Introducción al Analisis Matematico

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INTRODUCCION A L 
ANALISIS 
MATEMATICO
LOGICA Y CONJUNTOS 
NUMEROS REALES
GEOMETRIA ANALITICA VECTORIAL 
INDUCCION MATEMATICA - SUMATORIAS
A .Venero 3.
IN T R O D U C C IO N
A l
A N A L I S I S M A T E M A T I C O
J. ARMANDO VENERO BALDEON
LICENCIADO EN MATEMATICAS 
FACULTAD DE CIENCIAS 
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA 
ESTUDIOS DE MAGISTER EN MATEMATICAS 
PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DEL PERU
EDICION REVISADA
LIMA 1995 PERU
INTRODUCCION AL 
ANALISIS MATEMATICO
A V E N E R O B.
Iapreso en el Perú Printed in Perú
Prohibida la reproducción parcial o total, por cualquier medio o método, 
de este libro sin la autorización legal del autor:
REPRESENTACIONES GEMAR 
LIMA - PERD.
PROLOGO
Este libro esti dirigido a la formación del'razonamiento cien 
tífico de ios alumnos del primer iñu de las carreras de Ciencias e Ingeniería, 
y coi sta de dos partea :
1. Los fundamentos del Análisia Matemático : Lógica, Conjuntoa, Números 
Realea, Valor Absoluto, Máximo Entero, Conjuntos Acotados, Inducción 
Matemática y Sumatorias.
2. La G EOM ETR IA A N AL IT IC A V E C T O R IA L en el Plano y en el Espacio.
En la presentación del texto se ha puesto un interéa muy 
particular en el enfoque intuitivo y geométrico, sin dejar de lado el auficien 
te rigor que se requiere a eate nivel del aprendizaje de las Matemáticas Su­
periores. Se ha complementado la parte teórica - práctica del texto con Se­
ries de F roblei as Propuestos, los cuales tienen su Clave de Respuestas in­
mediata mente al final de cada serie.
Los Capítulos 1 y 2 que tratan de LA S PR OPOSIC IO ­
NES LOG ICA S y L A T E O R IA DE CO N JU N T O S resptrtil imente, siendo sen 
cilloa, son imprescindibles en cualquier eatudio organizado de las Ciencias o 
las Humanidades. Ambos temas e„t¿n reladonadoa de tal forma que se pue­
de considerar a cualquier de ellos como imagen del otro, y son expueatos 
como complemento a lo que ya se conoce deade loa estudios aecundarios.
El Capítulo 3, titulado LOS NUM EROS REALES, estudia 
al Sistema de los Númeroa denominados REALES en lo que se refiere a aus 
axiomas y propiedi lea; requiere un conocimiento básico del Algebra Elemen 
tal, y está orientado a presentar la*i i icnicL para resolver ECUACIONES e 
IN EC U A CIO N ES , laa que taubien incluyen R A D IC A LE S . En este Capitulo, 
se incluye el estudio del V A LO R A B S O L U T O y del M AXIM O EN TE R O cin
plementada con una regular cantidad de Ejercicios y Problemas resueltos, 
una parte de los cuales fueron tomadas en prácticas y exámenes en la UNI­
VERSIDAD N A C IO N A L D E INGENIERIA, y otra parte son inédito!
A partir del Capítulo 4 que estudia a lo V EC TOR ES , y 
hasta el Capítulo 8 , se trata al tema de la GEOM ETRIA AN ALITICA M O­
DERNA en el Plano, desde un enfoque V E C T O R IA L ; esto permite ei tudiar 
las R E C T A S , CIRCU NFERENCIAS Y C O N IC A S en una forma elegante y sen 
cilla.
En el Capítulo 9 se extienden los conceptos anterior«., en 
el Plano a la G EOM ETR IA AN ALITIC A V E C T O R IA L EN EL ESPACIO .
El libro termini con un Capítulo referente a la técnic:i de ka 
INDUCCION M ATEM ATICA y a las SU M ATO R IA S .
- i
Siendo el objetivo inmeUirto de este texto el de conseguir u- 
na sóliJa fon :acií n lógico-matemática, desarrollando al mismo tiempo el aspee
to intuitivo en esti *rea con el material aquí tratado el alumno estará prepa 
rado pan. acceder al ANALISIS M A TE M A TIC O en lo que al C A LC U LO DI­
FERENCIAL se refiere.
Aprovecho estas líneas finales pa^a agradecer muy sln^en - 
n.ente a mis colé ge» de las diferentes Universidades en las que he enseñado,
por haberme ayudn ‘o con sua sugerencias para la elaboración de este texto.
J . A R M A N D O V EN ER O B .
GONtTEKIOO
CAPITULO 1. LOGICA
1 Proposición Lógica
2 Conectivos Lógicos : Disyunción, Conjunción, Negación, Condl 
clona1 y Blcondlclonal. Proposiciones Compuestas
3 Tautología y Contradicción. Implicación Lógica y Equivalencia 
Lógica. Proposiciones Equivalentes
4 Leyes del Algebra de Proposiciones
5 Razonamiento Lógico. Argumentos VSlIdos. Métodos de Demostra­
ción
CAPITULO 2. CONJUNTOS
1 Conjuntos y Cuantlflcadores. Intervalos. Negación con Cuantl- 
flcadores
2 Subconjuntos. Conjunto Unitario, Conjunto Vacio, Conjunto 
Universal. Conjuntos Iguales
3 Operaciones entre Conjuntos : Unión, Intersección, Complemen
to. Diferencia, Diferencia Simétrica. Representación Griflca 
en Diagramas de Venn
4 Leyes del Algebra de Conjuntos
5 Propiedades Adicionales
6 El Conjunto Potencia
7 Número de Elementos de un Conjunto A : n(A)
1
1
6
7
13
19
25
28
30
36
40
43
i
CAPITULO 3. LOS NUMEROS RFAt.ES
1 El Sistema de los Números Reales
2 Ecuaci ' es Lineales y Cuadráticas. Método de Completar 
Cuadrados
3 La RelaclOh de Orden. Desigualdades Linea.es y Cuadráticas. 
GeneralIzacICn. Regla de los Signos
4 Regla Gráfica de los Signos para resolv̂ i Inecuaciones.
Método práctico
5 Propiedades de las Raíces de la EcuaciOn de 2° Grado : 
a*2 + bx + c ■ 0
6 Ecuaciones e Inecuaciones con Radicales
7 VALOR ABSOLUTO. Propiedades. Teoremas relativos a las Ecua
clones e Inecuaciones con Valor Absoluto
B MA'IMO ENTERO. Prpledades
9 CONJUNTOS ACOTALOS. Cota Superior, Cota Inferior. El SUPRE
MO y el INFIMO de un conjunto de mineros Reales. El Máximo 
y el Minino de un conjunto de nún..ros Reales
CAPITULO «i. VECTORES EN EL PLANO
1 Introducción
2 El Sistema de Coordenadas Cartesianas. DISTANCIA entre dos
Puntos en el Plano
3 El Algebra Vectorial Bldlmenslonal
4 Representación Geométrica de los "ectores
5 Paralelismo de Vectores
6 Longitud 6 NORIA de un Vector. Víctores Unitarios
7 Angulo de Inclinación de un Vector en el Plano
B Ortogonalldad y Producto Escalar. Desigualdad de Cauchy-
Srhwarz
9 Combinación Lineal de Vectores. Independencia Lineal de un
conjunto de Vectores. Propie ades de los Ve itores Unitarios 
Ortogonales
10 Angulo entre Vectores,
11 Proyección Ortogonal. Componentes Ortogonales
48 
54 
56 
. 62
67
. 72
. 89
. 110
. 120
. . )3d
. . 138
. . 140
141 
. . 150
. . 153
. . 156
.. 160
. . 172
. . 1B6
. . 188
CAPITULO 5. EL PLANO EUCLIDIANO
1 El Plano Euclidiano. LA RECTA. Ecuación Vectorial de la Recta 203
2 Ecuaciones Paramétricas de una Recta 204
3 Forma Simétrica de la EcuaclOn de una Recta 207
4 Ecuación Normal y Ecuación General de una Recta 207
5 Distancia de un Punto a una Recta 209
6 Proyección Ortogonal de un Vector sobre una Recta 211
7 Segmento de Recta .. 212
8 División de un Segmento en una Razón dada, m:n . 213
9 Angulo de Inclinación de una Recta 223
ID Pendiente de una Recta .. 224
11 Paralelismo y Ortogonalldad de Rectas .. 226
12 Intersección de Rectas. La REGLA DE CRAMER 234
13 Angulo entre Rectas •• 241
CAPITULO 6. GRAFICAS DE ECUACIONES
1 Introducción 263
2 Criterios para graficar Ecuaciones: Interceptos con Los Ejes, 
Extensión, Simetrías. Asíntotas 264
3 Ecuaciones Factorizables .. 269
4 Problemas sobre Lugares Geométricos 270
5 LA CIRCUNFERENCIA. La Ecuación de Id Circunferencia 279
6 Condición de TANGENCIA. Método Vectorial para hallar Rectas 
Tangentes y Puntos de Tangencia a una Circunferencia 291
7 Rectas Tangentes a la Curva definida por la Ecuación General 
de 2o Grado : A*2 + 6xy * Cy2 * D* ♦ ly * F - 0 301
8 Familias de Circunferencias .. 308
CAPITULO 7. TRANSFORMACION DE COORDENADAS
1 Fórmulas de Transformación de Coordenadas : Traslación y
RotaciOn de Ejes .. 319
2 Transformación de las Coordenadas de un PUNTO, y de un VECTOR
D1RECC10NAL de una Recta .. 325
ItiVioducclôn at Anâtlici Hafemlttco
CAPITULO 8 LAS SECCIONES CONICAS
1 Introducción .. 336
2 LA PARABOLA. Propiedades. Rectas Tangentes .. 338
3 LA ELIPSE. Propiedades. Rectas Tangentes .. 369
4 LA HIPERBOLA. Propiedades. Rectas Tangentes .. 402
5 LA ECUACION GENERAL DE 2° GRADO. Diagonalización .. 437
CAPITULO 9 GEOMETRIA ANALITICA EN «3
1 PUNTOS y VECTOkES en el Espacio .. 468
2 El PRODUCTOVECTORIAL en R3. Propiedades
El Triple Producto Escalar .. 471
3 RECTAS en el Espacio. Intersección de Rectas en el Espacio .. 475
4 PLANOS en el Espacio. Ecuación NCRMhL y Ecuación GENERAL 
de un Plano. Intersección de Planos. Intersección de una
Recta y un Plano. Distancia de un Punto a un Plano .. 478
CAPITULO 10 INDUCCION MATEMATICA Y SUMA^ORIAS
1 El Primer Principio de Inducción Matemática .. 493
2 El Segundo Principio de Inducción Matemática .. 501
3 SUHATORIAS , Cambio de Indices. Aplicaciones.
PROGRESIONES GEOMETRICAS (P.G.) . Suma de una P.G. .. 512
4 Suma de una Progresión Geométrica con Infinitos Términos .. 543
5 PRODUCTOS. Factorial. Propiedad Telescópica .. 552
6 NUMEROS COMBINATORIOS ó COEFICIENTES BINOMIALES .. 560
7 EL Teorema del Binomio de Newton. Triángulo de Pascal
El Término General Tk+1 . .. 567
______________________________________________________________________________________________________- 1 - —
1 ____________________________
LOGICA
1 PROPOSICION LOGICA
Se llama ast a toda expresión que puede cali­
ficarse bien como verdadera (V) 6 bien como falsa (F) y sin ambigüedad.
En general, las proposiciones lógicas serán denotadas con letras minúsculas
Pi Qi r* •••
EJEMPLOS DE PROPOSICIONES LOGICAS:
p : 4 ♦ 3 « 6 .. (F)
q : La ciudad de Trujlllo es la capital de La Libertad .. (V)
EJEMPLOS DE EXPRESIONES QUE NO SON PROPOSICIONES LOGICAS:
a) ¡Buenos dtasl b) a + z « * c) i Cómo estás ?
respecto a estas expresiones vemos que no es posible Indicar si les corres - 
ponde un valor de verdadero o de falso.
2 CONECTIVOS LOGICOS
a) LA DISYUNCION " p v q * [se lee " p o q ' ] .- Es una propo 
slclón formada por las proposiciones p y q , relaciona­
das por la palabra "o" (en el sentido inclusivo: y/o ), definida por la 
condición: 1 p v q ' es FALSA Gnlcamentt» en el caso en que ambas p y q
son FALSAS ; en cualquier otro caso es Verdadera. Su tabla de verdad es:
p v q EJEMPLO:
p v q
8 es menor que 7 ... (F)
6 es mayor que 2 ... (V)
8 es menor que 7 o
6 es mayor que 2 ... (V)
•2* Introducción al Análisis Matemático
b) CONJUNCION (se lee ’ p y q ‘ )
Es una nueva proposición que se define de tal 
■añera que resulta Verdadera (V) finitamente en el caso en que p y q son om 
11¿ Vmdadz/uu , y en todos los demSs casos es Falsa (F). Su tabla de verdad
p q p - q EJEMPLO
V V V p : 1512 es múltiplo de 3 .. (V)
V F F q : 5 + 2 - 10 .. (F)
F V F p ~ q : 1512 es múltiplo de 3
F F F 5 + 2- 1 0 .. (F)
NEGACION * ^P ’ Es una proposición que cambia el valor de
la proposición p , y cuya tabla de ver-
es
P •'•P
Se lee: " Es falso que p "
V
F
F
V
" No es cierto que p ■
■ No n ■ .
d) CONDI 1QNAL * p •* q * (Se leo " SI p entonces q " ) .-
Es aquella proposición que es Falsa únĵ 
camente cuando la proposición p (llamada ANTECEDENTE) es Verdadera (V) y 
la proposición q (llamada CONSECUENTF) es Falsa (F). Su tabla de verdad 
es
También se lee:
Implica q 
solamente sí q
es una condición suficiente para q 
es una condición necesaria para p 
a menos que ■>» p 
Es suficiente que p para que q 
Es necesario que q para que p .
OBSERVACIONES:
Según las dos últimas filas basta que el antecedente p sea falso (F) pa
•a que la condicional sea vrrdadeia (V), independientemente del valor de
la proposición q .
Según las filas Ira. y 3ra. basta que el consecuente q sea verdadero
(V) para que la condicional sea verdadera (V).
Cap.1 Lógica 3
- SegGn la Gltlma fila, si tanto p coipg q son falsas, la condicional re 
sulta verdadera.
EJEMPLO.- Explique porqué tienen los valores verltatlvos Indicados:
a) 2 + 3 - 6 + 5 < 6 .. (V)
b) 3 - 1 - 4 + 27 < 2* .. (V)
c) 5 es un nGmero primo ♦ 51 es par .. (F)
PROBLEMA.- Utilizar las palabras " si .. entonces " para expresar de o- 
tra rnaiera la siguiente proposición:
* Yo no me presento al examen de HatemStlcas a menos que lo posterguen una 
semana " .
SOLUCION.- Senn p : Yo no ne presento al examen de HatemStlcas
q : No postergarSn el examen de HatemStlcas una semana
La proposición dada en el enunctado del problema corresponde por lo tanto a:
* q a menos que ^p ", la cual se simboliza precisamente como: p ♦ q .
SegGn esto se tiene el enunciado equivalente siguiente:
* Sl̂ no postergan el exarr >n de HatemStlcas una semana entonces yo no me 
presei.to a dicho examen ".
e) BICONDICI3NAL p ♦* q [Se lee " p y tolo ti q * ]
Es aquella proposición que es verdadera 
en el caso en que ambas p y q tienen el mismo valor (ambas verdade­
ras ó ambas falsis), y que es falsa (F) si p y q tienen valores vert 
tativos contrarios. Su tabla de verdad correspondiente es como sigue:
También se lee :
* p si y solamente si q *
■ p es una condición necesaria y suficlen 
te para q "
PROPOSICIONES COMPUESTAS ,- Utilizando los conectivos lógicos se pue
de combinar cualquier nGmero finito de 
proposiciones para obtener otras cuyos valores verltatlvos pueden se1* cono­
cidos construyendo sus tablas de verdad en las que se deLen Indicar los va­
lores resultantes para todas las combinaciones posibles de valores de las 
proposiciones componentes.
I
p q p *-*■ q
v v v
v F F
F V F
F F V
A - Introducción al Análisis Matemático
Por ejemplo, para la proposlcífin [(^p) v q) ♦ (r ~ p)
p q r -\,p ('p)vq r - P [('»- p) v q ] - (r » p)
V V V F V V V
V V F F V F F
V F » F F V V
V F F F F F V
F V » V V F F
F V F V V F F
F F V V V F F
F F F V V F F
EJERCICIO.- Sean p : 8 es un número par ; q : 8 es el producto de
dos nCmeros enteros. Traducir en símbolos caoa una 
de las siguientes proposiciones:
a) 8 es un nGmero par'o es un producto de dos enteros.
b) 8 es impar y es un producto de dos enteros.
c) 8 es un núnero par y un producto de dos enteros o es un nGmero impar
y no un producto de dos nGmeros enteros.
SOLUCION.- a) p v q ; b) { ̂ p) - q ; c) (p « q) v [(•>- p) - ('»-q)] .
PROBLEMA.- Sean p, q, r tres proposiciones tales que p es verdadera,
q es falsa, y r es falsa. Indicar cuSles de las siguientes
proposiciones son verdaderas: a) (p v q) v r ;
b) [(p -q) v (('v-p) - ̂q)] « [í(^p) - q) v ((-»- q) ~ p)] ;
c) (^p) v (q - r) ¡ d) (( ̂ pi v ->.q) - (p v -»-r) . |qv r).
SOLUCION.- a) (p v „) v r
* ♦ +
(V v F) v F
+ +
' V v F
*
V (verdadera)
b) Como estS formada por dos corchetes unidos por una ~ , y como el pri­
mero de ellos (a la izquierda) es falso (F) entonces toda la proposi -
cifin ser! falsa (F) , independientemente del valor de la proposición que
queda a la derecha.
Cap.1 Lógica 5-
c) es Falsa, pues {•»> p) v (q - r) = F v F = F
d) es Falsa, análogo a (b), pues (q v r) resuHa falsa.
PROBLEMA.- Simplificar la siguiente propos'ciCn:
( V í > / 2 - 1 > 0 ) + >V« v (l/ft < 1//1 — -1 < 0)]
SOLUCION.- Analizando el valor de V i > /2 , vemcs que ^ ■ 22' * - 2*^2
■ J i , y por lo tanto V 4 > /2 es FALSA, asi como también te­
nemos que 1/^4 < 1//3 es FALSA, sin embargo ^2 > ̂ 4 es VERDADERA pues 
í significa > 0 • . Asi, equivalentemente se tiene que
(F ~ V) -■ [ V v (F *♦ V)]
F
y sc;0n una observación respecto a las CONDICIONALES, basta que el anteceden 
te sea FALSO ¿orno en este caso, para que toda la condicional sea VERDADERA;
lo cual se pmde verificar completando lo demás si se desea.
JERARQUIA DE LOS CONECTIVOS LOGICOS
Cuando en una proposición compuesta se tie­
nen varios conectivos ISglcos, las operaciones se realizan luego de colocar 
los paréntesis adecuadamente.
PROBLEMA.- Sean p, q, r, s, ji proposiciones lCglcas. SI el valor de 
verdad de las siguientes proposiciones (a) y (b) es FALSA:
a) [t{p - q) - r ] - (s - r) . b) ( ̂ p) v q
i CuSl es el valor de verdad de (r) y (d) ? :
c) [(n + p) * ^r ] ♦ p , d) s ♦ {p *-*• n)
SOLUCION.- Analizando por partes: que la condicional (a) sea FALSA quie­
re decir que:
M p ♦ q) ♦ r es » .. (*) y que s ~ r es F .. (**) ;
y como |i p) v q es F por (b), entonces p es V y q es F , lue­
go p ♦ q es F . Entonces, de (*) : •»-(p ♦ q) es V , y por lo
tanto r es ¥ . Luego, de (**) : s resulta ser F , ya que ^r es F.
Asimismo, la condicional (d) resulta también ser VERDADúRA puessu ante 
cederte s es FALSO .
NCtese que aquí no fue necesario conocer el valor verltatlvo de n .
-6- Introducción al Análisis Matemático
3 TAUTOLOGIA Y CONTRADICCION .-
A toda proposicifin simple o compuesta que es siem­
pre VERDADERA para cualquier comblnacifin de valores de verdad de sus compo
nentes se le llama TAUTOLOGIA, y se le denota por una V .
A toda proposlcifin que toma el valor de FALSA para
todas sus combinaciones, sé le llama CONTRADICCION y se le denota por F .
EJEMPLOS.- La proposicifin [((* p) v q)~ vq ) + ' p es una TAUTOLO-
IMPLICACION LOGICA Y EQUIVALENCIA LOGICA .-
Se llama IMPLICACION LOGICA (6 simplemente IMPLICA 
CION) a toda condicional p -*■ q que sea una TAUTOLOGIA, y en tal caso
a la condicional se le denota por p = > q . Por ejemplo, tenemos:
['(■'■ p) v q) « ■»> q ) = > •»- p , ya tabla de verdad ya se ha dado.
Se llama EQI’IVALENCIA LOGICA (6 simplemente EQUIVA
LENCIA) a toda bicondicional p «-*■ q que sea una TAUTOLOGIA, « notSn 
dose en tal caso, p «=* q . EJEMPLD: p > (p v q) «— > p :
p q p v q P « (p v q) P * (p v q) ♦+ p
V V V V V
V F V V V
F V V F V
F F F F V
Cap.1 Lógica -7-
PROPOSICIONES LOGICAMENTE EQUIVALENTES
Dos proposiciones p y q son EQUIVALENTES (6 LO­
GICAMENTE EQUIVALENTES) si sus tablas de verdad son idénticas. En tal caso, 
se denota p = q . Por ejemplo, (p -► q) y ( ''-q) -» ( “'■p) son E 
QUIVALENTES, puesto que sus tablas de verdad son ioénticas como podemos ver:
p q •tq •up p — q (•t q) -* ( -up)
V V F F V V Por lo tanto.
V F V F F F p -► q = ( ̂ q) — ( ̂ p)
F V F V V V
F F V V V V
idíntÁJU.u
NOTA .- Esta equivalencia es muy Importante en lo que respecta a demostra­
ciones de teoremas y resultados, pues es el fundamento del llama­
do METODO DE DEMOSTRACION POR REDUCCION AL ABSURDO 6 MíTODO POR CONTRADIC­
CION, que es una forma Indirecta de demostración, y que ilustraremos mSs ade­
lante en este capitulo.
LE ICES DEL ALGEBRA DE PROPOSICIONES
Son equivalencias lógicas que las presentamos a continua -
ción, y cuya demostración es muy fScil construyendo sus tablas de verdad.
la. p v p = p Ib. P “ P = P
2a. p v q i q v p 2b. p _ q = q ~ p
3a. (p v q) v r 5 (p v q) v r 3b. (p - q) - r 5 p - (q - r)
4a. p v |q * r) M p v q) * (p v r), 4b. P * (q V r) : (p • q) V (p
5a. p v F = p 5b. P ~ F = F
6a. p v V = V 6b. p - V s p
7a. pv('p) = V 7b. p » ( -x-p) = F
8a. ^ p 5 p 8b. •»-V = F , -v-F = V
9c.
9b.
M p v q) = ( -v-p) ~ ('»-q) 
M p *> q) £ ( ̂ -p) v (iq)
LEYES DE DE MORGAN
Como es vSlidü reemplazar una proposición por su equiva­
lente sin alterar el resultado, estas leyes ayudan a simplificar el problema 
que se estS tratando de resolver.
Con este fin presentamos a continuación una LISTA ADICIO 
NAL DE EQUIVALENCIAS LOGICAS muy GUI:
Introducción al Análisis Matemático
1A. p ♦ q = (' p) vq , 2A. p + q = ( -uq) + (t p)
3A. p ' (p v q) = p , 4A. p v (p * q) = P
5A. p q s (p -* q) « (q *• p) .
6A. p q E (p » q) v [(^ p) - ( 'v-q)] .
PROBLEMA.- Simplificar las siguientes expresiones utilizando las Leyes 
del Algebra Proposicional 6 la LISTA ADICIONAL :
a) ' [ ’•(p-q) ♦ ’■q) v q
b) [((^p) - q ) + (r - '»-r )] - *tq
SOLUCION.- a) ■». [*»« (p q) ♦ “»-q ] v q
= ''-['»'(Mp - q)) v ■»> q ] v q 1A.
= ^[(p - q) v ^ q ] v q tía.
= [t(p ~ q) ~ q)] v q 9a.
: t(1'P “ 'q) * q] V q 9b.
= q v [ q - (tp v ^q) 2a, 2b.
5 q 4A.
b) [((^p) - q ) * (r - 'l-r )] - tq
= [((^p) « q ) * F ] « " > . q 7b.
= [('»•(('>. p) - q )) v F ] - -»-q 1A.
= [(p v '»-q) v F ] ~ •».q 9b.
= ÍP v ■>. q ) ~ q 5a.
= '»-q 2b, 3a.
PROIILEMA .- Demostrar que la siguiente proposición es una TAUTOLOGIA, u- 
tilizando las LEYES 6 la LISTA ADICIONAL:
[(pv ^ q ) - q] * p
= •t[(p v i q ) ~ q ] v p 1A.
i [Mi» v 'q)] v (^q) v p 9b.
= [t*1- p) - q] V (”'• q) v p 9a.
= [('»' p) - q ] v (p v •»- q ) 2a.
= [(■v-p) ~ q ] y (-v- [(-v-p) - q ] ) 9b.
= V (TAUTULOGIA) 7a.
NOTA Este método es mSs prSctico que el de las tablas de verdad.
PRO bLEM A Determinar si es que las proposiciones (a) y (b) son Equl̂ 
valentes:
Cap.1 Lógica -9-
a) p - (r v -i- q ) , b) (q - * p ) » (( ̂ r) * (tp)) .
SOLUCION.- METODO 1 Debemos verificar que las tablas de verdad de (a)
y (b) son idénticas :
íA íaíajixu
METODO Z Simplificando: a) p ♦ (r v •v-q) = (^p) v (r v 'tq) ..(1)
b) (q ■* tp) v r -*• ■'-p)
= t(^q) v (■'-p)] v ^r) v -»-p]
= ( ^q) v (^p) v (r v ~ p)
= ('‘-q) v [(^ p) v (^p)] v r
= (^q) v (^p) v r = (tp) v (r v -̂q) ..(Z)
y siendo (1) y (2) Iguales, entonces (a) = (b) .
PROBLEMA .■ Hallar el valor verltatlvo de la proposición:
t(p ♦ «l) r ] — ► [ p (q «-► r)] .. (o)
sabiendo que [(p ■* q) * r ] *- [ p ♦ (q ♦ r)] es FALSO .
SOLUCION.- Del dato se tiene que solo puede ocurrir (a) 6 (b) :
a) (p - q) * r : V y p ♦ (q ■* r) : F
b) (p - q) - r : F y p ■* (q ■* r) : V
De (a): p ♦ (q ■* r) : F entonces p) v (■'•q) v r : F- ,
de lo cual: ^ p , •*. q , r : F , y por lo tanto, p, q : V y r : F
(*)
pero (p -* q) ■* r : V abiuAjlo, pues por (*) (p ■» q) ■* r : F.
Luego, (a) no se cumple, de modo que solamente se cumple (b), del cual: 
p - * q : V y r : F , d e donde puede ocurrir que:
bl) p. q : V , r : F entonces p -* (q ■» r) : F (abíuAdo)
10- Introducción al Análisis Matemático
b2) p, q : F , r : F entonces p -»■ (q ■» r) : V
b3) p : F , q : V , r : F entonces p * (q -* r) : V
así vemos que para b2 y b3 la proposicifin (a) resulta VERDADERA.
NOTA.- MSs aOn, se puede comprobar que (a) es una TAUTOLOGIA, mediante la 
tabla de verdad.
SERIE i)E EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Demostrar las Leyes del Algebra de Proposiciones.
2. Demostrar las proposiciones de la LISTA ADICIONAL.
3. Demostrar que las siguientes Condicionales son IMP! ICACIONES LOGICAS:
a) P = > P
b) [(p - q) - (q - r)] (p - r) (TRANSITIVIDAD)
c) -v,p = » (p ♦ q)
d) [(p - q) - '»•q ] ==> ^ p ; 9) (p - q) = * (p v q)
e) P ==* (p v q) h) (p - q) ==> (p ♦♦ q)
f) (p - q) ==* p i) (p --*■ q) =•■ (p ♦ q)
4. FVmostrar que son EQUIVALENCIAS LOGICAS las bicondicionales siguientes:
a) (p -* q) e= > (tp) v q
b) (p --•* q) < = » (p + q) - (q - P)
c) (p - q) v i? < = > P d) (p v
e) %(p * q) «==> [ p * ' q ]
Demostrar que: a) M p + q) = p ̂( tq)
b) F-»p = V ; p -*• F = t p ; p -*■ V s V
O (p + q) = [(p v q) ♦+ q ]
d) (p ♦ q) = [(p ~ q) ♦+ q ]
6. Dadas las proposiciones I) M p ~ q) "*♦ [ p v ^q ]
II) -x-(p + q) -n- [ p v -iq ]
III) M p ♦+ q) ♦♦ Í^P *-*■ ^q) . 
indicar cuSl (es) es (son) una CONTRADICCION (F) .
7. ¿La proposiciCn M p -► q) - (q ♦ ^r) es equivalente a cuSl (es)
de las siguientes proposiciones 7 :
a) p - (p v ^rl-l-tq) b) p ~ ( t.q) ~ [> (q - r)]
c) (p - -v-q) v [(p - i r) - ‘‘•q ] .
8. ¿ Alguna de las siguientes proposiciones es una Tautología 7 :
Cap.1 Lógica
a) i [(t (p v q)) ■* <1 ] ♦♦ (p * q)
b) ''-[(■'•p) — ► q ] *— (p q)
c) t {(p ~ q) v [ p - ( -»-p v q ) ] > *-* (p + ■».q )
9. Simplificar: [(^ p) « q ■* (r ~ r )] ~ (^q) .
10. Simplificar: [( ̂ q ♦ ■»•?)♦ (^p ♦ q )] * (p ~ q)
11. ¿De las siguientes proposiciones cuSles son Equivalentes entre sT ? :
a) Es necesario que Juan no estudie en la UNI para que Luis viva en el 
RTmac.
b) No es cierto que Luis viva en el RTmac y que Juan estudie en la UNI.
c) Luis no vive en el RTmac y Juan no estudia en la UNI.
12. ¿CuSles de las siguientes proposiciones son Tautologías? :
a) [(p v tq) - q ] -* p ; b) [(p - q) v q ] *+ q
c) [{*̂ p) ̂ (q v ■». r )] ♦+ [(q - ■». p) v M p v r)]
13. De la falsedad de: (p -*■ ^q) v ( "Mr s ) , deducir el valor de
verdad de :
a) [ vp ~ -wj ] v (■». q)
b) [(^ r v q) ~ q ] <-► [( '»-q v r) - s ]
c) lp *r) ♦ [(pvq) »■iq]
14. Si se sabe que (p » qí y (q ♦ t) son Falsas, ¿cuSles de las s±
guientes proposiciones son Verdaderas ? :
a) ( t p v t j v s ; b) •''[p~('''qv'»«p)]
c) [(■»>?) v (q ~ -»-t)] ♦+ [(p + q) « ■>. (q - t)]
15. ¿CuSl (es) de las siguientes proposiciones es equivalente a : “ Ei nece
tatúo paga* I/. 5 D00 y ttA mít joven pana ¿ngH&taK al baitt * ? ,
a) No Ingresar al baile o pagar I/. 5 000 , y ser mis joven.
I b) Pagar I/. 5 000 o ser mis joven , y no ingresar al baile.
I c) PagarI/. 5 000 y ser mSs joven o no ingresar al baile.
16. Si la pro?osici6n: (q ~ •>. p) [lp <■> r) v t ] es Falsa, hallar el
valor de verdad le:
a) '»-[('k'P v ■»> q) -*■ (r v ^t)]
b) (t q « '»-r) v [(^ t) - (p v q)]
c) (^p - t ) + (■'• q + r )
17. Demostrar que las tres proposiciones siguientes son Equivalentes :
a) ■». [(q v •>. p ) v ( q ~ t r v i . p l ) ]
t
12- Lóqica
b) (p - -x-q) » v (p v % r) )
c) ~ C(~q) - (^p)3 - [ q - ^(p * r)]
18.- La proposiclfin (p v q) ♦-* (r ~ s) es verdadera. Teniendo r y s va 
lores de verdad opuestos, ¿ cujíes son verdaderas? :
a) [(tp ~ ^q) v (r ~ s)] ~ p es Verdadera.
b) [ M p v q) » (r v s)] v t^p - q) es Falsa.
c) [(•'•r ~ •».s) < (pv r)] « i/(r ~ s) es Verdadera.
19. ¿CuSles son EQUIVALENCIAS LOGICAS ? :
a) t(q ♦ •'•p) « lq»p)
b) [('»'P « '»< q) v i<q ] ♦♦ •>. [(p v q) « q ]
c) -t(p * q) *-* [(pvq)» i q ]
20. SI p * q se define por (*».p ~ i<q) , entonces M p *-► q) ¿a
cuSl es equivalente 7 :
a) [(^p)t q ] v Iq *p) . b) [(•». p) + q ] v [(i. q) + p ]
c) [(•'■p) + (~ q)D v (p + q)
21. ¿CuSles de las siguientes proposiciones:
a) i/(p - <tq - ^r) b) (p ̂ ^ q) v r
c) (r v q) ~ o. ( <tr ~ q) . d) ( i-p) v q v r
son equivalentes a: (p ■* q) ■* r ? .
22. Si p + q significa * ni p y ni q * , ¿cuáles de las siguientes
proposiciones son TAUTOLOGÍA!" 7 :
a) {p + q) + (q + p) *-»■ (p - q) . b) M p - q) (p + q)
c) (p + q) ** M p v q) .
23. ¿CuSntas F y cuántas V tiene el resultado de la tabla de verdad de
“x-[(p ~ q) ■* ^r ] ~ (s v *'<s) después de simplificarla 7 .
24. Dada la proposición
z : [ÍP * q) * (P v (q * r))] * l q * (p»r)] ,
a) Indicar valores de p y r tales que si q es F entonces z es F .
b) Indicar valores de p y r tales que si q es V entonces z es V .
25. Escribir la negacSOn de cada una de las proposiciones siguientes:
a) El no es rico, pero es feliz.
b) El no es pobre ni es feliz.
c) El es bajo pero Sgll.
d) Ni Juan ni Carlos viajarán a Huaraz a fin de mes.
Cap.1 Lógica -13-
e) El tiene un compSs o una regla.
f) Ambos equipos Alianza y la U IrSn a la Copa Libertadores.
g) SI Juan llega a tiempo con los documentos, entonces ambos Carlos y
Pedro podrSn Inscribirse en la Universidad.
26. Si p, q, r, s, t, w son proposiciones tales que
a) (p ~ t rJL ** (s ■* w) es verdadera,
b) (i-w ♦ *»-s) es falsa
hallar el valor de vendad de las siguientes proposiciones:
c) (p * q) v r v s d) (s -*-» ■* (r v ■'•p)
e) [ t ■* (w v o. p)] - <l(p ■* r)
RPTA: w : F , s : V , r : V , p : F , d e donde (c) y (d)
son verdaderas, mientras que (e) es falsa.
27. Expresar la siguiente proposici6n compuesta de otra forma, utilizando
Gnlcarente los símbolos •>< y + : (p«q) v (rvs) .
r.PTA: (p ■* -tq) •* [{ -tr) ■* s ] .
28. Simplificar la expresión:
V» > /í - -8 < 0 - J2. > V k v [ 1/ ̂ < 1//2 +- 8 > 0 ] .
29. S'n usar tabeas de verdad determinar si las siguientes proposiciones
son Ifiglcamente equivalentes entre sT :
[('*) * ('''*)] v [ t + {•»- w)] y m * [(^ t) v s ].
1.5 RAZONAMIENTO LOGICO. ARGUMENTOS VALIDOS
Un ARGUMENTO LOGICO (6 simplemente un ARGUMEN 
TO) es una condicional de la forma:
ÍPj ~ p2 - ... - pk) - q (*)
donde las proposiciones Pj. p2......p^ son Humadas PREMISAS, y
originan como consecuencia otra proposición q llamada CONCLUSION.
A) El Argumento (*) recibe el nombre de ARGUMENTO VALIDO si dicha condi­
cional es una TAUTOLOGIA. Es decir, si
(Pj A ^ •" ~ P|̂) ~ 9
B) Si el Argumento (*) es FALSO, entonces se tiene la llamada FALACIA.
TEOREMA SI el Argumento (*) es VALIDO, y las premisas Pj, p2. ... ,
Pj, , son verdaderas entonces la CONCLUSION q es correcta (V).
14- Introducción al Análisis Matemático
PRUEBA.- Siendo el argumento vílldo entonces la condicional (*) es una
TAUTOLOGIA (V), en la que (Pj - p2 - ... *■ p̂ ) es verdade 
ra (V), pues cada p^ lo es, de donde la única posibilidad para q es que 
sea verdadera (pues si fuese FALSA, la condicional (*) serla falsa y el ar 
guinento (*) no serta VALIDO).
OBaERVACION Un argumento no se modifica si es que una o varias de las
proposiciones p̂ , p2> ... , p^ , q se reemplaza por 
otra u otras que sean EQUIVALENTES.
NOTACION Un arguirvnto Pj ~ p2 ~ ... ~ p̂ * q también se de
nota en la forma:
Pl
f>2
f>k
q
PROBLEMA.- Demostrar que el siguiente argurento es VALIDO : p
p - q
q
SOLUCION.- Por deflnicISn, se debe demostrar que la condicional 
[ p (p ■* q)] ♦ q es siempre verdadera (V) :
i i- [ p - (p - q)] v q = ^ [ p - ( i - p v q ) ] v q 
i ■v[(p»i.p)v(p.q)]vq = F v (p - q)] v q
= ’•t p *q ] » q = ('p v '■ql v q
= (’-P) V ( 4 V q) s -op v V 5 V (TAUTOLOGIA).
EJEMPLO.- En un Ejercicio propuesto se presente la propiedad TRANSITIVA: 
(p ■* q) ■» (q ■* r) ==> (p ♦ r) . Por lo tanto, el sigui­
ente argumento es VALIDO : P ♦ q
q ♦ r 
P * r
PROBLEMA.- Para cada conjunto dado de premisas, encontrar una CONCLUSION 
adecuada de manera que el argumento sea VALIDO :
a) p -► -w) , r -► q ; b) p -► M) , r -► p , q .
Cap.1 Lógica -15-
SOLUCION.- De las implicaciones conocidas vemos que en :
a) SI r ■* q la reemplazaras por su equivalente (^q ■* ^ r) entonces 
se obtiene que. por la propleoad TRANSITIVA :
(p ♦ ^q) - ('»•q * ^ r) = > (p ■* i-r) .
b) Análogamente, por corarjtatlvidad se tiene que:
= [(r ■* p) -> (p ■* ~ q)] - q = » (r ■» ^q) - q 
= q - (q -► >x,r) = > i«r , por el problema anterior.
En resumen, s han halladc las siguientes conclusiones correctas para:
a) p ■* •»« r , b) ^r .
METODOS DE DEMOSTRACION
Cu indo se demuestra que un argumento en la 
forma Pj ~ P2 ~ ~ P̂ ■* q •• (I)
es una ‘' OTOLOGIA, se dice que se ha empleado un METODO DIRECTO DE DEMOSTRA­
CION.
SI ahora consideramos la negad6n de la conclusICn q y de alguna de las 
premisas Pj , p2 , ... pk , digamos de pk , y se forma el argumento
[ÍPj ~ P2 ~ ••• ^ Pk_j ) '■ ( * ’*'Pfc (JI)
veremos que este Gltlmo argumento (II) es equivalente a (I) :
(II) s -».[(pj « p2 ~ ... - pk_j ) - ^ q ] v (~ pk)
= [^(Pj - P2 - ... - P|j_j ) v ~(~q)3 v (^Pk)
= ̂ (pj - ... - pk_j) v (~pk) v q 5 -o(p1 * ... - pjj . pk) v q
— (Pj * ... A Pk) ■* Q .. (I)
DEFINICION.- Cuando ¿e de¿ea demoitXM la validjr di (I) mando ¿u {ofuna 
equivalente (II) ¿e dice que ¿t ¿¿tí empleando el METODO 
INDIRECTO 6 METODO POR REDUCCION AL ABSURDO. Note, que e¿te 
mltodo coniiite. en conildeAaA. ahofia como una pA.en¿ia a la negaciSn de ta con 
cluiiSn, e¿ decJiH. a (a. q) y tuaXa de ln¿exiA. (viudamente) ta nega-
ciSn de alguna de tai pnemiiai (en el cooo antejiion, te tnatl de ¿niefUA.:
* pk ) coniideAando tai demSi puopoticlonei veJidadenai.
PROBLEMA.- Verifique la validez de ]os siguientes argumentos. Usar prime­
ro un m&todo directo y luego un nEtodo Indirecto.
-16- Introducción al Análisis Matemático
a) p ■* q b) q ■* p
r -> *>»q q v s
P
SOLUCION.- METODO DIRECTO :
a) (p * q) - (r ■» •»- q) ♦ (p -► ^r)
= (p -» q) « (q -» r) ■* (p ♦ ^ r) = V , por la propiedad
TRANSITIVA.
t>) (q ♦ p) * |q » s) - (*»-*) * p = (^q v p) - (q * ^s) - p
= (p ~ q ~ s) -» p = M q ~ (•». s) ~ d) v p
= <x, (q ~ o. s) v (■v p) » p = i- (q ^ i. s) v V s V
METODO INDIRECTO . #j Demostraremos la validez de: p ■* q
M p ■* o.r)
M r ■* ^q)
= (p ♦ q) '*• (p ■* 'L r) ■* 'x* (r -* ^ q)
= ^ (p ■* q) v (p ■* •»< r) v •»« (r ■* •»« q)
= % [(p •> q) > (r % q)] v (p -» % r)
= ^ [(p * q) » (q ♦ ^ r)] v (p * ^ r)
= (p ■* q) * (q ■* '*,r) -*■ (p i- r) = V (TAUTOLOGIA)
b) Demostraremos que la siguiente condicional es una Tautología:
[(q * p) - (~p) - (~ s)] - M q ’v s)
= [(tq v p) ~ (t p) ~ (^s)] -► * (q v s)
= [[(-x-q « * p) v (p - i-p)] - (i-s)] * •». (q v s)
= [[(^ q - ^ p ) v F] ^ i-s ] ■* ^ (q v s)
5 ('X/q)~(^p)~('ts)+''<(qvs) = ' ( q v p v s ) - * '(qvs)
= q v p v s v M q v s) = p v [(q v s) v M q v s)] = p v V = V .
PROBLEMA DE APLICACION.- Sea n un entero positivo. Demostrar que:
si nz es par, entonces n es par .
SOLUCION.- Sean p : n2 es par , q : n es par . Se desea demos
trar que: p = » q , pero en fomto Indirecta por REDUC­
CION AL ABSURDO, es decir, demostraremos que: (•»« q) =^* (•»■p) , para lo
cual, aitwUmoicomo PREMISA a ¿a. NEGACION de q :
(a. q) : n es Impar
Cap.1 Lógica -17
entonces n - 2k + 1 para algún entero k i 0 . y por lo tanto : 
n2 - 4k2 + 4k ♦ 1 - 2(2k2 ♦ 2k) ♦ 1 - 2 kj + 1 .
donde k| > 2k2 ♦ 2k es un entero . lo que Indica que n2 es IMPAR .
Asi, hemos llegado a Inferir la NEGACION de p :
•»< p n2 es Impar , con lo cual el problema queda resuelto.
PROBLEMA DE APLICACION Demostrar que no existe nlngGn número racio­
nal q “ — , n , n enteros prlros enn
tre si (es decir, que no tienen factores enteros comunes, excepto el 1) , 
tal que: q2 ■ 2 . (0 equivalentemente, que Jz no e¿ nacional).
SOLUCION Supongamos que (lo contrario) la negaclfin de la tesis se
cumplr, es decir, que q2 ■ 2 , para algún racional q
tal que q - 5 , con n t n enteros primos entre si . Entonces ,
n
q2 ■ 2 =*► (m/n’2 - 2 = > (*) m2 « 2n2 = > m2 es par
«i también es par (por el problema anterior) • 2kj , pa 
ra algún entero kj = * en ( •) . 4k2 « 2n2
= > n2 es par n es par (por el problema anterior)
n - 2kz > para algún k2 entero ; resultando asi que 
m y n tienen al número 2 cono factor común, cont/uuUtUejido (negando) la 
hlpfitesls acerca de m y n de no tener factores co.,tunes distintos de 1 .
SERIE DE EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Verifique la validez de los siguientes Argumentos:
a) p - q b) p « (p * q) d) r + tq
**-P -» q (p » q) ♦ r p + q
r ■* s i-r -» s
s p ■* s
(p ~ q) * (r - s) d) p
(t q) v (* s) (•*. p v •*•$)-► [( *»<p) » (^r)]
p) v (■»< q) s
SUG: Algunos se prueban mejor por el m&todo indirecto.
Sea n un número itero. Demostrar que si n2 es múltiplo de 3 , en­
tonces n también es múltiplo de 3 .
-18- Introducción al Análisis Matemático
SUG: n no múltiplo de 3 equivale a que n ■ 3k+l 6 n • 3k + 2, para
k entero, y en ambos casos resulta que n2 no es mGltlplo de 3 .
3. Sea n un entero, demostrar que si n es múltiplo de 5 entonces n es
múltiplo de 5 .
4. Sea n un entero, den>ostrar que si n es mOltlplo de 6 entonces n es
.núltiplo de 6 .
SUG: m es múltiplo de 6 si y solo si m es múltiplo de 2 y múltiplo
de 3 a la vez.
5. Sea n un entero, demostrar que si n3 es múltiplo de 2 entonces n es 
múltiplo de 2 .
6. Demostrar que no existe ningún número racional q tal que q2 ■ 3 .
7. Derostrar que no existe ningún número racional q tal que q3 • 2 .
CLAVE DE RESPUESTAS (SERIE DE LA PAG. 10)
6. III , 7. Todas , , 8. Solamente (c) , 9. •».q ,
10. i/q . 11. Solo (a) y (b) , 12. Todos , 13. a) F. b) F ,
13. c) V , 14. Todas . 15. Solo (c) , 16. a) F, b) V, c) V ,
18. Solo (c) , 19. Solo (b) y (c) , 20. Solo (b) , 21. Solo (b),
22. Solo (a) y (c) , 23. IV y 7F , 24. a) p , r : V , b) p, r: V
25. a) El es rico o no es feliz.
b) El es pobre o es feliz.
c) El no es bajo o no es Sgll.
d) Al menos uno Juan o Carlos viajarSn a Pitra a fin de mes.
e) El no tiene ni un compís ni una regla.
f) Al menos uno de los ecuipos Alianza o la U no IrS a la Copa Liber­
tadores.
g) Juan no llegarS a tiempo con los documentos y en tal caso, al menos 
uno Carlos o Pedro no podrí Inscribirse en la Universidad.
28. V , 29. SI son Lógicamente Equivalentes.
- 19 -
2 Conjuntos
1 CONJUNTOS Y CUANTIFICADORES
Se entiende por CONJUNTO a una colección, agrupa 
c16n o reunión de objetos o ELEMENTOS , y que puede ser determlnadc ya sea 
por EXTENSION : cuando sus elementos estSn Indicados explícitamente entre
llaves, o por COMPRENSION : cuando existe una oropledad o condición que 
es común a todos estos elementos, de tal manera que al considerar cualquier 
objeto existente se pueda establecer sin ambigüedad si es o no elerento de 
tal crlecclón.
NOTACION Para representar a los conjuntos generalmente se utilizan le 
tras mayúsculas A, B, X, etc. y para representar a sus e-
lementos se usan letras minúsculas a. b, x. etc. Si el conjunto A con­
siste de los elementos 1, 3, 5, 7, se puede representar :
a) Por extensión : A » {1, 3, 5, 7 }
b) Por comprensión: A » (x/ (x - 1) (x - 3) (x - 5)(x - 7) » 0 }
6 sino A « { x : (x - l)(x - 3){x - 5){x - 7) * 0 }
y se lee " A es Igual al conjunto de los x tales que
(x — l)(x — 3l(x - 5){x — 7) - 0 ."
Si un objeto x es elemento de un conjunto A se dice que " x PERTENECE al
conjunto A " 6 que " x ESTÁ en el conjunto A " , y se denota x c A . 
En casb contrario, se denotarS x A . En el caso del conjunto A que 
acabamos de presentar: 7 c A , pero 4 i A .
Es Importante saber que un conjunto mismo puede ser también 
elemento de algún otro conjunto. Por ejemplo, si A « { { 0 } , { 2 } , { 6 } }
y B ■ { 0 } , entonces 0 e B , B c A y 0 A .
CONJUNTOS NUMERICOS r.ARACTERISTICOS
|N * { 1, 2, 3, ... > (naturales); Z “ l.» -2, -1, 0, 1, 2, .. } enteros
Q ■ { -jj- : m, n e Z , n ¿ 0 } (racionales) ;
I - { x / x tiene represent, decimal Infinita no periódica } Irracionales
R * G U I (números regles)
-20- Introducción al Análisis Matemático
C - { x + ¿y / x, y e R } donde i ■ /-I (nOmeros complejos)
Z+ - { Enteros Positivos } ■ { 1. 2. 3, ... }
Z~* { Enteros Negativos } * { ... , -3, -2, -1 }
Z+ - Z + U (0} • { 0. 1, 2. 3. ... }
- Z' U {0} - { .... -3. -2. -1. 0 }
Análogamente se tiene Q , R . Q . I . R . Qq . Qq . Iq . Iq . 1^ . 1^ •
INTERVALOS
A) INTERVALO CERRADO . [a. b] - { x e R / a < x < b } donde
st se Incluyen los extremos a y b .
B) INTERVALO ABIERTO . <a, b> - { x e R / a < x < b } donde
no se Incluyen los extremos i ni b.
C) INTERVALOS SEMI ABIERTOS : [a. b> « { x e R / a < x < b }
<a, b] ■ í x t R / a < x < b }
[a. b]
a
<». b>
b R
a
[a. b>
b R
a
<a. b]
b R
a b R
RAYOS : <*. »> - { x c R / x > a }
[». "> - { X E R 
<a.
/
” >
x > a }
m
a
[a. ->
R
a R
Qap.2 Conjuntos -21-
e) x e R / x < b } , ( - » . b ] » ( * t í / x < b }
o----------------------
b R
____________ <--.b] _____________________
b R
NOTACION R » >
NOTA [a, b ] - { a } U <a. b > U {b } .
CUANTÍFICADORES : EXISTENCIA!. Y UNIVERSAL
Aquí presentamos dos nuevas proposicio­
nes relacionadas con ciertas expresiones p(x) a las que se les denomina
FUNCIONES PtOPOSICIONALES, y que se convierten en pnopo¿lc¿one¿ ¿Sg¿a~i cuan
do la variable x toma un valor en particular.
EJEMPLOS DE FUNCIONFS PROPOSICIONALES : p(x) : x ♦ 1 - 2
q(x) : x es estudiante de la UNI
Note que: si x ■ 1 , p(x) es verdadera .
s1 x - 2 , p(x) es falsa
y si en q(x) Ud. amigo lector, reemplaza x por su nombre, enton­
ces q(x) resulta una proposición 16c lea.
Para los conjuntos A ■ { 1. 2, 3, ... } , B ■ { 3, 6, 9, ... } , y
las funciones proposlclonales
p(x) : x es un nOmero natural par
q(x) : x es un nOmero negativo
r(x) : x es un mGItlplo entero de 3 ,
se tiene que la proposición:
■ EXISTE (por lo menos) UN ELEMENTO x c A TAL QUE p(x) ES CIERTO " .
simbolizada por " 3 x c A / p(x) * , m ulta VEÍWAVIKÁ púa tal
x e A puede ser x ■ 4 ; mientras que la proposición:
* EXISTE (por lo menos) UN ELEMENTO x e A TAL QUE q(x) ES CIERTO " ,
simbolizada por “ 3 x c A / q(x) ■ , Keiutta FALSA putu ningún
elemento x de A ti negativo.
Para el conjunto B ■ {3, 6, 9, ... } , li proposición:
■ PARA TODO x e B , r(x) se cumple * = " ¥ x c B , r(x) * ,
-22-
KUutXa VEKDHDIRA . como se puede verificar directamente, pues todo elemen­
to de B es mGltiplo entero de 3 ; mientras que la proposición:
* IARA TODO x e B , p(x) se cumple " = * ¥ x c B , p(x) "
e¿ FALSA , pues no todo elemento de B es par (ya que existe en B al menos
el número 3 que no es par. además de 9, 15. 21, etc., claro).
OTRA NOTACION .- [ ¥ x c B . r(x) ] = [ ¥ x e B : r(x) ] .
A los símbolos 3 y V se les llama CUANTIFICADOR EXISTENCIAL 
y CUANTIFICADOR UNIVERSAL, respectivamente.
NEGACION CON CUANTIFICAD-iRES Negar el hecho que exista un x en
A tal que p(x) se rump>la, equivale 
a afirmar que ningGn elemento x de A satisface la condición p(x) , es de 
clr que: pam todo x en A, M S B CUMPLE p(x) . Simbólicamente,
■»- [ 3 X E A / p(x) ] = ¥ x E A , 1- p(x) .
Análogamente, se puede demostrar de lo anterior tsue:
i- [ ¥ x t A , p(x) ] = 3 x e A / *»> p(x) .
EJEMPLO.- Indicar el valor de verdad de las siguientes preposicionespara 
el conjunto Z+ “ { 1, 2, 3, } y negarlas simbólicamente:
a) ¥ x e Z* , x2 -6x + 5 » 0 , b) 3 x e Z* / x2 -6x + 5 ■ 0 .
SOLUCION.- Como la ecuaciGn dada x2 -6x + 5 ■ 0 ■ (x-l)(x-5) tiene las
soluciones x ■ 1 , x - 5 , ambas en Z* , entonces
(a) es FALSA, pues para que sea verdadera, la ecuaciGn deberTa cumplirse 
pcma todoi toi ínteAOi poiitivoi de Z+ y eso no es cierto pues sola­
mente se cumple para x ■ 1 y x ■ 5 .
(b) es VERDADERA, pues existen hasta dos soluciones x » 1 y x » 5 en 
Z + , y solo hubiese bastado con una de las soluciones.
Las negaciones correspondientes son :
a) M ¥ x e Z + . x2 - 6x ♦ 5 * 0 ) 5 3 x e Z* / t (x2 - 6x + 5 - 0 )
= 3 x e Z+ / x2 - 6x + 5 t 0 .
la cual es VERDAOERA, pues tGmese x * 2 e I* en particular.
b) M 3 x e Z+ / x2 - 6x + 5 * D ) = ¥ x e Z * , M x 2 - 6x + 5 « 0 )
5 ¥ x e 1+ . x2 - 6x + 5 f 0 ,
la cual es FALSA, pues para x • 1 : x2 - 6x + 5 si es Igual a 0 .
PROBLEMA.- Simplificar y negar la siguí snte proposición compuesta:
" Todos los números enteros son Impares y existen números reales Irraciona­
les, si existe algún nSmero entero par; sí, y solo si, hay algún número 
real Irracional o cualquier número ertero es un número Impar, si cada nú­
mero real es un número racional " .
SOLUCION.- Denotamos por: p : V x c Z , x es Impar
q: l u í / x es Irracional
y vemos que p ; ^ x c Z / x es par
q : ¥ x c IR , x es racional 
asi, la proposición original se puede expresar como 
[(p - q) ♦ p ] *-*■ [(q v p) ♦ -tq ] 
y que al simplificar se obtiene:
= [ P » (p * q)] ♦+ (q v q v p) = p « pv q
= [ P + (P v q)] » [(q v p) + p ]
= [(^p) v (p v q)] * [( 'q * 'p) v p ] = » » [ V » (p v tq)]
= p v ( tq)
de donde tenemos que la negación corresponde a: ( *»<p) q , cuya traduc­
ción es: * Bx-iitín númeAOi entvwi xuiti y exiittn núme/un Ktalu h í ú .
nal&i “ .
PROBLEMA .- Sea A - { 1, 2, 3 } , determinar el valor de verdad de ca
da una de las proposiciones siguientes, asi como Indicar sus 
negaciones :
Cap.2 __________________________________________________ Conjuntos_ ~ 23 -
a) ¥ x c A , ¥ y c H , x2 * 3y < 12
b) ¥ i c . A , J i y c A / x2 + 3y < 12
c) 3 x c A / ¥ y c A , x2 ♦ 3y < lz
d) 3 x t A / 3 y c A / x2 ♦ 3y < 12
SOLUCION.- ■»- [ x2 ♦ 3y < 12 ] 5 [ *2 +
a) F , b) F , c) V , d) V -
Las negaciones correspondientes son:
a) 3 x e A / nt[ •¥ y e A , x2 ♦ 3y
= 3 x e A / 3 y e A / x2 + 3y >
b) 3 x e A / ¥ 0 e A, x2 ♦ 3y > 12
c) ¥ x c A, 3 j e A / x2 *3 > 12
d) ¥ x c . A , ¥ y c . A , x2 + 3y > 12
luego
-24-
SER1E DE EJERCICIOS PROPUESTOS (2.1)
1. Negar las siguientes proposiciones, para el conjunto Z :
a) ¥ x e Z , x + 1 > x ; b) 3 x e Z / x2 + l » 0
c) 3 x e Z / x2 « x ; d) V x e Z , x2 - 1 > 0
2. Determinar el valor de verdad de cada una de las proposiciones, didas en 
el problena anterior (1).
3. Negar las siguientes proposiciones:
a) V x e A, } s e * / [ * qU) ]
b) 3 x e A / 3 j e B / p(x) - q(jí)
c) 3- * e C / ¥ y e B . p(x) v i. q(y)
4. Demostrar que
■>.[ ¥ x t A , p(x) - q(x) ] = 3 x e A / p(x) - tq(x) .
5. Negar cada una 4e las siguientes propos 1 clone.'
a) V x e A , J j e B / ¥ z e C . p(x,y,z)
b) 3 x i A / 3 í £ I / t p(*) * ]
c) [ 3 II e A / Jli p(y) ] - ¥ x e A , q(x) v r(x) .
d) Todos los americanos citSn locos.
e) Hay al meros una persona que es feliz todo el tiempo.
f) Todos los hombres son hor?atos o algún hombre es un ladrSn.
g) SI el nGmero x es menor que 12 , entonces hay un número real y 
tal que x2 * y2 - 144 e¿ positivo.
6. Demostrar que la afirmación: " Para todo enteru positivo n , la expre
slfin n2 - n + 41 siempre es un nGmero primo ", es falsa con un con­
trae jempl o.
7. Indicar la verdad o falsedad de
a) V x e R. , V y c P. , (-tf)(-x) - xy * xy > 0
b) 3 x e R / (-l)(x) » 0 , c) ¥ x c R , x2/x « x .
8. Dado M - { 1, 2, 3, 4, 5 } , ¿cuSles son verdaderas? :
a) 3 x e M / x ♦ 3 < 10 ; b) ¥ x e M , 3 y t M/ x*y < 7
c) - V x e M , x + 3 < 8 ; d) 3 x e M / x+3 > 6.
9. Dadas las p-oposlclones:
a) [ 3 x e W / x + 2 « 5 ] ■* [ •¥ x e W , x2 > x ]
b) [ V a e Z , - 8 < 0 ] v [ 3 x e Z / -x - x ]
c) 3 x e IR / /-x e R .
Cap. 2 Conjuntos - 25
¿cuáles son los valores de verdad de sus negaciones en ese orden?
10. ¿Cuál de las siguientes proposiciones corresponde a la negación de :
* Para todo entero r , existe un entero a tal que si (ar) es par, 
entonces (a + l)r es par * ?:
a) 3 r e Z / ¥ a e Z , a r y (a + l)r son impares
b) 3 r c Z / ¥ a c Z , a r e s Impar y (a + l)r es par
c) 3 r e Z / ¥ a c Z , a r e s par y (a ♦ l)r es Impar
d) 3 r c Z / ¥ a c Z , a r e s Impar o (a + l)r es par.
11. ¿Cuál de las siguientes proposiciones sobre Q (racionales) correspo£
de a la negación de: * Para todo nOmero racional r existe un nGmero
entero p tal que p < r < p * 1 ? :
a) 3 r t Q / ¥ p e Z . p+1 > p > r
b) 3 r e Q / ¥ p e Z , p < p+1 < r
c) 3 » " e Q / ¥ p E Z , p £ r v p + 1 < r
d) 3 r e Q / V p t Z , p > r v p + 1 < r .
2 SUBCONJUNTOS
Se dice que un conjunto A es un SUBC0NJUNT0 de un
conjunto B , 6 que A a t i ¿nttuZdo en B , si todo elemento de A es tan-
blCn elemento del conjunto B , denotándose en tal caso: A c B . Ver
la Figura 1 en la página siguiente. Es decir, simbólicamente,
A c B «— *• [ ¥ x e A . x c A -=■»• x c B ]
Esta deflnlclSn simbólica Indica el canino a seguir cuando se desea «taños - 
trar que A c B . De la definición se sigue que es suficiente que un 
elemento del conjunto A no esté en B para que A no tta iubconjunto dt B ; 
en tal caso se denota A <$. B .
En el caso en que A c B , si B tuviese uno 6 más 
elementos que no pertenecen al conjunto A , entonces se dice que A ES UN 
SUBC0NJUNT0 PROPIO DE B .
EJEMPLO 1 SI A » { 2, 4 } y B * { 1, 2, 3, 4 ) entonces A c B , 
pues por simple Inspección vemos que todo elemento de A es tambICn elemen­
to de B .
EJEMPLO 2 Para cualquier conjunto A se tiene A C A , pues ¥ x c A .
la ¿mpLLcacidn x c A = > x c A es VERDADERA. [ ya que p = > p es
-26- Introducción al Análisis Matemático
una TAUTOLOGIA ]. 
A c B A 4 B A 4 B
lo elemento.
Conjunto Vacío o Nulo Es aquel conjunto que no tiene ningCn elemen 
to. Se le denota por .y es tí Incluido
en cualquier conjunto, es decir,
♦ c A , paAa todo conjunto A .
CoNJLN'm JNIVERSAL Denotado por O , es aquel conjunto que contiene
a todos los elementos que se estSn considerando 
en un estudio o contexto particular.
EJEMPLO___3 SI A ■ {2 } y B» {{2 }} , entonces las proposiciones
1) 2 t A 2) A e B 3) {2} ¿ A
4) 2 t B 5 ) A £ B 6) A f B
son todas verdaderas.
EJEMPLO 4 Demostrar la Propiedad Transitiva de la Inclusifin de Conjun-
tos: A c B - B c C
Se desea probar que: V x e A , x e A
V x e A , x c A = > x e B
X E B » X E C
A c C
= » x e C .
(pues A c B )
(pues B c c ) ,
En efecto.
y por lo tanto, x e A 
las proposiciones lSgicas:
— > x e C por la Propia ■’ad Transitiva de
(p - q) - (q * r) ==> (p + r) .
Demostrar que: ♦ c A , pana r.ualqwLtn. conjunto A .
En efecto, se quiere probar que la ¿mpLLcacLSn :
(x e ♦) =*■ (x e A) es verdadera , pero
EJEMPLO 5
esto es cierto pues el antecedente (x c ♦ ) es FALSA , ya gue el corjunto 
vacio no tiene elementos, y en tal caso la impl1cac16n resulta verdadera.
Cap. 2 Conjuntos -27-
EJEMPLO 6 SI los conjuntos {3a + b-9 , 4a} y { 4 , 5a + 2b }
son unitarios, probar que {6a+ b, 2b + 8a-3 } es unitario.
Siendo unitarios los dos conjuntos, entonces:
3a + b - 9 ■ 4a - 5a + 2b » 4 a ■ -2 y b ■ 7 ,
y con estos valores vemos que { 6a + b , 2b + 8a-3 } » {-5,-5 } * { -5 } 
resultando por lo tanto unitario.
EJIMPLO 7 Demostrar que la proposición A # B es equivalente a de
clr que: ■ Exiite un eJuftnto a e A tal que a i B ■.
SOLUCION: A £ B
a c A
*»<{ a c A 
a e A
a c B) 
= • a c B) 
a i B
= <b(A c B)
= •>-( V a e A.
= 3 a e A /
= 3 a e A /
usando el Ejercicio [5a] , pSg. 10 .
CONJUNTOS IGUALES Dos conjuntos A y B son IGUALES si A c B
y B c A . Es decir,
A - B < = > [ A C B - B c A ]
Por ejemplo, dados los conjuntos A « { I, 2 } , B * { 1, 2, 1 } mediante la Definición previa se demuestra que A » B , pues todo elemento de A
es elemento de B y todo elemento de B es también elemento de A ; por lo
tanto B tizne, ¿clámente do¿ elemento*. Asi que un conjunto no varia si
sus elementos repltentes se consideran una sola vez.
EJEMPLO 8 Sean A - { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } . B - { 2, 4. 6, 8 } , 
C - { 3, 5. 7, 9 } . D - { 3, 4, 5 } y E - { 3, 5 > . 
¿CuSl de estos conjuntos puede ser Igual a X si se dan las siguientes con 
dlclones 7: l ) X c A y X < * C 3 ) X C C y X < Í A
2 ) X C 0 y X < £ B 4 ) X y 6 son dfsjuntos .
RPTA: (1) X puede ser A, B 6 D ; (2) X puede ser D D E ;
-28- Introducci&n al Análisis Matemático
(3) X no puede ser nli.guno ; (4) X puttL ser C 6 E .
3 OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS 
UNI^N DE DOS CONJUNTOS: A U B
Es el conjunto formado por la reu- 
nifin Je todos los elementos de A y por todos los elementos J‘_ B :
A U B ■ ( i £ U / x e A v x e B }
donde “ v " es el conectivo lfigico de disyuiii^Jn, y que se lee " o " .
EJEMPLO K- Dados A • { 1, 3, 5, ... } , B « { 2, 4, 6, ... } entonces
A U B ■ H , puesto que se puede expresar como sigue:
A » { x e W / xes Impar } > B ■ { x e N / xes par }
= * A U B - { x e H / x e s impar o x es par } » K
INTERSECCION DE DOS CONJUNTOS: A n B
Es el conjunto formado por todos 
aquellos elei.entos comunes a ambos conjuntos A y B ; es decir,
A f l B ' t x c ü / x e A « x e B }
donde “ ~ " es el crnertlvo lfiglco de conjanc-iín , y que se lee " y " .
EJEMPLO 2.- Dados A ■ { x e H / xes múltiplo de 3 ) , B > { ieII/
x es múltiplo de 5 } , entontas AflB •{ x e N / xes
múltiplo de 15 } , pues por extensión:
A - { 3, 6, 9, 12, 15, 18, ... } y B - { 5, 10, 15, 20. 25, 30, ... } .
SI la intersección de dos conjuntos A y B es vacía (es
decir, A n B « ♦ ) entom es se dlcc que A y B son D1SJUNT0S .
-üWPLE.tcNT'J D- UN CONJUNTO: A' Ó CA Ó AC .- Es aquel
Formado por todos los elementos del Uni­
verso que no pertenecen al conjunto A :
A‘ • { x e U / x ¿ A } , 6 también A1 » { x e U / t(x c A) }
donde “ *»< “ es el símbolo de la negacifin lógica.
Por ejemplo, si A « , 6] U {8} , A1 ■ < 6, 8 /> U < 8, •»> .
DIFERENCIA DE DOS CONJUNTOS: A - B EstS constituido por los e
Cap. 2 Conjuntos -29-
lementos Jel conjunto A que. no r nXjjn "«.rt ai conjunto B ; es decir,
A - B - { x e U / x e A y x B }
A este conjunto A - B también se le denota por B .
La siguiente Igualdad respecto a A-B es bastante Gtll en la práctica.
PROBLEMA 1 Demostrar que: A - B ■ A fl B'
La demostración se realizar! por Doble Inclusión (definición 
de IGUALDAD de Conjuntos) :
a) A-B c A n B‘ : ¥ x e A-B ,
x e A-B = > x c A » x t B =*■ x e A y x e B*
= » X E A n B‘ [definición de INTERSECCION ]
Por lo tanto, A -3 c A fl B' .
b) A P B’ c A-B : V x e A fl B' ,
x e A fl B' = » t e A * x e B' =*► x e A ~ x i B
=s> x e A-B [definición de A-B ]
Por lo tanto, A fl B' c A-B .
De (a) y (b) resulta que: A - B ■ A fl B'
EJEMPLO__3 SI A - <4, 10] . B - [6, 16> : A - B - <4, 6> .
DIFERENCIA SIMETRICA : A A B .- Es el conjunto formado por la reu
nlOn de aquellos elementos que so
lamente pertenecen al conjunto A y no a B , y por los que solamente perte­
necen al conjunto B (y no al conjunto A):
A á B - (A - B) U (B - A) .
EJEMPLO 4 Si A - { 2, 3. 4, 5, 6, 7 } y B - { 1, 4, 6. 7, 9 } en-
tonces A - B « {2, 3, 5 } , B - A - { 1, 9 } ,
y por lo tanto A A B * (A - B) U (B - A) « { 1, 2, 3, 5, 9 } .
REPRESENTACION GRAFICA EN DIAGRAMAS DE VENN
Estos diagramas sor Gtlles para verificar grSflca - 
mente ciertas propiedades de las OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS como las que 
presentaremos en la pSgina siguiente, y que se pueden demostrar formalmente, 
utilizando las Leyes del Algebra dt Proposiciones LOgicas.
30-
La zona sombreada representa al conjunto indicado
( i J ¡fcJÍ
A U B a n b A1
Al conjunto A-B también se le llama el COMPLEMENTO DE B RESPECTO AL 
CONJUNTO A .
A-B A A B
ÍJ LEYES DEL ALGEBRA DE CONJUNTOS •
la. A l) A ■ A Ib. A n A - A
2a. A U B • B U A 2b. a n b - b n a
3a. A U (B U C) > (A U B) U C 3b. a n (b n c) - (a n b) n c
4a. A U (B n C) • (A II B) n (A U C) 4b. A n (B II c) - (a n b) u (a n
5a. A U ♦ - A 5b. a n ♦ ■ ♦
6a. A U U - U 6b. a n o - a
7a. A U A' - ü 7b. a n A' - *
8a. (A*)' - A 8b. u* - * . *■ - u
9a.
9b.
{A U B)1 « A’ n B‘ 
(A fl B) ‘ - A' UB'
| LEYES de DE MORGAN
En seguida demostraremos las Leyes [4a.] y [9a.] •
PROBLEMA 2 Demostrar que: A U (B (1 C) » (A 11 B) (1 (A 11 C) .
a) A U (B n C) c (A U B) fl (A U C) : V x e A U (B n C) ,
x e A U (B D C) = » x e \ v x E (B n c)
= ► * E A V (x E B - X E C)
= » (x E A V X 6 B) ~ (x E A V X E C)
[pues p v (q ~ r) = (p V q) - (p v r) ]
Cap. 2 Conjuntos -31-
= > ( e (A U B) . x c (A U C) — o x e (A U B) n (A U C)
b) (A U B) n (A U C) C A ü (B n C) : « i e (AIIB)n(AUC) ,
x e (A U B) fl (A U C) -**> x t (A U B) . x e (AUC)
= > ( i c A » x e B ) ~ ( x e A » x e C)
==» (x e A) v (x c B » X e C)
[pues (p*q)* (pvr) = p v (q . r) ]
= * (x e A) v (x c B (1 C) = > x c A U (B n C)
AsT, de (a) y (b) por doble InrluslOn: A U (B P C) • (A U B) P (A U C).
PROBLEMA 3 Demostrar la LEY de DE HORCON [9a.]: (A U B)1 - A' n B‘.
a) (A U B)' c A'flB' : ¥ x e {A U B)1 ,
x e (A U B)‘ ■=> x i A U B = » i. (x e A U B )
==» •». {x c A v x e B) = > [ -v. (x e A)] ~ [ -t(x e B)]
[pues i.{p v q) 5 (*».p) ~ (tq) ] . = > x i A « x 4 B
= » x e A' « x e B' = => x e A' n B' .
b) A1 n B' c (A U B)1 : ¥ x e A' P B' ,
x e A' (1 B' = > x e A' ~ x e B1 
= > x 4 A - x t B = > t M * e *)] ~ [^ (* e B)]
= » *>-(x e A v x e B) [pues (tp) - (‘»•q) = *»> (p v q) ]
= * ^ (x e A U B) = » x i A U B =*■ x e (A U B)' .
Asi. (a) y (b), por doble Inclusión: (A U B)' * A* P B' .
PROBLEMA 4 Utilizando las Le;-es del Algebra de Conjuntos y la DIcEREff- 
CIA, demostrar que:
(A-B) U (B-A) - (A U B) - (A O B) .
SOLUCION.- (A-B) U (B-A) - (A P B1) ü (B P A’)
- [(A P B1) U B ] P [(A O B*) U A1 ]
- (A U B) P (B* U B) P (A U A1) P (B1 U A*)
- (A U B) P U P U P (B‘ U A1)
“ (A U B) P (A1 U B‘)
* (A U B) P (A P B)1 .. [Ley de De Morgan 9a.]
- (A U B) - (A P B) .
PROBLEMA 5 Demostrar que : a) A c A U B , b) A P B e A ,
-32- Corjuntos Cap. 2
c) A U (6 - A) - A U 6
SOLUCION a) •¥ x e A , x e A **=> x e A v x e 6
[pues p > P v q es una tautología ] p o x e A U B .
Por lo tanto. A c A U 6 .
b) ¥ x e A n B , x e A fl B = » (x e A) « (x c B)
*=»■ (x c A) , [pues p ~ q = » p ]
Por lo tanto, AflB c A .
c) A U (B-A) - A U (B 0 A1) - (A U B) n (A U A') • (A U B) n U • A U B .
PROBLEMA 6 Demostrar que: a) A c B t : A U B ■ B
b) A c B «= > A n B - A .
SOLUCION .- Recordando que: p *-*• q = (p •* q) ~ (q p) ,
a) ( ) 1) A U B c B : « i c t U B , x e A v x e B
= > x e B v x e B [por la hipótesis: A c B ]
=» x c B [pues p v p = p ] . Asi, A U B c B .
11) B <- A U B : Ver la parte (a) del PROBLEMA 5 .
Por lo tanto, de (1) y (11): A U 6 • B .
( <==» ) A c B : V x e A , x c A — > x c A v x e B
[pues p > p v q ] , : x e A U B • B [por la
hipótesis A U B • B ] = > x e B . Asi, A c B .
b) { ) 1) A O B c A : V x c A O B ,
x e A fl B x e A ~ x e B — > x c A
[pues p «■> q = » p ]., Asi, A fl B c A .
11) A c: A fl B : ¥ x c A .
x c A = > (x c A) ~ (x e A) , [pues p 5 p ~ p ]
=^> (x e A) ~ (x e B) , [pues A c B ]
= » x c A n B . Asi, A c A n B .
Por lo tanto, de (1) y (11): A fl B ■ A .
( < = ) A c B : -V x c A , x c A <-■-» x c A ~ x e B
[pues por hipótesis, A fl B * A ]
= > x C B
[pues p * q = » <1 ] • Asi, A c B .
Cap. 2 Conjuntos -33-
PROBLEMA 7 Demostrar que: A-B C (A-C) U (C-B) .
a-b - a n b' - a n b’ n (c* u c) * [a n b' n c1 ] u [a n b1 n c ] c
c (A n C1) U (C n B') - (A-C) U (C-B) .. per PROBL. [5b.] .
PROBLEMA L Demostrar que: (A U B U C) - (A fl B D C) ■
- (A A B) U (B A C) .
SOLUCION.- Desde que: (A U B U C) - (A n B íl C) -
- [(A-C) U (A-B) U (B-A)] U [(C-A) U (B-C) U (C-B)] - 
y empleando dos veces los PROBLEMAS [7] y [6] en ese orden:
- [(A-B) U (B-A] U [(B-C) U (C-B] • (A A B) U (B A C) .PROBLEMA 9 Demostrar: a) A U (A fl B) - A 1
----------- ' ' V LEVES Vi ABSORCION
b) A ft (A U B) - A /
SOLUCION.
a) x e A U (A (1 B) f : x c A v (x e A - x c B )
c = * x c A [pues P v (p * q) = p ] .
b) x e A D (A U B) g ¡ x e A » (x e A v x c B )
»— * x c A [pues p > (p « q) = p ] .
SERIE DE EJERCICIOS PROPUESTOS
1. I La proposición x 4 A fl B' .a cuSl es equivalente ? :
a ) x ¿ A y x ¿ B b ) x c A C x ¿ B
c) * c B-A d ) x c B 6 x i K .
2. { [(A U 8‘) fl (A O B)] U (A fl B1) } U (C-A) es igual a:
a) A fl B b) A U B c) A U C d) A fl C
3. I A culi es equivalente x 4 B U (A D C) ? :
a) x t f B ~ ( x ¿ A ~ x C)
b) x 4 B U , v x i B U C
c) (x i B » x e A) v (x i B x e C)
4. Dados ¡ - { x c M / x - (k2 - 1)/2 , k c H },
B • { x c M / x2 - 8x } .
C - { x c M / x2 - 32x +192 - O } .
hallar el conjunto (B - A) fl C .
-34- Con juntos Cap. 2
5. La regifin sombreada corresponde a:
a) (A n B) U (B n C)
b) (A U C) - (A n B n C)
c) [(a u c) n b] - (A n b n c)
d) (a n c) u [(a n b) - (b n cj]
6. SI A c B y AflC ■ ♦ , simplificar:
[A U (B - C)] n [B U (C - A)] .
7. De las siguientes afirmaciones:
a) x t B fl (A - C) b) x 4 B v x 4 (A - C)
c) x c B' v x c A* v x e C d) x c (A n I)1 . u C
¿cuSles son equivalentes a: x c (¡ [ P fl (A — C)] ?
B. La proposición: x 4 [jtAíl B) , ¿a cuál es equivalente ? :
a) x t (D - A) ~ x 4 (D - B)
b) x t (D - A) v t i (D - B)
c) x c D ~ ( x ¿ A v x ¿ B )
9. SI A. B y C son conjuntos, entonces: x ¿ (A(l B1) II C = >
a) (x t A v x c B ) ~ x c C ,
b) x c (C-A) v x e (6 II C) ,
c) x e (A1 U B) - C* .
¿ CuSl es el correspondiente ?
10. De las siguientes proposiciones acerca de conjuntos, indicar cuSles son 
verdaderas:
a) V A, 3 B y C / H P C ■ ♦ - ( B U C ) - A
b) 3 C / -VA, A fl C ■ C
c) V A , V B , A II (B n A) • A
11. La parte sombi'eóda del diagrama ,
i a qué conjunto corresponde ? :
a) C - [(A-B) fl (B-A)]
b) C - [(A-B) U (B-A)]
c) [C fl (A-B)'] f> (B-A)
d) [C fl (B-A)1 ] fl (A-B)
Cap. 2 Conjuntos
12. ¿A cuSl corresponde la reglfin sombreada?
a) [B- (A O C)] U [(A fl C) - B]
b) [(B-A) O (B-C)] U [(A n C)-B]
c) [b1 n (a n c)] u [(b-a) n (b-c)]
13. SI Mn es el conjunto de nGmeros naturales múltiplos de n , hallar :
a) m2 n «3 c) h2 n h} n m6
b) m7 n Me d) M m n m n
14. ¿CuSles corresponden a la regifin sombreada? :
a) (C - A) U (C - B) U [(A n B) - C ]
b) [ C - (A n B)] U [(A n B) - C ]
c) [(B - A) U (A - B)] O C
15. i Cuáles corresponden a la refi6n sombreada? :
a) [(C - D) - (A O B)] U [(D - C) - (A n B)]
b) [(C U D) - (C O D)] - (A n B)
c) [(c u d)] - [(a n b) u (c n d)]
16. íCuSl corresponde a la reglón
sombreada ?
a) (A - B) U [(B n C) - A ]
b) [ c - (A n b)] u [(b n c)-(An b)]
c) [(a n b)-c] u [(b n O - ( a n b)]
d) [(A n c) u (B n c)]- (A n b)
17. ¿Cu31 de los siguientes diagramas corresponde a la situación en que los 
conjuntos a, P, X, Y, Z, satisfacen:
p c x' n y1 , z c x n y , m n (y - x) ■ * $ ?
18. Hallar una fórmula para A D B mediante las operaciones de unión y 
complemento solamente.
19. Sea D el conjunto de nGmeros enteros de tres cifras, y sean E0> Ej y 
E2 subconjuntos cuyos elementos son números naturales una por lo menos 
de cuyas cifras es 0, 1 y 2 respec. Hallar D D E0 fl Ej D E2 -
20. Demostrar que: a) A c B
b) A c B
u n A c M n B 
M U A c M U B V conjunto M.
a)
b)
c)
d)
PRUEBA.-
PROPIEDADES ADICIONALES
U conjunto universalA =■ A1 = 
A C A 1 =
A U B ■ ♦ 
A y B = c
u - * .
A “ $
=> A 1 $ - B * $
=• A C C ̂ B c C
Cap. 2 Conjuntos - 37-
SOLUCION: a) { =«■ ) A - A' =-*► A n A - A* II A — > A - 0
=*> A* ■ U (- .i , por h1p6*es1s)
=a» U - ♦
* /
( <*= ) Como ♦ c A c u - l ♦ =©• A - ♦
=*»■ A' ■ u - ♦ [por hipótesis]
1 ■=* A * A' * ♦
b) A C A * = > A n A* - A ==» <t> - A .
c) í ♦ c A c A U B ■ I -— / A ■ ♦
A U B ■ « ==» -I - f
$ c B c: A U B - <t =f> B - 4
(A * $) - (B » ♦ )
d) i A c A II B ■ C A c C
A U B - C ==» -I - ==»
l B c: A U B - C B c C
PROBLEMA 1 Demostrar que: A* fl B » A D B = > B » ♦ .
s o l u c i o n : (a * n b) n a - (a n b) n a
=*• * ■ A n B * A' n B .. (a)
Luego, B . (A U A') n B - (A n B) U (A* n B) - 0 U 0 - * .
PROBLEMA Z Demostrar que:
a) (A - B) - C - A - (B U C)
b) (A U B) - C - (A-C) U (B-C)
c) A - (B n C) - (A-B) n (A-C) .
SOLUCION: a) (A - B) - C - (A D B‘) fl C* = A fl (B U C)1 « A - (B U C)
b) (A II B) - C ■ (A U B) n C ■ (A n C*) U (B n C')
» (A - C) U (B - C)
c) a - (b n c) - a n (b n c ) ' - a n (b1 u c1)
- (A n B1) U (A n V ) - (A - B) U (A - C)
PROBLEMA 3 Demostrar que: A O B * ♦ «==> A c: b'
SOLUCION: A > A D (B U B*) - (A O B) U (A fl B')
- ♦ U (A n B*) ■= A n B’ C B1 . Por lo ..
38 Conjuntos Cap. 2
tar to : A c B' .
( < = , : A e B' = > A fl B c B' n B - *
==> [ <t> c (A 11 B)] - [(» (1 B) c <(. ]
=*■ (A n B) = *
PROBLEMA. _ Lerostrar que: a) A & B' - B = > B c A
b) A A B * $ <— > A * B
SOLUCION:
a) A A B' - (A • B*) U (B* - A) - (A fl B) U (B1 fl A1) = >
B * (A IB) II (B1 P A') .. por hipfitesis. AuemSs,
b - b n b *= [(A n b) u (b1 n a 1)] n b
- (a n b n b) u (a * n b* n b) • (a n b) u * > a n b
Y como A D B c A , entonces:
B - A O B c A = » B <= A .
b) A A B - ♦ « = » (A - B) U (B - A) - $
<==> A — B “ ♦ ~ B - A — 4> , de [5.a], p. 36
«==> a n b' * ♦ - d n a1 « $
« = » (A C B) - (B C A) . por el [PROB. 3] ,
c = > A * B .
PROBLEMA 5 Utilizando propiedades adecuadas, demostrar que:
D c (A A B) ===>
D = (A U B) - [(A - D) U (B - D) U (A n B)] .
SOLUCION:
Utilizaremos las siguientes propiedades:
1) M c N <=*• M - M O N
2) M c N « = < M n N' - <t>
3) (M - N) - P « M - (N U P)
4) (M U N) - P - (M - P) U (N - P) , as! que ..
De la hip6tesis, de (2), y de: A A B • (A U B) - (A n B) c A U B
D c (A A B) c A U B = » (A A B) fl (A U B)' - * ... (5) .
Cap. 2 Conjuntos — ¿9
I /
(A £ B) 0 D • [(A £ 6) O D ] U $ .. v' 1J
[(A £ B) fl D ] U [(A £ 6) 0 (A ti 6)’ ] .. por [5]
(A £ B) D [ D U ([ A U B ]‘ )] , t Ley [4b.]
(A A B) D [(A U B) n D1 ]
[(A U B) - (A 0 B)] - [(A U B) - D ]
(A U B) - [(A fl B) U ( [A U B] - D ) ] \ .. por [31
(A U B) - [(A 0 B) U (A - D) U (B - D) ] .. por [4]
que es lo que queríamos demostrar.
PROBLEMA 6 Dados dos subconjuntos A y B de unluniverso U , ¿ cuSl
de los siguientes enunciados es verda<fero ? :
a) B* - (A - B) => A U B = > A i * v B f <P
b) {A A B)1 - (A1 A B1) = > A - ♦ - B * U .
SOLUCION:
a) Simplificando, B* - (A - B) - (B U A)1 => (A U B) «==»
(A U B) O (A U B) - 4 c=*. A II B * í
==• A ■ ♦ - B » ♦
Por lo tanto, la proposición (a) es FALSA.
b) Simplificando. A1 £ B1 - (A1 -B1) U (B* -A1) - (A1 fl B) U (B* fl A)
- (A-B) U (B-A) - A £ B =©•
\ £ B > A* A B‘ - (AAB)* .. por hipótesis.
Sea M « A A B , entonces: M » M‘ ==• M» H (I H * M1 U M « U
==» M - M’ - U' - * ==* U » <t> = >
A “ $ - B * $ ■ U . Luego, (b) es VERDADERO.
SERIE DE PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Demostrar cada una de las LEYES DEL ALGEBRA DE CONJUNTOS, utilizando 
las correspondientes Leyes del Algebra de Proposiciones LOgicas.
2. Demostrar qje: a) A c B <=^> B' c A' . SUG: p ■* q = '*q ■» "'■p
b) A‘ A B - A = > A C B , c) M c A ~ M c B = > H c (A fl B)
d) A c B =*■ A U (B-A) - B . e) (B-A) fl A - ♦ .
40 Conjuntos Cap. 2
I A fl B - ♦ ==» B O A 1 « B , g) A c B «==> A-B - ♦
h) ( n B' ■ ♦ • ==» A c B
1) fi' O B c (C -A)1 = » B c A
j) A - Cx B = * A A B - X .
3. SI A » ' n + n 8 , 2m - 2n + 4 } es un conjunto unitario, B ■
{ x / x - mk , k c Z ) , C * { x / x * nk , k e Z ) , hallar
(B1 U C)-‘ . SUG: Pruebe Que n * 3 , m - 5 .
4. Sean a , b c l , A y B conjuntos tales que B f ♦ , A U B es
unitario, A - a2 <• 2b , b2 + 1 } y A II B ■ t a + 4d , b + 1 - 3a }
hallar A fl B . SUG: Pruebe qye: a « + (b - 1) .
5. SI A - { a e Z / a5 + 4a ■ 5a3 > y
B » { a e A / 3 b e Z / a « b2 }
hallar el complemento de B con respecto a A . Es decir, A-B .
SUG: Note que todo elemento de B es aquel elemento de A que es el
cuadrado de algún número entero. Pruebe que B - { 0 , 1 } .
6. Demuestre que: ♦ - M ■ ♦ , para cualquier conjunto M .
7. Demostrarque: A fl (B A C) ■ (A fl B) A (A fl C) .
8. Se define la operaclfin * entre conjuntos tal que. A * B > A1 D B1
¿cuSles son verdaderas? :
a) A * A - A1 c) (A * B) * (A * B) - A U B
b) (A * A) * (B * B) - A fl B , d) A * (B * C) - (A * B) * C
9. Demostrar que: a) { a } « { b , c > a > b * c .
b) { { a } , { a , b > } - { { c } , { c , d } }
«==> [(a « b) ~ (c « d)] .
6 CONJUNTO POTENCIA : P (Ai , 2 a
Dado un conjunto A , se llama CONJUNTO POTENCIA de A al 
conjunto formado por todos los SUBCONJUNTOS VE A . Se le denota por :
P (A) - { X / X c A >
Es decir, X c P (A) «==> X c A .
Cap. 2 Conjuntos 41
EJEMPLO 1 S1 A * { 1, 2 } entonces { 1 > c A
<1^ P(A) ■ ( ♦ , i n , (2), {’t,
- t ♦ . { 1 >. { 2 ) . A >
NOTA.- 1) Al conjunto P(A) tamllén se le llama CON^JNTO DE PAIyLS de A.
2) Se demuestra que si un conjunto A es finitcly t1eru rf elementos 
entonces P(A) tiene 2n elementos, razfn\por la ci»I también
A
se le denota por 2" . - -
PROBLEMA 1 Si A - { ♦ , { ♦ } } , encontrar P(A)/T 
SOLUCION.- P( A) - { * , { ♦ } , { { ♦ > > . A }
PROBLEMA 2 Demostrar que A c B F = > P(A) cf P(B)
SOLUCION.- La demostrac16n consta de dos partes'
a) ¿i c B = > P(A) c P(B) : sea X e P(A) í=a X c A
como A c B (hlpfit ) =*> X c B (prop. transitiva de c )
==» X c P(B) [def. de P(B)] . De donde se tiene P(A) c P(B) .
b) P(A) c P(B) = > A c B : Sea * e A = > { x } c A
= » t x } c P{A) ==. { x } c P(B) , [hlpfit.: P(A) c P(B) ] ,
= : t x } c B = > x c B . AsT, A c: B .
PROBLEMA 3 Demostrar que: P(A) U P(B) c P(A U B) .
SOLUCION.- Sea X e P(A) U P(B) ==> X c P(A) v X c P(B)
=*■ X C A v X c B
==> ¥ x e A , x e A U B ==» X c A U B ==> X e P(A U B)
Por lo tanto. P(A) U P(B) c P(A U B) .
PROBLEMA 4 Sea { i, b, c ) c Z - t -1, 1 > . SI se tiene que
M » t (a + b *■ c) / { a2 *■ b2 - 5 , -3 , -4a >» {b-2c-8, a2+ 4 } } ,
hallar P( M U { -x / x c M ~ -x2 e M }) .
SOLUCION.-
Del dato: a, b y c son enteros diferentes de 1 y de -1 .
En M se ve que -3 no puede ser Igual a: a2 + 4 . Luego,
-3 - b - 2c - 8 ==» b - 2c - 5 ... (a )
AsT, tenemos que „ ,
t a2 + b2 - 5 . -3 , -4a > = t -3 , a2 * 4 > .. (*)
<»z Conj untos Cap. 2
Aho.: -4a no pued ser -3 [ello darfa: a » 3/4 4 L ] = »
-4a ■ a2 + 4 ===* (a + 2)2 » 0 = > a * -2 . La Igual­
dad (*) ie convierte en: { b2 - 1, -3 , 8 } ■ { -3 , 8 } , y como el
conjunto de la derechc debe tener sfilo dos elementos, entonces: 
b ' - l > - 3 6 b2 - 1 ■ 8 , de modo que,
1) SI b2 -1 ■ entonces b2 • -2 (absurdo)
11) SI b2 - 1 ■ 8 entonces b2 « 9 = ► b * í 3 ==»
{ SI b • 3 entonces c « (b - 5)/2 » -1 (descartado)
SI b ■ -3 entonces c * (b-5)/2 ■ -4
Luego, a * -2, b « -3 , c » -4 , a + b + c - -9 ==» M * { -9 >
pues H est? formado por los elementos de la forma (a + b + c) .
Como x « - 9 e H y -x2 “ - 81 i M , entonces { -x / x e M »
- x2 e H > * ♦ lo cual Implica que :
P ( H II { -x / ( E l i - - x2 e H } ) • P (M) - P({-9>)
- { ♦ . { -9 > >.
SERIE DE EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Encontrar P(A) donde A * { “ , a , { ♦ } } .
2. Demuestre que: P(A fl B) - P(A) n P(B) .
3. Dar un ejeciplo de dos conjuntos A y B en los cuales se vea que:
P(A U B) P(A) U P(B) .
4. ¿ En qué caso se cumplfc que A <= P(A) ? .
5. Si A - ♦ , encontrar P [ P (A) ] .
6. Dados los conjuntos A* { x c M / x3 - 2x2 - 5x + 6 * 0 } ,
B- { x e IN/ 2x2 - 7x + 3 » 0 } y C * { 2 , 3 } .
SI D • (A-B) II C , hallar el nGmero de elementos de P(D) .
7. SI A - { a . » , { * ) } y B - { { * } . { { * } } } .
¿cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas? :
a) A U B - (A B) - { a , ♦ , { { ♦ > > > .
Cap. 2 Conjuntos 43
b) El número de elementos de P(A) es 8 .
c) P(A) fl P(B) - { ♦ . { { ♦ } > > •
7 NUMERO DE ELEMENTOS DE UN CONJUNTO
Dados dos conjuntos FINITOS y DISJUNTÍ ' A y B se de­
fine el número de elementos de la unifin A U B como :
n[A U B] ■ n [A] + n[B] , con \ fl B • $ --(1)
l
La relacifin conjuntlsta: A > (A - 8) U (A fl B) , en/donde se puede com
probar que los conjuntos (A - B) y (A fl 8) son DISJl.'NTOS , entonces
n [A] » n [ A - B ] + n [ A fl 8 ] .. (2)
Y en el caso en que A y B sean cuaZzsqiUeA. conjuntoi ¿¿nltoi aA.b-üt’uvu.oi 
(no necesariamente disjuntos) , entonces
A U 8 * 8 U (A - B) , donde B y (A - B) ¿on (Liijantoi ,
= > n[A U B] • n [B] + n [ A - B ]
■ n [B] + n [A] - n [ A fl 8 ] .. debido a (2).
Es decir,
n[A II B] * n [A] + n [B] - n [ A fl B ] .
AdemSs, siendo A U B * (A - B) U (A fl B) U (8-A) una unlfin de tres
conjuntos disjuntos entre sf, teneros que :
n[A II B] » n [ A - B ] + n [ A fl B ] + n [ B - A ]
que en la prSctlca es la relar.ifin mis utilizada, pues equivale a representar
44 Conjuntos Cap. 2
la unlfin A J B en un diagrama ae Venn en zona diijuntxu coito : 
x » i' [ A - 8 ]
n ‘ A fl 8] 
n [ B - A ]
PROBLEMA l Un club deportivo tiene 48 jugadores de fGtbol, 25 de 
bSsket y 30 de béisbol. Si el total de jugadores es 68 
y solo 6 de ellos figuran en los tres deportes,
a) ¿CuSntos figuran en exactamente un deporte ?
b) ¿CuSntos figuran en exactamente dos deportes?
SOLUCION: datos: a + d + e + g 48 del diagrama de Venn ,
b + e+ f + g ■ 25 
c + d + f + g • 30 
a + b + c + d + e + f + g 
g ■ 6
68
Asf, el nGmero total de jugadores 
que figuran en exactamente un de­
porte es:
* « a + b + c
y el de los que figuran en exacta 
mente dos deportes es:
d + e + f Sumando las tres primeras e- 
cuaclones de los datos, se
obtiene:
x + Zy + 3g ■ 103 =
y de la cuarta ecuacifin : x + y
= > x - 39
x * Zy * 85 
68 - g - 62 
y = 23 .
SERIE DE EJERCICIOS PROPUESTOS
Cap. 2 Conjuntos 45
1. Demuestre que si A . B y C son conjuntos finitos, entonces
n(A U B U C) - n(A) + n(B) + n(C) - n(A (IB) - n(A n C)
- n(B fl C) + n(A fl B O C) .
1 I
2. En cierto Instituto de Ciencias Administrativas, se requiere que todos 
los estudiantes del último ciclo cursen MatemSticas, Contabilidad 6 E-
I
conomló. SI se sabe que de 600 de estos estudiantes: 400 cursan Mate
míticas, 30b Contabilidad, 250 Economía, 240 EconomTa y MatemSticas, 
90 Contabilidad y MatemSticas y 50 Contabilidad y Economía. ¿CuSntos 
cursan las tres materias ?
3. S1 A es un conjunto que t'ene 8n elementos, B un conjunto que tie­
ne 5n elementos, y se sabe que los dos tienen 2n - 1 elementos en co­
mún, hallar la suma del número de elementos que tienen :
a) (A n B) fl (A - B) b) (AUB)n(A-B) .
4. Siendo n un número natural, y A ■ { n2 / 0 < n < 4 } , B ■
{2n-5 / 2 < n < 6 } y C « { n2 - (n3/n) + 1 / 0 < n < 6 },
determinar por extensifin cada uno de estos conjuntos.
5. Dados tres conjuntos A , B y C con n , 3n y n -1 elemertos res - 
pectlvamente. Si A y B tienen n/2 elementos cor~jnes, A y C tie 
nen n/4 , y C y B tienen 2 . Si hay un único elemento común a los 
tres conjuntos, hallar el número de elementos de
[(A U B) - (A n 8)] - C .
6. ¿ CuSntos de los 2 000 alumnos estSn Inscritos en Química pero no en
Física sabiendo que: 1050 estSn Inscritos en Química, 750 en Física,
650 en Química y MatemSticas, 350 en Ffslca y Química, 300 en Materró 
ticas y Física, 1150 en MatemSticas, 200 llevan las tres materias 7
7. Una agencia de Turismo realiza una encuesta entre 5 D00 personas para 
ver las preferencias en materia de viajes a Cuzco, Iquitos y Trujillo:
2 400 personas desean viajar por lo menos al Cuzco, 3 000 por lo menos 
a Trujillo, 2100 por lo menos a Iquitos, 1000 a Trujillo e Iquitos, 
800 al Cuzco y a Iquitos, 1500 a Trujillo y al Cuzco, y 500 estSn 
dispuestas a realizar las tres excursiones. Se pregunta :
a) ¿ CuSntas Indicaron que no realizarSn ningún viaje 7
b) i CuSntas no mostraron Interés por el viaje a Iquitos 7
c) L CuSntas desean hacer dos excursiones siempre que ninguna sea al
46 Conj jntos Cap. 2
Cuzco ?
d) ¿ CuSntas estín dispuestas a realizar exactamente dos viajes dlferen
tes ?
e) ¿ CuSntas viajarían al Cuzco si y solo si no lo harían a ¡quitos ni
a Trujlllo 1
B. El registro central de la UNI proporcione los siguientes datos acerca 
de 2 000 estudiantes 1050 llevan Química, 1150 MatemStlcas,750 
Física, 650 Química y MatemStlcas., 350 Física y Química, 300 MatemS 
ticas y Física, y 200 los tres cursos. Dttermlnar el nGmero de alum­
nos Inscritos en :
a) Química pero no Física , b) Exactamente en dos de los tres cursos.
c) SCo en uno de los tres cursos.
d) En ninguno de los tres cursos.
e) Química si y solo si estS inscrito en Física.
SLIG: p *—► q = (•'«p v q) ~ (•'«q v p)
= (p * q) v ('»»p * ~q) 5 (p - q) v ~(p v q) .
f) Física siempre que se haya Inscrito en HatemSticas.
SUG: ntM1 U F] - n [F] + n [H* ] - n [ F n H1 ] .
9. En una fiesta para 100 niños, una gran canasta de caramelos estS sus­
pendida del techo. Cada caramelo estS envuelto en pdpel de color rojo, 
blanco o azul. Al final de la fiesta se rompe la canasta y los niños se 
abalanzan sobre los carame'os. Luego se les pregunta a los i.iños qué tj[ 
pos de dulces tienen, con los siguientes resultados:
40 niños tienen uno rojo (cada uno), 60 tienen uno azul, 70 tienen
uno blanco, 20 uno rojo y uno nzul, 25 uno rojo y uno blanco, y
30 uno azul y uno blanco. El investigador olvldfi preguntar si ĉ da 
niño tenia al menos un caramelo.
a) ¿ CuSntos niños tenían un caramelo de cade color 7
b) ¿ CuSntos no cogieron nlngGn caramelo 7
SUG: SI c ■ ns de niños con solamente caramelos rojos.
f ■ n2 de niños con caramelos azules y rojos pero no
blancos.
g • ns de niños con caramelos de cada color, 
h * n£ de niños quj no cogieron nlngGn caramelo.
Pruebe que: g t h . 5 .. (i) , c + f • 15 .. (2) y
Cap. 2 Conjuntos 47
f + g - 20 .. (3) . de donde g < 5 de (1). f < 15 cíe (2),
y g > 5 de (2) y (3).
10. Demostrar que: B e P (A) = > A A B « A-B .
Clave de Re s p u e s t a s:
SECCION DE LA PAG. [24] : 1.a) 3 x e Z / x + 1 < x ; l.b) V x e Z ,
x2 +1 * 0 ; l.c) V x £ Z , x2 i x ; l.d) 3 x £ Z / x2 - 1 < 0 .
2. VFVF en ese orden 3^) 3 x e A / í y e A , p(x,y) '̂'*q(y) ;
3. b) ¥ x e A. V y e B, ^p(x) v-^q(y) ; c) ¥ x £ C, 3 y e B/ ~p(x) - q(y) ;
5. a) J x e A / V y £ B , 3 z E C / ^ p(x,y,z)
b) ¥ x e A, V y £ B, p(x) - ^ q(x,y) ; c| (¥ y e A, p(y)) v ( J x e
A / ^q(x) - ^r(x)). d) Existe al menos un americano que no estS
loco. e) Todas las personas son Infelices en algGn momento.
f) Hay al menos un hombre deshonesto y nlngGn hombre es ladrfin.
g) x < 12, y para todo real y se cumple: x2 + y2 - 144 < 0 .
6. n ■ 41 ; 7.a) F , b) V , c) F ; 8. Las cuatro ; 9. VFF ;
10. (c) ; 11. (d) .
SECCION DE LA PAG. T331 : 1 S61o (d) ; 2. S61o (c) ; 3. S61o (b) ;
4. 8 ; 5. S61o (c) ; 6. (B-C) ; 7. (a), (b) y (c) ; 8. Sfilo (a) ;
9. Todas ; 10. Todas: a) V para B * ♦ , C ■ A ; b) V para C ■ ♦ ;
c) V ; 11. (b) ; 12. (b) y (c) ; 13.a) M6 ; b) ; c) Hr , don
de r - m.c.m. (m, n) ; 14. Todas i 15. Todas ; 16 S61o (c) ;
17. S61o (c) ; 18. (A1 UB')' ; 19. { 102, 120, 201, 210 } .
SLCCION DE LA PAG |~39] : 3. B fl C • { ... , -15, 0, 15, ... } - { x /
x » 15k , k £ Z ) ; 4. A (1 B » { 10 } , se descarta la soluclfin a ■
b - 1 pues da A - { ̂ } ; A U B * { y } M ; 5. { -1, -2, 2 }
8. (a), (b) y (c) .
SECCION DE LA PAG. [42" : 3. A - { 1 } . B - { 2 > ; 4. A - ♦ , 6
A - { ♦ ) ; 5. {*.{*},{{♦}}.{♦.{*}}}; 6. 8 ; 7. Las tres
SECCION DE LA PAG. f45] : 2. 30 ; 3. 6n +1 ; 4. A - { 1, 4, 9 ),
B - { 1, 3, 5 ) , C - { 1 ) ; 5. lln/4 ; 6. 700 ;
7. a) 300 , b) 2 900 , c) 500 , d) 1800 , e) 2 900 ,
8. a) 700 , c) 950 , d) 150 , e) 900 , f) 1150 .
9. a) 5 , b) 0 .
48
3
LOS NUMEROS REALES
l SISTEMA DE LOS NUMEROS REAlES
Es un ronjunto IR con dos ope 
raciones: „urna y muttipticacUón, y una relación de Orden “ < “ que se
lee " menor que “ , y que satisface los siguientes axiomas:
a + b c IR (LEY DE CLAUSURA)
a ♦ b ■= b + a (LEY CONMUTATIVA)
(a + b)+ c = a + (b + c) (LEY ASOCIATIVA)
A4. AXIOMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD DEL ELEMENTO NEUTRO ADIIT/0:
Existe un elemento y s61o uno denotado per “ 0 “ , tal que:
V a c IR : a + 0 » a = 0 + a.
A5. AXIOMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD DEL ELEMENTO INVERSO ADITIVO:
Para cada a e IR . existe un elemento y sólo uno denotado por “ -a " , 
que satisface la siguiente relación: + . q „ j_aj + a
Al. V a, b £ IR 
A2. Va, b e IR 
A3 V a, b, c £ IR
MI. V a, b £ IR ab e IR (LEV DE CLAUSURA)
M2. Va, b e R ab ■= ba (LEY CONMUTATIVA)
M3. Va , b, c e IR : (ab)c = a(bc) (LEY ASOCIATIVA)
M4. AXIOMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD DEL ELEMENTO NEUTRO MULTIPLICATIVO:
Existe un elemento y sólo uno denotado por a 1 " , * (¡ Aente de 0
tal que: a • 1 - a = 1 - a
M5. AXIOMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD DEL INVERSO MULTIPLICATIVO:
Para cada a t 0 en IR, existe un elemento y solamente uno en R , de
notado por a-1 , tal que: a - a-1 » 1 « a*1 a
D. AXIOMAS DE DISTRIBUTIVIDAD:
Va, b, c e IR: a(b + c) * ab + ac’ ’ v ' LEYES DISTRIBUTIVAS
(a + b)c = ac + be
01. Dados a y b en R, entonces una y ¿oto una de tai s ¡.gtu.ii.ntet lela-
cionet te cimple: a < b > a = b, ó b < a (LEY DE TRICOTOMIA)
Cap.3 Numeros R o ales -49-
02. Si a < b y b < c entonces a < c (LEY TRANSITIVA)
03. Si a < b entonces a + c < b + c , -V c e IP .
04. Si a < b y 0 < c , entonces ac < be .
5. AXIOMA DEL SUPREMO (AXIOMA DE LA MINIMA COTA SUPERIOR).- Todo conjun­
to no vacio de núirjros reales, acotado superiornente, tiene una MINIMA 
COTA SUPERIOR (6 SUPREMO) ’n IR .
1.1 NOTA.- Al elemento a”1 también se le denota: 1/a 6 ^ .
De estos 16 axiomas del Sistema de los Números Reales, los cinco 
primeros se refieren a la SUMA 6 ADICION , los siguientes cinco a la MULH 
PLICACION, el axioma D relaciona ambas operaciones de Suma y Multiplicación 
y los axiomas 01, 02, 03 y 04 se refieren a la RELACION DE ORDEN < .
1.2 OBSERVACIONES.- De estos axijmas se deduce que IR contiene a IN ,
Z y Q , es decir, a los números racionales en
general:
1. De M4 se tiene la existencia del número 1 en R .
2. De ffl se tiene que 1 + 1 = 2 e IR, 2 + 1 = 3 c F. Asi, IN c: IR .
3. De A4 se tiene la existencia del 0 (cero) en O .
4. DE A5 resulta: -1, -2, -3, ... son números reales, con lo que:
Z = { ... . -2 , -1 , 0 . 1 , 2 , 3 , ... } c IR .
5. Para cada entero m c IR, m f 0, se tiene que m~1 e IR , o sea 1/m
c IR, y por MI se tiene que' n - (1/m) = (n/m) c IR , para todo en
tero n, m, m f 0. Y como todo racional es de la forma q = n/m , se
concluye que Q c: IR .
Adem3s, desde el axioma Al hasta el axioma 0 se puede verifi - 
car que los números racionales los satisfacen; sin embargo, sería imposible 
demostrar que los números irracionales como /3 0 J 5 son también números 
reales, a menos que utilicemos el Axioma S 0 AXIOMA DEL SUPREMO. De aquí 
la importancia de este axioma en el AnSlisis MatemStico.
La correspondencia entre los números reales y los puntos sobre y 
na recta, puede ser usada para ilustrar geométricamente la relación de orden
< : la relación a < b establece que al graficar en una recta el núme
ro a se encuentra a la izquierda de b .
a b c
IR
50- N'jmeros Reales Cap. 3
Con la ayuda de estos axiomas demostraremos algunas propiedades de los núme­
ros reales.
Demostrar que : - 0
-0 - (-0) + 0 - 0
0 .
demostrar que b 
A4
Pr o b l e m a 3
Si a + b * a , 
b ■ 0 + t>
* [(-a) + a ] + b
* (-a) + (a + b)
* (-a) + a - 0
Demostrar que: a - 0 ■ 0 .
a - 0 * a ■ 0 + 0
■ a ■ 0 + [a - 0 + (- a - 0)]
* [a.O + a.0] + {- a - 0)
■ a - (0 + 0) + (- a ■ 0)
■ a • 0 + (- a • 0) = 0
por A4 y A5 respect. 
0 .
AS
A3
hipCtesis y A5
A4 
A5 
A3 
D
A4 y A5 .
M4
M3
A5 y M2 
Probl. anterior.
PROBLEMA 4 .- Demostrar que: -a * (-1) . a .
a + (-l)a • 1.a + (-l)a
= [ 1 + (-1) ]a
= 0.a = a.O 
= 0 .
y como por A5 el inverso aditivo de a es único con la 
condición que a + (-a) * 0 , entonces: -a ■ (-l)-a
PROBLEMA 5 V a, b e « : a(-b) * - (at>) = (-a)b :
a(-b) = a [(-1)b ] Probl. anterior
= T a.(-l) ] b = [{-1 )a ] b M3 y HZ
- (-1)(ab) M3
* - (ób) Probl. anterior.
En forma análoga se puede probar que: (-a)b (ab) (EJERCICIO).
PROBLEMA 6.- ¥ a e IR : - ( - a ) = a :
Denotando por b = -a , como b e IR , entonces
Cap. 3 Números Reales 51
t * a " ( - a ) + a “ 0 A5
lo que Implica que como para cada b e IR , existe un único elemento 11 -b 11
tal que: b ♦ (-b) - 0 .