Orbitas_periodicas_en_el_Sistema_Solar

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ÓRBITAS PERIÓDICAS EN EL SISTEMA SOLAR: 
EL MOVIMIENTO DE LOS PLANETAS ALREDEDOR DEL SOL 
 
Rosa María Herrera 
e-mail: rosam.herrera@telefonica.net 
 
を […] ｠Si Tycho avait eu des instruments dix fois plus précis, il n’y aurait 
jamais eu ni Képler, ni Newton, ni Astronomie. C’est un malheur pour une 
science de prendre naissance trop tard, quand les moyens d’observation sont 
devenus trop parfaits. […] H. Poincaré 】La science et l‒hypothèse‒ 
 
RESUMEN. La determinación de las órbitas en que viven los objetos naturales que pueblan 
el Sistema Solar es un asunto capital para comprender el sistema planetario y también para 
buscar caminos interplanetarios viables para los pequeños ingenios que los seres humanos 
construimos. Este trabajo se centra en las órbitas periódicas que trazan los planetas y sus 
satélites que son unas soluciones de una ecuación del movimiento. 
 
INTRODUCCIÓN: LA MECÁNICA CELESTE 
La Mecánica Celeste, que es una ciencia veterana mas siempre jovial, se ocupa 
tradicionalmente de la tarea de estudiar matemáticamente (y también físicamente) la 
dinámica del Sistema Solar. La Astrodinámica y la Astronáutica que son disciplinas más 
recientes son conocimientos también acomodados en la frontera de la Física y la 
Matemática. 
La tenue línea que separa estos dos grandes pilares del conocimiento humano a veces 
resulta tan débil, que su discernimiento es costoso, algo ficticio y, en ocasiones, poco útil. 
Sin embargo, una mirada fina sobre estas ciencias sabe encontrar las sutiles –o grandes, a 
veces- diferencias de pensamiento, de lenguaje, de enfoque y de prioridades, o dicho de 
otra manera, de mirada (o de estado de espíritu) de las dos. 
La Matemática, como modo de pensamiento, a veces se inspira y evoluciona gracias al 
conocimiento de la naturaleza (en el sentido físico de los grandes o pequeños ejemplos 
concretos) y, en numerosas ocasiones, es a su vez punto de partida y anticipación del 
mismo. 
La Física es búsqueda de una explicación coherente de la naturaleza que depende 
enteramente de nuestra capacidad y su método de pensamiento es algo ecléctico, y desleal1 
(todo vale); si bien no hay que olvidar que en las etapas avanzadas del pensamiento físico 
la ｠mayor parteを de las veces (aunque no siempre) este es matemático. 
Como aperitivo la siguiente figura es una representación esquemática de las relaciones que 
se producen entre los conceptos que se utilizan para ｠comprenderを la estructura del 
Sistema Solar, en él se pretende de forma resumida mostrar una panorámica general. 
 
 
1 En el sentido de que sus métodos son menos puristas que los del razonamiento matemático en sentido estricto, por muy 
bueno que sea este, la naturaleza no es sumisa a él en el sentido subyugante del término, y a veces se recurre a 
procedimientos auxiliares no enteramente del gusto del rigor matemático. 
Rosa María Herrera 
 
 
 
 
1. EL PROBLEMA Y ALGUNOS PROTAGONISTAS 
Para empezar es conveniente definir bien el problema y establecer el marco en el que nos 
encontramos, que es un estudio del movimiento en el ambiente de un sistema físico muy 
querido para nosotros, el Sistema Solar. Vamos a ver lo que tenemos. 
En mi opinión, estudiar el cielo supone dos tipos de viaje: 
 uno exterior el de las observaciones y sus conclusiones, 
 otro interior el del estudio, la reflexión y el pensamiento físico-matemático. 
Normalmente es difícil discernirlos, ya que aparecen interrelacionados, y son, por tanto, en 
cierto sentido interdependientes, como una pareja bien avenida, así es que casi siempre el 
llegar a buen puerto en uno de ellos invita a emprender el otro y ambos se retroalimentan. 
Si bien conviene, en ocasiones, poder realizarlos con un poco de distancia y separación. 
Empecemos por el viaje interior, Jürgen Moser2: 
 
 
2 Para evitar redundancias solo aparece la datación una vez, por eso aquellas personalidades con retrato no se datan en el 
texto 
Rosa María Herrera 
 
 
 J. Moser (1928-1999) 
 
dio una definición matemática bonita y precisa de la Mecánica Celeste, y en ella nos vamos 
a instalar, al menos inicialmente. Veamos 
El propósito de la Mecánica Celeste es el estudio de la solución de un sistema de ecuaciones 
diferenciales, llamado el problema de los N- cuerpos. Estos interactúan con un movimiento de 
N masas puntuales en un espacio tridimensional y se atraen entre sí de acuerdo con la ley de 
Gravitación Universal de Newton (G. U.). 
Si xk, k = 1, 2,…, N, denota N vectores tridimensionales que describen la posición de las N 
masas puntuales positivas, mk. Este sistema de ecuaciones diferenciales tiene la forma familiar 
 
2
2
k
k
k
d x U
m
dt x
  (1) 
Donde 
 
1
k l
k l N k l
m m
U
x x  
  (2) 
y k lx x es la distancia euclídea. 
 
Aunque las soluciones a este problema pueden darse explícitamente para N = 2 se sabe muy 
poco si N 3 a pesar de los esfuerzos de muchos astrónomos y matemáticos que se dieron 
cuenta de su importancia crucial. 
Para referirnos a alguno de los viajes al exterior, de partida podríamos citar las 
observaciones de Tycho Brahe (1546-1601), así como los trabajos de Kepler apoyados en 
dichas observaciones. 
 
Rosa María Herrera 
 
 
 J. Kepler (1571-1630) 
 
En sentido estricto, la mayor parte de los viajes realizados por los científicos que aquí se 
tratan son de los dos tipos, así las aportaciones observacionales de Galileo (1564-1642) están 
cargadas de contenido teórico (y casi inevitablemente de ideología), y ni que decir tiene las 
que hicieron Newton 
 Sir. I. Newton (1643-1727) 
 
y los maestros posteriores, Lagrange con su monumental trabajo de la mecánica racional, 
Hamilton que nos proporcionó nuevas herramientas analíticas para perfeccionar el estudio 
del Sistema Solar, Poincaré que abrió otros caminos al iniciar el estudio de diferentes ramas 
Matemáticas que proporcionaron nuevas herramientas y nuevas visiones, el ya citado 
Moser, además de Kolmogorov, Arnold y los matemáticos actuales. 
Rosa María Herrera 
 
 
 
 
J.L. Lagrange J.R. Hamilton H.J. Poincaré 
(1736-1813) (1805-1865) (1854-1912) 
 
 
 
 
A.N. Kolmogorov V.I. Arnold 
(1903-1987) (1937-2010) 
2. AL ABORDAJE 
Aprés la découverte des lois des mouvements planétaires, le génie de Képler ne manqua pas de 
moyens pour determiner, à l’aide des observations, les éléments de chaque planète. Thycho 
”rahé, par lequel l’astronomie d’observartion était arrivée à une hauteur inconnue avant lui, 
avait observé toutes les plenètes pendant de longues années avec le plus grand soin, et avec 
tant de persévérance qui’l resta seulement alors à Képler, le plu digne héritier d’un pareil 
trésor, le soin de choisir parmi toutes ces observations cells que paraissaient convenir au but 
proposé quel qu’il fût. […] C.F. Gauss 〉Traduction du ｠Theoria Motusを de Gauss《 
 
Esta es una traducción francesa, cuyo título paso a español porque es un resumen muy 
bueno del contenido del trabajo de Mecánica Celeste gaussiano 】Teoría del movimiento de 
los cuerpos celestes (recorriendo secciones cónicas alrededor del Sol《‒. El p{rrafo indica 
fundamentalmente que Kepler, con los datos que puso a su disposición el minucioso Tycho 
Brahe, y también mediante sus propias observaciones logró poner a la Astronomía 
observacional a un nivel desconocido en su tiempo. 
Rosa María Herrera 
 
 
 J.C.F. Gauss (1777-1855) 
El Sistema Solar es algo difícil de estudiar desde nuestra posición de pertenencia al mismo, 
por eso para comenzar a abordar el problema vamos a realizar una abstracción quenos 
permite simplificar sensiblemente su estudio, intentando evitar la mayor pérdida de 
generalidad posible; en realidad esta es una práctica muy común en la mayoría de los 
problemas complicados que abordamos en el estudio general de la Física y de la 
Astronomía en particular. 
Los problemas de estudio y determinación de órbitas son variados, arduos y delicados, la 
mirada matemática proviene tanto del Análisis, como de la Geometría, la Topología y otras 
ramas que proporcionan información precisa y señalan resultados y posibilidades en 
ocasiones sorprendentes e inesperados. La fuerte carga matemática en este estudio fue 
precedida cronológicamente de una minuciosa y paciente observación empírica y de una 
explicación astuta, ingeniosa pero también ideológicamente guiada por preconcepciones 
muy bien arraigadas en una visión global del cosmos, que aunque bien intencionadas (casi 
siempre, cabe suponer) lastraron el avance del conocimiento, al impedir que 】alguien‒ se 
atreviera a pensar de otro modo, la rigurosidad de pensamiento devenía en rigidez de 
pensamiento (hecho que no es infrecuente). 
Habrían de llegar intrépidos navegantes que osaran otros rumbos para ver las cosas de otra 
manera, lo que les permitió adquirir nuevos conocimientos. Entre los aventureros del 
pensamiento que trastocaron el orden establecido, tras citar a Copérnico (1473-1543) que en 
el ámbito de este artículo sería considerado más bien como ilustrísimo precursor que como 
protagonista total, subrayaré la importancia crucial de Kepler y de Newton. Pero en el 
transcurso del tiempo fueron surgiendo de forma natural los demás estudiosos los cuales 
fueron realizando sus aportaciones. 
Los esfuerzos teóricos para determinar las trayectorias de los cuerpos del sistema han 
propiciado el desarrollo de unas herramientas matemáticas muy potentes. Los viejos 
epiciclos y deferentes han sido sustituidos por los fascinantes toros invariantes obtenidos por 
obra del teorema KAM (Kolmogorov, Arnold, Moser) y desarrollos posteriores. 
Rosa María Herrera 
 
 
En los últimos años la Mecánica Celeste está empezando a salir de su hábitat natural de 
estudio del Sistema Solar para internarse en otras regiones del espacio de fases. 
En la actualidad, varios grupos de investigación están analizando la evolución del sistema 
en el curso de un tiempo de existencia similar a la edad actual del mismo (5 Gy)3 y se están 
encontrando resultados sorprendentes en cuanto a la estabilidad de las órbitas planetarias. 
Especialmente interesante está resultando el estudio de la dinámica de los planetas 
telúricos que se revela caótica (sobre esto incidiremos más delante de forma somera, véase 
apartado 10). 
Asimismo, el conocimiento preciso de las órbitas de los cuerpos del vecindario solar es 
imprescindible para diseñar las órbitas de los ingenios humanos que se mandan en la 
exploración espacial. 
 
3. EL SISTEMA SOLAR 
El Sistema Solar es un sistema dinámico. Un sistema dinámico es la regla que determina la 
evolución temporal del espacio de fases (que es el conjunto de todos los estados posibles de 
un sistema físico). Se conviene que un sistema dinámico es integrable, si es posible 
determinar que existen soluciones para dicho sistema (para las ecuaciones que definen 
dicho sistema), dichas soluciones son dependientes de funciones conocidas (aunque no 
sepamos calcularlas). 
Así, la propuesta inicial consiste en suponer el Sistema Solar formado por 9 cuerpos uno de 
los cuales, el Sol4, es el portador prácticamente de la masa total del sistema (hecho crucial 
para la definición del problema), el resto (en primera mirada) son planetas. 
La siguiente asunción que efectuamos es considerar que el movimiento de los objetos 
planetarios está gobernado por la fuerza atractiva del Sol (véase la 】Mecánica Celeste‒ de 
Gauss). 
Idealizamos aún más el problema y estudiamos la relación de cada planeta con el Sol 
aisladamente como si no existiesen otros objetos. 
Y tratamos cada cuerpo en movimiento como un punto matemático (véase la 】Mecánica 
Celeste‒ de Gauss). 
Cada uno de estos puntos se mueve en un plano según una elipse, un planeta que traza una 
elipse en uno de cuyos focos, el origen, está el Sol fijo. 
En otras palabras, se empieza a estudiar Mecánica Celeste escudriñando la relación entre 
una estrella y un planeta, y obviando los demás cuerpos (de manera análoga se podría 
realizar un estudio considerando la Tierra y su satélite). 
 
3 Gy (Giga years): unidad astronómica de medida de tiempo que es equivalente a mil millones de años terrestres 
4 Desde un punto de vista astrofísico, el Sol es la estrella madre del sistema, y el que lidera su existencia 
Rosa María Herrera 
 
 
Ahora bien, esta primera aproximación tan simplificada no nos debe hacer olvidar el 
ambiente en estamos inmersos que es el que nos proporciona la definición de Moser, 
recuerde el lector (1) y (2), y en ese sentido nuestras actuaciones matemáticas no deben 
salirse de él. En los trabajos de Moser, y en otros contemporáneos y posteriores, se siente la 
influencia de Poincaré, que en las postrimerías del siglo XIX y principios del xx, se dio 
cuenta de que los aspectos cualitativos del estudio de los sistemas dinámicos en general (y 
en particular del Sistema Solar) proporcionaban conocimiento muy interesante, de hecho 
puso en práctica sus propias ideas y encontró que estudiando perturbaciones para algún 
sistema que se pudiera modelizar de forma sencilla sería posible encontrar resultados 
interesantes. 
 
4. FUERZAS CENTRALES 
Aquí me gustaría subrayar que expresar que dos cuerpos que se mueven relacionados entre 
sí por una regla del tipo expuesto por Kepler es equivalente a decir que se rigen por una ley 
de atracción expresable matemáticamente; Newton la buscó estudiando los resultados y las 
observaciones de Kepler, combinando estas nociones con las de otros ｠gigantes sobre cuyos 
hombros se apoyóを y con sus propias concepciones y concluyó que la ley de atracción debe 
ser universal y válida tanto en la Tierra como en el resto del universo, así la designó como 
Ley de Gravitación Universal. [Un par de siglos más tarde Lagrange y Laplace expresaron 
matemáticamente las órbitas de forma sustancialmente equivalente (pero mucho más 
manejable, elegante y moderna) de los desarrollos en serie de Fourier (1768-1830)]. 
 
 P.S. Laplace (1749-1827) 
La relación entre las masas de ambos cuerpos es un problema de fuerzas centrales y se 
expresa como el movimiento de una partícula de masa, m, atraída por un centro fijo, O, por 
una fuerza, mf(r). El lector observará que esta fuerza es proporcional a la masa, y depende 
de la distancia entre la partícula y el centro, O. La Ley de Gravitación (de atracción) está 
escrita en esta fórmula como f(r) y esta fuerza tiene la interesante característica matemática 
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de ser una función continua en 0< r <. Con esta presentación y teniendo en cuenta la 
segunda ley del movimiento formulada por el propio Newton tenemos que   1m mf r r r r . Esta es una relación de un aspecto relativamente sencillo; en ella un lector 
con cierta experiencia en mirar fórmulas verá información varia muy interesante y muy 
útil, por ejemplo que el movimiento es independiente de la masa5. 
Los estudios iniciados tras la formulación de la ley de Gravitación Universal de Newton 
pusieron en seguida de manifiesto que un modelo dinámico basado en la superposición del 
movimiento de dos cuerpos no era suficiente para explicar la rica dinámica que se va 
descubriendo del Sistema Solar. 
Para afinar las observaciones es necesario tener en cuenta las interacciones entre los 
planetas y entre estos y los satélites y los demás cuerpos del sistema, pero eso es de una 
complejidad extrema. 
 
5. IDEA DE ÓRBITA. ESTUDIO DE ALGUNAS CARACTERÍSTICAS INTERESANTES DE 
UNA ÓRBITA 
Una órbita es el conjunto de posiciones ocupado por una partícula matemática(aunque 
nosotros tengamos en mente un cuerpo real del Sistema Solar, los cálculos matemáticos los 
hacemos pensando en una partícula geométrica y puntual) esto es el resultado del conjunto 
de todas las posiciones, observe el lector que no se hace referencia al tiempo en que se va 
trazando el camino; en este sentido pues, una órbita es un concepto geométrico. 
En el caso de las cónicas, que son las órbitas que nos interesan, puesto que son las que 
trazan los cuerpos que se mueven en el Sistema Solar, los principales elementos que las 
caracterizan una órbita son la excentricidad, el momento angular y la energía. Con estos 
elementos se encuentra la justificación geométrica y analítica de algunas aseveraciones 
empíricas que se han hecho en el apartado 3 (por ejemplo que las órbitas son elípticas). 
 
 La excentricidad da una idea aproximada bastante buena de la forma de la órbita plana 
que es una cónica, o expresado en otros términos, es decir una elipse, una parábola o 
una hipérbola. 
En este punto es interesante que el lector se detenga a reflexionar un momento sobre el 
movimiento siguiendo una elipse y se fije en que un movimiento circular se puede 
considerar como un caso particular en este tipo de recorrido. Cuanto más excéntrica la 
elipse sea (los focos estarán más separados en el eje mayor (el que definen los dos focos, 
y por tanto el Sol -situado en el foco que tomamos como origen de coordenadas para 
 
5 La masa en ambos lados de la igualdad aparece en la misma forma, no cambia ningún resultado (un escolar la tacharía 
directamente en su cuaderno de cuentas) 
Rosa María Herrera 
 
 
simplificar los cálculos matemáticos- esté más lejos del centro) menos circular será la 
trayectoria. 
El trabajo con las otras cónicas es bastante parecido aunque el resultado es algo distinto. 
Por esta razón una buena manera de clasificar las órbitas (que no son rectas) es a través 
del eje de excentricidad, e. Observe el lector los tres casos posibles: 
 e < 1 el movimiento es de tipo elíptico 
 e = 1 el movimiento es de tipo parabólico 
 e > 1 el movimiento es de tipo hiperbólico 
 El momento angular, c, es una forma que tienen los físicos y los matemáticos de explicar 
lo alejado que está un movimiento de ser rectilíneo. En el caso de los planetas del 
Sistema Solar el momento angular se demuestra por métodos analíticos que es 
constante. 
Si el momento angular es constante podemos considerar dos casos: uno que el momento 
angular sea cero, en este caso, no hay cambio de dirección y el movimiento se produce 
sobre una recta, y note el lector que en el caso de atracción, todo parece indicar que el 
movimiento puede acabar en desastre (colisión). 
Si el momento angular es constante, pero distinto de cero, se demuestra analíticamente 
(también geométricamente) que el movimiento se produce en un plano, esto es debido a 
las propiedades del momento angular. Y este es el caso que más nos interesa como 
habitantes de la Tierra, los matemáticos además demuestran que las órbitas planas que 
describen los planetas del Sistema Solar son cerradas. Nótese que la clasificación de las 
órbitas que acabamos de ver según el eje de excentricidad se corresponde con un 
momento angular distinto de cero c  0 
 La energía, h, es una magnitud que proporciona mucha información sobre un sistema 
físico, en muchas ocasiones es una ayuda inestimable para aligerar la resolución de un 
problema y en definitiva constituye una herramienta preciosa para conocer, plantear y 
resolver muchos problemas en Física. 
 
De aquí inmediatamente conviene explicar que una forma también muy interesante por la 
gran cantidad de información que obtenemos de ella, y quizá algo más completa, de 
clasificar las órbitas es mediante su energía. Recordemos que trabajamos el caso en el 
movimiento no se produce según una recta, es decir, que su momento angular no se anula, 
c  0, entonces se encuentra que 
 h < 0  e < 1 (corresponde a un movimiento elíptico) 
 h = 0  e = 1 (corresponde a una parábola) 
Rosa María Herrera 
 
 
 h > 0  e > 1 (corresponde a una hipérbola) 
El primer caso, aquel en que la energía es negativa y el valor absoluto de la excentricidad 
menor que uno se correspondería con las órbitas de los planetas alrededor del Sol y los 
satélites planetarios alrededor de su planeta madre. Como las órbitas son cerradas, que la 
energía total sea negativa, al menos en primera instancia, se puede expresar en términos 
físicos de potencial, podríamos decir que el planeta está atrapado en un pozo de potencial. 
Los casos de órbitas abiertas, es decir, cuando la energía es positiva o igual a cero, y el valor 
absoluto de la excentricidad es igual a 1 o mayor, obtenemos las órbitas propias de los 
cometas, de algunos objetos que viajan por el espacio interplanetario y se internan en el 
Sistema Solar y de algunos asteroides, aunque la mayoría de los que nos interesan viven 
alojados en órbitas cerradas de tipo elíptico. 
Algunos cuerpos pequeños como la sonda Voyager I, que son obra humana, describen 
ramas de parábola y se fueron para no volver. 
Todo esto encaja muy bien con la teoría general clásica de la gravitación y no hemos hecho, 
por el momento, consideraciones ni correcciones relativistas. Además el hecho de que las 
fuerzas gravitatorias son centrales, como muchas otras fuerzas que se encuentran en la 
naturaleza nos facilita mucho este estudio y nos guía por los caminos más convenientes a 
seguir. 
 
6. LEYES DE KEPLER 
La formulación de las leyes de Kepler supone un momento trascendental en la historia del 
sistema heliocéntrico. En el ambiente kepleriano, la Astronomía se desprendió por 
completo de los epiciclos y los deferentes (véase figura *) sobre los que se funda la 
representación ptolemaica y copernicana del movimiento planetario para sustituirlo por la 
representación geométrica más simple y elegante de las elipses. 
 
* Epiciclos y deferentes 
La teoría kepleriana comparte con la Astronomía clásica el objetivo de construir un modelo 
geométrico del sistema planetario (en términos mecánicos, se ocupa de la cinemática, o de 
otro modo, de la descripción –matemática- del movimiento sin considerar sus causas). 
Rosa María Herrera 
 
 
 
Primera ley de Kepler 
Los planetas describen órbitas elípticas en uno de cuyos focos está el Sol. 
 
Lo cierto es que este no es el único movimiento posible de un cuerpo (partícula) alrededor 
de un Sol estacionario (que permanece inmóvil) en su foco (véase sección 5). 
No solo en los casos en que el momento angular sea cero y el movimiento rectilíneo 
consiguiente conduzca a colisiones, sino que también en aquellos casos en que el momento 
angular sea distinto de cero, hay otras posibles soluciones de la ecuación del movimiento 
que son las otras cónicas (hipérbolas y parábolas). 
En pocas palabras, la primera ley de Kepler proporciona la forma de la trayectoria. 
Segunda ley de Kepler 
En forma cuantitativa: El planeta (el radio vector que une el planeta con el Sol) barre áreas iguales 
en tiempos iguales. 
 
(Es muy interesante señalar que esta ley es válida en cualquier campo de fuerzas centrales y 
no hace falta que sea un campo gravitatorio newtoniano). 
En otras palabras, la segunda ley proporciona la posición del planeta sobre la órbita. 
Para escribir (comprender) matemáticamente esta ley tenemos que trabajar con las 
propiedades del momento angular. 
Tercera ley de Kepler 
La razón entre el cuadrado de los periodos de revolución de un planeta y el cubo de las distancias 
promedios al Sol de dicho planeta es la misma para todos los planetas ζ2 / a3 = K 
(Obsérvese que K no depende del planeta) 
Expresado de otro modo (el cuadrado del periodo del planeta es proporcional al radio de la 
distancia promedio) ζ 2  a3 Donde ζ es el periodo y a es la longitud del semieje mayor de la3
2
2
a
 
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elipse. 
Donde 
 
 
Evidentemente, la elección de la formulación de la constante es la más conveniente para 
trabajar con ella. 
La tercera ley de Kepler (para el caso de momento angular distinto de cero y energía 
negativa, es decir para las órbitas elípticas) es la clave que nos da que la solución de la 
ecuación del movimiento es periódica. 
 
El aspecto poco engorroso de esta fórmula no debe engañar a nadie. Quizá sea oportuno 
señalar que para nosotros de todos los resultados que obtuvo Kepler este es el más 
relevante de los que consiguió en sus largos años de minuciosos estudios sobre la armonía 
del mundo que comenzaron con la redacción del Mysterium Cosmographicum y acabaron 22 
años después con el Harmonices Mundi. 
 
 
7. CÓMO DETERMINAR LA POSICIÓN DE UN PLANETA: LA ECUACIÓN DE KEPLER 
Cabe que el lector se pregunte ¿dónde está el planeta?, como en aquel célebre encuentra a 
Wally. 
En Física está establecida una fórmula para los movimientos elípticos en un campo 
gravitatorio newtoniano, por ahora trabajamos con los ejes de la elipse y los de 
coordenadas coincidentes. 
(El ambiente en el que estamos trabajando es la segunda ley de Kepler y estamos 
observando el planeta en el plano r en el tiempo t). 
Para parametrizar6 adecuadamente la fórmula se recurre en Mecánica Celeste a definir la 
anomalía verdadera o real que es el ángulo medido respecto al perihelio 
 
 
Esta parametrización no resulta muy manejable y se suele introducir un segundo ángulo la 
anomalía excéntrica, u, con la que acabamos trasladando el problema a una circunferencia. 
Y como resultado final tras un proceso físico matemático (que no ha lugar aquí) obtenemos 
la célebre ecuación de Kepler que es la que nos da la respuesta a la pregunta: 
¿Dónde se encuentra el planeta que seguimos en un momento t?, (en toda la discusión que 
 
6 En Matemáticas, parametrizar significa expresar en función de un parámetro (una constante o unos valores arbitrarios 
convenientes para facilitar los cálculos y desarrollos en lugar de usar las variables independientes) 
1
2
2
K


0( )t    
Rosa María Herrera 
 
 
llevamos no sabemos aún cómo localizar un planeta) esto en la práctica significa que 
debemos calcular u(t) en dicha ecuación de Kepler, veamos: 
 sen u e u   
 
 
 
( del planeta, a semieje mayor) 
 
 
8. ÓRBITAS PERIÓDICAS 
 
Sistema Solar interior 
 
 
Sistema Solar exterior 
 
En nuestro viaje interior hemos visitado, como turistas, ya las condiciones geométricas, 
analíticas y Físicas que definen las órbitas de los objetos que pueblan y configuran el 
Sistema Solar. Algunas expresiones nos aparecen a cada paso, por ejemplo órbita, y 
también periódica. La idea intuitiva de periodicidad alude a lo cíclico de un proceso, y nos 
hace pensar en calendarios, estaciones, cosechas y otras situaciones naturales que se 
 03
2
donde t t
a
  
Rosa María Herrera 
 
 
repiten, aunque nunca son idénticas. Recurrimos a la potente arma de la matemática para 
hacer operativa esta noción, la belleza que nos proporciona esta mirada es distinta de la que 
nos proporciona nuestro viaje exterior y nuestra mirada al cielo, pero no es desdeñable. 
Tiene, además utilidad práctica, pues nos proporciona herramientas que sirven para 
obtener resultados cuantitativos, informaciones valiosas que nos permitan hacer 
predicciones, intentar saber cómo eran antes las cosas y cómo puede que sean después, tras 
este viaje al interior, el viaje al exterior se torna mucho más fácil y seguro y adquiere nueva 
hermosura. 
En ese sentido el lector se puede hacer la siguiente pregunta: ¿Qué es una órbita periódica?, 
y si está acostumbrado al lenguaje matemático la puede generalizar ¿qué es una función 
periódica? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esta definición matemática consolida teóricamente las observaciones empíricas, permite 
estudiar racionalmente las características esperables de las órbitas periódicas y dar un paso 
más en la comprensión del pasado de nuestro sistema y del futuro del mismo. Además 
tiene otras muchas aplicaciones en otros campos de la física en los que se presentan 
situaciones similares y desarrollar otras teorías. 
 
9. PINCELADAS SOBRE ÓRBITAS DE COMETAS 
Aunque no es el propósito de este trabajo tratar sobre cometas y otros objetos, presento esta 
sección para mostrar el lector el tipo de trayectorias cónicas que siguen otros objetos con 
valores distintos de la excentricidad y la energía. 
Una función : se denomina periódica si
, 0 talque ( ) ( )
Los números se designan periodos de . 
Por análisis sabemos que el conjunto, , de todos los periodos de 
forman un subgrupo aditivo de
df
p p f t p f t t
p f
p f

      

 ( ,+). 
Los subgrupos aditivos ( ,+) son de dos clases: 
i) densos en , 
ii) o múltiplos enteros de un número (rectas que pasan por el origen). 
Este segundo caso es el que nos interesa, es el genera

 dor positivo 
de todos los y se llama periodo mínimo de .
El periodo mínimo de un planeta es el año del planeta.
A partir de la tercera ley de Kepler es posible encontrar una solución periódica 
de l
f
x

a ecuación diferencial de Newton con momento angular 0 y energía < 0
(que vive en una elipse)
 

Rosa María Herrera 
 
 
La historia de un cometa está llena de acontecimientos variopintos algunos muy 
interesantes son resonancias orbitales7 de todo tipo, pero sobre todo encuentros con los 
planetas, cuyo resultado es la modificación de su trayectoria. Los cometas son los primeros 
cuerpos celestes para los cuales se usó el término 】caótico‒ de forma contundente 〉parece 
una contradicción, si se piensa en las apariciones regulares del cometa Halley) pero se trata 
de la típica excepción que confirma la regla, la mayor parte de las órbitas cometarias 
conducen al caos. La mayoría de las órbitas que siguen los cometas son de tipo parabólico, 
por eso son las que enuncio someramente. Recuerde el lector, que las órbitas parabólicas 
son de tipo abierto sus características están descritas en el apartado 5. 
Un cometa de periodo largo procedente de la nube de Oort normalmente entra según una 
órbita muy excéntrica, de la que solo podemos observar un arco muy pequeño. En 
consecuencia, a menudo es imposible determinar el periodo o el semieje mayor con buen 
grado de aproximación o distinguir la órbita de una parábola. 
En este sentido es interesante entender la dinámica en una órbita parabólica. El estudio se 
aborda con las mismas herramientas que las órbitas elípticas (conocimiento de geometría de 
cónicas, conservación de la energía y del momento angular…《. Los resultados son los 
】extravagantes‒ movimientos cometarios. 
 
9.1 SOBRE ÓRBITAS HIPERBÓLICAS 
Este tipo de órbitas son interesantes porque algunos ingenios que el ser humano envía al 
espacio interestelar utiliza esta configuración. La ciencia de la Astrodinámica se ocupa con 
gran cuidado de este estudio. 
 
Órbita hiperbólica descrita por la Voyager 1 
 
Si un cometa procedente del espacio interestelar viniese al encuentro del Sistema Solar 
 
7 Sobre resonancias trataremos en un próximo trabajo 
Rosa María Herrera 
 
 
seguiría una órbita hiperbólica en torno al Sol. La mayor parte de los cometas perceptibles 
por la Tierra viven en parábolas (o casi). Aunque no hay ninguna razón en particular para 
que cualquier noche alguno de los lectores de este artículo encuentre alguno morador de 
una hipérbola. 
Ahora bien un cometa describiendo una órbita casi-parabólica de la nube de Oort puede 
aproximarse a Júpiter en su viaje al interior del Sistema Solar, y su órbita puede perturbarse 
hacia una órbita hiperbólica. El resultado final podría ser su pérdida del Sistema Solar; en 
ese sentido, se conocen varios ejemplos de órbitas cometarias. 
Existeevidencia de estudios de radar de meteoros, de polvo meteórico en órbitas de 
encuentro a la Tierra a velocidades que indican trayectorias hiperbólicas con respecto al Sol. 
Quizá en algún tiempo no lejano algunas de estas órbitas hiperbólicas que parecen 
originadas por sucesivas perturbaciones en realidad sean órbitas parabólicas. Para calcular 
trayectorias hiperbólicas los trabajos son análogos a los casos anteriores. 
Como curiosidad me gustaría comentar que la Voyager 1 que aparece en la ilustración, no 
retornará al Sistema Solar interior. 
 
10. TRAYECTORIAS DE COLISIÓN (DE LOS PLANETAS INTERIORES CON LA TIERRA) 
En auxilio del estudio del Sistema Solar han venido las nuevas tecnologías de la 
información. La computación y el cálculo a largo plazo con los datos que se conocen y los 
algoritmos empleados para dirigir dichos cálculos de manera productiva y eficaz con el fin 
de obtener resultados lo más ajustados a la realidad que sea posible. 
Algunas de las últimas tendencias en el estudio de la estabilidad del Sistema Solar van en 
ese sentido. Las más relevantes por sus resultados espectaculares bien trabajados son las 
realizadas por Jacques Laskar y su equipo con colaboraciones de científicos de todo el 
mundo. En simulaciones numéricas de la evolución del Sistema Solar en más 5 Gy y de 
acuerdo con los conocimientos actuales de las condiciones iniciales y los parámetros del 
Sistema Solar8 se ha encontrado que en el 1% de las soluciones que se obtienen el aumento 
de la excentricidad de Mercurio9 es tan elevado que se pueden producir colisiones con 
Venus o con el Sol. 
Según estas investigaciones, en una de estas soluciones tan excéntrica, si posteriormente 
disminuyera la excentricidad de la órbita de Mercurio se produciría una transferencia de 
momento angular de los planetas gigantes que desestabilizaría las órbitas de todos los 
planetas terrestres, esto podría suceder en unos 3,4 Gy a partir del momento actual, con el 
resultado de que se podrían producir colisiones de Mercurio, Venus y Marte con la Tierra. 
 
8 2501 órbitas realistas estudiadas por J. Laskar y su equipo 
9 Mercurio está próximo a la resonancia con Júpiter, sin consideraciones relativistas 
Rosa María Herrera 
 
 
En cualquier caso es prácticamente imposible (con nuestros conocimientos actuales) 
calcular la evolución del Sistema Solar en los próximos 5 Gy que es el tiempo que le queda 
al Sol para convertirse en una gigante roja [tenemos conocimiento mucho más preciso de 
los objetos del Sistema Solar desde el punto de vista astrofísico, que desde el punto de vista 
de la mecánica (dinámico)]. 
Puesto que el movimiento del Sistema Solar es caótico, la distancia entre dos órbitas 
inicialmente próximas se incrementa en un factor de 10 cada 10 millones de años. Los 
cálculos más precisos para la evolución de las órbitas no son válidos más que para unas 
pocas decenas de millones de años, por lo tanto las simulaciones numéricas no son más que 
una muestra aleatoria de la posible evolución en los próximos 5 Gy, serían necesarios 
estudios estadísticos más profundos de las características de la evolución de las órbitas. 
 
 Ejemplo de Posibles órbitas de colisión. Blanco: Mercurio. Verde: Venus. Azul: Tierra. Rojo: Marte 
(La simulación está efectuada por el equipo dirigido por J. Laskar) 
 
EL FUTURO 
El estudio de las órbitas del Sistema Solar nos proporciona muchos tipos de satisfacciones, 
una de ellas es la curiosidad inherente al científico, al astrónomo (profesional o aficionado) 
y al ser humano en general. Nos ayuda a entendernos a nosotros mismos e incide en las 
preguntas fundamentales que inquietan al ser humano. 
En otro sentido permite y posibilita el avance de la tecnología y en esa faceta la 
retroalimentación es constante. En los últimos años el desarrollo de ingenios espaciales 
Rosa María Herrera 
 
 
capaces de viajar más allá de los límites del Sistema Solar, la situación de los telescopios 
orbitales que nos proporcionan una visión hermosa de la realidad del universo (lo cual no 
significa que estemos cerca de comprenderlo), y otros trabajos astronómicos exploratorios 
con dispositivos de tecnología avanzada y compleja, no permiten ir mejorando nuestro 
conocimiento hacia atrás, es decir de la historia pasada del Sistema Solar, formular teorías 
cosmológicas, desarrollar nuevos materiales y nueva matemática, intentar predecir la 
evolución de los sistemas estelares en general y del nuestro en particular, y otros muchos 
conocimientos, eso en lo que se refiere a teorías generales y globales, pero también en los 
aspectos concretos, y con un elevado nivel de precisión, se están obteniendo grandes logros, 
la cooperación interdisciplinar con otras ciencias es imprescindible. 
La Astrodinámica es una ciencia joven y fuerte y está en auge, si bien para su pleno 
desarrollo es importante el conocimiento de las órbitas, la determinación de las mismas. 
Este artículo es una puerta abierta o una invitación a profundizar en estas ciencias cielo tan 
humanas… 
 
AGRADECIMIENTOS 
Las ilustraciones son públicas y en la mayoría de los casos proceden del archivo de la 
NASA, las órbitas de colisión son de J. Laskar y su equipo, otras ilustraciones a 
Scholarpedia y de Mac Tutor History of Mathematics y algunas fuentes de internet. 
Agradezco la amable atención y el buen acogimiento con que siempre soy recibida en la 
AAM, en especial mi gratitud es para Pedro González Alonso, que además me brinda su 
amistad, también quiero señalar la simpatía con que siempre soy tratada por Ricardo 
Martínez Bermejo, sabe crear a su alrededor un ambiente cordial y afable. 
 
REFERENCIAS 
[1] CELLETTI, A. & PEROZZI, E.: ｠Ordine e caos nel Sistema Solareを UTET (2009) 
[2] GAUSS, C.F.: “Théorie du mouvement des corps célestes parcourant des sections coniques 
autour du Soleilを http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k77746b 
[3] LASKAR, J.: ｠The chaotic motion of the Solar System. ‚ numerical estimate of the size of the 
chaotic zonesを, Icarus, 88, 266–291 (1990) 
[4] MOSER, J.K.: ｠Is the Solar System Stable?をIn The Mathematical Intelligencer pp. 65-71(1978) 
[5] MOSER, J.K.: ｠Stable and Random Motions in Dynamical Systemsを Princenton University Press, 
Princeton (1973) 
[6] POINCARÉ, H.: ｠Les méthodes nouvelles de la mécanique célesteを Gauthier-Villars et fils, 1899 
(reprint Dover 1957) 
[7] SIEGEL, C.L. & MOSER, J.K. & KALME, Ch.I. :をLectures on Celestial Mechanicsを Springer 〉1991) 
[8] THE MAC TUTOR HISTORY OF MATHEMATICS ARCHIVE http://www.gap-system.org/~history/ 
http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k77746b
http://www.gap-system.org/~history/