04 Trig Esf

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Capítulo 4. Introducción a la trigonometría esférica 
 
 
 
Texto en preparación. Versión 2020-II 1 
 
 
Capítulo 4 
Introducción a la trigonometría esférica 
 
 
Una clara muestra del estrecho vínculo entre la trigonometría esférica y la astronomía de 
posición es que algunos autores denominan astronomía esférica a la astronomía de posición. Y no 
es para menos: la trigonometría esférica es la herramienta fundamental para resolver todas las 
situaciones asociadas con este campo de la astronomía, principalmente transformar posiciones de 
astros entre los diferentes sistemas coordenados y solucionar múltiples problemas asociados. Pero 
la trigonometría esférica no se queda solo aquí, trasciende el campo de la astronomía y se 
convierte en herramienta fundamental para quienes navegan por cielos y mares, para geodestas, 
cartógrafos, topógrafos y otras profesionales más. 
La trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los tres 
lados y los tres ángulos de un triángulo: la trigonometría plana estudia triángulos sobre superficies 
planas y la trigonometría esférica describe los triángulos esféricos y otros polígonos que se 
configuran sobre la superficie de una esfera. Como se revisará más adelante, existe un vínculo 
entre ambas trigonometrías, la plana y la esférica, vía triángulos diedros y triedros 
En este capítulo se realiza una breve introducción al tema, se revisan en primer lugar 
algunos conceptos elementales de la trigonometría plana que son pertinentes en la medida que 
algunas demostraciones en superficies esféricas se emprenden a través de la trigonometría 
euclidiana, luego se exponen los conceptos fundamentales de la geometría del espacio, 
posteriormente se introduce el concepto de triángulo esférico y se presentan las principales 
fórmulas de la trigonometría esférica. 
 
 
4.1 Elementos de trigonometría plana 
 
La trigonometría plana estudia las medidas de los seis elementos de un triángulo plano: 
tres ángulos y tres lados. Un ángulo es la abertura entre dos líneas rectas que se cruzan, figura 
4.1. El punto de corte o se llama vértice y las dos semirectas ox y op se denominan lados del 
ángulo. 
También se puede generar un ángulo por la rotación de una línea ox alrededor del punto 
o hasta op. Son positivos los ángulos que se miden en dirección contraria a las manecillas del reloj 
y negativos los que siguen la dirección de las agujas del reloj. Nótese que si dos rectas se cruzan 
por un punto común forman cuatro ángulos planos. 
 
 
 
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Los ángulos tienen nombres en función de su abertura: nulo si 
es igual a 0°, agudo al que tiene una abertura inferior a 90°, recto 
cuando es igual a 90°, obtuso si es mayor a 90° y menor a 180°, llano si 
es 180°, cóncavo si es mayor a 180° y completo si son 360°. 
 
 
Figura 4.1 
 
 
4.1.1 Funciones trigonométricas 
 
Un triángulo rectángulo es todo triángulo que contiene un ángulo recto. Por convención, 
los ángulos internos de un triángulo se simbolizan con letras 
mayúsculas y los lados con letras minúsculas. En un triángulo 
rectángulo, los dos lados del ángulo recto se denominan catetos y el 
tercer lado hipotenusa. En la figura 4.2, A, B y C son los ángulos y 
sus lados opuestos son a, b y c respectivamente, donde C representa 
el ángulo recto = 90° y c la hipotenusa. 
Figura 4.2 
 
El lado a se denomina lado opuesto del ángulo A, y a b el lado adyacente del ángulo A. 
Por otra parte, b y a son los lados opuesto y adyacente respectivamente del ángulo B. Dado que 
C es ángulo recto, los ángulos A y B son complementarios por lo que: 𝐴 + 𝐵 = 90° 
Una función trigonométrica es la razón entre dos lados de un triángulo rectángulo, 
resultado que varía en función de las medidas de los ángulos A y B. La permutación de los tres 
lados da lugar a seis funciones trigonométricas por cada ángulo denominadas así: seno sen, coseno 
cos, tangente tan, cotangente cot, secante sec y cosecante csc, que se definen de la siguiente 
manera: 
 
𝑠𝑒𝑛 𝐴 = 𝑎/𝑐; 𝑠𝑒𝑛 𝐵 = 𝑏/𝑐; 𝑐𝑜𝑠 𝐴 = 𝑏/𝑐; 𝑐𝑜𝑠 𝐵 = 𝑎/𝑐; 
𝑡𝑎𝑛 𝐴 = 𝑎/𝑏; 𝑡𝑎𝑛 𝐵 = 𝑏/𝑎; 𝑐𝑜𝑡 𝐴 = 𝑏/𝑎; 𝑐𝑜𝑡 𝐵 = 𝑎/𝑏; 
𝑠𝑒𝑐 𝐴 = 𝑐/𝑏; 𝑠𝑒𝑐 𝐵 = 𝑐/𝑎; 𝑐𝑠𝑐 𝐴 = 𝑐/𝑎; 𝑐𝑠𝑐 𝐵 = 𝑐/𝑏; 
 
 
Dado que A y B son complementarios, se cumple que: 
 
𝑠𝑒𝑛 𝐴 = cos 𝐵; 𝑐𝑜𝑠 𝐴 = 𝑠𝑒𝑛 𝐵; 𝑡𝑎𝑛 𝐴 = cot 𝐵; 
𝑐𝑜𝑡 𝐴 = tan 𝐵; 𝑠𝑒𝑐 𝐴 = csc 𝐵; 𝑐𝑠𝑐 𝐴 = sec 𝐵; 
 
 
Ejemplo 4.1 (Shaum, 2.3) Encontrar los valores de las funciones trigonométricas del ángulo agudo A, dado 
sen A = 3/7 
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Lo anterior significa que el cateto opuesto = 3 y la hipotesuna = 7; por pitágoras podemos encontrar el valor 
del cateto adyacente = √72 − 32 = 2√10. Por lo tanto, las funciones trigonométricas para el ángulo A serían: 
 
𝒔𝒆𝒏 𝑨 = 𝟑/𝟕; 𝒄𝒐𝒔 𝑨 = 𝟐√𝟏𝟎/𝟕; 𝒕𝒂𝒏 𝑨 = 𝟑/(𝟐√𝟏𝟎); 
𝒄𝒔𝒄 𝑨 = 𝟕/𝟑; 𝒔𝒆𝒄 𝑨 = 𝟕/𝟐√𝟏𝟎; 𝒄𝒐𝒕 𝑨 = (𝟐√𝟏𝟎)/𝟑; 
 
 
Ejemplo 4.2 (Shaum, 2.10) Cuál es la longitud de la sombra proyectada por un edificio de 150 m de altura 
cuando el Sol se ha elevado 20° sobre el horizonte? 
 
La longitud de la sombra l se puede calcular así: 
 
 
 
𝑡𝑎𝑛 20° = 150 m/𝑙  𝑙 = 150 𝑚/
𝑡𝑎𝑛 20° 
 
𝒍 = 𝟒𝟏𝟐, 𝟏𝟐 𝒎 
 
 
 
 
4.1.2 Identidades trigonométricas 
 
A partir de las funciones trigonométricas se pueden expresar un gran número de 
identidades trigonométricas que aplican a cualquier ángulo α, algunas de las cuales se exponen a 
continuación utilizando como apoyo la figura 4.3. 
 
Funciones trigonométricas inversas 
 
sen α = 1/ csc α; cos α = 1 / sec α; tan α = 1 / cot α; 
 
 
Identidades básicas 
 
tan α = 𝑠𝑒𝑛 α / cos α; cot α = cos α /𝑠𝑒𝑛 α; 
 Figura 4.3 
 
 
Identidades pitagóricas 
 
𝑠𝑒𝑛2 α + 𝑐𝑜𝑠2 α = 1; 𝑠𝑒𝑐2 α = 1 + 𝑡𝑎𝑛2 α; 𝑐𝑠𝑐2 α = 1 + 𝑐𝑜𝑡2 α; 
 
 
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Identidades para la suma y resta de dos ángulos 𝜶 y β 
 
sen(𝛼 + 𝛽) = sen 𝛼 cos 𝛽 + cos 𝛼 sen 𝛽; cos(𝛼 + 𝛽) = cos 𝛼 cos 𝛽 − sen 𝛼 sen 𝛽 
 
tan(𝛼 + 𝛽) =
tan 𝛼+tan 𝛽
1− tan 𝛼 tan 𝛽
; sen(𝛼 − 𝛽) = sen 𝛼 cos 𝛽 − cos 𝛼 sen 𝛽 
 
cos(𝛼 − 𝛽) = cos 𝛼 cos 𝛽 + sen 𝛼 sen 𝛽; tan(𝛼 − 𝛽) =
tan 𝛼−tan 𝛽
1+ tan 𝛼 tan 𝛽
 
 
 
Otras identidades 
 
sen(90° + 𝛼) = 𝑐𝑜𝑠 𝛼; cos(90° + 𝛼) = −𝑠𝑒𝑛 𝛼; sen(90° − 𝛼) = 𝑐𝑜𝑠 𝛼; 
 
cos(90° − 𝛼) = 𝑠𝑒𝑛 𝛼; sen(360° − 𝛼) = −𝑠𝑒𝑛 𝛼; 𝑐𝑜𝑠(360° − 𝛼) = 𝑐𝑜𝑠 𝛼; 
 
 
Ejemplo 4.3 (Shaum, 10.0) Demostrar la identidad pitagórica: 
 
𝑠𝑒𝑛2 α + 𝑐𝑜𝑠2 α = 1 
 
 
De acuerdo con el gráfico 4.3, y al teorema de Pitágoras, tenemos que: 
 
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2 
 
Además, se sabe que: 
 
𝑠𝑒𝑛 𝛼 =
𝑥
𝑟
  𝑥 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝛼; cos α =
y
r
  𝑦 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝛼; 
 
 
Por lo que: 
(𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝛼)2 + (𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝛼)2 = 𝑟2 
 
 
De donde se concluye que: 
𝒔𝒆𝒏𝟐 𝛂 + 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝛂 = 𝟏 
 
 
Ejemplo 4.4 (Shaum, 11.3) Demostrar la identidad para suma de ángulos: 
 
𝑡𝑎𝑛(𝛼 + 𝛽) =
𝑡𝑎𝑛 𝛼 + 𝑡𝑎𝑛 𝛽
1 − 𝑡𝑎𝑛 𝛼 𝑡𝑎𝑛 𝛽
 
 
 
Se procede así: 
 
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𝑡𝑎𝑛(𝛼 + 𝛽) =
𝑠𝑒𝑛 (𝛼+𝛽)
𝑐𝑜𝑠 (𝛼+𝛽)
  𝑡𝑎𝑛(𝛼 + 𝛽) =
𝑠𝑒𝑛 𝛼 cos 𝛽+ cos 𝛼 𝑠𝑒𝑛𝛽
cos 𝛼 cos 𝛽− sen 𝛼 𝑠𝑒𝑛 𝛽
 
 
𝑡𝑎𝑛(𝛼 + 𝛽) =
𝑠𝑒𝑛𝛼 cos 𝛽
cos 𝛼 cos 𝛽
+
 cos 𝛼 𝑠𝑒𝑛𝛽
cos𝛼 cos 𝛽
cos 𝛼 cos 𝛽
cos 𝛼 cos 𝛽
−
 sen 𝛼 𝑠𝑒𝑛𝛽
cos𝛼 cos 𝛽
  𝒕𝒂𝒏(𝜶 + 𝜷) =
𝐭𝐚𝐧 𝜶+𝐭𝐚𝐧 𝜷
𝟏 − 𝐭𝐚𝐧 𝜶 𝐭𝐚𝐧 𝜷
 
 
 
4.1.3 Triángulos oblicuángulos 
 
Se denomina triángulo plano oblicuángulo al triángulo que no tiene ningún ángulo recto. 
Existen dos posibilidades: que sus tres ángulos sean agudos o quelo conformen dos agudos y uno 
obtuso. En cualquier caso, siempre se cumplen las siguientes leyes: 
 
 
Ley de los senos 
 
Se expresa así: 
 
𝑠𝑒𝑛 𝐴
𝑎
=
𝑠𝑒𝑛 𝐵
𝑏
=
𝑠𝑒𝑛 𝐶
𝑐
 
 
 
Ley de los cosenos 
 
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐 cos 𝐴; 𝑏2 = 𝑎2 + 𝑐2 − 2𝑎𝑐 cos 𝐵; 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 −
2𝑎𝑏 cos 𝐶 
 
 
Identidades de proyección 
 
𝑎 = 𝑏 cos 𝐶 + 𝑐 cos 𝐵; 𝑏 = 𝑐 cos 𝐴 + 𝑎 cos 𝐶; 𝑐 = 𝑎 cos 𝐵 + 𝑏 cos 𝐴 
 
 
 
Ejemplo 4.5 (Shaum, 13.1) Demostrar la ley de los senos para cualquier triángulo oblicuángulo: 
 
𝑠𝑒𝑛 𝐴
𝑎
=
𝑠𝑒𝑛 𝐵
𝑏
=
𝑠𝑒𝑛 𝐶
𝑐
 
 
 
En este caso solo se demostrará una parte. La restante se demuestra con el 
mismo procedimiento. En el triángulo adjunto ABC se traza la recta BM 
perpendicular a CA. De esta construcción surgen dos triángulos rectángulos 
auxiliares CMB y BMA, de donde se puede escribir: 
 
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ℎ = 𝑎 sen 𝐶; ℎ = 𝑐 sen 𝐴; 
 
Por lo que: 
𝑎 sen 𝐶 = 𝑐 sen 𝐴  
𝒔𝒆𝒏 𝑨
𝒂
=
𝒔𝒆𝒏 𝑪
𝒄
 
 
 
Ejemplo 4.6 (Shaum, 13.14) Demostrar la ley de los cosenos para cualquier triángulo oblicuángulo: 
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐 cos 𝐴 
 
 
En este caso solo se demostrará una parte. La restante se demuestra con 
idéntico procedimiento. En el triángulo adjunto ABC se traza la recta BM 
perpendicular a CA. De esta construcción surgen dos triángulos rectángulos 
auxiliares CMB y BMA, de donde se puede escribir: 
 
 𝑎2 = ℎ2 + 𝐶𝑀2; ℎ = 𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝐴; 𝑀𝐴 = ℎ 𝑐𝑜𝑠 𝐵; 
 
𝑏 = 𝐶𝑀 + 𝑀𝐴  𝐶𝑀 = 𝑏 − 𝑐 𝑐𝑜𝑠 𝐴 
 
 
Por lo tanto: 
 
𝑎2 = (𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝐴)2 + (𝑏 − 𝑐 𝑐𝑜𝑠 𝐴)2  𝒂𝟐 = 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐 − 𝟐𝒃𝒄 𝒄𝒐𝒔 𝑨 
 
 
Ejemplo 4.7 (Shaum, 13.3) Demostrar la identidad de proyección: 
 
𝑏 = 𝑐 𝑐𝑜𝑠 𝐴 + 𝑎 𝑐𝑜𝑠 𝐶; 
 
 
En el triángulo adjunto ABC se traza la recta BM perpendicular a CA. De 
esta construcción surgen dos triángulos rectángulos auxiliares CMB y BMA, de donde 
se puede escribir: 
 
𝑀𝐴 = 𝑐 cos 𝐴; 𝐶𝑀 = 𝑎 cos 𝐶; 𝑏 = 𝐶𝑀 + 𝑀𝐴 
 
 
De donde se deduce que: 
 
𝒃 = 𝒄 𝐜𝐨𝐬 𝑨 + 𝒂 𝐜𝐨𝐬 𝑪 
 
 
4.2 Conceptos básicos de geometría del espacio 
 
La geometría del espacio analiza modelos tridimensionales. Un capítulo especial de esta 
geometría lo ocupa la geometría esférica. A continuación, se exponen algunos conceptos 
fundamentales del tema. 
 
Capítulo 4. Introducción a la trigonometría esférica 
 
 
 
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4.2.1 Ángulos diedros 
 
Cuando dos planos se intersecan, ambos se cruzan por una recta común llamada arista 
que la comparten los cuatro ángulos que se generan denominados ángulos diedros. Cada plano es 
llamado cara del ángulo diedro. En la figura 4.5 los planos ABC y DBC son las caras del ángulo 
diedro A-BC-D, en donde la línea BC es la arista y α es 
la abertura angular entre los planos. 
Un ángulo plano formado por rectas de los planos perpendiculares 
a la arista se denomina ángulo plano del ángulo diedro, que es la medida 
del ángulo diedro. En la figura 4.5 las rectas oa del plano ABC y ob del 
plano DBC son perpendiculares a la arista y configuran el ángulo plano α, 
que corresponde además al valor de la abertura del ángulo diedro A-BC-D. 
 
 
 Figura 4.5 
 
 
4.2.2 Ángulos triedros 
 
Un ángulo triedro es una figura cerrada convexa que se forma por el cruce de tres planos 
en un punto común o, cruce del que surgen ocho ángulos triedros, uno de ellos el ángulo O-XYZ 
en la figura 4.6. El punto común o se denomina vértice del ángulo triedro, las 
tres superficies triangulares planas OXY, OYZ y OXZ son las tres caras del 
ángulo triedro y las rectas OX, OY y OZ son las tres aristas del ángulo triedro. 
Los ángulos planos XOY, YOZ y XOZ son los ángulos de las tres caras del 
ángulo triedro y cada par de caras consecutivas conforman un ángulo diedro, 
tres en total. Obsérvese que también se forman por la intersección, en el vértice, 
de tres líneas rectas trazadas en diferentes planos. 
 Figura 4.6 
 
Los ángulos poliedros, los triedros entre ellos, se caracterizan por tener igual número de 
caras, de aristas y de ángulos diedros. Además, la suma de los ángulos de sus caras es menor a 
360°. Otros poliedros son los tetraedros, pentaedro, etc. 
 
 
4.2.3 Conceptos básicos de geometría esférica 
 
La geometría esférica es un capítulo de la geometría del espacio, fundamental para 
plantear adecuadamente los modelos de la trigonometría esférica y desarrollar problemas de 
astronomía asociados con la esfera celeste. 
Un plano que pasa por el centro de una esfera genera un círculo máximo sobre la 
superficie de la esfera que la divide en dos hemisferios. Si el plano no corta la esfera por el centro, 
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se forma un círculo menor como se ilustra en la figura 4.7. Dos puntos Q y Q’ diametralmente 
opuestos en la esfera celestes estarán conectados por infinitos círculos máximos. 
Los polos P y P´ de un círculo máximo y de los círculos 
menores paralelos a él, son los puntos donde una recta 
perpendicular al centro del círculo máximo toca la esfera. Cada 
círculo máximo tiene sus propios polos. Dos puntos en una esfera, 
A y B, que no son extremos de un diámetro, siempre se podrán 
conectar por una circunferencia máxima y solo una, arco que es 
el camino má corto entre los dos puntos. 
 
Figura 4.7 
Un ángulo esférico APB como en la figura 4.8 está formado 
sobre la superficie de una esfera con centro en o por dos arcos de 
circunferencias máximas PA y PB llamados lados del ángulo 
esférico. El punto P de intersección de los arcos se denomina 
vértice. 
El arco AB sobre la circunferencia máxima con polo en P 
es igual a la abertura del ángulo esférico APB, igual al ángulo 
diedro A-PoB formado por los planos de las circunferencias 
máximas PA y PB, igual al ángulo plano AoB. Este ángulo equivale 
al ángulo entre las tangentes a los arcos del ángulo esférico en el 
vértice P. 
 
Figura 4.8 
 
 
4.3 Trigonometría esférica 
 
Un triángulo esférico de radio R es la superficie sobre una 
esfera delimitada por tres círculos máximos como se aprecia en la 
figura 4.9. El objetivo fundamental de la trigonometría esférica es 
analizar y hallar los valores de los seis elementos de un triángulo 
esférico, tres ángulos A, B y C y tres lados a, b y c, problema que se 
puede solucionar cuando se conocen tres de estos elementos. 
En una esfera de radio R, el volumen V es: 
 
𝑉 =
4
3
𝜋 𝑅3 
 
Figura 4.9 
 
Su superficie S se calcula así: 
 
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𝑆 = 4 𝜋 𝑅2 
 
El valor lineal de un círculo máximo p, o perímetro del círculo ecuatorial, es: 
 
𝑝 = 2 𝜋 𝑅 
 
El valor lineal s de un lado con valor angular α se puede calcular así: 
 
𝑠 = 2 π 𝑅 𝛼 / 360° 
 
 
O de esta otra manera si el ángulo α está expresado en radianes 
 
𝑠 = 𝑅 𝛼 
 
 
Ejemplo 4.8 Una esfera tiene 1 m de diámetro. Calcular: a. Volumen V. b. Área superficial S. c. Extensión 
de un círculo máximo p. d. ¿A cuánto equivaldrá en grados y en radianes un ángulo α cuyo arco tiene una 
extensión de 1 m? 
 
a. Para calcular el volumen V, se procede así: 
 
𝑉 =
4
3
𝜋 𝑅3  𝑉 =
4
3
𝜋 1 𝑚3  𝑽 = 𝟒, 𝟏𝟗 𝒎𝟑 
 
 
b. El área superficial de la esfera es: 
 
𝑆 = 4 𝜋 𝑅2  𝑆 = 4 𝜋 1 𝑚2  𝑺 = 𝟏𝟐, 𝟓𝟕 𝒎𝟐 
 
 
c. Un círculo máximo de la esfera tiene por valor: 
 
𝑝 = 2 𝜋 𝑅  𝑝 = 2 𝜋 1 𝑚  𝒑 = 𝟔, 𝟐𝟖 𝒎 
 
 
d. Para hallar el ángulo en grados, procedemos así: 
 
𝑠 = 2 𝜋 𝑅 𝛼 / 360°  𝛼 =
360° 𝑠
2 𝜋 𝑅 
  𝛼 =
360° 1 𝑚
2 𝜋 1 𝑚 
  𝜶 = 𝟓𝟕, 𝟑𝟎° 
 
El ángulo en radianes equivale a: 
 
𝛼 = 57,30° ∗ 
𝜋
180
  𝛼 = 57,30° ∗ 
𝜋
180
  𝜶 = 𝟏 𝒓𝒂𝒅 
 
Idéntico resultado si el ángulo en radianesse halla a través de la siguiente fórmula: 
 
𝑠 = 𝑅 𝛼 
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4.3.1 Propiedades de los triángulos esféricos 
 
En el triángulo esférico ABC, los lados del triángulo esférico son los arcos a, b y c, y los 
vértices son los ángulos A, B y C, con a opuesto al ángulo A, b opuesto a B y c opuesto a C. Al 
unir los vértices A, B y C con el centro de la esfera o, se establece el ángulo triedro o-ABC. Un 
triángulo esférico también se configura a partir de la intersección de un ángulo triedro con la 
superficie de una esfera, con el vértice del ángulo en el centro de la esfera. Nótese que los lados 
de un triángulo esférico se expresan en unidades angulares y los lados de un ángulo plano se 
expresan en unidades lineales. 
Los lados a, b y c del triángulo esférico ABC se miden por la abertura de las caras BoC, 
AoC y AoB respectivamente y los ángulos A, B y C se miden por los ángulos diedros B-oA-C, A-
oB-C y B-oC-A respectivamente. 
Las siguientes son algunas propiedades de los triángulos, esféricos en los que sus lados y 
ángulos son menores a 180°: 
• La suma de los tres ángulos (A + B + C) es mayor que 180° y menor que 540° 
• La suma de los tres lados (a + b + c) es menor que 360° 
• La suma de dos lados cualquiera es mayor que el tercer lado 
• Si dos lados son iguales, los ángulos opuestos son iguales y recíprocamente 
• Si dos lados son desiguales, los ángulos opuestos son desiguales y el ángulo 
mayor se opone al lado mayor y recíprocamente. 
 
 
Ejemplo 4.9 (Shaum, 19.4) Con base en los valores de los lados, determinar si en cada caso hay un triángulo 
esférico ABC: 
a. a = 70°; b = 100°; c = 50° b. a = 65°; b = 120°; c = 35° c. AB = 150°; BC = 100°; CA = 120° 
 
a. SI es un triángulo esférico porque cumple con las propiedades descritas para los lados 
b. NO es un triángulo esférico porque un lado es mayor que la suma de los otros dos 
c. NO es un triángulo esférico porque la sumatoria de los lados es mayor a 360° 
 
 
Para deducir las leyes fundamentales de la trigonometría esférica se procede así: se traza 
el triángulo esférico con centro en o, lados a, b, c y ángulos A, B y C como se ilustra en la figura 
4.10. Luego se configura el triángulo plano CDE con los lados CE tangente al arco b y CD 
tangente al arco a, ambas tangentes en C. CD se extiende hasta que se toca con la prolongación 
del radio oB y CE se extiende hasta que se toca con la prolongación del radio oA. Se deduce que 
en los dos triángulos planos DCo y ECo, el ángulo C es recto. A partir de esta construcción se 
pueden deducir las relaciones básicas de la trigonometría esférica. 
Capítulo 4. Introducción a la trigonometría esférica 
 
 
 
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De la figura 4.10 se pueden extraer los siguientes dos triángulos oblicuángulos DoE y 
DCE, además de dos triángulos rectángulos DCo y ECo. 
 
Del triángulo plano oblicuángulo DoE se puede decir que: 
 
𝐷𝐸2 = 𝑜𝐷2 + 𝑜𝐸2 − 2 𝑜𝐷 𝑜𝐸 𝑐𝑜𝑠 𝑐 
 
Del triángulo plano oblicuángulo DCE que: 
 
 𝐷𝐸2 = 𝐶𝐷2 + 𝐶𝐸2 − 2 𝐶𝐷 𝐶𝐸 𝑐𝑜𝑠 𝐶 
 
 Figura 4.10 
 
En el triángulo plano rectángulo DCo se cumple que: 
 
𝑜𝐷2 = 𝑅2 + 𝐶𝐷2; tan 𝑎 = 𝐶𝐷 / 𝑅; cos 𝑎 = 𝑅 / 𝑜𝐷; 
 
 
Finalmente, del triángulo plano rectángulo CoE se pueden extraer las siguientes 
relaciones: 
 
𝑜𝐸2 = 𝑅2 + 𝐶𝐸2; tan 𝑏 = 𝐶𝐸 / 𝑅; cos 𝑏 = 𝑅 / 𝑜𝐸; 
 
 
Igualando el primer par de expresiones: 
 
𝑜𝐷2 + 𝑜𝐸2 − 2 𝑜𝐷 𝑜𝐸 𝐶𝑜𝑠 𝑐 = 𝐶𝐷2 + 𝐶𝐸2 − 2 𝐶𝐷 𝐶𝐸 𝐶𝑜𝑠 𝐶 
 
Y reemplazando: 
 
𝑅2 + 𝐶𝐷2 + 𝑅2 + 𝐶𝐸2 − 2 (
𝑅
cos 𝑎
) (
𝑅
cos 𝑏
) cos 𝑐 = 𝐶𝐷2 + 𝐶𝐸2 − 2 𝑅 tan 𝑎 𝑅 tan 𝑏 𝐶𝑜𝑠 𝐶 
 
Al simplificar se concluye que: 
 
cos 𝑐 = cos 𝑎 cos 𝑏 + 𝑠𝑒𝑛 𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝑏 𝑐𝑜𝑠 𝐶 
 
Manipulando de manera adecuada los ángulos planos y procediendo de igual manera con 
los otros dos vértices, se pueden deducir todas las leyes fundamentales de la trigonometría 
esférica, alguna de las cuales se exponen a continuación. 
 
 
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4.3.2 Fórmulas fundamentales 
 
Leyes de los senos 
 
𝑠𝑒𝑛 𝑎
𝑠𝑒𝑛 𝐴
= 
𝑠𝑒𝑛 𝑏
𝑠𝑒𝑛 𝐵
= 
𝑠𝑒𝑛 𝑐
𝑠𝑒𝑛 𝐶
 
 
 
Leyes de los cosenos para los lados 
 
cos 𝑎 = cos 𝑏 cos 𝑐 + 𝑠𝑒𝑛 𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝑐 𝑐𝑜𝑠 𝐴 
cos 𝑏 = cos 𝑎 cos 𝑐 + 𝑠𝑒𝑛 𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝑐 𝑐𝑜𝑠 𝐵 
cos 𝑐 = cos 𝑎 cos 𝑏 + 𝑠𝑒𝑛 𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝑏 𝑐𝑜𝑠 𝐶 
 
 
Leyes de los cosenos para los ángulos 
 
cos 𝐴 = − cos 𝐵 cos 𝐶 + 𝑠𝑒𝑛 𝐵 𝑠𝑒𝑛 𝐶 𝑐𝑜𝑠 𝑎 
cos 𝐵 = − cos 𝐴 cos 𝐶 + 𝑠𝑒𝑛 𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝐶 𝑐𝑜𝑠 𝑏 
cos 𝐶 = − cos 𝐴 cos 𝐵 + 𝑠𝑒𝑛 𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝐵 𝑐𝑜𝑠 𝑐 
 
 
Productos del seno por el coseno 
 
cos 𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝐶 = − sen 𝐴 cos 𝐶 cos 𝑏 + 𝑠𝑒𝑛 𝐵 𝑐𝑜𝑠 𝑎 
𝑐𝑜𝑠 𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝑏 = − cos 𝐵 𝑠𝑒𝑛 𝑎 cos 𝑐 + cos 𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝑐) 
𝑐𝑜𝑠 𝐵 𝑠𝑒𝑛 𝑎 = − cos 𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝑏 cos 𝑐 + cos 𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝑐) 
cos 𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝑏 = sen 𝑎 cos 𝑏 cos 𝐶 + 𝑠𝑒𝑛 𝑐 𝑐𝑜𝑠 𝐴 
 
 
Analogías de Gauss o de Delambre 
 
𝑠𝑒𝑛
1
2
(𝐴 − 𝐵)
𝑐𝑜𝑠
1
2
𝐶
= 
𝑠𝑒𝑛
1
2
(𝑎 − 𝑏)
𝑠𝑒𝑛
1
2
𝑐
 
 
𝑠𝑒𝑛
1
2
(𝐴 + 𝐵)
𝑐𝑜𝑠
1
2
𝐶
= 
𝑐𝑜𝑠
1
2
(𝑎 − 𝑏)
𝑐𝑜𝑠
1
2
𝑐
 
 
 
Capítulo 4. Introducción a la trigonometría esférica 
 
 
 
Texto en preparación. Versión 2020-II 13 
𝑐𝑜𝑠
1
2
(𝐴 − 𝐵)
𝑠𝑒𝑛
1
2
𝐶
= 
𝑠𝑒𝑛
1
2
(𝑎 + 𝑏)
𝑠𝑒𝑛
1
2
𝑐
 
 
𝑐𝑜𝑠
1
2
(𝐴 + 𝐵)
𝑠𝑒𝑛
1
2
𝐶
= 
𝑐𝑜𝑠
1
2
(𝑎 + 𝑏)
𝑐𝑜𝑠
1
2
𝑐
 
 
 
Analogías de Neper 
 
𝑡𝑎𝑛
1
2
(𝐴 − 𝐵)
𝑐𝑜𝑡
1
2
𝐶
= 
𝑠𝑒𝑛
1
2
(𝑎 − 𝑏)
𝑠𝑒𝑛
1
2
(𝑎 + 𝑏)
 
 
𝑡𝑎𝑛
1
2
(𝑎 − 𝑏)
𝑡𝑎𝑛
1
2
𝑐
= 
𝑠𝑒𝑛
1
2
(𝐴 − 𝐵)
𝑠𝑒𝑛
1
2
(𝐴 + 𝐵)
 
 
𝑡𝑎𝑛
1
2
(𝐴 + 𝐵)
𝑐𝑜𝑡
1
2
𝐶
= 
𝑐𝑜𝑠
1
2
(𝑎 − 𝑏)
𝑐𝑜𝑠
1
2
(𝑎 + 𝑏)
 
 
𝑡𝑎𝑛
1
2
(𝑎 + 𝑏)
𝑡𝑎𝑛
1
2
𝑐
= 
𝑐𝑜𝑠
1
2
(𝐴 − 𝐵)
𝑐𝑜𝑠
1
2
(𝐴 + 𝐵)
 
 
 
Ejemplo 4.10 (Shaum, 21.8) Resolver el triángulo esférico ABC si el valor de sus lados es: 
a = 121°15,4’; b = 104°54,7’; c = 65°42,5’ 
 
En este caso se conocen los tres lados y se deben hallar los ángulos A, B y C, que se pueden calcular acudiendo 
a la ley de los cosenos para lados: 
 
cos 𝑎 = cos 𝑏 cos 𝑐 + 𝑠𝑒𝑛 𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝑐 𝑐𝑜𝑠 𝐴 
cos 𝑏 = cos 𝑎 cos 𝑐 + 𝑠𝑒𝑛 𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝑐 𝑐𝑜𝑠 𝐵 
cos 𝑐 = cos 𝑎 cos 𝑏 + 𝑠𝑒𝑛 𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝑏 𝑐𝑜𝑠 𝐶 
 
Por lo que: 
A =117°57.68’; B = 93°13,68’; C =70°20,65’ 
 
 
Fundamentos de Astronomía de Posición 
 
Universidad del Valle 14 
Ejemplo 4.11 (Shaum, 21.9). Resolver el triángulo esférico ABC si el valor de sus ángulos es: 
A = 117°22,8’; B = 72°38,6’; C = 58°21,2’ 
 
En este problema se conocen los tres ángulos y son los lados a, b y c los que se deben calcular, caso en el que 
se acude a la ley de los cosenos para los ángulos: 
 
𝑐𝑜𝑠 𝐴 = − 𝑐𝑜𝑠 𝐵 𝑐𝑜𝑠 𝐶 + 𝑠𝑒𝑛 𝐵 𝑠𝑒𝑛 𝐶 𝑐𝑜𝑠 𝑎 
𝑐𝑜𝑠 𝐵 = − 𝑐𝑜𝑠 𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝐶 + 𝑠𝑒𝑛 𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝐶 𝑐𝑜𝑠 𝑏 
𝑐𝑜𝑠 𝐶 = − 𝑐𝑜𝑠 𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝐵 + 𝑠𝑒𝑛 𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝐵 𝑐𝑜𝑠 𝑐 
 
Por lo que: 
a =111°55,37’; b = 85°40,42’; c =62°47,65’ 
 
 
Ejemplo 4.12 (Shaum, 21.10). Resolver el triángulo esférico ABC si se tienen los siguientes valores: 
a = 106°25,3’; c = 42°16,7’; B = 114°53,2’ 
 
Se tiene en este caso dos lados y el ángulo comprendido, se deben hallar los ángulos A y C y el lado b. Este 
último se puede calcular por ley de cosenos para los lados, así: 
 
cos 𝑏 = cos 𝑎 cos 𝑐 + 𝑠𝑒𝑛 𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝑐 𝑐𝑜𝑠 𝐵  𝑏 = 118°43,95’ 
 
Los Ángulos A y C se pueden calcular por ley de senos: 
 
𝑠𝑒𝑛 𝑎
𝑠𝑒𝑛 𝐴
= 
𝑠𝑒𝑛 𝑏
𝑠𝑒𝑛 𝐵
  A = 82°53,60’ 
 
𝑠𝑒𝑛 𝑐
𝑠𝑒𝑛 𝐶
= 
𝑠𝑒𝑛 𝑏
𝑠𝑒𝑛 𝐵
  C = 44°6,20’ 
 
 
Ejemplo 4.13 (Shaum, 21.12). Resolver el triángulo esférico ABC si se tienen los siguientes valores: 
A = 48°44,6’; B = 60°42,6’; c = 76°22,4’ 
 
En este caso se conocen dos ángulos y el lado comprendido. Se deben calcular a, b y C. El ánguloC se puede 
calcular por ley de cosenos para los ángulos, así: 
 
𝑐𝑜𝑠 𝐶 = − 𝑐𝑜𝑠 𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝐵 + 𝑠𝑒𝑛 𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝐵 𝑐𝑜𝑠 𝑐  C = 99°40,80’ 
 
Los lados a y b se pueden calcular por ley de senos: 
 
𝑠𝑒𝑛 𝑎
𝑠𝑒𝑛 𝐴
= 
𝑠𝑒𝑛 𝑐
𝑠𝑒𝑛 𝐶
  a = 47°49,79’ 
 
 
𝑠𝑒𝑛 𝑏
𝑠𝑒𝑛 𝐵
=
𝑠𝑒𝑛 𝑐
𝑠𝑒𝑛 𝐶
  b = 59°17,96’ 
 
 
 
Ejemplo 4.14 (Shaum, 21.13). Resolver el triángulo esférico ABC si se tienen los siguientes valores: 
a = 80°26,2’; c = 115°30,6’; A = 72°24,4’ 
 
Los tres elementos conocidos son dos lados y el ángulo opuesto a un lado. Por conocer están C, B y el lado 
b. El ángulo C se calcula por ley de senos. 
Capítulo 4. Introducción a la trigonometría esférica 
 
 
 
Texto en preparación. Versión 2020-II 15 
𝑠𝑒𝑛 𝑐
𝑠𝑒𝑛 𝐶
 = 
𝑠𝑒𝑛 𝑎
𝑠𝑒𝑛 𝐴
  C = 60°44,46’ 
 
Sin embargo, observe que esta respuesta no es posible porque no satisface una de las propiedades de los 
triángulos esféricos. “Si dos lados son desiguales, los ángulos opuestos son desiguales y el ángulo mayor se 
opone al lado mayor y recíprocamente”. Este es uno de los casos donde un elemento puede tener dos valores 
matemáticos, pero solo uno geométrico, caso en el cual debemos ubicar el ángulo en el segundo cuadrante, 
donde el valor de la función seno es similar. Acudimos a la fórmula: 
 
sen (180° - α) = sen α  C = 180° - 60°44,46’  C = 119°15,54’ 
 
 
Para hallar el ángulo B, acudimos a las analogías de Neper, para el ángulo B: 
 
𝑡𝑎𝑛
1
2
(𝐴−𝐶)
𝑐𝑜𝑡
1
2
𝐵
= 
𝑠𝑒𝑛
1
2
(𝑎−𝑐)
𝑠𝑒𝑛
1
2
(𝑎+𝑐)
  tan
1
2
𝐵 =
𝑠𝑒𝑛
1
2
(𝑎−𝑐)
𝑠𝑒𝑛
1
2
(𝑎+𝑐) 𝑡𝑎𝑛
1
2
(𝐴−𝐶)
  𝑩 = 𝟕𝟎°𝟗, 𝟐𝟔′ 
 
 
El lado b se pueden calcular por ley de senos: 
 
𝑠𝑒𝑛 𝑏
𝑠𝑒𝑛 𝐵
= 
𝑠𝑒𝑛 𝑐
𝑠𝑒𝑛 𝐶
  b = 76°40,13’ 
 
 
 
4.4 Preguntas, ejercicios y problemas 
 
1. ¿En qué hay similitudes entre la trigonometría esférica y la trigonometría plana? ¿En qué hay diferencias? ¿O son 
dos trigonometrías totalmente irreconciliables? 
 
2. ¿Es posible aplicar las leyes de la trigonometría esférica a triángulos planos? Explicar su respuesta 
 
3. Responda V Verdadero o F Falso en cada una de las siguientes afirmaciones: 
a. El teorema de Pitágoras es válido para triángulos esféricos 
b. Los triángulos esféricos también tienen 6 elementos como los triángulos planos 
c. Las funciones trigonométricas son válidas en la trigonometría esférica 
d. Las leyes fundamentales de la trigonometría plana son válidas para la trigonometría esférica 
 
4. Responda V Verdadero o F Falso en cada una de las siguientes afirmaciones: 
a. Los ángulos diedros se pueden configurar en una superficie plana 
b. Los ángulos triedros se pueden configurar en una superficie plana 
c. En una esquina, donde se encuentran tres planos, se configura un ángulo poliedro 
d. Es posible formar un triángulo esférico con tres círculos menores 
 
5. (Shaum, 5.5) Un barco navega hacia el oriente y observa una luz con un acimut de 62°10’ (punto ubicado a 62°10’ 
al oriente a partir del norte). Cuando el barco ha recorrido 2250, el acimut es de 48°25’. Si el barco continúa con la 
misma dirección Este, ¿cuál será la menor distancia a la que se encontrará la luz? ¿Si el barco navega a 30 km/h, en 
cuánto tiempo pasará por allí? Asumir que la Tierra es plana. 
 
6. (Shaum, 21.16) Resolver el siguiente triángulo esférico: a = 56°22,3’; b = 65°54,9’; c = 78°27,4’ 
(R/ A = 58°8,4’; B = 68°37,8’; C = 91°57,2’) 
 
Fundamentos de Astronomía de Posición 
 
Universidad del Valle 16 
 
7. (Shaum, 21.20) Resolver el siguiente triángulo esférico: A = 116°1,8’; B = 103°17,6’; C = 94°21,2’ 
(R/ a = 115°44,2’; b = 102°40,6’; c = 88°21,8’) 
 
 
8. (Shaum, 21.23) Resolver el siguiente triángulo esférico: b = 86°45,2’; c = 108°36,8’; A = 67°40,2’ 
(R/ a = 70°2,2’; B = 79°17,1’; C = 111°8,7’) 
 
 
9. (Shaum, 21.27) Resolver el siguiente triángulo esférico: B = 104°30,7’; C = 62°52,1’; a = 56°6,4’ 
(R/ b = 88°20,8’; c = 66°46,0’; A = 53°30,4’) 
 
 
10. (Shaum, 21.31) Resolver el siguiente triángulo esférico: A = 117°54,4’; C = 45°8,6’; a = 76°37,5’ 
(R/ b = 41°4,6’; c = 51°17,9’; B = 36°38,8’) 
 
 
11. (Shaum, 21.33) Resolver el siguiente triángulo esférico: A = 104°40,0’; B= 80°13,6’; a = 126°50,4’ 
(R/ b = 54°36,8’; c = 147°36,8’; C = 139°39,8’ + R/ b = 125°23,2’; c = 6°51,2’; C = 8°17,6’) 
(R/ b = 54°36,8’; c = 147°36,8’; C = 139°39,8’)