Clase 36

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Clase 36 
Modelo de Stackelberg 
Volvamos de nuevo al caso en el que tenemos 2 firmas compitiendo en el mercado. En Cournot, la 
elección de cantidades por parte de las dos firmas es simultánea. Ahora vamos a pensar que no. 
Supongamos que hay una firma (la firma 1) que decide primero cuánto producir. Es decir, la firma 1 es 
líder en la elección de la cantidad. La firma 2, en cambio, toma su decisión de producción habiendo 
observado la decisión de la firma 1. Es decir, la firma 2 es la seguidora. Igual que antes, las dos firmas 
saben que el precio del mercado depende del nivel total de producción. Este modelo se lo llama de 
Stackelberg, en honor al primer economista que estudió sistemáticamente la interdependencia del líder y 
el seguidor. En estos casos, la interdependencias estrátegicas constituyen un juego consecutivo de los 
que se analizan en la teoría de juegos. 
El problema de la firma seguidora es más simple que en el modelo de Cournot, porque ya no tiene que 
anticipar lo que hará su competidor. Entonces, dado y1, la firma 2 simplemente tiene que decidir cuánto 
producir. El problema de la firma 1, en cambio, es un poco más complicado. La firma 1 se da cuenta de 
que su decisión de producción va a tener un impacto en lo que vaya a decidir después la seguidora. Por lo 
tanto, la firma líder tiene cierta posibilidad de manipular o guiar las decisiones de la firma seguidora. Lo 
hará, por supuesto, de la manera que más le convenga. Entonces, lo que va a hacer la firma 1 es ponerse 
en el lugar de la firma 2 para ver qué decisiones tomará la firma 2 y anticiparlos. 
Como ahora las firmas son esencialmente distintas, se analizan los problemas de ambas de manera 
separada. Comenzaremos entonces considerando en primer lugar el problema de la firma 2. Dado y1, la 
firma 2 resuelve 
 
max P (y1 + y2) y2 cy2 
y2 
Este problema de maximización es analíticamente el mismo que en el modelo de Cournot y por lo tanto, 
la solución debe ser la misma, encontraremos la función de reacción de la firma 2 
 
y2 = R2 (y1) 
Una vez resuelto el problema de decisión de la firma seguidora, el problema de la firma 1 se reduce 
entonces a decidir cuál es su mejor opción sobre la función de reacción de la firma 2, pues anticipa su 
accionar. La idea es que la firma líder sabe cómo reaccionará la seguidora y utiliza esta información a su 
favor. Por lo tanto, el problema que resuelve la firma 1 es 
 
max P (y1 + y2)y1 cy1 sa y2 = R2 (y1) 
y1 
La solución de Stackelberg también puede analizarse gráficamente mediante las curvas isobeneficio. El 
siguiente gráfico muestra las curvas de reacción de ambas firmas en Cournot y las curvas isobeneficio de 
la firma 1 (que tienen la misma forma que las isobeneficio de la empresa 2, rotadas noventa grados). La 
firma 1 obtiene más beneficios en las curvas isobenefi- cios más bajas, ya que sus beneficios aumentan 
conforme disminuye la producción de la firma 
2. Como la firma 2 se comporta como una seguidora, sólo puede garantizar que la solución se encuentra 
sobre su función de reacción, la firma 1, como es la líder, decidirá en qué punto de esa curva "pararse". 
Para eso maximizará sus beneficios y buscará la isobeneficio más baja que se encuentre sobre la función 
de reacción de la firma 2. El óptimo estará en el punto de tangencia. Gráficamente: 
 
 
 
 
Si se considera nuevamente al ejemplo de la función de demanda lineal tenemos que la función de 
reacción de la firma 2 es 
y = a — c — 1 y 
y entonces de la condición de primer orden para la firma 1 se obtiene que 
 
y = a — c 
2b 
Entonces, reemplazando en la función de reacción de la firma 2, 
 
y = a — c 
4b 
De los resultados podemos concluír que la firma líder produce más que la firma seguidora. Es decir, la 
firma líder es en definitiva la más grande. Además, se puede demostrar que los beneficios de la firma 
líder son mayores que los de la firma seguidora. Esta es la ventaja de decidir primero anticipando la 
decisión del competidor. 
 
1.1 Modelo de Bertrand 
En los modelos de Cournot y Stackelberg, suponíamos que la variable de elección de las firmas era la 
cantidad. En el modelo de Bertrand, en cambio, pensaremos que las firmas compiten eligiendo precios 
simultáneamente. Suponga un mercado con dos firmas que producen bienes idénticos y que compiten 
eligiendo en forma simultánea e independiente el precio que van a cobrar en el mercado. Asuma que 
ambas firmas tienen costos marginales constantes iguales a 
 
c1 y c2 con c2 > c1 y que enfrentan una curva de demanda D(p). Suponga, a su vez, que la función de 
demanda de la firma i se define de la siguiente manera: 
 
 
 
di (pi, pj) = 
 
,,< 
 
D(pi) si pi < pj D(pi)/2 si pi = pj 
 
0 si pi > pj 
O sea, si la empresa ofrece un precio menor al de las restantes se queda con toda la demanda, si es 
mayor no vende nada, y si son iguales se reparten el mercado en partes iguales. 
¿Cuál es un equilibrio en este caso? Supongamos que la firma 1 elige p1 > c2. Esto no puede ser un 
equilibrio ya que si la firma 2 espera que la firma 1 elija algún precio estríctamente mayor a su costo 
marginal, entonces la firma 2 eligiría un precio p2 apenas menor que p1 para quedarse con toda la 
demanda y mayor que c2 para obtener beneficios positivos. Entonces, la firma 1 tendría beneficios cero 
pero la firma 2 obtendría beneficios positivos. Podemos ver que c2 es una cota inferior al precio que 
puede cobrar la firma 2 porque si cobra menos que eso decidiría no producir nada porque sus beneficios 
serían negativos. Como c2 > c1, podemos ver que que la firma 1 tiene margen para poner un precio 
menor que c2, de forma tal de quedarse con toda 
la demanda y obtener beneficios positivos. Como la firma 2 no puede responder bajando el precio, ahora 
sí llegamos a un equilibrio. En este juego la firma 1 elige p1 = c2 — o con o > 0 pero muy chico, y 
producirá D(c2 — o), mientras que la firma 2 no produce. Podemos pensar, entonces, que el equilibrio 
será p1 = c2 pero con la firma 1 apropiándose de todas las ventas. 
Por tanto, en un equilibrio de un modelo de Bertrand con 2 firmas o más, las firmas maximizadoras de 
beneficios compiten reduciendo el último precio vigente para quedarse con todo el mercado o, si no 
queda alternativa, con una porción de él. Hasta qué punto estas firmas pueden bajar el precio depende 
de su función de costos, la ganadora o ganadoras de esta competencia serán quienes tengan el menor 
costo marginal de producción porque tendrán más margen para producir a precios más bajos con 
beneficios positivos. 
Si, en cambio, ambas tecnologías de producción son iguales, el único resultado posible es que ambas 
firmas ofrezcan a un precio igual a su costo marginal y se repartan el mercado. Note la particularidad que 
esto implica: se ofrecen bienes al costo marginal, por lo tanto, la solución de Bertrand coincide con 
competencia perfecta, tanto en precios como en cantidades!. 
 
1.2 Colusión* 
En los casos anteriores pensamos que las firmas operan de manera independiente. Sin embargo, las 
firmas pueden coludir y determinar conjuntamente su cantidad. Si esto es posible, entonces existe la 
posibilidad de que las firmas elijan maximizar el ingreso de la industria como un todo (es decir, como un 
monopolista) para luego repartirse las ganancias. 
 
Entonces, el poblema que enfrentan las firmas (digamos que hay sólo dos) es el de elegir las cantidades 
tal que, 
 
max P (y1 + y2) [y1 + y2] c1 (y1) c2 (y2) 
y1,y2 
Las condiciones de optimalidad son, 
 
 
[y ] : P (y 
 
+ y ) + 6P (y1 + y2) [y 
 
+ y ] = CMg 
 
(y ) 
 
1 1 2 
 
6y1 1 2 1 1 
 
[y ] : P (y 
 
+ y ) + 6P (y1 + y2) [y 
 
+ y ] = CMg 
 
(y ) 
 
2 1 2 
 
6y2 1 2 2 2 
 
Note lo que implica 6P (y1+y2) · y2 en la primer condición: a la hora de elegir la producción de la firma 1, 
se está teniendo en cuenta el costo que implica para la firma2 en vender todas sus unidades a menor 
precio. El motivo es que se está maximizando el ingreso de toda la industria, no solo de la firma 1. 
Gráficamente si suponemos demandas lineales y costo marginal cero, la solución se verá: 
 
 
Es decir, existirá una combinación de (y1, y2) dado por la recta negra que maximice el ingreso de la 
industria. En qué punto se situen dependerá de cómo se repartan las ganancias. 
Existe un problema con la existencia de los carteles: el deseo de desviarse y romper el acuerdo. Suponga 
que las firmas se encuentran cooperando en un punto como el anterior 
 
(y1∗, y2∗) y piense en incrementar la producción de la firma 1. Las ganancias de la firma 1 aumentarán: 
6π1 = P (y1 + y2) + 6P (y1+y2) y1 — CMg1 (y1) 
pero como sabemos que en el punto y1∗ que se encontraba produciendo sucede que, 
 
 
P (y 
 
+ y ) + 6P (y1 + y2) [y 
 
+ y ] — CMg 
 
(y ) = 0 
 
1 2 6y1 1 2 1 1 
 
P (y 
 
+ y ) + 6P (y1 + y2) y 
 
— CMg 
 
(y ) = — 6P (y1 + y2) y > 0 
 
1 2 y1 1 1 1 y1 2 
Por lo tanto, observamos que, 
 
6π1 > 0 
6y1 
Entonces, la firma 1 tiene incentivos a producir más que la cantidad acordada, para así aumentar sus 
beneficios. 
En nuestro análisis anterior supusimos que la interacción sucede sólo una vez, por lo tanto, no existen 
mecanismos por el cual una firma pueda castigar a otra tras romper el acuerdo, pues la relación entre 
ellas se acaba. Sin posibilidades de castigo, ambas firmas anticiparán el deseo de desviarse de su rival y 
también se desviarán. De esta manera, la cooperación no sucederá. 
Sin embargo, esto raramente sucede porque las firmas son entidades que perduran y com- piten durante 
muchos períodos. Por lo tanto, en el caso que una firma decida desviarse del acuerdo, las restantes 
competidoras podrán, por ejemplo, elegir aumentar su producción en los períodos siguientes, lo cual 
provocaría una caida en el precio y consecuente disminución de beneficios para la firma que se desvía en 
el futuro; o algún otro mecanismo de castigo existente. 
 
Ejemplo de una política con el objetivo contrario Una parte fundamental para que el cartel se mantenga 
es tener información sobre la producción o precio que eligió mi rival, para ver si se encuentra 
cumpliendo el acuerdo. Una manera sencilla de lograr esto es usar a tus propios clientes como 
proveedores de información. 
Piense en las páginas de internet que le ofrecen superar cualquier oferta de un competidor o "mejor 
precio garantizado". ¿Es esto un reflejo de feroz competencia? o es un mecanismo para obtener infor- 
mación sobre los precios de ventas de mis competidores?