MEDIDAS DE POSICION

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MEDIDAS DE POSICIÓN
	Las medidas de posición permiten describir información referida a una serie de datos.  La descripción de un conjunto de datos, incluye como un elemento de importancia la ubicación de éstos dentro de un contexto de valores posible. Una vez definidos los conceptos básicos en el estudio de una distribución de frecuencias de una variable. En tal sentido, la presente producción escrita analiza distintas formas de resumir dichas distribuciones mediante medidas de posición (o de centralización), teniendo presente el error cometido en el resumen mediante las correspondientes medidas de dispersión.
De esta manera, las medidas de posición pretenden ubicar medidas que sinteticen las distribuciones de frecuencias. En vez de manejar todos los datos sobre las variables, tarea que puede ser pesada, podemos caracterizar su distribución de frecuencias mediante algunos valores numéricos, eligiendo como resumen de los datos un valor central alrededor del cual se encuentran distribuidos los valores de la variable Son medidas estadísticas cuyo valor representa el valor del dato que se encuentra en el centro de la distribución de frecuencia, por lo que también se les llama Medidas de Tendencia Central.
MEDIDAS DE POSICIÓN
	Para Fernández, Córdoba y Cordero (2002) en el campo de la estadística descriptiva, las medidas de posición “permiten identificar una distribución midiendo el valor que toma la variable en diversas posiciones singulares de la misma” (p. 132). Para los citados autores, al obtener un valor medio de las observaciones se le denomina media o promedio; si a partir de la posición central, lo valores son ordenados de forma creciente o decreciente, se le llama mediana. A la media y a la mediana que obtienen posiciones centrales son denominadas medidas de tendencia central. en consecuencia, las medidas de posición permiten la distribución de los datos con respecto a su origen
	En este sentido, las medidas de posición equivalen a los valores que puede asumir una variable caracterizados por agrupar a cierto porcentaje de observaciones en la muestra o población. Las medidas de posición son precisas para obtener información adicional a partir de datos resumidos, es decir, que presentan perdida de información por agrupamiento en intervalos de clase. De esta manera, las medidas de posición conforman indicadores estadísticos que describen la frecuencia acumulada hasta un valor k cualquiera, por tanto, dividen un conjunto de datos en grupos con el mismo número de individuos. Para calcular las medidas de posición es necesario que los datos estén ordenados de menor a mayor. Las medidas de posición son, medidas de posición central y las medidas de posición no central.
Medidas de Posición Central
	Este tipo de medidas indican valores medios de la serie de datos. Representan puntos de referencia para interpretar los resultados que se obtienen en una tendencia estadística. Las principales medidas de posición central son: Media (Media aritmética y Media geométrica), Mediana y Moda
Media
	Es el valor medio ponderado de la serie de datos. Es decir, la media es el promedio de todos los números. Por tanto es una medida de tendencia central, la cual resulta al efectuar una serie determinada de operaciones con un conjunto de números y que, en determinadas condiciones, puede representar por sí solo a todo el conjunto. Existen distintos tipos de medias, tales como la media aritmética y la media geométrica, las cuales regularmente son las más aplicadas. Se calcula multiplicando cada valor por el número de veces que se repite. La suma de todos estos productos se divide por el total de datos de la muestra:
Media Aritmética
	En el ámbito de las estadísticas, la media aritmética conforma un conjunto finito de números. Es el valor característico de una serie de datos cuantitativos objeto de estudio fundamentado en el principio de la esperanza matemática o valor esperado. Se obtiene a partir de la suma de todos sus valores dividida entre el número de sumandos. Cuando el conjunto es una muestra aleatoria recibe el nombre de media muestral siendo uno de los principales estadísticos muestrales. Se calcula multiplicando cada valor por el número de veces que se repite. La suma de todos estos productos se divide por el total de datos de la muestra:
	Xm =
	(X1 * n1) + (X2 * n2) + (X3 * n3) + .....+ (Xn-1 * nn-1) + (Xn * nn)
	
	---------------------------------------------------------------------------------------
	
	n
	Otro ejemplo de media aritmética podría ser: Los pesos de seis personas son: 84, 91, 72, 68, 87 y 78 kg. Hallar el peso medio.
	La media aritmética para datos agrupados ocurre cuando los datos se agrupan en tablas (A, B), la media aritmética es igual a la división de la sumatoria del producto de las clases por la frecuencia sobre el número de datos. La sumatoria parte desde el primer intervalo de clase (i = 1) hasta el último (Nc), siendo Xi la clase del intervalo i. Cuando los datos se agrupan en tablas de frecuencias tipo B, el cálculo de la media varía un poco, ya que existe una pérdida de información en el momento en que se trabaja con intervalos de frecuencia y no con los datos directamente (los datos se agrupan por intervalo, desconociendo el valor exacto de cada uno de ellos). Las marcas de clases (Mc) cumple la función de representar los intervalos de clase. Por ejemplo, la media aritmética para datos agrupados en tablas tipo A, muestra una frecuencia muestra el número de preguntas de 81 encuestados sobre un Test que consta de solo seis preguntas.
 
	Preguntas Buenas
	Personas
	1
	15
	2
	13
	3
	8
	4
	19
	5
	21
	6
	5
	La solución sería: Desarrollar la sumatoria del producto resultante de las clases por su frecuencia absoluta. Para efectos del cálculo de la media, se debe sumar 15 veces el valor 1, 13 veces el valor 2, 8 veces el valor 3, hasta llegar a la última clase: Luego, dividir la sumatoria sobre el número total de datos. En promedio los encuestados contestaron aproximadamente 3 (el valor exacto es 3,41) preguntas buenas.
	En otro caso, la media aritmética para datos agrupados en tablas tipo B, calcular la media para los datos distribuidos en la siguiente tabla de frecuencia:
	Ni
	Lm
	Ls
	f
	Mc
	1
	40,0
	48,1
	3
	44,1
	2
	48,1
	56,1
	8
	52,1
	3
	56,1
	64,1
	11
	60,1
	4
	64,1
	72,1
	32
	68,1
	5
	72,1
	80,1
	21
	76,1
	6
	80,1
	88,1
	18
	84,1
	7
	88,1
	96,1
	14
	92,1
	8
	96,1
	104,0
	1
	100,1
	
	Las marcas de clase representan a los intervalos de clase, por ejemplo, suponemos que la marca de clase para el primer intervalo (44,1) se repite 3 veces, al desconocer los 3 valores exactos que están dentro de dicho intervalo. Para su solución, realizar la sumatoria del producto resultante entre las marcas de clase por su frecuencia absoluta; dividir la sumatoria sobre el número total de datos.
Media Geométrica
	Se obtiene al elevar cada valor al número de veces que se ha repetido. Se multiplican todo estos resultados y al producto final se le calcula la raíz "n" (siendo "n" el total de datos de la muestra). Se calcula multiplicando todos los números (llamar al número de los números N), y tomando la raíz enésima del total. Un ejemplo cotidiano de la media geométrica podría ser un promedio de las tasas de crecimiento. Su cálculo se efectúa de la siguiente manera:
Una media geométrica de= ((x1)(x2)(x3)........(xN))1 / N 
Dónde: X = puntuación individual N = tamaño de muestra (número de puntuaciones). Para encontrar la media geométrica de 1, 2, 3, 4, 5.
	Se efectúa en primer lugar: N = 5, el número total de valores. Encontrar 1/N. 1/N = 0.2 Luego, se encuentran con una media geométrica de la fórmula.
            ((1)(2)(3)(4)(5))0.2 = (120)0.2 
            Así, la media geométrica= 2.60517
	Otro ejemplo puede ser: Las utilidades obtenidas por una empresa constructora en cuatro proyectos fueron de 3, 2, 4 y 6%, respectivamente. Es necesario determinar la media geométrica de las ganancias. En este ejemplo y asi la media geométrica es determinada porEl resultado sería de la media geométrica de las utilidades es el 3.46%. La media aritmética de los valores anteriores es 3.75%. El valor 6% no es muy grande, por tanto, hace que la media aritmética se incline hacia valores altos. La media geométrica no se ve tan afectada por valores extremos
Mediana
	
	En estadística, la mediana representa el valor de la variable de posición central en un conjunto de datos ordenados. Representa el valor de la serie de datos que se ubica precisamente en el centro de la muestra (un 50% de valores son inferiores y otro 50% son superiores). En un conjunto de valores ordenados, la mediana es el valor medio. Se calcula de la siguiente manera: 1° Se deben ordenar los valores en orden ascendente; 2° Se debe encontrar el valor o valores medios. Ejemplo:
	Dado el siguiente conjunto de 11 números cualesquiera:
8,3,7,4,11,2,9,4,10,11,4 se ordenan de manera ascendente: 2,3,4,4,4,7,8,9,10,11,11. En esta secuencia la mediana es 7, que es el número central (ya que hay cinco números mayores que él y cinco números menores que él). Dado este otro conjunto de 10 números cualesquiera:
8,3,7,4,11,9,4,10,11,4 se ordenan de manera ascendente: 3,4,4,4,7,8,9,10,11,11. En esta secuencia no hay un solo número central, sino dos (ya que hay cuatro números mayores que estos y cuatro números menores que estos). La mediana (Md) está entre los dos números centrales (7 y 8). Para obtener la mediana se deben sumar 7 + 8 y dividirlos entre 2.
Md= 7.5.
	
Moda
	En términos estadísticos, moda representa el valor con una mayor frecuencia en una distribución de datos. Es el valor que más se repite en la muestra. Una moda puede ser bimodal de los datos adquiridos en una columna cuando se encuentran dos modas, es decir, dos datos que tengan la misma frecuencia absoluta máxima. Una distribución trimodal de los datos es en la que se ubican tres modas. 
	Si todas las variables tienen la misma frecuencia se dice que no hay moda. El intervalo modal es el de mayor frecuencia absoluta. Cuando existen datos agrupados antes de definir la moda, se ha de definir el intervalo modal. Cuando los datos están agrupados, es un punto que divide al intervalo modal en dos partes de la forma p y c-p, siendo c la amplitud del intervalo, que verifiquen que:
	Siendo la frecuencia absoluta del intervalo modal las frecuencias absolutas de los intervalos anterior y posterior, respectivamente, al intervalo modal.
Medidas de Posición No Central
	Este tipo de medidas informan cómo se distribuye el resto de los valores de la serie. Permiten conocer otros puntos característicos de la distribución que no son los valores centrales. Permiten conocer otros puntos característicos de la distribución que no son los valores centrales. Entre las medidas de posición no central más importantes están los cuartiles, deciles y percentiles. 
Cuartiles
	
	Conforman 3 valores que distribuyen la serie de datos, ordenada de forma creciente o decreciente, en cuatro tramos iguales, en los que cada uno de ellos concentra el 25% de los resultados. Dividen a la distribución en cuatro partes (corresponden a los cuantiles 0.25, 0.50 y 0.75); para el cálculo de cuantiles con distribuciones de variable continua puede ubicarse según las partes en que se divide la distribución sean exactamente iguales. La siguiente figura esquematiza una distribución de cuantiles.
Deciles
	El concepto de decil se corresponde a cada uno de los 9 valores que dividen un juego de datos (clasificados con una relación de orden) en diez partes iguales, y de manera que cada parte representa un décimo de la población. Los deciles son cada uno de los nueve valores que dividen un conjunto de datos en diez grupos con iguales efectivos. Los deciles se calculan como si fueran 10-cuantiles, o sea de manera que: El primer decil separe el juego de datos entre el 10% de los valores inferiores, y el resto de los datos. Y el noveno decil separe los datos entre el 90% de los valores inferiores y el 10% de los valores superiores. El término decil también se utiliza para designar la separación de valores de una muestra, de manera tal de tener diez intervalos con el mismo número de valores. El decil número n, sería pues el situado entre el decil número (n-1) y el decil número (n+1), para n variando de 2 a 9.
	Ejemplo del cálculo de deciles pueden ser: Dadas las series estadísticas: 3, 5, 2, 7, 6, 4, 9. 3, 5, 2, 7, 6, 4, 9, 1.
Calcular: Los deciles 2º y 7º.
3, 5, 2, 7, 6, 4, 9.
8 · (2/10) = 1.6 D2 = 2 
8 · (7/10) = 5.6 D7 = 6 
3, 5, 2, 7, 6, 4, 9, 1.
8 · (2/10) = 1.6 D2 = 2 
8 · (7/10) = 5.6 D7 = 6 
Percentiles
	Conforman 99 valores que distribuyen la serie de datos, ordenada de forma creciente o decreciente, en cien tramos iguales, en los que cada uno de ellos concentra el 1% de los resultados. Es una medida de posición muy útil para describir una población o sus miembros. Los percentiles conforman una idea de “posición” de los datos, es decir avisan a partir de que observación o intervalo de clase se ha acumulado un determinado porcentaje de observaciones. Un percentil de orden k, significa que se debe identificar una observación (caso discreto) o un intervalo de clase (caso continuo) de tal manera que la frecuencia asociada a ese valor lleva acumulado el k % de las observaciones.
	El percentil como medida estadística refiere cómo está posicionado un valor respecto al total de una muestra. Se puede entender, si se tiene una muestra con muchos valores y se divide en 100 partes, cada una de ellas es un percentil. Cada valor de la muestra estará en alguna de las porciones. El percentil está referenciado de 0 a 100. El Percentil 0 es el menor valor de la muestra y el Percentil 100 el mayor valor. Técnicamente Pi es el percentil i-ésimo, donde la i toma valores del 1 al 100. El i% de los valores de muestra son menores que ese Pi y el (100-i)% restante son mayores. 
Considerando el planteamiento anterior, suponiendo que se tiene una muestra con 1000 datos de personas y salarios. El P75 sería el valor de salario que ganan el 75% de las personas de esa muestra (ese conjunto de valores). O por ejemplo el P-20 el que gana el 20% de las personas. Otro ejemplo, más técnico (un indicador). Si registro los días que tarda una persona en encontrar trabajo, ¿cuál es el tiempo en el que encuentran trabajo el 40% de las alumnas? Pues P40 (el percentil 40). 
CONCLUSIÓN
	Las medidas de posición equivalen a los valores que puede asumir una variable caracterizados por agrupar a cierto porcentaje de observaciones en la muestra o población. Las medidas de posición son ideales para obtener información adicional a partir de datos resumidos, es decir, que presentan perdida de información por agrupamiento en intervalos de clase. En síntesis, son indicadores usados para señalar que porcentaje de datos dentro de una distribución de frecuencias superan estas expresiones, cuyo valor representa el valor del dato que se encuentra en el centro de la distribución de frecuencia, por lo que también se les llama medidas de tendencia central.
	Estas medidas de posición han de cumplir determinadas condiciones para que lean verdaderamente representativas de la variable a la que resumen. Toda síntesis de una distribución se considerara como operativa si intervienen en su determinación todos y cada uno de los valores de la distribución, siendo única para cada distribución de frecuencias y siendo siempre calculable y de fácil obtención. Entre las principales medidas de posición más comunes utilizadas en estadística, como lo son: cuartiles: Hay 3 cuartiles que dividen a una distribución en 4 partes iguales: primero, segundo y tercer cuartil; deciles: hay 9 deciles que la dividen en 10 partes iguales: (primero al noveno decil); percentiles: Hay 99 percentiles que dividen a una serie en 100 partes iguales: (primero al noventa y nueve percentil).
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Fernández, S., Córdoba, A., y Cordero, J. (2002). Estadística descriptiva. Madrid, España: Esic Editorial.
Diccionario de Estadística (2009).Madrid: Océano.
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