9789587618693

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Fernando Zalamea
E D I T O R
E N S AYO S S O B R E M AT E M Á T I C A S
Y C U LT U R A C O N T E M P O R Á N E A
E N S AYO S S O B R E M AT E M Á T I C A S
Y C U LT U R A C O N T E M P O R Á N E A
Bogotá D. C.
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DEPARTAMENTO DE FILOSOFÍA 
Fernando Zalamea
E D I T O R
con la colaboración de 
Alexander Cruz, Alejandro Martín, 
Gabriel Restrepo y Andrés Villaveces
y obras de arte de
María Clara Cortés y Regina Silveira
E N S AYO S S O B R E M AT E M Á T I C A S
Y C U LT U R A C O N T E M P O R Á N E A
Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ciencias Humanas
Departamento de Filosofía
© 2013, editor
Fernando Zalamea
© 2013, varios autores
© 2013, Universidad Nacional de Colombia
Primera edición
Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ciencias Humanas
Comité Editorial
Sergio Bolaños Cuéllar, decano
Jorge Rojas Otálora, vicedecano académico
Luz Amparo Fajardo, vicedecana de investigación
Jorge Aurelio Díaz, profesor especial
Ángela Robledo, profesora asociada
Yuri Jack Gómez, profesor asociado
Preparación editorial
Centro Editorial
Esteban Giraldo, director
Jorge Enrique Beltrán Vargas, coordinación editorial
Diana Marcela Murcia Molina, coordinación gráfica
Diseño de colección: Diana Murcia Molina
Desarrollo gráfico: Endir Roa Basto
editorial_fch@unal.edu.co
www.humanas.unal.edu.co
Bogotá, 2013
Prohibida la reproducción total o parcial por cualquier medio,
sin la autorización escrita del titular de los derechos patrimoniales.
catalogación en la publicación 
universidad nacional de colombia
Rondas en Sais: ensayos sobre matemáticas y cultura contemporánea / editor Fernando Zalamea; 
con la colaboración de Alexander Cruz... [et ál.] – Bogotá: Universidad Nacional de Colombia. 
Facultad de Ciencias Humanas. Departamento de Filosofía, 2012. 308 pp. 
Incluye referencias bibliográficas
ISBN : 978-958-761-310-0
1. Filosofía de las matemáticas 2. Matemáticas y arte 3. Matemáticas y literatura 
I. Zalamea Traba, Fernando, 1959- II. Cruz Morales, John Alexander
CDD-21 510.1 / 2012
Contenido
Prólogo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
PRIMERA PARTE
Precedentes históricos
josé ferreirós 
Matemáticas y pensamiento: 
en torno a imágenes, modelos, 
abstracción y figuración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15
arnold oostra 
Matemáticas, lógica y arquitectónica en Peirce . . . . . . . . . . . .41
francisco vargas 
Aritmología, infinito y trascendencia: 
hacia el lugar de las matemáticas 
en la filosofía de Pavel Florenski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61
SEGUNDA PARTE
Momentos cruciales de las matemáticas contemporáneas
john alexander cruz morales
Hacia una filosofía galoisiana de las matemáticas . . . . . . . . . .83
gabriel restrepo 
Alexander Grothendieck, 
¿el pasaje al fin de la melancolía? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .97
jesús hernando pérez 
Bill Lawvere y la lógica categórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
andrés villaveces 
Creatividad matemática y hermenéutica 
en Shelah y Zilber . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
TERCERA PARTE
Enlaces con la cultura contemporánea
javier de lorenzo 
Matemática y filosofía contemporánea . . . . . . . . . . . . . . . . 193
javier moreno 
Auge, muerte e inesperada resurrección 
de una teoría matemática de la narrativa . . . . . . . . . . . . . . . 213
alejandro martín 
Algunas conexiones sueltas entre cine 
contemporáneo y matemáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
fernando zalamea 
Matemáticas y arte contemporáneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
Apéndices 
I. Antología mínima. Reflexiones de grandes matemáticos 
contemporáneos: Grothendieck, Shelah, 
Connes, Gromov, etc.
john alexander cruz morales, andrés villaveces 
y fernando zalamea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
II. Lecturas recobradas. Inventividad literaria y matemática: 
fragmentos de Musil, Broch, Borges, Novalis, etc.
fernando zalamea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
III. Sobre las artistas
Regina Silveira
alejandro martín . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
María Clara Cortés
fernando zalamea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
Índice de obras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
Índice onomástico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
9
Prólogo
L os trabajos que intentan entrelazar matemáticas y cultura —bus-cando conectar formas «precisas» del pensamiento con otras ex-presiones más «plásticas»— se restringen usualmente a describir 
una serie de lugares comunes en la historia de la matemática: los sólidos 
platónicos, las armonías musicales y celestes, el número de oro, la pers-
pectiva renacentista, las máquinas de Leonardo, los dibujos de Escher, 
entre otros tantos temas saciadamente analizados. Nuestro objetivo en 
esta compilación puede considerarse casi ortogonal a las pesquisas an-
teriores, al buscar sintetizar algunas ideas centrales de las matemáticas 
modernas (1830-1950) y contemporáneas (1950-hoy), así como discutir la 
compenetración de algunas de esas ideas con la cultura como un todo. 
De hecho, el pensamiento matemático «avanzado» contemporáneo ha 
explorado con sumo detalle algunas fuerzas directrices —tránsitos fron-
terizos, contaminaciones estructurales, deformaciones conceptuales, flu-
xiones plásticas, procesos reflexivos, por ejemplo— que han permeado la 
cultura en el último medio siglo, y que no aparecen ni en las matemáticas 
«elementales», ni en las consideraciones acostumbradas alrededor de los 
«lugares comunes» recién señalados.
La compilación Rondas en Sais. Ensayos sobre matemáticas y cultura 
contemporánea pretende extender el panorama y ampliar nuestra inteli-
gencia (entendida como trans/formación de la in/formación) al informar 
sobre algunos desarrollos profundos en matemáticas contemporáneas y 
reflexionar sobre las transformaciones que esos avances pueden llegar a 
producir en el ámbito general de la cultura. En homenaje a Los discípu-
los de Sais (1798) de Novalis, y continuando con la simbiosis de ciencia, 
arte y filosofía presente en su clarividente Borrador general (1798-1799), 
Rondas en Sais reúne ensayos expresamente preparados para esta ocasión 
por reconocidos especialistas del mundo hispánico en historia y filosofía 
de las matemáticas. Con ello se registra un estado de la cuestión por vez 
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primera a nivel internacional —en cualquier idioma— y se plantean pro-
blemáticas y guías a desarrollar en el futuro próximo. 
El volumen se distribuye en tres partes bien definidas, donde se 
exploran tres puntos de vista «no estándar»: (I) revisión de altas contri-
buciones, no siempre bien conocidas (Riemann, Peirce, Florenski), en el 
corazón de la matemática moderna; (II) síntesis de panoramas creativos 
de punta (Grothendieck, Lawvere, Connes, Shelah, Zilber) en la matemá-
tica contemporánea; (III) correlaciónde las ideas anteriores con procesos 
paralelos en filosofía, literatura, cine y artes plásticas. La primera parte se 
inicia con José Ferreirós, quien nos presenta, alrededor de Bernhard Rie-
mann (1826-1866), algunas interacciones entre el ascenso de las matemá-
ticas abstractas y la aparición del enfoque modelista de las teorías entre 
científicos y filósofos. Arnold Oostra muestra luego cómo esa plasticidad, 
imprescindible en el matemático revolucionario, se corresponde con la 
visión arquitectónica de un pensador mayor, como resulta ser Charles San-
ders Peirce (1839-1914). Francisco Vargas concluye la primera parte con 
un análisis fresco y original de la aritmología infinitaria de Pavel Florenski 
(1882-1937), uno de los genios olvidados del pensamiento moderno.
La segunda parte aborda temáticas rara vez tratadas en trabajos de 
reflexión matemática. Alexander Cruz muestra la vigencia de las ideas 
de Évariste Galois (1811-1832) en el desarrollo de las matemáticas con-
temporáneas, y propone la construcción de una filosofía galoisiana de las 
matemáticas, abierta, dialéctica y dinámica. Gabriel Restrepo realiza un 
análisis fascinante y supremamente dúctil de las ensoñaciones de Alexan-
der Grothendieck (n. 1928) y de su inigualable capacidad inventiva. Je-
sús Hernando Pérez estudia las categorificaciones centrales propuestas por 
William Lawvere (n. 1937) en su programa de reconstrucción sintética 
del pensamiento matemático. Finalmente, Andrés Villaveces aborda el 
entendimiento de la creatividad y la hermenéutica en las figuras de Saha-
ron Shelah (n. 1945) y Boris Zilber (n. 1949), dos de los grandes lógicos 
matemáticos de las últimas décadas. En todos los casos, el lector apro-
vechará descripciones y consideraciones críticas enteramente novedosas. 
Las primeras dos partes de la compilación utilizan herramientas de 
las «ciencias humanas» (filosóficas, históricas, semióticas) para acercarse 
a las «ciencias exactas» (matemáticas). En realidad, los bordes entre las 
disciplinas son (y deberían ser) más vagos y plásticos, como esta compila-
ción lo pretende. La tercera parte intenta devolver explícitamente el mo-
vimiento del péndulo. Las matemáticas se observan ahora como redes que 
se integran al hacer cultural. Javier de Lorenzo —posiblemente el mayor 
filósofo de las matemáticas de habla hispánica en la historia— nos regala 
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una amplia reflexión sobre los vaivenes del pensamiento matemático y 
filosófico. Javier Moreno crea un texto muy personal donde entrevera al 
matemático y al literato en acción, como sucede con el autor mismo de 
esas sinuosas líneas. Alejandro Martín combina su pasión cinematográfica 
con su conocimiento de primera mano de las matemáticas contemporá-
neas, en un sugestivo ensayo lleno de alternancias especulares. Finalmen-
te, Fernando Zalamea descubre nuevos reflejos entre notables artistas y 
matemáticos contemporáneos: Kabakov y Grothendieck, Caro y Con-
nes, Kiefer y Shelah.
Dos apéndices proporcionan textos provenientes de ambas vertien-
tes del péndulo. El Apéndice I incluye reflexiones directas de algunos cru-
ciales matemáticos contemporáneos (Grothendieck, Serre, Langlands, 
Lawvere, Shelah, Zilber, Atiyah, Manin, Gromov, Connes) reunidas aquí 
por vez primera, y brevemente comentadas por Cruz, Villaveces y Za-
lamea. Por su parte, el Apéndice II reúne textos de literatos y filósofos 
modernos (Novalis, Goethe, Valéry, Musil, Broch, Cassirer, Borges) que 
ilustran, mediante citas «no estándar», la fina comprensión del pensa-
miento matemático que pueden alcanzar ciertas mentes ilustradas. Por 
último, debe resaltarse el tono diagramático y visual del volumen, gracias 
a la inclusión de obras de Regina Silveira (Brasil) y de María Clara Cortés 
(Colombia), que entreveran —en lo hondo y lo abismal— la invención 
artística y la invención matemática. El Apéndice III presenta brevemente 
el trabajo de las artistas, labor tal vez superflua ante la belleza y la profun-
didad de las imágenes incluidas. 
Fernando Zalamea
Universidad Nacional de Colombia
PRIMERA PARTE
Precedentes históricos
Matemáticas y pensamiento: 
en torno a imágenes, modelos, 
abstracción y figuración
José Ferreirós*1
Universidad de Sevilla
Viena y Leipzig, 1921. La revista Annalen der Naturphilosophie, edita-da por el químico Wilhelm Ostwald2, publica un trabajo de difícil clasificación: un ensayo escrito en aforismos sobre el conocimiento 
y sus límites, sobre el mundo y «lo que no se puede hablar», pulido durante 
la Gran Guerra por Ludwig Wittgenstein. En esta obra tersa y difícil, ape-
nas 78 concentradas páginas, se ofrece un intento de clarificación definiti-
va de las cuestiones filosóficas fundamentales. En el centro de su reflexión 
está la lógica y su enlace con el mundo, tema articulado en torno a las ideas 
de Bild, figura o imagen, y Abbildung, figuración o representación. Toda la 
propuesta de Wittgenstein denota, inequívocamente, una impronta mo-
dernista; es muestra ejemplar de un giro cultural que la horrenda guerra ha 
acentuado y radicalizado. Por estos años comenzará a hablarse de estructuras 
en diversos campos, no el último las matemáticas, y el esfuerzo arquitec-
tónico se orientará a una pureza de líneas, un purismo funcional unido 
* josef@us.es
2 Ostwald fue premio Nobel y trató de promover una cosmovisión científica «monista»; 
impulsó también la historia de la ciencia.
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—quizá sorprendentemente— a la búsqueda de una transcendencia a tra-
vés de esas austeras estructuras. Esto que cabe aplicar, por ejemplo, a los 
lienzos de Kandinsky o las partituras de Webern se aplica no en menor 
grado al hermoso Tractatus logico-philosophicus de Wittgenstein3. 
Consideremos, por ejemplo, la famosa teoría pictórica o figural 
(Bild-theorie) del significado. Los enunciados de nuestros lenguajes son ex-
presión de los pensamientos, que a su vez son imágenes, Bilder, de los estados 
de cosas en el mundo; en la base de todo está el hacernos una imagen, o Bild, 
de un hecho, un modelo de la realidad: el figurar o representar, abbilden 
(Wittgenstein 1921, 2.1). Naturalmente, Wittgenstein —y sus antecesores— 
emplean estas palabras en un sentido amplio y algo abstracto4. «La figura 
o imagen lógica de los hechos es el pensamiento», nos dice en el Tractatus 
(punto 3). Aún más, la propia lógica es, según Wittgenstein, una imagen del 
mundo5: como dijo en frase memorable, «Die Logik ist […] ein Spiegelbild 
der Welt», la lógica es imagen especular del mundo (Wittgenstein 1921, 6.13). 
Pese a toda su novedad y a su aire modernista, la composición ló-
gico-filosófica del vienés es también un nudo que liga receptivamente 
propuestas y desarrollos con un recorrido ya considerable. Es bien sabido 
que hay pocos nombres citados expresamente en el Tractatus: apenas Fre-
ge, Russell y Hertz. Y es sabido que en la obra del físico Heinrich Hertz 
se encuentran pasajes que enfatizan las ideas de imagen y representación, 
Bild y Abbildung, como claves para entender la función del pensamiento 
científico y su enlace con la realidad.
El objeto de este breve ensayo será mostrar la genealogía de dichos 
conceptos, persiguiéndola a través de un recorrido ondulante que atrave-
sará los territorios de la ciencia, las matemáticas y la filosofía. Debería ser 
algo sabido: las fronteras son obra del hombre, y solo existen en nuestra 
vida social y en nuestra imaginación, por dura que pueda ser la consisten-
cia que en ocasiones manifiestan.
1. Generalidades
Los traspasos de fronteras que acabamos de evocar quedan a menu-
do inatendidos por los académicos. Hay diversas fuentes de tal ceguera, 
3 Traducido en Alianza Editorial.
4 En lo que sigue, para clarificar el discurso, emplearé a menudo las palabras alemanas en 
cuestión. Al lector le bastará saber que Bilder es plural de Bild, y que el verbo derivativo 
abbilden ‘representar pictóricamente’ da lugar al sustantivo Abbildung‘representación’. 
5 La tesis es polémica y muy discutible, pero no podemos centrarnos aquí en esa cuestión.
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entre ellas —dejando a un lado las visiones partidistas del pasado y el 
presente— lo que podríamos denominar «ceguera disciplinar»: el mate-
mático mira atrás buscando contribuciones matemáticas que lleven a lo 
que se percibe relevante en el contexto actual de las matemáticas, y aná-
logamente el filósofo o el físico. Es fácil advertir que esta ceguera discipli-
nar va unida a un cierto tipo de «whiggismo», que de todas formas es más 
habitual entre académicos que en el mundo del arte; la compensación es 
un mayor rigor en las afirmaciones que los primeros realizan. Idealmente, 
la comprensión de cambios en el mundo del pensamiento, como los que 
vamos a considerar, requiere de una aproximación bien interdisciplinar.
Sea o no casual, lo cierto es que los autores de los que hablaremos en 
las páginas siguientes pertenecen al contexto de habla alemana. Y dicho 
contexto, en los años que median de 1800 a 1940, resultó ser un excelente 
vivero de intercambios entre el pensamiento filosófico y el científico. Las 
figuras híbridas, y de alto interés, del científico-filósofo o del filósofo-cien-
tífico resultan fáciles de encontrar en ese contexto y tiempo —de Kant a 
Einstein, por citar dos ejemplares paradigmáticos que marcan el inicio y 
el fin de la era—. Otros ejemplares serán los que asomen a estas páginas: 
Herbart, Riemann, Helmholtz, Dedekind, Hertz y Wittgenstein.
Pero esa misma riqueza del contexto complica la tarea de rastrear con 
fidelidad el entramado de las influencias y las afluencias. Quizá merezca la 
pena rememorar algún ejemplo al que me vi enfrentado tempranamente, 
cuando empezaba a trabajar sobre la historia del pensamiento matemáti-
co. Estudiando las obras de Dedekind, de alto interés en cuanto marcan 
un cambio de estilo arquitectónico en matemáticas, encontraba múltiples 
sugerencias del influjo de ideas filosóficas propias de Leibniz y de Kant. 
El primer impulso, naturalmente, fue perseguirlas en detalle y trazar su 
genealogía en obras concretas de estos filósofos; en el caso de Leibniz, lo-
gré argumentos muy elaborados sobre el cómo y el dónde de esas supues-
tas influencias. Todavía hoy considero altamente probable que Dedekind 
hubiera leído la Crítica, los Nuevos ensayos, etc.; sin embargo, el ejercicio 
crítico de historiador me hizo advertir que ninguno de mis argumentos era 
seguro. Comprendí que las ideas kantianas y leibnizianas estaban tan am-
pliamente diseminadas en el XIX alemán, que podían afluir por mil vías, 
a través de obras y escritos de matemáticos (Gauss, Riemann, Hamilton, 
y Grassmann), científicos (el físico Weber y Helmholtz) y filósofos (Fries, 
Lotze —quien fue maestro de Dedekind en la universidad—, etc.). Así las 
cosas, se impuso un cierto grado de circunspección, y aprendí una lección 
valiosa sobre las fuentes directas e indirectas de la transmisión cultural.
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Volvamos ahora a las representaciones o aplicaciones, lo que en 
alemán actual se designa por Abbildung. Dicho término fue acuñado 
precisamente por Dedekind, en una obra de 18886, siguiendo la estela 
de aportaciones más fragmentarias de Gauss y Riemann, quienes fueron 
sus maestros. Para decirlo en términos sencillos y próximos a los de De-
dekind, una aplicación, o Abbildung φ, es una ley que correlaciona los 
objetos de cierto dominio D con los de otro C, llamado contradominio, 
de tal manera que a cada objeto de D le corresponde un, y solo un, objeto 
de C. Siendo d un elemento de D, su correlato φ(d) se llama la imagen, 
Bild, de d; análogamente, se dice que d es el elemento origen o el original 
de φ(d). Además, todo el conjunto de elementos de C que son imágenes 
de algún elemento de D puede ser llamado «la imagen de D» y denotado 
por φ(D); lo cual correspondería a todo el cuadro que representa una es-
cena original. La terminología es de obvia inspiración pictórica, y el pro-
pio Dedekind decía en una carta que la aplicación o representación es «el 
pintor que pinta»; pero sin duda la idea puede aplicarse a la relación entre 
los símbolos del pentagrama y los sonidos musicales, como a cualquier 
otro lenguaje, incluidas las representaciones científicas.
El momento clave en que se acuñó esta elegante idea, desarrolla-
da enseguida por el propio Dedekind para trabajar con aplicaciones que 
preservan ciertas estructuras (lo que luego se llamarían morfismos), tie-
ne un carácter epocal en cuanto marca la transición entre la matemática 
«clásica» y la llamada «moderna» o del siglo XX. Dicha transición transfi-
guró las matemáticas de tal manera que el paso del XIX al XX ha sido lla-
mado un auténtico Renacimiento de las matemáticas. Claro está que las 
aplicaciones o representaciones de Dedekind entroncan con las funciones 
concretas que estudiaba el álgebra y el análisis en la época clásica, pero 
precisamente abandonan el elemento concreto (venir definidas por una 
fórmula analítica) para instalarse en una simplicidad, generalidad y abs-
tracción típicamente modernas. También inauguran esas aplicaciones, y 
sobre todo los morfismos, el camino hacia nuevas cotas de abstracción 
conceptual que acabarán plasmándose en las flechas y los functores de la 
teoría de categorías (véanse los artículos de la segunda parte). Dedekind 
es claramente reconocible, así, como un hito en el camino hacia la ma-
temática contemporánea, tal como lo ejemplifica su reconceptualización 
6 ¿Qué son y para qué sirven los números?, de la que existe versión en español publicada por 
Alianza Editorial (1998). Veáse el § 2, «Representación [Abbildung] de un conjunto».
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de la teoría de Galois, ofrecida en 18947, y tal como reconocieron los alge-
bristas Emmy Noether y Emil Artin, entre otros.
La plasmación de la idea moderna de aplicación debe ser vista como 
un momento álgido en una transformación de longue durée, y, especial-
mente, notable que ha afectado en profundidad al pensamiento filosófico 
y científico. Me refiero al paso de una concepción sustancial-causal de 
los fenómenos, que fue característica del pensamiento antiguo y medie-
val, a la concepción relacional-funcional, propia de la contemporanei-
dad. Los modelos sustanciales y causales se han revelado incompletos e 
insuficientes para la comprensión de los fenómenos físicos, humanos y 
sociales8. Al tiempo, de la mano de la física y del análisis matemático, iba 
teniendo lugar el ascenso de las funciones a un primer plano dentro de 
los modelos científicos admitidos. Toda la ciencia actual aspira a formu-
lar modelos relacional-funcionales capaces de predecir con exactitud los 
diversos tipos de fenómenos, al modo en que la teoría gravitatoria (ya sea 
newtoniana o relativista) describe las interacciones mediadas por la gra-
vedad, o en que las teorías cuánticas (elementales o de campos) describen 
los fenómenos debidos al electromagnetismo y a las fuerzas nucleares. El 
triunfo del pensamiento funcional, en términos de aplicaciones, se gestó 
durante el siglo XVIII y principios del XIX, en la época que —vista desde 
las matemáticas— llamaríamos de Euler y Gauss. Desde entonces no ha 
dejado de consolidarse, a pesar y a través de todas las transformaciones de 
diversos tipos en ciencia y en matemáticas. Volveremos a este tema.
2. La inflexión Riemann
Veamos a continuación algunos aspectos de la obra y el pensamiento 
de Bernhard Riemann, cuya enorme figura intelectual supone un verdadero 
punto de inflexión en la historia del pensamiento matemático y científico. 
7 La teoría de Galois —verdadera clave del álgebra moderna— nació en escritos del famo-
so francés hacia 1830, pero Dedekind fue el primero en formularla de manera plenamen-
te moderna, en términos de grupos de automorfismos de un cuerpo (en el apéndice XI 
a las Vorlesungen über Zahlentheorie, [Lejeune-Dirichlet y Dedekind 1894]);esta ver-
sión muy abstracta sería popularizada por Emil Artin treinta años más tarde.
8 Nota para filósofos: la idea de lo causal admite varias definiciones, y hay una tendencia 
importante a llamar «causales» a los modelos científicos en uso hoy; pero tal uso lingüís-
tico es anacrónico cuando se aplica al momento álgido del pensamiento causal, y por esta 
y otras razones me parece muy confundente. Reservo pues la idea de causalidad para la 
relación simple de causa-efecto que ocupó, por ejemplo, a Hume en su famosas páginas 
críticas, y que Kant quiso defender haciéndola a priori como una de las categorías.
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Naturalmente, las matemáticas son una obra colectiva, y prácticamente 
nada de importancia puede reducirse a la aportación de un único «genio» 
(noción por lo demás muy denostada —quizá exageradamente— entre los 
historiadores de hoy). Aún así, algunos matemáticos concentran de tal ma-
nera motivos y tendencias pregnantes, que despiertan nuestro asombro y 
nos invitan a preguntarnos cómo habrían sido las cosas sin sus propuestas. 
Es el caso de Riemann, cuya obra, al decir de un importante matemático 
del XX, está llena de «mensajes crípticos destinados al futuro».
El relacionismo y la idea de Abbildung desempeñan papeles clave en 
diversos lugares del pensamiento de Riemann, pero nuestra aproxima-
ción al tema comenzará en los terrenos de la filosofía. Digamos rápida-
mente que Riemann fue discípulo de Gauss en la Universidad de Gotin-
ga, al igual Dedekind, quien consideró a su compañero algo mayor como 
un verdadero maestro. Una característica importante de los matemáti-
cos de Gotinga fue resaltada por el físico, y gran colaborador de Gauss, 
Wilhelm Weber: «Con Dirichlet y Riemann, Gotinga ha seguido siendo 
la plantación de la orientación filosófica más profunda en investigación 
matemática, en la que se convirtió con Gauss» (Weber 1886)9.
El topos de lo relacional se fue haciendo más y más presente en las 
reflexiones de los filósofos durante la época que acotamos arriba. Segu-
ramente no es casualidad que Leibniz, inventor del cálculo, fuera uno de 
los pioneros de este giro y uno de los que más insistieron en las relaciones 
como clave de lo real. Desde su original metafísica, donde toda mónada 
contiene una representación (más o menos parcial) del universo, hasta 
en sus contribuciones científicas, vemos aparecer aquella idea en formas 
diversas. Incluso se atrevería a aplicar esos conceptos a las ideas matrices 
de espacio y tiempo, ofreciendo un enfoque que, sin embargo y pese a 
Einstein, nunca ha terminado de elaborarse en forma satisfactoria. El to-
pos siguió su curso en autores centrales, como Kant, y parece haber alcan-
zado un momento culmen durante el siglo XIX. En esa época, un autor 
poskantiano y de inspiración leibniziana, un filósofo-científico llamado 
Herbart, llegó a decir que todo nuestro conocimiento es de relaciones, 
tanto en lo perceptivo como en lo teórico: «Vivimos entre relaciones y no 
necesitamos nada más» (Ferreirós 2000, XXXVII). Lo que hay, tanto en la 
realidad última postulada por su metafísica, como en nuestros conteni-
dos mentales10, son sobre todo relaciones y registros de relaciones.
9 Véase Ferreirós (2000), xxvii.
10 Herbart elaboró una novedosa psicología, apareciendo en las historias de esta discipli-
na como figura de transición a la psicología científica. También se le considera muy 
relevante en historia de la pedagogía. Véase Ferreirós (2000).
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Johann Friedrich Herbart nos interesa porque fue considerado por 
Riemann como maestro fundamental en cuestiones filosóficas. Sin em-
bargo, no es personaje que suela aparecer en las historias de la filosofía, en 
parte por la ceguera disciplinar de la que hablábamos11. Herbart elaboró 
una nueva e interesante teoría del conocimiento: quizá por vez primera 
en un filósofo, aparece una epistemología abiertamente hipotético-de-
ductiva, coherente con el enfoque experimental de las ciencias naturales. 
Insistió en que nuestras teorías son producto de la modificación gradual 
de ideas anteriores, que resultan de una dialéctica entre experiencia y re-
flexión; es decir, del esfuerzo reflexivo por acomodar en el plano teórico 
los datos de experiencia adversos a las viejas ideas. Rechazó de plano el 
apriorismo kantiano diciendo que la «hipótesis» de las formas de la in-
tuición espacial y temporal fue «completamente superficial, carente de 
contenido e inapropiada», pues se trataba meramente de «un par de reci-
pientes infinitos vacíos en los que los sentidos deben verter sus sensacio-
nes, sin [dar] ninguna razón de la configuración y ordenación» (Herbart 
1825, 428). Y a propósito de las categorías del entendimiento —que en-
tre otras cosas regulan, según Kant, nuestra comprensión de sustancias y 
fuerzas—, decía:
La multitud de errores cometidos [en la historia de la ciencia] acerca de 
las sustancias y las fuerzas demuestra fácticamente que los correspondientes 
conceptos no están fijos y determinados en el espíritu humano, que no son 
en absoluto categorías o conceptos innatos, sino productos mudables de una 
reflexión estimulada por la experiencia y alterada por todo tipo de opiniones. 
(Herbart 1826, 198) 
El matemático, filósofo y científico Bernhard Riemann aceptó plena-
mente esta posición de rechazo al apriorismo, de gradualismo evolutivo 
en las teorías científicas, y el esquema hipotético-deductivo de «experien-
cia» y «reflexión». Dicha posición, unida a su notable independencia de 
pensamiento, le permitió adelantar ideas que tardarían décadas en pa-
recer razonables a otros científicos. En particular, se situó más allá del 
positivismo que reinaba en su época, se permitió sugerir que la teoría 
gravitacional newtoniana —que entonces pasaba por definitiva— sería 
abandonada por otras teorías más adecuadas, y propuso novedosísimas 
11 Los filósofos del XX han retroproyectado sus ideales y trazado su propia genealogía en 
las historias a la moda, prefiriendo escoger como propios del Zeitgeist decimonónico a 
autores cercanos a la línea de Hegel-Marx, o bien a la de Schopenhauer-Nietzsche.
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nociones geométricas que, precisamente, darían el marco matemático 
para la teoría gravitacional de Einstein (la relatividad general).
Riemann no siguió a Herbart en todos los campos de la filoso-
fía. En particular, rechazó sus teorías psicológicas y su metafísica, ela-
borando posiciones que, precisamente, enfatizan más el relacionismo. 
(Así, Herbart defendió una versión de la monadología leibniziana, y 
consideró a dichos entes inmateriales y esencialmente activos como 
sustancias; Riemann le replica que el supuesto carácter sustantivo de 
las «mónadas» de Herbart queda contradicho por los atributos centra-
les que el mismo autor les asigna.) Aunque rechazó partes importantes 
de la concepción herbartiana del espacio y del continuo, es indudable 
que Herbart le transmitió una concepción relacional y no kantiana del 
espacio, que tiene mucho que ver con el gran aporte riemanniano a 
la geometría. Pero más que esto, aquí va a interesarnos la idea de apli-
cación, Abbildung, tal como la elabora Riemann en su teoría de fun-
ciones, y sus reflejos en una concepción pictórica o modelista de las 
representaciones científicas; temas donde parece haber enlaces entre la 
matemática y la filosofía del autor. 
Herbart pensaba que la matemática era especialmente cercana a la 
filosofía, y juzgaba posible darle un tratamiento muy filosófico, a tal pun-
to que «tratada filosóficamente se convierte ella misma en una parte de la 
filosofía» (Herbart [1807] 1964, 275). En gran medida, la contribución de 
Riemann se nos antoja una realización de esa idea, muy profunda, pero 
muy distinta de lo que Herbart hubiera podido imaginar. Riemann se 
dedicó a la búsqueda de conceptos básicos en torno a los cuales fuera po-
sible reestructurar y reorganizarramas completas de la matemática, y que 
permitieran excavar más hondo en sus fundamentos. Estaba convencido 
de que una investigación matemática que «partiera de conceptos gene-
rales» contribuiría decisivamente a que el pensamiento científico «no se 
vea entorpecido por las limitaciones de los conceptos, y que los prejuicios 
transmitidos no impidan el avance del conocimiento» (Ferreirós 2000, 
CLXXXIX)12. Fue así como llegó a proponer nociones próximas a los con-
ceptos modernos de conjunto y aplicación, que a su vez rastreó en las 
raíces del pensamiento científico.
La fama de Riemann como matemático, en vida, se debió a sus 
contribuciones a la «teoría de funciones», es decir, el análisis en variable 
12 Riemann, «Sobre las hipótesis en que se funda la geometría» (1854-1868) (citado en 
Ferreirós [2000, CLXXXIX]).
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compleja13. Permítaseme decir unas palabras sobre este tema, para que se 
comprenda su enlace con la idea pictórica o modelista del conocimiento. 
En teoría de funciones le pareció a Riemann que era imprescindible ale-
jarse de la matemática calculística y basada en fórmulas, en favor de un 
enfoque francamente conceptual, lo que hoy solemos llamar abstracto. 
El concepto general clave para refundar la teoría de funciones sería el 
de ‘función analítica’, o más específicamente lo que hoy se llama una 
función holomorfa14. Este concepto no lo definió de manera calculística, 
sino mediante una propiedad muy general: la simple diferenciabilidad 
de la función en torno a un punto cualquiera (ecuaciones de Cauchy-
Riemann). Partiendo de ahí, con el fin de caracterizar «a vista de pájaro» 
cada función concreta, el muy original planteamiento de Riemann com-
binaba elementos geométricos (más propiamente, topológicos —dis-
ciplina que prácticamente inventó—) con otros originarios de la física 
matemática. Las fórmulas concretas del análisis (series infinitas, integra-
les) debían aparecer solo al final, como un resultado de la teoría general 
abstracta; con ello Riemann trazaba un punto de inflexión en el camino 
hacia la matemática abstracta del siglo XX.
Lo anterior tenía otra consecuencia que llamó la atención de Rie-
mann: si la variable compleja se concibe como un plano, la función esta-
blece una correspondencia entre dos planos15. Y las funciones holomor-
fas, precisamente, establecen una aplicación conforme entre ambos; esto 
es, «aplican las partes de una superficie sobre las de la otra, de modo 
que la imagen es similar al original en las partes mínimas» (Gauss 1825): 
esto es, un triángulo infinitesimal tiene como imagen otro triángulo de 
ángulos iguales y lados proporcionales16. Encontramos aquí, en versión 
geométrica y bien pictórica, las ideas de aplicación (Abbildung), original 
e imagen (Bild); la función es el pictor que pinta y conforma. Entre la 
variable compleja y su correlato holomorfo se da un «isomorfismo», se 
conservan las formas. En relación con este tema, nuestro autor propuso y 
demostró —sin el debido rigor— el célebre teorema de aplicación de Rie-
13 Basado en los números a + bi, donde i es la famosa unidad compleja, √–1; el conjunto 
de todos estos números pueden pensarse como un sistema geométrico bidimensional, 
el plano complejo.
14 El término holomorfo fue empleado por dos alumnos de Cauchy, Briot y Bouquet; 
deriva del griego (holos), entero, y de (morphē), forma o apariencia.
15 Si la función w = f(z) es continua, dice Riemann en su tesis doctoral, «se podrá conce-
bir dicha dependencia de la magnitud w respecto a z como una aplicación [Abbildung] 
del plano A en el plano B» (Ferreirós 2000, CXXX).
16 La frase de Gauss inspiró a su discípulo. Una aplicación conforme preserva ángulos y formas 
en torno a cada punto, pero puede realizar ciertas deformaciones que afectan al tamaño.
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mann (que da la existencia de una aplicación conforme entre cualquier 
dominio simplemente conexo y el disco unidad), uno de los teoremas 
más importantes del análisis complejo.
Pero, bien mirado y mutatis mutandi, algo análogo ocurre con todas 
las funciones o aplicaciones, por más que la correlación pueda eliminar 
toda traza de forma geométrica o incluso topológica: aún así, la existen-
cia misma de una relación funcional continua o bien biyectiva establece 
profundas analogías estructurales entre un lado y el otro. Esta idea, tan 
filosófica, sin duda ocupó a Riemann y le inspiró ciertas consideraciones 
epistemológicas; también a Dedekind, animándole a ampliar la termino-
logía pictórica de Bild y Abbildung a toda función en general.
Podemos sin más pasar a ver qué reflejo encuentra esa idea en la 
epistemología riemanniana. La metodología hipotético-deductiva de 
Riemann se apoya en la noción de ‘verdad’, entendida en la clásica ver-
sión de correspondencia con los hechos que ya planteara Aristóteles:
I. ¿Cuándo es verdadera nuestra concepción del mundo?
«Cuando la conexión entre nuestras representaciones [Zusammenhang 
unserer Vorstellungen] se corresponde con la conexión entre las cosas». 
... 
II. ¿De qué modo se debe establecer la conexión entre las cosas 
[Zusammenhang der Dinge]?
«A partir de las conexiones entre las apariencias [Erscheinungen]» 
(Riemann 2000, 100-1). 
Pero, aunque lo dicho aquí pueda parecer muy visto, también a este nivel 
Riemann consigue introducir reflexiones innovadoras que no han dejado 
de tener sus correspondencias en el siglo XX. Concretamente, en vena her-
bartiana, el matemático indica que la correspondencia interesante no se 
da entre elementos simples de nuestros sistemas conceptuales y elementos 
simples de la realidad, sino entre las respectivas relaciones. Las relaciones 
entre los elementos de nuestra representación del mundo deben reflejar 
fielmente las relaciones entre las cosas. En comentario a I. dice:
Los elementos de nuestra imagen del mundo [Bild von der Welt] son total-
mente distintos de los correspondientes elementos de lo real representa-
do. Son algo en nosotros; los elementos de lo real son algo fuera de noso-
tros. Pero las conexiones [Verbindungen] entre los elementos en la imagen 
y en lo representado [Elementen im Bilde und im Abgebildeten] deberían 
coincidir, si es que la imagen ha de ser verdadera. La verdad de la imagen 
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es independiente de su grado de finura; no depende de si los elementos 
de la imagen representan cantidades mayores o menores de lo real. Pero 
las conexiones deben corresponderse entre sí; en la imagen no debe supo-
nerse una acción inmediata [unmittelbare Wirkung] entre dos elementos, 
cuando en la realidad solo tiene lugar una mediata. En tal caso la imagen 
sería falsa y necesitada de rectificación […]. (Riemann 2000, 101)
Las explicaciones de Riemann a este respecto recuerdan enormemente 
la famosa teoría figurativa del pensamiento y el lenguaje propuesta por 
Wittgenstein al comienzo de su Tractatus, empezando —claro— por la 
terminología muy riemanniana de ‘Bild’ y ‘Abbildung’. Sería interesante 
saber si Wittgenstein, además de estar influido por el físico Hertz, leyó 
también con cuidado las obras de Riemann. Quizá no. Lo que es suma-
mente probable, en cualquier caso, es que Hertz las leyera.
3. Reflejos en ciencia y matemática... 
y nuevos destellos
A través de la terminología pictórica de imagen y representación 
(Bild y Abbildung) se produce simultáneamente una inversión: un des-
plazamiento semántico y un alejamiento de la concepción ingenua. Pues, 
de hecho, Riemann y Dedekind —en la estela del relacionismo leibnizia-
no y herbartiano— están insistiendo en que el elemento en la figura que 
representa cierto elemento real no tiene por qué guardar similitud alguna 
con este: aquella forma que se preserva en las representaciones correctas 
no es la forma de los elementos, sino la forma de las relaciones entre ellos. 
Así pues, la terminología tan sugerente y tranquilizadoramente familiar 
de las imágenes esconde una ideanueva y ajena al sentido común. Esta 
idea del carácter simbólico y no icónico de las imágenes científicas17, de 
la convencionalidad de los modelos y representaciones científicas, se va 
a reflejar en diversos logros de la ciencia de aquel tiempo, que a su vez le 
darán nuevo impulso.
Dos experiencias históricas de gran calado epistemológico se dan 
cita en el siglo XIX, en torno a la matemática y la física: la superación del 
17 Sigo la terminología de Charles S. Peirce, quien emplea ‘signo’ como término genérico 
o paraguas bajo el cual caen iconos, índices y símbolos; el icono guarda similitud con 
lo que representa, a diferencia del símbolo. La obra de Riemann es, por supuesto, ante-
rior a la de Peirce, y también es independiente la de Dedekind.
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marco euclidiano y el abandono de la imagen mecánica del mundo. En 
ambas están centralmente implicados los autores alemanes que vamos a 
concitar enseguida: Riemann, Helmholtz y Hertz (junto con otros de va-
rias nacionalidades: Gauss, Lobachevskii, Bolyai, Faraday, Maxwell, Lo-
rentz, Poincaré, Einstein). Un tercer logro relacionado con aquellos, que 
apenas tenemos tiempo de evocar, es una profundización de la reflexión 
sobre las sensaciones y la experiencia perceptual, que se renueva sobre 
bases experimentales (de nuevo Helmholtz y otros). 
Si hay algún signo matemático o científico que se nos antoje icónico 
por antonomasia son las figuras geométricas, los «triángulos, círculos» y 
otros «caracteres» que —según el dicho celebérrimo de Galileo— forman 
el lenguaje en que está escrito el «gran libro de la naturaleza»18. La geo-
metrización de la imagen física del mundo lograda por Kepler y Galileo 
pareció, pues, ofrecernos una incursión directa en la realidad de las cosas, 
una familiaridad íntima con las formas reales. Quizá el movimiento más 
sísmico que se produjo en el XIX, en lo tocante a epistemología científica, 
fue precisamente el distanciamiento de esa comprensión ingenua. Con la 
terminología que hemos ido estableciendo puede decirse de forma direc-
ta y breve: la clave fue el pensamiento, muy nuevo, de que las imágenes 
geométricas de lo real físico no son icónicas, sino simbólicas; al menos cuan-
do nos alejamos de los rangos medios en que se mueven nuestros cuerpos 
y nuestra experiencia habitual, para dirigirnos a lo muy pequeño (atómi-
co) o a lo muy grande (cósmico).
El problema estaba implicado ya en la idea misma de línea recta, 
tan difícil de precisar, ya que lo esencial del comportamiento de las rectas 
(expresado en los postulados sobre paralelas) involucra una propiedad 
global y no local de ellas; es decir, atañe a lo infinitamente grande. Ya 
Gauss vio muy claro este problema, advirtiendo que era un asunto em-
pírico determinar si es la geometría de Euclides o la de Lobachevskii el 
mejor candidato para simbolizar las relaciones físicas a gran escala. Rie-
mann fue aquí su sucesor, al tiempo que le dejaba atónito con la rique-
za de posibilidades geométricas que expuso al introducir las variedades 
riemannianas, o sea, las geometrías de (tensor de) curvatura variable, en 
la célebre conferencia «Sobre las hipótesis en que se funda la geometría» 
(1854-1868). En este marco, las geodésicas o líneas de mínima longitud 
desempeñan el papel de las rectas; si la curvatura es igual en todos los 
18 Aunque su relación con lo designado está lejos de ser trivial, ya que los iconos geomé-
tricos se manipulan según están concebidos y no según están pintados: por ello sus 
referentes no tienen por qué estar dados empíricamente.
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puntos, descendemos a geometrías más intuitivas, como las de Euclides y 
Lobachevskii (y la geometría «elíptica» de Riemann); finalmente, el caso 
límite en que la curvatura es constante e igual a cero es el caso euclidiano, 
en el que las geodésicas son las líneas rectas de nuestra intuición. La dia-
léctica entre lo local y lo global, que pasaría a desempeñar un papel cen-
tral en el pensamiento matemático desde entonces, fue un asunto central 
para Riemann —quizá el primer matemático que dio este paso—. No 
pudiendo adentrarnos aquí en este fascinante tema, remitimos al lector a 
la edición castellana de las obras selectas de Riemann (2000)19.
Por otro lado, el problema de lo local o lo infinitamente pequeño 
era asunto candente en el XIX, ya que el núcleo de las matemáticas lo 
constituía el análisis (real y complejo) que se elabora sobre el cálculo 
infinitesimal, y en el centro de las teorías físicas estaban leyes diferencia-
les20. Riemann de nuevo lo vio muy claro, llegando a decir que «las leyes 
verdaderamente elementales solo pueden ocurrir en lo infinitamente 
pequeño, solo para puntos del espacio y el tiempo» (citado en Ferreirós 
2000, LVII). Pues bien, a escala atómica pierden su validez «el concepto 
de cuerpo sólido y el de rayo de luz» en los que basamos las determina-
ciones métricas y geométricas usuales, por lo cual la geometría adecuada 
a lo «infinitamente pequeño» bien podría no ser euclidiana. Y así lo de-
beríamos suponer «tan pronto como esto permitiera explicar los fenó-
menos de manera más simple» (Riemann 2000, 16). La cuestión era del 
máximo interés para la teoría física del momento, ya que en las décadas 
centrales del XIX se realizaban grandes esfuerzos por encontrar una teo-
ría correcta del electromagnetismo. Esta teoría, asociada al nombre de 
Maxwell, fue el mayor avance en la física entre Newton y las teorías 
cuánticas del siglo XX.
En este campo se dio una intrincada dialéctica entre las exigencias de 
inteligibilidad y la explotación de la nueva libertad teórica implícita en la 
concepción pictórico-abstracta de los modelos (libertad explicitada en las 
herramientas matemáticas del nuevo análisis). También Riemann, como 
Faraday antes que él y como Maxwell, realizó una apuesta decidida por las 
teorías de campo en lugar de las fuerzas de acción a distancia. Se trataba 
de rechazar algo difícilmente compatible con la intuición física, a saber, 
«que un cuerpo pueda actuar sobre otro a distancia a través del vacío, 
19 Hay otros muchos títulos que tratan estas cuestiones, entre los cuales, por ejemplo, 
está el atractivo libro La poesía del universo, de Robert Osserman (1997).
20 Por ejemplo, ecuaciones en derivadas parciales como la ecuación de ondas, las de La-
place y Hamilton (en mecánica clásica), las ecuaciones electromagnéticas de Ampère y 
más tarde las de Maxwell, etc.
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sin la mediación de nada más», idea que el propio Newton adoptó solo 
como expediente explicativo, pero que llegó a calificar como «un absurdo 
tan grande» que es inaceptable para una mente «competente en asuntos 
filosóficos» (citado en Riemann 2000, 122-123). En su lugar, Riemann y 
Maxwell pusieron la acción local entre puntos del éter, de acuerdo con 
ciertas ecuaciones en derivadas parciales. Las célebres cuatro ecuaciones 
de Maxwell —que naturalmente no se corresponden de manera simple 
con lo que publicó el gran científico escocés— tuvieron un éxito sin pre-
cedentes no solo en la explicación de la electricidad, el magnetismo y sus 
interrelaciones, sino también al reducir las ondas de luz a fenómeno elec-
tromagnético, y al predecir la existencia de ondas de radio.
Fue precisamente Heinrich Hertz, discípulo de Helmholtz en la 
Universidad de Berlín, quien en 1888 logró construir un aparato que 
emitía y detectaba ondas electromagnéticas, sentando las bases de una 
tecnología que hoy domina nuestras vidas. Como Maxwell y Helmholtz, 
como el propio Newton, Hertz fue a la vez un gran teórico y un gran 
experimentador. Veremos enseguida que continuó la senda de Riemann 
retomando la concepción pictórico-abstracta de las imágenes científicas. 
Pero ahora interesa prestar atención a otro aspecto de su trabajo. 
En la búsqueda de sus ecuaciones, Maxwell se había apoyado en 
idear modelos mecánicos relativamente simples.Eran los tiempos del 
mecanicismo, de la creencia en el poder ilimitado de las acciones me-
cánicas atractivas y repulsivas para explicar todos los fenómenos, desde 
los movimientos planetarios y la luz hasta los estímulos nerviosos. Pero 
el propio Maxwell fue consciente de que sus mecanismos imaginarios 
no podían dar plena cuenta de las acciones descritas por las ecuacio-
nes de su teoría. En realidad, se trataba de un problema ya endémico: 
la hipótesis del éter adoptada en las teorías de la luz como onda (de 
Fresnel en adelante) se había demostrado, a fin de cuentas, intratable; 
si era un medio mecánico, el éter lumínico parecía tener propiedades 
inconsistentes. 
Hertz heredó este problema a través de los trabajos de Helmholtz 
sobre el electromagnetismo, y a los pocos años llegó a convencerse de 
la corrección de la teoría de Maxwell, que ponía fin al dominio de las 
newtonianas acciones a distancia e inauguraba el reinado de los campos 
físicos. Pero Hertz se convenció de la necesidad de dar un paso más (un 
pequeño paso desde el punto de vista técnico, pero un giro enorme ha-
cia la abstracción en ciencia, con claras repercusiones epistemológicas): 
abandonó la idea de que los modelos de campos admitirían una interpre-
tación mecanicista, y expresó esta idea de la manera más elocuente:
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A la pregunta, «¿qué es la teoría de Maxwell?», no conozco una respues-
ta más breve y más concreta que la siguiente: la teoría de Maxwell es 
el sistema de ecuaciones de Maxwell. [Las cuales se deben] considerar 
como suposiciones hipotéticas, haciendo que su probabilidad dependa 
del gran número de leyes naturales que engloban. (Hertz 1892, citado 
por Sánchez Ron 1998, LX-LXI)
Con estas palabras se estaba levantando acta del nuevo estatus que alcan-
zó la teoría física hacia 1900: el mecanicismo fue definitivamente aban-
donado; la época de los modelos visualizables de base mecánica había 
terminado, y comenzaba la era de la abstracción matemática21. 
La situación, en cierto sentido y con algunas matizaciones impor-
tantes, es muy pitagórica. Hermann Weyl ha señalado cómo los intentos 
de dar un significado físico directo a las ecuaciones de la física, por medio 
de un lenguaje sugerente, no pasan de establecer metáforas más o menos 
afortunadas, analogías que siempre resultan poco satisfactorias, vagas, 
imprecisas y superficiales. De ahí la experiencia común de que la teoría 
física no puede ser adecuadamente comprendida más que por quienes 
dominan su estructura matemática (naturalmente a la par del modo en 
que se interpreta y aplica en casos paradigmáticos de laboratorio, en ex-
perimentos reales y también imaginarios).
4. Hemlholtz y Hertz
Volvamos a nuestra historia sobre el enfoque pictórico de las teorías 
científicas. La influencia clave en el caso de Wittgenstein parece haber 
sido Hertz. Diversos autores han señalado que, a su vez, Hertz heredó 
buena parte de su concepción de su maestro en la Universidad de Berlín, 
el polímata Hermann von Helmholtz22. Sin embargo, la realidad parece 
haber sido distinta, y la influencia de Riemann sobre Hertz resulta más 
que probable. 
Curiosamente, la pareja formada por Riemann y Helmholtz es 
profundamente indicativa de tendencias muy hondas del pensamiento 
científico en los siglos XIX y XX. Herederos ambos de reacciones a la epis-
temología kantiana, profundos conocedores de la matemática, la física y 
21 Una magnífica exposición divulgativa de este asunto, que consigue explicarlo sin una 
sola fórmula matemática, puede encontrarse en Einstein e Infeld (1995).
22 Véanse Schiemann (1998) y Heidelberger (1998).
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la filosofía, las visiones de Helmholtz y Riemann apuntan en dos direc-
ciones discordantes que serían de gran impacto en el siglo XX. 
Helmholtz representa un neokantismo científico, orientado en una 
dirección empirista, y hace ya décadas que viene siendo celebrado como 
predecesor del empirismo lógico del XX. Riemann en cambio, herbartia-
no y, por tanto, radicalmente enfrentado con el apriorismo kantiano, no 
menos científico que su colega, se orienta en la dirección de enfatizar el 
carácter hipotético de toda teoría científica, su carácter de «construcción 
simbólica» del mundo. Si se quiere decir de manera escolar, mientras 
Helmholtz es el predecesor del Círculo de Viena, Riemann abre la vía 
hacia posiciones como las de Popper (o también, con diferentes énfasis y 
matices, hacia las de Weyl y otros).
La divergencia quedó apuntada con total claridad en las reacciones 
de un científico a los trabajos capitales del otro. Una primera reacción 
se dio en el último artículo de Riemann, réplica al magnífico libro de 
Helmholtz La teoría de las sensaciones del tono como base fisiológica para la 
teoría musical (1863)23. La segunda e inversa tuvo lugar tras la publicación 
del epocal artículo de Riemann «Sobre las hipótesis en que se funda la 
geometría» (1868). Helmholtz se apresuró a replicar en el mismo año, y 
de forma significativa tituló su trabajo: «Sobre los hechos en que se funda 
la geometría». Tatsachen frente a Hypothesen, hechos —que hablarían de 
geometrías de curvatura constante— frente a las hipótesis de Riemann… 
Y, sin embargo, los supuestos hechos de Helmholtz quedarían contradi-
chos por una nueva teoría: la Relatividad General einsteiniana, que ins-
tauró las geometrías riemannianas de curvatura variable. 
Quienes piensan que la Bild-theorie de Hertz viene de su maestro 
citan algunos pasajes de una conferencia importante que impartió Hel-
mholtz en 1878: «Los hechos en la percepción». Aquí insiste Helmholtz 
en una idea que, sin duda, está muy conectada con los temas que veni-
mos visitando:
Nuestras sensaciones son justamente efectos producidos sobre nuestros 
órganos por causas exteriores; evidentemente, el modo en que estos efec-
tos se manifiestan depende esencialmente del tipo de órgano sobre el cual 
se producen. En la medida en que la cualidad de nuestras sensaciones nos 
informa de las características de las causas externas que las producen, pue-
den ser consideradas como signos [Zeichen] de los objetos externos, pero 
no como imágenes [Abbilder]. Pues se exige de una imagen que posea una 
23 Ver Riemann (2000, 89-92).
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cierta similitud con el objeto representado, de una estatua una similitud 
de forma, de un dibujo una similitud de proyección perspectiva en el 
campo visual, o de una pintura una similitud de colores. Un signo, por el 
contrario, no exige ninguna suerte de similitud con aquello de lo que es 
signo. La relación de uno al otro se limita a que el mismo objeto, afectan-
do los sentidos bajo las mismas condiciones, produce siempre el mismo 
signo. [...] Puesto que las mismas cosas en el mundo de la experiencia son 
indicadas por los mismos signos, a la serie regular de las mismas causas 
productoras de los mismos efectos les corresponderá una serie regular en 
el dominio de nuestras sensaciones. (Helmholtz [1879] 1859, 18-19)
Sin duda hay aquí un énfasis sobre la idea de correspondencia funcional 
entre estímulo y sensación, a la vez que se insiste sobre la no correspon-
dencia entre elementos; es decir, sobre el carácter «convencional» o di-
similar de las cualidades secundarias (viejo tema resaltado por Galileo y 
Descartes, entre muchos otros, y tratado ya abundantemente por los filó-
sofos griegos, de Demócrito a los escépticos24). Pero Helmholtz escoge su 
terminología de tal manera que rechaza la concepción pictórica: pueden 
ser consideradas como signos [Zeichen], nos dice, pero no como imágenes, 
no como Abbilder. Y es así precisamente porque insiste —por decirlo de 
este modo— en la pintura figurativa y no admite el giro a lo abstracto. 
Precisamente, los especialistas hablan de la Zeichen-theorie de Helmholtz, 
su teoría de signos, mientras que en Riemann y Hertz encontramos una 
Bild-theorie.
Así pues, la opción de Riemann es la contraria,y es esta la que sigue 
Hertz; lo cual se me antoja muy coherente con el hipotético-deductivis-
mo de Riemann frente al empirismo de Helmholtz. (Conviene aclarar, 
por cierto, que los fragmentos epistemológicos de Riemann se hicieron 
públicos en 1876, con la primera edición de sus obras; las ideas relacio-
nadas de Dedekind se publicaron, en contexto puramente lógico-mate-
mático, en 1888. Todo ello muchos años antes del libro clave de Hertz.) 
También llama la atención que Hertz, como vimos arriba en su comenta-
rio a la teoría electromagnética, no compartía la tendencia de su maestro 
berlinés a presentarlo todo como derivado de «hechos», sino que insistía 
en el carácter hipotético de principios físicos fundamentales.
24 Dice Demócrito (Demócrito frag. 125 Diels-Kranz): «Por convención, el color; por 
convención, lo dulce; por convención, lo amargo; pero en realidad solo átomos y va-
cío. [Y responden los sentidos:] ¡Mente infeliz! Tú que obtienes de nosotros tus con-
vencimientos, ¿tratas de acabar con nosotros? Nuestra caída sería tu ruina».
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Cito a continuación el famoso pasaje de Hertz, en la introducción 
a su libro Los principios de la mecánica, presentados de una forma nueva 
(1894), donde se habla de las teorías e hipótesis científicas como imágenes:
El problema más inmediato, y en cierto sentido el más importante, que 
debería ayudarnos a resolver nuestro conocimiento consciente de la Na-
turaleza, es la anticipación de eventos futuros, de modo tal que poda-
mos disponer nuestros asuntos presentes de acuerdo a dicha anticipación. 
Como base para resolver este problema hacemos siempre uso de nuestro 
conocimiento de eventos que ya han ocurrido, obtenidos sea por observa-
ción casual, sea por experimento predeterminado. Al esforzarnos así por 
extraer inferencias sobre el futuro desde el pasado, siempre adoptamos el 
procedimiento que sigue: nos formamos imágenes internas [innere Schein-
bilder] o símbolos de los objetos externos; y la forma que les damos es tal 
que las consecuencias necesarias en el pensamiento [denknotwendigen Fol-
gen] de las imágenes [Bilder] son siempre imágenes de consecuencias na-
turales necesarias [naturnotwendigen Folgen] de los objetos representados 
[abgebildeten Gegenstände]. A fin de que este requisito sea satisfecho, debe 
haber una cierta conformidad entre la Naturaleza y nuestro pensamien-
to. La experiencia nos enseña que el requisito puede ser satisfecho, y por 
consiguiente que tal conformidad de hecho existe. (Hertz [1894] 1956, 1-3)
La frase clave, como puede verse, combina una terminología que es casi 
la de Helmholtz (símbolos) con la pregnante terminología de Riemann, 
que se ha hecho famosa al tiempo que se ignora su origen. Quizá sea 
difícil en primera lectura captar la idea que expresa Hertz: las consecuen-
cias necesarias en el pensamiento de las imágenes son siempre imágenes de 
consecuencias naturales necesarias, pero se trata de una idea matemática 
elemental, típica de la teoría de aplicaciones y registrada con toda preci-
sión por Dedekind. Llamemos a y b a las dos cosas naturales que son una 
consecuencia de la otra, f(a) y f(b) a sus correlatos en la imagen; Hertz 
viene a decirnos que la condición clave es la siguiente: 
Si de f(a) se sigue f(b) en la imagen, entonces a es causa de b en la natu-
raleza25. (R)
25 Riemann, como se recordará, lo pensó así: Si f(a) está en relación con f(b) en la imagen, 
entonces a está relacionado con b en la naturaleza; y si a no está en relación inmediata 
con b, entonces f(a) no estará en relación inmediata con f(b).
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Hertz proseguía insistiendo en que las «imágenes» de las que habla son 
nuestras representaciones de las cosas [Vorstellungen], y que son confor-
mes a las cosas «en un solo respecto importante», a saber, en que satisfacen 
el requisito (R). No es necesario que exista conformidad en ningún otro 
sentido, y de hecho no estamos en condiciones de conocer si nuestras 
representaciones guardan ninguna otra conformidad. Es la misma idea 
sobre la que insistió Riemann.
De hecho, las cosas son aún más complejas, como descubrirían los 
filósofos de la ciencia durante el siglo XX. Las relaciones (causales o no) 
que son comprobadas por medios empíricos, «sea por observación o por 
experimentación premeditada», no son precisamente las relaciones entre 
los elementos que conforman la teoría más abstracta. Los distintos ele-
mentos de la teoría abstracta, sus objetos (supuestos) y sus principios, 
forman un todo complejo; considerando el holos, el todo, unido muchas 
veces con otras teorías auxiliares, se elaboran modelos particulares para 
ciertos tipos de sistemas concretos. Estos modelos actúan como media-
dores, y es de ellos de los que se infieren, por medios lógicos o matemá-
ticos, ciertas predicciones relativas a las relaciones que cabe esperar se 
den en los fenómenos naturales. Pero la validez del requisito (R) —que 
quizá es mejor considerar en la versión de Riemann que en la de Hertz 
(ver la nota al pie)— para estas predicciones de los modelos no implica 
la conformidad entre las relaciones de la alta teoría y las relaciones en las 
cosas naturales. 
Muchos científicos, y en particular los físicos teóricos, tienen una 
tendencia inmensa a pensar que sus teorías son más reales que los mismos 
fenómenos. Dicha tendencia proviene, en última instancia, de una epis-
temología algo primitiva y del desconocimiento de las sutiles relaciones 
entre esas teorías (que tan bien manejan en la práctica), los modelos de-
rivados de ellas, y los datos obtenidos por sus colegas experimentalistas. 
Es la hybris del teórico y una forma de platonismo residual (las ideas 
serían más reales que las apariencias), fruto —paradójico— de una orien-
tación demasiado pragmática y por ende ingenua. El sutil equilibrio que 
lograron científicos como Hertz o Maxwell, gracias a dominar simultá-
neamente las prácticas teóricas y experimentales, y a haber profundizado 
en las dificultades conceptuales y filosóficas, parece haberse perdido en 
nuestra era de científicos hiperespecializados.
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5. Longue durée
En 1910, el neokantiano Ernst Cassirer publicó un libro titula-
do Substanzsbegriff und Funktionsbegriff, o en traducción simplificada 
Sustancia y función, donde pretendía dar cuenta de una transformación 
fundamental en la lógica del pensamiento científico, con implicaciones 
en todos los campos del saber, y especialmente en las ciencias naturales. 
El capítulo I, donde exponía la idea más general, antes de proceder a 
rastrearla en las distintas ciencias, comenzaba hablando de la forma de la 
representación del mundo aristotélica, centrada en los «conceptos genéri-
cos» (básicamente clasificatorios) cuyo trasunto metafísico son las sustan-
cias26; y finalizaba enfatizando la nueva «lógica del concepto matemático 
de función». Decía así:
«Toda función matemática representa una ley universal que, en virtud 
de los sucesivos valores que la variable puede tomar, contiene en sí todos 
los casos particulares para los que es válida»27. Pero, una vez que esto es 
admitido, se abre para la lógica un campo de investigación completa-
mente nuevo. En oposición a la lógica del concepto genérico, que se-
gún vimos representa el punto de vista y la influencia del concepto de 
sustancia, aparece ahora la lógica del concepto matemático de función. Sin 
embargo, el campo de aplicación de esta forma de lógica no está confi-
nado a la propia matemática. Al contrario, se extiende y abarca todo el 
campo del conocimiento natural; pues el concepto de función constituye 
el esquema general y el modelo de acuerdo con el cual se ha moldeado el 
concepto moderno de Naturaleza, en su desarrollo histórico progresivo. 
(Cassirer 1980, 20-21)28 
La idea nos parece básicamente correcta y muy perceptiva: de un lado, 
el discurrir de la investigación científica a lo largode varios siglos 
26 Es importante el comentario de que todas las determinaciones del ser quedan subor-
dinadas a las sustancias en que inhieren, y que esto afecta en particular a la categoría 
aristotélica de relación, «forced into a dependent and subordinate position» (Cassirer 
1980, 8): las relaciones solo pueden ser modificaciones suplementarias de las sustancias, 
y no alterar su «naturaleza» real.
27 La cita es del matemático y lógico herbartiano M. W. Drobisch en su influyente ma-
nual (1875, 22). 
28 Años más tarde, Foucault exponía su impacto en el caso de las ciencias humanas (con 
énfasis diferentes y característicos) en su célebre obra Les Mots et les choses, donde ras-
treaba una «discontinuidad» en la «episteme» occidental a comienzos del siglo XIX.
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(desde el Revolutionibus, de Copérnico, 1543, en adelante) ha implicado 
un constante alejamiento de la concepción de los fenómenos en térmi-
nos de sustancia y accidente, hasta el punto de que la concepción sus-
tancialista —si bien no totalmente superada— se fue viendo cada más 
arrinconada, cada vez menos reconocible en los detalles de los modelos 
científicos. Por otro lado, también es verdad que el impacto del pensar 
funcional sobre la lógica ha sido determinante: toda la lógica moderna 
emergió del esfuerzo por comprender las relaciones lógicas que se mani-
fiestan en las matemáticas, y es bien sabido que la lógica de Frege se fundó 
sobre el abandono del esquema sujeto-predicado (correlato de las ideas de 
sustancia y atributo, o también sustancia y accidente) en pro del esquema 
función-argumento, que Frege quiso reconocer como fundamentalmente 
lógico (y sobre el que erigió una metafísica de funciones y objetos)29.
Otro aspecto del problema, en el que no profundizó Cassirer pero 
sí contemporáneos suyos, como Mach y Carnap, es la liquidación del 
pensamiento causal en su forma primigenia. De hecho, este aspecto ha 
sido menos reflexionado e incorporado en la conciencia cultural, hasta 
tal punto que no me extrañaría la sorpresa de algunos de quienes lean 
estas páginas. Pero lo cierto es que, parafraseando a Cassirer, son los con-
ceptos de relación y función quienes constituyen el esquema general y el 
modelo de acuerdo con el cual se ha moldeado el concepto contempo-
ráneo de Naturaleza, en especial desde los entornos de 1850, quedando 
periclitado el esquema tan familiar e intuitivo de causa y efecto (familiar 
e intuitivo por ser el modo en que agentes como nosotros se representan 
las posibilidades de acción en su entorno inmediato). Entiéndase bien: 
hay muchas circunstancias particulares en las que tiene sentido preguntar 
por causas, pero la pregunta por causas tiene un sentido esencialmente 
pragmático (en la acepción de la teoría semiótica) y no pide nunca una 
explicación completa. 
Si preguntamos por qué el Sol está eclipsado, la respuesta puede 
ser «a causa de la Luna», o si inquirimos por qué la sangre se mueve, la 
respuesta será «gracias al corazón», o por qué la órbita de Urano muestra 
ciertas desviaciones, «a causa de Neptuno»; pero esto son solo indicacio-
29 Las proposiciones aristotélicas expresan atribuciones sustanciales o accidentales («al-
gunos hombres son altos», «todo hombre es mortal»), pero son incapaces de analizar 
inferencias elementales del pensamiento matemático y científico (un ejemplo de infe-
rencia que escapa a Aristóteles, dado por Leibniz: «para los cristianos, la madre de Jesús 
de Nazaret es la madre de Dios»). El tema podría profundizarse mucho: la lógica de 
los cuantores ∀x, ∃x surgió como un trasunto de la reflexión crítica sobre el análisis, 
teoría centrada en el estudio de las funciones.
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nes parciales, relevantes contextualmente, que no dan cuenta del fenó-
meno completo. La explicación causal es demandada muy a menudo en 
la práctica30, pero una explicación causal nunca es una explicación com-
pleta de un fenómeno, para lo cual emplearíamos un modelo relacional-
funcional (un modelo de tres cuerpos según las ecuaciones de Newton 
para el sistema Sol-Tierra-Luna, o un complejo modelo sobre el sistema 
nervioso autónomo y los movimientos del corazón y de la sangre, etc.). 
Las implicaciones últimas de estos cambios profundos quizá no nos 
resultan del todo claras. Al otorgar primacía a las relaciones y funciones, 
surge la cuestión de hasta qué punto los relata deben anteceder a las rela-
ciones, asunto que se sitúa entre la ciencia y la metafísica: han sido princi-
palmente los filósofos quienes se han atrevido a sugerir un primado radical 
de las relaciones. El sentido común, por el contrario, nos sigue recomen-
dando la idea del primado de los relata, los objetos que entran en relación, 
por más que los resultados de las distintas ciencias desmientan la idea de 
objetos permanentes en un sentido fuerte, y abonen la tesis del carácter 
procesual y relacional de una realidad cuyos principios se expresan me-
diante funciones. Quizá esta antinomia, que no podemos seguir desarro-
llando, encierre la respuesta a múltiples perplejidades de la teoría física.
6. Otros reflejos
Habría algunos otros reflejos y destellos brillantes que comentar. 
En realidad, los temas que hemos ido evocando sugieren conexiones 
que, en más de una ocasión, pueden despertar nuestra perplejidad. 
Pienso ahora, ante todo, en cómo entender el enlace entre el ascenso del 
enfoque pictórico-abstracto en ciencia y matemática, y el ascenso con-
temporáneo, aunque algo retardado, de las diversas formas de pintura 
no figurativa. Una visión plana y reduccionista de las relaciones entre 
arte y ciencia insistiría, quizá, en cómo las técnicas fotográficas vaciaron 
de sentido la labor del pintor tradicional, obligando a dejar a un lado 
lo representacional y a replantear el trabajo sobre el lienzo de mane-
ra mucho más autónoma. Pero esto, que bien puede ser cierto, parece 
meramente un factor entre otros: los desarrollos que hemos perseguido 
sugieren líneas de enlace más profundas y filosóficas, algo subterráneas, 
pero enormemente poderosas.
30 La teoría pragmática de la explicación ha sido defendida por Bas van Fraassen en La 
imagen científica (1996).
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Paul Cézanne fue contemporáneo de Dedekind y Hertz, y su explo-
ración del espacio interior al mismo cuadro, su libre especulación sobre 
las relaciones internas entre formas y colores —que los grandes maestros 
del XX considerarían pionera y modélica— guarda muchas analogías con 
la exploración arquitectónica de posibilidades estructurales que guió a los 
matemáticos más avanzados de su momento31. Por la misma época, en las 
esculturas de Rodin, se problematizan los límites de la imagen (Bild) y 
se especula con las relaciones entre el marco y la figura, entre la materia 
y la forma escultórica, abriéndose una red de relaciones más complejas, 
autónomas y problemáticas que en la tradición. En las décadas finales del 
XIX y primeras del XX se dio el paso del espacio-marco propio de la pin-
tura figurativa (análogo a la geometría y la física de Descartes y Newton) 
al espacio-red característico de las vanguardias (análogo a la geometría 
relativista de Riemann y Einstein), en sorprendente paralelismo con la 
evolución de las geometrías, de la mano de las teorías no-euclidianas y 
posteriores exploraciones abstractas y estructurales. No puede haber sido 
mera coincidencia32.
Cabría profundizar mucho más en los trabajos de Einstein, las obras 
de Kandinsky, las aportaciones de Wittgenstein, o las nuevas y múlti-
ples estructuras que emergen en la música de vanguardia por los mismos 
años. Pero límites materiales, y sin duda límites del autor, nos impiden 
avanzar más en esa dirección. Concluyamos pues33.
Referencias
Baird, D. R., I. G. Hughes y A. Nordmann, eds. 1998. Heinrich Hertz. 
Classical physicist, modern philosopher. Dordrecht: Kluwer.
Cassirer, E. 1980. Substance and function. New York: Dover Pubs.Corrales, C. 2000. Contando el espacio: de la caja a la red en matemáticas y 
pintura. Madrid: Ediciones Despacio.
31 Llaman la atención incluso las similitudes vitales y de orientación mental, por así decir, 
entre Cézanne y Dedekind. Véase mi artículo de próxima publicación «Paradise Reco-
vered? Some thoughts on Mengenlehre and Modernism».
32 Sobre este tema recomiendo el trabajo de Capi Corrales: Contando el espacio: de la caja 
a la red en matemáticas y pintura (2000), y su reciente Cuaderno de un viaje: exploracio-
nes del espacio 1945-2008 (2009).
33 Puede encontrarse una paralela revisión de cruces entre diversas formas de la cultura y 
del pensamiento en el trabajo de Fernando Zalamea «Signos triádicos. Lógica, literatu-
ra, artes. Nueve cruces latinoamericanos». Véase también Corrales, Un paseo por el siglo 
XX de la mano de Fermat y Picasso (2001).
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Corrales, C. 2001. Un paseo por el siglo XX de la mano de Fermat y Picasso. 
Madrid: Universidad Complutense de Madrid.
Corrales, C. 2009. Cuaderno de un viaje: exploraciones del espacio 1945-2008. 
Madrid: Trama.
Drobisch, M. W. 1875. Neue Darstellung der Logik. 4ª ed. Leipzig
Einstein, A. y L. Infeld. 1995. La evolución de la física. Barcelona: Salvat.
Ferreirós, J. 2000. La multidimensional obra de Riemann. En Riemanniana 
Selecta, IX-CLII. Madrid: CSIC.
Ferreirós, J. En prensa. Paradise Recovered? Some thoughts on Mengenlehre 
and Modernism. En Modernism in the Sciences, 1900-1940, ed. M. Epple 
et ál. Berlín.
Gauss, C. F. 1825. Allgemeine Auflösung der Aufgabe: Die Theile einer 
gegebnen Fläche auf einer andern gegebnen Fläche so abzubilden, dass 
die Abbildung dem Abgebildeten in den kleinsten Theilen änlich wird. 
Astronomischen Abhandlungen, nº 3: 1-30.
Heidelberger, M. 1998. From Helmholtz’s Philosophy of Science to Hertz’s 
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Herbart, J. F. [1807] 1964. Über philosophisches Studium. En Sämtlitche Werke. 
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Leipzig: Johann Ambrosius. 
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Van Fraassen, B. 1996. La imagen científica. México: Paidós.
Wittgenstein, L. 1921. Logisch-Philosophische Abhandlung. En Annalen der 
Naturphilosophie 14, ed. Wilhelm Ostwald, 185-262.
Zalamea, F. 2006. Signos triádicos. Lógica, literatura, artes. Nueve cruces 
latinoamericanos. Mathesis III (11): 1-155
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Matemáticas, lógica 
y arquitectónica en Peirce
Arnold Oostra*1
Universidad del Tolima
L a imagen de Charles S. Peirce (1839-1914) se va develando como la de un pensador del siglo XIX para el siglo XXI, quien proyectó un vasto edificio filosófico a partir de una base amplísima de conoci-
mientos científicos. Entre las ciencias cultivadas por Peirce ocupan un 
lugar muy importante las matemáticas y la entonces emergente lógica 
matemática. En este artículo, de carácter informativo, se enfatiza su ima-
gen como matemático y se presentan algunas conexiones de su obra con 
la lógica matemática actual, vínculos que manifiestan a Peirce como un 
precursor innegable de las matemáticas contemporáneas.
1. Peirce, lógico y matemático
Más que un mero filósofo, el norteamericano Charles Peirce fue un 
científico polifacético. En 1863 se graduó con honores en Química, en la 
Universidad de Harvard, si bien se empleó como geodesta en una entidad 
* aaoostra@gmail.com
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estatal desde 1861 hasta 1891. En este trabajo se especializó en medir la 
gravedad terrestre mediante péndulos de precisión, cuyo diseño le valió 
renombre mundial. Los resultados de estos experimentos le llevaron a for-
mular hipótesis sobre la forma elíptica de la tierra (Peirce 1989 [1881], 529). 
Fue una de las primeras personas que propuso especificar el metro en tér-
minos de la longitud de onda de la luz, adelantándose con ello casi un 
siglo a la definición actual (Peirce 1989 [1881], 269). También diseñó un 
mapamundi plano cuadrado tal que el trayecto más corto entre dos pun-
tos es una línea casi recta en el mapa (figura 1), y que además tiene la ca-
racterística peculiar de que cada borde de mapa empalma a la perfección 
con el borde de una copia del mismo tamaño (Peirce 1989 [1879], 68).
En otras áreas de la ciencia vale la pena mencionar que Peirce hizo 
aportes a la lingüística (Peirce 1982 [1864], 117), que fue uno de los prime-
ros sicólogos experimentales (Peirce 1993 [1885], 122), que escribió sobre 
la historia de la ciencia (Peirce [c.1896] 1932-58, 1:§43, [1901], 7:§164) y 
que tradujo del latín al inglés importantes documentos científicos con 
valor histórico. Además fue elegido miembro de tres sociedades científi-
cas norteamericanas y también de la Sociedad Matemática de Londres.
Esta última distinción sugiere alguna cercanía con las matemáticas, 
que por cierto existió y fue muy estrecha. Por su formación, Peirce es-
taba al tanto de las matemáticas superiores de su tiempo. En muchos 
escritos, como aquel en el que define el mapamundi mencionado arri-
ba, reveló dominio perfecto del análisis complejo (véase también, por 
ejemplo, Peirce 1989 [c.1881], 259). En una nota para Samuel P. Langley 
—quien fue uno de los pioneros de la aeronáutica y cuyo primer vuelo 
fracasó de manera circunstancial pocos días antes del exitoso vuelo de 
los hermanos Wright (Ketner 2001)—, empleó ecuaciones diferenciales 
figura 1. La proyección quincuncial de Peirce.
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para determinar la fuerza de soporte requerida por un aeroplano. Hay 
evidencia del contacto escrito de Peirce con casi todos los matemáticos 
norteamericanos de su época y con figuras europeas destacadas como 
Augustus de Morgan, Georg Cantor y Ernst Schröder (Peirce 1976).
Esa correspondencia también demuestra que Peirce estaba al tan-
to de los últimos desarrollos de las matemáticas de su época, de hecho 
escribió numerosas reseñas de libros técnicos entonces recién publica-
dos (Peirce 1976). En particular, mostró una fascinación notable por dos 
disciplinas que en sus días apenas estaban en ciernes y que después re-
sultaron muy importantes en las matemáticas del siglo XX: la teoría de 
conjuntos y la topología. Respecto a la teoría de conjuntos, además de 
la citada correspondencia con Cantor, se pueden mencionar sus acerca-
mientos al concepto de conjunto (Dipert 1997), sus diversas nociones de 
conjunto infinito (Oostra 2003b) y su redescubrimiento de una notable 
enumeración de los números racionales (figura 2) que había sido pro-
puesta antes por Moritz A. Stern y Achille Brocot de manera indepen-
diente el uno del otro