Clase 3 - Inferencia Estadística

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Inferencia Estad́ıstica
Lućıa Babino
Universidad Torcuato Di Tella
1 / 21
Repaso de LGN
2 / 21
LGN
Ley de los grandes números
Sea X1, . . . , Xn, . . . una sucesión de v.a. i.i.d. con E (X1) = µ ⇒
Xn
p−→ µ
es decir,
P
(∣∣Xn − µ∣∣ > ϵ) −→
n→∞
0 ∀ϵ > 0
¿Qué significa y por qué vale?
3 / 21
LGN
Ley de los grandes números
Sea X1, . . . , Xn, . . . una sucesión de v.a. i.i.d. con E (X1) = µ ⇒
Xn
p−→ µ
es decir,
P
(∣∣Xn − µ∣∣ > ϵ) −→
n→∞
0 ∀ϵ > 0
¿Qué significa y por qué vale?
3 / 21
LGN
Ley de los grandes números
Sea X1, . . . , Xn, . . . una sucesión de v.a. i.i.d. con E (X1) = µ ⇒
Xn
p−→ µ
es decir,
P
(∣∣Xn − µ∣∣ > ϵ) −→
n→∞
0 ∀ϵ > 0
¿Qué significa y por qué vale?
3 / 21
Intuición
Ejemplo: Distribución de Xn con X1, . . . , Xn ∼ Be(12) i.i.d.
Si X1, . . . , Xn son i.i.d. con E(X1) = µ y V(X1) = σ2 ⇒
E(Xn) = µ
V(Xn) = σ
2
n
4 / 21
Intuición
Ejemplo: Distribución de Xn con X1, . . . , Xn ∼ Be(12) i.i.d.
Si X1, . . . , Xn son i.i.d. con E(X1) = µ y V(X1) = σ2 ⇒
E(Xn) = µ
V(Xn) = σ
2
n
4 / 21
Algunas desigualdades y
demostración de LGN
5 / 21
Desigualdad de Markov
Teorema
Sea X una v.a. no negativa (X ≥ 0) tal que E (X) existe.
Entonces, para cualquier ϵ > 0,
P (X > ϵ) ≤ E (X)
ϵ
Proof.
Supongamos que X es una v.a. continua (el caso discreto es
análogo). Como X ≥ 0,
E (X) =
∫ +∞
0
xfX(x)dx =
∫ ϵ
0
xfX(x)︸ ︷︷ ︸
≥0
dx+
∫ +∞
ϵ
xfX(x)dx
≥
∫ +∞
ϵ
xfX(x)dx ≥ ϵ
∫ +∞
ϵ
fX(x)dx = ϵP (X > ϵ)
6 / 21
Desigualdad de Markov
Teorema
Sea X una v.a. no negativa (X ≥ 0) tal que E (X) existe.
Entonces, para cualquier ϵ > 0,
P (X > ϵ) ≤ E (X)
ϵ
Proof.
Supongamos que X es una v.a. continua (el caso discreto es
análogo). Como X ≥ 0,
E (X) =
∫ +∞
0
xfX(x)dx
=
∫ ϵ
0
xfX(x)︸ ︷︷ ︸
≥0
dx+
∫ +∞
ϵ
xfX(x)dx
≥
∫ +∞
ϵ
xfX(x)dx ≥ ϵ
∫ +∞
ϵ
fX(x)dx = ϵP (X > ϵ)
6 / 21
Desigualdad de Markov
Teorema
Sea X una v.a. no negativa (X ≥ 0) tal que E (X) existe.
Entonces, para cualquier ϵ > 0,
P (X > ϵ) ≤ E (X)
ϵ
Proof.
Supongamos que X es una v.a. continua (el caso discreto es
análogo). Como X ≥ 0,
E (X) =
∫ +∞
0
xfX(x)dx =
∫ ϵ
0
xfX(x)︸ ︷︷ ︸
≥0
dx+
∫ +∞
ϵ
xfX(x)dx
≥
∫ +∞
ϵ
xfX(x)dx ≥ ϵ
∫ +∞
ϵ
fX(x)dx = ϵP (X > ϵ)
6 / 21
Desigualdad de Markov
Teorema
Sea X una v.a. no negativa (X ≥ 0) tal que E (X) existe.
Entonces, para cualquier ϵ > 0,
P (X > ϵ) ≤ E (X)
ϵ
Proof.
Supongamos que X es una v.a. continua (el caso discreto es
análogo). Como X ≥ 0,
E (X) =
∫ +∞
0
xfX(x)dx =
∫ ϵ
0
xfX(x)︸ ︷︷ ︸
≥0
dx+
∫ +∞
ϵ
xfX(x)dx
≥
∫ +∞
ϵ
xfX(x)dx
≥ ϵ
∫ +∞
ϵ
fX(x)dx = ϵP (X > ϵ)
6 / 21
Desigualdad de Markov
Teorema
Sea X una v.a. no negativa (X ≥ 0) tal que E (X) existe.
Entonces, para cualquier ϵ > 0,
P (X > ϵ) ≤ E (X)
ϵ
Proof.
Supongamos que X es una v.a. continua (el caso discreto es
análogo). Como X ≥ 0,
E (X) =
∫ +∞
0
xfX(x)dx =
∫ ϵ
0
xfX(x)︸ ︷︷ ︸
≥0
dx+
∫ +∞
ϵ
xfX(x)dx
≥
∫ +∞
ϵ
xfX(x)dx ≥ ϵ
∫ +∞
ϵ
fX(x)dx
= ϵP (X > ϵ)
6 / 21
Desigualdad de Markov
Teorema
Sea X una v.a. no negativa (X ≥ 0) tal que E (X) existe.
Entonces, para cualquier ϵ > 0,
P (X > ϵ) ≤ E (X)
ϵ
Proof.
Supongamos que X es una v.a. continua (el caso discreto es
análogo). Como X ≥ 0,
E (X) =
∫ +∞
0
xfX(x)dx =
∫ ϵ
0
xfX(x)︸ ︷︷ ︸
≥0
dx+
∫ +∞
ϵ
xfX(x)dx
≥
∫ +∞
ϵ
xfX(x)dx ≥ ϵ
∫ +∞
ϵ
fX(x)dx = ϵP (X > ϵ)
6 / 21
Desigualdad de Chebyshev
Teorema
Sea X una v.a. tal que E (X) = µ y V (X) = σ2 es finita.
Entonces, para cualquier ϵ > 0,
P (|X − µ| > ϵ) ≤ σ
2
ϵ2
Proof.
P (|X − µ| > ϵ) = P
(
(X − µ)2 > ϵ2
)
= P
(
Y > ϵ2
)︸ ︷︷ ︸
conY=(X−µ)2
≤ E (Y )
ϵ2
=
E
[
(X − µ)2
]
ϵ2
=
V (X)
ϵ2
(la desigualdad vale por Markov pues Y ≥ 0)
7 / 21
Desigualdad de Chebyshev
Teorema
Sea X una v.a. tal que E (X) = µ y V (X) = σ2 es finita.
Entonces, para cualquier ϵ > 0,
P (|X − µ| > ϵ) ≤ σ
2
ϵ2
Proof.
P (|X − µ| > ϵ) =
P
(
(X − µ)2 > ϵ2
)
= P
(
Y > ϵ2
)︸ ︷︷ ︸
conY=(X−µ)2
≤ E (Y )
ϵ2
=
E
[
(X − µ)2
]
ϵ2
=
V (X)
ϵ2
(la desigualdad vale por Markov pues Y ≥ 0)
7 / 21
Desigualdad de Chebyshev
Teorema
Sea X una v.a. tal que E (X) = µ y V (X) = σ2 es finita.
Entonces, para cualquier ϵ > 0,
P (|X − µ| > ϵ) ≤ σ
2
ϵ2
Proof.
P (|X − µ| > ϵ) = P
(
(X − µ)2 > ϵ2
)
=
P
(
Y > ϵ2
)︸ ︷︷ ︸
conY=(X−µ)2
≤ E (Y )
ϵ2
=
E
[
(X − µ)2
]
ϵ2
=
V (X)
ϵ2
(la desigualdad vale por Markov pues Y ≥ 0)
7 / 21
Desigualdad de Chebyshev
Teorema
Sea X una v.a. tal que E (X) = µ y V (X) = σ2 es finita.
Entonces, para cualquier ϵ > 0,
P (|X − µ| > ϵ) ≤ σ
2
ϵ2
Proof.
P (|X − µ| > ϵ) = P
(
(X − µ)2 > ϵ2
)
= P
(
Y > ϵ2
)︸ ︷︷ ︸
conY=(X−µ)2
≤ E (Y )
ϵ2
=
E
[
(X − µ)2
]
ϵ2
=
V (X)
ϵ2
(la desigualdad vale por Markov pues Y ≥ 0)
7 / 21
Desigualdad de Chebyshev
Teorema
Sea X una v.a. tal que E (X) = µ y V (X) = σ2 es finita.
Entonces, para cualquier ϵ > 0,
P (|X − µ| > ϵ) ≤ σ
2
ϵ2
Proof.
P (|X − µ| > ϵ) = P
(
(X − µ)2 > ϵ2
)
= P
(
Y > ϵ2
)︸ ︷︷ ︸
conY=(X−µ)2
≤ E (Y )
ϵ2
=
E
[
(X − µ)2
]
ϵ2
=
V (X)
ϵ2
(la desigualdad vale por Markov pues Y ≥ 0)
7 / 21
Desigualdad de Chebyshev
Teorema
Sea X una v.a. tal que E (X) = µ y V (X) = σ2 es finita.
Entonces, para cualquier ϵ > 0,
P (|X − µ| > ϵ) ≤ σ
2
ϵ2
Proof.
P (|X − µ| > ϵ) = P
(
(X − µ)2 > ϵ2
)
= P
(
Y > ϵ2
)︸ ︷︷ ︸
conY=(X−µ)2
≤ E (Y )
ϵ2
=
E
[
(X − µ)2
]
ϵ2
=
V (X)
ϵ2
(la desigualdad vale por Markov pues Y ≥ 0)
7 / 21
Desigualdad de Chebyshev
Teorema
Sea X una v.a. tal que E (X) = µ y V (X) = σ2 es finita.
Entonces, para cualquier ϵ > 0,
P (|X − µ| > ϵ) ≤ σ
2
ϵ2
Proof.
P (|X − µ| > ϵ) = P
(
(X − µ)2 > ϵ2
)
= P
(
Y > ϵ2
)︸ ︷︷ ︸
conY=(X−µ)2
≤ E (Y )
ϵ2
=
E
[
(X − µ)2
]
ϵ2
=
V (X)
ϵ2
(la desigualdad vale por Markov pues Y ≥ 0)
7 / 21
Ejemplo
Sea X ∼ U(0, 10)
P (|X − 5| > 4)
P (|X − 5| > 1)
8 / 21
Ejemplo
Sea X ∼ U(0, 10)
P (|X − 5| > 4)
P (|X − 5| > 1)
8 / 21
Ejemplo
Sea X ∼ U(0, 10)
P (|X − 5| > 4)
P (|X − 5| > 1)
8 / 21
Regla normal: X ∼ N (µ, σ2)
P (|X − µ| > σ) ≈ 0.32
P (|X − µ| > 2σ) ≈ 0.05
P (|X − µ| > 3σ) ≈ 0.003
9 / 21
Regla normal: X ∼ N (µ, σ2)
P (|X − µ| > σ) ≈ 0.32
P (|X − µ| > 2σ) ≈ 0.05
P (|X − µ| > 3σ) ≈ 0.003
9 / 21
Desigualdad de Chebyshev: formulación alternativa
Teorema
Sea X una v.a. tal que E (X) = µ y V (X) = σ2 es finita.
Entonces, para cualquier ϵ > 0,
P (|X − µ| > ϵ) ≤ σ
2
ϵ2
Teorema
Sea X una v.a. tal que E (X) = µ y V (X) = σ2 es finita.
Entonces, para cualquier k > 0,
P (|X − µ| > kσ) ≤ 1
k2
10 / 21
Desigualdad de Chebyshev: formulación alternativa
Teorema
Sea X una v.a. tal que E (X) = µ y V (X) = σ2 es finita.
Entonces, para cualquier ϵ > 0,
P (|X − µ| > ϵ) ≤ σ
2
ϵ2
Teorema
Sea X una v.a. tal que E (X) = µ y V (X) = σ2 es finita.
Entonces, para cualquier k > 0,
P (|X − µ| > kσ) ≤ 1
k2
10 / 21
Des. de Chebyshev
P (|X − µ| > σ) ≤ 1
P (|X − µ| > 2σ) ≤ 0.25
P (|X − µ| > 3σ) ≤ 0.11
Mundo normal
P (|X − µ| > σ) ≈ 0.32
P (|X − µ| > 2σ) ≈ 0.05
P (|X − µ| > 3σ) ≈ 0.003
11 / 21
Des. de Chebyshev
P (|X − µ| > σ) ≤ 1
P (|X − µ| > 2σ) ≤ 0.25
P (|X − µ| > 3σ) ≤ 0.11
Mundo normal
P (|X − µ| > σ) ≈ 0.32
P (|X − µ| > 2σ) ≈ 0.05
P (|X − µ| > 3σ) ≈ 0.003
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Demostración de LGN
Ley de los grandes números
Sean X1, . . . , Xn, . . . v.a. i.i.d. con E (X1) = µ ⇒
P
(∣∣Xn − µ∣∣ > ϵ) −→
n→∞
0 ∀ϵ > 0
Desigualdad de Chebyshev
Sea X v.a. con E (X) = µ y V (X) = σ2 < ∞ ⇒
P (|X − µ| > ϵ) ≤ σ
2
ϵ2
∀ϵ > 0
12 / 21
Demostración de LGN
Ley de los grandes números
Sean X1, . . . , Xn, . . . v.a. i.i.d. con E (X1) = µ ⇒
P
(∣∣Xn − µ∣∣ > ϵ) −→
n→∞
0 ∀ϵ > 0
Desigualdad de Chebyshev
Sea X v.a. con E (X) = µ y V (X) = σ2 < ∞ ⇒
P (|X − µ| > ϵ) ≤ σ
2
ϵ2
∀ϵ > 0
12 / 21
LGN:
P
(∣∣Xn − µ∣∣ < ϵ) −→
n→∞
1 ∀ϵ > 0
“Xn está cerca de µ con probabilidad alta (si n es grande)”
Pero, ¿cuán cerca? ¿con qué probabilidad?
Fundamental para cuantificar la incertidumbre de mi
estimación.
Necesitamos conocer la distribución muestral del estimador
(i.e., la distribución de Xn).
13 / 21
LGN:
P
(∣∣Xn − µ∣∣ < ϵ) −→
n→∞
1 ∀ϵ > 0
“Xnestá cerca de µ con probabilidad alta (si n es grande)”
Pero, ¿cuán cerca? ¿con qué probabilidad?
Fundamental para cuantificar la incertidumbre de mi
estimación.
Necesitamos conocer la distribución muestral del estimador
(i.e., la distribución de Xn).
13 / 21
LGN:
P
(∣∣Xn − µ∣∣ < ϵ) −→
n→∞
1 ∀ϵ > 0
“Xn está cerca de µ con probabilidad alta (si n es grande)”
Pero, ¿cuán cerca? ¿con qué probabilidad?
Fundamental para cuantificar la incertidumbre de mi
estimación.
Necesitamos conocer la distribución muestral del estimador
(i.e., la distribución de Xn).
13 / 21
LGN:
P
(∣∣Xn − µ∣∣ < ϵ) −→
n→∞
1 ∀ϵ > 0
“Xn está cerca de µ con probabilidad alta (si n es grande)”
Pero, ¿cuán cerca? ¿con qué probabilidad?
Fundamental para cuantificar la incertidumbre de mi
estimación.
Necesitamos conocer la distribución muestral del estimador
(i.e., la distribución de Xn).
13 / 21
LGN:
P
(∣∣Xn − µ∣∣ < ϵ) −→
n→∞
1 ∀ϵ > 0
“Xn está cerca de µ con probabilidad alta (si n es grande)”
Pero, ¿cuán cerca? ¿con qué probabilidad?
Fundamental para cuantificar la incertidumbre de mi
estimación.
Necesitamos conocer la distribución muestral del estimador
(i.e., la distribución de Xn).
13 / 21
LGN:
P
(∣∣Xn − µ∣∣ < ϵ) −→
n→∞
1 ∀ϵ > 0
“Xn está cerca de µ con probabilidad alta (si n es grande)”
Pero, ¿cuán cerca? ¿con qué probabilidad?
Fundamental para cuantificar la incertidumbre de mi
estimación.
Necesitamos conocer la distribución muestral del estimador
(i.e., la distribución de Xn).
13 / 21
Teorema Central del Ĺımite
14 / 21
Teorema Central del Ĺımite
Teorema
Sean X1, . . . , Xn, . . . i.i.d. c/ E (X1) = µ y V (X1) = σ
2 ⇒
Zn =
Xn − µ√
σ2/n
≈ N (0, 1) para n “grande”.
Es decir,
P (Zn ≤ z) −→
n→∞
P (Z ≤ z) con Z ∼ N (0, 1) ∀z ∈ R
Dem.: Wasserman, sec. 5.7.2 (fuera del alcance del curso).
Definición
Notaremos Φ(z) = P (Z ≤ z) = FZ(z) con Z ∼ N (0, 1)
15 / 21
Teorema Central del Ĺımite
Teorema
Sean X1, . . . , Xn, . . . i.i.d. c/ E (X1) = µ y V (X1) = σ
2 ⇒
Zn =
Xn − µ√
σ2/n
≈ N (0, 1) para n “grande”.
Es decir,
P (Zn ≤ z) −→
n→∞
P (Z ≤ z) con Z ∼ N (0, 1) ∀z ∈ R
Dem.: Wasserman, sec. 5.7.2 (fuera del alcance del curso).
Definición
Notaremos Φ(z) = P (Z ≤ z) = FZ(z) con Z ∼ N (0, 1)
15 / 21
Teorema Central del Ĺımite
Teorema
Sean X1, . . . , Xn, . . . i.i.d. c/ E (X1) = µ y V (X1) = σ
2 ⇒
Zn =
Xn − µ√
σ2/n
≈ N (0, 1) para n “grande”.
Es decir,
P (Zn ≤ z) −→
n→∞
P (Z ≤ z) con Z ∼ N (0, 1) ∀z ∈ R
Dem.: Wasserman, sec. 5.7.2 (fuera del alcance del curso).
Definición
Notaremos Φ(z) = P (Z ≤ z) = FZ(z) con Z ∼ N (0, 1)
15 / 21
Teorema Central del Ĺımite
Teorema
Sean X1, . . . , Xn, . . . i.i.d. c/ E (X1) = µ y V (X1) = σ
2 ⇒
Zn =
Xn − µ√
σ2/n
≈ N (0, 1) para n “grande”.
Es decir,
P (Zn ≤ z) −→
n→∞
P (Z ≤ z) con Z ∼ N (0, 1) ∀z ∈ R
Dem.: Wasserman, sec. 5.7.2 (fuera del alcance del curso).
Definición
Notaremos Φ(z) = P (Z ≤ z) = FZ(z) con Z ∼ N (0, 1)
15 / 21
Teorema Central del Ĺımite
Teorema
Sean X1, . . . , Xn, . . . i.i.d. c/ E (X1) = µ y V (X1) = σ
2 ⇒
Zn =
Xn − µ√
σ2/n
≈ N (0, 1) para n “grande”.
Es decir,
P (Zn ≤ z) −→
n→∞
Φ(z) ∀z ∈ R
Informalmente diremos que
“
Xn − µ√
σ2/n
es asintótica(o aproximada)mente N (0, 1)”
16 / 21
Teorema Central del Ĺımite
Teorema
Sean X1, . . . , Xn, . . . i.i.d. c/ E (X1) = µ y V (X1) = σ
2 ⇒
Zn =
Xn − µ√
σ2/n
≈ N (0, 1) para n “grande”.
Es decir,
P (Zn ≤ z) −→
n→∞
Φ(z) ∀z ∈ R
Informalmente diremos que
“
Xn − µ√
σ2/n
es asintótica(o aproximada)mente N (0, 1)”
16 / 21
Teorema Central del Ĺımite - formulaciones equivalentes
Sean X1, . . . , Xn, . . . i.i.d. c/ E (X1) = µ y V (X1) = σ
2 ⇒
Xn − µ√
σ2/n
≈ N (0, 1)
entonces
Xn ≈ N (µ,
σ2
n
)
Sn =
n∑
i=1
Xi ≈ N (nµ, nσ2)
Sn − nµ√
nσ2
≈ N (0, 1).
17 / 21
Teorema Central del Ĺımite - formulaciones equivalentes
Sean X1, . . . , Xn, . . . i.i.d. c/ E (X1) = µ y V (X1) = σ
2 ⇒
Xn − µ√
σ2/n
≈ N (0, 1)
entonces
Xn ≈ N (µ,
σ2
n
)
Sn =
n∑
i=1
Xi ≈ N (nµ, nσ2)
Sn − nµ√
nσ2
≈ N (0, 1).
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Teorema Central del Ĺımite - formulaciones equivalentes
Sean X1, . . . , Xn, . . . i.i.d. c/ E (X1) = µ y V (X1) = σ
2 ⇒
Xn − µ√
σ2/n
≈ N (0, 1)
entonces
Xn ≈ N (µ,
σ2
n
)
Sn =
n∑
i=1
Xi ≈ N (nµ, nσ2)
Sn − nµ√
nσ2
≈ N (0, 1).
17 / 21
Teorema Central del Ĺımite - formulaciones equivalentes
Sean X1, . . . , Xn, . . . i.i.d. c/ E (X1) = µ y V (X1) = σ
2 ⇒
Xn − µ√
σ2/n
≈ N (0, 1)
entonces
Xn ≈ N (µ,
σ2
n
)
Sn =
n∑
i=1
Xi ≈ N (nµ, nσ2)
Sn − nµ√
nσ2
≈ N (0, 1).
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Ejemplo moneda
Pedro tira una moneda balanceada cada d́ıa y registra si salió
cara o seca.
Para i = 1, 2, ... definamos
Xi =
{
1 si en el i-ésimo tiro salió cara
0 si en el i-ésimo tiro salió seca
X1, . . . , Xn ∼ Be(12) i.i.d.
Xn = proporción de caras luego de n d́ıas (lanzamientos).
LGN: Xn
p−→ µ
TCL: Xn ≈ N (µ, σ
2
n )
18 / 21
Ejemplo moneda
Pedro tira una moneda balanceada cada d́ıa y registra si salió
cara o seca.
Para i = 1, 2, ... definamos
Xi =
{
1 si en el i-ésimo tiro salió cara
0 si en el i-ésimo tiro salió seca
X1, . . . , Xn ∼ Be(12) i.i.d.
Xn = proporción de caras luego de n d́ıas (lanzamientos).
LGN: Xn
p−→ µ
TCL: Xn ≈ N (µ, σ
2
n )
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Ejemplo moneda
Pedro tira una moneda balanceada cada d́ıa y registra si salió
cara o seca.
Para i = 1, 2, ... definamos
Xi =
{
1 si en el i-ésimo tiro salió cara
0 si en el i-ésimo tiro salió seca
X1, . . . , Xn ∼ Be(12) i.i.d.
Xn = proporción de caras luego de n d́ıas (lanzamientos).
LGN: Xn
p−→ µ
TCL: Xn ≈ N (µ, σ
2
n )
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Ejemplo moneda
Pedro tira una moneda balanceada cada d́ıa y registra si salió
cara o seca.
Para i = 1, 2, ... definamos
Xi =
{
1 si en el i-ésimo tiro salió cara
0 si en el i-ésimo tiro salió seca
X1, . . . , Xn ∼ Be(12) i.i.d.
Xn = proporción de caras luego de n d́ıas (lanzamientos).
LGN: Xn
p−→ µ
TCL: Xn ≈ N (µ, σ
2
n )
18 / 21
Ejemplo moneda
Pedro tira una moneda balanceada cada d́ıa y registra si salió
cara o seca.
Para i = 1, 2, ... definamos
Xi =
{
1 si en el i-ésimo tiro salió cara
0 si en el i-ésimo tiro salió seca
X1, . . . , Xn ∼ Be(12) i.i.d.
Xn = proporción de caras luego de n d́ıas (lanzamientos).
LGN: Xn
p−→ µ
TCL: Xn ≈ N (µ, σ
2
n )
18 / 21
Ejemplo moneda
Pedro tira una moneda balanceada cada d́ıa y registra si salió
cara o seca.
Para i = 1, 2, ... definamos
Xi =
{
1 si en el i-ésimo tiro salió cara
0 si en el i-ésimo tiro salió seca
X1, . . . , Xn ∼ Be(12) i.i.d.
Xn = proporción de caras luego de n d́ıas (lanzamientos).
LGN: Xn
p−→ µ
TCL: Xn ≈ N (µ, σ
2
n )
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Distribución de Xn con X1, . . . , Xn ∼ Be(12) i.i.d.
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Pregunta del millón
¿Cuán grande debe ser n para que valga el TCL?
Depende
Regla del almacenero: n ≥ 30
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Pregunta del millón
¿Cuán grande debe ser n para que valga el TCL?
Depende
Regla del almacenero: n ≥ 30
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Pregunta del millón
¿Cuán grande debe ser n para que valga el TCL?
Depende
Regla del almacenero: n ≥ 30
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Más ejemplos
Figure: Distribución de Xn para distribución
a) Discreta b) Uniforme c) Exponencial.
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