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Cap´ıtulo 5
Ecuaciones diofánticas
5.1. Sobre ecuaciones y sus soluciones
Proponemos, para empezar, algunas cuestiones sencillas:
1) ¿Tienen solución las siguientes ecuaciones?
2x+ 4y = 3 (no en los enteros, śı en los racionales)
x2 = 2 (no en los racionales, śı en los reales)
x2 + y2 = �1 (no en los reales, śı en los complejos)
2) ¿Tienen solución en los enteros las siguientes ecuaciones?
x2 � y2 = 16 (śı)
x2 � y2 = 21 (śı)
x2 � y2 = 18 (no)
3) ¿Cuántas soluciones, en N [ {0}, tienen las ecuaciones siguientes?
x2 � y2 = 20 (1)
x2 � y2 = 81 (3)
x2 � y2 = 36 (2)
x2 � y2 = 39 (2)
En lo sucesivo, denotaremos por ⌧(n) al número de divisores de n y por ◆(n) al número de
divisores impares de n.
Estas cantidades tienen algunas propiedades, que planteamos como ejercicio.
1) ¿Es cierto que ⌧(mn) = ⌧(m)⌧(n)?
Sólo si son coprimos.
35
36 5.1. Sobre ecuaciones y sus soluciones
2) Calcular ⌧(pr), donde p es primo.
⌧(pr) = r + 1. Los únicos divisores son 1, p, p2, . . . , pr.
3) Utilizando el resultado anterior, encontrar una fórmula para ⌧(n) a partir de la descom-
posición de n en factores primos.
n = pr11 · . . . · prmm ) ⌧(n) = (r1 + 1) · . . . · (rm + 1).
4) Encontrar una fórmula similar para ◆(n).
En los siguientes ejemplos se ilustran estas propiedades de forma gráfica.
Ejemplo 1. Cuentan que en cierto páıs hab́ıa un gran hotel que teńıa 1000 habitaciones
y otros tantos empleados. Estos, un d́ıa que no teńıan mucho trabajo, se dedicaron a jugar
abriendo y cerrando las puertas de las mil habitaciones. Al principio todas las puertas estaban
cerradas y empezó el primer empleado abriéndolas todas; siguió el segundo cerrando todas las
puertas pares y luego el tercero cambiando de posición (abriendo si estaban cerradas y cerrando
si estaban abiertas) todas las habitaciones cuyo número era múltiplo de tres. El cuarto hizo
lo mismo; es decir: cambiar de posición todas las puertas cuyo número era múltiplo de cuatro
y aśı pasaron todos los empleados, cada uno de ellos cambiando de posición las puertas que
le correspond́ıan. El último tuvo poco trabajo, pues sólo abrió o cerró la puerta número mil.
¿Qué hizo, la cerró o la abrió? Más aún: ¿qué habitaciones quedaron abiertas?, ¿cuántas
fueron en total?
Observaciones:
a) Las habitaciones marcadas con números primos sufren únicamente dos cambios (sólo hay
dos divisores) y, por tanto, al final del proceso estarán cerradas.
b) El número de cambios de posición de una habitación depende del número de divisores
de su número; luego parece interesante encontrar una fórmula que nos dé el número de
divisores de un número.
c) El hecho de que una habitación esté, al final del proceso, abierta o cerrada dependerá del
número de divisores que tenga el número de habitación: si este número es par la habitación,
al final, estará cerrada; mientras que si el número es impar la habitación estará abierta.
Problema equivalente: ¿Cuántos números del 1 al 1000 tienen un número impar de divisores?
Si n = ar11 ·a
r2
2 · . . . ·a
rp
p
, el número de divisores de n es (r1+1)(r2+1) · . . . · (rp+1). Para que
sea impar, todos sus factores deben ser impares, es decir r1, r2, . . . , rp deben ser todos pares.
Esto significa que n es un cuadrado perfecto.
Ejemplo 2. Determinar los números enteros N que contienen únicamente los factores 2 y 3
y que además cumplen que el número de divisores de N2 es triple del número de divisores de
N .
El número será de la forma N = 2p · 3q.
El número de divisores de N y N2 es (p+ 1)(q + 1) y (2p+ 1)(2q + 1), respectivamente.
Por tanto pq = p + q + 2, de donde p = q+2
q�1 . Los únicos casos posibles son p = 4, q = 2 y
p = 2, q = 4.
Caṕıtulo 5. Ecuaciones diofánticas 37
Ejemplo 3. Encontrar un número natural sabiendo que su descomposición factorial admite
únicamente dos factores, que tiene un total de seis divisores y que la suma de todos ellos es
28.
Si llamamos N = ap · bq, sabemos que (p + 1)(q + 1) = 6 y a
p+1 � 1
a� 1 +
bq+1 � 1
b� 1 = 28.
Resolviendo estas ecuaciones, llegamos a que N = 12.
5.2. Ecuaciones diofánticas
Reciben el nombre de ecuaciones diofánticas aquellas ecuaciones polinómicas, con coeficien-
tes enteros, cuyas soluciones son números enteros. Vamos a estudiar aqúı algunos tipos de
ecuaciones diofánticas.
Ecuaciones del tipo ax + by = c.
Las tres cuestiones que vamos a responder son:
i) Cuándo tiene solución.
ii) Caso de tener solución, cómo encontrarla.
iii) Cuántas soluciones tiene la ecuación.
Para responder a la primera pregunta, utilizamos el siguiente resultado.
Proposición. La ecuación diofántica ax + by = c tiene solución si y sólo si m.c.d.(a, b) es
divisor de c.
En caso de tener solución, existen infinitas y todas ellas se obtienen de la siguiente forma:
Si x0, y0 es una solución particular de la ecuación, todas las soluciones están dadas por:
x = x0 + (b/d)t, y = y0 � (a/d)t, para t entero arbitrario.
Para encontrar una solución, y con ella todas las demás, necesitamos recordar el algoritmo
de Euclides para calcular el máximo común divisor de dos números a y b. Dicho algoritmo
consiste en el siguiente proceso:
a) Si a > b, mediante la división llegamos a que a = q1b+ r1, con 0  r1 < b.
Si r1 = 0, entonces, b|a y mcd(a, b) = b.
b) Si r1 6= 0, se divide b por r1 y se obtiene b = q2r1 + r2, con 0  r2 < r1.
Si r2 = 0, el proceso termina y mcd(a, b) = r1.
c) Si r2 6= 0, se divide r2 por r1, obteniendo r1 = q3r2 + r3, con 0  r3 < r2.
d) Continuamos el proceso hasta que alguna división sea exacta. El proceso será finito porque
en la secuencia b > r1 > r2 > · · · � 0 no puede haber más de b enteros.
e) En estas circunstancias, el máximo común divisor de a y b no es más que el último residuo
no cero del proceso anterior.
38 5.2. Ecuaciones diofánticas
La validez del proceso anterior está garantizada por el siguiente resultado.
Teorema Si a y b son enteros positivos con a � b y si a = qb + r, con 0 < r < b, entonces
mcd(a, b) = mcd(b, r).
Demostración. Sea d = mcd(a, b). Luego d|a y d|b, de donde d|(a+ qb).
Como a+ qb = r, se tiene que d|r luego d es divisor común de b y r.
Por otra parte, sea c un divisor común de b y r, luego c|(qb+ r).
Como qb+ r = a, entonces, c|a. De lo anterior tenemos que c es un divisor común de a y b.
Como d = mcd(a, b) se tiene que c  d, luego, d = mcd(b, r).
Al recorrer el algoritmo de Euclides en sentido inverso se pueden obtener los valores x e y
para los cuales ax+ by = d, donde d = mcd(a, b).
Un método alternativo para resolver la ecuación ax+ by = c, debido a Euler, es el siguiente:
Elegimos el menor valor entre a y b, digamos que a < b. Despejamos el término en x,
ax = c� by. Realizamos las divisiones c = p1a+ c1, b = q1a+ b1, con lo que
ax = p1a+ c1 � q1ay � b1y =) x = p1 � q1y +
c1 � b1y
a
.
Como la última fracción debe dar un número entero, obtenemos la nueva ecuación c1� b1y =
k1a, con coeficientes menores que los iniciales. Repitiendo este proceso se llega a la solución.
Teorema chino del resto. Si n1, . . . , nr son enteros positivos tales que mcd(ni, nj) = 1
para i 6= j, entonces el sistema de ecuaciones diofánticas
x ⌘ a1(mód n1), . . . , x ⌘ ar(mód nr)
tiene solución, y es única módulo n1 ⇥ · · ·⇥ nr.
Para encontrar la solución, procederemos como sigue:
Llamamos n = n1 ⇥ · · ·⇥ nr y N
k
= n/n
k
para k = 1, . . . , r.
Buscamos (manualmente) x
k
de modo que N
k
x
k
⌘ 1(mód n
k
). Aśı, cada x
k
es inverso de
N
k
módulo n
k
. Para comprobar que dicho número existe, basta escribir la ecuación N
k
x
k
⌘
1(mód n
k
) como N
k
x
k
� n
k
p = 1, la cual es una ecuación diofántica cuyos coeficientes N
k
y
n
k
son primos entre śı.
Con los valores obtenidos, una solución particular del sistema de ecuaciones es x0 = a1N1x1+
· · ·+ a
r
N
r
x
r
. Para comprobarlo, basta observar que
x0 � aiNixi = a1N1x1 + · · ·+ ai�1Ni�1xi�1 + ai+1Ni+1xi+1 + · · ·+ arNrxr
y cada unode los sumandos del segundo miembro es múltiplo de n
i
.
Una vez conocido x0, cualquier solución del sistema es del tipo x = x0 + k(n1 · · · · · nr), con
k entero.
Ejemplo. A una muchacha se la cae la cesta en que lleva huevos al mercado.
-¿Cuantos huevos llevabas?- le preguntan.
Caṕıtulo 5. Ecuaciones diofánticas 39
-No lo sé -responde-. Recuerdo que al contarlos en grupos de 2, 3, 4 y 5, sobraban 1, 2, 3 y
4, respectivamente.
Solución. Si x es el número de huevos que llevaba, el enunciado del problema nos conduce al
sistema de ecuaciones diofánticas
x ⌘ 1(mód 2), x ⌘ 2(mód 3), x ⌘ 3(mód 4), x ⌘ 4(mód 5).
Como los números 2 y 4 no son primos entre śı, pero 2, 3 y 5 śı lo son, el teorema chino del
resto nos garantiza solución del sistema
x ⌘ 1(mód 2), x ⌘ 2(mód 3), x ⌘ 4(mód 5).
Para resolver este sistema, llamamos n = 2 · 3 · 5 = 30, N1 = 3 · 5 = 15, N2 = 2 · 5 = 10
y N3 = 2 · 3 = 6. Buscamos ahora soluciones de las ecuaciones 15x1 ⌘ 1(mód 2), 10x2 ⌘
1(mód 3) y 6x3 ⌘ 1(mód 5). Encontramos que x1 = 1, x2 = 1 y x3 = 1. Sabemos entonces
que x0 = 1 · 15 · 1 + 2 · 10 · 1 + 4 · 6 · 1 = 59 es solución del sistema.
Otras soluciones son 59� 30 = 29, 59 + 30 = 89, etc.
Por último, falta comprobar cuáles de dichas soluciones verifican también la ecuación que no
hemos utilizado x ⌘ 3(mód 4). Se ve fácilmente que 29 no es solución, pero 59�3 = 56 = 4·14.
Aśı pues, la solución más pequeña es x = 59.
Ecuaciones del tipo x
2
+ y
2
= n
Las soluciones enteras de la ecuación cuadrática x2 + y2 = z2 reciben el nombre de ternas
pitagóricas. El ejemplo más conocido es la terna (3, 4, 5), pero también son válidas las ternas
(5, 12, 13) y (7, 24, 25). Por cierto, 25 es la dimensión de la menor hipotenusa con la que se
pueden formar dos triángulos rectángulos pues (15, 20, 25) es también una terna pitagórica.
Desde los tiempos de Euclides se conoce que hay infinitas ternas pitagóricas y que hay una
fórmula para generar todas ellas. Veamos cómo se obtiene.
Supondremos, en primer lugar, que x e y son primos entre śı ya que, si (x, y, z) es una terna
pitagórica, también lo es (a ·x, a · y, a · z), para cualquier a. De ah́ı se deduce que, encontrada
una solución, hay infinitas. Una terna para la que mcd(x, y) = 1 se llama terna pitagórica
primitiva.
Es evidente entonces que no pueden ser todos los términos pares, digamos por ejemplo que
x es impar.
Transformamos la ecuación en z2� y2 = x2. Como z2� y2 = (z� y)(z+ y) = x2, el problema
se reduce a descomponer x como producto de dos números primos entre śı. Sean u y v estos
números. De este modo, z + y = u2, z � y = v2, de donde y = (u2 � v2)/2, z = (u2 + v2)/2.
Ambos términos son números enteros puesto que la suma y la diferencia de dos impares es
un número par.
Conseguimos aśı la terna primitiva (uv, (u2 � v2)/2, (u2 + v2)/2).
El rećıproco se comprueba fácilmente: cualquier terna del tipo (uv, (u2 � v2)/2, (u2 + v2)/2)
(con u y v impares y u > v) es pitagórica.
Se puede ver otra demostración en la página http://www.kramirez.net/Discretas/Material/
Internet/Teoria%20Numeros/TeoriaNumeros_TernasPitagoricas.html.
40 5.2. Ecuaciones diofánticas
Con la fórmulas anteriores, podemos plantear algunos problemas, como los siguientes:
Encontrar los valores enteros de x e y, si z = 41.
¿Se puede saber a priori si el problema anterior tiene solución?
La respuesta del primer problema es la pareja (9, 40) y la del segundo tiene relación con
un resultado propuesto por Fermat y resuelto por Euler: ningún número primo de la forma
4n � 1 es suma de dos cuadrados y todo número primo de la forma 4n + 1 es suma de dos
cuadrados (además de forma única).
La demostración de esta última propiedad no es constructiva, de modo que no permite de-
terminar cuáles son esos cuadrados.
Una consecuencia interesante es que, toda circunferencia centrada en el origen cuyo radio es
un primo de la forma 4n+ 1 pasa exactamente por 12 puntos con coordenadas enteras.
Un resultado más general es el siguiente: un entero n es suma de dos cuadrados si y sólo si
todos los factores primos de n de la forma 4m+3 tienen exponente par en la descomposición
de n como producto de potencias de primos.
Una fórmula que proporciona el número de soluciones viene dada por el siguiente resultado:
si N = a · pr11 · . . . · p
rk
k
, donde a no tiene ningún divisor primo del tipo 4n + 1 y p1, . . . , p
k
son primos del tipo 4n+1, entonces N2 se puede descomponer como suma de dos cuadrados
exactamente de
1
2
[(2r1 + 1) · . . . · (2r
k
+ 1)� 1] formas distintas.
Por ejemplo, como 50 = 2 · 52, entonces 502 se puede descomponer en suma de dos cuadrados
de 2 maneras distintas. Concretamente, 502 = 302 + 402 = 142 + 482. Por otra parte, como
65 = 5 · 13, su cuadrado se puede escribir como suma de dos cuadrados de (3 · 3 � 1)/2 = 4
formas diferentes. ¿Podrás encontrarlas? ¿De cuántas formas distintas puede descomponerse
el número 32045?
Vamos a mostrar un método práctico para descomponer un cuadrado en suma de dos cua-
drados.
Por ejemplo, por simple inspección, encontramos que 13 = 22 + 32. Hacemos entonces
13 = (2 + 3i)(2� 3i) =) 132 = (2 + 3i)2(2� 3i)2 = (�5 + 12i)(�5� 12i) = 52 + 122.
Otro ejemplo, como 65 = 5 · 13 = (22 + 12)(22 + 32), entonces podemos agrupar los factores
de cuatro maneras, con lo que
652 = 52 · 132 = 52 · (2 + 3i)2(2� 3i)2 = 52(52 + 122) = 252 + 602
652 = 132 · 52 = 132 · (1 + 2i)2(1� 2i)2 = 132(32 + 42) = 392 + 522
652 = (1 + 2i)2(2 + 3i)2 · (1� 2i)2(2� 3i)2 = (�63 + 16i)(�63� 16i) = 632 + 162
652 = (1 + 2i)2(2� 3i)2 · (1� 2i)2(2 + 3i)2 = (33 + 56i)(33� 56i) = 332 + 562.
Aprovecharemos que la ecuación x2+y2 = z2 caracteriza los lados de un triángulo rectángulo
para demostrar el teorema de Pitágoras.
Caṕıtulo 5. Ecuaciones diofánticas 41
Teorema. Si x, y, z son los lados de un triángulo, con x < z, y < z, entonces x2 + y2 = z2
si y sólo si el triángulo es rectángulo.
Demostración. Supongamos en primer lugar que el triángulo XY Z es rectángulo y z es la
hipotenusa. Sea P el pie de la perpendicular desde Z hasta XY y llamamos z1 = Y P y
z2 = PX. Por semejanza de triángulos,
x
z1
=
z
x
,
y
z2
=
z
y
,
de donde x2 = zz1, y2 = zz2. Aśı pues, x2 + y2 = z(z1 + z2) = z2.
Rećıprocamente, dado el triángulo XY Z en el que x2 + y2 = z2, construimos el punto P de
modo que PZ = ZY y PZ?XZ. De este modo, el triángulo XZP es rectángulo con lo que
PZ2 + ZX2 = PX2, es decir ZY 2 + ZX2 = PX2. Por hipótesis, ZY 2 + ZX2 = XY 2, de
donde PX = XY . Esto significa que los triángulos XY Z y XPZ son congruentes.
Ecuaciones del tipo x
2 � y2 = n
El resultado general que caracteriza las soluciones de esta ecuación es el siguiente: la ecuación
x2 � y2 = n tiene solución en N [ {0} si y sólo si n es impar o múltiplo de 4.
En particular, si n es cuadrado perfecto, la ecuación tiene solución.
Demostración. Si la ecuación tiene solución, podemos escribir n = (x�y) ·(x+y), que es una
descomposición cuyos factores tienen la misma paridad. Si ambos son impares, n también lo
será y, si ambos son pares, n será múltiplo de 4.
Rećıprocamente, si n es impar o múltiplo de 4, se puede descomponer n = a · b, donde ambos
factores tienen la misma paridad. Los valores x = (a+ b)/2, y = (a� b)/2 son solución de la
ecuación.
Interpretación geométrica: Para cualquier n > 2 existen triángulos rectángulos de lados
enteros de modo que uno de los catetos mide n.
No pasa lo mismo cambiando cateto por hipotenusa.
Fórmula general para el número de soluciones de x2 � y2 = n:
n impar múltiplo de 4
cuadrado
⌧(n) + 1
2
⌧(n) + 1
2
� ◆(n)
no cuadrado
⌧(n)
2
⌧(n)
2
� ◆(n)
En particular, la ecuación x2 � y2 = n tiene solución única si y sólo si n = 1, 4, 8, p ó 4p,
donde p es un primo impar.
Propiedades adicionales de esta ecuación se pueden encontrar en http://www.unizar.es/
ttm/2007-08/difcuadrados.pdf.
42 5.2. Ecuaciones diofánticas
Ecuaciones de la formay
2
= nx
2
+ 1
La persona que pueda, en un año, resolver la ecuación x2 � 92y2 = 1 es un
matemático. Brahmagupta
La ecuación cuadrática y2 = nx2 + 1, donde n es un entero que no es cuadrado perfecto,
recibe el nombre de ecuación de Pell. Las soluciones de la ecuación son los pares (x, y) de
números enteros que verifican la ecuación.
Si n es cuadrado perfecto, se comprueba inmediatamente que las únicas soluciones de la
ecuación son (0, 1) y (0,�1).
A pesar de su nombre, la primera contribución se debe a Brahmagupta y fue hecha unos mil
años antes de la época de Pell. Lo que sigue es una adaptación del art́ıculo [?].
Método de resolución de Lagrange (siglo XVIII), aunque descubierto previamente
por Brouncker
Lagrange demostró que la ecuación de Pell tiene infinitas soluciones para cualquier valor de
n. Además, si (x1, y1) es solución de la ecuación, también es solución el par (x
k
, y
k
) donde:
x
k
p
n+ y
k
= (x1
p
n+ y1)
k.
Aśı pues, resolver la ecuación de Pell significa encontrar el par (x1, y1). Esta solución se
consigue mediante la expresión en forma de fracción continua de
p
n. Es sabido que dicha
expresión es periódica y que el último elemento de la parte periódica es igual al doble de la
parte entera de la ráız cuadrada. En general,
p
n = a0 +
1
a1 +
1
a2 +
1
a3 + · · ·+
1
2a0 + . . .
= [a0; a1, a2, . . . , a
k�1, 2a0].
Si escribimos la fracción correspondiente a [a0; a1, a2, . . . , a
k�1] = p/q, entonces el par (q, p)
es la solución más pequeña de la ecuación y2 = nx2 + 1.
Por ejemplo, si queremos resolver la ecuación y2 = 14x2 + 1, desarrollamos
p
14 en forma de
fracción continua como:
p
14 = 3 +
1
1 +
1
2 +
1
1 +
1
6 + . . .
.
Como 3 +
1
1 +
1
2 + 1
=
15
4
, la solución más pequeña es x1 = 4, y1 = 15. Las siguientes
Caṕıtulo 5. Ecuaciones diofánticas 43
soluciones son
(4
p
14 + 15)2 = 120
p
14 + 449 =) x2 = 120, y2 = 449;
(4
p
14 + 15)3 = 3596
p
14 + 13455 =) x3 = 3596, y3 = 13455
. . .
Método de resolución de Brahmagupta (siglo VII)
Este método se basa en aplicar las siguientes propiedades, fáciles de demostrar.
Proposición. Si (a, b) y (c, d) son soluciones de la ecuación y2 = nx2 + 1, entonces también
lo son (bc+ ad, bd+ nac) y (bc� ad, bd� nac).
Para demostrarlo, basta observar que
(b2 � na2)(d2 � nc2) = (bd+ nac)2 � n(bc+ ad)2 = (bd� nac)2 � n(bc� ad)2.
Este hecho fundamental se generaliza fácilmente a ecuaciones del tipo y2 = nx2+k mediante
el resultado siguiente.
Lema de Brahmagupta. Si (a, b) y (c, d) son soluciones de las ecuaciones y2 = nx2 + k e
y2 = nx2 + k0, respectivamente, entonces
(bc+ ad, bd+ nac) y (bc� ad, bd� nac)
son soluciones de la ecuación y2 = nx2 + kk0.
Consecuencias. 1) Si (a, b) es solución de la ecuación y2 = nx2+1, también lo es (2ab, b2+
na2).
2) Si (a, b) es solución de la ecuación y2 = nx2 + k, entonces (2ab, b2 + na2) es solución de
y2 = nx2 + k2. Por tanto,
⇣
2ab
k
, b
2+na2
k
⌘
es solución de y2 = nx2 + 1. Esta solución es entera
en los casos k = ±1,±2.
Ejemplo. Para resolver la ecuación y2 = 23x2+1, observamos que (1, 5) es solución de y2 =
23x2+2. Por tanto, (5, 24) es solución de la ecuación dada. Aplicando sucesivas veces la conse-
cuencia 1), obtenemos las soluciones sucesivas (240, 1151), (11515, 55224), (552480, 2649601),
etc.
Método de Bhaskara II (siglo XII)
Este método se basa en las siguientes observaciones:
a) Para cualquier m, el par (1,m) es solución de la ecuación y2 = nx2 + (m2 � n).
b) Si (a, b) es solución de y2 = nx2 + k, entonces (am + b, bm + an) es solución de y2 =
nx2 + k(m2 � n).
c) Bajo las condiciones anteriores,
✓
am+ b
k
,
bm+ an
k
◆
es solución de y2 = nx2+(m2�n)/k.
44 5.3. Problemas propuestos
d) Si elegimos m de modo que am+ b es múltiplo de k, entonces m2 � n y bm+ na también
lo son.
Basta entonces elegir m para que am+ b sea múltiplo de k y m2 � n sea, en valor absoluto,
tan pequeño como se pueda. Repitiendo el proceso un número finito de pasos, se llega a un
valor que permita aplicar el método de Brahmagupta.
Ejemplo. Para resolver la ecuación y2 = 103x2 + 1, partimos del par (1, 10) que es solución
de y2 = 103 · x2 � 3.
Escogemos ahora m = 11 para que m+ 10 sea divisible por �3 y m2 � 103 sea tan pequeño
como podamos. Deducimos que el par (7, 71) es solución de y2 = 103 · x2 � 6.
A continuación, buscamos m para que 7m+71 sea múltiplo de �6 y m2�103 sea tan pequeño
como podamos. Eligiendo m = 7, obtenemos que el par (20, 203) es solución de la ecuación
y2 = 103 · x2 + 9.
Del mismo modo, buscamos m tal que 20m + 203 sea múltiplo de 9 y m2 � 103 sea lo
más pequeño posible. Con m = 11 obtenemos el par (47, 477) como solución de la ecuación
y2 = 103 · x2 + 2.
Ahora podemos aplicar el método de Brahmagupta y obtener la solución (22419, 227528).
5.3. Problemas propuestos
Problema 5.1. ¿Tienen solución en Z las siguientes ecuaciones?
a) 2x+ 10y = 17.
b) 5x+ 6y = 8.
Problema 5.2. Hallar mcd(12378, 3054). Utilizar este resultado para encontrar enteros x e
y que cumplan la condición: 6 = 12378x+ 3054y.
Problema 5.3. Una compañ́ıa compró cierto número de reliquias falsas a 17 euros cada
una y vendió algunas de ellas a 49 euros cada una. Si la cantidad comprada originalmente es
mayor que 50 y menor que 100 y la compañ́ıa obtuvo una ganancia de 245 euros. ¿Cuántas
reliquias faltan por vender?
Problema 5.4. Una mujer tiene un cesto de manzanas. Haciendo grupos de 3 sobran 2 y
haciendo grupos de 4 sobran 3. Hallar el número de manzanas que contiene el cesto sabiendo
que están entre 100 y 110.
Problema 5.5. Hallar el menor número de cuatro cifras que dividido por 4, 7 y 11 da resto
3, y que dividido por 13 da resto 1.
Caṕıtulo 5. Ecuaciones diofánticas 45
Problema 5.6. Encontrar las soluciones enteras de 2x + 3y + 5z = 11. Por cierto, ¿tiene
esta ecuación alguna solución en los naturales?
Problema 5.7. Hallar dos números, uno con 21 divisores y el otro con 10 divisores cuyo
máximo común divisor sea 18.
Problema 5.8. Un número N descompuesto en sus factores primos es de la forma N =
2x · 3y · 5z. Si se divide por 2, se suprimen 24 divisores. Si se divide por 3, se suprimen 18
divisores. Si se divide por 5, se suprimen 12 divisores. Hallar N .
Problema 5.9. La suma de dos números es 240 y su mı́nimo común múltiplo es 1768.
¿Cuáles son esos números?
Problema 5.10. Encontrar un número de 4 cifras divisible por 9, sabiendo que sus cifras
van disminuyendo de izquierda a derecha de unidad en unidad.
Problema 5.11. Si p y p2+8 son números primos, demostrar que p3+4 es también primo.
Problema 5.12. Demostrar que todo entero de la forma 3s+2 tiene un factor primo de esa
forma.
Problema 5.13. Demostrar que el único primo p, para el cual 3p+ 1 es cuadrado perfecto,
es p = 5.
Problema 5.14. Demostrar que 1/x� 1/y = 1/n tiene exactamente una solución en N si y
sólo si n es primo.
Problema 5.15. Demostrar que, si n es entero, entonces n(n2� 49)(n2+49) es múltiplo de
30.
Problema 5.16. Tengo un conjunto de objetos. Cuando los cuento de tres en tres, me sobran
dos; cuando los cuento de cinco en cinco, me sobran tres; cuando los cuento de siete en siete,
me sobran dos. ¿Cuántos objetos poseo?
[Problema original de Sun Tsu planteado hace alrededor de 1800 años.]
Problema 5.17. ¿Cuál es el menor número natural que, al dividirse por 6 da resto 5, al
dividirse por 5 da resto 4 y al dividirse por 4 da resto 3?
46 5.3. Problemas propuestos
Problema 5.18. Encontrar tres ternas pitagóricas de la forma (16, y, z).
Problema 5.19. Encontrar todos los triángulos pitagóricos cuyas áreas son iguales a su
peŕımetro.
Problema 5.20. Dado un primo impar p, ¿cuántos triángulos de lados enteros y altura p
existen?
Problema 5.21. Encontrar las dimensiones más pequeñas de una caja, prisma rectangular,
cuyas aristas y diagonales de las caras son números naturales. ¿Hay alguna de esas cajas
para la que además la diagonal principales un número natural?
Problema 5.22. Con 36 monedas se puede hacer un cuadrado de lado 6 pero también un
triángulo equilátero de lado 8. ¿Con qué otra cantidad de monedas puede hacerse algo aśı?
Problema 5.23. Cuenta la historia que los antiguos romanos idearon mil y una tácticas
militares para derrotar a sus enemigos pero he aqúı una de ellas:
Atacaba el ejército formando trece cuadrados iguales y, en un momento dado, Pompilio el
Grande se sumaba al combate y entonces ... todos formaban un único cuadrado. ¿Cuántos
soldados eran incluido Pompilio?
Problema 5.24 (Fase iberoamericana, 1989). Probar que la ecuación 2a2 � 3a+1 = 3b2 + b
tiene infinitas soluciones en el conjunto de los números naturales.