MAT_2-2015

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Pruebas de Acceso a Enseñanzas Universitarias Oficiales de Grado.
Bachillerato L. O. E.
Materia: MATEMÁTICAS II
Instrucciones: El alumno deberá contestar a una de las dos opciones propuestas A o B.
Los ejercicios deben redactarse con claridad, detalladamente y razonando las respuestas.
Puedes utilizar cualquier tipo de calculadora. Cada ejercicio completo puntúa 2,5 puntos.
PROPUESTA A
1A. Dada la función f(x) = esenx + x2 + ax+ b, a, b ∈ R:
a) Determina los parámetros a, b ∈ R sabiendo que la gráfica de f(x) pasa por el punto (0,2) y que en
dicho punto tiene un extremo relativo. (1,5 puntos)
b) Para los valores de los parámetros encontrados, estudia si dicho extremo relativo es un máximo o un
mı́nimo. (1 punto)
2A. Dada la función
g(x) =

2x+ 4 si −2 ≤ x < 0
(2x− 2)2 si 0 ≤ x ≤ 1
a) Esboza la región encerrada entre la gráfica de g(x) y el eje de abscisas. (0,5 puntos)
b) Calcula el área de la región anterior. (2 puntos)
3A. a) Despeja X en la ecuación matricial X ·A+B = X, donde A, B y X son matrices cuadradas de
orden 3. (1 punto)
b) Calcula X, siendo
A =
 0 0 01 0 0
2 1 0
 y B =
 0 3 −2−1 4 0
1 2 1
 (1,5 puntos)
4A. a) Calcula la distacia del punto P (−1, 2, 0) a la recta
r ≡
{
−x+ y + 2z = 0
y + z = 1
(1,25 puntos)
b) Calcula el punto simétrico de P respecto de r. (1,25 puntos)
(sigue a la vuelta)
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Junio 2015
Pruebas de Acceso a Enseñanzas Universitarias Oficiales de Grado.
Bachillerato L. O. E.
Materia: MATEMÁTICAS II
PROPUESTA B
1B. Calcula el dominio y las aśıntotas de las siguientes funciones
f(x) =
√
2x− x
x− 2
, g(x) =
x3
x2 − 4x+ 4
(1,25 puntos por cada función)
2B. Dada la función f(x) = (x+ 1)e2x, se pide:
a) Calcula los intervalos de concavidad y convexidad y los puntos de inflexión de f(x). (1,25 puntos)
b) Encuentra una primitiva de la función f(x) que pase por el origen de coordenadas. (1,25 puntos)
3B. He pensado un número de tres cifras tal que la cifra de las decenas es la media aritmética de las otras
dos. Además, si a dicho número se le resta el que resulta de invertir el orden de sus cifras, la diferencia
es 198. Por último, las tres cifras de mi número suman 12.
a) Plantea un sistema de ecuaciones lineales que recoja la información anterior y clasif́ıcalo. Para ello,
puede serte útil observar que el número cuya cifra de las centenas es x, la de las decenas y, y la de las
unidades z, puede expresarse como 100x+ 10y + z. (1,5 puntos)
b) Determina, si el problema tiene solución, el número de tres cifras que he pensado. (1 punto)
4B. Dados los puntos A(1, λ+ 1,−1), B(2, λ, 0) y C(λ+ 2, 0, 1), se pide:
a) Estudia si existe algún valor del parámetro λ ∈ R para el que A, B y C estén alineados. (1,25 puntos)
b) Para λ = −1, da la ecuación impĺıcita del plano π que contiene a los puntos A, B y C. (1,25 puntos)
Pruebas de Acceso a Enseñanzas Universitarias Oficiales de Grado.
Bachillerato L. O. E.
Materia: MATEMÁTICAS II
Instrucciones: El alumno deberá contestar a una de las dos opciones propuestas A o B.
Los ejercicios deben redactarse con claridad, detalladamente y razonando las respuestas.
Puedes utilizar cualquier tipo de calculadora. Cada ejercicio completo puntúa 2,5 puntos.
PROPUESTA A
1A. Calcula los siguientes ĺımites:
ĺım
x→0
ln(1 + 2x)
xesenx
, ĺım
x→0
(1 + tanx)
1
x+sen x (1,25 puntos cada ĺımite)
Nota: tanx denota a la tangente de x.
2A. a) Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x) = x2 en el punto de abscisa x = 2.
(0,5 puntos)
b) Esboza la región encerrada entre las gráficas de f(x), la recta calculada en el apartado a) y el eje de
ordenadas. (0,5 puntos)
c) Calcula el área de la región anterior. (1,5 puntos)
3A. a) Enuncia el Teorema de Rouché-Fröbenius. (0,5 puntos)
b) Razona que el sistema de ecuaciones lineales
x + 3y − 3z = 4
2x − y + z = 1
3x + 2y − az = 5
a ∈ R
no es incompatible para ningún valor a ∈ R. (1 punto)
c) Resuelve el sistema en el caso en que sea compatible indeterminado. (1 punto)
4A. Dada la recta
r ≡
{
2x− y + z = 3
x− z = 1
a) Da la ecuación impĺıcita del plano π perpendicular a r que pasa por el punto P (2, 1, 1). (1,25 puntos)
b) Halla el volumen del tetraedro cuyos vértices son el origen de coordenadas y los tres puntos que
resultan al hacer la intersección de π con los ejes coordenados. (1,25 puntos)
(sigue a la vuelta)
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Septiembre 2015
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Pruebas de Acceso a Enseñanzas Universitarias Oficiales de Grado.
Bachillerato L. O. E.
Materia: MATEMÁTICAS II
PROPUESTA B
1B. Determina cómo dividir un segmento de 90 cm en dos trozos, de forma que la suma del área del
semićırculo cuyo diámetro es uno de ellos y el área de un triángulo rectángulo que tiene como base el
otro trozo y cuya altura es π veces su base, sea mı́nima. (2.5 puntos)
Nota: Recuerda que el área de un ćırculo de radio r es πr2.
2B. Calcula las integrales∫
1√
x
(
4x3 − 4
√
x
)
dx,
∫
x lnx dx (1,25 puntos por integral)
3B. a) Despeja X en la ecuación matricial A ·X − A = 2A2, donde A y X son matrices cuadradas de
orden 3. (1 punto)
b) Calcula X, siendo
A =
 1 0 21 1 0
0 0 −1
 (1 punto)
c) Calcula los determinantes de las matrices A101 y A1000. (0,5 puntos)
4B. Dados el plano π ≡ x+ ay + 3z = 2, a ∈ R, y la recta
r ≡
{
x− 2y + z = −1
2x− y = 0
a) Halla a para que π y r se corten perpendicularmente. (1,25 puntos)
b) Halla a para que π y r sean paralelos. (1,25 puntos)
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	MAT_2-2015_Junio-Propuestas_A_y_B.pdf (p.1-8)
	MAT_2-2015_Septiembre-Propuestas_A_y_B.pdf (p.9-17)
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