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RAÍCES 
(4 semanas) 
 
 
 
 
 
El matemático alemán Christoph Rudolff (1499-
1545) introdujo el símbolo radical  para la raíz 
cuadrada. Este procede de la primera letra de la 
palabra "radix" (raíz, en latín, lengua vehicular 
utilizada por la ciencia en aquella época). Además, 
ya utilizaba la importante definición de x 0 = 1. 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICAS 3º ESO Académicas 
 Alfonso González 
 IES Fernando de Mena 
Dpto. de Matemáticas 
 
 
 
 
RAÍCES 3º ESO Académicas 
ALFONSO GONZÁLEZ 
I.E.S. FERNANDO DE MENA. DPTO. DE MATEMÁTICAS 
 
Texto bajo licencia Creative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital 
siempre y cuando se respete la mención de su autoría, y sea sin ánimo de lucro. En otros casos se requiere el permiso del 
autor (alfonsogonzalopez@yahoo.es) 
 
I) DEFINICIÓN de RAÍZ n-ésima 
Raíz cuadrada: 4 2  porque   22 4  
 4   porque el cuadrado de cualquier número real no puede ser <0 
 ꞏ 
 ꞏ (en general) 
 ꞏ 
 
2a x x a  ¬ esto es, ¡hallar la raíz cuadrada de un número es lo contrario de elevar al cuadrado! 
 
 
Raíz cúbica: 3 8 2 porque 32 8 ¬ 
 3 8 2   porque   32 8   
 ꞏ 
 ꞏ (en general) 
 ꞏ 
 
33 a x x a  
 
 
 
Raíz cuarta: 4 81 3  porque   43 81   
 4 16   porque ..................................................................................... 
 ꞏ 
 ꞏ (en general) 
 ꞏ 
 
44 a x x a  
 
Raíz quinta: 5 1 1 porque 51 1 
 5 3125 5   porque   55 3125    
 ꞏ 
 ꞏ (en general) 
 ꞏ 
 
55 a x x a  
 ꞏ 
 ꞏ (en general) 
 ꞏ 
Raíz n-ésima: 
nn a x x a  (1) 
sí y solo sí 
RAÍZ 
RADICANDO
SIGNO 
RADICAL 
ÍNDICE 
C
A
S
O
S
 M
Á
S
 
G
E
N
E
R
A
L
E
S
 
¿Qué número multiplicado por sí mismo 3 veces es 8? 
La idea es encontrar un número que multiplicado por sí mismo 
tres veces sea igual a la cantidad que está dentro del símbolo  
¿Qué número multiplicado por sí mismo 4 veces es 81? 
se lee "raíz 
cuadrada de 4" 
se lee "raíz 
cúbica de 8" 
léase "raíz 
cuarta de 81" 
tenemos que encontrar el número que MULTIPLICADO 
POR SÍ MISMO cinco veces dé - 3125 
RAÍCES 3º ESO Académicas 
ALFONSO GONZÁLEZ 
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autor (alfonsogonzalopez@yahoo.es) 
 
Observaciones: 
1o) Por ejemplo, 4 16 2  , aunque normalmente convendremos en escribir 4 16 2 . 
2o) Las raíces también se suelen llamar “radicales”. 
3o) Las raíces no exactas (tales como 2 , por ejemplo) son números irracionales i.e. tienen ¥ cifras 
decimales no periódicas (por ejemplo, 2 1,4142... ) . 
4o) Nótese que las raíces son la operación inversa de las potencias. 
5o) Tabla resumen:
 
 
 
 
 
6o) 
2
33
5 5
2 2


 ¡Lógico! En general: 2 propiedades de simplificación sencilla: 
 
nn x x y   nn x x (2) 
Ejercicios: Ficha 1: 1 a 5 y 8 
 
 ¿Cómo hallar  con la calculadora?: Por ejemplo, para hacer 38 teclearemos 3 SHIFT xx 8 (o xy, etc.) 
 
Ejercicios: Ficha 1: 6 y 7 
 
 
 
II) RADICALES EQUIVALENTES. SIMPLIFICACIÓN de RAÍCES 
Ejercicio 1: Utiliza la calculadora para comprobar que los siguientes radicales son equivalentes (4 decimales): 
 
6 8  
4 4   
2  
 
Simplificación de : “Para simplificar una raíz, dividimos índice y exponente del radicando por el 
mismo número (cuando sea posible...)”: 
 
 
n p m p mnx xꞏ ꞏ (3) 
 RADICANDO >0 RADICANDO <0 
ÍNDICE 
PAR 
dos raíces opuestas 
 4 2  
 raíz 
 4   
ÍNDICE 
IMPAR 
una sola raíz positiva 
 3 8 2 
una sola raíz negativa 
 3 8 2   
  
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autor (alfonsogonzalopez@yahoo.es) 
 
Ejercicio 2: Comprobar el ejercicio 1 con esta fórmula. Véase el primer ejemplo: 
3 3/36 6/36 8 2 2 2   
4 4   
2  
 
Ejercicio 3: Simplificar las siguientes raíces y comprobar los resultados con la calculadora: 
 8 81  6 16  4 16  
Observaciones: 1o) El próximo curso probaremos (3). 
2o) Si, como resultado de aplicar (3) para simplificar, obtenemos 1 , ello significa que 
el signo radical  debe ser suprimido: 
e.g. 6 6/3 2 23 3/3 13 64 2 2 2 2 4     (porque 34 64 ) 
Ejercicios: Ficha 2: 1 y 2 
 
Amplificación/Comparación de : Esta es la operación opuesta de la simplificación. Se utiliza para 
expresar varias raíces con índice común, con el fin de compararlas: 
 
n pm m pn x x ꞏ ꞏ (4) 
 
Ejercicios: Ficha 2: 3 a 6 
 
 
 
III) OPERACIONES con RAÍCES 
Nota: Las siguientes propiedades serán demostradas el próximo curso. 
1o) Producto de raíces del mismo índice: n n na b a bꞏ ꞏ (5) 
“Para multiplicar raíces del mismo índice, se multiplican sus radicandos (y se mantiene el índice)” 
 
Ejemplo 1: 2 8 ꞏ 
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 3 39 3 ꞏ 
Observaciones: 
1o) Esta propiedad puede generalizarse para tres o más raíces: 
Ejemplo 2: 355 5a a a ꞏ ꞏ 
2o) Las raíces con índice distinto no pueden ser multiplicadas, a menos que simplifiquemos o 
amplifiquemos alguna de ellas convenientemente: 
Ejemplo 3: 10153 a a ꞏ 
 43 9 ꞏ 
3o) Esta propiedad puede ser aplicada al revés, para simplificar: 
 
 
Ejemplo 4: 1600 16 100 4 10 40  ꞏ ꞏ 
 20 4 5 2 5 ꞏ ꞏ 
 
Ejercicios: Ficha 3: 1 (mismo índice) y 2 (distinto índice) 
 
 
2o) Cociente de radicales del mismo índice: 
n
n
n
a a
bb
 (6) 
“Para dividir raíces del mismo índice, se dividen sus radicandos (y se deja el mismo índice)” 
Ejemplo 5: 
65
5
2
2
 
Observaciones: 
1o) Esta ley se puede aplicar también al revés: 
Ejemplo 6: 
3
3 3
3
2727 3
0,027 0,3
1 000 101 000
    
2o) Las raíces con índice distinto no pueden ser divididas, a menos que simplifiquemos o amplifiquemos 
alguna de ellas convenientemente: 
hay que indicar el cuadrado perfecto 
más alto dentro del signo radical 
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Ejemplo 7: 
46
3
2
2
 
Ejercicios: Ficha 3: 3 (mismo índice) y 4 (distinto índice) 
 
3o) Potencia de una raíz:  m mnn a a (7) 
“Para elevar una raíz a un exponente, se eleva el radicando a dicho exponente (y se deja el índice)” 
 
Ejemplo 8:   4 4 22 2 2 4   
 
Ejercicios: Ficha 4: 1 
 
 
4o) Raíz de una raíz: 
m nm n a a ꞏ (8) 
“Para hacer la raíz de una raíz, se multiplican sus índices (y se deja el mismo radicando)” 
Ejemplo 9: 63 2  
Observaciones: 
1o) Esta ley puede generalizarse a tres o más radicales: 
Ejemplo 10: 33 x  
2o) Esta fórmula nos permite de manera sencilla hallar determinadas raíces con una calculadora no científica: 
4= zz zz 6= zz z3z or z3z zz 8= 
9= 12= etc. 
 
Ejercicios: Ficha 4: 25o) Introducir /Extraer factores: 
nnnx a x aꞏ ꞏ (9) 
“Para introducir un factor multiplicativo en una raíz, se eleva dicho factor al índice” 
INTRODUCIR
EXTRAER
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Ejercicios: Ficha 4: 3 ¬ introducir 
Y, al revés: 
“Para extraer un factor multiplicativo de una raíz, debe estar previamente 
elevado al índice de la raíz (o a un múltiplo de este)” 
 
Ejercicios: Ficha 4: 4 ¬ extraer 
 
 
 Radicales semejantes: son radicales con el mismo índice y el mismo radicando: 
e.g.: 2 2 y 5 2 son radicales semejantes 2 5 y 
3
5
2
 son semejantes 
 33 3 , 3 3 y 3 3 son semejantes 2 6 y 32 6 son semejantes 
Los “radicales semejantes” pueden ser sumados o restados del mismo modo que los "monomios 
semejantes" en Álgebra: 
Consideremos 5 5 2 5 , que tiene la misma forma que 5 x 2x . 
Si interpretamos esto como 5 “lotes” de 5 menos 2 “lotes” de 5 , tenemos 3 “lotes” de 5 . 
 
así, 5 5 2 5 3 5  , que es lo mismo que hacer 5 x 2x 3 x  . 
Por tanto, «Para sumar o restar raíces, tienen que ser semejantes». 
Ejemplo 11: a) 2 2 3 2  
 b) 3 3 3   
 c) 2 8  Sol : 3 2( ) 
 d)  2 3 1 2 3    
Ejercicios: Ficha 4: 5 
 
 
 
IV) CLASIFICACIÓN de los NÚMEROS REALES 
IV.1) Números naturales:  0,1,2,3,4,5...  Hay obviamente ¥ números naturales 
 
 IV.2) Enteros:  0, 1, 2, 3, 4, 5...       nótese que   
Recordar: siempre se usan llaves para designar un conjunto 
“contenido en” viene del alemán “zahlen”, que significa “número” 
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ALFONSO GONZÁLEZ 
I.E.S. FERNANDO DE MENA. DPTO. DE MATEMÁTICAS 
 
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 IV.3) Números racionales:   «son todos los números que pueden ser expresados como fracción 
de enteros»: 
e.g. 
1
2
 1
3
  13
6
 
 0 5 ,  0 3

 ,  2 16

,  
 
Definición alternativa: “Los números racionales son todos los números cuya expresión decimal es 
exacta o periódica”. 
Nótese que todos los enteros pueden ser vistos como números racionales, con denominador 1, etc.: 
e.g. 
3 6 9
3 ...
1 2 3

    

 77
1
    , etc. 
 
Por tanto,     . 
 
IV.4) Números irracionales   son aquellos números que no son racionales. Como resultado: 
1ª definición: “Los números irracionales son aquellos números que no pueden ser expresados 
como una fracción de enteros”. 
e.g.   2   (y, en general, todas las raíces no exactas) 
 3 141592654...,  1 414213562...,  1 01001000100001..., 
 
Definición alternativa: “Los números irracionales son aquellos cuya expresión decimal consta de 
¥ cifras no periódicas”. 
Observaciones: 
1o) No existe un símbolo comúnmente aceptado para los irracionales. Normalmente el conjunto de los 
números irracionales se expresa como el conjunto de todos los reales "menos" el conjunto de los 
racionales, es decir,   . No obstante, nosotros emplearemos el muy extendido símbolo  . 
2o) ¡Cuidado!: Irracional significa lo opuesto de racional, pero nosotros aquí lo utilizamos en un sentido 
matemático, distinto al lenguaje corriente: una persona o situación se dice que es irracional cuando 
no es lógica o razonable. 
periódico exacto 
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IV.5) Números reales   : incluyen todos los racionales e irracionales: U   . 
Observaciones: 
1o) Nótese que       y    . 
2o) Racionales = Fracciones de enteros (enteros incluidos) = Decimales exactos o periódicos 
Irracionales = Decimales no periódicos (ni exactos) 
3o) Como ya hemos dicho, los enteros pueden ser considerados como números fraccionarios. 
Los decimales exactos pueden ser considerados como números periódicos de período 0. 
4o) Veamos dos diagramas-resumen alternativos de los distintos conjuntos numéricos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejercicios: Ficha 5: 1 a 8 
 
0 
1 2 
3 
4 
5 ... 
1 
2 
4 
3
5 ... 
1/2
11/6 0,5 
5/3 
etc.
 NÚMEROS
REALES 
 
 NÚMEROS 
RACIONALES 
NÚMEROS 
IRRACIONALES 
 ENTEROS
NÚMEROS 
FRACCIONARIOS
NÚMEROS 
NATURALES: ={0,1 ,2 ,3 ,4 ,5 . . . } 
ENTEROS 
NEGATIVOS:  ={0, 1 , 2 , 3 , 4 . . . } 
 
DECIMALES
EXACTOS: 
DECIMALES 
PERIÓDICOS:
RAÍCES NO EXACTAS :
intersección i.e. el conjunto de todos los 
elementos comunes a ambos conjuntos 
unión de conjuntos 
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V) INTERVALOS en la RECTA REAL 
 
Observaciones: 
1o) 
 
 
 
 
 
2o) Evidentemente, el extremo que acompaña a ¥ es siempre abierto i.e. ( o ). 
3o) Nótese que  ,    0,    ,0   
4o) ¿Cómo se dicen los intervalos?: 
 1,2 se lee “ intervalo cerrado -1 2 ” 
 2,2 se lee “ intervalo abierto -2 2 ” 
 3,0 se lee “ intervalo de extremos -3 abierto a 0 cerrado” 
 1 ,3 se lee “ intervalo de extremos 1 cerrado a 3 abierto” 
 1,  se lee “ intervalo abierto -1 a ¥ ” 
 ,0 se lee “ intervalo de -¥ a 0 cerrado” 
 
Ejercicio: Ficha 6 
 
TIPO de INTERVALO SÍMBOLO 
REPRESENTACIÓN en la 
RECTA REAL
 ¿QUÉ ES? 
DEFINICIÓN 
MATEMÁTICA
INTERVALO CERRADO [-1 ,2] 
 Representa los ¥ números 
reales desde -1 hasta 2, 
incluidos ambos extremos 
{x/ -1£x£2} 
INTERVALO ABIERTO (-2 ,2) 
 
Representa los ¥ números 
reales desde -2 hasta 2, 
excluyendo ambos extremos 
{x/ -2<x<2} 
IN
T
E
R
V
A
L
O
S
 
S
E
M
IA
B
IE
R
T
O
S
 INTERVALO 
SEMIABIERTO 
(o SEMICERRADO) 
(-3 ,0] 
 Representa los ¥ números 
reales desde -3 (excluido) 
hasta 0 (incluido) 
{x/ -3<x£0} 
INTERVALO 
SEMICERRADO 
(o SEMIABIERTO) 
[1 ,3) 
 Representa los ¥ números 
reales desde 1 ( incluido ) hasta 
3 ( excluido ) 
{x/ 1£x<3} 
INTERVALOS INFINITOS 
(-1 ,¥) Representa todos los números 
reales mayores que -1 
{x/ x>-1} 
(-¥ ,0] Representa todos los números 
reales menores o iguales que 0 
{x/ x£0} 
 extremo: tipo de 
paréntesis:
símbolo de 
desigualdad:
significado: nombre: explicación: 
 
un círculo relleno [ o ] £ o ³ INCLUIDO CERRADO el extremo pertenece 
al intervalo 
 
un círculo ( o ) < o > EXCLUIDO ABIERTO el extremo NO 
pertenece al intervalo 
2-1 
2-2 
0-3 
31
¥-1 
0-¥ 
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VI) APROXIMACIONES y ERRORES 
VI.1) Redondeo: cifras significativas 
En muchas ocasiones damos un valor aproximado a un cálculo. Por ejemplo,si tenemos que expresar 
cuánta gente votó en unas elecciones, un número de 57000 sería más apropiado que el valor exacto, 
56897. Así, necesitamos acortar o redondear algunas cantidades que tienen más cifras que las requeridas. 
También utilizamos aproximaciones cuando desconocemos el valor exacto... 
Procedimiento general de redondeo: 
Redondeo a la cifra entera: 
52,83  si la parte decimal es > 0.5000000... , aumentamos en 1 la cifra de las unidades  52,83  53 
52,35  en caso contrario, no cambiamos la parte entera  52,35  52 
Redondeo a las décimas: 
237,755  si la parte decimal a la derecha de las décimas es > 0,05000000... , aumentamos en 1 la 
cifra de las décimas  237,755  237,8 
237,749  en caso contrario, no cambiamos la cifra de las décimas  237,749  237,7 
Redondeo a las centésimas: 
-1,21605  si la parte decimal a la derecha de las centésimas es > 0,005000000... , aumentamos en 
1 la cifra de las centésimas  -1,21605  -1,22 
-1,21499  en caso contrario, no cambiamos la cifra de las centésimas  -1,21499  -1,21 
Ejemplo 12: a) Redondear 39,748 a la cifra entera: 39,748  _____ 
 Redondear 39,748 a las décimas: 39,748  _____ 
 Redondear 39,748 a las centésimas: 39,748  _____ 
 b) Escribir 278 463 con 3 cifras significativas correctas1: 278 463  __________ 
 Escribir 0,0076584 con 3 cifras significativas correctas: 0,0076584  __________ 
 
1 2 3 4 . 5 6 7 8 9 1 2 3 4 

 a las U
N
ID
A
D
E
S
 d
e M
IL
L
A
R
 

 a las C
E
N
T
E
N
A
S
 

 a las D
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C
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S
 

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A
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
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C
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A
S
 

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S
 

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IL
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
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Z
M
IL
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A
S
 

 a las C
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N
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IL
É
S
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A
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
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L
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
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A
S
 

 a las C
IE
N
M
IL
L
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N
É
S
IM
A
S
 

 a las B
IL
L
O
N
É
S
IM
A
S
 
 
1 Ver en el anexo final qué se entiende por cifras significativas. 
se lee “aproximadamente” 
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VI.2) Errores 
Puesto que ninguna medida es exacta, siempre hay una posibilidad de error: 
 
Error absoluto,  a es la diferencia entre el valor medido o inferido de una cantidad y su valor real: 
 a valor real valor aproximado  (10) 
 
Ejemplo 13: Medimos el ancho de un libro con una regla que tiene una precisión de mm y encontramos 
que es 75 mm. Lo máximo que podemos precisar es hasta los milímetros. En otras 
palabras, decimos que el ancho es 75 1 mm, esto es, el error absoluto es 0.5 mm. Nótese 
que el error absoluto al medir es 5 unidades a partir de la primera cifra que no 
usamos. 
 Aun así, el error absoluto no dice mucho sobre la verdadera magnitud del error cometido. Necesitamos 
incorporar el valor real: 
Error relativo,  r es el cociente del error absoluto y el valor real: 
 
a
r valor real

 (11) 
El error relativo se suele multiplicar por 100 para así expresarlo como un porcentaje. 
Ejemplo 14: El velocímetro de un coche marca 60 km/h cuando en realidad circula a 62 km/h, de 
acuerdo con el valor exacto que da el GPS. Encontrar  a y  r . 
Solución: a valor real valor aproximado 62 60 2 km / h     
a
r
2
100 100 3 2%
valor real 62
  
 ꞏ ꞏ . 
Observaciones: 
1o) El  a tiene las mismas unidades que el valor medido, mientras que  r no tiene unidades (en realidad 
es un %). 
2o) Cuanto más pequeño es el error, más precisa y exacta es la medida o estimación. 
Ejercicios: Ficha 7: 1 a 7 
 
 
 
 
 
 
RAÍCES 3º ESO Académicas 
ALFONSO GONZÁLEZ 
I.E.S. FERNANDO DE MENA. DPTO. DE MATEMÁTICAS 
 
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siempre y cuando se respete la mención de su autoría, y sea sin ánimo de lucro. En otros casos se requiere el permiso del 
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ANEXO: CIFRAS SIGNIFICATIVAS 
Cifras significativas son aquellas cifras necesarias para pasar el número a notación científica. 
Hay dos situaciones: 
1o) Ceros a la dcha.: Ejemplo: Escribir 278 463 con 3 cifras significativas. 
Solución: 278 463  278 000 tiene 3 cifras significativas porque 278 000 = 2.78 ꞏ 10 5 
2o) Ceros a la izda.: Ejemplo: Escribir 0.0076584 con 3 cifras significativas. 
Solución: 0.0076584  0.00766 tiene 3 cifras significativas porque 0.00766 = 7.66 ꞏ 10 - 3 
¡Esto es un convenio matemático! Veamos tres ejemplos que coinciden con nuestro criterio: 
 
 
 
 
 
... y dos ejemplos del criterio inverso: 
 
 
 
 
 
 
 
 
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ALFONSO GONZÁLEZ 
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FICHA 1: Concepto de raíz n-ésima 
 
RECORDAR: 
 
 Definición de raíz n-ésima: a xxa nn  
 Casos particulares de simplificación: xxn n   nn x x 
 
(Añadir estas fórmulas al formulario, junto con la lista de los 20 primeros 
cuadrados perfectos que indicará el profesor) 
 
 
1. Calcular, aplicando mentalmente la definición de raíz (no usar calculadora): 
a) 9 
b) 25 
c) 49 
d) 100 
e) 1 
f) 0 
g) 
4
1
 
h) 
9
1
 
i) 
25
4
 
j) 
100
16
 
k) 4 
l) 64 
m) 142 
n) 105 
o) 63 
p) 47 
q) 
25
36
 
r) 121 
s) 169 
t) 400 
u) 144 
v) 196  
w) 2500  
 
2. Calcular de dos formas: 1º) Mentalmente, aplicando la definición de raíz (cuando ello no resulte complicado). 
2º) Pasando previamente a fracción generatriz (No usar calculadora, salvo para comprobar): 
a) 25,0 
b) 49,0 
c) 09,0 
d) 0025,0 
e) 64,0 
f) 04,0 
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g) 1,0

 
h) 25,2 
i) 7,2

 
j) 0,16 
(Una vez resueltos, se recomienda comprobar cada apartado con la calculadora…) 
 
3. Calcular, aplicando mentalmente la definición de raíz (no vale calculadora): 
a) 3 8 
b) 3 27 
c) 3 64 
d) 3 1000 
e) 3 1 
f) 3 125 
g) 3 27 
h) 3
8
1
 
i) 3
125
1
 
j) 3
64
27
 
k) 3 1000 
l) 3
8
125
 
m) 3 8 
n) 3 152 
o) 3
1000
64
 
p) 3 9a 
q) 3 64 
r) 3125  
 
 
 
Potencia de exponente fraccionario: n m m/nx x 
 
 
4. Calcular de dos formas: 1º) Mentalmente, aplicando la definición de raíz cúbica (cuando no resulte 
complicado). 2º) Pasando previamente a fracción generatriz (No usar calculadora, salvo para comprobar): 
a) 3 001,0 
b) 3 008,0 
c) 3 027,0 
d) 3 125,0 
e) 3 216,0 
CONSECUENCIA: 
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f) 3 0,064  
 (Una vez resueltos, se recomienda comprobarcada apartado con la calculadora…) 
 
5. Calcular (resultado en la forma del radicando), factorizando previamente el radicando cuando sea necesario 
(no vale calculadora): 
1) 36= 
2) 3 729 
3) 729 
4) 4 16 
5) 5 243 
6) 8 
7) 3 8 
8) 6 1 
9) 5 32 
10) 4 81 
11) 25 
12) 
81
25
 
13) 6 62 
14) 4
256
81 
15) 5 153 
16) 3 064,0 
17) 4 0001,0 
18) 6 0000001 
19) 4 1296  
20) 1296  
21) 14161   Sol : 119 
22) 3
8
27
  
23) 0,4 

  Sol : 0,6 
24) 4 0,4  
25) 1764  
26) 3 93  
27) 5
1
32
  
28) 484  
29) 1,7 

  Sol : 1,3 
30) 5,4 

  Sol : 2,3 
31) 900   Sol : 30 
32) 4
1
16
  Sol : 1 / 2 
33) 5 205   4Sol : 5 
34) 3 1   Sol : 1 
35) 31,36   Sol : 5,6 
36) 223  
TIPO 
EXAMEN 
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37) 411   Sol : 121 
38) 4 1  
39) 3
343
125
    
 
Sol : 
7
 
5
 
40) 4 0,0016   Sol : 0,2 
41) 2,7 

  Sol : 1,6 
42) 3 3,375   Sol : 1, 5 
43) 
4 362   Sol : 512 
44) 5
1024
243
   Sol : 1,3 
45) 6 64   Sol :  
46) 2025   Sol : 45 
47) 11025   Sol : 105 
48) 4 84 16a b  
49) 3
343
729
   Sol : -7 / 9 
50) 25  
51) 6 39   Sol : 3 
52) 0,001 

  Sol : 0,03 
53) 0,134 

  Sol : 0,36 
54) 
3
0,296 

  Sol : 0,6 
55) 2,667 

  Sol : 1,63 
56) 0,027 

  Sol : 0,16 
57) 44 2  
58)   44 2  
 
(Una vez resueltos, se recomienda comprobar con la calculadora…) 
 
 
6. Utilizar la calculadora para hallar, con cuatro cifras decimales bien aproximadas (véase el ejemplo): 
a) 4 8 1,6818  
b) 5 9 
c) 6 25 
d) 3 10 
e) 5 15 
f) 6 40 
g) 4 32 
h) 5 23 
i) 6 25 
j) 8 256 
k) 3 64 
l) 1315 
 
 
7. Acotar los siguientes radicales entre dos enteros consecutivos, razonando el porqué (Véanse los dos 
primeros ejemplos; no vale usar calculadora, salvo para comprobar los resultados): 
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 4
a) 2 21< 3 <2 pq 1 =1 y 2 =4 
b)  2 213 3, . . . pq 3 =9 y 4 =16 
c)  17 
d) 40 
e)  3 6 
f) 3 100 
g)  93 
h) 4 57 
i) 3< -10 <
 
8. Hallar, razonadamente, el valor de k (indicar todos los pasos): 
a) 3k 8  Sol : k = 4 
b) k 729 9  Sol : k = 3 
c) 
105 10 k  Sol : k = 100 
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FICHA 2: Radicales equivalentes. Simplificación de radicales 
 
RECORDAR: 
 
 Simplificación general de radicales: p/n p/mn m xx  
 Amplificación de radicales: pn pmn m xx   
 Casos particulares de simplificación: xxn n    xx nn  
 
(Añadir estas fórmulas al formulario) 
 
 
1. Simplificar los siguientes radicales (y comprobar el resultado con la calculadora, cuando proceda); véase el 
primer ejemplo: 
a) 4/24 2 2/23 = 3 = 3 
b) 8 45 
c) 9 27 
d) 5 1024 
e) 6 8 
f) 9 64 
g) 8 81 
h) 12 9x 
i) 12 8x 
j) 5 10x 
k) 8 2 42 3 
l) 9 3 6a b 
m)10 64ba 
n) 3 96 2 3 = 
o) 6 35 
p) 15 122 
q) 10 8a 
r) 12 84ba 
s) 15 243 
t) 4 81 
u) 12 64 
v) 6 122 
w) 6 512 
x) 8 4 816a b 
y) 1444  Sol : 38
z) 1600  Sol : 40
) 12 256 
β) 784  Sol : 28 
) 6 144  3Sol : 12 
d) 6 4 6400a b  Sol : 3 2 320a b 
ε) 2 66 144x y  Sol : 33 12xy 
ζ) 12 88  Sol :  4 
 
2. Estudiar si los siguientes radicales son equivalentes; comprobar después con la calculadora: 
a) 2 , 6 8 , 10 32 
 
 
 
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b) 9 , 3 27 , 4 81, 5 243 (Sol: Equivalentes) 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 3 , 4 9 , 6 27 , 8 729 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (Sol: SÍ; SÍ; NO) 
3. a) Indicar tres radicales equivalentes a 5 por amplificación, y comprobar con la calculadora. 
 
 
 
 
b) Hallar razonadamente un radical equivalente a 6 16 por simplificación, y otro por amplificación. 
 
 
 
 
4. a) Hallar razonadamente un radical de índice 4 equivalente a 32 . Comprobar con calculadora.  Sol : 4 1024 
 
 
 
 
b) Hallar razonadamente un radical de índice 9 equivalente a 3 5 , y comprobar.  Sol : 9 125 
 
 
 
 
5. a) Simplificar los siguientes radicales e indicar los que son equivalentes y los que son irreducibles: 
3 25  
9 125  
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6 625  
3 5   ; Sol : y3 32 23 6 9 35 5 irreduc ibles ; 5 625 125 5
 
b) Simplificar los siguientes radicales e indicar mediante lenguaje matemático su posible equivalencia: 
8 9  
12 93  
16 81    Sol : 12 98 169 81 3 
 
6. Hallar tres radicales equivalentes a 6 8 de índice 2, 4 y 12 respectivamente.  ,Sol : y4 122 4 64 
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FICHA 3: Producto y cociente de radicales 
 
RECORDAR: 
 
 Propiedades de las raíces: nnn aꞏbb ꞏ a  
 
 n
n
n
b
a
b
a
 
 
   n mm n aa  
 
 mꞏnm n aa  
 
 Introducir/extraer factores: n nn ꞏaxa xꞏ  
 
(Añadir estas fórmulas al formulario) 
 
1. Multiplicar los siguientes radicales del mismo índice, simplificando siempre que sea posible (véase el 
primer ejemplo): 
a) 86432 2  
b) 15 2 
c) 33 4 2 
d) 27 3 
e) 4 3 
f) 33 5 2 
g)  8 32  16:Sol 
h) 13 13 
i) 33 81 9  9:Sol 
j) 16 8 2  16:Sol 
k)  3 12  6:Sol 
l)  2ꞏ3 182  36:Sol 
m)  2x x2 3  22x:Sol 
n) 18 6 12  36:Sol 
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o)   22 2  (Sol: 8) 
p)   53 2  (Sol: 45)
 
 
2. Multiplicar los siguientes radicales de distinto índice, simplificando siempre que sea posible (véase el 
primer ejemplo): 
a) 4222 22 264 2 2434 64  
b)36 9 9  3:Sol 
c) 6 94 10 x x  4Sol : x 
d) 36 10 49 7 



 3 77:Sol 
e) 64 8 1024  8:Sol 
f) a8 a44 2  4a:Sol 
g) 6 27 3  3:Sol 
h) 46 9 1024 2  16:Sol 
i) 5 25 254  25:Sol 
 
3. Simplificar, aplicando convenientemente las propiedades de las raíces (véase el primer ejemplo): 
a) 416
2
32
 
b) 
2
8
  2:Sol 
c) 
9
81
3
3
 
d) 
3
15
 
e) 
3
27
  3:Sol 
f) 
2
16
3
3
  2:Sol 
g) 
729
256
  16 / 27Sol : 
h) 
72
 21
  /2:Sol 3 
i) 
3
33
 
j) 
512
125
3   5 / 8Sol : 
k) 
625
16
4  
l) 
32
8 2
  21/:Sol 
TIPO 
EXAMEN 
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m) 
6
3 2
  1:Sol 
n) 
a2
a8 3  2a:Sol 
o) 
2 2
3 1 7 3 2
1 1
2 8 16 2 3
                  
: : 
  Sol : 81 
 
 
4. Dividir los siguientes radicales de distinto índice, simplificando siempre que sea posible (véase el primer 
ejemplo): 
a) 822
2
2
2
2
8
128 36
7
6 3
7
6
 
b) 
8
64
6
4
  2:Sol 
c) 
81
27
6
3
  3Sol : 3 
d) 
5
5
4 6
5
  5:Sol 
e) 
a
a
6 9
4 14
  2a:Sol 
f) 
49
7
4
3
  7:Sol 
g) 
x
x
10 15
6 15
  x:Sol 
h) 
ab
ba
3
53
  ab:Sol 
i) 
3 9
81
4
4
  1:Sol 
j) 
8
2 4
6
4
  2:Sol 
k) 
6 9
34 2
x ꞏ x
x ꞏ x  1:Sol 
l) 
4 25
125  5:Sol 
m) 
16
8
12536
3
3  59/2:Sol 
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FICHA 4: Potencia de un radical. Radical de un radical. Introducir/extraer factores 
 
1. Simplificar, aplicando convenientemente las propiedades de las raíces (véase el primer ejemplo): 
a)   33 4 2 3 2 2 3 16224 



 
b)   4 2  4:Sol 
c) 




3 
3y3x    
9 3Sol : 27x y 
d)   3 3 2 2 2  2:Sol 
e)   
3 
5 
5
5
  5:Sol 
f) 




6 
3 2a  4a:Sol 
g) 




2 
6 2ab  3 2ab:Sol 
h)   8 4 3 9 3   Sol : 3 
i) 
 43 6
3
25 5
 
5
  Sol : 5 
 
2. Simplificar, aplicando convenientemente las propiedades de las raíces (véase el primer ejemplo): 
a) 22 4 
b) 3 3 
c) 3 25  3 5:Sol 
d) 2  
e) 256   2:Sol 
f) 3 729  3:Sol 
g) 12  
h) 2
8





  2:Sol 
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del autor (alfonsogonzalopez@yahoo.es) 
i) 3 4 75xx  x:Sol 
j) 3 4 15x  4 5x:Sol 
k) 





7
3 7 3x8  2x:Sol 
l)  
 

6 
3 4
3 
x
x
  x:Sol 
m)  36 32   4Sol : 32 
n) 
 
45 5
3
a a
a

ꞏ  Sol : a 
o)  
43
4
343
7
7
ꞏ  Sol : 49 
p) 
 3
5 4
2
2 32

ꞏ
  Sol : 1 / 2 
q) 
7
4 58
3
9 3

ꞏ
  4Sol : 3 
r) 
 
5 4
3
3 243
3

ꞏ  Sol : 3 
3. Introducir factores y simplificar (véase el primer ejemplo): 
a) 822222 32  
b) 32  
c) 32 =
2
  6:Sol 
d)  23 
e)  
27
2
3  2/3:Sol 
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EXAMEN 
EJERCICIOS de RADICALES 3º ESO Académicas 
ALFONSO GONZÁLEZ 
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f) 3 3 3  3Sol : 81 
g)  
12
5
6  15:Sol 
h) 4 5 3 
i)  
ab
c
ab
3
 





b
ac
:Sol 
j) 73  
k)  
2a
3c
2a  6ac:Sol 
l) xx   4 3x:Sol 
m) 3 2 2ꞏ  3 4:Sol 
n) 42 2 2 ꞏ ꞏ  2:Sol
 
o)  233 93 3 3 ꞏ  3 9Sol : 
 
p) 
 
4
5
4
2 2 8
2

ꞏ
  4 2Sol : 
 
q) 
  56 12
23
3 9
3 3

ꞏ
ꞏ
  6 3Sol : 
 
r) 
  26 2
6
3
5
5
5 25
  Sol : 1 
 
s) 
74
34
a
a a a

ꞏ
  Sol : a 
 
t) 
 

3
4
3 3
27
  Sol : 3 
 
 
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EJERCICIOS de RADICALES 3º ESO Académicas 
ALFONSO GONZÁLEZ 
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4. Extraer factores y simplificar cuando proceda (véase el primer ejemplo): 
1) 222228 23  
2) 81   23:Sol 
3)  98  27:Sol 
4)  32  24:Sol 
5)  60  152:Sol 
6)  72  26:Sol 
7) 12   32:Sol 
8) 128   28:Sol 
9)  48  34:Sol 
10) 108   36:Sol 
11) 162   29:Sol 
12)  75  35:Sol 
13)  200  210:Sol 
14)  27  33:Sol 
15)  533 54  3 75 15:Sol 
16)  804  4 52 :Sol 
17)  25923  3 126 :Sol 
18) 




10
2  24:Sol 
19) 5003   3 4 5:Sol 
20)  32x3 4  3 4x 2x:Sol 
21)  686  147:Sol 
22)  1936  44:Sol 
23)  cb81a3 53 
 



 3 2c3b 3ab:Sol 
24)  645  5 22 :Sol 
25)  16x3 6  32 2 2x:Sol 
26) 
  34
4 2
32+ 
2
 
  Sol : 5 2 
27)  
75y
28x
3
5
 
 








3y
7x
5y
2x
:Sol
2
 
28) 
132
13211
 
  6/33:Sol 
29)  
66
396
 
  11/11:Sol 
30)  
4
3a2 





3
2
a
:Sol 
31) 
132
13211
 
  6/3:Sol 
32)  
4
25
25 
  2/55:Sol 
33) 50ꞏ3ꞏ12 
  230:Sol 
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EXAMEN
EJERCICIOS de RADICALES 3º ESO Académicas 
ALFONSO GONZÁLEZ 
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34) 33
81
4
 
2
3
 5 
 




 3 2
3
5
:Sol 
35) 3 384   3Sol : 4 6 
36) 3 432   3Sol : 6 2 
37) 3 3
1
2 24 192
2
  
  3Sol : 2 3 
38) 
4 12
2

 
  Sol : 2 + 3 
 
 
 
5. Sumar los siguientes radicales, reduciéndolos previamente a radicales semejantes (véase el primer ejemplo): 
a) 
 
 
b) 5 45 180 80     (Sol: 56 ) 
 
 
 
 
c)  4866524 (Sol: 66 ) 
 
 
d) 27 3 5 27 9 12   (Sol: 36- ) 
 
e) 2 8 5 72 7 18 50     (Sol: 28 ) 
 
 
f)  122283232 (Sol: 32-23 ) 
 
 
 
g) 15054
3
1
243  (Sol: 610 ) 
 
3 2 5 22 8 18 32 2 2 3 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 3 2 4 2 2 2               
1º) FACTORIZAMOS 
 RADICANDOS 
2º) EXTRAEMOS 
 FACTORES 
3º) SUMAMOS 
 RADICALES 
 SEMEJANTES 
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h) 
6
4 432 4 2     
 
 (Sol: 3 2 ) 
 
i) 3 354 2 16    (Sol: 2- 3 ) 
 
 
j) 
6
3 444 5 5 25     
 
 (Sol: 2 5 ) 
k) 503221838425  (Sol: 235 ) 
 
 
l) 2 108 75 27 12 3      (Sol: 3 ) 
 
 
m)  2273182125128 (Sol: 32  ) 
 
 
 
n) 
3a
a a
3
  (Sol: 
2
a a 
3
) 
 
o) 2 27 48 3   (Sol: 3 3 ) 
 
p) 
5 1
20 45
4 4
   (Sol: 4 5 ) 
 
 
q) 2 8  (Sol: 3 2 ) 
 
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r) 3 3 6384 6 2 36   (Sol: 35 6 ) 
 
 
 
 
 
s) 5 3 2x x x 4x x x    (Sol: x x ) 
 
 
 
 
t) 80 2 5 2 20 45    (Sol: 5 5 ) 
 
 
 
 
u) 20 2 125 5   (Sol: 7 5 ) 
 
 
 
 
v)   3 45 5 2 80 (Sol: 0 ) 
 
 
 
 
w)  2 8 10  (Sol: 6 5 ) 
 
 
 
x) 7 6 112 5 28   (Sol: 33 7 ) 
 
 
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FICHA 5: Clasificación de los números reales 
 
 
1. Separar los siguientes números en racionales o irracionales, indicando, de la forma más conveniente en cada 
caso, el porqué (véase el primer ejemplo): 
pq es un cociente de enteros
1
8

 
3
π
 
5
 
2,666...
 
0
 
3
 
25
3

 
13
 
 0,1
 
46,

 
534
 
1,414213... 
1,414213
 
(Soluc: ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; )
 
 
 
2. Indicar cuál es el menor conjunto numérico al que pertenecen los siguientes números (IN, , Q o I); en caso 
de ser Q o , razonar el porqué: 
2
 
3 
4 
0,0015 
10 
6
5 

32, 
2,020020002... 
 
4 16 
 
(Soluc: ; ; ; ; ; ; ; ;  )
 
 
3. Señalar cuáles de los siguientes números son racionales o irracionales, indicando el porqué: 
3,629629629.... 0,130129128... 
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5,216968888... 
0,123456789... 
7,129292929... 
4,101001000... 
 (Soluc: ; ; ; ; ; )
 
 
 
4. ¿V o F? Razonar la respuesta: 
a) 5 32  (Sol: F) 
b) 734916916  (Sol: F) 
c) 123ꞏ49ꞏ169ꞏ16  (Sol: V) 
d) Todo número real es racional. (Sol: F) 
e) Todo número natural es entero. (Sol: V) 
f) Todo número entero es racional. (Sol: V) 
g) Siempre que multiplicamos dos números racionales obtenemos otro racional. (Sol: V) 
h) Siempre que multiplicamos dos números irracionales obtenemos otro irracional. (Sol: F)
5. Para cada uno de los siguientes números, indicar razonadamente si pertenecen a  o  (Alguno puede no 
existir...): 
1,010010001... 
1,010010001 
1,0101010101... 
101 
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1
11
 
2,3

 
2,3 
2,303303330... 
23 
23 
3 5  
2,03 
2
3
 
 2,3 
3 8  
3,14159265 

3,14159265 
 5 32 
 25 
 3
14
 
 (Soluc: ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;  ; ) 
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6. Completar la siguiente tabla (no vale repetir ejemplos): 
Ejemplo: 
¿A qué conjunto 
pertenece? ( o ) ¿Por qué? 
2,6

 
 
 
 Î  
 
 
Porque es una fracción de enteros 
2 
 
 
 Racional 
 
 
 
7. TEORÍA: Hacer un esquema ordenando los distintos subconjuntos de , e indicar en él solo los siguientes 
ejemplos: 
2
3 2,3 3 2,3 2,030030003... 23
3

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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8. TEORÍA: Dar dos definiciones alternativas de número racional. Ídem de irracional. En cada uno de los 4 
casos, dar dos ejemplos pertinentes eligiéndolos de la siguiente lista (no se pueden repetir): 
2
0,10110111... 4 1,7320508... 5,7 5 0,175
3
  

 
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FICHA 6: Intervalos. 
 
 
1. Rellenar la siguiente tabla (véase el primer ejemplo): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 REPRES. GRÁFICA INTERVALO DEF. MATEMÁTICA 
1 
 
[ -3 ,3] {x / -3x3} 
2 
 
 
3 
 
 
4 
 
[ -2 ,1) 
5 
 
 {x /1<x5} 
6 
 
 
7 
 
 {x /x<2} 
8 
 
(0 ,) 
9 
 
 
10 
 
( -1 ,5) 
11 
 
 {x / x0} 
12 
 
[2 /3 ,) 
13 
 
 {x / -2<x2} 
14 
 
 {x / x<3} 
15 
 
 {x / x≥3} 
16 
 
 
17 
 
[ -1 ,1] 
18 
 
 {x / x<-1} 
19 
 
 
20 
 
( - , -2) 
-3 3 
0 3
-4 4 
-3 
- 3 
2 
-4 4 
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 REPRES. GRÁFICA INTERVALO DEF. MATEMÁTICA 
21 (2 ,) 
22 {x / x5} 
23 [ -2 ,2] 
24 
 
 
25 (0,3] 
26 
 
 {x / -1x<3} 
27 
 
 
28 
 
 {x / x³0} 
29 
 
 
30 
 
(-¥ ,3) 
31 
 
 
32 
 
 {x / x -1} 
33 
 
(-2,¥) 
34 
 
 {x / -2x< 3} 
35 
 
 
36 
 
(-¥ ,3) 
-2 2 
1 
0 3
2 0 
¥ - 2 
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FICHA 7: Errores. 
1. Un solar, cuya fachadaes, según su escritura, 34,5 m, se mide, arrojando un resultado de 34,53 m. Hallar el 
error absoluto y el error relativo cometido en la escritura. 
 
 
 
 
 
2. Hallar el error absoluto y relativo que se comete al aproximar  a 22/7. 
 
 
 
 
 
 
3. Supongamos que un coche se desplaza a 120 km/h de marcador. Si sabemos, mediante un GPS, que su 
velocidad real es 115 km/h, se pide: a) a b) r. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. El velocímetro de los coches suele tener un error por exceso de alrededor de un 5%. Si sabemos que en 
autovía multan a partir de 127 km/h, ¿a qué velocidad de marcador podremos circular, como máximo, sin 
problemas? 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. Completar la siguiente tabla, empleando la calculadora (Sígase el primer ejemplo). ¿Cuál es, de todas ellas, la 
mejor aproximación de ? 
 
 
Aproximación 
de  
Aproximación 
decimal (a la 
cienmillonésima) 
Error 
absoluto 
a 
Error relativo 
r 
 Antiguo Egipto 
(1800 a.C.) 
4
3
4






 
3,16049383 0,018901… 0,006016… 
 Babilonia 
(@ 2000 a.C.) 
25
8
 
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G
R
E
C
IA
 Arquímedes 
(s. III a.C.) 
223
71 
 
Ptolomeo 
(s. II d.C.) 120
377
 
 
C
H
IN
A
 
Zhang Heng 
(78-139) 
736
232
 o 10
 
 
Wang-Fang 
(217-257) 
142
45 
 
Zu Chong Zhi 
(429-500) 113
355
 
 
IN
D
IA
 
Bhashkara II 
(1114-1185) 
3917
1250 
 
S. Ramanujan 
(1887-1920) 
2
2
4
19
9
22

 
3,141592654 
¿Algún día se podrá encontrar una fracción de enteros exactamente igual a ? 
 
 
 
6. Como muy bien sabemos, los números  o 3 son irracionales, es decir, no pueden ser expresados de 
manera exacta como un cociente de números enteros; ahora bien, los matemáticos babilonios, egipcios y 
griegos manejaban aproximaciones bastante precisas, como por ejemplo: 
 
)Ptolomeo(
120
377
120
17
3 
 
 
)odesconocid(32 
 
)Arquímedes(:mejory
780
1351
33,
153
265
33 
 
 Comprobar la precisión de dichas aproximaciones e indicar el error cometido. 
 
 
 
 
 
 
 
 
7. El sabio griego Eratóstenes (siglo III a.C.) fue capaz de obtener un valor del radio de la Tierra de 6548 km. 
Hallar el error cometido, teniendo en cuenta que el valor real es 6378 km. (Soluc:  2,67 %) 
 3º ESO Académicas 
ALFONSO GONZÁLEZ 
I.E.S. FERNANDO DE MENA. DPTO. DE MATEMÁTICAS 
 
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CUADRO-RESUMEN de RADICALES 
 
 Definición de raíz n-ésima: a xxa nn  
 Consecuencia: nn x x , y también  nn x x ¬ simplificacion sencilla 
 Equivalencia con una potencia de exponente fraccionario: m/nn m xx  
 Simplificación de radicales/índice común: n mpn pm xx   
 5 Propiedades de las raíces:  n n na ꞏ b aꞏb 
  
n
n
n
a a
bb
 
    n mm n aa  
  mꞏnm n aa  
  n nn ꞏaxa xꞏ  ¬ Introducir/extraer factores