Semana 4 - Movimiento Curvilineo en el espacio Componentes Cilíndricas y Esféricas

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DINÁMICA
2022
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Logro
Al final de la sesión el estudiante conocerá y comprenderá el los
conceptos y principios del movimiento curvilíneo con componentes
cilíndricas y esféricas lo que le permitirá plantear y solucionar
problemas realizando cálculos al respecto los cuales tendrán bases
y/o principios similares a los que utilizará en su vida profesional
generando criterio en el estudiante.
MOVIMIENTO CURVILÍNEO EN EL ESPACIO. 
COMPONENTES CILÍNDRICAS Y ESFÉRICAS
El movimiento curvilíneo ocurre cuando una partícula 
se desplaza a lo largo de una trayectoria curva.
Esta trayectoria a menudo se describe en tres 
dimensiones. 
Se utiliza análisis vectorial para formular la posición, 
velocidad y aceleración de una partícula.
Existen 4 tipos de sistemas de coordenadas que se usan 
con frecuencia para analizar este movimiento.
MOVIMIENTO CURVILÍNEO EN EL ESPACIO. 
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TRAYECTORIA, ESPACIO RECORRIDO Y VECTOR DE POSICIÓN DE UN PUNTO
MOVIMIENTO CURVILÍNEO EN EL ESPACIO. 
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VELOCIDAD Y ACELERACIÓN
MOVIMIENTO CURVILÍNEO EN EL ESPACIO. 
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Sistemas de 
Coordenadas
Locales Polares Cilíndricas Esféricas
MOVIMIENTO CURVILÍNEO EN EL ESPACIO. 
COMPONENTES CILÍNDRICAS Y ESFÉRICAS
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MOVIMIENTO CURVILÍNEO EN EL ESPACIO. 
COMPONENTES CILÍNDRICAS
Si la partícula se mueve a lo largo de una curva 
espacial su ubicación se especifica por medio 
de estas coordenadas.
Se utiliza una coordenada Z similar a la que se 
utiliza en coordenadas rectangulares.
Consideramos un vector que define su 
dirección Uz.
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COMPONENTES CILÍNDRICAS
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COMPONENTES CILÍNDRICAS
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COMPONENTES CILÍNDRICAS
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COMPONENTES CILÍNDRICAS
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COMPONENTES CILÍNDRICAS
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COMPONENTES CILÍNDRICAS
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COMPONENTES CILÍNDRICAS
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MOVIMIENTO CURVILÍNEO EN EL ESPACIO. 
COMPONENTES CILÍNDRICAS
EN EL PLANO XY
x = ρ cos ∅
ρ cos ∅
ρ sen ∅
ρ
y = ρ sen ∅
u∅
sen ∅cos ∅
u
sen ∅
cos ∅
u∅ = − sin ∅ ⃗ + cos ∅ ⃗
𝑑( u )
𝑑𝑡
=
𝑑(𝑐𝑜𝑠 ∅ ⃗ + 𝑠𝑒𝑛 ∅ )⃗
𝑑𝑡
u ̇ = − sin ∅. ∅̇ ⃗ + cos ∅. ∅̇ ⃗
u ̇ = − sin ∅. ∅̇ ⃗ + cos ∅. ∅̇ ⃗
u ̇ = ∅̇(− sin ∅ ⃗ + cos ∅. 𝐣)
u = cos ∅ ⃗ + sen ∅ ⃗
𝑌
𝑋
ρ
u
u∅
V ∅ respecto del tiempo y 
demostrar que :
∅ 𝛒
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COMPONENTES CILÍNDRICAS
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COMPONENTES CILÍNDRICAS
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COMPONENTES CILÍNDRICAS
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COMPONENTES CILÍNDRICAS
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MOVIMIENTO CURVILÍNEO EN EL ESPACIO. 
COMPONENTES CILÍNDRICAS - APLICACIÓN
El movimiento helicoidal de
este muchacho puede
seguirse por medio de
componentes cilíndricas. En
este caso, la coordenada
radial r es constante (rho), la
coordenada transversal q se
incrementa con el tiempo a
medida que el muchacho gira
alrededor de la vertical y su
altitud Z se reduce con el
tiempo.
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MOVIMIENTO CURVILÍNEO EN EL ESPACIO. 
COMPONENTES CILÍNDRICAS - APLICACIÓN
El movimiento de una grúa
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MOVIMIENTO CURVILÍNEO EN EL ESPACIO. 
COMPONENTES CILÍNDRICAS
EJEMPLO 1
Una caja desciende por una rampa helicoidal definida por = 0.25 m, = 0.25 rad,
z = (1 – 0.1. ) m.
Determine las magnitudes de la velocidad y de la aceleración de la caja cuando =
rad (t está en segundos).
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SOLUCIÓN
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SOLUCIÓN
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SOLUCIÓN
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SOLUCIÓN
𝛒 ∅ 𝛒 ∅
∅
∅
𝛒 ∅
𝛒 ∅
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MOVIMIENTO CURVILÍNEO EN EL ESPACIO. 
COMPONENTES CILÍNDRICAS
EJERCICIO MODELO PARA EL ESTUDIANTE
Una caja desciende por una rampa helicoidal definida por = 0.5 m, = 0.5 rad,
z = (2 – 0.2. ) m., donde t está en segundos.
Determine las magnitudes de la velocidad y de la aceleración de la caja cuando =
rad
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COMPONENTES ESFÉRICAS
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MOVIMIENTO CURVILÍNEO EN EL ESPACIO. 
COMPONENTES ESFÉRICAS
Es un sistema de coordenadas en R3 donde los 
puntos se trazan en una superficie de una esfera de 
radio r.
Las coordenadas cilíndricas no son la única 
generalización posible a tres dimensiones de las 
coordenadas polares.
Esta formado por 3 ejes mutuamente 
perpendiculares.
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COMPONENTES ESFÉRICAS
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COMPONENTES ESFÉRICAS
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COMPONENTES ESFÉRICAS
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DETERMINACIÓN DE LOS VECTORES UNITARIOS
𝒓
u𝒓 =
 (rsenθcos ∅ ı⃗ + rsenθsen ∅ ȷ⃗ + rcos θk)
𝐫
 𝐝�⃗�
𝐝θ
/
 𝐝�⃗�
𝐝θ
=
 (cosθcos ∅ ı⃗ + cosθsen ∅ ȷ⃗ − sen θk)
( (cosθcos ∅ )𝟐 + (cosθcos ∅ )𝟐 + (−senθ )𝟐)
 𝐝�⃗�
𝐝θ
/
 𝐝�⃗�
𝐝θ
=
 (cosθcos ∅ ı⃗ + cosθsen ∅ ȷ⃗ − sen θk)
( cos𝟐 θ cos𝟐 ∅ + cos𝟐 θ sen𝟐 ∅ + sen𝟐 θ)
 𝐝�⃗�
𝐝θ
/
 𝐝�⃗�
𝐝θ
=
 (cosθcos ∅ ı⃗ + cosθsen ∅ ȷ⃗ − sen θk)
( cos𝟐 θ (cos𝟐 ∅ + sen𝟐∅) + sen𝟐 θ)
𝛉
S realizar
y demostrar que :
∅
𝒓
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COMPONENTES CILÍNDRICAS
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COMPONENTES CILÍNDRICAS
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COMPONENTES CILÍNDRICAS
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COMPONENTES CILÍNDRICAS
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COMPONENTES CILÍNDRICAS
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COMPONENTES ESFÉRICAS
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S𝐞 𝐩𝐢𝐝𝐞 𝐚𝐥 𝐞𝐬𝐭𝐮𝐝𝐢𝐚𝐧𝐭𝐞 𝐩𝐨𝐫 𝐟𝐚𝐯𝐨𝐫 realizar
S𝐞 𝐩𝐢𝐝𝐞 𝐚𝐥 𝐞𝐬𝐭𝐮𝐝𝐢𝐚𝐧𝐭𝐞 𝐩𝐨𝐫 𝐟𝐚𝐯𝐨𝐫 realizar
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COMPONENTES CILÍNDRICAS
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COMPONENTES CILÍNDRICAS
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COMPONENTES ESFÉRICAS
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S𝐞 𝐩𝐢𝐝𝐞 𝐚𝐥 𝐞𝐬𝐭𝐮𝐝𝐢𝐚𝐧𝐭𝐞 𝐩𝐨𝐫 𝐟𝐚𝐯𝐨𝐫 realizar la derivada de la velocidad y así 
obtener la aceleración.
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COMPONENTES CILÍNDRICAS
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MOVIMIENTO CURVILÍNEO EN EL ESPACIO. 
TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS CARTESIANAS A ESFÉRICAS
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MOVIMIENTO CURVILÍNEO EN EL ESPACIO. 
TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS CARTESIANAS A ESFÉRICAS
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MOVIMIENTO CURVILÍNEO EN EL ESPACIO. 
TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS CARTESIANAS A ESFÉRICAS
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MOVIMIENTO CURVILÍNEO EN EL ESPACIO. 
COMPONENTES ESFÉRICAS - APLICACIÓN
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MOVIMIENTO CURVILÍNEO EN EL ESPACIO. 
COMPONENTES ESFÉRICAS - APLICACIÓN
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El uso más evidente de las coordenadas esféricas lo
constituye la geografía. Para identificar un punto de la
superficie terrestre indicamos su latitud y su longitud.
La latitud es la altura respecto al ecuador. Este ángulo
es el complementario de la coordenada polar (por lo
cual a ésta se la llama también colatitud). La latitud, en
lugar de variar de 0, (en el Polo Norte) a , (en el Polo
Sur) lo hace desde 90° a -90°.
La longitud es la distancia angular respecto a un
meridiano fijo (el de Greenwich). Equivale a la
coordenada acimutal .
CONCLUSIONES
1 •C
2 •C
3 •C
4 •C
48
GRACIAS 
49