T P N 13 Campos Escalares y Vectoriales

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TRABAJO PRÁCTICO Nº 13 
 
CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES 
 
EJERCICIOS A RESOLVER POR EL DOCENTE EN LA CLASE 
PRÁCTICA: 
1)c); 3) c), g); 5) d); 6) c); 7) d): 8) c); 10) 
 
Repaso Teórico 
Analice, defina, enuncie y demuestre, cuando sea necesario, en las 
siguientes consignas: 
1. Campo escalar en el plano. 
2. Campo escalar en el espacio tridimensional. 
3. Campo vectorial en el plano. 
4. Campo vectorial en el espacio tridimensional. 
5. Operador diferencial vectorial nabla. 
6. Gradiente de un campo escalar. 
7. Divergencia de un campo vectorial. 
8. Rotacional de un campo vectorial. 
9. Invariantes de segundo orden. 
Consigna: 
Emplee el software matemático que Ud. posea en su celular o en su 
computadora, para verificar los resultados obtenidos manualmente, en los 
siguientes ejercicios. 
1) Dibuje algunos vectores representativos del campo vectorial dado. 
a) F(x, y)= x i + j 
b) F(x, y)= - y i + x j 
c) 𝐅(𝐱, 𝐲) = 	 !𝐲	𝐢%𝐱𝐣
(𝐱𝟐%𝐲𝟐
 
2) Dibuja los campos que se indican en los puntos de la forma (a,b), (a,2b) y 
(2a,2b) tomando para a y b los valores -1,0-1: 
a) F(x, y)= xi + yj , b) (x, y)= x2 i + yj 
3) Determine el campo vectorial gradiente de f(x, y). 
a. f(x, y)= x2 y – y3 
b. f(x, y, z) = x y z 
c. f(x, y) = ln (x + 2y) 
d. f(x, y, z) = x cos(y/z) 
e. f(x, y, z) = xy + yz + xz 
f. f(x,y,z) = 𝑥)𝑦 − 𝑧*. 𝑧 
g. f(x,y,z) = 𝑥	𝑠𝑒𝑛(𝑦). 𝑒+, 
h. f(x,y,z) =1𝑥) + 𝑦)+𝑧) 
4) Sabiendo que se cumplen las condiciones 𝑓 40,2, -
)
7 = 3	 y 
∇𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑠𝑒𝑛𝑦, 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦 + 𝑠𝑒𝑛𝑧, 𝑦	𝑐𝑜𝑠𝑧) para un campo escalar 
f(x,y,z), comprueba que dicho campo es f(x,y,z) = xseny+ysenz+1. 
5) Averigue si el campo vectorial dado es conservativo. En caso afirmativo 
determine la función potencial asociada. 
a. F(x, y)= 2xy3 i + 3x2y2 j 
b. F(x, y)= (x-y) i + (x-2) j 
c. F(x, y, z)= y2 i +(2xy + ℮3z) j + 3y℮3z k 
d. F(x, y, z)= yz i + xz j + (xy + 2z) k 
e. F(x, y, z)= ℮y i + x ℮y j + (z + 1) ℮z k 
f. F(x, y, z)= (x+y, x, 1) 
g. F(x, y, z)= (2xy, x2+z2, 2xy) 
6) Dadas los siguientes campos vectoriales. Determine: 
 i) El rotacional, 
 ii) La divergencia. 
a. F(x, y, z)= xyz i – x2y j 
b. F(x, y, z)= x2yz i + xy2z j + xyz2 k 
c. F(x, y, z)= yz i + xz j + xy k 
 y – z x – z x – y 
d. F(x, y, z) = ℮x seny i + ℮xcosy j + z k 
d. F(x, y, z)= i + (x +yz) j + (xy - √z) k 
e. F(x, y, z) = (𝑥*. 𝑦, 2. 𝑧. 𝑠𝑒𝑛𝑥, 𝑐𝑜𝑠𝑧) 
f. F(x, y, z) = (−2. 𝑥. 𝑦, 𝑦. 𝑠𝑒𝑛𝑧 + 𝑦) + 𝑧, 𝑐𝑜𝑠𝑧) 
g. F(x, y, z) = (4. 𝑥. 𝑒., 𝑥. 𝑙𝑛𝑧, 𝑦) 
7) Si f es un campo escalar y F un campo vectorial, enuncie un teorema, 
establezca hipótesis y tesis y demuestre las siguientes propiedades: 
a) rot(grad(f)) = 0 
b) div(rot(F))= 0 
c) rot(f. F) = grad(f) x F+f.rot(f) 
d) div(f.F) = f. div(F) + grad (f).F 
8) Si f es un campo escalar, F y G campos vectoriales, enuncie un teorema, 
establezca hipótesis y tesis y demuestre las siguientes propiedades: 
a) div(F´G)=G×rotF-F×rotG 
b) div(Ñf´Ñg)=0 
c) rot(f F)=f rotF+(Ñf´F) 
9) Sea r el campo vectorial de los vectores de posición y r el campo escalar 
de sus normas, es decir, r(x,y,z)=xi+yj+zk , r=|r|. Compruebe que Ñr = r/r 
div(rr) = 4r 
10) Inventa un campo vectorial F(x,y) cuya divergencia sea el campo escalar 
f(x,y)=x2 +y2 
Solución: F(x,y)= (x3/3) i+(y
3/3)j ó F(x,y)= xy2 i+yx2j