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TRABAJO PRÁCTICO N° 11 
 
DIFERENCIALES 
EJERCICIOS A RESOLVER POR EL DOCENTE EN LA CLASE 
PRÁCTICA: 
1)d); 4); 7); 8)c; 9)b; 14); 27). Ejercicios adicionales: 2) 
 
 
1. Defina función diferenciable y diferencial total de una función de “n” 
variables independientes z = f(x1, x2, . . ., xn). 
2. Enuncie, establezca hipótesis y tesis y demuestre la propiedad 
invariante de la diferencial total de funciones compuestas. 
3. Enuncie, establezca hipótesis y tesis y demuestre el teorema para 
determinar la diferencial total segunda de la función z = f(x, y). 
4. Relacione analítica y gráficamente al incremento total y el diferencial 
total de una función de dos variables independientes z =f(x, y). 
5. Defina diferencial exacta para una función de dos variables 
independientes 
z = f(x, y) 
 
Consigna: 
Emplee el software matemático que Ud. posea en su celular o en su 
computadora, para verificar los resultados obtenidos manualmente, en los 
siguientes ejercicios. 
 
1) Para cada una de las siguientes funciones halle ∆z y dz en los valores 
indicados. 
a) z = 3 x2 + 2 xy – y2 x = 1 y =4 ∆ x = 0,03 ∆ y = -0,02 
b) z = x y e xy x = 2 y = -4 ∆ x = 0,04 ∆ y = 0,01 
c) u = x y sen(xz) x = π/2 y = 1 z =1 ∆x=0,1, ∆y= 0,1, ∆z = -0,2 
d) z = x2 + y ex x = 0 y = 2 ∆ x = 0,1 ∆ y = 0,2 
2) Si F (x, y, z) = x y + ln ( y z ) obtenga: 
a) ∆ F( 4, 1, 5 ) cuando ∆ x = 0,02 ∆ y = 0,04 ∆ z = -0,03 
b) d F ( 4; 1; 5; 0,02; 0,04; -0,03) 
3) Considere la función 𝑓(𝑥, 𝑦) = 	 )
!"!#
""$#!
,				(𝑥, 𝑦) 	≠ (0,0)
0		𝑠𝑖	(𝑥, 𝑦) = (0,0)
, 
demuestre que f(x,y) no es diferenciable en (0,0) 
4) Sea 𝑓(𝑥, 𝑦) = 	 𝑥% + 𝑦%pruebe que es diferenciable en (0,0). 
5) Considere la función 𝑓(𝑥, 𝑦) = 	 /
"#
"!$#!
,				(𝑥, 𝑦) 	≠ (0,0)
0		𝑠𝑖	(𝑥, 𝑦) = (0,0)
 
a) Halle &'
&"
(0,0) y &'
&#
(0,0) 
b) ¿Es f(x,y) diferenciable en (0,0)? 
c) ¿Qué puede concluir de a) y b) respecto a la diferenciabilidad de la 
función? 
6) Estudie la continuidad, la diferenciabilidad y la existencia de las 
derivadas parciales de la función en el origen. 
𝑓(𝑥, 𝑦) = 0
𝑥𝑦%
𝑥! + 𝑦!
	𝑠𝑖	(𝑥, 𝑦) ≠ (0,0)
0															𝑠𝑖	(𝑥, 𝑦) = (0,0)
 
7) Sea la función 𝑓(𝑥, 𝑦) = 	 )
"!#
""$#!
,				(𝑥, 𝑦) 	≠ (0,0)
0		𝑠𝑖	(𝑥, 𝑦) = (0,0)
 
a) Halle &'
&"
(0,0) y &'
&#
(0,0) 
b) Aplique la definición y pruebe que: a) la 𝐷𝒖𝑓(0,0) = 	
)!
*
 con 𝑏 ≠ 0	y u 
= (a,b) vector unitario; b) la 𝐷𝒖𝑓(0,0) = 0 si b =0, donde el vector 
unitario u es (1,0). ¿Qué puede concluir con respecto a las derivadas 
direccionales de la función f en (0,0)? 
c) ¿Es f(x,y) diferenciable en (0,0)? 
¿Qué puede concluir de a) y b) respecto a la diferenciabilidad de la 
función? 
8) Determine la diferencial total de: 
a) 
b) 
734 23 -+-= yxyxw
xyyxz sencos -=
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
9) Use la diferencial total para hallar un valor aproximado de: 
a) 
b) 
 c) 
 d) 
 e) 
 f) 
 g) 
 h) 
10) Usando diferencial, calcule el error máximo que se comete al calcule la 
altura de un triángulo isósceles de base 6cm y lado 8cm, siendo el error 
de cada medida 0,1cm como máximo. Calcule también el error 
porcentual. 
11) Al medir el diámetro y el lado del cono circular recto se obtiene 10cm y 
20cm respectivamente. Si en cada medida hay un error probable de 
0,2cm. ¿Cuál es aproximadamente el mayor error posible en el valor 
calculado del volumen? 
12) Las dimensiones internas de una caja de metal, sin tapa, son 6 x 4 x 2 
cm, siendo el espesor 0,1 cm. Calcule el volumen exacto del material usado 
y compararlo con el volumen aproximado que se calcula usando 
diferenciales. 
13) El radio de la base y la altura de un cono circular recto se miden con un 
error del 1 %. ¿Cuál es el error en el volumen? 
zyx
xyzw
++
=
yy eexw -+= 2
( )
z
yzarctgxw
2
-=
( ) ( ) ( )yseneyeyxf xx -+= cos,
( ) 2
3
24,,
y
xzxzyxw +=
( ) ( )32 004,3.003,2.002,1
( )
( )3 4 3
2
05,198,0
03,1
!! 46tg.29sen
( ) 01.199.0arctg
5 22 99.101.6 -
( )( )34 2.16º44 -tg
( ) 2.1504.1 9.02 ++ e
( )201.1 02.01.1ln +e
14) El ángulo de elevación del extremo de una torre está calculado en 30º 
con u error posible de 0,5º y la distancia a la base es de 100m, con un error 
posible en la medida de 0,1m. Calcule el error posible en la medida de la 
altura de la torre. 
15) El área de un triangulo puede calcularse si se conocen la longitudes de 
dos lados y la medida del ángulo comprendido, siendo estas 6cm, 4cm 
y 30º respectivamente. ¿Qué error aproximado es de esperarse en el área 
si hay un error de 0,01cm en los lados y un error de 0.02º en el ángulo? 
16) La resistencia eléctrica de un circuito se halló empleando la formula I = 
E/R siendo I la intensidad de la corriente medida en amperios y E la 
fuerza electromotriz medida en Volt. Si hay un error de 1/10 de 
amperios en I y de 1/20 Volt en E: 
a) Cual es el valor aproximado del error de R si las lecturas son de I = 
15A y E = 110V. 
 b) Cual es el error porcentual. 
17) Las dimensiones de una caja son 10cm, 12cm, 15cm con un error posible 
de 0.02cm en su medición. Encuentre aproximadamente el error máximo 
en el volumen si el mismo se calcula a partir de las dimensiones dadas. 
Hallar el error porcentual. 
18) Una empresa va a fabricar 10000 cajas de madera cerradas, cuyas 
dimensiones son 3,4,5m. El costo de la madera que se empleara es de $1 
por metro cuadrado. Si las maquinas que se utilizaran para cortar la 
madera tienen un error posible de 0.5 cm en cada una de las dimensiones, 
calcule aproximadamente empleando diferencial total el máximo error 
posible en el cálculo del costo de la madera. 
19) La aceleración centrípeta de una partícula que se mueve por una 
trayectoria circular es a = v2/r donde v es la rapidez y r es el radio de la 
circunferencia. Estime mediante diferenciales el error porcentual en la 
aceleración si el error en v es del 2% y en el de r es del 1%. 
20) La inductancia L en μH de un conductor recto no magnético en el aire 
es: L = 0.00021( ln(2h/r)-0.75) donde h es la longitud del conductor en 
mm y r el radio de su sección en mm. Estime L cuando r=2 ± 1/16mm 
h=100± 1/100mm. 
21) El periodo de un péndulo de longitud L es donde g es la 
aceleración gravitacional. Un reloj de péndulo de longitud 75cm se 
lleva desde el Ecuador donde g = 9.81m/s2 a Groenlandia con g = 
g
LT p2=
9.83/s2. Debido a la diferencia de temperatura el péndulo se contrae 
3.5mm. ¿El reloj atrasa o adelanta? 
22) Si la ley del gas ideal PV = KT se emplea para obtener P cuando T y V 
están dados, pero existe un error al medir T de 0.3% y al medir V de 
0.8%, obtenga el máximo error porcentual aproximado de P. 
23) Un bote cilíndrico de material plástico de 3mm de espesor, sin tapa, tiene 
en su interior 150mm de ancho y 200mm de alto. Determine el volumen 
aproximado de material. 
24) Si cada una de las dimensiones de una caja rectangular se miden con un 
error que no exceda el 2% ¿Cuál es el porcentaje de error máximo 
aproximado que se comete en el cálculo del volumen? 
25) Al medir dos lados de un triángulo plano oblicuángulo se obtuvo 61m y 
78m respectivamente, y al medir en ángulo comprendido se obtuvo 60º. 
Estas medidas estaban sujetas a errores cuyos valores máximos eran de 
0.1m en cada longitud y 1º en el ángulo. Halle la dimensión del tercer 
lado con su error absoluto y relativo. 
26) Si dos resistencias eléctricas están conectadas en paralelo, la resistencia 
del circuito está dada por 1/R = 1/R1+1/R2. Si los valores de R1, R2 
están con un error de 2% ¿Cuál es el porcentaje de error máximo 
aproximado en R? 
27) La densidad relativa de un objeto está dada por la formula d = A/(A-W) 
donde A es el peso del objeto en el aire y W es el peso del objeto en el 
agua. Si A = 20N con un error posible de 0.01N y el peso W = 12N con 
un posible error de 0.02N. Calcule el error máximoen forma 
aproximada en la densidad relativa a partir de estas mediciones y el 
error relativo. 
 
Ejercicios Adicionales. 
1) Utilice el teorema que corresponde y demostrado en a clase teórica, para 
probar que la función es diferenciable en todo punto de su dominio. 
a) 
b) 
c) 
2) a) Dada la función 
( ) 22224 yxyx3x2y,xf --+-=
( )
y8x
y4x3y,xf 2 +
-
=
( ) xsen5xyln3y,xf +=
÷
ø
ö
ç
è
æ=+==
x
yarctgsyxlnrconez 22rs
1) calcule 
2) calcule 
3) verifique 
b) Dada la función z = u2+v2 con u = x+y v = x – y 
1) calcule 
2) calcule 
3) verificar 
3) Dada la función f : z = ex cosy, calcule dz, d2z, d3z, d4z 
4) Analice si las siguientes expresiones con exactas. 
i) 
ii) 
 
s,rdz
y,xdz
y,xs,r dzdz =
v,udz
y,xdz
y,xv,u dzdz =
( ) ( )dy1y2dx1x2 +-++
( ) ( )dyysec)xy2(senx2dx)xy2(seny2x3cos3 2+--