T P N 17 Cambio de variables en integrales triples

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TRABAJO PRÁCTICO Nº 17 
 
CAMBIO DE VARIABLES EN INTEGRALES TRIPLES 
 
EJERCICIOS A RESOLVER POR EL DOCENTE EN LA CLASE 
PRÁCTICA: 
1)b); 2) a); 3); 8); 11); 16) 
 
 
Repaso Teórico 
Analice, defina, enuncie y demuestre, cuando sea necesario, en las 
siguientes consignas: 
1. Transformación de ℜ	3 en ℜ	3 
2. Jacobiano de una Transformación de ℜ 3 en ℜ 3 
3. Teorema de Integración con Cambio de Variables de ℜ 3	en	ℜ 3 
4. Transformación de Coordenadas Cilíndricas Circulares a Cartesianas 
5. Teorema	de	Integración	en	Coordenadas	Cilíndricas	Circulares. 
6. Transformación de Coordenadas Cilíndricas Elípticas a Cartesianas 
7. Teorema	de	Integración	en	Coordenadas	Cilíndricas	Elípticas 
8. Transformación de Coordenadas Esféricas a Cartesianas 
9. Teorema de integración en Coordenadas Esféricas 
Consigna: 
Emplee el software matemático que Ud. posea en su celular o en su 
computadora, para verificar los resultados obtenidos manualmente, en los 
siguientes ejercicios. 
 
1) Determine el jacobiano de cada una de las transformaciones que se indican 
 a) x = u(1-v) y = uv(1-w) z =u.v.w 
 b) x = eau y = ebv z = ecw 
c) x = r.cosθ y = r.senθ z = z 
d) x = ρ.cosθ.senφ y = ρ.senθ.senφ z = ρ.cosφ 
 
2) Transfome a coordenadas cilíndricas y evalúe la integral iterada: 
a) ∫ ∫ ∫ 𝑧	𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥!"
√$%&!
%√$%&!
$
" 
b) ∫ ∫ ∫ '(')'&
*&!+)!
	*&
!+)!
"
&
"
$
" 
3) Use coordenadas esféricas para evaluar la siguiente integral iterada: 
( ( ( )𝑥! + 𝑦! + 𝑧!
*$%&!%)!
%*$%&!%)!
√$%&!
%√$%&!
$
%$
	𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥 
4) Calcular donde R está limitada por:
 . 
5) Plantear para la región limitada por: 
 
6) Calcule la integral triple sobre la región cerrada y acotada R de la 
función integrable f(x, y, z) = xyz2, siendo R la esfera de radio dos. 
7) Calcule la integral triple sobre la región cerrada y acotada R de la 
función integrable f(x, y, z) = x2y2, siendo R definida por: x2 + y2 ≤ 1, 
0≤ z ≤ x2 + y2 
8) Calcule la integral triple sobre la región cerrada y acotada R de la 
función integrable f(x, y, z) = xy2, siendo R definida por:. 
x2 + y2 + z2 = 1, z > 0, x2 + y2 = z2, exterior al cono. 
9) Calcule la integral triple sobre la región cerrada y acotada R de la 
función integrable f(x, y, z) = 1, siendo R definida por: x2 + y2 = 2x, 
x2 + y2 = 4x, z = 0, z= 3. 
10) Calcule la integral triple sobre la región cerrada y acotada R de la 
función integrable f(x, y, z) = 1, siendo R definida por: el cilindro 
circular r = 2acosθ, el cono z = r y el plano z = 0 
11) Calcule la integral triple sobre la región cerrada y acotada R de la función 
integrable f(x, y, z) = ex(y2 + z2)1/2, siendo R definida por: x = 1, x = 2, 
 z2 + y2 = 4, z2 + y2 = 9. 
12) Calcule la integral triple sobre la región cerrada y acotada R de la función 
integrable f(x,y,z)= x(x2 + y2 + z2)1/2, siendo R definida por la 
intersección de la esfera de radio uno, con el cilindro circular recto 
 x2 + y2 = 1/4. 
 
ò òò +-
R
yx dVez )(
22
0422 ³=+ yyx 300 =³³ zzx
( )òòò
R
dvzyxf ,,
22 zxy +=
4122 ==+ yzx
13) Calcule la integral triple sobre la región cerrada y acotada R de la 
función integrable f(x, y, z) = 1, siendo R definida por: x2 + y2 = 2x, 
x2 + y2 = 4x y y los planos z=-1, z= 3. 
 
14) Calcule la integral triple sobre la región cerrada y acotada R de la 
función integrable f(x, y, z) = 1, siendo R definida por: x2 + y2 = 4z, 
x2 + y2 = 16, y el plano xy. 
15) Calcule la integral ∭ (2𝑧𝑥! + 2𝑧𝑦!)𝑑𝑣	, , siendo R la región 
exterior a la hoja superior del cono z 2 = x 2 +y 2 e interior al cilindro x 2 + y 
2 = 1, con z ≥ 0. 
16) Si R es el sólido limitado por el elipsoide &
!
-!
+ &
!
.!
+ &
!
/!
= 1 , calcule 
∭ 2&
!
-!
+ &
!
.!
+ &
!
/!
3 𝑑𝑣, 
17) Calcule la integral ∭ )𝑥! + 𝑦!, 	𝑑𝑣, siendo R el sólido formado 
por la hoja superior del cono z 2 = x 2 + y 2 y el plano z = 1. 
18) Calcule la integral ∭ (𝑥! + 𝑦!), 	𝑑𝑣 siendo R el sólido limitado por 
la superficie 2z = x 2 + y 2 y el plano z = 2. 
19) Calcule la integral de la funcion f(x,y,z)=x en el sólido interior al cono 
𝑧 = 	)2𝑥! + (𝑦 − 2)! , que se encuentra debajo del plano z = 2. 
20) Calcule la integral triple de la función f(x,y,z) = xyz sobre el sólido 
formado por los puntos exteriores al cono z2 =x2+y2 e interiores al cilindro 
x2+y2 =1. 
21) Calcule la integral triple de la función f(x,y,z) = e(x2+y2+z2)3/2 sobre 
la región esférica unitaria centrada en el origen.