INTRODUCCION A LA CONTABILIDAD Y FINANZAS (21)

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Reglas de Decisión 
Para Invertir
UNIDAD IV
Valor Tiempo
del Dinero
Tasas
de Interés
¿Qué inversión es más atractiva?
- Un flujo de dinero negativo es un pago que
el agente realiza.
- Un flujo de dinero positivo es un pago que el
agente recibe
Año 0 1 2
Inversión A -1.000 1.100
Inversión B -1.000 1.100
Evaluemos inversiones desde el punto de vista de un agente
económico que realiza o recibe pagos.
¿Por qué nos importa el timing de los cash flows?
No es lo mismo recibir $ 1.100 hoy que en un año.
¿Por qué? 
1. Consumirlos hoy nos hace mas felices que esperar
hasta dentro de un año (Preferencias de Consumo).
2. La promesa de recibir fondos en un año es riesgosa,
quizás no llegue a cobrarse nada (Incertidumbre).
3. En general, $1.100 en un año tienen menos capacidad
de compra que $1.100 hoy (Inflación).
Valor Tiempo del Dinero
- La tasa de interés es el costo de diferir un pago en
el tiempo.
- Si en vez de recibir $ 1.100 pesos hoy, se acepta
esperar un año más, se requerirá más dinero a
futuro.
- Esta cantidad adicional depende de la tasa de
interés.
- La magnitud de la tasa de interés depende de todos
los motivos enumerados en el slide anterior
Tasa de Interés
PV
Tasa de interés: r
Valor Presente: PV
Valor Futuro: FV
Horizonte: T
FV = PV (1+r)
T=0 T=1
Dinero hoy equivale a una
mayor cantidad (nominal)
en el futuro.
Equivalencia Temporal de Flujos: Capitalización
Ejemplo:
r= 10%, PV = 100
FV = 100 (1 + 0,10) = 110
Para dos años:
r = 10%, T=2, PV=100, FV(T=2)=?
FVt=1 = PV (1+r)
FVt=1 = 100 (1+0,10)
FVt=1 = 110
PV = 100
T=0 T=1 T=2
FVt=2 = PV (1+r) (1+r)
FVt=2 = PV (1+r)
2
FVt=2 = 100 (1+0,10)
2
FVt=2 = 121
FVt=1
En general: (1+r)n Factor de Capitalización
Invertimos $100 por 10 años al
10% anual.
Interés Simple:
FV = 100 + 0,10 x 100 x 10 = $200
Interés compuesto
FV = 100 (1+0.10)10 = $259.37
La forma de acumular intereses expuesta en el slide anterior
se conoce como interés compuesto (compounding). Bajo esta
modalidad, los intereses ganados en un período se capitalizan
sucesivamente.
Interés Simple – Interés Compuesto
Años Interés Simple Interés Compuesto
0 100 100
1 110 110
2 120 121
3 130 133
4 140 146
5 150 161
6 160 177
7 170 195
8 180 214
9 190 236
10 200 259
Interés Simple vs. Interés Compuesto
0
50
100
150
200
250
300
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Años
Pe
so
s
Interés Simple
Interés Compuesto
Hasta ahora asumimos pagos de intereses anuales. Sin
embargo, los intereses pueden capitalizarse más
frecuentemente.
Supongamos que invertimos $1 a la tasa nominal anual “rN”
con capitalización semestral.
0 1 2 3 2t
FV1=PV (1+rN(2)/2)PV FV2=PV (1+rN(2)/2)
2 FV3=PV (1+rN(2)/2)
3 FV2t=PV (1+rN(2)/2)
2t
2t semestres corresponden a t años.
rN(2): tasa nominal anual con capitalización semestral.
rN(2)/2=rE(2)
rE(2) : tasa efectiva semestral
semestressemestressemestres
Períodos de Capitalización
Invertimos $100 en un plazo fijo a un año con una tasa
nominal anual del 10% con capitalización semestral.
rN(2) = 10%.
FV = 100 (1 + 0,10/2)2
FV = 100 (1+0,05)2 = $110.25
Notar que con capitalización semestral obtenemos un
importe mayor que con capitalización anual.
❑ El interés efectivo fue 10.25% (tasa efectiva anual).
❑ ¿Será el interés efectivo mayor si la capitalización es
trimestral?
Ejemplo: capitalización semestral.
Invertimos $100 en un plazo fijo a un año con una tasa
nominal anual del 10% con capitalización trimestral.
rN(4) = 10%
FV = 100 (1 + 0,10/4)4
FV = 100 (1+0,025)4 = $110.38
❑ El interés efectivo fue 10.38% (tasa efectiva anual).
Ejemplo: capitalización trimestral.
- Con capitalización continua la acumulación de intereses
se realiza a cada instante.
- Dada una tasa nominal anual, es el límite máximo al que
puede crecer un peso invertido por un año.
- El valor futuro de $PV invertido t años al r% con
capitalización continua es:
𝑭𝑽 = 𝐥𝐢𝐦
𝒌→∞
𝑷𝑽 𝟏 +
𝒓𝑵
𝒌
𝒌𝒕
= 𝑷𝑽𝒆𝒓𝑵𝒕
Donde 𝑟𝑁 es la tasa nominal de crecimiento de PV, t se
mide en años y k es el número de veces que capitaliza al
año.
Capitalización Continua
- Tasa nominal anual (TNA, rN): tasa anualizada
correspondiente a una capitalización específica (k). No
refleja el retorno total a lo largo del año.
- Tasa efectiva anual equivalente (TEA, rE): toma en
cuenta la capitalización y refleja el retorno total a lo largo
del año.
- Fórmula del valor futuro a un año de una inversión:
Donde 𝑘 es la cantidad de períodos en un año, 𝑟𝑁 la tasa nominal
anual y 𝑟𝐸 la tasa efectiva anual. Al período k también se lo
denomina m y en un cálculos más precisos se divide al año por la
cantidad de días de capitalización.
- Nótese que 𝑟𝐸 > 𝑟𝑁.
𝑭𝑽 = 𝑷𝑽 𝟏 +
𝒓𝑵
𝒌
𝒌
= 𝑷𝑽 𝟏 + 𝒓𝑬 = 𝑷𝑽 ∗ 𝒆
𝒓𝑵
Equivalencia de Tasas: TNA - TEA
Ejemplo: 
Calcular la TEA de un depósito a Plazo Fijo que se capitaliza
cada 60 días en un año. La TNA es del 75%.
n = 1 (un año)
k = m = 365/60
rN= 75%
(1 + rN/m)
m = (1 + rE)
(1 + 0,75 /365/60) 356/60 = (1 + rE)
rE = (1 + 0,75 /365/60)
356/60 – 1
rE = 1,028399 = 102,84%
FV = PV (1+r)
Tasa de interés: r
Valor presente: PV
Valor Futuro: FV
Horizonte: T
T=0 T=1
Equivalencia Temporal de Flujos: Descuento
PV = FV 1/(1+r)
En general: 1/(1+r)n Factor de Descuento o Actualización
FV = PV (1+r)
FV = 100
Tasa de interés: 10%
Valor presente: ?
Valor Futuro: 100
Horizonte: 1
PV = FV/(1+r)
PV = 100/(1+0,10)
PV = 90.91
T=0 T=1
$90.91 es lo que hay que
invertir hoy a una tasa
del 10% para tener $100
en T = 1.
Ejemplo: 
Algo bueno que tienen los valores presentes es que se
expresan en pesos de hoy, de modo que es posible
acumularlos.
En otras palabras, el valor presente de un flujo de efectivo
(A + B) es igual al valor presente del flujo A más el valor
presente del flujo B. En general:
VP (α F1 + β F2) = α VP (F1) + β VP( F2)
Múltiples Períodos
Ejemplo:
Supongamos que se ofrece una inversión que genera dos
flujos de efectivo, uno de $100 en el año 1 y otro de $200
en el año 2. La tasa de interés a un año es del 7%, mientras
que la de dos años es de 7,7%. ¿Cuál es el Valor Presente de
los flujos?
Valor Presente de Algunos Cash Flows Particulares
Características:
- Duración infinita.
- Valor constante.
- Periodicidad constante.
Perpetuidad
𝑽𝑷 =
𝑨
𝒓
Se puede demostrar que el Valor presente se calcula de la
siguiente manera:
Características:
- Duración infinita.
- Valor creciente a ritmo 
constante.
- Periodicidad constante.
Perpetuidad con Crecimiento
𝑽𝑷 =
𝑨
𝒓 − 𝒈
Se puede demostrar que el Valor presente se calcula de la
siguiente manera:
Características:
- Duración finita.
- Valor constante.
- Periodicidad constante.
Anualidad
𝑽𝑷 =
𝑨
𝒓
−
ൗ𝑨 𝒓
𝟏 + 𝒓 𝑵
=
𝑨
𝒓
(𝟏 −
𝟏
𝟏 + 𝒓 𝑵
)
El Valor Presente puede calcularse como la diferencia entre
dos perpetuidades :
Usualmente la tasas de descuento (o de interés) se expresan
nominalmente.
La tasa de interés real da cuenta del crecimiento del poder
de compra del capital, tomando en cuenta la inflación.
La tasa de inflación f mide el crecimiento de los precios.
Si A(t) es el precio en pesos de una cesta de consumo:
A(T=1) = A(T=0) (1+f)
Tasas Nominales y Reales
La tasa de interés real R esta dada por
1+R = (1+r) / (1+f) 
Si f = r, R = 0
Si f > r, R < 0
Si f < r, R > 0 
Cuando r y f son pequeños y similares, R es aproximadamente
r-f.
Los análisis de cash flows deben hacerse sin mezclar tasas
reales y nominales.