MAT_2-2021_Julio

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Evaluación para el Acceso a la Universidad
Curso 2020/2021
Materia: MATEMÁTICAS II
Instrucciones: El estudiante deberá resolver CUATRO de los ocho ejercicios pro-
puestos. Si resuelve más, se corregirán solo los cuatro primeros. Los ejercicios deben redac-
tarse con claridad, detalladamente y razonando las respuestas. Se podrá utilizar cualquier
tipo de calculadora. Cada ejercicio completo puntuará 2,5 puntos. Duración de la prueba:
1 hora y 30 minutos.
1. Sean las matrices
A =
3 1 21 0 1
0 1 1
 e I =
1 0 00 1 0
0 0 1
 .
a) [1 punto] Calcula razonadamente la matriz inversa de A.
b) [1,5 puntos] Calcula razonadamente la matriz X de la ecuación matricial AX + 3I = A.
2. a) [1,75 puntos] Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro a ∈ R:
x +ay +z = 2
x +z = a
ax +2y +z = 3
.
b) [0,75 puntos] Resuelve razonadamente el sistema anterior para a = 2, si es posible.
3. a) [1,25 punto] Calcula razonadamente la siguiente integral:
∫
x · cos(3x)dx.
b) [1,25 puntos] Calcula razonadamente la siguiente integral:
∫
dx
2x2 + 1
.
4. Sean los planos π1 ≡ a · x+ y + 2 · z = 3 y π2 ≡ 2 · x− y + a · z = 0.
a) [1 punto] Determina razonadamente el valor de a para que los planos π1 y π2 sean perpendicu-
lares.
b) [1,5 puntos] Para a = 1 calcula la distancia del punto P (2, 0, 1) al plano π1.
5. a) [1 punto] Calcula razonadamente el siguiente ĺımite: ĺım
x→1
x− 1
ex−1 − 1
.
b) [1,5 puntos] Dada la función
f(x) =

ex si x < 0
1
x− 1
si 0 ≤ x ≤ 2
x si x > 2
,
estudia su continuidad en x = 0 y en x = 2 e indica el tipo de discontinuidad, si la hubiera.
6. Sea la función f(x) =
2x2 + 2x− 2
3x2 + 3
.
a) [1,5 puntos] Halla razonadamente las coordenadas de los extremos relativos de la función f(x)
y clasif́ıcalos.
b) [1 punto] Calcula la ecuación de la recta tangente y la ecuación de la recta normal a la gráfica
de la función f(x) en el punto de abscisa x = 1.
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Julio 2021
7. a) [1 punto] Sea la función f(x) = a · x3 + b · x2 + x− 1, con a, b ∈ R. Determina los valores de a y
b para que la gráfica de f(x) pase por el punto (1, 1) y tenga aqúı un punto de inflexión.
b) [1,5 puntos] Sea la función f(x) = x sen(x)− cos(x). Enuncia el teorema de Rolle y úsalo para
razonar si la función f(x) tiene al menos un extremo relativo en el intervalo [−1, 1].
8. a) En el servicio de urgencias clasifican a los pacientes en leves y graves según llegan al hospital.
El 20 % de los pacientes leves debe ingresar en el hospital, mientras que el 60 % de los pacientes
graves debe hacerlo. En un d́ıa cualquiera llegan al servicio de urgencias un 90 % de pacientes
leves y un 10 % de pacientes graves. Si se selecciona un paciente al azar:
a.1) [0,5 puntos] ¿Qué probabilidad hay de que deba ingresar en el hospital?
a.2) [0,75 puntos] Si se sabe que el paciente tuvo que ingresar, ¿cuál es la probabilidad de que
llegara al hospital con una dolencia leve?
b) En un momento dado llegan 8 pacientes a urgencias.
b.1) [0,5 puntos] ¿Qué probabilidad hay de que exactamente 4 pacientes se clasifiquen como
leves?
b.2) [0,75 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que como mucho 7 pacientes sean clasificados
como leves?
n
k
p
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
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1 0.3826 0.3355 0.1977 0.0896 0.0313 0.0079 0.0012 0.0001 0.0000
2 0.1488 0.2936 0.2965 0.2090 0.1094 0.0413 0.0100 0.0011 0.0000
3 0.0331 0.1468 0.2541 0.2787 0.2188 0.1239 0.0467 0.0092 0.0004
4 0.0046 0.0459 0.1361 0.2322 0.2734 0.2322 0.1361 0.0459 0.0046
5 0.0004 0.0092 0.0467 0.1239 0.2188 0.2787 0.2541 0.1468 0.0331
6 0.0000 0.0011 0.0100 0.0413 0.1094 0.2090 0.2965 0.2936 0.1488
7 0.0000 0.0001 0.0012 0.0079 0.0313 0.0896 0.1977 0.3355 0.3826
8 0.0000 0.0000 0.0001 0.0007 0.0039 0.0168 0.0576 0.1678 0.4305
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