06-M C D -Y-M C M -DE-POLINOMIOS--ALGEBRA-CUARTO-DE-SECUNDARIA

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Obtiene factorizando los polino- 
mios 
 y 
viene expresado por la multipli- 
cación de los factores primos 
comunes y no comunes afectados 
de sus mayores exponentes. 
 
M.C.D. - M.C.M. de 
polinomios 
 
 
 
 
 
M.C.D. y M.C.M. de polinomios 
 
 
 
 
Máximo común divisor (M.C.D.) Mínimo común múltiplo (M.C.M.) Propiedades 
 
el el 1 
 
M.C.D. de dos o más polinomios 
es otro polinomio que tiene la 
característica de estar contenido 
en cada uno de los polinomios. 
 
se 
 
Obtiene factorizando los polino- 
mios 
 
y 
 
viene expresado por la multipli- 
cación de los factores primos 
comu nes a fe ctad os de su s 
menores exponentes. 
 
M.C.M. de dos o más polinomios 
es otro polinomio que tiene la 
característica de contener a cada 
uno de los polinomios. 
 
se 
 
Dos o más polinomios son primos 
entre sí, si su M.C.D. es ±1. 
 
2 
 
Únicamente para dos polinomios 
A(x), B(x) se cumple: 
MCD(A;B). MCM(A;B) = A(x).B(x) 
 
3 
 
A(x) y B(x) son polinomios no 
primos entre si. Entonces: 
1
ra 
posibilidad: 
A(x) - B(x) = MCD 
2
da 
posibilidad: 
A(x) - B(x) = contiene al MCD 
 
 
 
 Problemas resueltos 
 
1. Encontrar el MCD de: 
Solución: 
Factorizando cada polinomio: 
 
3 2
 
P
1
(x) = kx2 + (k + 1)2x + k + 2 
P
2
(x) = (x + k)(x - k) - 4(k + 1) 
I. E = m - m 
Agrupando: 
- 4m + 4 
 
Solución: 
Factorizando ambas expresiones: 
I. P
1
(x) = kx2 + (k + 1)2x + k + 2 
kx 1 
1x (k + 2) 
 (kx + 1)(x + k + 2) 
II. P
2
(x) = (x + k)(x - k) - 4(k + 1) 
Operando: 
x2 - k2 - 4k - 4 
Agrupando un T.C.P. 
x2 - (k2 + 4k + 4) 
x2 - (k + 2)2 
Diferencia de cuadrados: 
[x + (k + 2)][x - (k + 2)] 
 (x + k + 2)(x - k - 2) 
 luego: MCD = (x + k + 2) 
E = (m3 - m2) - (4m - 4) 
E = m2(m - 1) - 4(m - 1) 
E = (m - 1)(m2 - 4) 
 E = (m - 1)(m + 2)(m - 2) 
 
II. F = m5 - 2m3 + 2m2 - 2m + 1 
Por divisores binómicos: 
para: m = 1 
 F(1) = 1 - 2 + 2 - 2 + 1 = 0 
un factor es (m - 1) y el otro lo obtenemos dividiendo 
por Ruffini. Así: 
 
m-1=0 1 0 -2 2 -2 1 
m=1  1 1 -1 1 -1 
1 1 -1 1 -1 0 
 
F = (m - 1)(m4 + m3 - m2 + m - 1) 
 El MCD(E; F) = (m - 1) 
 
 
2. El MCD de los siguientes polinomios: 
E = m3 - n2 - 4m + 4 
F = m5 - 2m3 + 2m2 - 2m + 1 
 
3. Sea: 
 
 
P
1
(x) = Ax2 + 2x - B 
P
2
(x) = Ax2 - 4x + B 
B 
Si (x - 1) es el MCD de P
1 
 P
2
, hallar el cociente 
A 
.
 
 
Solución: 
(x - 1) deberá ser divisor de P
1
(x) y P
2
(x), entonces: 
P
1
(1) = 0  P
2
(1) = 0. 
Redundando en el Teorema del Resto: 
P
1
(1) = A + 2 - B = 0 .... () 
P
2
(1) = A - 4 + B = 0 .... () 
Resolviendo el sistema: 
A - B = - 2 
A + B = 4 
 A = 1; B = 3 
B 3 
Piden: 
A 
= 
1 
= 3
 
a. H(a) ÷ (a - 2)(a - 3) 
 
1 1 0 -9 m n 
5 
-6 
 5 -6 
25 
 
-30 
 
 50 -60 
 1 5 10 0 0 
q(a) 
 
Luego: H(a) = (a - 2)(a - 3)q(a) 
 H(a) = (a - 2)(a - 3)(a2 + 5a + 10) 
 
b. G(a) ÷ (a - 2)(a - 3) 
 
 
4. El MCD y MCM de dos polinomios son respectivamente: 
MCD(A; B) = (x + 2)(x + 1) 
MCM(A; B) = (x + 5)(x + 1)(x + 2)(x + 3) 
Si uno de los polinomios es: 
(x + 1)(x + 2)(x + 3) 
hallar el otro polinomio. 
1 1 2 -7 
5 5 -6 
-6 35 
 
1 7 22 
q(a) 
p 
 
 
-42 
110 
0 
q 
 
 
 
-132 
0 
 
Solución: 
Sean los polinomios A(x), B(x). Por propiedad: 
MCD(A; B).MCM(A; B) = A(x).B(x) 
Por el dato del problema y adecuando la igualdad 
tenemos: 
Luego: G(a) = (a - 2)(a - 3)q(a) 
 G(a) = (a - 2)(a - 3)(a2 + 7a + 22) 
Finalmente, MCM(H; G): 
(a - 2)(a - 3)(a2 + 5a + 10)(a2 + 7a + 22) 
 
B(x) = 
(MCD)(MCM) 
A(x) 
7. Hallar el MCM de: 
x2 - 4x + 3 
Reemplazando valores: 
(x  2)(x  1)(x  5)(x  1)(x  2)(x  3) 
x2 + 4x + 3 
x4 - 10x2 + 9 x3 
- 9x + x2 - 9 
B(x) = (x  1)(x  2)(x  3) 
B(x) = (x + 1)(x + 2)(x + 5) 
 
 
5. Hallar MCM/MCD de las siguientes expresiones: 
a- 1.xn - 1; b- 1.xn - 2; c- 1.xn - 3 
 
Solución: 
MCD = xn - 3 
MCM = a- 1.b- 1.c- 1.xn - 1 
piden: 
Solución: 
Factorizando: 
I. x2 - 4x + 3 = (x - 3)(x - 1) ... () 
II. x2 + 4x + 3 = (x + 3)(x + 1) ... () 
III. x4 - 10x2 + 9 = (x2 - 9)(x2 - 1) 
= (x + 3)(x - 3)(x + 1)(x - 1) ... () 
IV. x3 - 9x + x2 - 9 = x(x2 - 9) + (x2 - 9) 
= (x2 - 9)(x + 1) 
= (x + 3)(x - 3)(x + 1) ... () 
 
De (), (), () y () se tiene: 
 
 MCM 
MCD 
=
 
a-1.b-1.c-1.xn-1 
xn-3 
x2 
= 
abc 
MCM = (x + 3)(x - 3)(x + 1)(x - 1) 
= (x2 - 9)(x2 - 1) 
 
 
 
6. Si el MCD de los polinomios: 
H(a) = a4 - 9a2 + ma + n 
G(a) = a4 +2a3 - 7a2 + pa + q 
es: (a - 2)(a - 3). Calcular el MCM de dichos polinomios. 
8. Si el MCD de: 
 
y: 
x(x + 1)(x - 2)(x - 1) - 24 
x3 - 3x + 2 
 
 
Solución: 
Dividiendo por el método de Horner en ambos 
polinomios, así: 
se iguala a cero, entonces “x” es igual a: 
 
Solución: 
Factorizando cada expresión: 
I. x(x + 1)(x - 2)(x - 1) - 24 
 
multiplicando en la forma indicada: 
(x2 - x)(x2 - x - 2) - 24 
 
Efectuando: 
 
 
 
 
 
 
 
II. x3 - 3x + 2 
 
 
(x2 - x)2 - 2(x2 - x) - 24 
x2 - x -6 
x2 - x 4 
(x2 - x - 6)(x2 - x + 4) 
 (x - 3)(x + 2)(x2 - x + 4) 
5. Dados los polinomios: 
A(x; y; z) = x4y3z6 
B(x; y; z) = x5y4z10 
C(x; y; z) = x6y2z5 
Indicar: 
 
MCM(A;B; C) 
S = 
MCD(A;B; C) 
 
1 0 
1  1 
1 1 
 
-3 2 
1 -2 
-2 0 
 
a) x2y4z6 b) x2y4z3 c) x2y2z5 
d) xyz4 e) xyz 
 (x - 1)(x2 + x - 2) 
x 2 
x -1 
 (x - 1)2(x + 2) 
 
 MCD = x + 2  x + 2 = 0  x = -2 
 
 
Problemas para la clase 
6. Señale el MCD de los polinomios: 
A(x) = x4 - 1 
B(x) = x2 - 3x + 2 
 
a) x - 2 b) x - 1 c) x2 + 1 
d) x - 5 e) 1 
 
8. Dados los polinomios: 
A(x) = x3 + 3x2 + 3x + 1 
B(x) = x3 + x2 - x - 1 
 
1. Hallar el MCD de los polinomios: 
A(x) = (x + 6)2(x - 7)3(x + 9)4 
B(x) = (x + 10)3(x - 7)2(x + 6)3 
 
a) x + 9 b) x + 10 
c) (x - 7)(x + 6) d) (x - 7)2(x + 6)2 
e) (x - 7)3(x + 6)3 
Indicar el MCM. 
 
a) (x + 1)2 b) (x + 1)3 
c) (x + 1)2(x - 1) d) (x + 1)3(x - 1) 
e) (x - 1) 
 
9. Hallar el MCM de: 
P(x; y) = x2 - y2 
 
2. Hallar el MCM de los polinomios: 
F(x) = (x + 5)4(x - 6)2(x + 9)3(x - 1)4 
F(x; y) = x2 
S(x; y) = x2 
- 2xy + y2 
+ 2xy + y2 
S(x) = (x + 5)2(x - 6)4(x + 7)2(x - 1)3 
 
a) x - y b) (x + y)3 
 
a) (x +5)(x - 6)(x - 1) 
c) (x2 - y2)2 
3
 
d) (x2 - y2)3 
b) (x + 5)2(x - 6)2(x - 1)3 
c) (x + 5)4(x - 6)4(x - 1)4(x + 9)3(x + 7)2 
d) (x + 1)(x - 2)(x + 9) 
e) (x - 1)3(x - 6)4 
e) (x - y) 
 
10.El producto de dos polinomios es (x2 - 1)2 y el cociente 
de su MCM y MCD es (x - 1)2. Calcular el MCD. 
 
3. Hallar el MCD de los polinomios: 
 
a) x + 1 b) x2 
2
 
 
+ 1 c) (x + 1)2 
A(x) = (x + 2)6(x - 1)4(x - 2)6(x + 3)4 
B(x) = (x + 3)6(x - 1)2(x + 2)2(x + 7)2 
d) (x - 1) e) x - 1 
C(x) = (x - 3)4(x + 7)2(x - 1)3(x + 2)2 
 
a) (x - 1)(x + 2) b) (x + 1)(x + 3) 
c) (x - 1)2(x + 2)2 d) (x + 2)2 
e) (x - 1)2 
 
4. Hallar el MCM de los polinomios: 
P(x) = (x + 4)3(x - 7)2(x + 6)8(x + 7)3 
F(x) = (x + 6)2(x - 7)3(x + 7)4(x - 6)2 
S(x) = (x + 2)3(x + 6)4(x + 4)8(x + 7)2 
 
a) (x + 7)4(x + 6)8(x + 4)8 
b) (x + 7)4(x + 6)8 
c) (x + 7)4(x + 6)8(x + 4)8(x - 7)3(x - 6)2(x + 2)3 
d) (x + 7)4(x + 6)8(x + 4)8(x - 7)3(x - 6)2 
e) (x + 7)4(x + 4)8(x - 7)3(x - 6)2(x + 2)3 
 
Comparación cuantitativa 
 
A continuación se propone en cada pregunta, dos 
expresiones o enunciados matemáticos y se pide determinar 
la relación entre ambos, considerando las siguientes 
alternativas : 
 
A. La cantidad en A es mayor que en B. 
B. La cantidad en B es mayor que en A. 
C. La cantidad en A es igual a B. 
D. No se puede determinar. 
E. ¡NO DEBE USAR ESTA OPCIÓN! 
 
Preg. Información Columna A Columna B 
 
11. 
 
A(x) = (x + 7)3(x + 8)5(x - 9) 
B(x) = (x + 7)4(x + 8)6(x + 12) 
 
A(x; y) = x3 - xy2 + x2y - y3 
 
Grado del 
MCD 
 
Grado del 
MCM 
12. 
B(x; y) = x3 - xy2 - x2y + y3 MCD(A; B) MCM(A; B) 
 
 
 
13. 
 
 
 
 
14. 
A = 23.32.(x - 1)3(x + 2)2 
B = 22.33.(x - 1)2(x + 2)3 
C = 20.32.(x - 1)2(x + 2) 
 
A(x) = x2 + 4x + 3 
B(x) = x4 - 10x2 + 9 
C(x) = x3 - 9x + x2 - 9 
Término independiente 
del MCD 
 
 
Residuo quese 
obtiene al dividir MCD 
entre (x - 3) 
Suma de 
coeficientes 
del MCM 
 
Residuo que se 
obtiene al dividir 
MCM entre (x - 4) 
 
 
15.Hallar el MCD de los polinomios: 
P(x; y) = x3 - xy2 + x2y - y3 
F(x; y) = x3 - xy2 - x2y + y3 
C(x; y) = x4 - 2x2y2 + y4 
20.El cociente de dos polinomios es (x - 1)2 y el producto 
de su MCM por su MCD es: 
x6 - 2x4 + x2 
Hallar la suma de factores primos del MCM. 
 
a) x + y b) x - y a) 2x b) 4x - 1 c) 3x 
c) x2 - y2 d) (x + y)(x - 3y) d) 2x + x2 e) 3x + 1 
e) x2 - y4 
 
16.Se tienen dos polinomios cuyo MCD es: 
x2 + 2x - 3 
si uno de los polinomios es: 
P(x) = 2x4 + 3x3 - 2x2 + Ax + B 
entonces “A + B” es: 
 
a) 33 b) - 3 c) 12 
d) - 6 e) 1 
 
17. Si el MCD de: 
P(x) = x3 - 6x2 + 11x - m 
Q(x) = x3 + 2x2 - x - n 
es (x - 1). Hallar “m + n”. 
 
a) - 8 b) 8 c) 4 
d) 6 e) 2 
21.Indique el MCD de: 
P(x; y) = x3 + x2y + xy2 + y3 
Q(x; y) = x3 - x2y + xy2 - y3 
R(x; y) = x4 - y4 
 
a) x2 + y2 b) x2 - y2 c) x2 + 1 
d) y2 + 1 e) x + y 
 
22.Indique el MCD de: 
P(x) = 3x3 + x2 - 8x + 4 
Q(x) = 3x3 + 7x2 - 4 
 
a) 3x2 + 4x - 4 b) 3x2 - 4x + 4 
c) 3x2 + x - 4 d) x2 - 4x + 4 
e) x + 2 
 
23.Si el MCD de: 
 
18.El cociente de los polinomios es “2x” y el producto de su 
MCM por su MCD es: 
2x3(x + y)2 
entonces uno de los polinomios es: 
 
a) x2 + xy b) xy + y2 c) (x + y)2 
d) x + y e) 2x + 2y 
 
19.Señale el MCD de los polinomios siguientes: 
A(x; y) = x3 + 6x2y + 11xy2 + 6y3 
P(x) = x3 - 7x2 + 16x - m 
F(x) = x3 - 8x2 + 21x - n 
es (x2 - 5x + 6). Hallar “m + n”. 
 
a) 30 b) 20 c) - 30 
d) 40 e) - 40 
 
24.Si el MCM de “A” y “B” es xay4 y el MCD de los mismos 
es x5yb. Calcular: 
 
ab -   m 
E = 
B(x; y) = 3x3 + 10x2y + 9xy2 + 2y3 
C(x; y) = x4 - 5x2y2 + 4y4 
 
a) x2 + 2xy + 4y2 b) x2 - xy - 2y2 
c) x2 + 5xy + 6y2 d) x2 + 3xy + 2y2 
e) x2 - 5xy + 4y2 
 
 
Siendo: 
 - mb  n 
 
A = 12xn - 1.ym + 1 
B = 16xn + 1.ym - 1 
 
a) x + 8y b) x + 2y c) (x + 2y)3 
d) (x + 2y)2 e) x - 3y 
 
a) - 1 b) - 2 c) - 3 
d) - 4 e) - 5 
 
a) 23 b) 25 c) 15 
d) 18 e) 12 
 
a) x + 2 b) x2 - x - 6 c) x2 + x - 6 
d) x - 3 e) x + 8 
 
a) x2 - 1 b) x2 + 1 c) x - 1 
d) x + 1 e) x 
 
 
17 11 16 
30.Hallar el MCD de los polinomios: 
2 2
 
a) 
15
 b) 
17
 c) 
15
 F(x; y) = (x + 2y)(x + 4xy) + 4y (x + 2y) 
 
12 
d) 
17 
 
18 
e) 
15 
Q(x; y) = x3 + 2x2y - 4xy2 - 8y3 
 
25.Si el MCM de los polinomios: 
x2 + x - 2 x4 
+ 5x2 + 4 x2 
- x - 2 
es equivalente a: 
x8 + Ax6 + Bx4 + Cx2 + D 
Determinar “A + B + C + D” 
 
 
Autoevaluación 
 
1. El MCD de un cierto número de polinomios es 
(2x2 + x - 1). Si uno de esos polinomios es: 
P(x) = 4x3 + mx + n 
Calcule “m + n”. 
 
a) 0 b) 1 c) - 1 
d) 2 e) - 2 
 
26.¿Cuál es el grado del MCM de los siguientes polinomios? 
P = 1 + x + x2 + ... + x5 
Q = 1 + x + x2 + ... + x7 
R = 1 + x + x2 + ... + x11 
 
 
2. Hallar el MCD de los polinomios: 
P(x) = (x + 1)4(x + 2)3(x - 3)5(x - 1)2 
Q(x) = (x + 8)4(x + 2)(x - 3)5(x - 2)2 
R(x) = (x - 2)2(x + 2)2(x - 3)(x + 7)6 
 
 
 
27. Proporcionar el MCD de: 
P(x) = x5 + x4 + 1 
Q(x) = (x + 1)[x4 - 1] + x2(x -1) 
 
a) x2 + x + 1 b) x2 - x + 1 
c) x3 - x + 1 d) x3 + x + 1 
e) x3 - x2 + 1 
 
28.Si el MCM de dos polinomios A(x) y B(x) es: 
x40 + x20 + 1 
y su MCD es: 
x30 + x20 - x10 + 2 
Hallar el número de factores del producto de dichos 
polinomios. 
 
a) 4 b) 3 c) 5 
d) 6 e) N.A. 
 
29.El producto de dos polinomios es: 
(x6 + 1)2 - 4x6 
y el cociente del MCM entre el MCD de ambos es: 
(x2 + 1)2 - 4x2 
 
 
 
3. Hallar el MCM de los polinomios: 
A(x) = x4(x + 1)2 
B(x) = x2(x + 1)5(x + 6) 
C(x) = x3(x + 1)7(x - 7) 
 
a) x4(x + 1)7(x + 6)(x - 7) 
b) x4(x + 1)7 
c) x4(x + 1)7(x + 6) 
d) x4(x + 1)2(x + 6)(x - 7) 
e) x2(x + 1)2(x + 6)(x - 7) 
 
 
4. Hallar “MCM ÷ MCD” de: 
P(x; y; z) = x2.y7.z8 
Q(x; y; z) = x4.y3.z9 
R(x; y; z) = x5.y2.z10 
 
a) x3yz2 b) x3y5z c) xyz 
d) x3y5z2 e) x4y5z9 
luego el MCD es: 
 
a) (x + 1)(x3 - 1) 
b) (x - 1)(x3 + 1) 
c) (x2 + x + 1)(x + 1) 
d) (x2 - x + 1)(x2 + x + 1) 
e) (x2 + x + 1)(x2 - 1) 
 
 
5. Señale el MCD de: 
P(x) = x3 + x2 - x - 1 
Q(x) = x4 - 1