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TRABAJO PRÁCTICO N° 10 
 
APLICACIONES GEOMÉTRICAS DE LAS DERIVADAS 
PARCIALES 
EJERCICIOS A RESOLVER POR EL DOCENTE EN LA CLASE 
PRÁCTICA: 
PRIMERA PARTE: 
III); XI) y XII) 3ra ec. 
SEGUNDA PARTE: 
1)e; 5); 14) a; 15)a; 16); 20) 
 
Repaso teórico. 
1. Defina curvas y superficies de nivel, gradiente de funciones de dos 
y de tres variables. 
2. Defina gradiente de una función de dos y tres variables 
3. Enuncie, establezca hipótesis y tesis y demuestre el teorema que 
expresa la propiedad del gradiente para una función de dos 
variables. 
4. Enuncie, establezca hipótesis y tesis y demuestre el teorema que 
expresa la propiedad del gradiente para una función de tres 
variables. 
5. Deduzca las ecuaciones de las rectas tangentes a curvas dadas por 
la intersección de superficies con planos paralelos a los planos 
coordenados 
6. Enuncie, establezca hipótesis y tesis y demuestre el teorema para 
determinar la ecuación de la recta tangente a una curva dada por 
intersección de dos superficies. 
7. Defina Plano normal a una curva en un punto. Enuncie, establezca 
hipótesis y tesis y demuestre el teorema para determinar la 
ecuación del plano normal a una curva dada por la intersección de 
dos superficies. 
8. Defina plano tangente a una superficie en un punto. Enuncie, 
establezca hipótesis y tesis y demuestre el teorema que permite 
determinar la ecuación del plano tangente a una superficie dada en 
forma implícita. 
9. Defina recta normal a una superficie en un punto. Enuncie, 
establezca hipótesis y tesis y demuestre el teorema que permite 
determinar la ecuación de la recta normal a una superficie dada en 
forma implícita. 
10. Defina superficies tangentes en un punto. Enuncie, establezca 
hipótesis y tesis y demuestre el teorema para verificar si dos 
superficies son tangentes en un punto. 
11. Defina superficies normales en un punto. Enuncie, establezca 
hipótesis y tesis y demuestre el teorema para verificar si dos 
superficies son normales en un punto. 
12. Defina ángulo entre superficies en un punto. Determine el ángulo 
que forman F(x, y, z)= 0 y G(x, y, z) = 0 en el punto común P0(x0, y0, 
z0). 
 
Consigna: 
Emplee el software matemático que Ud. posea en su celular o en su 
computadora, para verificar los resultados obtenidos manualmente, en los 
siguientes ejercicios. 
 
PRIMERA PARTE: Ejercicios para afirmar los conceptos previos al 
desarrollo de las aplicaciones geométricas de las 
derivadas parciales 
I) Obtenga la pendiente de la recta tangente a la curva intersección de la 
superficie: 
 a) con el plano x = 1 en el punto 
b) con el plano y = 2 en el punto 
II) Calcule la pendiente de la recta tangente a la curva de intersección de la 
superficie con el plano y = 1 en el punto (2,1,5). Dibuje la 
curva e interprete geométricamente la derivada parcial. 
Encuentre el vector de R3 que es el vector dirección de la recta tangente 
anterior y escriba la ecuación de la misma. 
III) Determine las constantes m y n para que la pendiente de la recta tangente 
a la curva de intersección de la superficie con el plano 
x = 1 en el punto de coordenadas sea igual a 3. 
IV aproximada por la expresión donde w (en kg) es el peso y 
h(en m) es la estatura de la misma. Cuando w = 70 kg y h = 1.8m 
determine e interprete los resultados. 
0364936 222 =++- zyx ( )3,12,1 -
9222 =++ zyx ( )2,2,1
22 yxz +=
36636 22 =+- zymx
÷
ø
ö
ç
è
æ
2
3,,1 n
7.04.02 hws =
h
sy
w
s
¶
¶
¶
¶
V) Una abeja vuela descendiendo a lo largo de una curva que es la 
intersección de con el plano x = 1. En el punto (1,-2,5) se 
va por la tangente. ¿En qué punto impacta con el plano xy? 
VI) Suponga que la concentración de algún contaminante en un río como 
función de la posición x y el tiempo t está dada por: 
con constantes. 
Interprete las derivadas parciales de P con respecto a la posición y el 
tiempo. 
VII) Suponga que tres resistencias están en paralelo en un circuito eléctrico. 
Si las son R1, R2, R3 entonces la resistencia equivalente es 
R=(R1.R2.R3)/(R1.R2+R1.R3+R2.R3). Calcule e interprete la derivada 
parcial de R respecto de R1. 
VIII) Si A,B,C son los ángulos de un triangulo y a,b,c son las longitudes de 
sus respectivos lados opuestos, exprese: 
a) A en función de a, b, c y calcule la derivada parcial de A respecto 
de a y de c en forma separada observando las consecuencias 
geométricas. 
b) a en función de A, b, B y calcular la derivada parcial de a respecto 
de A y respecto de B. 
IX) Dado el elipsoide halle la pendiente de la curva 
intersección del mismo con: 
a) el plano y = 1 en el punto con x = 4, z positivo. 
b) el plano x = 2 en el punto con y = 3, z positivo. 
X) Obtenga la pendiente de la recta tangente y la ecuación de la misma 
indicando su respectivo vector dirección a la curva intersección de la 
superficie: 
a) con el plano y = 2 en el punto (1,2,Z0) Z0>0. Grafique. 
b) con el plano x = 2 en el punto (2,1,Z0) Z0>0. Grafique. 
XI) Halle y grafique curvas de nivel para cada una de las siguientes funciones 
asignando valores para f 
 
XII) Halle las superficies de nivel de las siguientes funciones asignando 
valores a u 
1234 ++= xyxz
( ) ( ) tuetcxPtxP --= 0,
cuP ,,0
1
161224
222
=++
zyx
222 zyx =+
222 zyx =-
( )
( )
( )
22
, 2
2,
,
f x y xy
xf x y
x y
f x y x y
=
=
+
= -
 
 
SEGUNDA PARTE: Aplicaciones geométricas de las derivadas 
parciales 
1) Halle las ecuaciones del plano tg y la recta normal a las superficies 
dadas en los puntos indicados. 
 
a) z = sen x cos y Po (π /2; π ; -1) 
b) x2 + y2 + z2 = 17 Po ( 2 ; -2, 3 ) 
c) Po (2,0,ln4) 
d) Po (1,1,-1) 
e) Po (1,1,π/4) 
f) Po (Rcosα, Rsenα, R) 
2) Dada la superficie de ecuación , trace los planos tangentes 
a ella y paralelos al plano 2x – y + z = -4. 
3) Si los puntos en los cuales el plano tangente a la superficie 
son penetrados por los ejes coordenados que se unen para formar los 
lados de un triangulo, demuestre que la suma de los cuadrados de las 
longitudes de estos lados es independiente de la posición del plano 
tangente. 
4) Demuestre que la suma de las intersecciones del plano tg a la superficie: 
 x ½ + y ½ + z ½ = a ½ con los ejes coordenados en cualquiera de sus 
puntos es a. 
5) Determine la constante positiva c de modo que el plano tangente a la 
superficie xyz = c3 en el punto (1,c, c3), forma un tetraedro de volumen 
36 unidades cúbicas con los planos coordenados. 
6) Demuestre que todos los planos tangentes a la superficie en el 
punto M(x0, y0, z0) con x0≠0 pasan por el origen de coordenadas. 
7) Demuestre que si entonces los cilindros 
 se cortan ortogonalmente en todos sus puntos 
comunes, si es que existen. 
8) Compruebe que las esferas 
 forman un sistema 
triortogonal. 
( )
( )
( )
2 2 2
2 2 2
, , 2 3
, ,
, ,
4 4 9
u x y z x y z
u x y z x z y
x y zu x y z
= + -
= + -
= + +
( )22ln yxZ +=
22 yxyxz --=
÷
ø
ö
ç
è
æ=
x
yarctgz
zRzyx 2222 =++
2222 =-- zyx
3
2
3
2
3
2
3
2
czyx =++
÷
ø
ö
ç
è
æ=
x
yfxz
122 += ra
( ) 22222 1 razxzx =-+=+
zczyxybzyxxazyx 222 222222222 =++=++=++
9) Trace los planos tg a la superficie x2 + 2 y2 + 3 z2 = k2 paralelo al 
plano x + 2y + 3z = 0 ( k2 =24 ). 
10) Muestre que la superficie x² – 2 y z + y ³ = 4 es ortogonal a cada 
superficie de la familia x² + (4 c – 2) y² - c z² + 1 = 0, en el punto de 
11) Que ángulo forman en su intersección las superficies x2 + y2 = r2 y 
( x – r) 2 + y2 + z2 = r2 en el punto 
12) Halle en la superficie x2 + 2 y2 + 3 z2 + 2xy + 2xz + 4 yz = 8 los 
puntos en los que los planos tg son paralelos a los planos 
coordenadas. 
13) Encuentre en un punto de la superficie x2 + 2 y2 + 3 z2 = 12, donde el 
plano tg es perpendicular a la recta cuyas ecuaciones paramétricas 
son: 
 x = 1 + 2t y = 3 + 8t z = 2 + 6t. 
14) Pruebe que las superficies dadas son tg en el puntoindicado. 
 a) x2 + y2 + z2 = 18 ; x y = 9, en Po ( 3, 3, 0 ) 
b) x2 + y2 + z2 - 8x- 8y – 6z + 24 = 0 ; x2 + 3 y2 + 2 z2 = 9, 
en Po ( 2, 1, 1) 
15) Demuestre que las superficies dadas son ortogonales en el punto 
indicado. 
 
 a) x2 + 2 y2 - 4 z2 = 8 ; 4 x2 - y2 + 2 z2 = 14, en Po ( 2, 2, 1) 
 b) x2 + y2 + z2 = 50 ; x2 + y2 - 10 z + 25 = 0 , en Po ( 3, 4, 5) 
16) Halle la ecuación de la recta tg a la curva intersección de z = x2 + y2 
y el plano y = x +1 así como la ecuación del plano normal en ( 1, 2, 5). 
17) Halle las ecuaciones de la recta tg y el plano normal a la siguiente 
curva en el punto indicado 
 x= a sen2 t ; y = b sen. t cos. t ; z = c cos2 t , en t = 1 /4 
18) Obtenga las ecuaciones simétricas de la recta tangente a la curva 
intersección de las superficies en el 
punto (3,-3,2). 
19) Encuentre las ecuaciones de la recta tangente a la curva intersección 
de las dos superficies en el punto que se indica, si las dos superficies 
dadas son tangentes en el punto dado, demuéstrelo. 
 a) 
 b) 
20) Halle el ángulo de intersección de las superficies 
 
 
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
0,
2
3,
2
rr
1024923 222222 =-+=++ zyxzyx
( )0,2,228 2222 --=+-=-+ zyxzyx
( ) ( ) ( )2,1,31cos2 zxsenyzyx pp +=+=
( ) ( )1,2,14ln3 22 --=-=+ yzxzyx