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PARA ESTUDIANTES DE INGENIERÍA Y CIENCIAS PARA ESTUDIANTES DE INGENIERÍA Y CIENCIAS Juan Carlos Del Valle Sotelo Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, Campus Estado de México ˜ Page (PS/TeX): 1 / 4, COMPOSITE Director General México: Editor sponsor: Coordinadora editorial: Supervisor de producción: Miguel Ángel Toledo Castellanos Pablo Eduardo Roig Vázquez Marcela I. Rocha Martínez Zeferino García García ÁLGEBRA LINEAL PARA ESTUDIANTES DE INGENIERÍA Y CIENCIAS Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, por cualquier medio, sin la autorización escrita del editor. DERECHOS RESERVADOS © 2011 respecto a la primera edición por McGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S.A. DE C.V. Edificio Punta Santa Fe Prolongación Paseo de la Reforma 1015, Torre A Piso 17, Colonia Desarrollo Santa Fe, Delegación Álvaro Obregón C.P. 01376, México, D. F. Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, Reg. Núm. 736 A Subsidiary of Companies, Inc.The McGraw-Hill ISBN: 978-970-10-6885-4 1234567890 1098765432101 Impreso en México Printed in Mexico Page (PS/TeX): 5 / 5, COMPOSITE A la memoria de Esther, mi amada madre; a mi hermano Manuel; a mis hijas Miriam y Samantha En un universo quizá infinito inconcebiblemente antiguo es una dicha saber que tengo mi origen en una amorosa madre y en un hermano que me cuidó como a un hijo y por eso es mi padre y percibir una infinitésima parte de mı́ en la mirada de dos pequeños seres que en momentos difı́ciles han sido tan grandes. Page (PS/TeX): 6 / 6, COMPOSITE Page (PS/TeX): 7 / 7, COMPOSITE Contenido Agradecimientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XIII Prólogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XV PARTE I MATRICES, SISTEMAS Y DETERMINANTES CAPÍTULO 1 Matrices y sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 1.1 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 1.1 1.1.1 Definiciones y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 1.1 1.1.2 Operaciones con matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1 1.1 1.1.3 Matrices especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1 1.1 1.1.4 Propiedades de las operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1 1.1 1.1.5 Matrices con números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1 1.2 Sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1 1.1 1.2.1 Definiciones, soluciones y forma matricial de sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1 1.1 1.2.2 Matrices escalonadas y sistemas escalonados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 1.1 1.2.3 Operaciones de renglón para matrices, equivalencia por filas y soluciones 1 1.1 1.2.3 de sistemas escalonados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1 1.1 1.2.4 Método de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1 1.1 1.2.5 Método de Gauss-Jordan y sistemas con solución única . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1 1.1 1.2.6 Sistemas homogéneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1 1.1 1.2.7 Estructura de las soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1 1.1 1.2.8 Sistemas lineales con números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 1 1.3 Ejercicios resueltos y ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1 1.1 1.3.1 Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1 1.1 1.3.2 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 CAPÍTULO 2 Matrices invertibles y determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 1 2.1 Matrices invertibles y sus inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 1 1.1 2.1.1 Definición y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 1 1.1 2.1.2 Matrices invertibles y sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 1 1.1 2.1.3 Método de Gauss-Jordan para hallar la inversa de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 1 1.1 2.1.4 Matrices elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 1 1.1 2.1.5 Inversas de matrices con componentes complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 1 2.2 Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 1 1.1 2.2.1 Desarrollo por cofactores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 1 1.1 2.2.2 Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 1 1.1 2.2.3 Método de la adjunta para hallar la inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 1 1.1 2.2.4 Regla de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 1 1.1 2.2.5 Determinantes de matrices con componentes complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 1 2.3 Ejercicios resueltos y ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 1 1.1 2.3.1 Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 1 1.1 2.3.2 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 VII Page (PS/TeX): 8 / 8, COMPOSITE VIII CONTENIDO PARTE II ESPACIOS VECTORIALES, PRODUCTO INTERIOR, NORMAS, VALORES Y VECTORES PROPIOS CAPÍTULO 3 Espacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 1 3.1 Geometrı́a de los espacios Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 1 1.1 3.1.1 El plano cartesiano R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 1 1.1 3.1.2 Interpretación geométrica del determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 1 1.1 3.1.3 El espacio vectorial Rn, geometrı́a y propiedades algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 1 1.1 3.1.4 La desigualdad de Schwarz, ángulos entre vectores y ortogonalidad . . . . . . . . . . . . 123 1 3.2 Espacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 1 1.1 3.2.1 Definiciones y ejemplos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 1 1.1 3.2.2 Propiedades elementales de los espacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 1 1.1 3.2.3 Subespacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 1 1.1 3.2.4 Combinaciones lineales y subespacios generados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 1 3.3 Dependencia e independencia lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 1 1.1 3.3.1 Criterios de independencia lineal en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 1 3.4 Bases y dimensión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 1 1.1 3.4.1 Definiciones y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 1 1.1 3.4.2 Dimensión, extracción de bases y compleción de un conjunto L.I. a una base . . . . 160 1 1.1 3.4.3 Rango de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 1 3.5 Espacios vectoriales sobre los números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 1 3.6 Ejercicios resueltos y ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 1 1.1 3.6.1 Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 1 1.1 3.6.2 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 CAPÍTULO 4 Espacios con producto interior y espacios normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 1 4.1 Espacios con producto interior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 1 1.1 4.1.1 Definiciones, ejemplos y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 1 1.1 4.1.2 Ortogonalidad y norma inducida por el producto interior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 1 1.1 4.1.3 Desigualdad de Schwarz y ángulo entre vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 1 1.1 4.1.4 Proyecciones, proceso de ortogonalización, factorización QR . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 1 1.1 4.1.5 Aproximación óptima de un vector por elementos de un subespacio . . . . . . . . . . . . 283 1 4.2 Espacios vectoriales normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303 1 1.1 4.2.1 Definiciones y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303 1 1.1 4.2.2 Distancia en espacios vectoriales normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309 1 1.1 4.2.3 Normas que provienen de productos interiores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317 1 1.1 4.2.4 Normas equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324 1 1.1 4.2.5 Construcción de normas en espacios de dimensión finita a partir de normas en Rn 334 1 1.1 4.2.6 Aproximaciones óptimas en espacios normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337 1 1.1 4.2.7 ¿Qué norma utilizar? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341 1 4.3 Ejercicios resueltos y ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347 1 1.1 4.3.1 Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347 1 1.1 4.3.2 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383 CAPÍTULO 5 Transformaciones lineales, valores y vectores propios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415 1 5.1 Transformaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415 1 1.1 5.1.1 Definición, ejemplos y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416 1 1.1 5.1.2 Núcleo e imagen de una transformación lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422 1 5.2 Representaciones matriciales de transformaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433 1 1.1 5.2.1 Vectores de coordenadas, cambio de bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433 1 1.1 5.2.2 Representaciones matriciales de un operador lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441 1 1.1 5.2.3 Representaciones matriciales de transformaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447 1 1.1 5.2.4 Isomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452 Page (PS/TeX): 9 / 9, COMPOSITE CONTENIDO IX 1 5.3 Valores y vectores propios, diagonalización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457 1 1.1 5.3.1 Valores y vectores propios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457 1 1.1 5.3.2 Diagonalización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471 1 1.1 5.3.3 Valores propios complejos y diagonalización sobre C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482 1 1.1 5.3.4 Operadores autoadjuntos y matrices simétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491 1 5.4 Ejercicios resueltos y ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497 1 1.1 5.4.1 Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497 1 1.1 5.4.2 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539 PARTE III APLICACIONES, USO DE TECNOLOGÍA, MÉTODOS NUMÉRICOS CAPÍTULO 6 Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581 1 6.1 Matrices de incidencia y teorı́a de grafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581 1 6.2 Redes de conducción y principios de conservación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 589 1 1.1 6.2.1 Flujo vehicular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 590 1 1.1 6.2.2 Circuitos eléctricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591 1 1.1 6.2.3 Balance quı́mico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595 1 6.3 Análisis insumo-producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596 1 1.1 6.3.1 Modelo para economı́a abierta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596 1 1.1 6.3.2 Modelo para economı́a cerrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602 1 1.1 6.3.3 Singularidad de la matriz de Leontief para el modelo de economı́a cerrada . . . . . . 604 1 1.1 6.3.4 Inversa de la matriz de Leontief para el modelo de economı́aabierta y método de 1 1.1 6.3.4 aproximación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605 1 6.4 Programación lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613 1 1.1 6.4.1 Enfoque geométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613 1 1.1 6.4.2 Método simplex para el problema estándar de programación lineal . . . . . . . . . . . . . 620 1 1.1 6.4.3 Restricciones generales y método simplex de dos fases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 631 1 1.1 6.4.4 Dualidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 641 1 6.5 Teorı́a de juegos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644 1 1.1 6.5.1 Juegos estrictamente determinados y puntos silla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645 1 1.1 6.5.2 Estrategias y pagos esperados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646 1 1.1 6.5.3 Estrategias óptimas y valor esperado para juegos matriciales con matriz de pagos 1 1.1 6.3.4 2×2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 648 1 1.1 6.5.4 Estrategias óptimas y valor esperado con programación lineal para juegos 1 1.1 6.3.4 matriciales con matriz de pagos m×n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652 1 1.1 6.5.5 Filas y columnas recesivas o dominantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 657 1 6.6 Cadenas de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 658 1 6.7 Sistemas lineales de ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666 1 6.8 Optimización de funcionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 671 1 1.1 6.8.1 Problemas fı́sicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672 1 1.1 6.8.2 Cálculo diferencial en espacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 679 1 1.1 6.8.3 Cálculo diferencial para funcionales en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 698 1 1.1 6.8.4 Extremos locales de funcionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 706 1 1.1 6.8.5 Extremos locales y valores propios de la matriz hessiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 709 1 1.1 6.8.6 Condiciones necesarias para que cierto tipo de funcionales en espacios de 1 1.1 6.3.4 dimensión infinita alcancen valores extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 716 1 1.1 6.8.7 Dinámica de un monopolista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725 1 1.1 6.8.8 Epı́logo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 727 1 6.9 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 728 Page (PS/TeX): 10 / 10, COMPOSITE X CONTENIDO CAPÍTULO 7 Uso de tecnología . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 761 1 7.1 La calculadora HP 50g y álgebra lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 761 1 1.1 17.1.1 Teclado y sus funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 761 1 1.1 17.1.2 La pantalla y comandos de decisión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763 1 1.1 17.1.3 Modos de operación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764 1 1.1 17.1.4 Cálculo simbólico vs numérico y almacenamiento de objetos algebraicos . . . . . . 765 1 1.1 17.1.5 Escritura de vectores y matrices en la Hp 50g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 766 1 1.1 17.1.6 Operaciones con vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 768 1 1.1 17.1.7 Operaciones con matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 771 1 1.1 17.1.8 Factorización QR y ortogonalización, factorización LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 772 1 1.1 17.1.9 Forma escalonada y forma escalonada reducida con la HP 50g, sistemas lineales 773 1 1.1 7.1.10 Métodos de Gauss y Gauss-Jordan paso a paso en forma automática con la 1 1.1 7.1.10 HP 50g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774 1 1.1 7.1.11 Inversa de una matriz paso a paso de manera automática con la calculadora 1 1.1 7.1.10 HP 50g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775 1 1.1 7.1.12 Métodos de Gauss y Gauss-Jordan con operaciones de renglón ejecutadas por el 1 1.1 7.1.10 usuario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775 1 1.1 7.1.13 Inversa de una matriz por el método de Gauss-Jordan con operaciones de renglón 1 1.1 7.1.10 ejecutadas por el usuario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 777 1 1.1 7.1.14 Transformaciones lineales, núcleo e imagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 779 1 1.1 7.1.15 Valores y vectores propios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 780 1 1.1 7.1.16 Números complejos con la HP 50g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 780 1 7.2 MATLAB y álgebra lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 781 1 1.1 17.2.1 Interacción con MATLAB y almacenamiento de información . . . . . . . . . . . . . . . . . . 781 1 1.1 17.2.2 Escritura de matrices y operaciones básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783 1 1.1 17.2.3 Formatos y modo simbólico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785 1 1.1 17.2.4 Matrices especiales, información básica y edición de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . 786 1 1.1 17.2.5 Operaciones de renglón con MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 789 1 1.1 17.2.6 Funciones programadas por el usuario, programación en MATLAB y operaciones 1 1.1 7.1.10 de renglón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 790 1 1.1 17.2.7 Traza, determinante, rango, inversa y transpuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 797 1 1.1 17.2.8 Forma escalonada reducida, solución de sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 798 1 1.1 17.2.9 Valores y vectores propios, polinomio caracterı́stico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 800 1 1.1 7.2.10 Factorización QR y factorización LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 802 1 7.3 Excel, la herramienta Solver y programación lineal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803 1 1.1 17.3.1 Activación de Solver en Excel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803 1 1.1 17.3.2 La función SUMAPRODUCTO de Excel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805 1 1.1 17.3.3 Resolución de problemas de programación lineal con Solver . . . . . . . . . . . . . . . . . 806 1 7.4 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813 CAPÍTULO 8 Álgebra lineal numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 819 1 8.1 Aritmética de la computadora y errores de redondeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 819 1 8.2 Métodos directos para resolver sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 822 1 1.1 18.2.1 Método de Gauss para sistemas lineales de orden n con sustitución regresiva . . . 822 1 1.1 18.2.2 Método de Gauss para hallar la inversa de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 827 1 1.1 18.2.3 Factorización LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 829 1 1.1 18.2.4 Estrategias para pivotar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 838 1 8.3 Métodos iterativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 848 1 1.1 18.3.1 La teorı́a de punto fijo y normas matriciales naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 848 1 1.1 18.3.2 Método iterativo de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 862 1 1.1 18.3.3 Planteamiento general para un método iterativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 877 Page (PS/TeX): 11 / 11, COMPOSITE CONTENIDO XI 1 1.1 8.3.4 Método iterativo de Richardson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 880 1 1.1 8.3.5 Método iterativo de Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 887 1 1.1 8.3.6 Series de Neumann y método iterativo para aproximar la inversa de una matriz . . 896 1 8.4 Transformaciones de Householder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 901 1 1.1 8.4.1 Definiciones y transformaciones básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 902 1 1.1 8.4.2 Factorización QR de Householder y sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 908 1 1.1 8.4.3 Reducción de Householder-Hessenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913 1 1.1 8.4.4 Rotaciones y reflexiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 917 1 8.5 Aproximación de valores y vectores propios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 923 1 1.1 8.5.1 Método de la potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 923 1 1.1 8.5.2 Deflación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 931 1 1.1 8.5.3 Iteración inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 937 1 1.1 8.5.4 Método QR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 939 1 1.1 8.5.5 Método QR con reducción de Hessenberg y desplazamientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 946 1 1.1 8.5.6 Método de Jacobi para aproximar valores y vectores propios de matrices simétricas 950 1 8.6 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 956 A Conjuntos, demostraciones e inducción matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 985 A A.1 Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 985 1 1.1 A.1.1 Conjuntos, elementos y subconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 985 1 1.1 A.1.2 Operaciones con conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 988 1 1.1 A.1.3 Reuniones e intersecciones de familias de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 992 A A.2 Demostraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 993 1 1.1 A.2.1 El método deductivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 993 1 1.1 A.2.2 Métodos de demostración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 995 1 1.1 A.2.3 Bicondicional y definiciones, lemas y corolarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 999 A A.3 Inducción matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1002 B Números complejos, campos y espacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1011 B B.1 Números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1011 B B.2 Campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1017 B B.3 Polinomios sobre campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1021 1 1.1 B.3.1 Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1021 1 1.1 B.3.2 Raı́ces y teorema fundamental del álgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1025 B B.4 Espacios vectoriales sobre otros campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1026 B B.5 Aplicación a la teorı́a de detección y corrección de errores en códigos . . . . . . . . . . . . . . . 1030 C Demostraciones que fueron diferidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1037 D Formas canónicas de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1055 E Respuestas a ejercicios seleccionados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1073 Lista de símbolos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1105 Alfabeto griego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1108 Lista de aplicaciones adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1109 Lista de programas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1110 Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1111 Índice analítico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1113 Page (PS/TeX): 12 / 12, COMPOSITE Page (PS/TeX): 13 / 13, COMPOSITE Agradecimientos Deseo primeramente agradecer a Miguel Ángel Toledo y a Ramón Orduña, quienes me invitaron a rea- lizar este proyecto con McGraw-Hill, por el gran apoyo y paciencia que tuvieron desde el inicio hasta la culminación de la obra, sin ellos hubiera sido imposible terminarla. Este libro lo escribı́ en el procesador de texto matemático y cientı́fico LATEX y el trabajo editorial para su formación fue considerable; deseo dar las gracias a Marcela Rocha y a Pablo Roig por todo el esfuerzo que hicieron para que el proyecto pudiera editarse en ese formato y por toda la ayuda que me brindaron en el transcurso de su elaboración. La mayorı́a de la las figuras las construı́ utilizando los programas LaTeXPiX, TeXCad, GNUPLOT, TeXCad32 o LaTeX-CAD; deseo dar crédito y reconocimiento a los autores de estos paquetes —de distribución gratuita— por la magnı́fica tarea que han realizado en esas herramientas de dibujo en el ambiente LATEX, las cuales facilitaron enormemente el trabajo gráfico en este libro. También quiero reconocer la excelente labor de maquetación por parte de Mercè Aicart Martı́nez. Las imágenes 3D —la máquina de la página 416 y los depósitos interconectados de la figura 6-20—, fueron diseñadas por Ernesto Byas Lizardo y Ramón Nuñez Serrania. Todos los dibujos de los circuitos eléctricos y los digrafos del capı́tulo 6 los realizaron Miriam Del Valle y Samantha Del Valle. Los planos en tres dimensiones de la figura 1-2 los construyó Elién Rodrı́guez Del Valle. Ernesto y Miriam hicieron la revisión, en computadora, de las respuestas numéricas de muchos de los ejercicios propuestos y Miriam leyó el texto en su totalidad para localizar erratas. Mi más sincero agradecimiento a todos ellos por la desinteresada ayuda que me brindaron. Doy gracias a las autoridades del campus Estado de México, del Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, por las facilidades que me dieron para la realización de esta obra; y a Enrique Ortiz, de HP Calculators Latin America, por el soporte otorgado para la realización de la sección 7.1. El doctor Francisco Delgado Cepeda, profesor del campus Estado de México, leyó por completo el primer capı́tulo; le agradezco mucho su colaboración y valiosos comentarios. El doctor Fermı́n Acosta Magallanes, profesor del campus Estado de México y de la UPIITA del IPN, sacrificó mucho de su tiempo al leer casi en su totalidad el libro. Sus comentarios, observaciones y correcciones fueron de un enorme valor. Obviamente cualquier error técnico en el texto es absolutamente mi responsabilidad. El interés constante que mantuvo Fermı́n en la realización de esta obra fue un gran estı́mulo para su culminación y estaré siempre agradecido con él. Cuando estaba escribiendo este trabajo, se presentaron algunos problemas serios en mi salud, y gracias a los cuidados y apoyo de mis hermanas Rosa Marı́a y Gabriela, mi hermano Manuel, mi cuñado José Manuel Lara, mi doctora de cabecera Daniela Lara Del Valle, mis sobrinos Emmanuel Lara, Etzel Rodrı́guez, Rosa Marı́a Lara, Noemı́ Del Valle, Alejandro Urban, y mis hijas Samantha y Miriam, ahora estoy escribiendo estas últimas lı́neas. Espero que ellos sepan que pueden contar siempre conmigo como yo conté con ellos. XIII Page (PS/TeX): 14 / 14, COMPOSITE XIV AGRADECIMIENTOS Escribir un libro, especialmente uno como éste, es una labor en la que hay gran sacrificio no sólo del autor, sino también de los que son más cercanos a él: su familia; en este caso mis hijas Samantha y Miriam. Su paciencia, amor y comprensión fueron el principal incentivo para llegar al final de este proyecto. Finalmente quiero agradecer a Rubén Dario Santiago Acosta, director del Departamento de Ma- temáticas y Fı́sica del campus Estado de México, por su valiosa cooperación para la realización de este libro. En la vida de todo ser humano existen periodos en que los avatares son más intensos y frecuentes; el lapso para realizar esta obra fue una de esas etapas para mı́. Rubén fue en todo momento un apoyo y, aunque la suerte no siempre está de mi lado, soy muy afortunado por tener a un gran amigo como él. Page (PS/TeX): 15 / 15, COMPOSITE Prólogo Este libro tiene su germen en las notas del curso semestral de álgebra lineal que he impartido a lo largo de varios años en el Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Estado de México, las cuales son el esqueleto de lo que ahora pretendo mostrar como un cuerpo ya con piel y completo, que se desarrolló gracias a la experiencia adquirida a través de todos esos años. El objetivo principal es presentar a detalle y profundidad los principales temas del álgebra lineal, mostrando la utilidad de esta materia por medio de una gran variedad de aplicaciones a otros campos y a las propias matemáticas. Integrando la teorı́a, la práctica, el uso de tecnologı́a y los métodos númericos de esta disciplina. El libro está diseñado de tal manera que se puede usar para un curso de uno o dos semestres, depen- diendo de los programas de estudio de cada institución y de la profundidad con la que se desee tratar cada tema. En el primer caso conviene cubrir las partes I y II, exceptuando los apartados 4.2, 5.3.3 y 5.3.4. Para el segundo caso, se recomiendan todos los temas de las partes I y II, las formas canónicas de Jordan del apéndice D y el material adicional que se incluye en el sitio web del libro. En ambas modalidades se pueden incluir las secciones que se consideren adecuadas de la parte III, especialmente las aplicaciones del capı́tulo 6. Como su nombre lo indica, Álgebra lineal para estudiantes de ingenierı́a y ciencias está orientado para ser utilizado tanto en escuelas de ingenierı́a como en escuelas de ciencias, ya sea a nivel licenciatura o posgrado. Los requisitos académicos para la comprensión del material son las matemáticas elementa- les que se cubren a nivel medio superior (álgebra, geometrı́a analı́tica y cálculo diferencial e integral). La mayorı́a de los estudiantes que toman un curso de álgebra lineal, salvo los que cursan la ca- rrera de matemáticas, se enfrentan por primera vez a una materia en la que se tienen que hacer de- mostraciones de teoremas y proposiciones matemáticas utilizando el método lógico-deductivo; es la principal dificultad que entraña un curso de esta naturaleza para el lector profano en el campo del rigor matemático. Sin embargo, en álgebra lineal la mayorı́a de las demostraciones son constructi- vas; es decir, la prueba de un teorema es en sı́ un algoritmo para resolver una serie de importan- tes problemas; lo cual representa una ventaja didáctica para poder iniciarse en el rigor lógico de las matemáticas. Aun tomando en consideración esa ventaja, aprender en qué consiste probar rigurosa- mente proposiciones matemáticas no es fácil. Para apoyar al estudiante en esta tarea, el apéndice A.2 contiene una breve introducción al método deductivo y a los métodos de demostración en matemáti- cas —diseñada para que el lector pueda estudiarla por cuenta propia o con un poco de ayuda de su profesor—, a través de casos concretos y con un mı́nimo de conocimientos previos que segura- mente todo estudiante, a este nivel, posee. En estos tiempos, donde la credulidad y las pseudocien- cias son estimuladas mediáticamente como instrumentos de mercadotecnia para vender productos que “curan” todos los males —incluyendo los polı́ticos y sociales—, el escepticismo, como una cultu- ra de lo que se afirma se demuestra, deberı́a ser cultivado por el Homo sapiens moderno y el álge- bra lineal es una excelente oportunidad para iniciarse, al menos en la parte matemática, en esa cultura. XV Page (PS/TeX): 16 / 16, COMPOSITE XVI PRÓLOGO He divididoel libro en tres partes que, desde mi punto de vista, conforman lo que es el álgebra lineal. Las primeras dos contienen el núcleo teórico de la materia. La parte I —matrices, sistemas lineales, de- terminantes e inversas de matrices— es la más elemental y es la columna vertebral en la que se apoya el resto del libro; mientras que la II —espacios vectoriales, producto interior, normas, valores y vectores propios— es el corpus de ese núcleo que incluye los temas más relevantes del álgebra lineal. Estos dos segmentos constituyen los primeros cinco capı́tulos de la obra, y en ellos he intentado exponer el signifi- cado matemático del álgebra lineal. En la parte III —que contiene los últimos tres capı́tulos del texto—, a través de diversas aplicaciones en el capı́tulo 6, he tratado de hacer patente la utilidad práctica que tiene esta importante materia. Los cálculos numéricos en álgebra lineal pueden llegar a ser muy com- plejos aritméticamente y tomar demasiado tiempo realizarlos; afortunadamente en esta época contamos con tecnologı́a para apoyarnos en esta tarea. En el capı́tulo 7, incluı́ el uso de la tecnologı́a en el álgebra lineal, especı́ficamente con MATLAB y la calculadora HP 50g; y EXCEL, para programación lineal. Sin embargo, una exposición del álgebra lineal que no muestra las dificultades inherentes que se presentan al hacer cálculos numéricos en esta materia y cómo resolverlas matemáticamente, es incompleta. Por esta razón, el capı́tulo final contiene una introducción relativamente profunda de los principales métodos numéricos que se utilizan en álgebra lineal; con más de 32 programas en MATLAB de esos algoritmos para ser utilizados o modificados, en este u otro lenguaje, por el estudiante a su conveniencia. Al escribir esta obra intenté tener siempre presentes los obstáculos a los que se enfrentan la mayorı́a de los estudiantes de álgebra lineal, el principal es el alto nivel de abstracción de la materia. Para soslayar esta dificultad, el libro contiene más de 200 figuras con el propósito de crear imágenes que puedan ayudar al lector a visualizar fı́sica y geométricamente entes abstractos y convertirlos en conceptos más concretos. Además, a lo largo de sus 8 capı́tulos y 5 apéndices, incluı́ más de 450 ejemplos para apoyarlo a comprender la materia. Sin embargo, pensé que esto no era suficiente, pues el estudiante necesita ver cómo se resuelven ejercicios en álgebra lineal, sobre todo aquellos que tienen contenidos altos de abstracción; por esta razón incorporé, en la última sección de cada uno de los primeros cinco capı́tulos —que conforman el núcleo principal del libro— un grupo de ejercicios resueltos con detalle; en total forman un conjunto de más de 230 ejercicios de cálculos directos, demostraciones, etc., que junto con los ejemplos del texto suman un total de más de 680 problemas completamente resueltos que el lector puede consultar según lo necesite. Naturalmente, no basta con “ver”, se necesita “hacer” y, para ello, el libro contiene —al final de cada capı́tulo— una sección de ejercicios propuestos al estudiante —con respuestas a los ejercicios seleccionados en el apéndice E— para que practique a discreción o de acuerdo con las instrucciones de su profesor; en total el libro cuenta con más de 2300 ejercicios propuestos. Con el propósito de no interrumpir la exposición de la teorı́a en el texto y para facilitar su consulta, coloqué aparte, en el capı́tulo 6, las aplicaciones. Al principio de cada una de ellas se hacen explı́citos los requisitos —del material del texto y de otras disciplinas— que se necesitan para su estudio. El nivel de las aplicaciones aumenta gradualmente desde el muy elemental hasta un nivel que demanda mucho más esfuerzo para su comprensión; sin embargo, confı́o que la utilidad final que el estudiante encuentre en ellas bien valdrá la pena el tiempo invertido para su estudio. De hecho, este capı́tulo se puede abordar inmediatamente después de que se cumplan los requisitos que señala la aplicación correspondiente; por ejemplo, las aplicaciones de las secciones 6.1, 6.2, 6.4, 6.5 y 6.6, se pueden tratar en seguida que se ha cubierto el material de matrices y sistemas lineales (o en forma simultánea). Sin embargo, en el texto hay algunas aplicaciones que en realidad están concatenadas a la teorı́a —por ejemplo, el tema de aproximación óptima en espacios normados, o la interesante teorı́a de detección y corrección de errores en códigos binarios que está al final del apéndice B—, esas no las incluı́ en el capı́tulo 6 y se encuentran dispersas a lo largo del libro; en la página 1109 hay una lista de ellas con referencias al lugar donde se Page (PS/TeX): 17 / 17, COMPOSITE PRÓLOGO XVII localizan en el texto. Una función semejante cumple el listado de la página 1110, que es una descripción de los principales programas en MATLAB que contiene el libro y señala su ubicación. Además, esta obra cuenta con una página donde el estudiante tendrá acceso a diversos recursos: www.mhhe.com/uni/delvalleag1e. Espero que Álgebra lineal para estudiantes de ingenierı́a y ciencias cumpla con los propósitos para los que fue creado, sirva de apoyo a la labor docente de los profesores que trabajan educando en esta materia y que vosotros, estudiantes, encuentren en él no sólo dónde aprender álgebra lineal, sino que también disfruten de ese proceso como yo lo hice al escribir cada una de las lı́neas de este libro (también sufrı́, ojalá ustedes no). México D.F., primavera de 2011 JUAN CARLOS DEL VALLE SOTELO Page (PS/TeX): 18 / 18, COMPOSITE Page (PS/TeX): 1 / 1, COMPOSITE I Matrices, sistemas y determinantes Page (PS/TeX): 2 / 2, COMPOSITE Page (PS/TeX): 3 / 3, COMPOSITE 1 Matrices y sistemas lineales En este capı́tulo se introducen los conceptos básicos que se requieren para estudiar álgebra lineal. Co- menzamos en la primera sección con el tema fundamental de matrices. Las matrices se crearon para operar ciertos arreglos numéricos que aparecen tanto en aplicaciones como en las propias matemáti- cas. Continuamos en la segunda sección con el estudio general de sistemas de ecuaciones lineales. Los sistemas de ecuaciones lineales tienen una gran variedad de aplicaciones en ciencias e ingenierı́a y se- guramente el lector ya tuvo algún contacto con ellos en forma elemental en secundaria y bachillerato; aquı́ nos abocamos a un estudio general y profundo de este importante tema. La tercera sección con- tiene un compendio de ejercicios resueltos de las dos secciones precedentes para que el lector consulte el mayor número de ejemplos resueltos y un conjunto de ejercicios propuestos para que los resuelva el estudiante. 1.1 Matrices 1.1.1 Definiciones y ejemplos Definición 1.1 Una matriz A es un arreglo de m-renglones o filas y n-columnas de m× n números reales: A = ⎡ ⎢⎢⎢⎣ a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n ... ... . . . ... am1 am2 · · · amn ⎤ ⎥⎥⎥⎦ . Se dice entonces que A es una matriz de tamaño m×n y simbólicamente se escribe A = [ai j] , i = 1,2, ...,m; j = 1,2, ...,n. Esto es, ai j representa el número que se encuentra en la fila i y en la columna j. A los elementos ai j se les llaman las componentes (entradas) de la matriz A. Nota 1.1 1. Los paréntesis rectangulares se pueden suplir por paréntesis circulares en notaciones matriciales. En este libro emplearemos paréntesis rectangulares. 3 Page (PS/TeX): 4 / 4, COMPOSITE 4 CAPÍTULO 1 Matrices y sistemas lineales 2. En el caso particular de que una matriz tenga tamaño 1× 1 escribiremos simplemente a en lugar de [a]; es decir, identificaremos toda matriz [a] con el número real a. � Ejemplo 1.1 Si A = [ −2 3 5 −4 2 1 ] , A es una matriz 2×3 y, para este caso, a11 =−2, a12 = 3, a13 = 5, a21 =−4, a22 = 2, a23 = 1.� Nota 1.2 Al conjunto de matrices de tamaño m×n lo denotaremos, en este libro, por Mm×n. Definición1.2 Dos matrices A = [ai j], B = [bi j] son iguales (A = B) si y sólo si: • A y B tienen el mismo tamaño y • ai j = bi j ∀i , j. � Ejemplo 1.2 De acuerdo con la definición precedente [ 1 3 9 5 7 2 ] �= [ 1 3 9 5 6 2 ] . � � Ejemplo 1.3 Determinar el valor de a para que las matrices A = [ a 1 −1 2a ] y B = [ 2 1 −1 4 ] sean iguales.� Solución Dado que ambas matrices tienen el mismo tamaño ellas serán iguales si y sólo si coinciden componente a componente; para lo cual es suficiente que a = 2 y 2a = 4; esto es, para a = 2. � Ejemplo 1.4 Resolver el ejemplo anterior si A = [ a 0 3 3a ] y B = [ 1 0 3 4 ] .� Solución Para que las matrices sean iguales se requiere, en este caso, que a = 1 y 3a = 4, luego se debe tener simultáneamente a = 1 y a = 4/3; lo cual es imposible. Por tanto A �= B para cualquier valor de a. 1.1.2 Operaciones con matrices 1. Multiplicación de un escalar1 con una matriz. Si λ ∈ R y A = [ai j] ∈Mm×n se define λA = [λai j]. Es decir, el resultado de multiplicar una matriz con un escalar es la matriz que tiene como componentes cada una de las entradas de la matriz original multiplicada por dicho escalar. 2. Suma de matrices. Si A ,B ∈Mm×n, A = [ai j], B = [bi j]; se define la suma de A con B como A+B = [ci j], con ci j = ai j +bi j ∀i , j. Ası́, la suma de dos matrices sólo se puede realizar cuando éstas tienen el mismo tamaño y el resultado es también una matriz m×n. 11Diremos que todo número real es un escalar. Page (PS/TeX): 5 / 5, COMPOSITE SECCIÓN 1.1 Matrices 5 3. Multiplicación de una matriz fila por matriz columna.2 [ a11 a12 · · · a1n ] ⎡ ⎢⎢⎢⎢⎢⎣ b11 b21 · · · bn1 ⎤ ⎥⎥⎥⎥⎥⎦= a11b11 +a12b21 + · · ·a1nbn1. De acuerdo con esta definición, el producto de una matriz fila con una matriz columna sólo se pue- de llevar a cabo cuando la primera tiene tamaño 1×n y la segunda n×1 (las dos tienen el mismo número de componentes) y el resultado de la operación será una matriz 1× 1 (un número real). 4. Producto de una matriz m×n con una matriz n× p. Si A = [ai j] ∈Mm×n y B = [bi j] ∈Mn×p, el producto de A con B se define como AB = [ci j] donde ci j = n ∑ k=1 aikbk j , para i = 1,2, . . . ,m y j = 1,2, . . . , p. Es decir, la componente ci j del producto AB es el resultado de multiplicar la i-ésima fila de A con la j-ésima columna de B. Además, para poder efectuar el producto, la primera matriz debe tener el mismo número de columnas que de filas la segunda y la matriz AB tiene entonces tamaño m× p. En forma equivalente, si Fi, i = 1, . . . ,m, son las filas de A y Cj, j = 1, . . . , p, son las columnas de B, entonces AB = ⎡ ⎢⎢⎢⎣ F1C1 F1C2 · · · F1Cp F2C1 F2C2 · · · F1Cp ... ... . . . ... FmC1 F2C2 · · · FmCp ⎤ ⎥⎥⎥⎦ (1.1) � Ejemplo 1.5 Hola • √2 ⎡ ⎣ −1 0 −1 22 −4 1 3√ 2 −4 0 5 ⎤ ⎦= ⎡ ⎣ − √ 2 0 −√2 2√2 2 √ 2 −4√2 √2 3√2 2 −4√2 0 5√2 ⎤ ⎦ • Si A = [ −2 −4 −1 5 −2 0 ] y B = [ −4 −5 2 −1 0 −1 ] , entonces A+B = [ −6 −9 1 4 −2 −1 ] . • [ −1 0 −2 4 5 ] ⎡ ⎢⎢⎢⎢⎣ 2 −1 0 0 −4 ⎤ ⎥⎥⎥⎥⎦ = = (−1)(2)+(0)(−1)+(−2)(0) + (4)(0)+(5)(−4) −22. Note que en este caso la matriz fila tiene tamaño 1× 5 y la columna 5× 1 (las dos tienen el mismo número de componentes).� 12Una matriz fila es una matriz que tiene solamente un renglón y una matriz columna es una matriz que tiene una sola columna (cfr. inciso 3 de la pág. 8). Page (PS/TeX): 6 / 6, COMPOSITE 6 CAPÍTULO 1 Matrices y sistemas lineales � Ejemplo 1.6 Si A = [ −1 −2 4 0 2 1 ] y B = ⎡ ⎣ 1 −2 4 50 −1 0 2 −1 0 0 1 ⎤ ⎦ , A ∈M2×3, B ∈M3×4; el producto AB está definido (el número de columnas de A es igual al número de filas de B, en este caso 3) y el producto AB será una matriz 2×4, dos filas y cuatro columnas (tantas filas como A y tantas columnas como B). Para obtener las componentes ci j de las filas de la matriz producto AB procedemos de la manera siguiente. La primera fila de AB: Los elementos de la primera fila de AB se obtienen multiplicando, sucesi- vamente, la primera fila de A con la primera, segunda, tercera y cuarta columas de B: c11 = [ −1 −2 4 ] ⎡ ⎣ 10 −1 ⎤ ⎦= −5, c12 = [ −1 −2 4 ] ⎡ ⎣ −2−1 0 ⎤ ⎦= 4, c13 = [ −1 −2 4 ] ⎡ ⎣ 40 0 ⎤ ⎦=−4, c14 = [ −1 −2 4 ] ⎡ ⎣ 52 1 ⎤ ⎦=−5. La segunda fila de AB: Los elementos de la segunda fila de AB se obtienen multiplicando, sucesi- vamente, la segunda fila de A con la primera, segunda, tercera y cuarta columas de B: c21 = [ 0 2 1 ]⎡⎣ 10 −1 ⎤ ⎦=−1, c22 = [ 0 2 1 ]⎡⎣ −2−1 0 ⎤ ⎦=−2, c23 = [ 0 2 1 ]⎡⎣ 40 0 ⎤ ⎦= 0, c24 = [ 0 2 1 ]⎡⎣ 52 1 ⎤ ⎦= 5. Luego, AB = [ −5 4 −4 −5 −1 −2 0 5 ] .� Page (PS/TeX): 7 / 7, COMPOSITE SECCIÓN 1.1 Matrices 7 En realidad, la notación matricial está diseñada para ejecutar mecánica y mentalmente los cálculos cuando el tamaño de las matrices no es muy grande; por eso el lector debe procurar, en la medida de lo posible, aprovechar esta ventaja para efectuar las operaciones de esta manera. De hecho, a partir de aquı́, el lector ya no encontrará un producto de matrices realizado con el detalle con el que se hizo en el ejemplo precedente; pues utilizaremos sistemáticamente (1.1) para producto de matrices y haremos los cálculos sin hacer explı́citas las operaciones. � Ejemplo 1.7 ⎡ ⎣ −1 0 12 1 1 3 −2 0 ⎤ ⎦ ⎡ ⎣ 0 −1 11 1 −1 0 1 2 ⎤ ⎦ = ⎡ ⎣ F1C1 F1C2 F1C3F2C1 F2C2 F2C3 F3C1 F3C2 F3C3 ⎤ ⎦ = ⎡ ⎣ 0 2 11 0 3 −2 −5 5 ⎤ ⎦ .� 1.1.3 Matrices especiales 1. Matriz cero. La matriz cero de tamaño m× n se define como aquella que tiene las m× n compo- nentes nulas; esto es, O = [ai j] donde ai j = 0 ∀i , j. Ası́, por ejemplo, O = [ 0 0 0 0 0 0 ] es la matriz cero 2×3. 2. Matriz identidad n×n: In = ⎡ ⎢⎢⎢⎣ 1 0 · · · 0 0 1 · · · 0 ... ... . . . ... 0 0 · · · 1 ⎤ ⎥⎥⎥⎦; es decir, In = [ai j], donde ai j = { 1, si i = j; 0, si i �= j. Ası́, por ejemplo, I3 = ⎡ ⎣1 0 00 1 0 0 0 1 ⎤ ⎦ es la matriz identidad 3×3. Page (PS/TeX): 8 / 8, COMPOSITE 8 CAPÍTULO 1 Matrices y sistemas lineales 3. Como mencionamos en el inciso 3 de la subsección 1.1.2, a las matrices que tienen sólo una fila o sólo una columna les llamaremos, respectivamente, matrices fila y matrices columna. Además, en este libro utilizaremos una notación especial en el caso de las matrices columna (cuando tengan más de un elemento) análoga a la notación vectorial �b = ⎡ ⎢⎢⎢⎣ a11 a21 ... an1 ⎤ ⎥⎥⎥⎦ . La razón de esta notación se verá más adelante cuando se estudie el espacio vectorial Rn en el capı́tulo 3. A las matrices de tamaño n× n les llamaremos matrices cuadradas de orden n y al conjunto for- mado por éstas lo denotaremos por Mn. Si A = [ai j] es una matriz cuadrada de orden n se dice que los elementos a11, a22, a33,..., ann forman o están en la diagonal de la matriz A. Y si A = [ai j] ∈Mm×n, diremos que los elementos ai j con i = j forman la diagonal principal de la matriz A. � Ejemplo 1.8 Si M = ⎡ ⎢⎢⎣ −1 5 0 2 7 3 −1 1 3 0 4 2 1 −5 9 7 ⎤ ⎥⎥⎦ entoncesm11 =−1,m22 = 3,m33 = 4,m44 = 7 son los elementosde la diagonalde la matriz cuadrada M.� Definición 1.3 Una matriz cuadrada A de orden n es triangular superior si las componentes que están por debajo de la diagonal son todas nulas. La matriz es triangular inferior si las componentes que están por arriba de la diagonal son todas iguales a cero. � Ejemplo 1.9 Si A = ⎡ ⎢⎢⎣ −1 5 0 2 0 3 −1 1 0 0 4 2 0 0 0 7 ⎤ ⎥⎥⎦ y B = ⎡ ⎢⎢⎣ −1 0 0 0 −5 3 0 0 2 0 4 0 6 0 4 0 ⎤ ⎥⎥⎦ , entonces A es una matriz triangular superior y B es una matriz triangular inferior.� Definición 1.4 Sea A una matriz cuadrada de orden n. Se dice que A es una matriz diagonal si todas las componentes fuera de su diagonal son nulas. Si aii = λi, i = 1,2, . . . ,n, son las componentes de la diagonal de esta matriz se escribe A = diag(λ1,λ2, . . . ,λn) para representar a la matriz diagonal A. Page (PS/TeX): 9 / 9, COMPOSITE SECCIÓN 1.1 Matrices 9 � Ejemplo 1.10 La matriz cuadrada ⎡ ⎣ 4 0 00 3 0 0 0 8 ⎤ ⎦ es diagonal. Esto es, A = diag(4,3,8).� Definición 1.5 Si A = [ai j] ∈Mm×nse define la matriz transpuesta de A como At = [bi j], donde bi j = a ji para i = 1,2, ...,n y j = 1,2, ...,m. De la definición 1.5 se desprende que At tiene tamaño n×m y que en la matriz transpuesta la primera columna es la primera fila de A, la segunda columna es la segunda fila de A, etcétera. Definición 1.6 Una matriz A es simétrica cuando At = A. La definición 1.6 entraña que una matriz simétrica es necesariamente cuadrada; pues si A ∈Mm×n y A es simétrica, entonces A = At ∈Mn×m, de donde m = n; ya que dos matrices que son iguales deben tener el mismo tamaño. � Ejemplo 1.11 Si A = [ 1 2 3 4 5 6 7 8 ] , At = ⎡ ⎢⎢⎣ 1 5 2 6 3 7 4 8 ⎤ ⎥⎥⎦ .� � Ejemplo 1.12 La matriz A = [ −1 2 2 3 ] es simétrica pues claramente A = At .� 1.1.4 Propiedades de las operaciones A continuación enunciamos las principales propiedades de las operaciones con matrices, las cuales son, en general, fáciles de probar y su comprobación se deja como ejercicio al lector. 1. Si A ,B ,C ∈Mm×n y λ ,β ∈ R: (a) A+B ∈Mm×n. (b) A+(B+C) = (A+B)+C. Page (PS/TeX): 10 / 10, COMPOSITE 10 CAPÍTULO 1 Matrices y sistemas lineales (c) A+B = B+A. (d) A+O = A, donde O es la matriz cero m×n. (e) Existe una matriz −A ∈Mm×n tal que A+(−A) = O . De hecho, si A = [ai j], −A = [−ai j]. (f) λA ∈Mm×n. (g) λ(βA) = (λβ)A. (h) (λ+β)A = λA+βA. (i) λ(A+B) = λA+λB. (j)3 1A = A. 2. (a) Si A, B, C son matrices tales que los productos A(BC) y (AB)C están definidos, entonces A(BC) = (AB)C. (b) Si AB está definido se tiene: λ(AB) = (λA)B = A(λB). (c) Si A ∈Mm×n, AIn = ImA = A. (d) En general AB �= BA. (e) Si A ∈Mm×n y B,C ∈Mn×p , entonces A(B+C) = AB+AC. 3. (a) Si A y B son matrices del mismo tamaño (A+B)t = At +Bt . (b) Si A, B son matrices tales que el producto AB está definido, entonces (AB)t = BtAt . (c) (At)t = A ∀A ∈Mm×n. Es conveniente que el lector tenga siempre presente la propiedad 2(d); es decir, la no conmutatividad del producto de matrices. Pues es claro que en principio el hecho de que el producto AB esté definido, no garantiza que ni siquiera el producto BA esté definido; por ejemplo, si A es una matriz 2×3 y B es una matriz 3×4, el producto AB está definido y el producto BA no. Más aún, aunque los productos AB y BA estén definidos éstos, en general, serán distintos como ilustramos en el siguiente ejemplo. � Ejemplo 1.13 [ 1 1 3 2 ][ 1 0 2 4 ] = [ 3 4 7 8 ] , [ 1 0 2 4 ][ 1 1 3 2 ] = [ 1 1 14 10 ] ; esto es, [ 1 1 3 2 ][ 1 0 2 4 ] �= [ 1 0 2 4 ][ 1 1 3 2 ] � Finalizamos este apartado con las demostraciones, en los siguientes dos ejemplos, de un par de propiedades simples del producto de matrices que serán utilizadas más adelante. 13Más adelante, en el tema de espacios vectoriales, se verá la importancia de esta aparentemente inocua propiedad. Page (PS/TeX): 11 / 11, COMPOSITE SECCIÓN 1.1 Matrices 11 � Ejemplo 1.14 Sean A = [ai j] ∈Mm×n y C = [bi j] ∈Mn×p. Si�ck = ⎡ ⎢⎢⎢⎣ b1k b2k ... bnk ⎤ ⎥⎥⎥⎦ es la columna k de C y �dk es la columna k de AC, k = 1,2, . . . , p, demostrar que �dk = A�ck ∀k. Esto es, AC = [ A�c1 A�c2 · · · A�cp ] � (1.2) DEMOSTRACIÓN Sean αi j las componentes del producto AC, entonces, para cada k = 1,2, . . . , p, �dk = ⎡ ⎢⎢⎢⎣ α1k α2k ... αmk ⎤ ⎥⎥⎥⎦ ; pero αik = [ ai1 ai2 · · · ain ] ⎡ ⎢⎢⎢⎣ b1k b2k ... bnk ⎤ ⎥⎥⎥⎦ = n ∑ j=1 ai jb jk; por tanto, �dk = ⎡ ⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣ n ∑ j=1 a1 jb jk n ∑ j=1 a2 jb jk ... n ∑ j=1 am jb jk ⎤ ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ . (1.3) Por otra parte, A�ck = ⎡ ⎢⎢⎢⎣ a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n ... ... . . . ... am1 am2 · · · amn ⎤ ⎥⎥⎥⎦ ⎡ ⎢⎢⎢⎣ b1k b2k ... bnk ⎤ ⎥⎥⎥⎦ = ⎡ ⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣ n ∑ j=1 a1 jb jk n ∑ j=1 a2 jb jk ... n ∑ j=1 am jb jk ⎤ ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ . (1.4) De (1.3) y (1.4) se tiene A�ck = �dk ∀k. Page (PS/TeX): 12 / 12, COMPOSITE 12 CAPÍTULO 1 Matrices y sistemas lineales � Ejemplo 1.15 Supongamos ahora que A = [ai j] ∈Mm×n y�c = ⎡ ⎢⎢⎢⎣ x1 x2 ... xn ⎤ ⎥⎥⎥⎦, entonces, x1 ⎡ ⎢⎢⎢⎣ a11 a21 ... am1 ⎤ ⎥⎥⎥⎦+ x2 ⎡ ⎢⎢⎢⎣ a12 a22 ... am2 ⎤ ⎥⎥⎥⎦+ · · ·+ xn ⎡ ⎢⎢⎢⎣ a1n a2n ... amn ⎤ ⎥⎥⎥⎦= ⎡ ⎢⎢⎢⎣ a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n ... ... . . . ... am1 am2 · · · amn ⎤ ⎥⎥⎥⎦ ⎡ ⎢⎢⎢⎣ x1 x2 ... xn ⎤ ⎥⎥⎥⎦ . (1.5) En efecto: x1 ⎡ ⎢⎢⎢⎣ a11 a21 ... am1 ⎤ ⎥⎥⎥⎦+ x2 ⎡ ⎢⎢⎢⎣ a12 a22 ... am2 ⎤ ⎥⎥⎥⎦+ · · ·+ xn ⎡ ⎢⎢⎢⎣ a1n a2n ... amn ⎤ ⎥⎥⎥⎦ = ⎡ ⎢⎢⎢⎣ x1a11 x1a21 ... x1am1 ⎤ ⎥⎥⎥⎦+ ⎡ ⎢⎢⎢⎣ x2a12 x2a22 ... x2am2 ⎤ ⎥⎥⎥⎦+ · · ·+ ⎡ ⎢⎢⎢⎣ xna1n xna2n ... xnamn ⎤ ⎥⎥⎥⎦ = ⎡ ⎢⎢⎢⎣ a11x1 +a12x2 + · · ·+a1nxn a21x1 +a22x2 + · · ·+a2nxn ... am1x1 +am2x2 + · · ·+amnxn ⎤ ⎥⎥⎥⎦ = A�c.� 1.1.5 Matrices con números complejos En este apartado se introduce, por primera vez en este libro, el uso de números complejos en álgebra lineal; especı́ficamente en el tema de matrices con componentes complejas. El ápendice B contiene un breve estudio de este importante campo numérico y de sus principales propiedades, y el lector que no esté habituado a trabajar con números complejos, o necesite repasar este tema, deberı́a consultar la sección B.1 de este apéndice cuanto antes. A lo largo de este texto se incluyen apartados que contienen el uso de números complejos en temas que ya se han tratado con números reales. En general, la transición en cada caso será muy sencilla, pues una vez que se dominan los temas de álgebra lineal con números reales los cambios para tratar éstos con números complejos son mı́nimos y, en realidad, las dificultades tienen que ver más con la familiaridad que tenga el lector con el uso de números complejos que con aspectos áridos de generalización. De hecho, el uso de este campo numérico en álgebra lineal se va haciendo cada vez más necesario en la medida que se avanza en la materia, tanto en la teorı́a como en las aplicaciones. Se han incluido este tipo de subsecciones para ir acostumbrando al lector al uso de los números complejos en álgebra lineal. Obviamente, el lector que no desee en este momento abordar estos temas puede omitirlos y regresar a ellos cuando lo juzgue pertinente. Recordemos (cfr. apéndice B) que los números complejos tienen la forma a+bi Page (PS/TeX): 13 / 13, COMPOSITE SECCIÓN 1.1 Matrices 13 donde a,b son números reales e i es la unidad imaginaria. Al conjunto de estos números se les representa porC y este campo incluye de manera natural a los números reales mediante la identificación del número real a con el número complejo a+ 0i. Estos números se operan algebraicamente de manera análoga a los números reales, utilizando todas las propiedades de éstos y conviniendo en que la unidad imaginaria en este sistema satisface4 i2 =−1. De esta manera, operar algebraicamente matrices con componentes complejas es un proceso com- pletamente análogo al que se utiliza cuando éstas tienen entradas que son números reales. Es decir, se suman, restan, multiplican, etc., en la misma forma que las matrices reales, pero operando sus com- ponentes con las reglas algebraicas de los números complejos. Al conjunto de matrices de tamaño m×n con componentes complejas lo denotaremos por Mm×n(C). Todas las propiedades acerca de ma- trices con componentes reales que vimos en esta sección siguen siendo válidas para las matrices con entradas complejas. � Ejemplo 1.16 Sean A,B ∈M2×3(C) las matrices definidas por A = [ 1−2i −4i 2 3−5i 4+6i −9i ] y B = [ 3−7i 5−4i 2−9i 5i 7−6i 1+ i ] . Entonces 1. A+B = [ 1−2i −4i 2 3−5i 4+6i −9i ] + [ 3−7i 5−4i 2−9i 5i 7−6i 1+ i ] = [ 4−9i 5−8i 4−9i 3 11 1−8i ] . 2. 5A = 5 [ 1−2i −4i 2 3−5i 4+6i −9i ] = [ 5−10i −20i 10 15−25i 20+30i −45i ] . 3. (3+2i)B = (3+2i) [ 1−2i −4i 2 3−5i 4+6i −9i ] = [ 7−4i 8−12i 6+4i 19−9i 26i 18−27i ] . Aquı́ hemos realizado las operaciones (3+2i)(1−2i) = 3−6i+2i−4i2 = 3−4i−4(−1) = 3−4i+4 = 7−4i, 14En la sección B.1 del apéndice B se hace un estudio más detallado y formal de los números complejos. Page (PS/TeX): 14 / 14, COMPOSITE 14 CAPÍTULO 1 Matrices y sistemas lineales para obtener la componentec11 de (3+2i)B; (3+2i)(−4i) = −12i−8i2 = −12i−8(−1) = 8−12i, para obtener la componente c12 de (3+2i)B; etcétera.� � Ejemplo 1.17 Sean A = [ 1+ i 2 −i 2−3i ] y B = [ −i 3 2+5i 2i 1− i 0 ] , entonces AB = [ 1+ i 2 −i 2−3i ][−i 3 2+5i 2i 1− i 0 ] = [ (1+ i)(−i)+2(2i) (1+ i)(3)+2(1− i) (1+ i)(2+5i)+2(0) (−i)(−i)+(2−3i)(2i) (−i)(3)+(2−3i)(1− i) (−i)(2+5i)+(2−3i)(0) ] = [ 1+3i 5+ i −3+7i 5+4i −1−8i 5−2i ] .� 1.2 Sistemas lineales Seguramente el lector está familiarizado, por cursos más elementales, con sistemas simultáneos de dos o tres ecuaciones lineales con dos o tres incógnitas. Se les llama sistemas lineales porque, para el caso de dos incógnitas, digamos x, y, las ecuaciones tienen la for- ma ax+by= c, cuyos lugares geométricos correspon- den a lı́neas rectas en el plano. Cuando se resuelve un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógni- tas, se busca el punto de intersección de dos lı́neas rectas (si es que éstas no son paralelas). Aquı́ estu- diaremos sistemas lineales generales de m ecuacio- nes con n incógnitas siendo m y n cualquier par de números enteros no negativos. Los sistemas lineales tienen una gran variedad de aplicaciones en ingenierı́a y ciencias; veremos algunas de estas aplicaciones en el capı́tulo seis. y x x− y = 1 x+ y = 3 Page (PS/TeX): 15 / 15, COMPOSITE SECCIÓN 1.2 Sistemas lineales 15 1.2.1 Definiciones, soluciones y forma matricial de sistemas lineales Definición 1.7 Un sistema de m-ecuaciones con n-incógnitas que tiene la forma a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm (1.6) donde los ai j ,bi ∈ R, i = 1,2, . . . ,m, j = 1,2, . . . ,n, están dados, es lineal. Una solución de este sistema de ecuaciones es una n-ada ordenada (α1,α2, . . . ,αn) de números reales, tales que al hacer las sustituciones x1 = α1 x2 = α2 ... xn = αn en cada una de las m-ecuaciones las convierte en identidades. � Ejemplo 1.18 El sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas 2x1−3x2− x3=−4 (1.7) x1 + x2 + x3=−3 (1.8) es lineal y (−1,2,−4) es una solución del mismo. En efecto, al sustituir x1 =−1, x2 = 2 y x3 =−4 en la primera ecuación (1.7) se tiene 2(−1)−3(2)− (−4) =−4 y al hacer las mismas sustituciones en la segunda ecuación (1.8), (−1)+(2)+(−4) =−3.� � Ejemplo 1.19 El sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas x21 − 3x2 = 1 x1/21 + x2 = π no es lineal (¿por qué?).� Si se tiene el sistema lineal (1.6) a A = ⎡ ⎢⎢⎢⎣ a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n ... ... . . . ... am1 am2 · · · amn ⎤ ⎥⎥⎥⎦ Page (PS/TeX): 16 / 16, COMPOSITE 16 CAPÍTULO 1 Matrices y sistemas lineales se le llama la matriz de coeficientes del sistema. En tal caso, si ponemos �x = ⎡ ⎢⎢⎢⎢⎢⎣ x1 x2 · · · xn ⎤ ⎥⎥⎥⎥⎥⎦ y �b = ⎡ ⎢⎢⎢⎢⎢⎣ b1 b2 · · · bm ⎤ ⎥⎥⎥⎥⎥⎦ , entonces el sistema lineal se puede escribir en forma matricial como A�x =�b , pues al hacer el producto se obtiene ⎡ ⎢⎢⎢⎢⎢⎣ a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn · · · · · · · · · · · · · · · · · · · am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn ⎤ ⎥⎥⎥⎥⎥⎦= ⎡ ⎢⎢⎢⎢⎢⎣ b1 b2 · · · bm ⎤ ⎥⎥⎥⎥⎥⎦ que equivale, por definición de igualdad de matrices, al sistema (1.6). � Ejemplo 1.20 Para el sistema 3×3 x1 + x2 + 2x3 = 9 2x1 + 4x2 − 3x3 = 1 3x1 + 6x2 − 5x3 = 0 la matriz de coeficientes es A = ⎡ ⎣ 1 1 22 4 −3 3 6 −5 ⎤ ⎦ y la ecuación matricial correspondiente es ⎡ ⎣ 1 1 22 4 −3 3 6 −5 ⎤ ⎦ ⎡ ⎣ x1x2 x3 ⎤ ⎦= ⎡ ⎣ 91 0 ⎤ ⎦ .� Definición 1.8 El sistema m×n A�x =�b es: • Consistente: si tiene al menos una solución. • Inconsistente: si no tiene soluciones. En la figura 1-1 se ilustran los lugares geométricos de cuatro sistemas lineales en el plano: con solución única (a), inconsistentes (b) y (c) y con una infinidad de soluciones (d). Page (PS/TeX): 17 / 17, COMPOSITE SECCIÓN 1.2 Sistemas lineales 17 (a) (b) (c) (d) Figura 1-1 • (a) dos lı́neas que se intersecan en un solo punto, (b) dos lı́neas paralelas que no se intersecan, (c) tres lı́neas que no se intersecan simultáneamente y (d) dos lı́neas que coinciden. De manera análoga, una ecuación lineal con tres incógnitas, ax+ by+ cz = d, corresponde al lu- gar geométrico de puntos que están en un plano en el espacio tridimensional. También en este caso, cuando se resuelven sistemas lineales con tres incógnitas, se buscan intersecciones de los correspon- dientes planos. Nuevamente los planos pueden no intersecarse, intersecarse en una infinidad de puntos o intersecarse en un único punto. La figura 1-2 ilustra estas posibilidades. Figura 1-2 • Planos que se intersecan, respectivamente, en una lı́nea recta, en un único punto y que no tienen intersección simultánea. Definición 1.9 Dos sistemas lineales del mismo tamaño, A�x =�b, H�x =�c, son equivalentes si tienen el mismo conjunto de soluciones. En el siguiente ejemplo resolveremos un sistema lineal de manera análoga a como el lector, segu- ramente, ya lo ha hecho en cursos de bachillerato; sin embargo, lo haremos con un método que intro- ducirá el importante algoritmo de Gauss; el cual consiste, esencialmente, en ir haciendo “pivotes” para eliminar variables (incógnitas) y obtener un sistema equivalente en forma “escalonada” y finalmente resolverlo por sustitución regresiva. Page (PS/TeX): 18 / 18, COMPOSITE 18 CAPÍTULO 1 Matrices y sistemas lineales � Ejemplo 1.21 Resolvamos el sistema lineal x1 + x2 +2x3 = 9 (1.9) 2x1 +4x2−3x3 = 1 (1.10) 3x1 +6x2−5x3 = 0 (1.11) Para ello, con la ecuación (1.9), eliminemos la variable x1 de las ecuaciones (1.10) y (1.11) multi- plicando5 (1.9) por −2 y sumando con (1.10); luego multiplicando (1.9) por −3 y sumando con (1.11); obteniendo el sistema equivalente: x1 + x2 +2x3 =−19 2x2−7x3 =−17 (1.12) 3x2−11x3 =−27 (1.13) De manera análoga, multiplicando (1.12) por −3, (1.13) por 2 y sumando los resultados, habremos hecho un “pivote” con la variable x2 de la ecuación (1.12) para eliminar la variable x2 de la ecuación (1.13), produciendo el sistema equivalente “escalonado” x1 + x2 + x3 = 9 2x2 − 7x3 = −17 − x3 = −27 Finalmente, haciendo sustitución regresiva, es decir, despejando y sustituyendo variables de este último sistema de abajo hacia arriba, tenemos x3 = 3; x2 = −17+7(x3) 2 = −17+7(3) 2 = 2; x1 = 9− x2−2x3 = 9− (2)−2(3) = 1. Ası́, el sistema es consistente con solución única �x = ⎡ ⎣ 12 3 ⎤ ⎦ .� Podemos sintetizar el método del ejemplo precedente de la siguiente manera. Denotemos por Ri la i-ésima ecuación de un sistema lineal; la notación Ri ↔ αRi + βRj significa que la ecuación Ri se sustituye por la ecuación que se obtiene de sumar α veces la ecuación Ri con β veces la ecuación Rj. Las operaciones algebraicas que hicimos en el ejemplo anterior se resumen en el siguiente esquema. 15Cuando se multiplica una ecuación por un número, significa que ambos lados de la igualdad en dicha ecuación se multiplican por ese número; y cuando se suman dos ecuaciones, quiere decir que se suman miembro a miembro los correspondientes lados de la igualdad. Page (PS/TeX): 19 / 19, COMPOSITE SECCIÓN 1.2 Sistemas lineales 19 x1 + x2 +2x3 = 9 2x1 +4x2−3x3 = 1 3x1 +6x2−5x3 = 0 ←−−−−−−→ R2↔−2R1 +R2 R3↔−3R1 +R3 x1 + x2 +2x3 = 9 2x2−7x3 = −17 3x2−11x3 = −27 ←−−−−−−−→ R3↔−3R2 +2R3 x1 + x2 +2x3 = 9 2x2−7x3 = −17 −x3 = −3 En cada paso del proceso anterior se obtiene un sistema equivalente; es decir, con las mismas solu- ciones pero más sencillo, hasta que el último sistema equivalente está escalonado y se puede resolver haciendo sustitución regresiva. Es claro que en el ejemplo 1.21 y en la discusión anterior sólo se trabajó con los coeficientes, y que de las variables x1, x2 y x3 únicamente se utiliza la posición que tienen en el arreglo. Se ve entonces que para resolver un sistema lineal A�x =�b, basta trabajar con la matriz de coeficientes A y el término independiente�b.6 Paraello, a continuación damos el siguiente concepto. Definición 1.10 Para el sistema lineal a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm o, en forma matricial, A�x =�b con �x = ⎡ ⎢⎢⎢⎢⎢⎣ x1 x2 · · · xn ⎤ ⎥⎥⎥⎥⎥⎦ y �b = ⎡ ⎢⎢⎢⎢⎢⎣ b1 b2 · · · bm ⎤ ⎥⎥⎥⎥⎥⎦, se define la matriz aumentada (también se le llama matriz ampliada) del mismo como [A |�b ] = ⎡ ⎢⎢⎢⎢⎢⎣ a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n · · · · · · · · · · · · · · · · · · am1 am2 · · · amn ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ b1 b2 · · · bm ⎤ ⎥⎥⎥⎥⎥⎦ El lado izquierdo en la partición [A |�b ] contiene la matriz de coeficientes [ai j] y el lado derecho con- tiene los términos independientes bi del sistema lineal. La definición anterior provee una notación muy simple para evitar, en un sistema lineal, escribir las variables y únicamente trabajar con los coeficientes. La primera fila de la matriz ampliada equivale a la ecuación a11x1+a12x2+ · · ·+a1nxn = b1, la segunda 16Llamaremos término independiente en un sistema lineal A�x =�b, a la matriz columna�b y términos independientes del mismo sistema a las respectivas componentes de este vector. Page (PS/TeX): 20 / 20, COMPOSITE 20 CAPÍTULO 1 Matrices y sistemas lineales fila equivale a la ecuación a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2, etc., y la última fila equivale a la ecuación am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = bm. La lı́nea vertical en la partición [A |�b ] únicamente sirve para hacer notoria la columna que contiene los términos independientes bi del sistema lineal; y de hecho se puede omitir, si ası́ se desea, cuando se conviene en que la última columna de la matriz aumentada contenga el término independiente�b del sistema. Resolveremos ahora, en el siguiente ejercicio, el ejemplo 1.21 utilizando la matriz aumentada. � Ejemplo 1.22 Para este caso, haciendo las mismas operaciones que en la discusión posterior al ejem- plo 1.21, pero esta vez a los renglones de la matriz ampliada se tiene: ⎡ ⎣ 1 1 22 4 −3 3 6 −5 ∣∣∣∣∣∣ 9 1 0 ⎤ ⎦ ←−−−−−−→ R2↔−2R1 +R2 R3↔−3R1 +R3 ⎡ ⎣ 1 1 20 2 −7 0 3 −11 ∣∣∣∣∣∣ 9 −17 −27 ⎤ ⎦ ←−−−−−−−→ R3↔−3R2 +2R3 ⎡ ⎣ 1 1 20 2 −7 0 0 −1 ∣∣∣∣∣∣ 9 −17 −3 ⎤ ⎦ y, al hacer sustitución regresiva como se hizo en ese ejemplo (cfr. pág. 18), ⎡ ⎣x1x2 x3 ⎤ ⎦= ⎡ ⎣12 3 ⎤ ⎦ .� Hasta aquı́, aunque se ha utilizado en forma intuitiva el significado de sistema escalonado, no se ha precisado con exactitud. En la siguiente subsección nos abocamos a ello. 1.2.2 Matrices escalonadas y sistemas escalonados Definición 1.11 La matriz A ∈Mm×n está en forma escalonada si se cumplen las siguientes dos condiciones. • Las filas nulas (si existen)7 están por debajo de las filas no nulas. • El primer elemento distinto de cero de cada fila no nula está a la derecha del primer elemento diferente de cero de las filas precedentes.8 � Ejemplo 1.23 Si A = ⎡ ⎢⎢⎢⎢⎣ 0 −1 2 3 −5 3 0 0 −1 0 2 4 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎤ ⎥⎥⎥⎥⎦ y B = ⎡ ⎢⎢⎢⎢⎣ −1 2 4 0 3 0 1 2 −3 4 0 0 1 0 2 0 0 2 −3 0 0 0 0 0 0 ⎤ ⎥⎥⎥⎥⎦ , A está en forma escalonada pero B no.� 17Una fila es nula si todas sus entradas son ceros; una fila es no nula si por lo menos una de sus componentes es distinta de cero. 18En el caso que el primer elemento distinto de cero esté en la primera fila, se sobreentiende que la condición se cumple por vacuidad. Page (PS/TeX): 21 / 21, COMPOSITE SECCIÓN 1.2 Sistemas lineales 21 Definición 1.12 Al primer elemento distinto de cero de cada fila no nula, de una matriz en forma escalonada, se le llama pivote. Definición 1.13 Un sistema H�x = �c está escalonado si la matriz ampliada [H |�c ] es una matriz escalonada. A las variables que correspondan a pivotes en un sistema escalonado se les llamarán variables ligadas (o principales o básicas) y a las restantes variables libres (o no básicas). � Ejemplo 1.24 En el sistema escalonado 4×6 ⎡ ⎢⎢⎢⎣ 1 0 3 −2 1 5 0 0 5 0 1 1 0 0 0 0 7 6 0 0 0 0 0 5 ∣∣∣∣∣∣∣∣ −2 3 7 0 ⎤ ⎥⎥⎦ , hay pivotes en las columnas 1, 3, 5 y 6; que corresponden, respectivamente, a las variables x1, x3, x5 y x6. Ası́ que estas variables son ligadas y x2, x4 son variables libres.� Entonces, para resolver un sistema escalonado al hacer sustitución regresiva, se despejan las varia- bles ligadas dejándolas en función de las variables libres procediendo de abajo hacia arriba, en el caso que el sistema tenga variables libres; en caso contrario, simplemente se despejan las variables ligadas actuando también de abajo hacia arriba. � Ejemplo 1.25 Resolver los siguientes sistemas lineales escalonados. 1. ⎡ ⎣ −5 −1 30 3 5 0 0 2 ∣∣∣∣∣∣ 3 8 −4 ⎤ ⎦ 2. ⎡ ⎢⎢⎣ 1 −3 0 5 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 ∣∣∣∣∣∣∣∣ 4 −7 1 0 ⎤ ⎥⎥⎦ 3. ⎡ ⎣ 1 −3 50 1 2 0 0 0 ∣∣∣∣∣∣ 3 2 −1 ⎤ ⎦� Solución 1. En este caso, x1, x2 y x3 son todas variables ligadas, el sistema no tiene variables libres y x3 =−4/2 =−2; x2 = 8−5x23 = 6; x1 = 3+x2−3x3−5 =−3. Es decir,⎡ ⎣ x1x2 x3 ⎤ ⎦= ⎡ ⎣ −36 −2 ⎤ ⎦ es la única solución. Page (PS/TeX): 22 / 22, COMPOSITE 22 CAPÍTULO 1 Matrices y sistemas lineales 2. Para este sistema escalonado x1, x3 y x5 son las variables ligadas; mientras que x2 y x4 son las va- riables libres. Entonces x5 = 1, x3 = −7−2x4, x1 = 4+3x2−5x4; lo cual indica que al dar valores concretos arbitrarios a las variables libres x2 y x4 se obtiene una solución. Ası́, el conjunto de solu- ciones de este sistema es infinito y está dado por: {(x1,x2,x3,x4,x5) |x5 = 1, x3 =−7−2x4, x1 = 4+3x2−5x4; x2,x4 ∈ R} . Una manera más compacta de expresar las soluciones es:⎡ ⎢⎢⎢⎢⎣ x1 x2 x3 x4 x5 ⎤ ⎥⎥⎥⎥⎦= ⎡ ⎢⎢⎢⎢⎣ 4+3s−5r s −7−2r r 1 ⎤ ⎥⎥⎥⎥⎦; r,s ∈ R. Al dar valores concretos a r y s se obtendrá una solución particular; por ejemplo, si r = 0 y s = 0, es fácil darse cuenta que ⎡ ⎢⎢⎢⎢⎣ x1 x2 x3 x4 x5 ⎤ ⎥⎥⎥⎥⎦= ⎡ ⎢⎢⎢⎢⎣ 4 0 −7 0 1 ⎤ ⎥⎥⎥⎥⎦ resuelve el sistema de ecuaciones. 3. Para este sistema no pueden existir números reales x1,x2,x3 tales que 0x1+0x2+0x3 =−1; es decir, el sistema no tiene solución, es inconsistente. 1.2.3 Operaciones de renglón para matrices, equivalencia por filas y soluciones 1.2.3 de sistemas escalonados Motivados en los métodos de la subsección precedente para resolver sistemas lineales, definimos las siguientes operaciones de renglón (fila) para matrices. Operaciones elementales de renglón para matrices 1. Intercambio de filas: Ri←→ Rj. 2. Cambio de escala: Ri←→ αRi (α �= 0). 3. Suma de filas: Ri←→ αRi +βRj (α �= 0). Las cuales significan, respectivamente: • La fila i se intercambia con la fila j. • La fila i se cambia por la misma fila multiplicada por α. • La fila i se cambia por la suma de α-veces la fila i con β-veces la fila j. Page (PS/TeX): 23 / 23, COMPOSITE SECCIÓN 1.2 Sistemas lineales 23 Matrices equivalentes Definición 1.14 Sean A , B ∈Mm×n. B es equivalente por filas a la matriz A (o simplemente equi- valente a A), si B se puede obtener de la matriz A al aplicarle una sucesión finita de operaciones elementales de renglón. Si B es equivalente a A escribiremos B∼ A o B↔ A. � Ejemplo 1.26 Si A = [ 1 2 3 4 5 2 −3 −1 0 1 ] y B = [ 1 2 3 4 5 0 −7 −7 −8 −9 ] , B∼ A; pues B se obtiene de A mediante la operación de renglón R2←→−2R1 +R2� No es difı́cil probar el siguiente teorema. Teorema 1.1 Si A, B ∈Mm×n, entonces 1. A∼ A. (Reflexividad) 2. A∼ B⇒ B∼ A. (Simetrı́a) 3. A∼ B y B∼C⇒ A∼C. (Transitividad) Del teorema precedente inciso 2, se ve que ya no es necesario decir que B es equivalente a A, pues en tal caso simplemente podremos enunciar que A y B son equivalentes. Al aplicar operaciones de renglón a un sistema se obtiene un sistema equivalente. Es decir: Teorema 1.2 Si [A |�b ]∼ [H |�c ], entonces los sistemas A�x=�b y H�x=�c tienen las mismas soluciones. Es claro que siempre se pueden aplicar operaciones de fila a una matriz A, de manera adecuada, para obtener una matriz escalonada equivalente a ella. Lo cual hacemos patente en
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