Final diciembre 2021 -CÁLCULO I (soluciones)

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE LOS COMECHINGONES 
EXAMEN FINAL – 16-12-2021 - CÁLCULO I 
Carrera: Licenciatura en Cs. de la Atmósfera y Meteorología aplicada 
Nombre y Apellido: …………………………………………………………………… 
 
1) a) Definir velocidad media o promedio para una función posición 𝑦 = 𝑠(𝑡) entre los 
instantes 𝑡1 = 1 y 𝑡2 = 3. 
𝑠(3) − 𝑠(1)
3 − 1
= 𝑣𝑚(1,3) 
 
b) Explicar el significado de la velocidad instantánea en un punto, partir del concepto 
de velocidad promedio. 
La velocidad instantánea en t=t1 
La velocidad media entre dos instantes 𝑡1 y 𝑡2 
𝒗𝒎(𝒕𝟏, 𝒕𝟐 ) =
𝒔(𝒕𝟐)−𝒔(𝒕𝟏)
𝒕𝟐−𝒕𝟏
 cuando 𝑡2 está próximo a 𝑡1 
Es decir, la diferencia 𝑡2 − 𝑡1 es muy pequeña, tiende a cero. La velocidad media se 
transforma en velocidad instantanea. 
Para expresar esto se usa el concepto de límite lim
𝒕𝟐→𝒕𝟏
𝒔(𝒕𝟐)−𝒔(𝒕𝟏)
𝒕𝟐−𝒕𝟏
 este límite se llama 
derivada 
También se usa la notación ∆𝑡=𝑡2 − 𝑡1 , 
Dar la definición de velocidad instantánea para 𝑦 = 𝑠(𝑡) en el instante 𝑡 = 2. 
𝑣𝑖𝑛𝑠𝑡= lim
∆𝑡→0
∆𝑠
∆𝑡
= lim
∆𝑡→0
𝑠(2+∆𝑡)−𝑠(𝑡)
∆𝑡
= derivada de la función y=s(t) en el punto t=2. 
 
 
2) La función 𝑡(𝑥) esta definida por la composición de tres funciones: 
𝑡(𝑥) = 𝑓(𝑔(ℎ(𝑥))). 
a) ¿Cuál es la expresión para 𝑡’(𝑥)? 
 𝑡’(𝑥)=𝑓′(𝑔(ℎ(𝑥)). 𝑔′(ℎ(𝑥)). ℎ′(𝑥) 
b) Encuentre, el valor de 𝑡’(1) si se sabe que: 
ℎ(1) = 2; 𝑔(2) = 3, ℎ′(1) = 4; 𝑔′(2) = 5 𝑦 𝑓′(3) = 6 
𝑡’(1)=𝑓′(𝑔(ℎ(1)). 𝑔′(ℎ(1)). ℎ′(1) = 𝑓′(𝑔(2). 𝑔′(2). 4 = 𝑓′(3). 5.4 = 6.5.4 = 120 
 
3) Sea 𝑦 = 𝑓(𝑥) una función definida por dos pedazos, sobre el conjunto de los 
números reales 𝑓(𝑥) = {
ℎ(𝑥) 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 𝑎
𝑔(𝑥) 𝑠𝑖 𝑥 > 𝑎
 
a) Enunciar condiciones para que la función 𝑓 sea derivable en 𝑥 = 𝑎. 
f debe ser continua en x=a y existir las derivadas laterales a izquierda y derecha de a y 
además ser iguales 𝑓+
′(a)= 𝑓−
′(a) 
b) Dada 𝑓(𝑥) = {3𝑥
2 + 1
6𝑥
 
𝑠𝑖 𝑥 ≤ 1
𝑠𝑖 𝑥 > 1
 Analizar si es derivable en 𝑥 = 1. 
 
En este caso las derivadas laterales en x=1 valen 6; 𝑓+
′(1)=6; 𝑓−
′(x)=6x ; 𝑓−
′(1)=6, son 
iguales. 
Pero f no es continua en x=1. lim
𝑥→1−
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→1−
(3𝑥2 + 1) = 4; 
lim
𝑥→1+
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→1+
6𝑥 = 6; 
Por lo tanto, no es derivable en el punto pedido. 
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EXAMEN FINAL – 16-12-2021 - CÁLCULO I 
Carrera: Licenciatura en Cs. de la Atmósfera y Meteorología aplicada 
Nombre y Apellido: …………………………………………………………………… 
 
 
 
4) 
La cantidad de oxígeno que puede disolverse en agua 
depende de la temperatura de ésta. 
La gráfica muestra cómo varía la solubilidad S del 
oxígeno como una función de la temperatura del agua T. 
a) Explique cuál es el significado de la derivada 𝑆’(𝑇). 
b) Estime e interprete el valor de 𝑆’(16). 
 
a) la derivada nos da la razón de cambio mg/L del 
oxigeno cuando la temperatura del agua aumenta. 
Esta razón de cambio es negativa, es decir a mayor 
temperatura del agua, disminuye el oxigeno. 
b) Para estimar trazamos la recta tangente a la curva en x=16 
pendiente aproximada (variación en y/variación en x)=
∆𝑦
∆𝑥
= −4/16 = −1/4 
 
5) DAR la interpretación geométrica del siguiente Teorema. 
“Sea f es continua en un intervalo cerrado [a,b]; derivable en el intervalo abierto 
(a,b); con 𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑏) , ENTONCES existe al menos un número c en (a,b) tal que 
𝑓′(𝑐) = 0". 
 
Si se cumplen las hipótesis esta garantizado que existe al menos un punto donde la 
tangente es horizontal. 
Analizar qué ocurre si suprimimos la hipótesis de derivabilidad de la función 
Si la función no fuera derivable en el interior del intervalo no es cierto el resultado. 
Ejemplo y=|x-2| en [0,4] no existe ningun punto donde la tangente sea horizontal. 
 
6) a) Dado un sólido, suponga que se conoce la función 𝑦 = 𝐴(𝑥) que expresa el área 
de la sección perpendicular al eje x. 
¿Cuál es la expresión que se emplea para calcular el volumen del sólido entre 
𝑥 = 𝑎 𝑦 𝑥 = 𝑏? 
Volumen = ∫ 𝐴(𝑥) 𝑑
𝑏
𝑎
𝑥 donde A es la función que expresa el área de la sección perpendicular 
el eje x. 
 
b) La base de un sólido está limitado por 𝑦 = 𝑥 − 1 e 𝑦 = 𝑥2 − 1 con 1 ≤ 𝑥 ≤ 2. 
Dar la expresión para CALCULAR el volumen del sólido si se sabe que las secciones 
perpendiculares al eje x son cuadrados. 
Dibujar la región que corresponde a la base del sólido. 
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Lado del cuadrado: (𝑥2 − 1) − (𝑥 − 1) = 𝑥2 − 𝑥 
Área del cuadrado: 𝐴(𝑥) = (𝑥2 − 𝑥)(𝑥2 − 𝑥) = (𝑥2 − 𝑥)2 
 
V= ∫ (𝑥2 − 𝑥)2 𝑑
2
1
𝑥 = ∫ (𝑥4 − 2𝑥𝑥2 + 𝑥2 )𝑑
2
1
𝑥 = 
 
=
𝑥5
5
−
2𝑥4
4
+
𝑥3
3
|
1
2
= ? ? 
 
 
 
 
7) a) Representar gráficamente varios términos de la sucesión de término general 
𝑎𝑛 =
(−1)𝑛
2𝑛
 . 
Determinar su límite. Esta sucesión ¿es convergente o divergente? 
 
b) Dar las condiciones para que la serie geométrica 
𝑎+ 𝑎𝑟+ 𝑎𝑟2+ 𝑎𝑟3+…+ 𝑎𝑟𝑛−1+….= ∑ 𝑎𝑟𝑛−1∞𝑛=1 sea convergente. 
Converge a la suma 
𝒂
(𝟏−𝒓)
 𝒔𝒊 |𝒓| < 𝟏. Diverge si |𝒓| ≥ 𝟏 
 
c) Analizar la convergencia de las siguientes series geométricas. En caso de ser 
convergente dar el valor de su suma. 
 
∑ (
3
5
)
𝑘
∞
𝑘=0 r<1 luego converge; valor de la suma 𝑆 =
1
1−
3
5
=
5
2
 
∑ 4 (−
3
2
)
𝑛−1
∞
𝑛=1 |r|=3/2 >1 serie geométrica divergente. 
 
 
8) Colocar Verdadero o Falso según corresponda para cada afirmación de la primera 
columna. Para los casos que indique Falso, explicar porqué es falso o dar la expresión 
verdadera para la afirmación. 
 Verdadero/Falso 
I) La función 𝑔(𝑥) = (𝑥2 − 4)
2
3⁄ en el intervalo [1,3] no tiene 
puntos críticos. 
FALSO. 
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x=2 es punto crítico 
porque en ese punto la 
función derivada no 
existe. 
La tangente es vertical 
II) Es posible encontrar ejemplos de funciones tales que sean 
continuas en un intervalo [𝑎, 𝑏] y tengan un mínimo relativo en un 
punto 𝑥 = 𝑐 perteneciente al intervalo [𝑎, 𝑏], pero que la función 
sea tal, que la 𝑓’(𝑐) no exista. 
VERDADERO 
Por ejemplo 
y=|x-1| continua con 
mínimo en x=1 pero no 
derivable en x=1 
III) Conocida la velocidad 𝑦 = 𝑣(𝑡) de un objeto en movimiento, el 
cálculo de ∫ 𝑣(𝑡)𝑑𝑡
𝑏
𝑎
 nos permite conocer el desplazamiento de un 
objeto entre x=a y x=b, 
verdadero 
iv) ∫ 𝑥−2
1
−1
𝑑𝑥 =
−1
𝑥
|
−1
1
= (−1) − 1 = 2 
FALSO 
No se puede aplicar la 
regla de Barrow porque 
la función integrando no 
es continua en x=0 y ese 
punto está en el 
intervalo [-1,1] 
v) Para calcular el volumen del sólido de revolución que se obtiene 
al hacer girar alrededor del eje x, la región limitada por la gráfica 
de𝑓(𝑥) = 2 − 𝑥2 el eje x con -1≤ 𝑥 ≤ 1 , se debe avaluar la 
siguiente expresión: 
𝜋 ∫ (2 − 𝑥2)
1
−1
 𝑑𝑥 
 
FALSO 
La fórmula para calcular 
el volumen de 
revolución es 
 
𝑉 = 𝜋 ∫ [𝑓(𝑥)]2
1
−1
𝑑𝑥 
vi) 
Las áreas A y B son iguales en valor 
absoluto, entonces 
 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
0
 =2A 
 
Falso 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑎
0
 = −𝐴 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 = 𝐴 
 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
0
 = 
−𝐴 + 𝐴 = 0 
vii) 
 Toda función continua es derivable. 
FALSO 
Vale el recíproco, 
derivable implica 
continuidad 
viii) Falso 
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La gráfica de 𝑔(𝑥) = 1/𝑥 es cóncava hacia abajo para 𝑥 < 0 y 
cóncava hacia arriba para 𝑥 > 0, entonces que 𝑔(𝑥) tiene un punto 
de inflexión en 𝑥 = 0. 
 
no hay continuidad en 
x=0 para aplicar el 
resultado 
ix) La funcióndefinida por 𝑦 = (0,75)𝑥 es una función continua y 
creciente. 
FALSO 
Es continua y 
decreciente la base es 
menor a 1. 
x) Sea 𝑓(𝑥) una función derivable en [𝑎, 𝑏] , 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏). 
 Si 𝑓′(𝑥) > 0 para 𝑥 < 𝑐 y 𝑓′(𝑥) < 0 para 𝑥 > 𝑐, ENTONCES 
𝑓(𝑥) pasa de ser decreciente a creciente en el punto x=c y tiene 
un mínimo en (c,f(c)) 
 
FALSO 
LA Función crece a la 
izq de x=c y decrece a 
la derecha. 
En x=c hay máximo