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Clase Nº 17: Cambio de Variables en Integrales Triples Mg. M. Adriana Correa Zeballos 1 DICTADO DE ANALISIS MATEMATICO II EN MODO VIRTUAL CLASE Nº 17: CAMBIO DE VARIABLES EN INTEGRALES TRIPLES 1. SOPORTE TEÓRICO 1.1. Introducción Señalábamos en la Clase Nº 16, antes de reflexionar sobre el cambio de variables en integrales dobles, que al momento de considerar en el sistema de coordenadas cartesiano, estas integrales o las triples en particular y las múltiples en general, en algunas de estas, por las propias características del sistema de coordenados elegido, su cálculo se tornaba muy dificultoso y en algunos casos no se podía encontrar su solución, a pesar de la certeza de su existencia y dábamos un ejemplo de esta última situación. Frente a esta realidad y tal como planteamos en esa misma oportunidad, también ahora, para las integrales triples, surge la misma inquietud. Suponiendo que la integral triple, !𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉 ! , existe y admitiendo que D es una región cerrada en el espacio tridimensional uvw, limitada por una superficie formada por la unión de un número finito de superficies uniformes, con la propiedad de que a cada punto (u, v, w) ϵ D, le corresponde uno y solo un punto (x, y, z) ϵ R, nos preguntamos si existirá una función f*(u ,v, w)) con la propiedad que, ∭ 𝑓∗(𝑢, 𝑣, 𝑤) 𝑑𝑉# , tenga el mismo valor que la anterior, esto es deseamos encontrar f*(u, v, w), de modo tal que: !𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉 ! = !𝑓∗(𝑢, 𝑣, 𝑤) 𝑑𝑉 # Si esto es viable decimos que la integral triple original ha sido resuelta mediante un cambio de variables. Se pueden establecer las condiciones para las cuales es posible encontrar f*(u, v, w). Para ello se hace necesario revisar brevemente algunos conceptos de transformaciones de ℜ3 en ℜ3 y de los jacobianos de estas transformaciones. 1.2. Transformación de ℜ3 en ℜ3 Suponiendo que D y R son regiones en ℜ3, una función T cuyo dominio es D y su rango es R se denomina transformación de D sobre R. Esta transformación T, normalmente se especifica por el sistema; x = X(u, v, w) T y = Y(u ,v, w) z = Z(u, v, w) Donde X, Y y Z son funciones cuyos dominios contienen a D y tienen la propiedad de qué; si (u, v, w) ϵ D, entonces [X(u,v,w), Y(u,v,w), Z(u,v,w)] ϵ R. La transformación T también se suele expresar como; T={[(u,v,w),(x,y,z)]/x=X(u,v,w),y=Y(u,v,w),z=Z(u,v,w), (u,v,w)ϵD,(x,y,z)ϵR} 1.3. Jacobiano de una Transformación de ℜ3 en ℜ3 Siendo T la transformación especificada por el sistema; x = X(u, v, w), Clase Nº 17: Cambio de Variables en Integrales Triples Mg. M. Adriana Correa Zeballos 2 y = Y(u, v, w), z = Z(u, v, w), el Jacobiano de la transformación T se representa por 𝐽($,&,' (,),* ) y se define como: 𝐽 3 𝑋, 𝑌, 𝑍 𝑢, 𝑣, 𝑤 7 = 8 8 𝜕𝑋 𝜕𝑢 𝜕𝑋 𝜕𝑣 𝜕𝑋 𝜕𝑤 𝜕𝑌 𝜕𝑢 𝜕𝑌 𝜕𝑣 𝜕𝑌 𝜕𝑤 𝜕𝑍 𝜕𝑢 𝜕𝑍 𝜕𝑣 𝜕𝑍 𝜕𝑤 8 8 Tal como vimos en el desarrollo del cálculo diferencial, el 𝐽($,&,' (,),* ), es un determinante y en el cálculo del jacobiano se hace uso de las propiedades de los mismos. Algunas veces el jacobiano, 𝐽($,&,' (,),* ), se representa por +($;&; ') +((,),*) 1.4. Inversa de una Transformación de ℜ3 en ℜ3 Limitaremos nuestra consideración a las transformaciones que satisfagan las siguientes condiciones. i) La Transformación T estará dada por: x = X(u, v, w), y = Y(u, v, w), z = Z(u, v, w), donde +$ +( , +$ +) , +$ +* , +& +( , +& +) , +& +* , +' +( , +' +) , +' +* son continuas en D. ii) El 𝐽 :$,&,' (,),* ; ≥ 0 ó 𝐽 :$,&,' (,),* ; ≤ 0, para (u, v, w) ϵ D. Bajo estas condiciones la transformación T mapea una región cerrada y acotada D sobre una región cerrada y acotada R, de tal manera que uno y solo un punto de R corresponde a cada punto de D y la frontera de D mapea, sobre la frontera de R. Si el 𝐽 :$,&,' (,),* ; ≠ 0, para (u, v, w) ϵ D, existirá una transformación T*, de R sobre D definida por el sistema; u = U(x, y, z) T* v = V(x, y, z) w = W(x, y z) con (x, y, z) ϵ R, donde +0 +1 , +0 +2 , +0 +3 , +4 +1 , +4 +2 , +4 +3 , +5 +1 , +5 +2 , +5 +3 son continuas en R y 𝐽 :0,4,5 1,2,3 ; ≠ 0, para (x, y, z) ϵ R. Entonces T* se llama, la inversa de la transformación T. Ambas, T y T*, son biunívocas. 1.5. Teorema de Integración con Cambio de Variables de ℜ3 en ℜ3 Suponiendo que la integral, ∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉! , existe y sea T una transformación definida por; x = X(u, v, w), y = Y(u, v, w), z = Z(u, v, w), con (u, v, w) ϵ D, donde D es una región en ℜ3, la cual se transforma sobre R mediante T. Si las funciones X, Y y Z tienen primeras derivadas parciales continuas en D y si 𝐽 :$,&,' (,),* ; ≠ 0,para (u, v, w) ϵ D, entonces: !𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉 ! =!𝑓[𝑋(𝑢, 𝑣, 𝑤), 𝑌(𝑢, 𝑣, 𝑤), 𝑍(𝑢, 𝑣, 𝑤)] B𝐽 3 𝑋, 𝑌, 𝑍 𝑢, 𝑣, 𝑤 7B 𝑑𝑉 # Este teorema aún es verdadero si 𝐽 :$,&,' (,),* ; = 0, en algunos puntos de D, siempre y cuando 𝐽 :$,&,' (,),* ; no cambie de signo en D. Clase Nº 17: Cambio de Variables en Integrales Triples Mg. M. Adriana Correa Zeballos 3 Hemos visto en la Clase 16 que una integral doble en coordenadas cartesianas puede calcularse, usando polares circulares o polares elípticas, mediante una adecuada transformación y que, en algunos casos, el cálculo de la integral por estos sistemas resultaban más sencillos. También en integrales triples es posible este hecho con el uso de coordenadas cilíndricas circulares, cilíndricas elípticas y coordenadas esféricas que trataremos a continuación. Es de hacer notar que existen otros cambios de variables que no consideraremos en este trabajo. 2. INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS CILINDRICAS CIRCULARES 2.1. Transformación de Coordenadas Cilíndricas Circulares a Cartesianas Una transformación T dada por; x = r cosθ T y = r senθ z = z se llama la transformación en coordenadas cilíndricas circulares. Del mismo modo que en el caso de coordenadas polares circulares y elípticas en ℜ2, se acostumbra a no hacer uso de un sistema de coordenadas rectangulares rθz por separado sino superponerlo con el cartesiano xyz. Estas ecuaciones dan la relación entre las coordenadas cartesianas (x, y, z) y las coordenadas cilíndricas circulares (r, θ, z) de un punto P en ℜ3, según se muestra en el siguiente gráfico. z P(x, y, z) P(r, θ, z) z x r y y r x Entonces la región D en el espacio cilíndrico circular rθz se mapea sobre la región R en el espacio tridimensional cartesiano xyz, por la transformación T que acabamos de especificar El jacobiano 𝐽 :1,2,3 6,7,8 ;, de la transformación T definida, es: 𝐽 3 𝑟𝑐𝑜𝑠θ , 𝑟𝑠𝑒𝑛θ, 𝑧 𝑟, θ, 𝑧 7 = 8 8 𝜕(𝑟𝑐𝑜𝑠θ) 𝜕𝑟 𝜕(𝑟𝑐𝑜𝑠θ) 𝜕θ 𝜕(𝑟𝑐𝑜𝑠θ) 𝜕𝑧 𝜕(𝑟𝑠𝑒𝑛θ) 𝜕𝑟 𝜕(𝑟𝑠𝑒𝑛θ) 𝜕θ 𝜕(𝑟𝑠𝑒𝑛θ) 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑟 𝜕𝑧 𝜕θ 𝜕𝑧 𝜕𝑧 8 8 = J 𝑐𝑜𝑠θ −𝑟𝑠𝑒𝑛θ 0 𝑠𝑒𝑛θ 𝑟𝑐𝑜𝑠θ 0 0 0 1 J 𝐽 :69:;7 ,6;<=7,3 6,7,3 ; = r cos2θ + r sen2θ = r(cos2θ + sen2θ) Clase Nº 17: Cambio deVariables en Integrales Triples Mg. M. Adriana Correa Zeballos 4 𝐽 :69:;7,6;<=7,3 6,7,3 ; = r 2.2. Teorema de Integración en Coordenadas Cilíndricas Circulares Si D se mapea sobre R mediante la transformación, x = r cosθ, y = r senθ, z = z y si r ≥ 0 en D entonces, de acuerdo al teorema especificado en el apartado 1.5, se tendrá; !𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉 ! =!𝑓(𝑟𝑐𝑜𝑠θ, 𝑟𝑠𝑒𝑛θ, z)𝑟𝑑𝑉 # Los límites de integración para una integral iterada que nos de la integral del segundo miembro, los podemos obtener de las ecuaciones en coordenadas cilíndricas circulares de la región R, si esta región tiene ciertas características, dadas en el siguiente teorema. Teorema: Suponiendo que ∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉 ! existe. Si R es una región cerrada y acotada cuya proyección R’ sobre el plano xy es del tipo Tθ y es la gráfica de; {(r, θ)/g1(θ) ≤ r ≤ g2(θ), a ≤ θ ≤ b}, donde; b – a ≤ 2π y g1(θ) ≥ 0 y si R está limitada superiormente por la gráfica, en coordenadas cilíndricas circulares, de z = k2(r, θ ) e inferiormente por z = k1(r, θ ), entonces; !𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉 ! = N N N 𝑓(𝑟𝑐𝑜𝑠θ, rsenθ, z)r dz dr dθ >!(#,%) >'(#,%) ?!(%) ?'(%) @ A Cuando se evalúa una integral ∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉! , usando este teorema decimos que la hemos calculado mediante coordenadas cilíndricas circulares Ejemplo: Si R es la región definida por: x2 + y2 = 1, 0 ≤ z ≤ x2 + y2, calcular ∭ xByB𝑑𝑉! . Solución: Usamos el cambio de variables de cartesianas a cilíndricas circulares. La región R en ℜ3 será; x2 + y2 = r2cos2θ + r2sen2θ = 1, entonces queda; r2 = 1. 0 ≤ z ≤ x2 + y2, 0 ≤ z ≤ (r2cos2θ + r2sen2θ), obteniéndose; 0 ≤ z ≤ r2. La región R’ en ℜ2, que es la proyección de R en el plano xy será; r = 1 El integrando x2 y2 = r2cos2θ r2sen2θ, entonces; x2 + y2 = r4 cos2θ sen2θ= r4 CDE !B7 F Usando el teorema propuesto en el apartado 2.2. tendríamos que; !xByB𝑑𝑉 ! = N N N rF senB2θ 4 r dz dr d 6! G H G BI G θ !xByB𝑑𝑉 ! = N N N rJ senB2θ 4 dz dr d 6! G H G BI G θ Integrando respecto de z se obtiene; Clase Nº 17: Cambio de Variables en Integrales Triples Mg. M. Adriana Correa Zeballos 5 !xByB𝑑𝑉 ! = 1 4N N 𝑟 K H G BI G senB2θ dr dθ Integrando respecto de r tendremos; !xByB𝑑𝑉 ! = 1 32N sen B2θ dθ BI G Finalmente integrando respecto de θ, obtenemos el resultado final. !xByB𝑑𝑉 ! = 𝜋 32 3. INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS CILINDRICAS ELIPTICAS 3.1. Transformación de Coordenadas Cilíndricas Elípticas a Cartesianas Una transformación T dada por; x =a r cosθ T y = b r senθ , z = z se denomina la transformación en coordenadas cilíndricas elípticas. Del mismo modo que en el caso de coordenadas polares circulares y elípticas en ℜ2 y de las coordenadas cilíndricas circulares ℜ3, se acostumbra a no hacer uso de un sistema de coordenadas rectangulares rθz por separado sino superponerlo con el cartesiano xyz. Estas ecuaciones dan la relación entre las coordenadas cartesianas (x, y, z) y las coordenadas cilíndricas elipticass (r, θ, z) de un punto P en ℜ3, según se muestra en el siguiente gráfico. z P(x, y, z) P(r, θ, z) z x θ r y b y a x Entonces la región D en el espacio cilíndrico elíptico rθz se mapea sobre la región R en el espacio tridimensional cartesiano xyz, por la transformación T que acabamos de especificar El jacobiano 𝐽 :1,2,3 6,7,8 ;, de la transformación T definida es: Clase Nº 17: Cambio de Variables en Integrales Triples Mg. M. Adriana Correa Zeballos 6 𝐽 3 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠θ, 𝑏𝑟𝑠𝑒𝑛θ, 𝑧 𝑟, θ, 𝑧 7 = 8 8 𝜕(𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠θ) 𝜕𝑟 𝜕(𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠θ) 𝜕θ 𝜕(𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠θ) 𝜕𝑧 𝜕(𝑏𝑟𝑠𝑒𝑛θ) 𝜕𝑟 𝜕(𝑏𝑟𝑠𝑒𝑛θ) 𝜕θ 𝜕(𝑏𝑟𝑠𝑒𝑛θ) 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑟 𝜕𝑧 𝜕θ 𝜕𝑧 𝜕𝑧 8 8 = J 𝑎 𝑐𝑜𝑠θ −𝑎𝑟𝑠𝑒𝑛θ 0 𝑏𝑠𝑒𝑛θ 𝑏𝑟𝑐𝑜𝑠θ 0 0 0 1 J 𝐽 :A69:;7,@6;<=7,3 6,7,3 ; = abr cos2θ + abr sen2θ = abr(cos2θ + sen2θ) 𝐽 :69:;7,6;<=7,3 6,7,3 ; = abr 3.2. Teorema de Integración en Coordenadas Cilíndricas Elípticas Si D se mapea en R mediante la transformación x = a r cosθ, y = b r sen θ, z = z y si r ≥ 0 en D entonces, de acuerdo al teorema especificado en el apartado 1.5, se tendrá; !𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉 ! =!𝑓(𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠θ, 𝑏𝑟𝑠𝑒𝑛θ, z)𝑎𝑏𝑟𝑑𝑉 # Los límites de integración para una integral iterada que nos de la integral del segundo miembro, los podemos obtener de las ecuaciones en coordenadas cilíndricas elípticas de la región R si esta región tiene ciertas características , dadas en el siguiente teorema. Teorema: Suponiendo que ∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉! existe. Si R es una región cerrada y acotada cuya proyección R’ sobre el plano xy es una región que es la gráfica, en coordenadas polares elípticas del plano , de {(r, θ) / 0 ≤ r ≤ 1, c≤ θ ≤ d}, donde; d – c ≤ 2π, entonces, si R está limitada superiormente por la gráfica, en coordenadas cilíndricas elípticas z = k2(r, θ ) e inferiormente por z = k1(r, θ ), entonces; !𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉 ! = NN N 𝑓(𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠θ, brsenθ, z)abr dz dr dθ >!(#,%) >'(#,%) H G L 9 Cuando se calcula una integral ∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉! , usando este teorema decimos que la hemos calculado mediante coordenadas cilíndricas elípticas. Ejemplo: Si R es la región definida por: 1B F + 2B M = 1, 0 ≤ z ≤ 1B F + 2B M , calcular ∭ xB𝑑𝑉! . Solución: Usamos el cambio de variables de cartesianas a cilíndricas elípticas. La región R en ℜ3 será; 1B F + 2B M = r2cos2θ + r2sen2θ = 1, entonces queda; r = 1. 0 ≤ z ≤ 1B F + 2B M , 0 ≤ z ≤ (r2cos2θ + r2sen2θ), obteniéndose; 0 ≤ z ≤ r2. La región R’ en ℜ2, que es la proyección de R en el plano xy será; r = 1y el integrando: x2 = 4r2cos2θ Usando el teorema propuesto en el apartado 3.2. tendremos que; Clase Nº 17: Cambio de Variables en Integrales Triples Mg. M. Adriana Correa Zeballos 7 !xB𝑑𝑉 ! = N N N 4 rB cosBθ 6r dz dr d 6! G H G BI G θ !xB𝑑𝑉 ! = 24N N N rN cosBθ dz dr d 6! G H G BI G θ Integrando respecto de z se obtiene; !xB𝑑𝑉 ! = 24N N 𝑟J H G BI G cosBθ dr dθ Integrando respecto de r tendremos; !xByB𝑑𝑉 ! = 4N cosBθ dθ BI G Por último integrando respecto de θ, obtenemos el resultado final. !xByB𝑑𝑉 ! = 4𝜋 4. INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS ESFÉRICAS 4.1. Transformación de Coordenadas Esféricas a Cartesianas Una transformación T dada por; x =ρ cosθ senφ T y = ρ senθ senφ, z = ρ cosφ se llama la transformación en coordenadas esféricas. Del mismo modo que en el caso de coordenadas polares circulares y elípticas en ℜ2 y de las coordenadas cilíndricas circulares y elípticas en ℜ3, se acostumbra a no hacer uso de un sistema de coordenadas rectangulares ρθφ por separado sino superponerlo con el cartesiano xyz. Bajo esta condición las ecuaciones dadas en T, dan la relaciónentre las coordenadas cartesianas xyz y las coordenadas esféricas ρθφ de un punto P en ℜ3, según se muestra en el siguiente gráfico. z P(x, y, z) φ P(ρ, θ, φ) ρ z O x θ r y y x Clase Nº 17: Cambio de Variables en Integrales Triples Mg. M. Adriana Correa Zeballos 8 Las coordenadas esféricas ρθφ de un punto P, en un sistema de coordenadas esféricas, son las coordenadas del punto en el sistema rectangular ρθφ que se mapea en P por la transformación T. Esto es, cualquier tríada (ρ,θ,φ) serán las coordenadas esféricas del punto P(x,y,z), si la tríada (ρ,θ,φ) satisface al sistema dado en T. Entonces la región D en el espacio esférico ρθφ se mapea sobre la región R en el espacio tridimensional cartesiano xyz, por la transformación T que acabamos de especificar Convenimos en seleccionar, ρ ≥ 0 y φ ϵ [0, 𝜋]. Por consideraciones trigonométricas vemos que las coordenadas esféricas ρθφ, de un punto P se interpretan de la siguiente manera: ρ es la distancia entre el origen O y el puno P; θ es el ángulo entre la parte positiva del eje x y la proyección del segmento OP sobre el plano xy; φ es el ángulo, (0 ≤ φ ≤ 𝜋) entre la parte positiva del eje z y el segmento OP. La ecuación de una superficie en coordenadas esféricas se obtiene de una ecuación de la superficie en coordenadas cartesianas usando las ecuaciones dadas por T. El jacobiano 𝐽 :1,2,3 O,7,P ;, de la transformación T definida, es: 𝐽 :1,2,3 O,7,P ; = 𝐽 :O QRC7 CDEP, O CDE7 CDEP, O QRCP O,7,P ; 𝐽 3 𝑥, 𝑦, 𝑧 ρ, θ, φ 7 = J 𝑐𝑜𝑠θ senφ −ρ senθ senφ ρ 𝑐𝑜𝑠θ cosφ senθ senφ 𝜌 𝑐𝑜𝑠θ senφ ρ senθ cosφ cosφ 0 −ρ senφ J 𝐽 :1,2,3 O,7,P ; = -ρ2 cos2θsen3φ–ρ2 sen2θcos2φ senφ–ρ2cos2θ cos2φsenφ–ρ2sen2θsen3φ 𝐽 :1,2,3 O,7,P ; = -ρ2 senφ (cos2θ sen2φ + sen2θ cos2φ + cos2θ cos2φ + sen2θ sen2φ) 𝐽 :1,2,3 O,7,P ; = -ρ2 senφ [cos2θ (sen2φ + cos2φ) + sen2θ (cos2φ + sen2φ)] 𝐽 :1,2,3 O,7,P ; = -ρ2 senφ (cos2θ + sen2θ) 𝐽 :1,2,3 O,7,P ; = -ρ2 senφ 4.2. Teorema de Integración en Coordenadas Esféricas Entonces, de acuerdo al teorema especificado en el apartado 1.5, si D se mapea en R mediante la transformación T y si ρ2 senφ, no cambia de signo en D se tendrá; !𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉 ! =!𝑓(ρcosθsenφ, ρsenθsenφ, ρcosφ)ρBsenφ 𝑑𝑉 # Ya que hemos convenido en que ρ ≥ 0 y 0 ≤ φ ≤ 𝜋, entonces ρ2senφ ≥ 0, en cualquier región D. Los límites de integración para una integral iterada que podamos usar para calcular la integral del segundo miembro se obtiene de las ecuaciones, en coordenadas esféricas, de la región R, si dicha región tiene determinadas características que se describen en el siguiente teorema: Teorema: Suponiendo que ∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉! existe y que también están definidas dos funciones k1 y k2 de dos variables independientes, dos funciones g1 y g2 de una variable independiente y números Clase Nº 17: Cambio de Variables en Integrales Triples Mg. M. Adriana Correa Zeballos 9 reales a y b con la propiedad que R es acotada por las gráficas de ρ = k1(θ, φ), ρ = k2(θ, φ), θ = g1(φ), θ = g2(φ), φ = a y φ = b, esto es R es la gráfica de; {(ρ, θ, φ) / k1(θ, φ) ≤ ρ ≤ k2(θ, φ), g1(φ) ≤ θ ≤ g2(φ), a ≤ φ ≤ b} Si ρ2senφ no cambia de signo en R, entonces; !𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉 = ! N N N 𝑓(ρcosθsenφ, ρsenθsenφ, ρcosφ)ρBsenφ 𝑑𝜌 𝑑𝜃 𝑑𝜑 SB(7,P) SH(7,P) TB(P) TH(P) @ U Los papeles de θ y φ se se pueden intercambiar y el teorema aún es cierto. Cuando se calcula una integral ∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉! , usando este teorema decimos que la hemos calculado mediante coordenadas esféricas. Ejemplo: Calcular ∭ 𝑥𝑦𝑧B𝑑𝑉! , donde R es la semiesfera de radio 1. Solución: De acuerdo al teorema enunciado en el apartado 4.2, para este caso particular tendremos que: !𝑥𝑦𝑧B𝑑𝑉 = ! N N N(ρcosθsenφ)(ρsenθsenφ)(ρBcosB𝜑)ρBsenφ 𝑑𝜌 𝑑𝜃 𝑑𝜑 H G BI G I G !𝑥𝑦𝑧B𝑑𝑉 = ! N N NρV(cosθ senθ)(senBφ cosB𝜑) senφ 𝑑𝜌 𝑑𝜃 𝑑𝜑 H G BI G I G !𝑥𝑦𝑧B𝑑𝑉 = ! N N NρV 𝑠𝑒𝑛2θ 2 H G BI G I G 𝑠𝑒𝑛B2𝜑 4 senφ 𝑑𝜌 𝑑𝜃 𝑑𝜑 !𝑥𝑦𝑧B𝑑𝑉 = ! N N NρV 𝑠𝑒𝑛2θ 2 H G BI G I G 𝑠𝑒𝑛B2𝜑 4 senφ 𝑑𝜌 𝑑𝜃 𝑑𝜑 Integrando respecto de 𝜌; !𝑥𝑦𝑧B𝑑𝑉 = ! 1 56N N 𝑠𝑒𝑛2𝜃 BI G I G senB2φ senφ 𝑑𝜃 𝑑𝜑 Integrando respecto de θ: 2π Como, ∫ 𝑠𝑒𝑛2𝜃BIG 𝑑𝜃 = − 9:;BW B = 0, entonces; 0 !𝑥𝑦𝑧B𝑑𝑉 = ! 0 Clase Nº 17: Cambio de Variables en Integrales Triples Mg. M. Adriana Correa Zeballos 10 Consignas para la revisión de la teoría Analice, defina, enuncie y demuestre, cuando sea necesario, en las siguientes consignas: 1. Transformación de ℜ3 en ℜ3 2. Jacobiano de una Transformación de ℜ3 en ℜ3 3. Teorema de Integración con Cambio de Variables de ℜ3 en ℜ3 4. Transformación de Coordenadas Cilíndricas Circulares a Cartesianas 5. Teorema de Integración en Coordenadas Cilíndricas Circulares. 6. Transformación de Coordenadas Cilíndricas Elípticas a Cartesianas 7. Teorema de Integración en Coordenadas Cilíndricas Elípticas 8. Transformación de Coordenadas Esféricas a Cartesianas 9. Teorema de integración en Coordenadas Esféricas Consignas para la revisión de la práctica Resuelva los siguientes ejercicios que se proponen: 1. Use la transformación x = u2, y = v2, z= w2, para calcular ∫∫∫𝑑𝑉, donde R R es la región acotada por la superficie. √𝑥 + i𝑦 + √𝑧 = 1 y los planos coordenados. Rta: 1/6 2. Utilice coordenadas cilíndricas circulares para evaluar N N N 1 1 + 𝑥B + 𝑦B 𝑑𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦 H G XFY2! 2 √B G Rta: (π/8)ln5. 3. Evalúe la integral triple ∭ i𝑥B + 𝑦B! 𝑑𝑉 donde R es la región limitada por las superficies 𝑧 = i𝑥B + 𝑦B , z=1 y los planos coordenados x=0, y=0. Rta: π/24 4. Utilice el cambio de coordenadas más adecuado para calcular: NNNyzdV R donde R es l región que esta encima del plano z = 0, debajo del plano z = y, y dentro del cilindro circular recto, 𝑥B + 𝑦B = 4 Rta: 64/15 5. Utilice el cambio de coordenadas más adecuado para calcular: NNNdV R donde R es la región encerrada por la porción de esfera de radio 2, del primer octante. Rta: (4/3)π. Clase Nº 17: Cambio de Variables en Integrales Triples Mg. M. Adriana Correa Zeballos 11 6. Calcule ∭ 𝑒[1!\2!\3!] ( !) ! 𝑑𝑣 donde R es la región interior al cono 𝑧 = i𝑥 B + 𝑦B y debajo de la esfera 𝑥B + 𝑦B + 𝑧B = 1 Rta: H N (𝑒 − 1). :− √B B +1; . 2𝜋 7. Utilice el cambio de coordenadas más adecuado para calcular: NNNdV R donde R es la región encerrada por la porción del elipsoide, 9x2 + 9y2 + 4z2 = 36 del primer octante. Rta: 2π 8. Evalúe la integral triple ∭ √𝑥B + 𝑧B! 𝑑𝑉 donde R es la región limitada por las superficies 𝑦 = 𝑥B + 𝑧B , y=1. Rta: π/6
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