −
𝜇0
2
∫ [𝑯 •
𝜕𝑴
𝜕𝑡
− 𝑴 •
𝜕𝑯
𝜕𝑡
]
𝑉
𝑑𝑉
𝑉𝑉
 
(Ec. 26) 
Esta ecuación (ec. 26) es una consecuencia directa de las ecuaciones de Maxwell, y 
fue propuesta por primera vez por Poynting (13). El análisis por términos establece que: 
el primer término es igual a la energía neta que fluye hacia el interior o el exterior del 
17 
 
volumen V; el segundo término equivale a la tasa de cambio de la energía 
electromagnética en el interior del volumen V; y el término restante del lado derecho se 
asocia a la tasa de energía disipada dentro de V. En concordancia con esta 
interpretación, 
𝑺 = (𝑬 × 𝑯) [
𝑊𝑎𝑡𝑡
𝑚2
] (Ec. 27) 
representa la intensidad del flujo de densidad de energía por segundo que atraviesa 
una unidad de área y 𝑊 =
1
2
[𝑫 • 𝑬 + 𝑩 • 𝑯] es la densidad de energía 
electromagnética. Si el medio dentro de V es lineal y no-dispersivo, los dos últimos 
términos de la ec. 26 se anulan y sólo permanece el de disipación de energía que 
contiene el producto 𝒋 • 𝑬. El vector S es el vector de Poynting. En principio, se puede 
agregar a S el rotor de cualquier vector sin modificar la ley de conservación (ec. 26), 
pero para nuestros propósitos es conveniente escribirlo como en la ec. 27. 
Es de especial interés el valor medio temporal de S (14). Esta cantidad describe la 
densidad de flujo de potencia neta y es necesaria para la evaluación de los patrones 
de radiación. Si los campos considerados son armónicos en el tiempo, lineales y no-
dispersivos, el promedio temporal del vector de Poynting (que en línea general 
pertenece al ℂ3) se transforma en: 
∫ 〈𝑺〉 • 𝒏 𝑑𝑎 = −
1
2
∫ 𝑅𝑒{𝒋∗ • 𝑬} 𝑑𝑉
𝑉𝜕𝑉
, (Ec. 28) 
donde 𝒋∗ representa el complejo conjugado de la densidad de corriente j . El término 
derecho de la ecuación define la energía media disipada dentro del volumen V. 〈𝑺〉 
representa el promedio temporal del vector de Poynting 
〈𝑺〉 =
1
2
𝑅𝑒{𝑬 × 𝑯∗} . (Ec. 29) 
Es interesante notar que, en medios materiales, hay un íntima relación entre el vector 
complejo de Poynting y la cantidad de momento lineal transportada por la onda 
electromagnética. La cantidad 
𝒈 = 𝑫 × 𝐵 = µ𝜀 𝑬 × 𝐻 = 
1
𝑐2
 𝑺 , (Ec. 30) 
 
18 
 
da cuenta de la densidad de momento transportada por los campos electromagnéticos 
propuesta por Minkowski (15) en 1908 y es la que adoptaremos a lo largo de este 
trabajo. 
4. Fuerzas ópticas 
La teoría del electromagnetismo de Maxwell presentada en el siglo XIX, mostró que 
los campos radiantes transportan momentum y que se ejerce una “presión lumínica” 
sobre un objeto iluminado. En el siglo XX, Einstein introdujo el concepto de “fotón” y 
demostró que hay una transferencia de energía y momentum entre el campo de 
radiación (la luz) y la materia, que puede estudiarse con la teoría cuántica. La 
conservación del momentum y la energía son de gran importancia en los eventos que 
ocurren a escala microscópica. La transferencia de momentum de fotones a otras 
partículas fue demostrada experimentalmente en 1925 por Compton. Otros científicos 
continuaron estudiando esta transferencia de momentum a otras combinaciones de 
materia, como átomos, hasta que se propuso enfocar haces de luz para poder atrapar 
átomos con ellos. Trabajos posteriores se basaron en esto para desarrollar las “pinzas 
ópticas”. En estos casos la transferencia de momentum de la OEM a las partículas 
puede interpretarse experimentalmente como la fuerza ejercida por los campos de la 
onda sobre la partícula en cuestión. 
En esta sección se utilizarán conceptos de la electrodinámica clásica para obtener la 
ley de conservación de momento lineal en un campo óptico. La fuerza neta ejercida 
sobre un objeto está completamente determinada por el tensor de los esfuerzos de 
Maxwell. En el caso límite de un objeto de extensión infinita, el formalismo nos 
devuelve las conocidas fórmulas para la presión de radiación (16). De forma similar, en 
el caso de objetos infinitesimales, se obtienen las expresiones del gradiente y las 
fuerzas de dispersión o scattering. 
4.1 El tensor de los esfuerzos de Maxwell 
La ley general de fuerzas para los campos electromagnéticos se basa en la ley de 
conservación del momento lineal. A continuación, se derivará esta ley de 
conservación. Por simplicidad, inicialmente consideraremos las ecuaciones de Maxwell 
en el vacío. Tendremos en este caso 𝑫 = 𝜀0𝑬 y 𝑩 = 𝜇0𝑯. La ley de conservación del 
momento lineal es una consecuencia de las ecuaciones de Maxwell 
∇ × 𝑬(𝒓, 𝑡) = −
𝜕𝑩(𝒓, 𝑡)
𝜕𝑡
, (Ec. 31) 
∇ × 𝑩(𝒓, 𝑡) =
1
𝑐2
𝜕𝑬(𝒓, 𝑡)
𝜕𝑡
+ 𝜇0𝒋(𝒓, 𝑡), (Ec. 32) 
19 
 
∇ • 𝑬(𝒓, 𝑡) =
1
𝜀0
𝜌(𝒓, 𝑡), (Ec. 33) 
∇ • 𝑩(𝒓, 𝑡) = 0. (Ec. 34) 
y de la ley de la fuerza de Lorentz 
𝑭(𝒓, 𝑡) = 𝑞[𝑬(𝒓, 𝑡) + 𝒗(𝒓, 𝑡) × 𝑩(𝒓, 𝑡)] 
= ∫ [𝜌(𝒓, 𝑡)𝑬(𝒓, 𝑡) + 𝒋(𝒓, 𝑡) × 𝑩(𝒓, 𝑡)]𝑑𝑉
𝑉
.
 (Ec. 35) 
donde la primera expresión describe la fuerza para una carga puntual 𝑞 que se mueve 
con velocidad 𝑣, y la segunda corresponde a una distribución de cargas y corrientes 
que satisfacen la ecuación de continuidad 
∇ • 𝒋(𝒓, 𝑡) +
𝜕𝜌(𝒓, 𝑡)
𝜕𝑡
= 0 (Ec. 36) 
 que también es una consecuencia directa de las ecuaciones de Maxwell. 
La ley de la fuerza conecta la teoría electromagnética con la mecánica. Los dos 
términos de la primera expresión de la ec. 35 son básicamente definiciones de los 
campos eléctrico y magnético. 
Si se multiplica vectorialmente la primera ecuación de Maxwell (ec. 31) por × 𝜀0𝑬, a 
la segunda ecuación (ec. 32) por × 𝜇0𝑯, y finalmente se suman ambas expresiones, 
se obtiene 
𝜀0(∇ × 𝑬) × 𝑬 + 𝜇0(∇ × 𝑯) × 𝑯 = 𝒋 × 𝑩 −
1
𝑐2
[
𝜕𝑯
𝜕𝑡
× 𝑬] +
1
𝑐2
[
𝜕𝑬
𝜕𝑡
× 𝑯]. (Ec. 37) 
Para simplificar la notación se omitió la dependencia (𝒓, 𝑡) de los campos, y se utilizó 
la relación 𝜀0𝜇0 =
1
𝑐2
 . Los dos últimos términos del miembro derecho de la ecuación 37 
pueden combinarse de forma que resulte el término 
1
𝑐2
𝑑
𝑑𝑡
[𝑬 × 𝑯]. 
El primer término del miembro izquierdo de la ec. 37, puede reescribirse como: 
𝜀0(∇ × 𝑬) × 𝑬 = 𝜀0
[𝜕
𝜕𝑥
(𝐸𝑥
2 −
𝐸2
2
) +
𝜕
𝜕𝑦
(𝐸𝑥𝐸𝑦) +
𝜕
𝜕𝑧
(𝐸𝑥𝐸𝑧)
𝜕
𝜕𝑥
(𝐸𝑥𝐸𝑦) +
𝜕
𝜕𝑦
(𝐸𝑦
2 −
𝐸2
2
) +
𝜕
𝜕𝑧
(𝐸𝑦𝐸𝑧)
𝜕
𝜕𝑥
(𝐸𝑥𝐸𝑧) +
𝜕
𝜕𝑦
(𝐸𝑦𝐸𝑧) +
𝜕
𝜕𝑧
(𝐸𝑧
2 −
𝐸2
2
)
]
 
 
 
 
 
 
− 𝜀0𝑬∇ • 𝑬 
= ∇ • [𝜀0𝑬𝑬 − (
𝜀0
2
) 𝑬2�⃡�] − 𝜌𝑬 
(Ec. 38) 
20 
 
donde se utiliza la tercer ecuación de Maxwell (ec. 33) para el último paso. La notación 
𝑬𝑬 representa el producto exterior, 𝐸2 = 𝐸𝑥
2 + 𝐸𝑦
2 + 𝐸𝑧
2 es la fuerza del campo eléctrico, 
e �⃡� es el tensor unitario. 
Puede derivarse una expresión similar para 𝜇0(∇ × 𝑯) × 𝑯. Reemplazando estas 
dos expresiones equivalentes de la parte eléctrica y magnética en la ecuación 37, se 
obtiene 
∇ • [𝜀0𝑬𝑬 + 𝜇0𝑯𝑯 −
1
2
(𝜀0𝐸
2 + 𝜇0𝐻
2)�⃡�] =
𝑑
𝑑𝑡
1
𝑐2
(𝑬 × 𝑯) + 𝜌𝑬 + 𝒋 × 𝑩 . (Ec. 39) 
 La expresión entre corchetes del miembro izquierdo, se conoce como tensor de los 
esfuerzos de Maxwell en el vacío, simbólicamente se representa con �⃡� , y en 
coordenadas cartesianas se representa como sigue 
�⃡� = [𝜀0𝑬𝑬 + 𝜇0𝑯𝑯 −
1
2
(𝜀0𝐸
2 + 𝜇0𝐻
2)�⃡�] 
=
[
 
 
 
 
 
 𝜀0 (𝐸𝑥
2 −
𝐸2
2
) + 𝜇0 (𝐻𝑥
2 −
𝐻2
2
) 𝜀0𝐸𝑥𝐸𝑦 + 𝜇0𝐻𝑥𝐻𝑦 𝜀0𝐸𝑥𝐸𝑧 + 𝜇0𝐻𝑥𝐻𝑧
𝜀0𝐸𝑥𝐸𝑦 + 𝜇0𝐻𝑥𝐻𝑦 𝜀0 (𝐸𝑦
2 −
𝐸2
2
) + 𝜇0 (𝐻𝑦
2 −
𝐻2
2
) 𝜀0𝐸𝑦𝐸𝑧 + 𝜇0𝐻𝑦𝐻𝑧
𝜀0𝐸𝑥𝐸𝑧 + 𝜇0𝐻𝑥𝐻𝑧 𝜀0𝐸𝑦𝐸𝑧 + 𝜇0𝐻𝑦𝐻𝑧 𝜀0 (𝐸𝑧
2 −
𝐸2
2
) + 𝜇0 (𝐻𝑧
2 −
𝐻2
2
)
]
 
 
 
 
 
 
 
(Ec. 40) 
Si se integra la ecuación 39 sobre un volumen 𝑉 arbitrario, se obtiene 
∫ ∇ • �⃡� 𝑑𝑉 =
𝑑
𝑑𝑡
1
𝑐2
∫ (𝑬 × 𝑯)𝑑𝑉 + ∫ (𝜌𝑬 + 𝒋 × 𝑩)𝑑𝑉 .
𝑉𝑉𝑉
 (Ec. 41) 
El último término es la expresión de la fuerza mecánica (ver ec. 35). La integral de 
volumen del miembro derecho puede transformarse en una integral de superficie 
empleando la ley de integración de Gauss. Así, se llega finalmente a la relación 
matemática que describe la ley de conservación para el momento lineal: 
∫ �⃡� (𝒓, 𝑡) • 𝒏(𝒓, 𝑡)𝑑𝑎
𝜕𝑉
=
𝑑
𝑑𝑡
[𝒈𝑐𝑎𝑚𝑝𝑜 + 𝒈𝑚𝑒𝑐] (Ec. 42) 
en la última ecuación, 𝒈𝑐𝑎𝑚𝑝𝑜 y 𝒈𝑚𝑒𝑐 denotan el momentum del campo y el 
momentum mecánico, respectivamente. En la ecuación 42, se considera la expresión 
de la segunda ley de Newton que describe a la fuerza mecánica como 𝑭 =
𝑑
𝑑𝑡
𝒈𝑚𝑒𝑐 y la 
definición de momentum del campo (también conocido como densidad de 
Abraham (15)) 
21 
 
𝒈𝑐𝑎𝑚𝑝𝑜 =
1
𝑐2
∫ (𝑬 × 𝑯)𝑑𝑉
𝑉
 (Ec. 43) 
Este es el momentum transportado por el campo electromagnético dentro del volumen 
𝑉. Esta expresión surge debido a los términos dinámicos de las ecuaciones de 
Maxwell que poseen rotores (ec. 31 y 32). La derivada respecto del tiempo del 
momentum del campo es cero cuando se toma el promedio en un período de 
oscilación, y así el promedio temporal de la fuerza resulta 
〈𝑭〉 = ∫ 〈�⃡� (𝒓, 𝑡)〉
𝜕𝑉
• 𝒏(𝒓)𝑑𝑎 . (Ec. 44) 
La ecuación 44 tiene validez general, y nos permite calcular la fuerza mecánica que 
actúa sobre un objeto arbitrario encerrado en una superficie cerrada 𝜕𝑉. Es de interés 
notar que la fuerza está determinada en su totalidad por los campos eléctrico y 
magnético en la superficie 𝜕𝑉. Además, no intervienen propiedades materiales en esta 
expresión, toda la información está contenida en el campo electromagnético. La única 
consideración sobre el objeto es que debe ser rígido ante la interacción con la OEM, si 
se deformara aparecerían otros fenómenos físicos, que no son objeto de estudio de 
este trabajo. 
Por último, es importante resaltar que los campos que intervienen en el cálculo de la 
fuerza son los campos totales o autoconsistentes del problema, es decir los campos 
que son una superposición de los campos incidentes y los dispersados o scattereados 
por el objeto. 
Finalmente, si el objeto que interactúa con la OEM y sobre el cuál se ejerce la fuerza 
se encuentra en un medio no dispersivo con constante dieléctrica 𝜀 y suceptibilidad 
magnética 𝜇, la fuerza mecánica se calcula a partir de la ecuación 44, con la siguiente 
expresión para el tensor de los esfuerzos de Maxwell 
�⃡� = [𝜀0𝜀𝑬𝑬 + 𝜇0𝜇𝑯𝑯 −
1
2
(𝜀0𝜀𝐸
2 + 𝜇0𝜇𝐻
2)�⃡�] (Ec. 45) 
Las expresiones y relaciones desarrolladas en esta sección, serán de utilidad para el 
estudio de las fuerzas debidas a la transferencia de momentum de una OEM a una 
partícula, que se realizará en el capítulo 5. 
 
 
 
 
22 
 
Capítulo 2: Propagador de Green 
Para poder estudiar la transferencia de cantidad de movimiento de una OEM a una 
partícula, es necesario describir la forma funcional de los campos que intervienen en 
esta interacción. En líneas generales, conocer los campos en todo punto del espacio 
en forma analítica solo es posible para algunas situaciones particulares y para el resto 
de las situaciones deben implementarse sofisticados formalismos numéricos para su 
descripción. 
Con el fin de obtener una expresión analítica de la respuesta óptica de una partícula 
durante la interacción OEM-objeto, en este capítulo se abordará de forma detallada la 
descripción de los campos electromagnéticos dispersados por partículas bajo la 
aproximación de “partícula pequeña”. Es bien sabido (17), que esta aproximación puede 
utilizarse sólo si las dimensiones (𝑎) de la partícula son pequeñas en comparación con 
la longitud de onda incidente, es decir 𝑎 ≪ 𝜆. 
En el marco de esta aproximación, la partícula es considerada como un dipolo 
radiante, cuya polarización 𝒑 se encuentra en fase con el campo incidente. Con lo 
cual, el dipolo en cuestión será considerado como una fuente en nuestro problema de 
estudio que dará cuenta de los campos dispersados. Por esta razón, es necesario 
contar con un método matemático que nos permita describir los campos vectoriales 
que se presentan en un espacio en el que se ubican fuentes. Un problema de estas 
características puede resolverse encontrando la solución a ecuaciones diferenciales 
inhomogéneas con las condiciones de contorno adecuadas. El método más usual para 
trabajar estas ecuaciones es el Método de Green. 
En particular, en este capítulo se hará uso de la teoría de la Función de Green y de la 
aproximación dipolar (que permite describir una densidad de corriente como un dipolo 
que oscila, con origen coincidente con el centro de la distribución de cargas) para 
obtener los campos eléctrico y magnético generados por el dipolo oscilante. 
Por lo tanto, el dipolo por el que puede reemplazarse la partícula cuando 𝑎 ≪ 𝜆, 
oscilará en la dirección coincidente con su momento dipolar 𝑝, el cual es inducido (y de 
esta forma queda definida su dirección) por el campo eléctrico de la onda incidente 
que interacciona con la partícula. 
Los campos genéricos que se obtendrán bajo esta aproximación, permitirán hacer un 
análisis de la cantidad de momento transferida a la partícula, por una onda EM (según 
las particularidades de la onda incidente) y estudiar los efectos mecánicos que se 
inducen sobre las partículas. 
23 
 
1. El problema de Green tensorial 
Una de las herramientas matemáticas más importantes en la teoría de campos es la 
función de Green, ya que puede utilizarse para obtener la distribución espacial de los 
campos (tanto vectoriales como escalares) cuando se consideran fuentes en los 
volúmenes bajo estudio. En particular, es de gran utilidad conocer la distribución 
espacial de los campos electromagnéticos generados por una fuente puntual. 
De todas las posibles fuentes, resulta especialmente de interés conocer los campos 
electromagnéticos generados por un dipolo oscilante. Este sencillo problema brinda 
información cualitativa de la evolución de estos campos en el espacio y ofrece la 
oportunidad de estudiar problemas de dispersión complejos cuando esta aproximación 
(la dipolar) puede ser aplicada. Este problema es bien conocido en la literatura (1) (17), 
donde el campo eléctrico E(r) generado por un dipolo oscilanteen forma general se 
puede expresar mediante la función diádica de Green �⃡� . Esta función tensorial define 
unívocamente el campo eléctrico E en el punto r del campo generado por un dipolo 
eléctrico p que está radiando desde su ubicación en el punto fuente 𝒓′. En términos 
matemáticos esto se expresa como (1) 
𝑬(𝒓) = 𝜔2𝜇0𝜇�⃡� (𝒓, 𝒓
′)𝒑 (Ec.46 ) 
A continuación se describirá brevemente el comportamiento de estas funciones 
desde un punto de vista matemático. 
1.1 Bases matemáticas de las funciones de Green 
Consideremos la ecuación inhomogénea 
ℒ𝑨(𝒓) = 𝑩(𝒓), (Ec. 47) 
donde ℒ es un operador lineal que actúa sobre el campo vectorial A, representando la 
respuesta desconocida del sistema. El campo vectorial B es una función conocida de 
la fuente y lo que hace que la ecuación diferencial sea inhomogénea. La solución al 
problema con inhomogeneidades satisface la siguiente relación: 
ℒ𝑨(𝒓) = ∫ ℒ�⃡� (𝒓, 𝒓′)𝑩(𝒓′)𝑑𝑉′
𝑉
 (Ec. 48) 
donde al eliminar el operador ℒ, la solución de la ecuación 47 puede escribirse como: 
𝑨(𝒓) = ∫ �⃡� (𝒓, 𝒓′)𝑩(𝒓′)𝑑𝑉′
𝑉
 . (Ec. 49) 
24 
 
De esta forma, la solución de la ecuación original puede hallarse integrando el 
producto de la función diádica de Green y la inhomogeneidad de B sobre el volumen 
de la fuente V. Cuando �⃡� es singular en 𝒓 = 𝒓′, se suele introducir un volumen 
infinitesimal que rodee 𝒓 = 𝒓′ para excluir este punto de la región de integración. 
1.2 Obtención de la función de Green para el campo eléctrico 
La expresión de la función de Green para el campo eléctrico se obtiene de forma 
más apropiada si se consideran el vector potencial A y el potencial escalar 𝜙 en un 
espacio infinito y homogéneo caracterizado por las constantes 𝜀 y 𝜇. En tal caso, A y 𝜙 
están definidos por las relaciones 
𝑬(𝒓) = 𝑖𝜔𝑨(𝒓) − ∇𝜙(𝒓) , 
 
(Ec. 50) 
 
𝑯(𝒓) =
1
𝜇0𝜇
∇ × 𝑨(𝒓) . (Ec. 51) 
Reemplazando estas expresiones en una de las ecuaciones de Maxwell (ec. 2) se 
obtiene 
∇ × ∇ × 𝑨(𝒓) = 𝜇0𝜇𝒋(𝒓) − 𝑖𝜔𝜇0𝜇𝜀0𝜀[𝑖𝜔𝑨(𝒓) − ∇𝜙(𝒓)] (Ec. 52) 
donde se utiliza la relación 𝑫 = 𝜀0𝜀𝑬. Los potenciales A y 𝜙 no están definidos 
unívocamente por las ecuaciones 50 y 51, sino que se mantiene la libertad de elegir el 
valor de ∇ • 𝑨 según sea más conveniente. En este caso la elección es 
∇ • 𝑨(𝒓) = 𝑖𝜔𝜇0𝜇𝜀0𝜀𝜙(𝒓) . (Ec. 53) 
Esta condición que fija las redundancias de las ecuaciones 50 y 51 se conoce como 
condición de gauge, y el gauge elegido es el ya conocido gauge de Lorenz. 
Empleando una identidad matemática podemos reescribir la expresión 52 como 
[∇2 + 𝑘2]𝑨(𝒓) = −𝜇0𝜇𝒋(𝒓) , (Ec. 54) 
que es la ecuación de Helmholtz inhomogénea, la cual se cumple de forma 
independiente para cada componente 𝐴𝑖 de 𝑨. Se puede derivar una ecuación 
equivalente para el potencial escalar 𝜙, de forma que se obtienen cuatro ecuaciones 
de Helmholtz escalares, de la forma: 
[∇2 + 𝑘2]𝑓(𝒓) = −𝑔(𝒓) . (Ec. 55) 
25 
 
Para esta ecuación escalar, es posible encontrar la función de Green escalar 𝐺0(𝒓, 𝒓
′) 
a partir del operador de Helmholtz, se reemplaza el término de la fuente 𝑔(𝒓) por una 
fuente puntual de la forma 𝛿(𝒓 − 𝒓′) para obtener 
[∇2 + 𝑘2]𝐺0(𝒓, 𝒓
′) = −𝛿(𝒓 − 𝒓′) . (Ec. 56) 
La coordenada r denota el punto en el cuál se evalúa el campo, mientras que la 
coordenada 𝒓′ designa la ubicación de la fuente puntual. Una vez determinada 𝐺0 es 
posible establecer la siguiente solución particular a la ecuación 54 para el vector 
potencial 
𝑨(𝒓) = 𝜇0𝜇 ∫ 𝒋(𝒓
′)𝐺0(𝒓, 𝒓
′)𝑑𝑉′
𝑉
 (Ec. 57) 
Una solución similar se obtiene para el potencial escalar 𝜙(𝒓). La obtención de ambas 
soluciones requiere conocer la función de Green definida por medio de la ec. 56. En el 
espacio libre, la única solución posible para esta ecuación es: 
𝐺0(𝒓, 𝒓
′) =
𝑒±𝑖𝑘|𝒓−𝒓
′|
4𝜋|𝒓 − 𝒓′|
 (Ec. 58) 
La solución con signo positivo da cuenta de una onda esférica que se propaga en 
dirección saliente desde el origen, mientras que la solución correspondiente al signo 
negativo es una onda que converge hacia el origen. Los pasos posteriores harán 
referencia a la onda con propagación saliente. La función escalar de Green puede 
reemplazarse en la expresión 57 y, así, calcular el potencial vectorial integrando sobre 
el volumen de la fuente (V). De este modo, nos encontramos en posición de calcular el 
potencial escalar y el potencial vectorial para cualquier distribución de corriente j y 
para cualquier distribución de carga 𝜌 dadas. 
Es importante destacar que la función de Green descrita en la ecuación 58 
corresponde al análisis en espacios tridimensionales y homogéneos. En caso de 
estudiar otro tipo de espacio, su expresión tomará una forma diferente. 
Hasta ahora se ha logrado reducir el tratamiento de las funciones de Green a los 
potenciales A y 𝜙, debido a que estas magnitudes permiten trabajar con ecuaciones 
escalares. El formalismo se vuelve más complicado cuando se involucran los campos 
eléctrico y magnético. La razón de esto es que una fuente de corriente que circula en 
dirección x, produce un campo eléctrico y magnético con componentes en las 
direcciones x, y, z. Diferente es el caso para el potencial vectorial: una corriente en x 
26 
 
genera un vector potencial con su componente en x. Es por esto, que en los casos de 
campos eléctrico y magnético es necesaria una función de Green que relacione todas 
las componentes de la fuente con todas las componentes de los campos, lo que 
significa que la función de Green debe ser un tensor. Este tipo de función de Green es 
la “función de Green diádica” mencionada anteriormente. 
 
Figura 2: Ilustración de la función de Green diádica 𝑮(𝒓, 𝒓′). Esta función reproduce el campo 
en el punto r debido a la fuente puntual j ubicada en el punto 𝒓′. 
Para determinar la función de Green diádica se parte de la función de onda para el 
campo eléctrico, que para un espacio homogéneo con fuentes es 
∇ × ∇ × 𝑬(𝒓) − 𝑘2𝑬(𝒓) = 𝑖𝜔𝜇0𝜇𝒋(𝒓). (Ec. 59) 
Es posible definir la función de Green correspondiente para cada componente de j. Por 
ejemplo, en el caso de 𝑗𝑥 se tiene 
∇ × ∇ × 𝑮𝑥(𝒓, 𝒓
′) − 𝑘2𝑮𝑥(𝒓, 𝒓
′) = 𝛿(𝒓 − 𝒓′)𝒏𝑥 , (Ec. 60) 
donde 𝒏𝑥 es el versor correspondiente a la dirección x. Pueden formularse ecuaciones 
similares para los casos en los que la fuente puntual posee componentes en las 
direcciones y ó z. Para considerar todas las orientaciones, escribimos la definición 
general de la función de Green diádica para el campo eléctrico como sigue (1) 
∇ × ∇ × �⃡� (𝒓, 𝒓′) − 𝑘2�⃡� (𝒓, 𝒓′) = �⃡�𝛿(𝒓 − 𝒓′). (Ec. 61) 
La primera columna del tensor �⃡� corresponde al campo debido a la fuente orientada 
en la dirección x, la segunda columna al campo causado por la fuente en dirección y, y 
la tercera columna al campo originado por la fuente a lo largo de la dirección z. 
Entonces, la función diádica es la notación compacta de tres funciones de Green 
vectoriales. 
27 
 
Como se mencionó antes, se puede interpretar la fuente de corriente de la ec. 59 
como una superposición de corrientes puntuales. Así, si se conoce la función de Green 
�⃡� , se puede proponer como solución para la ecuación 59 
𝑬(𝒓) = 𝑖𝜔𝜇𝜇0 ∫ �⃡� (𝒓, 𝒓
′)𝒋(𝒓′)𝑑𝑉′
𝑉
. (Ec. 62) 
Aunque esta es una solución particular, por lo que se necesita complementar con las 
soluciones homogéneas 𝐸0. Así, la solución general resulta 
𝑬(𝒓) = 𝑬0(𝒓) + 𝑖𝜔𝜇0𝜇 ∫ �⃡� (𝒓, 𝒓
′)𝒋(𝒓′)𝑑𝑉′
𝑉
 𝑐𝑜𝑛 𝒓 ∉ 𝑉. (Ec. 63) 
 El campo magnético correspondiente se escribe 
𝑯(𝒓) = 𝑯0(𝒓) + 𝑖𝜔𝜇0𝜇 ∫ [∇ × �⃡� (𝒓, 𝒓
′)]𝒋(𝒓′)𝑑𝑉′
𝑉
 𝑐𝑜𝑛 𝒓 ∉ 𝑉. (Ec. 64) 
Las ecuaciones 63 y 64 se conocen como ecuaciones integrales de volumen. Su 
importancia recae en que son las bases para el desarrollo de varios formalismos 
matemáticos, como el método de dipolos acoplados, entre otros (1). Enlas ecuaciones 
limitamos la validez de las integrales de volumen a todo espacio exterior al volumen de 
la fuente V, para evitar la aparente singularidad que aparece en �⃡� cuando 𝒓 = 𝒓′. 
Si se busca resolver las ecuaciones 63 y 64 para una determinada distribución de 
corriente conocida, se necesita determinar la forma explícita de �⃡� . Reemplazando la 
expresión del gauge de Lorentz (ec. 57) en la ecuación 50, se obtiene 
𝑬(𝒓) = 𝑖𝜔 [1 +
1
𝑘2
∇∇ •] 𝑨(𝒓). (Ec. 65) 
El primer vector columna de �⃡� (ej. 𝑮𝑥), definido por la relación 60 es el campo 
eléctrico debido a la fuente puntual de corriente 𝒋 =
1
𝑖𝜔𝜇0
𝛿(𝒓 − 𝒓′)𝒏𝑥 . El potencial 
vectorial que se origina a partir de esta fuente es, según la ec. 53, 
𝑨(𝒓) =
1
𝑖𝜔
𝐺0(𝒓, 𝒓
′)𝒏𝑥. (Ec. 66) 
Al introducir este vector potencial en la ecuación 65 se encuentra que 
𝑮𝑥(𝒓, 𝒓
′) = [1 +
1
𝑘2
∇∇ •] 𝐺0(𝒓, 𝒓
′)𝒏𝑥, (Ec. 67) 
28 
 
Con expresiones similares para 𝑮𝑦 y 𝑮𝑧. Sólo resta agrupar estas tres soluciones en 
una díada. Tomando como base la definición ∇ • [𝐺0�⃡�] = ∇𝐺0, la función de Green 
diádica 𝐺 puede calcularse a partir de la función de Green escalar 𝐺0 definida en la 
ecuación 58. De esta forma obtenemos 
�⃡� (𝒓, 𝒓′) = [�⃡� +
1
𝑘2
∇∇] 𝐺0(𝒓, 𝒓
′). (Ec. 68) 
2. Aproximación dipolar 
En nano óptica existen interacciones entre la luz y la materia en la escala 
nanométrica (dimensiones mucho menores que la longitud de onda incidente). Varias 
estructuras de escala nanométrica son usadas en el estudio óptico de los campos 
cercanos (NF) como fuentes locales de luz. El propósito de este capítulo es poder 
discutir las interacciones de la luz con partículas o sistemas de partículas del orden del 
nanómetro. 
La interacción de la luz con la materia depende de varios parámetros, entre ellos la 
composición y estructura atómica de los materiales, su geometría y tamaño, y la 
frecuencia e intensidad que posee el campo de radiación. La densidad de corriente 
debida a una distribución de carga 𝑞𝑛 con coordenadas 𝒓𝑛 y velocidades �̇�𝑛 está dada 
por 
𝒋(𝒓) = ∑ 𝑞𝑛�̇�𝑛𝛿[𝒓 − 𝒓𝑛]
𝑛
 . (Ec. 69) 
Podemos desarrollar esta densidad de corriente como una serie de Taylor centrada en 
𝒓0, que suele coincidir con el centro de la distribución de carga. Si se conserva sólo el 
término de menor orden, se obtiene 
𝒋(𝒓, 𝑡) =
𝑑
𝑑𝑡
𝒑(𝑡)𝛿[𝒓 − 𝒓0] (Ec. 70) 
con el momento dipolar correspondiente 
𝒑(𝑡) = ∑ 𝑞𝑛[𝒓𝑛(𝑡) − 𝒓0]
𝑛
 . (Ec. 71) 
Asumiremos una dependencia temporal de tipo armónica, que nos permite escribir la 
densidad de corriente como 𝒋(𝒓, 𝑡) = 𝑅𝑒{𝒋(𝒓)exp (−𝑖𝜔𝑡)} y el momento dipolar en la 
forma 𝒑(𝑡) = 𝑅𝑒{𝒑 exp (−𝑖𝜔𝑡)}. Debido a que el dipolo oscila de forma armónica en el 
tiempo (no se consideran amortiguamientos), el campo electromagnético que produce 
29 
 
será monocromático y oscilará a la misma frecuencia. Ahora, la ec. 69 puede 
reescribirse de la siguiente manera 
𝒋(𝒓) = −𝑖𝜔𝒑𝛿[𝒓 − 𝒓𝟎] . (Ec. 72) 
Por lo tanto, en el orden más bajo, cualquier densidad de corriente puede 
interpretarse como un dipolo oscilante con su origen coincidente con el centro de la 
distribución de cargas. 
 2.1 Campos de un dipolo eléctrico en un espacio homogéneo 
A continuación desarrollaremos las expresiones para los campos de un dipolo en 
representación de una pequeña distribución de carga ubicada en un espacio 
homogéneo, lineal e isotrópico. Los campos del dipolo se obtienen considerando dos 
cargas oscilantes 𝑞 de signos opuestos. 
Es posible derivar los campos del dipolo a partir de las funciones de Green 
correspondientes. Utilizando las expresiones 63 y 64 se obtienen las siguientes 
integrales de volumen 
𝑬(𝒓) = 𝑬0 + 𝑖𝜔𝜇𝜇0 ∫ �⃡� (𝒓, 𝒓
′)𝒋(𝒓′)𝑑𝑉′
𝑉
 (Ec. 73) 
𝑯(𝒓) = 𝑯0 + ∫ [∇ × �⃡� (𝒓, 𝒓
′)]𝒋(𝒓′)𝑑𝑉′
𝑉
 (Ec. 74) 
donde 𝐺 es la función diádica de Green, y 𝑯𝟎, 𝑬𝟎 son los campos en ausencia de la 
corriente 𝒋. Si se considera que la corriente de las dos últimas ecuaciones es de la 
forma descrita en la expresión 72 y se asume que todos los campos existentes son 
producidos por el dipolo, los campos serán 
𝑬(𝒓) = 𝜔2𝜇𝜇0�⃡� (𝒓, 𝒓𝟎)𝒑 (Ec. 75) 
𝑯(𝒓) = −𝑖𝜔[∇ × �⃡� (𝒓, 𝒓𝟎)]𝒑 (Ec. 76) 
Cada vector columna de �⃡� da cuenta del campo eléctrico de un dipolo cuyo eje 
coincide con alguno de los ejes coordenados. En un espacio homogéneo, la expresión 
para la función diádica de Green tiene la forma 
�⃡� (𝒓, 𝒓𝟎) = [�⃡� +
1
𝑘2
∇∇] 𝐺(𝒓, 𝒓𝟎), con 𝐺(𝒓, 𝒓0) =
𝑒𝑥𝑝(𝑖𝑘|𝒓−𝒓𝟎|)
4𝜋|𝒓−𝒓𝟎|
. (Ec. 77) 
Esta expresión toma distintas formas para cada sistema de coordenadas. En 
particular, para coordenadas cartesianas se obtiene 
30 
 
�⃡� (𝒓, 𝒓0) =
𝑒𝑥𝑝(𝑖𝑘𝑅)
4𝜋𝑅
[(1 +
𝑖𝑘𝑅 − 1
𝑘2𝑅2
) �⃡� +
3 − 3𝑖𝑘𝑅 − 𝑘2𝑅2
𝑘2𝑅2
𝑹𝑹
𝑅2
]. (Ec. 78) 
Donde R es el valor absoluto del vector 𝑹 = 𝒓 − 𝒓𝟎, y RR el producto de R por su 
traspuesta. La ecuación 78 en conjunto con las expresiones 75 y 76 para los campos E 
y H determinan el campo electromagnético de un dipolo eléctrico arbitrario p con 
componentes cartesianas 𝑝𝑥, 𝑝𝑦, 𝑝𝑧. 
La función de Green �⃡� tiene términos del orden (𝑘𝑅)−1, (𝑘𝑅)−2 y (𝑘𝑅)−3. En el “far-
field” o campo lejano (FF) se cumple la condición 𝑅 ≪ 𝜆, por lo que sólo se mantienen 
sin anularse los términos asociados a (𝑘𝑅)−1. Por el contrario, los términos 
dominantes en el “near-field” o campo cercano (NF), en los que 𝑅 ≫ 𝜆 son los 
términos que contienen (𝑘𝑅)−3. Finalmente, los términos con (𝑘𝑅)−2 dominan el 
“intermediate-field” o campo intermedio (IF) cuando 𝑅 ≈ 𝜆. Para diferenciar estas 
regiones se escribe �⃡� = �⃡� 𝑁𝐹 + �⃡� 𝐼𝐹 + �⃡� 𝐹𝐹, donde las funciones de Green para los 
campos cercano, intermedio y lejano están dadas por: 
�⃡� 𝑁𝐹 =
exp (𝑖𝑘𝑅)
4𝜋𝑅
1
𝑘2𝑅2
[−�⃡� + 3𝑹𝑹/𝑅2] (Ec. 79) 
�⃡� 𝐼𝐹 =
exp (𝑖𝑘𝑅)
4𝜋𝑅
1
𝑘𝑅
[�⃡� − 3𝑹𝑹/𝑅2] (Ec. 80) 
�⃡� 𝐹𝐹 =
exp (𝑖𝑘𝑅)
4𝜋𝑅
[�⃡� − 𝑹𝑹/𝑅2] (Ec. 81) 
Para el caso particular en el que la onda incidente es una onda plana, si se expresan 
las componentes del campo eléctrico en coordenadas esféricas, las únicas 
componentes no nulas son 
𝐸𝑟 =
|𝒑|𝑐𝑜𝑠𝜗
4𝜋𝜀0𝜀
exp (𝑖𝑘𝑟)
𝑟
𝑘2 [
2
𝑘2𝑟2
−
2𝑖
𝑘𝑟
] (Ec. 82) 
𝐸𝜗 =
|𝒑|𝑠𝑒𝑛𝜗
4𝜋𝜀0𝜀
exp (𝑖𝑘𝑟)
𝑟
𝑘2 [
2
𝑘2𝑟2
−
𝑖
𝑘𝑟
− 1] (Ec. 83) 
𝐻𝜑 =
|𝒑|𝑠𝑒𝑛𝜗
4𝜋𝜀0𝜀
exp (𝑖𝑘𝑟)
𝑟
𝑘2 [−
𝑖
𝑘𝑟
− 1] √
𝜀0𝜀
𝜇0𝜇
 (Ec. 84) 
Es de interés mencionar que estas ecuaciones para NF coinciden con el primer 
desarrollo de Mie para una esfera de radio 𝑎 ≪ 𝜆, 
31 
 
𝑬𝑠𝑐𝑎𝑡𝑡 =
𝑎3
 𝑟2
𝜖 − 1
𝜖 − 2
𝐸0[2𝑐𝑜𝑠𝜗 �̂� + 𝑠𝑒𝑛𝜗 �̂�]𝐺0. (Ec. 85) 
Esta similitud entre las expresiones indica que el campo dispersado por una partícula 
de Mie con polarizabilidad 𝝐 definida por el campo incidente, es equivalente al campo 
generado por un dipolo en el NF, siempre que 𝑎 ≪ 𝜆. 
El hecho de que en la componente 𝐸𝑟 no hay términos asociados al FF, asegura que 
el campo lejano es puramente transversal. Además, como el campo magnético no 
posee términos del orden de (𝑘𝑅)−3 se puede considerar que el NF está dominado por 
el campo eléctrico, lo que permite asumir que la mayoría de los fenómenos en esta 
región pueden estudiarse desde el punto de vista electrostático. 
2.2 Campos para partículas magnetodieléctricas 
Al trabajar con partículas magnetodieléctricas hay que considerar la contribución 
magnética de un dipolo para obtener las expresiones de los campos. Con este 
propósito partimos del vector potencial 
𝑨(𝑟) =
𝜇0
4𝜋
𝑖𝑘 (�̂� × 𝒎)
exp(𝑖𝑘𝑟)
𝑟
(1 −
1
𝑖𝑘𝑟
) (Ec. 86) 
donde 𝒓 es el vector que coincide con el eje del dipolo, y 𝒎 es el momento dipolar 
magnético. Debido a que el vector potencial es proporcional a la inducción magnética, 
como en el caso del dipolo eléctrico, se obtiene para el campo magnético 
𝑯 =
𝜇0𝜇4𝜋
exp (𝑖𝑘𝑟)
𝑟
[𝑘2(�̂� × 𝒎) × �̂� + [3�̂�(�̂� • 𝒎) − 𝒎] (
1
𝑟2
−
𝑖𝑘
𝑟
)] (Ec. 87) 
mientras que para el campo eléctrico correspondiente, debido al dipolo magnético, 
resulta 
𝑬 = −
1
4𝜋𝜀0𝑐
𝑘2(�̂� × 𝒎)
exp(𝑖𝑘𝑟)
𝑟
(1 −
1
𝑖𝑘𝑟
). (Ec. 88) 
En estas expresiones para los campos, citando el artículo de “Optical Currents” (18) se 
ve que por la “democracia electromagnética” en ambas ecuaciones aparece un 
término adicional que va con 
1
𝑟
, y que está asociado al comportamiento magnético del 
dipolo. Una de las principales diferencias a partir de esta incorporación es que ahora la 
componente magnética posee un término en el campo cercano (NF). 
Los campos eléctrico y magnético definidos en las ec. 87 y 88, que tienen en cuenta 
los efectos magnéticos del dipolo, son los que se debe considerar al trabajar con 
partículas magnetodielectricas. 
32 
 
Capítulo 3: Interacción de una OEM con un obstáculo material: 
Teorema óptico 
Introducción 
En este capítulo se mostrará la relación fundamental conocida bajo el nombre de 
Teorema Óptico, mediante el cual es posible establecer el balance de energía 
existente cuando una onda electromagnética interacciona con un volumen finito 𝑉, 
caracterizado por sus parámetros constitutivos, inmerso en un espacio infinito (en 
términos de la longitud de onda incidente). Partiendo de consideraciones generales y 
con ayuda del teorema de Poynting, es posible establecer una relación entre la 
energía dispersada y absorbida (disipada en forma de calor) por el volumen 𝑉 (una 
inhomogeneidad) y la energía total involucrada en el sistema. Esta relación viene dada 
en forma de secciones eficaces de dispersión y absorción que, combinadas, dan lugar 
a la llamada sección eficaz de extinción que, mediante su medición (un observable 
físico) se pueden inferir características físicas de la inhomogeneidad. 
Teorema Óptico 
El teorema se deduce de consideraciones generales que pueden realizarse sobre la 
conservación de la energía y el flujo de potencia. Consideremos un volumen dispersor 
𝑉 de forma arbitraria, (homogéneo, lineal, isótropo y no magnético) caracterizado 
ópticamente por sus funciones permitividad dieléctrica 𝜀�̂�(𝜔) ∈ ℂ y permeabilidad 
magnética �̂�𝑉(𝜔) (para el rango óptico se considera una constante real igual a la del 
vacío �̂�0), inmerso en un medio infinito lineal, isótropo y homogéneo, caracterizado por 
una permitividad eléctrica constante 𝜀�̂� = 𝜀𝑒
′ ∈ ℝ. Así, sólo habrá absorción de energía 
en el interior del volumen. De esta forma, se puede definir una función dieléctrica para 
todo punto 𝒓 del espacio, como 
𝜀̂(𝒓) = {
𝜀�̂� 𝒓 ∈ 𝑉
𝜀𝑒
′ 𝒓 ∉ 𝑉
 . (Ec. 89) 
A partir de la potencia incidente, se obtendrán las expresiones para las potencias que 
resultarán absorbida y dispersada (o scattereada) luego de la interacción. Haciendo 
uso de estas relaciones y teniendo presente la conservación de la energía, será 
posible determinar las secciones eficaces de absorción y dispersión (scattering). La 
importancia de estas cantidades se basa en que son una forma de caracterizar al 
volumen según su interacción con la radiación. 
Los fenómenos conjuntos de absorción y dispersión de OEM debidos al volumen se 
denominan “extinción”. La relación entre estos fenómenos descrita por el teorema 
33 
 
óptico permitirá estimar de forma general la sección eficaz de extinción de un volumen 
con las características mencionadas anteriormente. 
Antes de abordar la demostración del Teorema Óptico se definen algunas 
propiedades de la materia bajo la influencia de campos electromagnéticos externos. 
1. Polarizabilidad de un medio material 
Si se aplica un campo eléctrico a un medio formado por un gran número de átomos o 
moléculas, las cargas ligadas en cada molécula responderán al campo aplicado y 
realizarán movimientos debido a la perturbación externa. La densidad de carga 
molecular será distorsionada. Los movimientos multipolares de cada molécula serán 
diferentes de los que eran en ausencia del campo. En los casos de estudio más 
sencillos, los momentos multipolares son todos cero cuando no hay campo aplicado, al 
menos si se promedia sobre muchas moléculas. Es por esto que el multipolo molecular 
dominante cuando se aplica el campo electromagnético es el dipolo. Por consiguiente, 
se produce en el medio una polarización eléctrica 𝑷 (momento dipolar por unidad de 
volumen) dada por 
𝑷(𝒓) = ∑ 𝑁𝑖〈𝒑𝑖〉
𝑖
 (Ec. 90) 
siendo 𝒑𝑖 el momento dipolar del i-ésimo tipo de molécula del medio, la media se toma 
en un pequeño volumen centrado en 𝒓 y 𝑁𝑖 es el número medio de moléculas del i-
ésimo tipo por unidad de volumen en el punto 𝒓. 
Si en la región de estudio se tiene un solo tipo de molécula, podemos definir la 
polarización como 
𝑷 = 𝑁〈𝒑𝑚𝑜𝑙〉 (Ec. 91) 
donde 〈𝒑𝑚𝑜𝑙〉 es el momento dipolar medio de las moléculas. Este momento dipolar es 
aproximadamente proporcional al campo eléctrico que actúa sobre la molécula. Para 
expresar esta relación definiremos la polarizabilidad molecular 𝛼 como la razón entre 
el momento dipolar medio de las moléculas y el campo aplicado sobre la molécula. Si 
se desprecian las contribuciones de moléculas que rodean una porción de material 
polarizado, el campo en el interior de esta porción de material puede escribirse como 
𝐸𝑖 =
𝑃
3𝜀0
 . (Ec. 92) 
Así, a priori, se obtiene la siguiente relación para la polarizabilidad 
〈𝒑𝑚𝑜𝑙〉 = 𝛼(𝑬 + 𝑬𝑖), (Ec.93 ) 
34 
 
con 𝑬 el campo eléctrico en un punto 𝒓 debido a la porción de material polarizado. La 
polarizabilidad 𝛼 es, en principio, una función del campo eléctrico. Pero para un amplio 
margen de intensidades del campo es una constante que caracteriza la respuesta de 
las moléculas al campo aplicado. La ec. 93 se puede combinar con las ecuaciones 91 
y 92 para dar: 
𝑃 = 𝑁𝛼 (𝐸 +
1
3𝜀0
𝑃). (Ec. 94) 
Despejando 𝑃 en función de 𝐸 y recordando que 𝑃 = 𝜀0𝜒𝑒𝐸, se define la 
susceptibilidad del medio, como: 
𝜀0𝜒𝑒 =
𝑁𝛼
1 −
1
3𝜀0
𝑁𝛼
 
(Ec. 95) 
 como la relación entre la susceptibilidad (parámetro macroscópico) y la polarización 
(parámetro microscópico). Recordando que 
𝜀
𝜀0
= (1 + 𝜒𝑒), es posible relacionar la 
constante dieléctrica con 𝛼 mediante: 
𝛼 =
3𝜀0
4𝜋𝑁
(
𝜀 − 𝜀0
𝜀 + 2𝜀0
). (Ec. 96) 
La ecuación 96 se conoce como ecuación de Clausius-Mossotti (17) y da una expresión 
para la polarizabilidad molécular en función de la constante dieléctrica. 
2. Descripción del problema de la dispersión 
Consideremos una situación de dispersión como la de la figura 3, en la que una 
onda electromagnética plana, caracterizada por su vector de onda 𝒌0 y campos 𝑬𝑖,𝑩𝑖 
es dispersada por un obstáculo con un cierto volumen 𝑉1. La presencia de un 
obstáculo en el recorrido de una onda plana produce una redistribución de cierta 
cantidad de la potencia transportada por la onda incidente en direcciones distintas a la 
original. Este fenómeno se conoce como scattering o dispersión de ondas. Es posible 
caracterizar el volumen 𝑉1 a partir de los campos dispersados o scattereados 𝑬𝑠, 𝑩𝑠, 
que se propagan como ondas esféricas divergentes a grandes distancias en la 
dirección 𝒌. Es decir, que para la dirección del scattering �̌� =
𝒓
|𝒓|
 , sus expresiones 
generales lejos de elemento dispersor se pueden escribir como (ver ecuación 81 en el 
capítulo 2): 
𝑬𝑠(𝒓) = 𝒂(�̌�)
𝑒𝑖𝑘𝑒𝑟
𝑟
 , 𝑩𝑠(𝒓) = 𝜇0𝒃(�̌�)
𝑒𝑖𝑘𝑒𝑟
𝑟
 . (Ec. 97) 
 
35 
 
 
Figura 3: representación gráfica de la dispersión de una onda plana luego de su interacción 
con un obstáculo. 
Por definición los campos totales en todos los puntos del espacio son: 
𝐸 = 𝐸𝑖 + 𝐸𝑠 𝐵 = 𝐵𝑖 + 𝐵𝑠 (Ec. 98) 
Como se mencionó previamente, el obstáculo con el que choca la onda plana es 
disipativo y absorbe energía de la onda incidente. Así, la potencia absorbidapuede 
calcularse integrando el promedio temporal de la componente entrante al volumen del 
vector de Poynting, correspondiente a los campos totales en toda la superficie cerrada 
𝑆1 (ver figura 3) 
𝑊𝑎 = −
1
2𝜇0
∮ 𝑅𝑒(𝐸 × 𝐵∗) • 𝑛′𝑑𝑎′
𝑆1
. (Ec. 99) 
Teniendo en cuenta los campos dispersados salientes de 𝑆1, la potencia dispersada 
puede estimarse como una integral extendida a 𝑆1 de la componente del vector de 
Poynting saliente de la superficie, esto es 
𝑊𝑠 =
1
2𝜇0
∮ 𝑅𝑒(𝐸𝑠 × 𝐵𝑠
∗) • 𝑛′𝑑𝑎′
𝑆1
 (Ec.100) 
La potencia total extraída de la onda incidente por dispersión o absorción, resulta de la 
suma de las ecuaciones 99 y 100, y puede escribirse como 
𝑊′ =
1
2𝜇0
∮ 𝑅𝑒(𝐸𝑠 × 𝐵𝑖
∗ + 𝐸𝑖
∗ × 𝐵𝑠) • 𝑛
′𝑑𝑎′
𝑆1
. (Ec. 101) 
Para una onda plana incidente con una polarización arbitraria definida por el vector 
polarización 𝝐𝟎 
(17), los campos pueden escribirse como: 
𝑬𝑖 = 𝐸0𝝐0𝑒
𝑖𝒌𝟎•𝒓 𝐵𝑖 =
1
𝑐𝑘
𝒌𝟎 × 𝑬𝒊, (Ec. 102) 
36 
 
entonces, la potencia total toma la forma 
𝑊′ =
1
2𝜇0
𝑅𝑒 {𝐸0
∗ ∮ 𝑒−𝑖𝑘0•𝑟
′
[𝝐0
∗ • (𝑛 × 𝐵𝑠) + 𝝐0
∗ •
𝑘0 × (𝑛
′ × 𝐸𝑠)
𝑐𝑘
] 𝑑𝑎′
𝑆1
}. (Ec. 103) 
A partir de esta expresión para la potencia total extraída de la onda incidente y, 
teniendo presente el principio de conservación de la energía, es posible obtener las 
expresiones para las secciones eficaces de absorción, dispersión y extinción. 
3. Secciones eficaces y conservación de la energía 
Como se mencionó anteriormente, parte de la energía electromagnética transportada 
por la onda incidente es absorbida dentro del volumen 𝑉1, y otra parte es dispersada. A 
partir de la separación de los campos (ec. 98), es posible escribir el vector de Poynting 
en promedio temporal 𝑺 como: 
𝑆 = 𝑆𝑖 + 𝑆𝑠 + 𝑆
′ (Ec. 104) 
con 
𝑆𝑖 =
1
2
𝐸𝑖 × 𝐻𝑖
∗ , (Ec. 105) 
𝑆𝑠 =
1
2
𝐸𝑠 × 𝐻𝑠
∗ , (Ec. 106) 
𝑆′ =
1
2
(𝐸𝑠 × 𝐻𝑖
∗ + 𝐸𝑖 × 𝐻𝑠
∗), (Ec. 107) 
donde se ha omitido ℝ{∙}. 
Calculando el flujo de energía en promedio temporal a través de la superficie 𝑆1 que 
encierra por completo al volumen 𝑉1 (en referencia a la figura 3), se puede analizar el 
balance de potencia en un estado estacionario. Por simplicidad, supondremos que 𝑆1 
será una esfera de radio lo suficientemente grande como para que el campo 
dispersado sea aproximadamente esférico sobre los puntos de dicha superficie. 
Si el cuerpo no presentara pérdidas, no habría absorción de energía, y toda la 
potencia que atravesara la superficie 𝑆1 en dirección entrante debería hacerlo en 
dirección saliente con igual magnitud. En general, el flujo de potencia saliente no se 
anula, y cumple: 
𝑊𝑖 + 𝑊𝑠 + 𝑊
′ = −𝑊𝑎 (Ec. 108) 
donde 𝑊𝑎 es la tasa de absorción de energía por el objeto, y el resto de los términos 
son los flujos a través de 𝑆1 de cada término del vector de Poynting (ec. 104). Cuando 
la onda incidente es una onda plana, se tiene que 𝑊𝑖 = 0 través de una superficie 
cerrada, y la expresión 108 se simplifica. 
37 
 
Como se mencionó en la introducción de este capítulo, la suma de los efectos de 
scattering y absorción se denomina “extinción”. La tasa de extinción de energía 𝑊𝑒 se 
relaciona con la ecuación anterior (ec. 108) según 
𝑊𝑒 = 𝑊𝑎 + 𝑊𝑠 = −𝑊
′ . (Ec. 109) 
Cada término en la ec. 109 es comparable con el flujo de la intensidad incidente 𝐼𝑖 a 
través de un área efectiva: 𝜎𝑒, 𝜎𝑎 o 𝜎𝑠, respectivamente. Estas áreas se conocen como 
secciones eficaces de extinción, absorción y scattering, y permiten cuantificar las 
fracciones de la potencia incidente que resultan extinta, absorbida y dispersada luego 
de la interacción de la onda con el obstáculo. 
La expresión para la sección eficaz de extinción resulta entonces: 
𝜎𝑒 =
𝑊𝑒
𝐼𝑖
 . (Ec. 110) 
Las demás se definen de forma análoga, satisfaciendo la relación 𝜎𝑒 = 𝜎𝑎 + 𝜎𝑠. 
Las secciones eficaces expresadas como en la ec. 110 son de utilidad para 
caracterizar la respuesta óptica de volúmenes de distintas geometrías, al interactuar 
con radiación que incide sobre ellos. 
4. Enunciado del Teorema Óptico 
La sección eficaz de extinción 𝜎𝑒 de un centro dispersor puede encontrarse a través 
del cálculo del flujo de energía dado en la ec. 109. El argumento se basa en observar 
la intensidad del campo lejano total en la dirección original 𝒌𝟎 de la onda incidente. En 
este caso, la onda plana y la esférica tienen la misma dirección de propagación 
(𝒌 = 𝒌𝟎), por lo que sus vectores de Poynting son paralelos y no es posible distinguir 
físicamente las contribuciones de cada onda por separado. Debido a esto, no podrá 
distinguirse qué porción de la intensidad incidente no llega al observador por haber 
sido dispersada o absorbida pero, se sabe que el efecto conjunto conforma la 
extinción. 
El teorema integral de Kirchhoff parte de las identidades de Green para obtener la 
solución de la ecuación de onda homogénea en un punto arbitrario 𝑃 (19). Si el punto de 
observación 𝑃 está lejos del obstáculo, entonces el campo eléctrico dispersado 𝐸𝑠 
adopta la forma asintótica 
𝑬𝑠(𝒓) →
𝑒𝑖𝑘𝑟
𝑟
𝑭(𝒌, 𝒌0) (Ec. 111) 
38 
 
siendo 𝒌 el vector de onda en la dirección de observación, 𝒌𝟎 el vector de la onda 
incidente y 𝑭(𝒌, 𝒌𝟎) es la amplitud vectorial de dispersión (no normalizada). Con esta 
forma asintótica del campo, es posible escribir la integral de Kirchhoff para la amplitud 
de dispersión. Esto es 
𝑭(𝒌, 𝒌𝟎) =
𝑖
4𝜋
∮ 𝑒−𝑖𝒌•𝒓
′
[𝑘(𝒏′ × 𝑐𝑩𝑠) + 𝒌 × (𝒏
′ × 𝑬𝑠) − 𝒌(𝒏
′ • 𝑬𝑠)]
𝑆1
𝑑𝑎′, (Ec. 112) 
 con 𝒏′ la normal saliente de 𝑆1 (ver figura 3) 
Es de interés mencionar que la dependencia de 𝑭(𝒌, 𝒌𝟎) con 𝒌 es explícita, mientras 
que para la dirección incidente (𝒌𝟎) está implícita en los campos dispersados 𝑬𝑠 y 𝑩𝑠. 
Luego, por conveniencia, escribiremos la ecuación 112 con el integrando desdoblado 
en componentes paralelas y perpendiculares a 𝒌, presentando explícitamente la 
transversalidad de 𝑭: 
𝑭(𝒌, 𝒌𝟎) =
1
4𝜋𝑖
𝒌 × ∮ 𝑒−𝑖𝒌•𝒓
′
[
𝒌 × (𝒏′ × 𝑐𝑩𝒔)
𝑘
− 𝒏′ × 𝑬𝑠] 𝑑𝑎
′
𝑆1
 . (Ec. 113) 
Alternativamente, se puede buscar la amplitud de la radiación dispersada con vector 
de onda 𝒌 y polarización 𝝐. Esta amplitud viene dada por: 
𝜖∗ • 𝑭(𝒌, 𝒌𝟎) =
𝑖
4𝜋
∮ 𝑒−𝑖𝑘•𝑟
′
[𝑘𝜖∗ • (𝑛′ × 𝑐𝐵𝑠) + 𝜖
∗ • (𝑘 × (𝑛′ × 𝐸𝑠))]
𝑆1
𝑑𝑎′ . (Ec. 114) 
Los términos entre corchetes pueden interpretarse como corrientes superficiales 
eléctrica y magnética equivalentes sobre 𝑆1 que actúan como fuentes de los campos 
dispersados (17). 
Al comparar la expresión para la potencia total extraída de la onda incidente (ec. 103) 
con la amplitud de dispersión (ec. 114), se ve que ambas cantidades se relacionan en 
la dirección 𝒌 = 𝒌𝟎 y, para el caso particular donde la polarización no cambia, es decir 
𝝐 = 𝝐𝟎. Bajo estas condiciones, se pude reescribir la ecuación 103 como: 
𝑊′ =
2𝜋
𝜇0𝑐𝑘
𝐼𝑚[𝐸0
∗𝝐𝟎
∗ • 𝑭(𝒌 = 𝒌𝟎)] (Ec. 115) 
Este es el resultado básico del Teorema Óptico. La sección eficaz total (𝜎𝑒), también 
conocida como sección eficaz de extinción, se define como la relación entre la 
potencia total extraída 𝑊′ y la potencia incidente por unidad de área 
𝜖0|𝐸0|
2
2
. 
Análogamente, la amplitud de dispersión normalizada 𝑓 se define, relativa a la 
amplitud de la onda incidente en el origen, en la forma: 
39 
 
𝑓(𝒌, 𝒌𝟎) =
𝐹(𝒌, 𝒌𝟎)
𝐸0
 (Ec. 116) 
En función de 𝜎𝑒 y 𝑓, el teorema óptico se expresa 
𝜎𝑒 =
4𝜋
𝑘
𝐼𝑚[𝜖0
∗ • 𝑓(𝑘 = 𝑘0)] (Ec. 117) 
En el caso particular en que el volumen dispersor tiene simetría esférica, ocurre que 
𝒌 = 𝒌𝟎, y el estado de polarización del campo no se ve afectado en la dirección de 
incidencia por la dispersión. Cuando esto ocurre, el teorema óptico puede expresarse 
teniendo en cuenta la proporcionalidad entre las amplitudes del vector polarización 
(𝜖0) y la amplitud de dispersión normalizada(𝑓), como: 
𝜎𝑒 =
4𝜋
𝑘0
𝐼𝑚{𝑓(𝑘0)} (Ec. 118) 
Esta expresión puede aplicarse en cualquier tipo de fenómeno ondulatorio escalar en 
el que el volumen del obstáculo dispersor tenga simetría esférica, sea o no del tipo 
electromagnético. 
Por ejemplo, para una esfera cuyo radio 𝑎 ≪ 𝜆, la amplitud de dispersión viene dada 
por 
𝑩𝑠(𝒓) = 𝑘2 ( 𝜇(�̂� × 𝒎) × �̂� + √
𝜇
𝜀
�̂� × 𝒑)
𝑒𝑖𝑘𝑟
𝑟
, 𝑬𝑠(𝒓) =
1
𝜂
𝑩𝑠(𝒓) × 𝒓.̂ (Ec. 119) 
donde se ha extendido la definición a partículas con propiedades magnéticas 
sintetizadas en polarización magnética 𝒎 (17) (20). 
En particular, supongamos que el dipolo 𝒑 = 𝑝�̂�, es generado por una onda plana 
linealmente polarizada y, por simplicidad 𝒎 = 𝟎. Si consideramos que 𝒑 = 𝛼𝑬𝑖, y no 
hay efecto de retardo, entonces la amplitud de scattering bajo la aproximación dipolar 
queda 
𝑬𝑠(𝒓) =
1
√𝜀𝜇
𝑩𝑠(𝒓) × 𝒓 ̂ = 𝑘
2 (
1
𝜀
(�̂� × 𝒑) × �̂�)
𝑒𝑖𝑘𝑟
𝑟
=
𝑘2
𝜀
𝒑
𝑒𝑖𝑘𝑟
𝑟
 , (Ec. 120) 
y así 
𝑓(𝑘𝑖) = 
1
𝜀
(𝑘𝑖)2𝛼 , (Ec. 121) 
quedando la sección eficaz de extinción 
𝜎𝑒 = 4𝜋𝑘0𝐼𝑚 {
1
𝜀
𝛼}, (Ec. 122) 
 
 
40 
 
o, en función de los parámetros constitutivos 
𝜎𝑒 = 𝑎
3𝑘0𝐼𝑚 {(
𝜀𝑝(𝜆) − 𝜀
𝜀𝑝(𝜆) + 2𝜀
)}. (Ec. 123) 
Es interesante notar que cuando la parte real de la función dieléctrica de la partícula 
𝜀𝑝(𝜆) tome el valor exacto −2𝜀, la sección eficaz de extinción presentará un máximo 
de absorción. Este caso se da en partículas metálicas, en las cuales este efecto de 
resonancia está íntimamente relacionado con la excitación resonante de los electrones 
“libres” en el metal y se conoce con el nombre de excitación plasmónica. En la figura 4 
se muestra la sección eficaz de extinción para el Au (normalizada al área de la 
partícula proyectada sobre un plano: un círculo) y la parte real de su función 
dieléctrica, ambas en función de la longitud de onda incidente en aire. 
 
 
Figura 4: sección eficaz de extinción (A) y parte real de la función dieléctrica (B) del Au en 
función de la longitud de onda incidente. 
Dentro del rango de las aproximaciones dipolares, el primer término del desarrollo de 
Mie para una esfera, también es considerado como una aproximación dipolar para los 
campos dispersados. En este marco, y sólo para esta aproximación, es posible definir 
la polarizabilidad (tanto eléctrica como magnética) en función de los dos primeros 
coeficientes de Mie. Esto es: 
𝛼𝑒(𝜆) = 𝑖
3 𝜀𝑝
2𝑘3
𝑎1, 𝛼𝑚(𝜆) = 𝑖
3 
2𝜇𝑘3
𝑏1, (Ec. 124) 
donde 𝑎1, 𝑏1 corresponden a los primeros coeficiente en el desarrollo de Mie 
relacionados con el dipolo eléctrico y magnético (14). 
Un ejemplo interesante es la respuesta óptica de partículas con alto contraste óptico. 
Para el Si, en el rango del infrarrojo, su función dieléctrica es prácticamente real y 
toma una valor aproximado de 𝜀𝑝(𝜆) ≈ 12.25 en el rango de 800 a 2000 nm. Para 
A B 
41 
 
estos valores de onda incidente, una partícula del orden de los 250 nm de radio puede 
ser tratada bajo la aproximación dipolar. En la figura 5 se muestra la curva de la 
sección eficaz de extinción normalizada en color azul. En amarillo, la respuesta óptica 
del término dipolar magnético calculada mediante la ec 123, remplazando 𝛼𝑒(𝜆) por 
𝛼𝑚(𝜆). 
 
Figura 5: Espectro de extinción normalizado para una partícula con índice de refracción similar 
al Si en el IR e inmersa en aire. En azul extinción calculado con los primeros 8 términos de Mie, 
en amarillo cálculo de la extinción para el dipolo magnético. El segundo pico corrido hacia el 
azul corresponde al dipolo eléctrico. 
En la Figura 5 se muestra el espectro de extinción normalizado para una partícula con 
un índice de refracción similar al Si en el IR e inmersa en aire. En la figura también se 
muestra la extinción debida a la excitación de la parte dipolar magnética (1313.25nm) 
la cual, para estas longitudes de onda, se encuentra alejada de la longitud de onda 
asociada a la excitación del momento dipolar eléctrico (987.4nm). Como 
consecuencia, una partícula dieléctrica no magnética, se comporta en el campo lejano 
muy parecido a una partícula magnetizada en el IR lejano. A las partículas con este 
tipo de respuesta óptica se las denomina partículas magnetodieléctricas, las cuales 
pueden ser naturales (Si, Ge) o de diseño (metamateriales). 
Comentarios finales 
En este capítulo se ha descrito un método sencillo para encontrar la sección eficaz de 
extinción de una inhomogeneidad, para el que sólo es necesario conocer la amplitud 
del campo dispersado por ella en la dirección de incidencia. Encontrar esa amplitud 
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permitirá conectar las características locales del volumen con un observable 
experimental. Esto no puede hacerse analíticamente para un volumen de cualquier 
forma, sin embargo es posible hacer una descripción analítica aproximada en el límite 
de tamaños pequeños comparados con la longitud de onda incidente como se verá en 
los siguientes capítulos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Capítulo 4: Estudio del vector de Poynting. Contribuciones del 
momento angular orbital y spin. 
Introducción 
En el capítulo anterior se delinearon las características dinámicas básicas de los 
campos electromagnéticos, esto es, densidad de energía transportada por una onda 
electromagnética, la densidad de potencia mediante el vector de Poynting complejo y su 
promedio temporal y asociado a éste, la densidad de momento transportada por los 
campos utilizando la propuesta de Minkowsky. 
En este capítulo se revisará detalladamente el Teorema de Poynting y expresaremos 
el momento transportado por los campos en su forma canónica (bajo la aproximación de 
una haz paraxial), esto es, la descomposición del momento en dos términos que dan 
lugar al momento angular extrínseco (u orbital) que puede transportar el campo y en un 
momento angular intrínseco, asociado con el momento de spin. Introduciremos en este 
capítulo la definición de “helicidad” de la onda electromagnética (su grado de 
polarización), íntimamente relacionada con la parte “espinorial” de los campos de luz y 
los teoremas de conservación. 
Para finalizar, reescribiremos las expresiones en función del potencial vectorial 𝑨 en el 
marco del gauge de Coulomb. De esta forma, las expresiones obtenidas que describen 
el momento transportado por la OEM quedan en función de parámetros medibles 
utilizando los vectores de Stokes. 
1. Descomposición del vector de Poynting en parte spinorial y 
orbital 
Para abordar el análisis del momento transportado por un campo EM en una forma 
más simple, usaremos la aproximación paraxial para la propagación de las ondas 
EMs. Bajo esta aproximación se incluyen las ondas planas y la mayoría de haces 
colimados o láseres que se utilizan experimentalmente (21). 
Bajo este marco, definimos las funciones complejas que determinan unívocamente 
los campos electromagnéticos. La onda más simple, la cual puede llevar un momento 
angular asociado, es una onda polarizada en la forma 
𝑬(𝒓) = 𝐴
�̂� + 𝑚�̂�
√1 + |𝑚|2
 𝑒(𝑖𝑘𝑧) (Ec. 125) 
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𝑯(𝒓) =
𝒌
|𝑘|
× 𝑬 = 𝐴
−�̂�𝑚 + �̂�
√1 + |𝑚|2
 𝑒(𝑖𝑘𝑧) (Ec. 126) 
Donde �̂� e �̂� son versores unitarios y m determina el estado de polarización (m = 0 y 
m = ∞, ondas linealmente polarizadas a lo largo del eje x o y respectivamente, m = ±i, 
ondas con giro a la derecha o a la izquierda). El factor 𝑒−𝑖𝜔𝑡 es omitido durante todo el 
trabajo y 𝑘 = 𝜔/𝑐 es el número de onda. Aquí introducimos la helicidad del sistema 
dada por 𝜎 =
2 𝐼𝑚[𝑚]
1+|𝑚|2
∈ [1, −1] (22) que se corresponde con el parámetro de Stokes S3, 
cuya interpretación es la de la diferencia entre las intensidades relativas de las 
componentes de helicidad positiva y negativa (17). La ecuación para el campo 𝑬 
corresponde a una onda EM con una polarización elíptica la cual