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TRABAJO PRACTICO Nº 1 
 
FUNCIONES 
 
EJERCICIOS A RESOLVER POR EL DOCENTE EN LA CLASE 
PRÁCTICA: 
1) vi); 2) f); 3) b); 4) d); 5) b); 6) g), l), o); Aplicaciones: 1) 
 
Repaso teórico: 
1. Defina: 
• Función de una, dos, tres y n variables independientes. 
• Dominio y rango de estas funciones 
2. ¿Qué representa la gráfica de una función de una y de dos variables 
independientes? ¿En qué espacios se encuentran? 
3. ¿Se puede representar la gráfica de una función de tres y más de tres 
variables independientes? Justifique su respuesta. 
 
Consigna: 
Emplee cualquier software matemático que Ud. posea en su celular o en 
su computadora para verificar los resultados obtenidos manualmente en 
los siguientes ejercicios. 
 
1) Dadas las siguientes funciones, de dominio y rango, diga qué superficie 
representa y grafique: 
i) f(𝐱, 𝐲) = 	(𝟒 − 𝐱𝟐 − 𝐲𝟐 ; ii) (𝒙, 𝒚) = 	𝒚𝟐 − 𝒙𝟐 ; iii) 𝒇(𝒙, 𝒚) =
	(𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 
iv) 𝒇(𝒙, 𝒚) = 	 𝒙
𝟐
𝟒
+ 𝒚
𝟐
𝟗
; v) 𝒇(𝒙, 𝒚) = 	(𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟏; 
vi) 𝒇(𝒙, 𝒚) = 	(𝒙𝟐 − 𝒚𝟐 − 𝟏; 
vii) 𝒇(𝒙, 𝒚) = 	𝟐𝟎 − 𝒙𝟐 
 
2) Determine dominio y rango de las siguientes funciones: 
a) 𝒇(𝒙, 𝒚) = 	𝒙 + 𝒚 − 𝟏 ; b) 𝒇(𝒙, 𝒚) = 	 𝟏
𝒙
− 𝒚 ; c) 𝒇(𝒙, 𝒚) = 	𝒄𝒐𝒔(𝒙 − 𝟓𝒚); 
d) 𝒇(𝒙, 𝒚) = 	𝒍𝒏(𝟒𝒚 − 𝒙) ; e) 𝒇(𝒙, 𝒚) = 	 𝟏
𝟒𝒙𝟑𝒚𝟑
 ; f) 𝒇(𝒙, 𝒚) = 	𝟏 −
𝒔𝒆𝒏(𝟑𝒙𝒚) 
g) 𝒇(𝒙, 𝒚) = (𝟏𝟎 − 𝒙 − 𝒚 ; h) 𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛) = 	 𝒙'𝒚(𝒛𝟐 ; i) 𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛, 𝒘) = 	
𝟏
𝒙𝒚𝒛𝒘
 
j) 𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛) = 	 𝒙𝒚(𝒛𝒙
𝒚𝒛
 ; k) 𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛) = (𝒙𝟐 − 𝒚𝟐 − 𝒛𝟐𝟑 
 
3) Evalúe las siguientes funciones según se indica: 
a) 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒙 − 𝟐𝒚 i) (−𝟏, 𝟐) ; ii) 𝒇(−𝝅,−𝟑); iii) 𝒇(𝒂, 𝒂𝟐) 
b) 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒆𝒚'𝟒𝒙 i) (𝟎, 𝟎) ; ii) 𝒇(−𝟓, 𝟏
𝟒
); iii) 𝒇(𝒂 + 𝒃, 𝟒𝒃 − 𝒂) 
c) 𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛) = (𝒙𝟐 − 𝒚𝟐 − 𝒛𝟐𝟑 i) 𝒇(𝟏, 𝟏, −𝟐); ii) 𝒇(𝒂 + 𝒃, 𝒂 − 𝒃, 𝒃 −
𝒂) 
 
4) Qué condiciones deben cumplir x e y para que las siguientes funciones 
verifiquen las relaciones indicadas: 
a) 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝟐𝒙 − 𝟒𝒚 + 𝟏𝟐 i) 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝟎; ii) 𝒇(𝒙, 𝒚) > 𝟎; iii) 𝒇(𝒙, 𝒚) <
𝟏𝟐 
b) 𝒇(𝒙, 𝒚) = 	 𝟏
𝟏'𝒙'𝒚
 i) 𝒇(𝒙, 𝒚) > 𝟎 ; i) 𝒇(𝒙, 𝒚) < 𝟎 ; i) 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝟏 
c) 𝒇(𝒙, 𝒚) = 	𝒍𝒏(𝒙 + 𝟔𝒚) i) 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝟎; ii) 𝒇(𝒙, 𝒚) > 𝟎; iii) 𝒇(𝒙, 𝒚) < 𝟎 
d) 𝒇(𝒙, 𝒚) = 	𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒏(𝟐𝒙 − 𝟑𝒚) i) 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝟎; ii) 𝒇(𝒙, 𝒚) = 	𝝅
𝟒
 ; 
iii) 𝒇(𝒙, 𝒚) = 	− 𝝅
𝟔
 
 
5) Halle dominio y rango de las siguientes funciones: 
a) 𝒇(𝒙, 𝒚) = 	CD𝒙 − 𝟏
𝟐
E D𝟏
𝟒
− 𝒚E b) 𝒇(𝒙, 𝒚) = 	 F
𝟏
𝒙'𝟒𝒚
				𝒔𝒊			𝒙 ≠ 𝟒𝒚
𝒙𝒚 − 𝟏			𝒔𝒊	𝒙 = 𝟒𝒚
 
c) 𝒇(𝒙, 𝒚) = 	 I𝒍𝒏
(𝒙𝒚)				𝒔𝒊	𝒙𝒚 > 𝟎		 ∧ 	𝒙 < 𝟎
𝒚 + 𝐜𝐨𝐬 𝒙 						𝒔𝒊		𝒚 ≥ 	 |𝒙|							 
d) 𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛) = 	 -𝒙𝒚
𝒛𝟐'𝒚
 e) 𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛) = 	 𝒍𝒏𝒙
-𝒚𝒛𝟒
 
 
6) Halle y represente gráficamente el dominio de las siguientes funciones: 
 
a) 𝒇(𝒙, 𝒚) = 	𝟏𝟎𝒙(𝟒𝒚 b) 𝒇(𝒙, 𝒚) = 	 𝒙(𝟐𝒚
𝟑'𝒙
 c) 𝒇(𝒙, 𝒚) = 	 𝒙
𝟐(	𝒚𝟐'𝟑
𝒙𝟐
𝟗 '
𝒚𝟐
𝟒 '𝟏
 
d) 𝒇(𝒙, 𝒚) = 	 𝒚'𝟑𝒙
𝒄𝒐𝒔(𝟒𝒙'𝟓𝒚(𝟐)
 e) 𝒇(𝒙, 𝒚) = 	 𝒔𝒆𝒏	(𝒙𝒚)
𝒕𝒈(𝒙(𝒚)
 f) 𝒇(𝒙, 𝒚) =
	(𝟒	𝒚𝟐 − 𝒙 + 𝟏𝟒 
 
g) 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔(𝟒 − 𝒚) + 𝐚𝐫𝐜𝐜𝐨𝐬	(𝟐 − 𝒙) h) 𝒇(𝒙, 𝒚) =
𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒏(𝒍𝒏𝒙) 
 
i) 𝒇(𝒙, 𝒚) = 	C𝒙 + 𝒚𝟐−	(𝟐 − 𝒚 + 𝒙 j) 𝒇(𝒙, 𝒚) = 	C
𝒚(𝒙𝟐'𝟒
|𝒙'𝟐|
 
 
k) 𝒇(𝒙, 𝒚) = 	
𝒍𝒏<𝟒'𝒙𝟐'𝒚
𝟐
𝟒 =
-𝒙𝟐(𝒚𝟐'𝟒
 l) 𝒇(𝒙, 𝒚) =
	F 𝟏𝟎
𝒙𝒚							𝒔𝒊														𝒚 ≥ 		 𝒙𝟐 + 𝟏
𝒄𝒐𝒔(𝒙𝒚)				𝒔𝒊			(𝒚 + 𝟑)𝟐 +	𝒙𝟐 ≤ 𝟒
 
 
m) 𝒇(𝒙, 𝒚) = 	S
𝟑																										𝒔𝒊				𝒚		 ≥ 𝟐
𝟎													𝒔𝒊				𝒙𝟐 	+ 𝒚𝟐 ≤ 𝟏							
−𝟑																						𝒔𝒊								𝒚 ≤ 	𝟐
 
 
n) 𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛) = 	 F 𝒙
𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐						𝒔𝒊											𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 	≠ 𝟏			
𝟎										𝒔𝒊							𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 = 𝟏																															
 
 
ñ) 𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛) = 	 𝒄𝒐𝒔(𝒙(𝒚)
√𝒛	'𝟏
 
 o) 𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛) = 	 F𝒙
𝟐 + 𝟐𝒚𝟐 + 𝟒𝒛𝟐						𝒔𝒊											𝒙𝟐 + 𝟐𝒚𝟐 + 𝟒𝒛𝟐 	> 𝟗			
𝟎										𝒔𝒊							𝒙𝟐 + 𝟐𝒚𝟐 + 𝟒𝒛𝟐 ≤ 𝟗																															
 
p) 𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛) = 	-𝟗'𝒙
𝟐'𝒚𝟐'𝒛𝟐
𝒍𝒏(𝒙𝒚𝒛)
 
 
Aplicaciones. 
1) Se elabora una caja rectangular cerrada con tres tipos de materiales de 
modo que contenga un volumen de 16 pies3. El material para la tapa y el 
fondo cuesta $0,18 por pie cuadrado, el material para las partes delanteras y 
traseras cuesta $.16 por pie cuadrado y el material para las otras dos caras 
cuesta $0,12 por pie cuadrado. 
a) Obtenga un modelo matemático que exprese el costo total del material 
como una función de las dimensiones de la parte delantera y trasera. 
Determine el dominio de la función. 
b) ¿Cuál es el costo del material si las dimensiones de las partes delanteras y 
trasera son 2 pie y 4 pie, donde 4 pie es la altura de la tapa? 
 2) De acuerdo con la ley de los gases ideales P.V = KT , donde P es presión, 
V es volumen, T es temperatura (en Kelvins) y K constante de 
proporcionalidad. Un tanque contiene 2600 pulgadas cúbicas de nitrógeno a 
una presión de 20 libras por pulgada cuadrada y a una temperatura de 300k. 
a) Encuentre K 
b) Exprese P en función de V y T. 
3) Una tapa cónica descansa sobre la parte superior de un cilindro circular 
recto. Si la altura de la tapa es dos tercios de la altura del cilindro, exprese el 
volumen del sólido como función de las variables indicadas. 
4) Problema 3 del libro de Teoría de Cálculo de varias variables 
Un sólido rectangular del primer octante, con tres caras en los ejes planos 
coordenados, tiene un vértice en el origen y el vértice opuesto en el punto 
(x,y,z) en el plano x + 3y + 2z = 6. I) Obtenga un modelo matemático que 
exprese el volumen del sólido como una función de las dimensiones de la 
base. Determine el dominio de la función. II) ¿Cuál es el volumen si la base 
es un cuadrado de lados 1,25 unidades? 
5) a) Obtenga un modelo matemático que exprese el área total de la 
superficie del sólido del ejercicio 4) como una función de las dimensiones 
de la base, determine el dominio de la función. 
b) ¿Cuál es el área total de la superficie si la base es un cuadrado de lado 
1,25 unidades? 
6) Resuelva las aplicaciones 1), 2) y 4) del libro de teoría de Cálculo 
Diferencial de varias variables. 
Ejercicio optativo. 
7) Resuelva los ejercicios planteados en el apartado 2.2 dominio y rango del 
libro de teoría “Cálculo de varias variables”.