T P N 14 Integrales Dobles

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TRABAJO PRÁCTICO Nº 14 
 
INTEGRALES DOBLES 
EJERCICIOS A RESOLVER POR EL DOCENTE EN LA CLASE 
PRÁCTICA: 
1)h); 4) d), g); 6) d); 9) h); 11) f); 12)c. 
Ejercicos de aplicación Teorema Valor Medio: 1) a 
 
Repaso Teórico 
Analice, defina, enuncie y demuestre, cuando sea necesario, en las 
siguientes consignas: 
1. Suma de Riemann en integrales simples definidas. 
2. Integrales simples definidas. 
3. Suma de Riemann en integrales dobles. 
4. Tipos de regiones cerradas y acotadas en el plano. 
5. Integrales iteradas 
6. Integral doble sobre un rectángulo. 
7. Integral doble sobre una región general 
8. Propiedades de las integrales dobles 
9. Cálculo de las integrales dobles 
 
Consigna: 
Emplee el software matemático que Ud. posea en su celular o en su 
computadora, para verificar los resultados obtenidos manualmente, en los 
siguientes ejercicios. 
 
1) Represente en R2 las siguientes regiones de integración: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
h) 
 
( ){ }4≤y≤1-2,≤x≤0/yx,=R
( ){ }x≤y≤0,3≤x≤0/yx,=R
R= x,y( ) / -1≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x2 +2{ }
( ){ }y≤x≤y-4,≤y≤0/yx,=R
( ){ }3 y≤x≤08,≤y≤0/yx,=R
( ){ }2y≤x≤y2,≤y≤1-/yx,=R 2 +
( ){ }xln≤y≤0e,≤x≤1/yx,=R
( ){ }y≤x≤2-y2,≤y≤1-/yx,=R 2
2) Sea R la región del plano limitada por las curvas y = 2x, y= 2-x y la recta 
y=8. 
a) Represente gráficamente la región R. 
b) Describa la región R como una región del tipo T1. 
c) Describa la región R como una región del tipo T2. 
 
3) a) Represente la región R limitada por las rectas y = 1, y = 2, y = x, y = 
x/3. Describa la región R eligiendo la dirección más conveniente (Tipo T1 ó 
T2). 
b) Represente la región de integración y determinar los límites de integración 
para la , si R está limitada por: 
 
4) Represente la región de integración R acotada por las gráficas de las 
ecuaciones dadas. Exprese la como una integral iterada y 
luego cambie el orden de integración. 
 
5) Represente gráficamente la región de integración correspondiente a la 
integral iterada: 
òò
R
dA)y,x(f
( ){ }2y1,3x1/y,xR ££-££-=
òò
R
dA)y,x(f
03yx,x2y,y-3x e)
01-x,1yx,xlny,ey)d
8y,0x,xy)c
2y,0x,xy)b
0y,4x,xy)a
x
3
=++==
==+==
===
===
===
 
6) Invierta el orden de integración: 
a) ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)	𝑑𝑦	𝑑𝑥!"#
!
$
%
$ 
b) ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)	𝑑𝑥	𝑑𝑦&
'()
"&'()
)
") 
c) ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)	𝑑𝑦	𝑑𝑥
)* #+
#
!
% 
d) ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦	𝑑𝑥	 +#")"√-(#
%
") ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)	𝑑𝑦	𝑑𝑥
√-(#
"√-(#
-
% 
e) ∫ ∫ 𝑦	𝑑𝑦	𝑑𝑥	 +#$
)
$ ∫ ∫ 𝑦	𝑑𝑦	𝑑𝑥
√%"#!
$
√%
) 
7) Calcule las integrales dobles por integración sucesiva a) f(x,y)= xy(x + 
y) donde I = [0, 1] × [0, 1] . b) f(x,y)= sen2 xsen2y donde I = [0, π] × [0, π] 
. c) f(x,y) = sen (x + y) donde I = [0, π/2] × [0, π/2] . 
8) Calcule las integrales dobles si I = [0, 1] × [0, 1], 
f(x, y) = +				x	 + 	y,						si		𝑥
% 	≤ 	y	 ≤ 	2𝑥%	
0	, en	el	resto.
 
 
9) Evalúe la integral iterada: 
dydxd
dxdyc
dydxb
dxdya
ysen
xarctg
y
x
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
2 yln
1
3-
xe
1-
2-
y2
3
2
1-
2-x
4-2
y)f(x,)
y)f(x,)
y)f(x,)
y)f(x,)
p
p
 
10) Calcule ∬ 𝑥%	𝑦%𝑑𝑥	𝑑𝑦. siendo R la porción acotada del primer 
cuadrante situada entre las dos hipérbolas xy = 1 y xy = 2 y las líneas rectas 
y = x e y = 4x. 
11) Calcule: 
 a) ∬ (𝑥%	+5𝑦%)𝑑𝑥	𝑑𝑦. donde R = {(x, y) ∈ R 2 : y ≥ 0, 4 ≤ x 2 + y 2 ≤ 16}. 
b) ∬ (4𝑥 + 𝑦)𝑑𝐴. donde R = {(x, y) ∈ R 2 : 0 ≤ x ≤ 1, x3 ≤ y ≤ x}. 
c) ∬ (4𝑥 + 𝑦)𝑑𝐴. donde R = {(x, y) ∈ R 2 : 0 ≤ x ≤ 1, x3 ≤ y ≤ x}. 
d) ∬ (1	 + 	x)seny	𝑑𝐴. 	 siendo R el trapezoide de vértices (0,0), (1,0), 
(1,2), (0,1). 
e) ∬ (𝑥%	−𝑦%)𝑑𝐴. siendo D la región limitada por el eje OX y la gráfica 
de la función y = senx en el intervalo [0, π]. 
f) ∬ 𝑦	𝑠𝑒𝑛(𝑥𝑦)𝑑𝐴. , donde R = {(x, y) / 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ π} 
 
12) Calcule: 
a) ∫ ∫ 𝑥𝑦	𝑑𝑦	𝑑𝑥/0#$
1
) 
b) ∫ ∫ 𝑒#('𝑑𝑥	𝑑𝑦'$
)
$ 
c) ∬ '
!
#!
𝑑𝐴. donde R es la región limitada por D
𝑦 = 𝑥
𝑦 = 2
𝑥𝑦 = 1
 
d) ∬ 12𝑥	𝑑𝐴. donde R es la región limitada por +
𝑦 = 𝑥%
𝑦 = 2𝑥 
∫ ∫∫ ∫
∫ ∫∫ ∫
∫ ∫∫ ∫
∫ ∫∫ ∫
4
0
3
0
1
0 0
2
2
0
2y-4
0 2
3
0
0
2-
2
0 0
2
1
x
3x
1
x
0
2
1
x
x-1
2
,),y-1)
,
y-4
2),y)x2-()
,)cos1(),)
,ln),)
p
p
dxdyxsenedydxd
dydxhdxdyyxe
dxdyxgdxdyeb
dxdyxfdxdyyxa
y
xsen
xy
e
+
e) ∫ ∫ F𝑦		𝑐𝑜𝑠𝑦	𝑑𝑦	𝑑𝑥
!
#!
%
$ 
f) ∫ ∫ 𝑒"#
!𝑑𝑥	𝑑𝑦
)
%+
'
%+
)
$ 
g) ∬ 12𝑥%𝑒'
! 	𝑑𝐴. R región del primer cuadrante limitada por 𝑦 =
	𝑥-, 𝑦 = 𝑥 
 
Ejercicios de aplicación del Teorema del Valor medio del Cálculo 
integral. 
1) Encuentre el valor medio de la función: 
a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥F1 + 𝑦- sobre la región R limitada por 
R D
𝑦 = 2
𝑦 = 𝑥
𝑥 = 0
 Rta : 13/6 
b) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒#𝑦") %+ , R es la región del primer cuadrante limitada por 
I
𝑦 = 𝑥%
𝑥 = 0
𝑦 = 1
 
c) 𝑓(𝑥, 𝑦) = '
!
(#'())!
 sobre la región R limitada por +𝑦 = 𝑥
%
𝑦 = 𝑥 
2) Para una compañía completa la función de Cobb-Douglas es 𝑓(𝑥, 𝑦) =
100𝑥$.*𝑦$.!. Estime el nivel medio de producción si el número de unidades 
de trabajo varía entre 200 y 250 y el de unidades de capital entre 300 y 325. 
3) Halle el valor medio de 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 2𝑦 + 4	 sobre la región limitada 
por las rectas y =2x, y =3-x, y=0. 
4) Halle el valor medio de 𝑓(𝑥, 𝑦) = 	 𝑒"#! sobre la región R J
𝑥 = 0
𝑥 = 2
𝑦 = 𝑥
𝑦 = 2
 
5) Halle el valor medio de 𝑓(𝑥, 𝑦) = 	 '
!
(#'())!
 sobre la región R 
+0 ≤ 𝑦 ≤≤ 10 < 𝑥 < 𝑦 
6) Halle el valor medio de 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑥𝑦 sobre la región R +𝑦 = 	𝑥
%
𝑦 = 𝑥 
 
Ejercicios Adicionales 
1) Calcule las siguientes integrales dobles sobre las regiones R indicadas. 
Grafique cada región de integración. 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
 
2) Grafique la región de integración y resuelva la integral. 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
3) Grafique la región de integración y luego cambie el orden de 
integración. Resuelva. 
a) 
b) 
( ) dydxxy .41
3
1
1
0
ò ò +
( ) dxdysenyx ..
2
0
2
0
ò ò
p
( ) dxdyxy .6
5
0
4
1
2ò ò
( ) dxdyyx .3
3
0
2
0
2ò ò +
( ) dxdyy
senx
.
0 0
ò ò
p
dydx
y
y
.
2
1
2
ò ò
( ) p===òò xxyxyRdAxsen
R 2
12:
( ) 22 : xyxyRdAxy
R
==òò
( ) cuadranteprimeryxRdAxy
R
1: 22 =+òò
( ) xyxyRdAyx
R
==òò 22 :
( ) xyxxyxRdAyx
R
====+òò 122:6
dxdyy
x
.1
1
0
1
2ò ò +
dxdy
y
seny
x
.
0
ò ò
p p
c) 
 
4) Calcule la integral doble de la función f, en la región R, que se indican 
en cada caso. 
a) f(x, y) = x R: y = x2 y2 = x 
b) f(x, y) = y R: (x2/ a2) + (y2/ b2) = 1. primer cuadrante 
c) f(x, y) = ey/x R: y = x2 y = 0 x = 1 
d) f(x, y) = x2y R: triángulo de vértices (0, 0), (0, 1), (1, 
e) f(x, y) = y + y3 R: y = x y2 = x 
f) f(x, y) = 4- x2- y2 R: y = (1- x2)1/2 y = 0 
g) f(x, y) = sen x2 R: y = x y = 0 x = 1 
h) f(x, y) = x + y + 1 R: (x2/4) + y2 = 1 x2 + (y2 /4) = 1 
i) f(x, y) = 1 R: x - 2y + 8 = 0 x2 = 8y 
j) f(x, y) = x2 + y2 R: x2 + y2 = 1 primer cuadrante 
 
 
( ) dxdyyx
x
x
.
1
0 2
ò ò +