01 Albores

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Capítulo 1. Los albores de la astronomía de posición 
 
 
 
Texto en preparación. Versión 2020-II 1 
 
 
Capítulo 1 
Los albores de la astronomía de posición 
 
 
Las formas de la Tierra, del Sol y de la Luna, sus tamaños y las distancias entre ellos han 
sido una preocupación milenaria. Varios siglos antes de nuestra era algunos pensadores dedujeron 
con total certeza que la Tierra era una esfera, además que diseñaron los primeros experimentos y 
se realizaron los primeros cálculos de tamaños y distancias astronómicas que actualmente siguen 
siendo admirados y valorados por la sencillez de los métodos utilizados y las precisiones de 
algunos de los resultados obtenidos. Pero más que los valores hallados, lo que más se destaca de 
estos primeros trabajos fueron los procedimientos utilizados por la certeza de cada uno. 
Estas primeras intenciones científicas se inscriben en el campo de la astronomía de 
posición porque se realizaron a partir del análisis de fenómenos astronómicos que pueden ser 
observados por cualquier mortal: tamaños angulares, posiciones y movimientos de astros en la 
esfera celeste. Dos personajes principales de la antigua Grecia descollaron en esta gigantesca 
tarea: Aristarco de Samos y Eratóstenes de Cyrene. 
 
 
1.1 La Tierra como una esfera 
 
Los primeros modelos occidentales describen la Tierra como una superficie plana de 
dimensión finita que flota sobre un inmenso océano con Mesopotamia en el centro, envuelto por 
una inmensa esfera celeste que gira en torno a la Tierra todos los días arrastrando las estrellas y 
planetas. Otras mitologías la presentan de una manera similar con ligeras variantes. Proponer una 
Tierra plana es muy razonable y tal vez lo más obvio porque al tratarse de un planeta inmenso 
con un radio de curvatura pequeño, su esfericidad es inapreciable desde el suelo. Por lo tanto, a 
escala humana el sentido común nos engaña señalándonos una forma plana. 
Este modelo sobrevivió hasta el siglo VI aC en el que se propuso una Tierra esférica por 
motivos filosóficos más que por razones físicas, épocas de cosmologías geocéntricas y 
geoestáticas. Además, si el Sol y la Luna son esféricos o al menos circulares como se puede 
contemplar a simple vista, por extensión lo razonable era asumir idéntica forma para la Tierra. La 
mayoría de los expertos coinciden con que Pitágoras y Parménides fueron los primeros 
defensores de la esfericidad terrestre. 
Para el siglo V aC múltiples razonamientos de la esfericidad terrestre fueron aportados 
por sabios de la estatura de Tales de Mileto, Anaximandro de Mileto y Anaxímenes entre otros, 
que propusieron a partir de cuidadosas observaciones su forma esférica, además que se interpretó 
el cielo como una esfera, fin y frontera última del universo con la Tierra en el centro, en la que 
estaban inscritas las estrellas y constelaciones. 
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Las siguientes observaciones astronómicas y terrestres no dejaron duda de su geometría, teniendo 
presente que el horizonte en cualquier punto de la Tierra es un plano perpendicular a la vertical o 
dirección de la plomada en el punto de observación: 
 
• Al contemplar desde un puerto el alejamiento de una embarcación en el mar, la nave 
desaparece por debajo de la línea del horizonte de abajo hacia arriba: primero el casco y 
luego las velas. Lo contrario ocurre cuando se aproxima a puerto: lo primero que supera 
el horizonte son las velas y luego el casco. Si la Tierra fuera plana al alejarse del puerto 
el tamaño angular de la nave sería cada vez menor, hasta convertirse en un punto y 
desaparecer como ocurre con los aviones cuando despegan de un aeropuerto. 
• La estrella Polar cambia de altura respecto al horizonte cuando el observador se desplaza 
grandes distancias hacia el norte o hacia el sur de la Tierra. En un planeta plano la Polar 
permanecería a la misma altura vista desde todas las latitudes. 
• En los eclipses de Luna la Tierra proyecta su forma esférica en la superficie lunar. Una 
correcta interpretación de la mecánica de estos eventos permitió comprender que, en los 
eclipses de Luna, la Tierra se interpone entre la Luna y el Sol y que la curvatura observada 
en la Luna es generada por la curvatura terrestre. Si la Tierra fuera plana, en los eclipses 
se proyectaría una línea recta sobre la Luna. 
• Finalmente, desde cualquier altura en la superficie terrestre la distancia al horizonte es 
circular y finita, mayor la distancia al horizonte entre más alto esté el observador. En una 
superficie plana no habría horizonte físico. 
 
Para la época de Platón y Aristóteles el paradigma cultural que prevalecía presentaba la Tierra 
como un planeta esférico y estático ubicado en el centro del universo, alrededor del cual giraban 
los 7 errantes (5 planetas, Sol y Luna) y demás estrellas de acuerdo con diversos modelos físicos 
de la época. 
Nadie puede comprender cómo, después de 2.500 años de haber comprobado de múltiples 
maneras que la Tierra es una esfera y haber observado su esfericidad a través de millones de 
fotografías, actualmente persiste una pequeña comunidad de conspiradores chiflados que 
defienden su planitud. 
 
 
1.2 Distancias relativas al Sol y a la Luna 
 
Con modelos matemáticos simples, instrumentos de medida elementales y una 
observación inteligente del cosmos, algunos pensadores de aquella época aprovecharon 
fenómenos celestes tan familiares como las fases lunares, los tamaños angulares del Sol y de la 
Luna, los eclipses de Luna y la sombra que proyecta en el suelo un gnomon, y se atrevieron a 
calcular el tamaño de la Tierra, los tamaños del Sol y de la Luna, además de las distancias a ellos. 
Se considera a Aristarco de Samos (310 aC – 230 aC) como el primer astrónomo que 
calculó, en términos de diámetros terrestres, los tamaños del Sol y de la Luna y distancias entre 
ellos, monumental empresa para una época tan temprana como el siglo III aC. 
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Él comprendió que en fase de cuarto creciente lunar el trio Sol Tierra Luna forma un 
triángulo rectángulo con ángulo recto en el vértice de la Luna. De esta manera, si se logra medir 
desde la Tierra la separación angular entre el Sol y la Luna , se puede calcular la distancia al Sol 
en función de la distancia a la Luna, según se observa en la figura 1.1. 
Por lo tanto, con la Luna en cuarto creciente se tiene que: 
 
 
dTL = distancia Tierra Luna 
dTS = distancia Tierra Sol 
 = águlo LTS 
 
 
Figura 1.1 
 
Así es que: 
 
𝐶𝑜𝑠  =
𝑑𝑇𝐿
𝑑𝑇𝑆
 
 
Aristarco midió el ángulo  en 87°, por lo que: 
 
𝐶𝑜𝑠 87° = 𝑑𝑇𝐿 / 𝑑𝑇𝑆  𝑑𝑇𝐿 / 𝑑𝑇𝑆 = 1/19  𝑑𝑇𝑆 = 19 𝑑𝑇𝐿 
 
 
De esta manera Aristarco calculó la distancia Tierra Sol en 19 veces la distancia Tierra 
Luna. Obsérvese que se trata de una medida relativa entre distancias, no absoluta. El valor real 
es 400. ¿Cómo se explica un error tan gigante? Aunque su método es certero, Aristarco erró en la 
medida del ángulo : lo que calculó en 87° realmente es 89° 51’, casi 90°, una medida imposible 
te tomar con los instrumentos de su época. 
 
Ejemplo 1.1 Aristarco de Samos calculó en fase creciente la distancia angular Luna Sol = 87°. Hoy se sabe 
que erró en su medida. Si la distancia real Tierra Sol dTS son 150’000.000 km, ¿a qué distancia en kilómetros tendría 
que estar la Luna de la Tierra dTL para que la medida de Aristarco fuera correcta? 
 
Acudimos a la fórmula que utilizó Aristarco. Esta vez se conoce el ángulo α y la distancia dTS, con los que se 
calcular dTL: 
 
𝐶𝑜𝑠 𝛼 = 𝑑𝑇𝐿 / 𝑑𝑇𝑆  𝐶𝑜𝑠 87° = 𝑑𝑇𝐿 / 150.000.000  𝒅𝑻𝑳 = 𝟕′𝟖𝟓𝟎. 𝟑𝟗𝟑 𝒌𝒎 
 
 
1.3 Tamaños relativos del Sol y la Luna 
 
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Aunque el radio del Sol es mucho más grande que el radio dela Luna, RS mayor que RL, 
los eclipses totales de Sol permiten comprobar que sus diámetros angulares αS y αL vistos desde 
la Tierra son aproximadamente iguales: 
 
αS = αL 
 
 
Según la figura 1.2, por triángulos semejantes es fácil deducir que el Sol y la Luna deben 
conservar la proporción entre tamaños y distancias: 
 
𝑅𝑆
𝑅𝐿
= 
𝑑𝑇𝑆
𝑑𝑇𝐿
 
 
 
Por lo tanto: 
 
𝑅𝑆
𝑅𝐿
= 19  𝑅𝑆 = 19 𝑅𝐿 
Figura 1.2 
 
 
En el universo aristarquiano el diámetro del Sol es 19 veces el diámetro de la Luna. Hoy 
en día se conoce que el valor real es 400. 
Hasta este punto se ha calculado el tamaño relativo del Sol con respecto al tamaño de la 
Luna y la distancia relativa al Sol con respecto a la distancia a la Luna. A continuación, se 
calcularán las distancias al Sol y a la Luna en función de sus tamaños. 
 
 
1.4 Distancias al Sol y la Luna en función de sus radios 
 
Conociendo el diámetro angular del Sol y la Luna, αS y αL respectivamente = 0,5°, gráfico 
1.3, es posible calcular las distancias dTS y dTL al Sol y la Luna en función a sus radios RS y RL. El 
radio angular del Sol y la Luna vistos desde la Tierra es: 
 
 𝛼𝑆/2 = 𝛼𝐿/2 = 0,25° 
 
 
Se puede deducir que: 
 
𝑇𝑎𝑛 (/2) = 𝑅𝑆 / 𝑑𝑇𝑆 
Figura 1.3 
 
 𝑇𝑎𝑛 0,25° = 𝑅𝑆 / 𝑑𝑇𝑆 
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1 / 230 = 𝑅𝑆 /𝑑𝑇𝑆  𝑑𝑇𝑆 = 230 𝑅𝑆 
 
 
Igual se cumple para la Luna, por lo que: 
 
𝑑𝑇𝐿 = 230 𝑅𝐿 
 
 
Estos cálculos sugieren que la distancia Tierra Sol equivale a 230 veces el radio solar y 
la distancia Tierra Luna a 230 veces el radio lunar, resultados con menos de un 10% de error que 
se explica por pequeñas diferencias de los diámetros angulares reales de los dos astros. 
El diámetro angular del Sol y la Luna no son constantes porque sus distancias a la Tierra 
varían. El tamaño aparente del Sol oscila entre 31’28” en el afelio y 32’32” en el perihelio y el 
diámetro lunar oscila entre 29’22” en el apogeo y 33’26” en el perigeo. 
Otra forma de verificar el resultado anterior es: si el diámetro angular del Sol es medio 
grado, en un año, al completar un circuito de 360°, por la eclíptica deben caber el doble de soles 
que de grados como se ilustra en la figura 1.4. 
 
2 𝜋 𝑑𝑇𝑆 = 1440 RS  𝑑𝑇𝑆 = 1440 𝑅𝑆 / 2 𝜋 
 
 𝑑𝑇𝑆 = 230 𝑅𝑆 
 
Debido a que la Luna presenta el mismo diámetro 
angular, 0,5°, se repite también que la distancia Tierra Luna 
equivale a 230 radios lunares. Los tamaños y distancias 
calculados hasta el momento son relativos, no absolutos. 
Figura 1.4 
 
 
1.5 Distancias en función del radio terrestre 
 
Aristarco analizó la duración de las 
diferentes fases de los eclipses de Luna y llego a 
la siguiente conclusión: en su movimiento 
orbital el satélite en la fase total recorre por la 
umbra que proyecta la Tierra una distancia que 
equivale a tres diámetros lunares, figura 1.5. 
Figura 1.5 
 
Esta estimación la realizó de acuerdo con la siguiente reflexión: si una hora es el tiempo 
que le toma a la Luna penetrar completamente en la umbra y son tres horas la duración del eclipse 
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de Luna en su fase total, el diámetro terrestre, que equivale al diámetro de la umbra, debe ser igual 
a tres veces el diámetro lunar. 
 
𝑅𝑇 = 3 𝑅𝐿 
 
El valor real es 3,66, por lo que 3 no está nada mal. 
 
 
Ejemplo 1.2 (VV 646) Con base en el radio del Sol RS, el radio de la Tierra RT y la distancia Sol Tierra dST, 
calcular el tamaño del cono de umbra l. 
 
Con base en el siguiente gráfico, por proporción de triángulos se puede plantear que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑅𝑆 𝑙 = 𝑅𝑇 (𝑑𝑆𝑇 + 𝑙) 
 
𝒍 =
𝑹𝑻 𝒅𝑺𝑻
𝑹𝑺 − 𝑹𝑻 
 
 
 
Ejemplo 1.3 (VV 647) Con base en el radio del Sol RS, el radio de la Tierra RT, la distancia Sol Tierra dST y 
la distancia Tierra Luna dTL, calcular el tamaño del radio de la umbra x a la distancia de la Luna, conociendo los 
siguientes datos: 
RS = 109 RT; dST = 23.518 RT; dTL = 60 RT 
 
l = Longitud del extremo de la sombra, desde la distancia de la Luna hasta el vértice. 
 
Con base en el siguiente gráfico se pueden plantear algunas proporciones: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑅𝑆 
𝑑𝑆𝑇+𝑑𝑇𝐿+𝑙
=
𝑅𝑇 
𝑑𝑇𝐿+𝑙
  𝑙 =
𝑅𝑇𝑑𝑆𝑇+𝑅𝑇𝑑𝑇𝐿−𝑅𝑆𝑑𝑇𝐿
𝑅𝑆−𝑅𝑇
 
 
𝑙 =
23.680 𝑅𝑇
2+60 𝑅𝑇
2−6540 𝑅𝑇
2
108 𝑅𝑇
  𝑙 = 159.26 𝑅𝑇 
 
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Por otra parte, se tiene que: 
 
𝑅𝑇 
𝑑𝑇𝐿+𝑙
=
𝑥
𝑙
  𝑥 =
𝑙 𝑅𝑇 
𝑑𝑇𝐿+𝑙
 
 
Reemplazando: 
𝑥 =
159,26 𝑅𝑇
2
60𝑅𝑇 + 159,26 𝑅𝑇 
 
 
𝒙 = 𝟎, 𝟕𝟐𝟔 𝑹𝑻 
 
 
Ejemplo 1.4 (VV 648) Con base en el radio del Sol RS, el radio de la Luna RL, la distancia Sol Tierra dST y la 
distancia Tierra Luna dTL, calcular el área, en kilómetros cuadrados, que cubre en la Tierra la mancha de la sombra en 
un eclipse total de Sol. Se conocen los siguientes datos: 
 
RS = 7x105 km; RL = 1,7x103 km RT; dST = 1,5x108 km; dTL = 3,6x105 km 
 
l = Longitud del extremo de la sombra, desde la distancia de la Tierra hasta el vértice 
x = Radio de la umbra de la sombra de la Luna, a la distancia de la Tierra 
 
Con base en el siguiente gráfico se pueden plantear algunas proporciones: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Con las ecuaciones: 
𝑅𝑆 
𝑑𝑆𝑇+𝑙
=
𝑅𝐿 
𝑑𝑇𝐿+𝑙
  𝑙 =
𝑅𝐿𝑑𝑆𝑇−𝑅𝑆𝑑𝑇𝐿
𝑅𝑆−𝑅𝐿
 
y: 
𝑥 =
𝑙 𝑅𝐿 
𝑑𝑇𝐿 + 𝑙
 
 
Se puede calcular que el radio de la umbra x es igual a: 
 
𝑥 = 70,16 𝑘𝑚 
 
Por lo que el área de la sombra AS será igual a: 
 
𝐴𝑆 = 𝜋𝑥
2 
 
𝑨𝑺 = 𝟏𝟓. 𝟒𝟔𝟒, 𝟐𝟓 𝒌𝒎
𝟐 
 
 
1.6 Tamaño de la Tierra 
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Eratóstenes de Cyerene (284 a.C. 192 a.C.), contemporáneo de Aristarco sin que se haya 
documentado encuentro alguno entre ambos, calculó con un método ingenioso el tamaño del 
planeta Tierra, único dato que falta hasta el momento para calcular tamaños y distancias 
absolutas.Para esto analizó que un gnomon perpendicular al horizonte al medio día del solsticio 
de verano en Alejandría (latitud= 31° 10’) producía sombra, mientras el mismo día y a la misma 
hora un gnomon ubicado en Siena (latitud= 24° 6’) al Sur de Alejandría no producía sombra, 
como se aprecia en la figura 1.6. 
Eratóstenes intuyó en este simple hecho una muestra de la curvatura terrestre, pero lo más 
importante, tuvo la genial idea de aprovecharlo para medir el valor de la circunferencia terrestre: 
Con la altura del gnomon instalado en 
Alejandría y la longitud de su sombra, calculó el 
ángulo entre el cenit y la dirección del Sol, 7°, que 
es la misma distancia angular que separa ambas 
ciudades. Y mediante algún mecanismo que no está 
claro para los historiadores, Eratóstenes midió la 
distancia que separa a Siena de Alejandría con un 
resultado de 750 km. Una sencilla regla de tres 
permite calcular el perímetro terrestre PT: 
Figura 1.6 
 
𝑃𝑇 = 750 𝑘𝑚 ∗ 360° / 7°  𝑃𝑇 = 38.571 𝑘𝑚 
 
 
Su cálculo de 38.571 km frente a un valor real de 40.074 km no deja de sorprender 
gratamente por la precisión de la medida. A partir de su perímetro procedemos a calcular el radio 
terrestre RT: 
 
𝑃𝑇 = 2 𝜋 𝑅𝑇  𝑅𝑇 = 𝑃𝑇 / 2 𝜋  𝑅𝑇 = 38.571 𝑘𝑚/ 2 𝜋  𝑅𝑇 = 6.138 𝑘𝑚 
 
 
Por su sencillez, precisión e importancia científica, este experimento de Eratóstenes es 
sin lugar a duda uno de los más elegantes en la historia de la ciencia. 
Sin embargo, éste no fue el único esfuerzo que se realizó en la antigüedad para calcular 
el tamaño de la Tierra. Otro igual de audaz lo ejecutó Posidonio de Apamea (135 aC – 51 aC) 
que arrojó un resultado para el perímetro terrestre de 29.000 kilómetros, medida más conservadora 
que finalmente fue la que perduró y que a continuación se describe, figura 1.7:Capítulo 1. Los albores de la astronomía de posición 
 
 
 
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Una estrella E observada desde dos lugares 
diferentes A y B ubicados en un mismo meridiano, 
se verán con diferentes distancias cenitales. La 
diferencia de distancias angulares α será 
proporcional a la distancia lineal d entre las 
ciudades, por lo que el perímetro terrestre PT será 
igual a: 
 
𝑃𝑇 = 360° 𝑑/𝛼 
Figura 1.7 
 
En el anexo 3 se incluye un resumen de los principales cálculos de tamaños y distancias 
realizados en la antigüedad. 
 
 
1.7 Preguntas, ejercicios y problemas 
 
1. ¿Es correcto afirmar, como se dice comúnmente, que hasta la edad media se pensaba que la Tierra era plana? Explicar 
 
2. Respecto al experimento que realizó Aristarco de Samos con la Luna en cuarto creciente o cuarto menguante para 
calcular la distancia relativa dTS/dTL, ¿por qué eligió estas fases? ¿Es posible realizar el experimento en una fase 
diferente? Explicar 
 
3. ¿A qué horas debió haber realizado Aristarco de Samos el experimento anterior, tanto en fase creciente como en 
cuarto menguante? Explicar 
 
4. Explicar gráficamente: a. las cuatro fases principales de la Luna, b. la configuración de un eclipse de Sol y c. la 
configuración de un eclipse de Luna. ¿Por qué no se presentan eclipses cada quince días? 
 
5. Responda V Verdadero o F Falso en cada una de las siguientes afirmaciones: 
a. El diámetro angular del Sol es de 1° 
b. El diámetro angular de la Luna es la mitad del diámetro angular del Sol 
c. El diámetro del Sol es igual al diámetro de la Luna 
d. El diámetro angular de la Luna es de ½° 
 
6. Responda V Verdadero o F Falso en cada una de las siguientes afirmaciones: 
a. Aristarco de Samos calculó la distancia Tierra Luna en 230 veces el radio de la Tierra 
b. Aristarco de Samos calculó la distancia Tierra Luna en 30 veces el radio de la Tierra 
c. Aristarco de Samos calculó la distancia Tierra Sol en 230 veces el radio de la Tierra 
d. Aristarco de Samos calculó la distancia Tierra Sol en 30 veces el radio de la Tierra 
 
7. Responda V Verdadero o F Falso en cada una de las siguientes afirmaciones: 
a. Eratóstenes realizó el cálculo del tamaño de la Tierra en el solsticio de verano 
b. Eratóstenes realizó el experimento del cálculo de la Tierra desde Atenas 
c. Eratóstenes erró en más de un 15% en el cálculo del tamaño del planeta Tierra 
d. Para el cálculo del tamaño de la Tierra, Eratóstenes solo necesitó medir el ángulo que proyectó la sombra de un 
gnomon y la altura del gnomon en el sitio y momento adecuado 
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8. Si Aristarco cometió un error de solamente 2°51’ en la medida del ángulo STL, ¿por qué el cálculo de la distancia 
relativa dTS/dTL tuvo un error tan grande (19 vs 400)? 
 
9. Calcular el período sideral de la Luna TL si su diámetro angular es αL y en una hora la Luna avanza aproximadamente 
una distancia equivalente a su diámetro. 
 
10. (VV 649) Con base en el radio del Sol RS, el radio de la Luna RL, la distancia Sol Tierra dST y la distancia Tierra 
Luna dTL, ¿Es posible que con estos valores se presente un eclipse total de Sol? Se conocen los siguientes datos: 
RS = 7x105 km; RL = 1,7x103 km RT; dST = 1,5x108 km; dTL = 3,8x104 km 
 
11. Si el tamaño angular del Sol visto desde Marte es de 0,38°, calcular la distancia Sol Marte dSM en función del radio 
solar RS. 
 
12. Explorar en el programa Stellarium la primera herramienta de la parte izquierda, de exploración. ¿Qué papel cumple 
sus diversos parámetros? 
 
13. Con la ayuda del programa Stellarium, identificar las 10 estrellas más brillantes de la noche. Intentar observarlas 
directamente en cielo abierto.