t7_sucesiones

Vista previa del material en texto

3º ESO Tema 7 
 1 
 TEMA 7. SUCESIONES NUMÉRICAS. 
 
1. SUCESIONES NUMÉRICAS. 
Imaginemos el recorrido que efectúa un balón que se ha lanzado al suelo y midamos las distancias entre bote 
y bote: 
 
 
 
 
Las distancias forman una sucesión de números: 40, 35, 30, 25, …. 
Una SUCESIÓN NUMÉRICA es un conjunto ordenado de números, que se llaman TÉRMINOS de la sucesión. 
Cada término se representa por una letra y un subíndice que indica el lugar que ocupa dentro de ella. 
En nuestro ejemplo, tenemos: 
 ,401 =a .....,25,30,35 432 === aaa 
Aquí, la distancia recorrida en cada bote es 5 cm. menor que la anterior. Podemos calcular así más términos 
de la sucesión: 40, 35, 30, 25, 20, 15, … 
Esta sucesión tiene un número finito de términos. Se dice que es una SUCESIÓN FINITA. 
Las que tienen infinitos términos se dicen SUCESIONES INFINITAS. 
Un ejemplo de una sucesión infinita sería la formada por los cuadrados perfectos: 
 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, ….. 
 
EJERCICIO 1. Escribe los 10 primeros términos de las sucesiones formadas por: 
a) Los números pares : 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20 
b) La suma de cada natural y su cuadrado: 2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, 90, 110 
 
EJERCICIO 2. Completa los términos que faltan en las siguientes sucesiones: 
a) 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32 c) 1, 3, 6, 10,15, 21, 28, 36 , 45, 55 
b) 105, 100, 95, 90, 85, 80, 75, 70 d) 1, 8, 27, 64, 125, 216 
 
2. TÉRMINO GENERAL DE UNA SUCESIÓN. 
El TÉRMINO GENERAL ( ó TÉRMINO n-ÉSIMO ) , na , de una sucesión es una fórmula que nos permite 
calcular cualquier término de la sucesión en función del lugar que ocupa. 
Por ejemplo, en la sucesión de los cuadrados perfectos, cada término se obtiene elevando al cuadrado el 
lugar que ocupa en ella: 
 ,1121 ==a .....,164,93,42
2
4
2
3
2
2 ====== aaa 
En esta sucesión, el término general será: 2nan = 
3º ESO Tema 7 
 2 
3. CÁLCULO DEL TÉRMINO GENERAL DE UNA SUCESIÓN. 
Dados los términos de una sucesión, para calcular su término general tenemos que buscar una regla que 
relacione el valor de cada término con el lugar que ocupa en la sucesión. Para hallar esta relación debemos 
descomponer los términos en expresiones numéricas que tengan la misma estructura dependiendo del lugar 
que ocupan. 
EJEMPLO: 
 Consideremos la siguiente sucesión: 2, 5, 10, 17, 26, 37….. 
 Para calcular el término general nos ayudamos de la siguiente tabla: 
 Una vez que tenemos el término general, podemos calcular cualquier término de la sucesión, por ejemplo: 
 =10a 10
2+1=100+1=101 
A veces no es posible obtener una fórmula para el término general, y otras veces no se consigue de forma 
inmediata. 
 
EJERCICIO 3. A partir del término general, calcula los 4 primeros términos y el término centésimo de cada 
una de estas sucesiones: 
 a) 20+= nan c) 
1
1
+
−
=
n
n
cn e) 
1
1
2
+
=
n
en 
 b) 42 += nbn d) 
1
1
.)1(
+
−=
n
d nn f) 
1
1
2
2
+
−
=
n
n
f n 
 
EJERCICIO 4. Calcula el término general de las siguientes sucesiones: 
 a) 11, 13, 15, 17, 19, 21, …: an=2n+9 e) 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, ….: an=(n+1)2 
 b) 1, 8, 27, 64, 125, … : an=n3 f) 10, 12, 14, 16, 18, 20, …..: an=2n+8 
 
4. SUCESIONES RECURRENTES. 
Una SUCESIÓN es RECURRENTE cuando todos sus términos se pueden calcular a partir de uno dado. 
La fórmula mediante la cual se pueden calcular los términos se llama LEY DE RECURRENCIA. 
EJEMPLO: naa nn += −1 
Si sólo nos dan esta fórmula no podemos hacer nada. Pero si se añade el dato: 41 =a , entonces ya 
podemos obtener el resto de los términos de la sucesión: 
 .....,9363,6242 2312 =+=+==+=+= aaaa 
La ley de recurrencia sería: 41 =a ; naa nn += −1 
 
 
LUGAR 1 2 3 4 5 6 …. n … 
TÉRMINO 2=12+1 5=22+1 10=32+1 17=42+1 26=52+1 37=62+1 …. n2+1 … 
3º ESO Tema 7 
 3 
5. PROGRESIONES ARITMÉTICAS. 
Una PROGRESIÓN ARITMÉTICA es una sucesión recurrente en la que cada término, a excepción del 
primero, se obtiene sumando al anterior un mismo número, d, que se llama DIFERENCIA DE LA 
PROGRESIÓN. 
 EJEMPLO: 
 1,3,5,7….. 11 =a ; 21 += −nn aa 
 2, 6, 10, 14, 18, …… 21 =a ; 41 += −nn aa 
 
6. TÉRMINO GENERAL DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA. 
Vamos a calcular el término general del 2º ejemplo, donde 21 =a y 4=d , y a partir de él determinar el de 
una progresión aritmética cualquiera: 
 ejemplo caso general 
244424).1(2
........
144.3244.22410
104.2244246
642
2
4
3
2
1
−=−+=−+=
=+=++=+=
=+=++=+=
=+=
=
nnna
a
a
a
a
n
 
dnaa
daddadaa
daddadaa
daa
a
n ).1(
........
32
2
1
1134
1123
12
1
−+=
+=++=+=
+=++=+=
+=
 
 
El TÉRMINO GENERAL de una PROGRESIÓN ARITMÉTICA que tiene como primer término 1a y como 
diferencia d , se obtiene mediante la siguiente fórmula: 
 dnaan ).1(1 −+= 
EJEMPLO: 
 11 =a ; 122212).1(12 −=−+=−+=⇒= nnnad n 
 
7. SUMA DE LOS n PRIMEROS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA. 
Voy a considerar la progresión aritmética: 2, 4, 6, 8, 10, 12, …. 
La suma de sus 6 primeros términos se puede expresar de 2 formas: 
 
 
Colocando una expresión sobre la otra y sumando ambas expresiones se tiene: 
 
 
 
 
 
3º ESO Tema 7 
 4 
De donde se obtiene: 
 42
2
84
8414.62 ==⇒== SS 
Este proceso se puede generalizar para calcular la suma, nS , de los primeros n términos de una progresión 
aritmética cualquiera: 
 
 
 
 
Al igual que en el ejemplo anterior, todos los sumandos son iguales, y por tanto: 
 ( )
( )
2
.2 11
n
nnn
aan
SaanS
+⋅
=⇒+=⋅ 
La SUMA de los n primeros términos de una progresión aritmética de término general na es: 
 
( )
2
1 n
n
aan
S
+⋅
= 
EJEMPLO: 
� Suma de los 50 primeros números pares: 
( )
2550
2
102.50
2
100250
50 ==
+⋅
=S 
� Suma de los 20 primeros términos de la sucesión 51 =a y 6=d : 
1191120120.6166656).1(5 20 =−=−=⇒−=−+=−+= annnan 
( )
1240
2
124.20
2
119520
20 ==
+⋅
=S 
 
8. PROGRESIONES GEOMÉTRICAS. 
Una PROGRESIÓN GEOMÉTRICA es una sucesión recurrente en la que cada término, a excepción del 
primero, se obtiene multiplicando el anterior por un mismo número, r , que se llama RAZÓN DE LA 
PROGRESIÓN. 
 
EJEMPLO: 
 2, 6, 18, 54, 162,…… 21 =a ; 31 ⋅= −nn aa 
 1, 4, 16, 64, 256, …… 11 =a ; 41 ⋅= −nn aa 
 
Se puede calcular la razón de la progresión dividiendo un término entre el anterior. De la misma forma, para 
comprobar si una sucesión es una progresión geométrica, basta con dividir cada término entre el anterior y 
comprobar si se obtiene el mismo valor: 
 
13
4
2
3
1
2 ......
−
=====
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
r 
 
3º ESO Tema 7 
 5 
 
9. TÉRMINO GENERAL DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA. 
Vamos a calcular el término general del 2º ejemplo, donde 11 =a y 4=r , y a partir de él determinar el 
de una progresión geométrica cualquiera: 
 
 ejemplo caso general 
1
32
4
2
3
2
1
41
........
6441441416
164144144
441
1
−
⋅=
=⋅=⋅⋅=⋅=
=⋅=⋅⋅=⋅=
=⋅=
=
n
na
a
a
a
a
 
1
1
3
1
2
134
2
1123
12
1
........
−
⋅=
⋅=⋅⋅=⋅=
⋅=⋅⋅=⋅=
⋅=
n
n raa
rarraraa
rarraraa
raa
a
 
 
El TÉRMINO GENERAL de una PROGRESIÓN GEOMÉTRICA que tiene como primer término 1a y 
como razón r , se obtiene mediante la siguiente fórmula: 
 11
−
⋅=
n
n raa 
 
EJEMPLO: 
 31 =a y 3=r
nnn
na 3333
111
==⋅=⇒
−+− 
 
10. SUMA DE LOS n PRIMEROS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA. 
Voy a considerar la P.G. dada por 31 =a y 2=r : 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, …. 
La suma de sus 7 primeros términos es: 
 
 
Multiplicamos esta expresión por la razón 2, y a ella le restamos esta igualdad: 
 
 
 
 
 
 
Despejamos la suma en esta última igualdad y se obtiene: 
 
 
 
3º ESO Tema 7 
 6 
 
Este proceso se puede generalizar para calcular la suma, nS , de los primeros n términos de una 
progresión geométrica cualquiera: 
 
 
 
 
 
Al igual que en el ejemplo, se extrae factor común y se despeja:La SUMA de los n primeros términos de una progresión geométrica de término general na es: 
 
1
1
−
−⋅
=
r
aar
S nn 
 
 
EJEMPLO. Suma de los 6 primeros términos de la PG dada por 11 =a y 2=r : 
 323212 1616 =⋅=⋅=
−aa 
 63164
1
1322
12
2 16
6 =−=
−⋅
=
−
−⋅
=
aa
S 
 
 
11.