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La presente tesis es publicada a texto completo en virtud de que el autor 
ha dado su autorización por escrito para la incorporación del documento a la 
Biblioteca Digital y al Repositorio Institucional de la Universidad de Guadalajara, 
esto sin sufrir menoscabo sobre sus derechos como autor de la obra y los usos 
que posteriormente quiera darle a la misma. 
Universidad de Guadalajara
Centro Universitario de Ciencias Exactas e Ingenierías
Computación cuántica disipativa: una realización
Que para obtener el título de
Maestro en Ciencias en Física
Presenta:
Iván Eduardo Contreras Chaparro
Director: Dr. Fermín Aceves de la Cruz
Co-directora: Dra. Isabel Sainz Abascal
Guadalajara, Jalisco, Méx. 28 de Julio del 2014
Agradecimientos
Con todo mi amor y cariño les agradezco con esta tesis, el gran esfuerzo y
sacrificio que han hecho por mi para apoyarme a conseguir mis logros y sueños,
para levantarme cuando sentía que ya no podía más, sin ustedes no estaría donde
estoy y por ustedes soy quien soy, los amo.
Mamá y Papá.
Agradecerles por que influyeron con sus enseñanzas y experiencias en formarme
como una persona preparada para los retos que pone la vida, a todos y cada uno
de ellos les dedico cada una de estás páginas de mi tesis.
Asesor y Profesores.
Por su apoyo cuando tenía dificultades, por su comprensión en los momentos
difíciles, por los buenos momentos que compartimos y por estar conmigo, gracias.
Amigos y Compañeros.
1
Índice general
1. Introducción 4
2. Conceptos Generales 5
2.1. Computación Cuántica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2. Holonomía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3. Variedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3.1. Fibrado de haces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4. Hamiltoniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3. Construcción de Compuertas Cuánticas 16
3.1. Compuertas Un-qubit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.1.1. Bucles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.1.2. Descomposición de Pauli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2. Compuertas Dos-qubits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3. Holonomía Asociada a las Compuertas . . . . . . . . . . . . . . . 22
4. Medición de estado del SMM 27
4.1. Antecedentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.2. Sistema del Microbandas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.3. Análisis de la dinámica del Espín del SMM adiabático . . . . . . . 32
4.4. Interacción entre el resonador de microbandas y el SMM . . . . . 45
4.4.1. Aproximación del flujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.4.2. Campo magnético producido por el microbandas en el SMM 47
4.4.3. Ecuación para la frecuencia del resonador . . . . . . . . . . 48
4.5. Comportamiento histéresis de la frecuencia de la microtira . . . . 53
5. Fase Geométrica 55
5.1. Antecedentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.1.1. Universalidad de la Fase Geométrica . . . . . . . . . . . . 56
5.1.2. Teorema adiabático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2
ÍNDICE GENERAL 3
5.2. Fase de Berry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6. Procesos Disipativos 62
6.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6.1.1. Teorema de Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6.1.2. Ecuación de Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6.1.3. Proceso de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6.1.4. Notación Big O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6.1.5. Operador Lindblad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6.1.6. Estado cluster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6.2. Procesos Disipativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
6.2.1. Ingeniería del disipador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
6.3. Bloques Básicos de construcción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6.3.1. El Aparato de Inicialización . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6.3.2. El Aparato de Temporizador . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
6.4. Computación Cuántica Disipativa de un Solo Sentido . . . . . . . 74
Apéndice 77
A. Modelo Tres Estados 78
B. Poder Disipado 84
C. Hamiltoniano de los nueve niveles 86
D. Eigenvectores del Hamiltoniano Rotado 94
E. Comportamiento del Hamiltoniano 97
Bibliografía 98
Capítulo 1
Introducción
La computación cuántica es una disciplina cientifica emergiendo, en el cual la
fusión de dos de los más importantes desarrollos en ciencia física y tecnología de
la información del siglo pasado -mecánica cuántica y computación-ha resultado
en un ritmo extraordinariamente rápido de progreso de naturaleza interdiscipli-
naria. Recientemente la computación cuántica atrae grandes intereses de muchas
disciplinas. Es fuertemente deseado para encontrar un esquema para implementar
compuertas unitarias en un sistema físico.[1]
Entre las muchas propuestas para la realización de una computadora cuántica,
la computación cuántica holonómica (HQC por sus siglas en inglés) es distinguida
del resto en que es geométrica en naturaleza y por lo tanto se espera que sea ro-
busto contra decoherencia.[2] La computación cuántica holonómica es analizada
desde el punto de vista geométrico. Donde se puede desarrollar un esquema en el
cual una compuerta unitaria arbitraria es implementada con un circuito pequeño
en un espacio descriptivo complejo.[3]
4
Capítulo 2
Conceptos Generales
2.1. Computación Cuántica
La computación cuántica es el estudio de las tareas de procesamiento de infor-
mación que se puede lograr usando sistemas de mecánica cuántica y esta basado
en el qubit. La diferencia entre un bit y un qubit, es que el qubit además de
poder estar en |0〉 y |1〉 puede formar combinaciones lineales de estados llamados
superposiciones[4]:
|ψ〉 = α|0〉+ β|1〉
Al hablar de multiples qubits por ejemplo, correspondientemente un sistema
de dos qubits tenemos cuatro estados básicos computacionales denotados |00〉,
|01〉, |10〉 y |11〉 [3, 4]. Un par de qubits puede también existir en superposiciones
de estos 4 estados, asi que el estado cuántico de dos qubits envuleve un coeficiente
complejo, algunas veces llamado amplitud, entonces el vector estado que describe
2 qubits es [5]:
|ψ〉 = α00|00〉+ α01|01〉+ α10|10〉+ α11|11〉
Análogamente la forma en la que computadora clásica es construida de circui-
tos eléctricos que contiene cables y compuertas lógicas, una computadora cuántica
5
CAPÍTULO 2. CONCEPTOS GENERALES 6
es construida de circuitos cuánticos que contiene cables y compuertas cuántica ele-
mentales.
Una compuerta cuántica o compuerta lógica cuántica es un circuito básico de
funcionamiento cuántico en un pequeño número de qubits. Las compuertas lógicas
cuánticas son reversibles. Se representan por matrices unitarias[6]. Una compuerta
que actua sobre k qubits esta representada por una matriz 2k × 2k.
Un ejemplo de una compuerta cuántica que actúa sobre un qubit es la com-
puerta Hadamard, donde su representación matricial es:
H =
1√
2
[
1 1
1 -1
]
(2.1)
La Acción de la puerta cuántica se encuentra multiplicando la matriz que re-
presenta la puerta con el vector que representa el estado cuántico. Entonces si
queremos pasar por ejemplo el estado base:
|0〉 =
(
1
0
)
Por la compuerta Hadamard tenemos como resultado:
|0〉+ |1〉√
2
Un ejemplo de una compuerta cuántica que actúa sobre dos qubit es la com-
puerta CNOT, con forma matricial:
CNOT =

1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
 (2.2)
CAPÍTULO 2. CONCEPTOS GENERALES 7
Donde de la acción de la compuerta puede ser resumidacomo:
|A,B〉 −→ |A,B ⊕ A〉
Si queremos por ejemplo pasar el estado base de dos qubits |11〉 por la com-
puerta CNOT obtenemos como resultado:
|1, 1⊕ 1〉 = |1, 0〉
Donde se puede comprobar se multiplicamos el estado base por la forma ma-
tricial de la compuerta CNOT [7].
2.2. Holonomía
En el marco de los desarrollos teóricos actuales se destaca la computación
cuántica holonómica, su fundamento reside en las recientes formulaciones geomé-
tricas de la mecánica cuántica. La computación cuántica holonómica se nutre de
los efectos inherentes a las propiedades geométricas de los espacios en los que
se formula la mecánica cuántica [8]. Hay una extensa lista de efectos cuánticos
formulados a partir de las propiedades topológicas y geométricas subyacentes a
espacios donde se configura un sistema particular, de todos ellos se destaca el de
la fase de Berry, cuya formulación permite derivar una expresión para la holoni-
mía abeliana U(1), la cual no depende del Hamiltoniano, su origen es geométrico.
Así mismo la generalización al caso no-abeliano, conduce a la formulación de la
computación cuántica holonómica con simetría U(n).
Primero revisaremos el concepto de Holonomía no-abeliano para establecer las
convenciones de notación, ya que será el que se utilizará. Un grupo abeliano es,
dada una estructura algebraica sobre un conjunto A, y con una operación o le de
composición interna binaria: "o"[9]. Se dice que la estructura (A,o) es un grupo
abeliano con respecto a la operación "o"si:
1. (A,o) tiene estructura algebraica grupo. Esto quiere decir que el conjunto
y la operación deben de satisfacer algunas condiciones llamadas axiomas
CAPÍTULO 2. CONCEPTOS GENERALES 8
de grupo que son: tener propiedad asociativa, tener elemento identidad y
elemento inverso.
2. (A,o) tiene la propiedad conmutativa.
En caso de no ser conmutativas se denomina como no-abeliano.
Para un logro eficiente de la computación holonómica, es necesario encontrar
un bucle tan corto como sea posible. Para este propósito es natural utilizar un
sistema cuántico descrito por un Hamiltoniano {Hλ} que depende de parámetros
externos λ. Ahora supongamos el espacio de Hilbert de un sistema cuántico es
un espacio complejo N-dimensional CN [10]. Por parámetros isospectrales, nos
referimos a una familia de transformaciones unitarias g(λ) ∈ U(n) ya que el Ha-
miltoniano transformado H(λ) = g(λ)H0g†(λ) tiene espectro independiente de
λ [8]. Donde una transformación unitaria es, sea U un operador lineal cualquier
invertible, o sea U−1, y consideramos la ecuación:
Au = UAU
−1
donde A es un operador lineal cualquiera. Esta ecuación puede considerarse
como una transformación que a cada operador lineal A le hace corresponder un
operador lineal Au, y en este sentido tiene propiedades muy importantes; en pri-
mer lugar, todo Au tiene los mismos eigenvalores que su correspondiente A, pues si
a es un eigenvalor de A, y |a〉 es un eigenvector del mismo: A|a〉 = a|a〉, entonces:[4]
AuU |a〉 = UAU−1Ua〉 = aUa〉
2.3. Variedades
Asumimos que el estado base de la referencia del Hamiltoniano H0 es k-veces
degenerado y toma la forma diagonal:
H0 = diag(�1, �2, ...�N)
CAPÍTULO 2. CONCEPTOS GENERALES 9
La energía del estado base puede ser puesta a cero, sin pérdida de generali-
dad, para deshacerse de la fase dinámica. Nos concentramos en los estados bases
de los Hamiltonianos {Hλ}. Asociado con la energía mas baja para cada H(λ),
hay k vectores estados ortonormales {|V1(λ)〉, ..., |Vk(λ)〉}. El conjunto de k vecto-
res estados ortonormales es llamado un k-plano y el conjunto de todos los k-planos
SN,k(C) = {V ∈M(N, k;C)|V †V = Ik}
es llamado variedad Stiefel [11]. Aquí M(N, k;C) es el conjunto de N × k
matrices complejas y Ik es la matriz unitaria k× k. El k-plano trama un subespa-
cio k-dimensional en CN . El conjuto de subespacios k-dimensional es la variedad
Grassmann:
GN,k(C) = {P ∈M(N, k;C)|P 2 = P, P † = P, trP = k}
La variedad Grassman es considerada como la variedad control en el contexto
de la computación cuántica holonómica [12]. Un mapeo:
π : SN,k(C) −→ GN,k(C)
donde esto se lee como una función π que mapea de un conjunto a otro, donde
dicha función es:
π : V 7−→ π(V ) = V V †
esta función significa que mapea (:) a la matriz V tal que (7−→) aplicando
el operador π a la matriz V (π(V )) obtenemos V V †. El grupo U(k) actua sobre
SN,k(C) desde la derecha vía producto matriz como:
CAPÍTULO 2. CONCEPTOS GENERALES 10
SN,k(C)× U(k) −→ SN,k(C), (V, h) 7−→ V h
Aquí h es un elemento de U(k) y U es una matriz unitaria [11, 12]. Donde esto
se lee como un conjunto por otro conjunto que forman un conjunto que contiene
elementos de la multiplicación de la matriz V por la matriz h. Notemos que ésta
acción satisface π(V h) = π(V ).
2.3.1. Fibrado de haces
En topología un fibrado de haces es intuitivamente un espacio que parece lo-
calmente como un cierto espacio producto. Especificamente, la similaridad entre
el fibrado de haces E y un espacio producto B × F es definido usando un mapeo
π : E → B sobreyectivo continuo, esto es cada elemento de e en E tiene un ele-
mento correspondiente b en B y multiples elementos de B pueden ser convertidos
en el mismo elemento de E [13].
El mapeo π, llamado la proyección o sumersión en el fibrado es considerado
como parte de la estructura. El espacio E es conocido como el espacio total del
fibrado de haces, B es el espacio base y F la fibra. En el caso trivial, E es so-
lo B×F , y el mapeo π es solo el proyector del producto espacio a el primer factor.
Un fibrado de haces consiste de los datos (E,B, π, F ) donde E,B y F son es-
pacios topológicos y π : E → B es el sobreyectivo continuo. En un fibrado de
haces principal E × F → E tal que F conserva el fibrado de E, donde F de-
nota un grupo topológico, con acción por derecha continua [14]. Asi el conjunto
(SN,k(C), GN,k(C), π, U(k)) que habíamos visto en la sección 2,3 forman un fibra-
do de haces principal con la estructura del grupo U(k). Esto es por:
E = SN,k(C) = Espacio Total
B = GN,k(C) = Espacio Base
π = π = Mapeo
F = U(k) = Fibrado
El grupo U(N) también actua sobre las variedades desde la izquierda como:
CAPÍTULO 2. CONCEPTOS GENERALES 11
U(N)× SN,k(C)→ SN,k(C), (g, V ) 7→ gV
U(N)×GN,k(C)→ GN,k(C), (g, P ) 7→ gPg†
Esta acción es un automorfismo del fibrado de haces ya que:
π(gV ) = (gV )(gV )† = gV V †g† = gπ(V )g†
En la variedad Stiefel los conectores se define de la forma A = V †dV con los
elementos de la matriz [15]:
Aij(λ) =
∑
µ
〈vi(λ)|
∂
∂λµ
|vj(λ)〉dλµ (i, j = 1, ..., k) (2.3)
Entonces la holonomía asociada con la curva V (t) es dada por U = Pe
−
∫
A
,
donde P denota el producto ruta-ordenada [16].
2.4. Hamiltoniano
Consideremos una familia de Hamiltonianos {Hλ}, donde el punto λ, con-
tinuamente parametriza el Hamiltoniano y es un elemento de una variedad M
llamada variedad control y el coordinado local de λ es denotado por λi(l ≤
i ≤ m = dimM). Se asume que sólo existe un número finito de eigenvalores
�k(λ)(1 ≤ k ≤ R) para un arbitrario λ ∈ M. El subespacio degenerado en λ es
denotado por Hn(λ). Los vectores bases ortonormales de Hn(λ) son denotados por
{|nα;λ〉} [17];
Hλ|nα;λ〉 = �n(λ)|nα;λ〉, 〈nα;λ|mβ;λ〉 = δmnδαβ (2.4)
Se asume ahora que el parámetro λ es cambiado adiabáticamente y que el
estado inicial en t = 0 es un eigenestado |ψα(0)〉 = |α;λ(0)〉 con la energía � = 0.
CAPÍTULO 2. CONCEPTOS GENERALES 12
Con la ecuación de Schrödinger:
i
d
dt
|ψα(t)〉 = Hλ(t)|ψα(t)〉 (2.5)
donde la solución puede tomar la forma:
|ψα(t)〉 =
g∑
β=1
|β;λ(t)〉Uβα(t) (2.6)
El unitario de la matriz Uβα(t) sigue la normalización de |ψα(t)〉 [18]. Sustitu-
yendo la ecuación 2,5 dentro de la ecuación 2,6:
i
d
dt
g∑
β=1
|β;λ(t)〉Uβα(t) = Hλ(t)
g∑
β=1
|β;λ(t)〉Uβα(t)
donde g es el límite del subespacio, y con la ecuación 2,4 tenemos:
i
d
dt
g∑
β=1
|β;λ(t)〉Uβα(t) =
g∑
β=1
�(λ)|β;λ(t)〉Uβα(t)
Ahora podemos despejar Uβα, donde usamos la condición de normalización de
2,4, entonces multiplicamos la ecuación por el bra, pero como tenemos una suma-toria en β ahora usamos γ y aplicando la deriva de productos tenemos:
g∑
β=1
i〈γ;λ(t)| d
dt
|β;λ(t)〉Uβα+
g∑
β=1
〈γ;λ(t)|β;λ(t)〉iU̇βα = 〈γ;λ(t)|β;λ(t)〉
g∑
β=1
�(λ)Uβα
como 〈γ;λ(t)|β;λ(t)〉 es igual a 1 para cuando β = α [19], además como no
estamos interesados en la fase dinámica para nada y por lo tanto asumimos que
el eigenvalor en este subespacio se desvanece para cualquier λ ∈ M, por lo tanto
CAPÍTULO 2. CONCEPTOS GENERALES 13
�(λ)Uβα = 0, entonces se cumple que Uβα satisface:
U̇βα(t) = −
∑
γ
〈β;λ(t)| d
dt
|γ;λ(t)〉Uγα (2.7)
Si cambiamos los índices γ por β y β por γ, y multiplicamos 2,7 por U−1βα :
U−1βα U̇βα(t) = −
∑
γ
〈β;λ(t)| d
dt
|γ;λ(t)〉UγαU−1βα
donde esto tiene la forma:
∫
du
U
= lnU por lo tanto:
U(t) = e−
∫ t
0 A(τ)dτ
donde Aβα(t) = 〈β;λ(t)|
d
dt
|α;λ(t)〉 [17, 18]. Como β y α no comutan uno con
el otro en tiempos diferentes, el orden de los operadores debe ser cuidadosamente
mantenido, para esto agregamos el operador tiempo-ordenado T que cumple con
las siguientes propiedades:
1. T †(t, t0)T (t, t0) = T (t, t0)T †(t, t0) = 1, implicando que T es unitario
T †(t, t0) = T
−1(t, t0).
2. T (t1, t2)T (t2, t3) = T (t1, t3) esto es que T tiene la propiedad de grupo.
3. T (t, t0)T (t0, t) = 1, implicando que T (t0, t) = T †(t, t0)
Entonces la solución formal podría ser expresada como:
U(t) = T e−
∫ t
0 A(τ)dτ
Esta integral puede ser resuelta por iteración en un tiempo inicial T (t0, t0), así:
CAPÍTULO 2. CONCEPTOS GENERALES 14
U(t) = 1−
∫ t
0
A(τ)d(τ) + 12
∫ t
t0
dt1
∫ t1
t0
dt2A(t1)A(t2) + ...
...+ (1)2
∫ t
t0
dt1
∫ t1
t0
dt2...
∫ tn−1
t0
dtnA(t1)A(t2)...A(tn)
Por lo que podemos dejarlo escrito como:
U(t) = 1−
∫ t
0
A(τ)dτ +
∫ t
0
dτ
∫ τ
0
dτ ′A(τ)A(τ ′) + ... (2.8)
Introduciendo los conectores de la ecuación 2,3 obtenemos:
Ai,βα = 〈β;λ(t)|
∂
∂λi
|α;λ(t)〉 (2.9)
A través del cual U(t) es expresado como:
U(t) = Pe
−
∫ λ(t)
λ(0)
Aidλ
i
como habíamos visto en la sección 2,3,1. Notemos que Ai es anti-Hermitiano,
A†i = −Ai.
Supongamos que la ruta λ(t) es un bucle γ(t) enM tal que γ(0) = γ(T ) = λ0.
Entonces se encuentra que después de atravesar γ se termina con el estado:
|ψα(T )〉 =
g∑
γ=1
|ψβ(0)〉Uβα(T )
donde usamos la definición |ψβ(0)〉 = |β;λ0〉 [20]. La matriz unitaria:
CAPÍTULO 2. CONCEPTOS GENERALES 15
Uγ ≡ U(T ) = Pe−
∮
γ Aidγ
i
es llamada holonomía asociada con el bucle γ(t). Notemos que Uγ es independiente
de la parametrización de la ruta pero sólo depende de su imagen geométrica enM.
El espacio de todos los bucles basados en λ0 es denotado:
Lλ0(M) = {γ : [0, T ]→M|γ(0) = γ(T ) = λ0}
El conjunto de la holonomía
Hol(A) = {Uγ|γ ∈ Lλ0(M)}
tiene una estructura tipo grupo y es llamada el grupo holonomía [17, 18, 20]. Es
claro que Hol(A ⊂ U(g). El conector A es llamado irreducible cuando Hol(A) =
U(g).
Capítulo 3
Construcción de Compuertas
Cuánticas
Para hacer las cosas más tratables a la hora de construir las compuertas cuán-
ticas, se emplea un modelo simple del Hamiltoniano llamado modelo tres-estados.
Este es un hamiltoniano 3-dimensional con la forma de la matriz:
H = �|2〉〈2| donde |2〉 =
10
0
 entonces :
H =
� 0 00 0 0
0 0 0
 (3.1)
Aquí la primera columna (fila) de la matriz |2〉 tienen una energía � > 0 mien-
tras que la segunda y tercera columnas (filas) refieren al vector |0〉 y |1〉 y tienen
un desvanecimiento de energía. El qubit consiste en los dos ultimos vectores.
La variedad control del Hamiltoniano es el espacio descriptivo complejo CP 2. En-
tonces puede ser visto con su forma general de la deformación espectral de el
Hamiltoniano de la forma:
Hγ ≡ WγHλ0W †γ (3.2)
16
CAPÍTULO 3. CONSTRUCCIÓN DE COMPUERTAS CUÁNTICAS 17
donde Wγ ∈ U(3). Cualquier elemento de SU(3) puede ser descompuesto en
un producto de tres matrices SU(2) como sigue:
Wγ =
 β̄1 ᾱ1 0−α1 β1 0
0 0 1
 β̄2 0 ᾱ20 1 0
−α2 0 β2
1 0 00 β̄3 ᾱ2
0 −α3 β3

que son las matrices U1, U2 y U3 respectivamente y es conocida como la descom-
posición Givens [21]. Donde αj = eiφj sen θj y βj = eiψj sen θj. Como [Hλ0 , U3] = 0
Hγ es independiente de U3, entonces:
W (αj, βj) =
 β̄1β̄2 ᾱ1 β̄1ᾱ2−α1β̄2 β1 −α1ᾱ2
−α2 0 β2
 (3.3)
donde αj y βj con j ∈ {1, 2} son los parámetros de control que definen el
espacio paramétricoM, se muestran los cálculos completos en el apéndice A.
3.1. Compuertas Un-qubit
Con la ecuación 2,9 tenemos:
Ai,αβ = 〈α;λ|W †γ
∂
∂γi
Wγ|β;λ〉 (3.4)
donde i = θ1, θ2, φ1, φ2. El Hamiltoniano depende sólo de φ1 − ψ1 y φ2 − ψ1
por lo que se puede redefinir φ1 y φ2 para que sólo dependa de estos [22].
Ahora podemos calcular los coeficientes de conexión en el modelo presente con
la ecuación 3,4. Primero calculamos el coeficiente en θ1, entonces derivando 3,3
respecto a θ1 obtenemos:
∂W
∂θ1
=
−e−iψ1 sen θ1e−iψ2 cos θ2 e−iφ1 cos θ1 −e−iψ1 sen θ1e−iφ2 sen θ2−e−iφ1 cos θ1e−iψ2 cos θ2 −eiψ1 sen θ1 −eiφ1 cos θ1e−iφ2 sen θ2
0 0 0

CAPÍTULO 3. CONSTRUCCIÓN DE COMPUERTAS CUÁNTICAS 18
Y ahora la multiplicamos por W †, reduciendo los terminos y tomando sólo
en cuenta los vectores |0〉 y |1〉 que son los pertenecientes al qubit, obtenemos el
conector en θ1:
Aθ1 =
[
0 − sen θ2e−i(φ2−φ1)
sen θ2e
i(φ2−φ1) 0
]
(3.5)
de igual forma hacemos para obtener los conectores en θ2, φ1 y φ2, así:
Aθ2 =
[
0 0
0 0
]
(3.6)
Aφ1 =
[
−i sin2 θ1 − i2 sen 2θ1 sen θ2e
i(φ1−φ2)
− i
2
sen 2θ1 sen θ2e
i(φ2−φ1) i sin2 θ2 sen
2 θ1
]
(3.7)
Aφ2 =
[
0 0
0 −i sin2 θ2
]
(3.8)
Usando estos coeficientes de conexión (ver los cálculos completos en el apén-
dice A), es posible evaluar la holonomía asociada con el bucle γ como:
Uγ = Pe−
∮
γ(Aθ1dθ1+Aθ2dθ2+Aφ1dφ1+Aφ2dφ2)
Además de construir las compuertas cuánticas encontrando el bucle.
3.1.1. Bucles
Determinar los bucles que construyen la compuerta se puede hacer de forma
analítica. En particular, todas las compuertas cuánticas pueden ser obtenidas con
el modelo tres-estados. Se debe buscar una secuencia que construya la compuer-
ta cuántica deseada con la ayuda de los coeficientes de conexión. Por ejemplo la
secuencia:
CAPÍTULO 3. CONSTRUCCIÓN DE COMPUERTAS CUÁNTICAS 19
(θ2, φ2) : (0, 0)→ (π/2, 0)→ (π/2, π/8)→ (0, π/8)→ (0, 0)
De aquí se ve que el bucle es el plano (θ2, φ2) y que todos los otros parámetros
son cambiados a 0. Esta secuencia la podemos leer de derecha a izquierda, enton-
ces se empezaría con:
(0, π/8)→ (0, 0)
Esto estaría definido por:
e(
π
8
Aφ2 |θ2=0)
donde:
1. π
8
es la cantidad de la coordenada que cambia, en este caso φ2.
2. Aφ2 es el coeficiente de conexión respecto a la coordenada que cambia.
3. θ2 es la coordenada que no cambia y se evalua en ésta.
4. Es igual a cero porque es el valor que tiene la coordenada que no cambia.
Siguiendo estos pasos la secuencia total nos daría:
e(
π
8
Aφ2 |θ2=0)e(
π
2
Aθ2 |φ2=π/8)e(−
π
8
Aφ2 |θ2=π/2)e(−
π
2
Aθ2 |φ2=0)
Resolver esta secuencia ya es relativamente fácil una vez que ya encontramos
los coeficientes de conexión, así resolviendo la secuencia obtenemos:
CAPÍTULO 3. CONSTRUCCIÓN DE COMPUERTAS CUÁNTICAS 20
[
1 0
0 eiπ/8
]
= Uπ/8
Que es la compuerta π/8. Otra forma de construir las compuertas cuánticas
es primero descomponiendo las compuertas con la descomposición de Pauli.
3.1.2. Descomposición de Pauli
Las compuertas de un qubit pueden ser descompuestas dentro de secuencias de
compuertas de rotación i.e. Rx(.)Ry(.)Rz(.) y compuertas fases Ph(.). Enseguida
se verá cómo descomponer una compuerta arbitraria.
Para que se le considere como una compuerta cuántica de un qubit, ésta debe ser
una matriz unitaria 2×2. Como es un matriz unitaria la magnitud de su determi-
nante debe ser la unidad esto es |det(U)| = 1. Esta ecuación puede ser satisfecha
si se toman los valores +1,−1,+i o −i.
Si |det(U)| = +1 entonces se le conoce como "matriz unitaria especial". Sino,
escribimos U en la forma U = eiδV donde V es una matriz unitaria especial.
Entonces V es una matriz 2 × 2, donde sus filas y columnas son ortonormales y
sus elementos comúnmente, son números complejos. V debe tener la forma:
V =[
α −β̄
β ᾱ
]
Entonces para una matriz especial unitaria tenemos:
V ≡ Rz(a)Ry(b)Rz(c)
y para las demás:
U ≡ Rz(a)Ry(b)Rz(c)Ph(d)
donde los valores de α y β son números complejos que satisfacen la ecuación del
determinante det(V ) = αᾱ − β(−β̄) = |α|2 + |β|2 = 1. Esta ecuación puede ser
CAPÍTULO 3. CONSTRUCCIÓN DE COMPUERTAS CUÁNTICAS 21
satisfecha escogiendo: α = eiµ cos θ
2
y β = ei� sen θ
2
. Sustituyendo estos valores en
V tenemos:
V =
[
eiµ cos θ
2
−e−i� sen θ
2
ei� sen θ
2
e−iµ cos θ
2
]
Esto puede ser obtenido también con: Rz(a)Ry(b)Rz(c) y donde por ejemplo
Rz(a) = e
−ia
2
σz con a = −(µ− �), b = θ, c = −(µ+ �). entonces:
Rz(a)Ry(b)Rz(c) =
[
eiµ cos θ
2
−e−i� sen θ
2
ei� sen θ
2
e−iµ cos θ
2
]
= V
de aquí debemos darle valores a µ, θ y � comparando con la compuerta cuán-
tica a la cual queremos llegar. Por ejemplo para 2,1 su descomposición quedaría:
H = e−iπ/2ei
π
2
σzei
π
4
σy
3.2. Compuertas Dos-qubits
Consideremos un Hamiltoniano dos-qubits:
H2−qubitλ0 = H
a
λ0
⊗ I3 + I3 ⊗Hbλ0
donde Ha,bλ0 son los Hamiltonianos tres-estados y I3 es la matriz unitaria 3× 3.
El Hamiltoniano escala a 3N en lugar de 2N en el modelo presente.
Como se quiere mantener la estructura multipartita del sistema en construcción
de la holonomía. Por este proposito, separamos la transformación unitaria a un
producto de transformaciones de un-qubit (W aγ ⊗W bγ ) y una rotación puramente
dos-qubits.
Por lo tanto, escribimos la deformación isospectral para un bucle dado γ como:
H2−qubitγ = W
2−qubit
γ (W
a
γ ⊗W bγ )H
2−qubit
λ0
(W aγ ⊗W bγ )†W 2−qubit†γ
CAPÍTULO 3. CONSTRUCCIÓN DE COMPUERTAS CUÁNTICAS 22
La ventaja de expresar la matriz unitaria de esta forma es fácilmente verifica-
da, cuando escribimos los coeficientes de coexión para coordenar un-qubit. Esto
es, la transformación dos-qubits no afecta la transformación un qubit para nada,
lo cual significa que podemos obtener las compuertas para dos qubits de la misma
forma que para un qubit con:
Ai,αβ = 〈α;λ|W †γ
∂
∂γi
Wγ|β;λ〉
= 〈α;λ|(W aγ ⊗W bγ )†
∂
∂γi
(W aγ ⊗W bγ )|β;λ〉
donde γi denota una coordenada un-qubit.
Hay un número largo de posibles opciones para W 2−qubitγ , dependiendo sobre la
realización física del escenario presente.
3.3. Holonomía Asociada a las Compuertas
Ahora dada la compuerta cuántica debemos encontrar un bucle cerrado corto
tal que P (t) = π(V (t)) en la variedad Grassmann que produce la holonomía aso-
ciada. Entonces tomamos:
V0 =
(
Ik
0
)
∈ SN,k(C)
Tomando una matriz antihermética x ∈ U(N) definimos la curva P (t) =
π(V (t)) = etxP0e
−tx [23]. Llamamos la curva P (t) un círculo pequeño si satisface
P (1) = P (0). Nuestra tarea es encontrar una matriz x ∈ U(N) tal que la holono-
mía asociada se cumpla. Necesitamos encontrar x para un U dado mientras que
se mantenga la condición del bucle cerrado P (1) = P (0).
Definiendo la matriz logarítmica Ω ∈ U(k) de la compuerta tal que Ugate = e−Ω.
Entonces se ve fácilmente que para obtener Ω debemos obtener la función loga-
rítmica de Ugate de la forma
CAPÍTULO 3. CONSTRUCCIÓN DE COMPUERTAS CUÁNTICAS 23
lnUgate = Ω
Además debemos de tener en cuenta que Ω es de la misma dimensión que
Ugate.
Si los eigenvalores de Ugate son (e−iw1 , e−iw2 , ..., e−iwk), Ω tiene los eigenvalores
(iw1, iw2, ..., iwk) en el rango −π < wj < π y los mismos eigenvectores que Ugate.
Entonces el problema se reduce a encontrar x ∈ U(N) tal que V †0 XV0 = Ω.
La solución general a este problema tiene la forma:
X =
[
Ω W
−W † Z
]
(3.9)
Montgomery [24] ha demostrado que cualquier solución optima necesariamente
satisface Z = 0, además W ∈M(k,N−k; ). El principal problema es encontrar la
matriz W que satisfaga la condición P(1)=P(0). Para ver una solución no trivial
introducimos la función penal P (x), que mide la norma de los elementos, entonces:
P (x) =
k∑
i=1
N∑
J=k+1
k2|〈i|ex|j〉|2 (3.10)
Nos limitamos a las cosas tal que N = k + 1 por simplicidad, donde k = al
número de eigenvalores de Ugate. Una compuerta unitaria Ugate = e−Ω tiene un
conjunto de eigenvalores y eigenvectores {(uj, e−iwj)|uj ∈ Ck, wj ∈ R,−π < wj <
π,Ωuj = iwjuj, 〈uj, ul〉 = δjl} [25]. Entonces se escoge un par de eigenvectores y
eigenvalores llamado familia y se sustituye:
W(µ,n) = a(µ,n)uµ (3.11)
a(µ,n) =
1
2
√
(2πn+ wµ)(2πn− wµ) (3.12)
CAPÍTULO 3. CONSTRUCCIÓN DE COMPUERTAS CUÁNTICAS 24
en W de X en 3,9 para n = ±1,±2...
Entonces se obtiene la solución X(µ,n) que satisface P (X(µ,n)) = 0. Se debe men-
cionar que existen tantas familias como eigenvalores de Ugate.
Por ejemplo para obtener la holonomía asociada de 2,1 y su bucle mas cor-
to, debemos encontrar primero sus eigenvalores y eigenvectores normalizados, los
cuales son, para la primera familia:
e−iw1 = 1, u1 =
(
cos π
8
sen π
8
)
y para la segunda familia
e−iw2 = −1, u1 =
(
− sen π
8
cos π
8
)
Resolvemos primero, para la primera familia, donde sustitumos w1 en 3,12 y
luego lo sustituimos en 3,11, así:
W =
(
iπneiθ cos(π
8
)
iπneiθ sen(π
8
)
)
Donde se le agregó una fase eiθ con la cual parametriza soluciones equivalente
y θ es un número real [26]. Después obtenemos Ω sacando la función logarítmica
de 2,1. Entonces X(1)H para la primera familia quedaría:
X = iπ
 sen2 π8 − sen π8 cos π8 neiθ cos(π8 )− sen π
8
cos π
8
cos2 π
8
neiθ sen(π
8
)
ne−iθ cos(π
8
) ne−iθ sen(π
8
) 0

CAPÍTULO 3. CONSTRUCCIÓN DE COMPUERTAS CUÁNTICAS 25
El entero n cuenta el número de bucles P (t) = etxP0e−tx.
Ahora encontramos los eigenvalores y eigenvectores deX. Usando la descompo-
sición espectrall podemos calcular la exponencial etX . Con esto podemos encontrar
3,10, así entonces se obtiene [27]:
P (tX
(1)
H ) = sen
2(nπt)
Esto claramente muestra que el bucle P (t) pasa a través del punto inicial P0
|n| − 1 veces en el intervalo 0 < t < 1. Haciendo el mismo procedimiento para la
segunda familia se obtiene:
P (tX
(2)
H ) = (1−
1
4n2
) sen2(nπt)
Donde se demuestra que hay dos familias de soluciones exactas para la im-
plementación de la holonomía asociada de la compuerta Hadamard [28]. Para
determinar el bucle más corto necesitamos encontrar la longitud del bucle que es
proporcional a la norma ‖W‖ de la matriz W [29]. Donde
∥∥W 1H∥∥ = π |n|
∥∥W 2H∥∥ = π2√4n− 1
Entonces concluimos que la solución del bucle simple n = ±1 en la segunda
familia es de hecho óptima en toda clase de soluciones. En la siguiente figura de
la primera familia se muestra para n=1 o sea para un solo bucle que la holonomía
asociada se cumple [30].
CAPÍTULO 3. CONSTRUCCIÓN DE COMPUERTAS CUÁNTICAS 26
Figura 3.1: Bucle
Capítulo 4
Medición de estado del SMM
4.1. Antecedentes
La medición de estado espin del SMM (Magneto de Molécula Simple) usando
un resonador de microbandas es considerado teóricamente. La interacción entre
la microbanda y el SMM causa una variación de la frecuencia de la resonancia de
microbanda. Para un espín-4 SMM Ni4, el máximo cambio posible de frecuencia
relativa es estimado para ser 3,2× 10−5 para el estado excitado y 5,8× 10−5 pa-
ra el estado base [31]. El análisis numérico muestra el comportamiento histéresis
de la frecuencia del resonador. Se proponen el método de la medición del estado
espin del SMM con el resonador de microbandas basado en el signo de cambio de
frecuencia [32].
Los resonadores de microbandas son circuitos eléctricos. Un resonador eléctrico
es un sistema caracterizado por una frecuencia resonante w0. Esta frecuencia dá
una velocidad de intercambio periódico de energía eléctrica y energía magnética
en el sistema [33]. El resonador de microbandas consiste de líneas de transmisión
microbanda que son estructuras transmitiendo ondas electromagnéticas. Un im-
portante parámetro de un resonador es el factor calidad Q:
Q =
w(promedio de energía almacenada en el resonador)
energía perdida por segundo
donde w es la frecuencia. Las líneas de transmisión son estructuras especia-
lizadas en transmitir ondas electromagnéticas en radio frecuencias por ejemplo
300KHz y 300GHz. Las líneas de transmisión microbandasson líneas de trans-
27
CAPÍTULO 4. MEDICIÓN DE ESTADO DEL SMM 28
misión planas consistentes de una banda conductora y un plano base separado
por un dieléctrico. En una línea de transmisión, la inductancia L, capacitancia C,
resistencia R y conductancia G son uniformemente distribuidas.
El SMM puede ser usado como qubits en procesos de información cuántica. Los
SMMs tales como acetatos Mn4 (espin S=10) O Ni4 (S=4) [34], tiene espectros
de energía no equidistantes y tiempos de relajación largos que son características
favorables de un qubit [35]. En este estudio se considera la dinámica del espín
adiabático asumiendo los restos del SMM en el estado base o estado excitado en
el marco de referencia de rotación.
4.2. Sistema del Microbandas
Un círcuito equivalente a un resonador de microbandas conectado con una
fuente de voltaje externo y un detector es representado en la Fig. 4,2.
Figura 4.1: Forma física del resonador de microbandas
En la Fig. 4,1. se muestran las secciones transversales de resonador de micro-
bandas y el momento magnético, ~m, del SMM en el instante cuando el momento
magnético del SMM apunta a la dirección z positiva. l y w son la longitud y el
ancho de la microbanda, s es la distancia entre el substrato y el SMM, d es la
distancia entre las placas o el espesor del dieléctrico [36, 37]. Los substratos mas
comúnes en la microbanda son: fibra de vidrio, teflón, cerámica, zafiro y cuarzo.
CAPÍTULO 4. MEDICIÓN DE ESTADO DEL SMM 29
Figura 4.2: Circuito Equivalente
De la Fig. 4,2 el bucle del medio representa el resonador de microbandas. Con
un inductor L, un capacitor C, y una resistencia R. La resistencia R2 representa el
dispositivo de medición [38]. A continuación se calcula la frecuencia de resonancia
del resonador en base a la Fig. 4,2.
La capacitancia vendría dada por el condensador variable que es:
C = �0�r
A
d
�0 es la permitividad del vacío.
�r es la permitividad del material dieléctrico entre las placas.
A es el área efectiva de las placas.
d es la distancia entre las placas.
Si la permitividad total esta dada por � = �0�r, la capacitancia de la Fig. 4,2
esta dada por:
C =
�wl
d
Para un inductor (bobina) cilíndrico de núcleo de aire tenemos:
CAPÍTULO 4. MEDICIÓN DE ESTADO DEL SMM 30
L =
µ0kN
2A
l
µ0 es la pearmibilidad del espacio libre.
k es el coeficiente Nagaoka
N es el número de vueltas.
A es el área de la sección transversal del inductor.
l es la longitud de la bobina.
Entonces conforme a la Fig. 4,2, tenemos:
L =
µ0ld
w
La impedancia Z total es la suma vectorial de la resistencia R y la reactancia
X. Esto es:
Z = R + iX
i es la unidad imaginaria.
X = (XL −XC) es la reactancia en Ohm.
Aquí la reactancia capacitiva XC y la reactancia inductiva XL estan dadas por:
XC = −
1
wC
= − 1
2πfC
; XL = wL = 2πfL
f es la frecuencia en hertz.
CAPÍTULO 4. MEDICIÓN DE ESTADO DEL SMM 31
w frecuencia angular
Con esto podemos encontrar la impedancia entre los puntos d-e en la Fig. 4,2:
Zde = R + iX = R2 + i(XL −XC) = R2 + i(−1/wC2) = R2 − (i/wC2)
Zde = R2 + (1/iwC2)
de igual forma se calcula la impedancia entre los puntos d-g, b-f y a-b y se
obtienen:
Zdg = 1/iwC
Zbf = R + iwL
Zab = 1/iwC1
La impedancia en serie esta dada por Z + Z1 + ... + Zn y la impedancia en
paralelo es igual al inverso de la suma de los inversos. En el circuito de la Fig. 4,2
podemos ver que Zab está en serie y Zde, Zdg y Zbf están en paralelo por lo que
obtenemos:
Ztotal = Zab +
1
1
Zde
+ 1
Zdg
+ 1
Zbf
Ztotal =
1
iwC1
+
1
1
R2+
1
iwC2
+ 11
iwC
+ 1
R+iwL
=
1
iwC1
+
1
(R2 +
1
iwC2
)−1 + iwC + 1
R+iwL
La tensión de las extremidades de una impedancia es igual al producto de la
corriente por la impedancia, esto es V = ZI de donde se puede obtener I = V/Z,
donde Z = Ztotal en este caso. La diferencia de potencial (tensión) de un punto a
otro esta dado por V = Vf−Vi, por lo que la diferencia de potencial ente a y b en la
Fig. 4,2 esta dada por Vab = Va−Vb. Como Va es V y Vb es el voltaje que decae por
CAPÍTULO 4. MEDICIÓN DE ESTADO DEL SMM 32
el capacitor C1, entonces Vb = IXc, prosiguiendo de la misma manera se tiene que:
Vab = V −
V
ZiwC1
Ved = I2(R2 + 1/iwC2)
I2 =
V (1− 1
ZiwC1
)
( 1
iwC2
+R2)
La potencia consumida en la resistencia de salida R2 esta dada por P = IV , y
como V = IR, entonces el poder de salida normalizado esta dado por P = I22R2.
Para los valores, � = 13�0 (�0 es la permitividad del espacio libre), w = 0,4mm,
l = 1,5mm, d = 5mm, C1 = C2 = 1fF , R = 16mΩ y R2 = 1mΩ esta mostrado
en la Fig. 4,3 como funcion de
√
LCw (Los cálculos son mostrados en el apéndice
B).
Figura 4.3: Poder disipado por R2
Los análisis numéricos que se muestran más adelante muestra que el poder
disipado por R2 es máximo en w = 1√LC si C1, C2 � C. Por lo tanto, el sistema
de microbandas representado por el circuito equivalente en la Fig. 4,2 puede ser
usado para encontrar la frecuencia de resonancia del resonador.
4.3. Análisis de la dinámica del Espín del SMM
adiabático
En ésta sección se considera la dinámica del espín del SMM Ni4, aquí Ni4 es
[Ni(hmp)(dmb)Cl]4. Donde hmp es el monoanión de 2-hidroximetilpiridina, dmb
es el 3,3-dimethyl-1-butanol. Muchos SMM están preparados con la composición
general de [Ni(hmp)(dmb)Cl]4 [39]. Este es un SMM particularmente limpio sin
CAPÍTULO 4. MEDICIÓN DE ESTADO DEL SMM 33
moléculas de salvato presentes en su fase cristal y solo 1 % de espines nucleares
en los sitios de metales de transición [40].
En la aproximación del espín gigante que se ha obtenido de forma experi-
mental, los nueve niveles de energía del Ni4 puede ser descrito por el siguiente
Hamiltoniano [41]:
H
~
= DŜ2Z + AŜ
4
Z + F (Ŝ
4
+ + Ŝ
4
−) +
µB
~
B · ~g · Ŝ (4.1)
El primer término describe la anisotropía uniaxial, el segundo y tercer término
describen la anisotropía de cuarto orden en el plano sólido, y el último término
es la interacción con el campo magnético externo [42]. El último término también
es conocido como la energía de Zeeman. El término de anisotropía uniaxial, DŜ2Z ,
es común para todos los SMMs, porque tienen un eje magnético fácil. El término
cuarto orden AŜ4Z , describe una dependenica no-lineal de diferentes energías entre
sucesivos eigenvalores de ŜZ . Los parámetros dividido de un cristal simple Ni4 son:
D = −9,797×1010 1
s
, A = −8,10×108 1
s
, F = ±3,8×107 1
s
, gx = gy = 2,23 y gz = 2,3
[41, 42]. Se tomará el valor positivo para F ya que no influye cualitativamente.
El modelo fenomenológico cuadrático total de anisotropía del espín enorme-
mente utilizado en datos experimentales del SMM es: H = −DŜ2Z +A−�(Ŝ2x+ Ŝ2y)
donde A representa la isotropía total de las interacciones del espín y D y � son me-
diciones de las anisotropías axiales y azimutales totales del espín respectivamente
[43, 44].
La anisotropía se define en relación a los ejes principales totales del espín,
que para la alta simetría de sistemas de espín-equivalente, son los vectores del eje
molecular. Un modelo más preciso para un sistema 4-espín basado en el modelo
miscroscópico es dado en [45].
Dejemos el campo magnético externo ~B de 4,1 en la dirección paralela a la
longitud del microbandas. Para ~B = B0x̂ denotamos el Hamiltoniano como H0:
H0
~
= DŜ2Z + AŜ
4
Z + F (Ŝ
4
+ + Ŝ
4
−) +
µBgxB0
~
Ŝx (4.2)
Ahora debemos representar el Hamiltoniano como un qubit. Denotamos los
estados base y el primer excitado del Hamiltoniano H0 como |0〉 y |1〉. Estos dos
estados representan nuestro qubit. Los cálculos numéricos muestran que para los
CAPÍTULO 4. MEDICIÓN DE ESTADO DEL SMM 34
valores de B0 mas pequeños que 4T , la frecuencia de transición entre el estado
base y el primer estado excitado es mucho más pequeño que la frecuencia de
transición entre el primer estado excitado y el segundo estado excitado [45]. Esto
significa que hay más probabilidad de encontrarse entre el estado base |0〉 y el
primer estado excitado |1〉, que entre el primer estado excitado |1〉, y el segundo
estado excitado |2〉.
Por esta razón podemosconsiderar sólo las transiciones entre los estados |0〉
y |1〉. En general el Hamiltoniano truncado efectivo, Heff , para los estados del
qubit tiene la siguiente forma:
Heff =
(
〈0|H|0〉 − 〈1|H|1〉
2
)
σ̂z +
(
〈1|H|1〉 − 〈0|H|0〉
2
)
Ê
+
(
〈0|H|1〉 − 〈1|H|0〉
2
)
σ̂x +
(
i
〈0|H|1〉 − i〈1|H|0〉
2
)
σ̂y
donde ~σx, ~σy y ~σz son las matrices de Pauli espín y ~E es la matriz densidad,
simplificando tenemos que:
Heff =
(
〈0|H|0〉 〈0|H|1〉
〈1|H|0〉 〈1|H|1〉
)
(4.3)
Si ponemos el SMM en el campo magnético estático y un campo de radio
frecuencial, tenemos:
~B = B0x̂+ cos (wt)(Bx1x̂+By1 ŷ +Bz1 ẑ) (4.4)
donde w, Bx, By, Bz son las frecuencias angulares y amplitudes del radio
frecuencial. Para el campo magnético dado en la ecuación 4,4 el Hamiltoniano
truncado se convierte en:
Heff
~
=
H0
~
+ U
Heff
~
=
(
〈0|H0~ |0〉 〈0|
H0
~ |1〉
〈1|H0~ |0〉 〈1|
H0
~ |1〉
)
+
(
〈0|U |0〉 〈0|U |1〉
〈1|U |0〉 〈1|U |1〉
)
CAPÍTULO 4. MEDICIÓN DE ESTADO DEL SMM 35
donde:
U = cos (wt)
µB
~
(Bx1gxSx +By1gySy +Bz1gzSz)
para desarrollarlo se divide en partes de la siguiente manera:
U1 = cos (wt)
µB
~
(Bx1gxSx)
U2 = cos (wt)
µB
~
(By1gySy)
U3 = cos (wt)
µB
~
(Bz1gzSz)
para U1 tenemos:
=
(
〈0|U1|0〉 − 〈1|U1|1〉
2
)
σ̂z +
(
〈1|U1|1〉+ 〈0|U1|0〉
2
)
Ê
+
(
〈0|U1|1〉+ 〈1|U1|0〉
2
)
σ̂x +
(
i
〈0|U1|1〉 − i〈1|U1|0〉
2
)
σ̂y
Sustituyendo U1 obtenemos:
=
(
〈0|µBBx1gxSx coswt~ |0〉 − 〈1|
µBBx1gxSx coswt
~ |1〉
2
)
σ̂z
+
(
〈1|µBBx1gxSx coswt~ |1〉+ 〈0|
µBBx1gxSx coswt
~ |0〉
2
)
Ê
+
(
〈0|µBBx1gxSx coswt~ |1〉+ 〈1|
µBBx1gxSx coswt
~ |0〉
2
)
σ̂x
+
(
i
〈0|µBBx1gxSx coswt~ |1〉 − i〈1|
µBBx1gxSx coswt
~ |0〉
2
)
σ̂y
Como µBBx1gx cos (wt)~ son constantes los podemos sacar obteniendo asi:
=
µBBx1gx cos (wt)
2~
(〈0|Ŝx|0〉 − 〈1|Ŝx|1〉)σ̂z
CAPÍTULO 4. MEDICIÓN DE ESTADO DEL SMM 36
+
µBBx1gx cos (wt)
2~
(〈1|Ŝx|1〉+ 〈0|Ŝx|0〉)Ê
+
µBBx1gx cos (wt)
2~
(〈0|Ŝx|1〉+ 〈1|Ŝx|0〉)σ̂x
+
µBBx1gx cos (wt)
2~
(i〈0|Ŝx|1〉 − i〈1|Ŝx|0〉)σ̂y
Como podemos ver en el apéndice C 〈0|Sx|1〉 y 〈1|Sx|0〉 son cero entonces
tenemos:
=
µBBx1gx cos (wt)
2~
(〈0|Ŝx|0〉−〈1|Ŝx|1〉)σ̂z+
µBBx1gx cos (wt)
2~
(〈1|Ŝx|1〉+〈0|Ŝx|0〉)Ê
Si ponemos 〈0|Ŝx|0〉 = Sx00 y 〈1|Ŝx|1〉 = Sx11 obtenemos:
=
µB cos (wt)
2~
[gxBx1(S
x
00 − Sx11)σ̂z + gxBx1(Sx11 + Sx00)Ê]
Para U2 y U3 hacemos lo mismo y sabiendo del apéndice C que para U2 〈0|Sy|0〉
y 〈1|Sy|1〉 son cero además de que −〈0|Sy|1〉 y 〈1|Sy|0〉 son iguales y que para
U3 〈0|Sz|0〉 y 〈1|Sz|1〉 son cero adémas de que 〈0|Sz|1〉 y 〈1|Sz|0〉 son iguales
obtenemos:
µBgyBy1 cos (wt)
2~
(−Sy01)σ̂y para U2
µBgzBz1 cos (wt)
2~
(Sz01)σ̂x para U3
donde Sy01 = −i〈0|Ŝy|1〉 = i〈1|Ŝy|0〉 y Sz01 = 〈0|Ŝz|1〉 = 〈1|Ŝz|0〉
Ahora para la otra parte tenemos:
=
(
〈0|H0~ |0〉 − 〈1|
H0
~ |1〉
2
)
σ̂z +
(
〈1|H0~ |1〉+ 〈0|
H0
~ |0〉
2
)
Ê
CAPÍTULO 4. MEDICIÓN DE ESTADO DEL SMM 37
+
(
〈0|H0~ |1〉+ 〈1|
H0
~ |0〉
2
)
σ̂x +
(
i
〈0|H0~ |1〉 − i〈1|
H0
~ |0〉
2
)
σ̂y
Sabiendo del apéndice C que 〈0|H0~ |1〉 y 〈1|
H0
~ |0〉 son cero podemos eliminar
algunos términos y obteniendo así :
=
(
〈0|H0~ |0〉 − 〈1|
H0
~ |1〉
2
)
~σz +
(
〈1|H0~ |1〉+ 〈0|
H0
~ |0〉
2
)
~E
Multiplicando por las matrices de pauli y simplificando obtenemos:
= −wL
2
~σz donde wL = 〈1|
H0
~
|1〉 − 〈0|H0
~
|0〉
wL es la frecuencia Larmor. Juntando todas las partes obtenemos:
Heff
~
= −wL
2
σ̂z +
µB cos (wt)
2~
[gxBx1(S
x
00 − Sx11)σ̂z + gxBx1(Sx11 + Sx00)Ê]
+
µB cos (wt)
2~
(gzBz1S
z
01σ̂x − gyBy1S
y
01σ̂y)
(4.5)
Todos los parámetros en la ecuación 4,5 son reales y asumimos que el g-tensor
es diagonal en nuestro sistema rectangular. Notemos que los parámetros de 4,5 y
wL dependen del valor de B0 Debido a la anisotropía uniaxial larga, |Sz01| � |Sx01|,
no consideramos el campo rf a lo largo del eje y. Ignorando el término con la ma-
triz identidad y el término oscilatorio proporcional a σ̂z, obtenemos el siguiente
Hamiltoniano efectivo:
Heff
~
= −wL
2
σ̂z +
µB cos (wt)
2~
gzBz1S
z
01σ̂x
Introduciendo:
CAPÍTULO 4. MEDICIÓN DE ESTADO DEL SMM 38
γz =
µBgz
~
, w1 = γzBz1 (4.6)
Obtenemos para el sistema efectivo 2-niveles:
Heff
~
= −wL
2
σ̂z +
w1S
z
01
2
cos (wt)σ̂x (4.7)
Nos trasladaremos a un sistema de rotación mediante una transformación uni-
taria |ψr〉 = ˆR†zψ〉 donde R̂ = eiwtσ̂z/2, |ψr〉 y |ψ〉 son los estados vectores en
los sistemas coordenados rotados y de laboratorio, correspondientemente. Con la
ecuación de Schrödinger:
i~
d
dt
|ψ(t)〉 = Ĥ|ψ(t)〉
Encontraremos el hamiltoniano en el modo rotado, primero derivamos la ecua-
ción de Schrödinger en el sistema de coordenadas rotado. El estado de la ecuación
de Schrödinger en las coordenadas del sistema de laboratorio i~ ∂
∂t
|ψ〉 = Heff |ψ〉
donde el hamiltoniano está dado por 4,7, sustituyendo:
|ψ〉 = R̂z|ψr〉 = eiwtσ̂z/2|ψr〉
i~
∂
∂t
R̂z|ψr〉 = Heff R̂z|ψr〉
después lo multiplicamos por e−iwtσ̂z/2 del lado izquierdo, como e−iwtσ̂z/2 = R̂†z,
obtenemos:
R̂†zi~
∂
∂t
R̂z|ψr〉 = R̂†zHeff R̂z|ψr〉 (4.8)
realizando la derivada ∂
∂t
R̂z|ψr〉 obtenemos:
CAPÍTULO 4. MEDICIÓN DE ESTADO DEL SMM 39
iwσz
2
R̂z|ψr〉+ R̂z
∂
∂t
|ψr〉
sustituyendo en 4,8 obtenemos:
R̂†zi~
[
iwσz
2
R̂z|ψr〉+ R̂z
∂
∂t
|ψr〉]
]
= R̂†zHeff R̂z|ψr〉
− ~wσz
2
|ψr〉+ i~
∂
∂t
|ψr〉 = R̂†zHeff R̂z|ψr〉 (4.9)
El operador del lado derecho es:
R̂†zHeff R̂z = −
~wL
2
R̂†zσzR̂z +
~w1Sz01
2
cos (wt)R̂†zσxR̂z
R̂†zHeff R̂z = −
~wL
2
σz +
~w1Sz01
2
cos (wt)R̂†zσxR̂z (4.10)
Usando la notación de Dirac de que σz = |0〉〈0| − |1〉〈1|, σx = |0〉〈1| − |1〉〈0| y
R̂z = e
iwtσz/2, entonces:
e±iwtσz/2 = e±iwt/2|0〉〈0|+ e∓iwt/2|0〉〈0|
R̂†zσxR̂z =
(
0 e−iwt
eiwt 0
)
cos (wt)R̂†zσxR̂z =
(
eiwt + e−iwt
2
)(
e−iwt|0〉〈1|+ eiwt|1〉〈0|
)
=
1
2
(
|0〉〈1|+ e−2iwt|0〉〈1|+ e2iwt|1〉〈0|+ |1〉〈0|
)
CAPÍTULO 4. MEDICIÓN DE ESTADO DEL SMM 40
Si σ̂± = σ̂x ± iσ̂y, entonces:
σ̂+ =
(
0 2
0 0
)
, σ̂− =
(
0 0
2 0
)
Por lo que:
cos (wt)R̂†zσxR̂z =
1
2
(
σ̂x + e
−2iwt σ̂+
2
+ e2iwt
σ̂−
2
)
Omitiendo los términos de oscilación rápida σ̂±e∓2iwt (aproximación de onda
rotada) y sustituyendo en 4,10
R̂†zHeff R̂z = −
~wL
2
σ̂z +
~w1Sz01
4
σ̂x
Sustituyendo esto en 4,9 obtenemos:
i~
∂
∂t
|ψr〉 −
~wσz
2
|ψr〉 =
(
−~wL
2
σ̂z +
~w1Sz01
4
σ̂x
)
|ψr〉
i~
∂
∂t
|ψr〉 =
(
~w − ~wL
2
σ̂z +
~w1Sz01
4
σ̂x
)
|ψr〉
se convierte en el marco de referencia rotado como:
i~
∂
∂t
|ψr〉 = Hr|ψr〉 (4.11)
donde Hr es el Hamiltoniano en el marco rotado:
Hr
~
=
(
w − wL
2
σ̂z +
w1S
z
01
4
σ̂x
)
(4.12)
CAPÍTULO 4. MEDICIÓN DE ESTADO DEL SMM 41
Asumiendo un cambio lento (adiabático) de la frecuencia wL donde wL =
〈1|H0/~|1〉 − 〈0|H0/~|0〉, entonces podemos tomar wL como una constante, asi
podemos considerar los eigenvectores del Hamiltoniano 4,12 que se obtuvieron en
el apéndice D y después de una simplifiación como:
|±r〉 =
−w1Sz01|0〉+
[
2(w − wL)∓
√
4(w − wL)2 + (w1Sz01)2
]
|1〉
(w1Sz01)
2 +
[
2(w − wL)∓
√
4(w − wL)2 + (w1Sz01)2
]2 (4.13)
Usando la transformación unitaria, los eigenvectores de Heff en el marco ini-
cial (no rotado) son:
|±〉 =
−w1Sz01eiwt|0〉+
[
2(w − wL)∓
√
4(w − wL)2 + (w1Sz01)2
]
|1〉√
(w1Sz01)
2 +
[
2(w − wL)∓
√
4(w − wL)2 + (w1Sz01)2
]2 (4.14)
Notemos que cuando wL � w los eigenestados pueden ser aproximados a
|+〉 ≈ |1〉 y |−〉 ≈ |0〉. En otras palabras cuando B0 es largo, los eigenestados son
aproximadamente nuestros estados qubit. Los componentes de los espín promedio
para los eigenvectores de 4,14 son calculados de la siguiente manera:
〈Ŝx〉 = 〈q|Ŝx|q〉 |q〉 = |±〉
primero se realiza para |q〉 = |+〉, entonces 〈q|Ŝx|q〉 = 〈+|Ŝx|+〉 y |+〉 =
A|0〉+B|1〉, donde:
A =
−w1Sz01eiwt√
(w1Sz01)
2 +
[
2(w − wL)−
√
4(w − wL)2 + (w1Sz01)2
]2
CAPÍTULO 4. MEDICIÓN DE ESTADO DEL SMM 42
,
B =
[
2(w − wL)−
√
4(w − wL)2 + (w1Sz01)2
]
√
(w1Sz01)
2 +
[
2(w − wL)−
√
4(w − wL)2 + (w1Sz01)2
]2
Entonces 〈q|Ŝx|q〉 = 〈+|Ŝx|+〉 = (〈0|A∗ + 〈0|B∗)Sx(A|0〉 + B|1〉), hacien-
do la multiplicación y recordando que 〈1|Ŝx|0〉 y 〈1|Ŝx|0〉 son cero y además
〈0|Ŝx|0〉 = Sx00 y 〈1|Ŝx|1〉 = Sx11, tenemos:
|A2|Sx00 + |B2|Sx11
Sustituyendo A y B obtenemos:
〈Ŝx〉 = 〈+|Ŝx|+〉 =
(w1S
z
01)
2Sx00+
[
2(w − wL)−
√
4(w − wL)2 + (w1Sz01)2
]2
Sx11
(w1Sz01)
2 +
[
2(w − wL)−
√
4(w − wL)2 + (w1Sz01)2
]2
Para 〈Ŝy〉 = 〈+|Ŝy|+〉 hacemos lo mismo y obtenemos:
B∗A〈1|Ŝy|0〉+ A∗B〈0|Ŝy|1〉
Sustituyendo A y B y con eiwt = cos (wt) + i sen (wt), iSy01 = 〈0|Ŝy|1〉 y
−iSy01 = 〈1|Ŝy|0〉 obtenemos:
〈Ŝy〉 = −
w1S
z
01 cos (wt) ·
[
2(w − wL)−
√
4(w − wL)2 + (w1Sz01)2
]
(−iSy01)
(w1Sz01)
2 +
[
2(w − wL)−
√
4(w − wL)2 + (w1Sz01)2
]2
CAPÍTULO 4. MEDICIÓN DE ESTADO DEL SMM 43
−
iw1S
z
01 sin (wt) ·
[
2(w − wL)−
√
4(w − wL)2 + (w1Sz01)2
]
(−iSy01)
(w1Sz01)
2 +
[
2(w − wL)−
√
4(w − wL)2 + (w1Sz01)2
]2
−
w1S
z
01 cos (wt) ·
[
2(w − wL)−
√
4(w − wL)2 + (w1Sz01)2
]
(iSy01)
(w1Sz01)
2 +
[
2(w − wL)−
√
4(w − wL)2 + (w1Sz01)2
]2
+
iw1S
z
01 sin (wt) ·
[
2(w − wL)−
√
4(w − wL)2 + (w1Sz01)2
]
(iSy01)
(w1Sz01)
2 +
[
2(w − wL)−
√
4(w − wL)2 + (w1Sz01)2
]2
〈Ŝy〉 = 〈+|Ŝy|+〉 =
−2w1Sz01S
y
01
[
2(w − wL)−
√
4(w − wL)2 + (w1Sz01)2
]
sin (wt)
(w1Sz01)
2 +
[
2(w − wL)−
√
4(w − wL)2 + (w1Sz01)2
]2
Para 〈Ŝz〉 = 〈+|Ŝz|+〉 tenemos:
B∗ASz01 + A
∗BSz01
Sustituyendo igual que para 〈Ŝy〉 tenemos:
〈Ŝy〉 = −
w1S
z
01 cos (wt) ·
[
2(w − wL)−
√
4(w − wL)2 + (w1Sz01)2
]
(Sz01)
(w1Sz01)
2 +
[
2(w − wL)−
√
4(w − wL)2 + (w1Sz01)2
]2
−
iw1S
z
01 sin (wt) ·
[
2(w − wL)−
√
4(w − wL)2 + (w1Sz01)2
]
(Sz01)
(w1Sz01)
2 +
[
2(w − wL)−
√
4(w − wL)2 + (w1Sz01)2
]2
CAPÍTULO 4. MEDICIÓN DE ESTADO DEL SMM 44
−
w1S
z
01 cos (wt) ·
[
2(w − wL)−
√
4(w − wL)2 + (w1Sz01)2
]
(Sz01)
(w1Sz01)
2 +
[
2(w − wL)−
√
4(w − wL)2 + (w1Sz01)2
]2
+
iw1S
z
01 sin (wt) ·
[
2(w − wL)−
√
4(w − wL)2 + (w1Sz01)2
]
(Sz01)
(w1Sz01)
2 +
[
2(w − wL)−
√
4(w − wL)2 + (w1Sz01)2
]2
〈Ŝz〉 = 〈+|Ŝz|+〉 =
−2w1(Sz01)2
[
2(w − wL)−
√
4(w − wL)2 + (w1Sz01)2
]
cos (wt)
(w1Sz01)
2 +
[
2(w − wL)−
√
4(w − wL)2 + (w1Sz01)2
]2
Para hacerlo para |−〉 = A|0〉 − B|1〉, es evidente que es el mismo procedi-
miento, donde sólo cambian algunos signos, por lo que el promedio del espín para
los eigenvectores de 4,14 son:
〈Ŝx〉 = 〈q|Ŝx|q〉 =
(w1S
z
01)
2Sx00 +
[
2(w − wL)− q
√
4(w − wL)2 + (w1Sz01)2
]2
Sx11
(w1Sz01)
2 +
[
2(w − wL)− q
√
4(w − wL)2 + (w1Sz01)2
]2
〈Ŝy〉 = 〈q|Ŝy|q〉 =
−2w1Sz01S
y
01
[
2(w − wL)− q
√
4(w − wL)2 + (w1Sz01)2
]
sin (wt)
(w1Sz01)
2 +
[
2(w − wL)− q
√
4(w − wL)2 + (w1Sz01)2
]2
〈Ŝz〉 = 〈q|Ŝz|q〉 =
−2w1(Sz01)2
[
2(w − wL)− q
√
4(w − wL)2 + (w1Sz01)2
]
cos (wt)
(w1Sz01)
2 +
[
2(w − wL)− q
√
4(w − wL)2 + (w1Sz01)2
]2
(4.15)
Donde q = |±〉 en el lado izquierdo y q = ±1 en el lado derecho.
CAPÍTULO 4. MEDICIÓN DE ESTADO DEL SMM 45
4.4. Interacción entre el resonador de microban-
das y el SMM
En este apartado encontraremos el cambio de frecuencia del resonador causado
por el SMM.
4.4.1. Aproximación del flujo
Primero estimamos el flujo magnético creado por el SMM en el resonador.
Pongamos el SMM a una distancia s lejos del dieléctrico como se muestra en 4,1.
El campo magnético producido por el SMM, lo podemos obtener del campo mag-
nético de un dipolo, ya que la densidad del flujo magnético está dado por:
~B(r) = ∇× A = µ0
4π
(
3~r(~m · ~r)
r5
− ~m
r3
)
=
µ0
4π
(
3r2r̂(~m · r̂)
r5
− ~m
r3
)
~B(r) =
µ0
4πr3
(3(~m · r̂)r̂ − ~m) (4.16)
donde r̂ es el vector unitario del punto del SMM al punto de observación y r
es la distancia a ese punto. Pondremos el origen de nuestro sistema coordenado
en el SMM. Por simplicidad asumimos que el momento magnético del SMM está
apuntando a lo largo del eje z. Entonces tenemos:
~B(r) =
µ0
4πz3
(3(mz ẑ · ẑ)ẑ −mz ẑ)
=
µ0
4πz3
(3(mz)ẑ −mz ẑ)
~B(r) =
µ0mz
2πz3
ẑ
El promedio que es lo mismo que sacar la integral del campo magnético en el
resonador sobre el eje está dado por:
CAPÍTULO 4. MEDICIÓN DE ESTADO DEL SMM 46
~B = 〈Bz〉ẑ 〈Bz〉 =
1
d
∫ −d−s
−s
µ0mz
4πz3
Como el promedio es la suma de varias cantidades dividido entre el total de
cantidades, podemos hacer la intefral con los límites de un punto a otro dividido
entre el total de la distancia, en este caso d por eso está el 1/d, los límites se
pueden ver en 4,1. Resolviendo esta integral tenemos:
~B =
µ0mz
4πd
(
z−3+1
−3 + 1
)−d−s
−s
= −µ0mz
8πd
(
1
(−d− s)2
− 1
(−s)2
)
=
µ0mz
8πd
(
1
s2
− 1
(−d− s)2
)
Donde mz = µBgz〈Ŝz〉. Siguiendo de la ecuación 4,16 que a lo largo de la línea
media, z = 0, y = −d
2
− s, esto es:
~r = xî+ (−d/2− s)ĵ + 0k̂
~B =
µ0
4πr3
(−~m)
~B = Bz(r)ẑ, ~B =
µ0mz
4πr3
donde r2 = x2 + (s+ d/2)2. El valor de x donde Bz(r) equivale a la mitad de
su valor en x = 0, es dado por la solución Bz(r) = Bz(r =
√
x2 + (s+ d/2)2) y
si x = 0, 1
2
Bz(r) = Bz(r =
√
(s+ d/2)2), entonces sustituyendo r tenemos:
µ0mz
4π[
√
x2 + (s+ d/2)2]3
=
µ0mz
8π[
√
(s+ d/2)2]3
1
[
√
x2 + (s+ d/2)2]3
=
4πµ0mz
8π[
√
(s+ d/2)2]3
µ0mz
CAPÍTULO 4. MEDICIÓN DE ESTADO DEL SMM 47
[x2 + (s+ d/2)2]−3/2 =
1
2[(s+ d/2)2]3/2
x = (s+ d/2)
√
22/3 − 1
Esta solución x = x′ = (s + d/2)
√
22/3 − 1, es usada para aproximar el flujo
Φ, causado por el SMM en el resonador. Si el campo magnético B es vector pa-
ralelo al vector superficie de área S, el flujo Φ que pasa a través de dicha área es
simplemente el producto del valor absoluto de ambos vectores:
Φ = ~B · S
donde según la figura 4,1, S = x · d, donde se obtuvo x′ para la mitad del flujo
por lo que si queremos el área completa debemos multiplicarlo por 2, así:
Φ = ~B · 2dx′
donde B = 〈Bz〉, sustituyendo esto tenemos:
Φ =
(µ0mz
8πd
)( 1
S2
− 1
(d+ s)2
)
[2d(s+ d/2)
√
22/3 − 1]
Φ =
(µ0mz
4π
)( 1
S2
− 1
(d+ s)2
)
(s+ d/2)
√
22/3 − 1 (4.17)
4.4.2. Campo magnético producido por el microbandas en
el SMM
El campo magnético del microtiras actuando sobre el SMM puede ser aproxi-
mado usando la ley de Ampere. Esta ley nos permite calcular campos magnéticos
CAPÍTULO 4. MEDICIÓN DE ESTADO DEL SMM 48
a partir de las corrientes eléctricas y se enuncia:
∮
~Bd~l = µ0IT
La integral del primer miembro es la circulación o integral de línea del campo
magnético a lo largo de una trayectoria cerrada, donde:
µ0 es la permeabilidad del vacío.
IT es la corriente neta que atraviesa la superficie delimitada por la trayec-
toria, y será positiva o negativa según el sentido con el que atraviese la
superficie.
d~l es un vector tangente a la trayectoria elegida en cada punto.
En nuestro caso I es la corriente en la microbanda. Considerando un pequeño
ciclo rectangular alrededor del microbandas en el plano yz, se obtiene:
B
∮
d~l = µ0I
Bz2w = µ0I
Bz =
µ0I
2w
(4.18)
donde w es el ancho de la microbanda. Se asume que la corriente es positiva
cuando está viajando en la dirección positiva x así que Bz es positiva cuando I es
positivo.
4.4.3. Ecuación para la frecuencia del resonador
Asumimos que el componente oscilatorio del momento magnético mz, genera
un emf en el circuito equivalente del resonador de microtiras (ciclo del centro de
4,2).
CAPÍTULO 4. MEDICIÓN DE ESTADO DEL SMM 49
La fuerza electromotriz (emf), es toda causa capaz de manter una diferencia
de potencial entre dos puntos de un circuito abierto o de producir una corrien-
te eléctrica, en un circuito cerrado. Con carácter general puede explicarse por la
existencia de un campo electromotor � cuya circulación,
∫
s
�ds, define la fuerza
electromotriz del generador. La fem se mide en voltios, al igual que el potencial
eléctrico. La fem de un generador coincide con la diferencia de potencial en un
circuito abierto. La fuerza electromotriz de inducción en un circuito cerrado es
igual a la variación del flujo de induccion Φ del campo magnético que lo atraviesa
en la unidad de tiempo, lo que se expresa con la Ley de Faraday la fórmula:
� = −4Φ
4t
El signo negativo (Ley de Lenz) indica que el sentido de la fem inducida es tal
que se opone al descrito por la ley de Faraday. Entonces tenemos que:
emf = −dΦ
dt
= −k′dmz
dt
(4.19)
donde k′ es un parámetro determinado por la geometría del microtiras. De la
ecuación 4,17 determinamos k′ como:
k′ =
dΦ
dt
(
dmz
dt
)−1
=
µ0
4π
(
1
S2
− 1
(d+ s)2
)
(s+ d/2)
√
22/3 − 1 (4.20)Aplicando las leyes de Kirchoff al bucle central de la figura 4,2.
Donde las dos primeras leyes de Kirchoff dicen:
1. La suma de las corrientes que entran, en un nodo o punto de unión de un
circuito es igual a la suma de corriente que salen de ese nodo.
2. Para todo conjunto de conductores que forman un circuito cerrado, se veri-
fica que la suma de las caídas de tensión en las resistencias que constituyen
la malla, es igual a la suma de las fem′s intercaladas.
CAPÍTULO 4. MEDICIÓN DE ESTADO DEL SMM 50
En el bucle del centro de la figura 4,2, tenemos:
1. Una resistencia R, donde según la ley de ohm la diferencia de potencial V
está dada por V = IR.
2. Un capacitor C, donde la diferencia de potencial está dada por V = 1/C ·∫ t
0
I · dt
3. Una bobina L, donde la diferencia de potencial está dada por V = L · dI
dt
4. El emf que habíamos encontrado antes que es igual a −k′ dmz
dt
Entonces tenemos así con las leyes de Kirchoff aplicada al bucle central de la
figura 4,2 que:
−IR− 1
C
·
∫ t
0
Idt− LdI
dt
− k′dmz
dt
= 0
derivándolo conforme al tiempo tenemos:
− I
C
−Rİ − LÏ − k′m̈z = 0 (4.21)
En orden para encontrar la eigenfrecuencia del resonador afectado por el SMM,
ponemos:
R = 0 I = I0 cos (wt) mz = µzgz〈Ŝz〉 (4.22)
Sustituyendo 4,22 en 4,21 obtenemos:
−I0 cos (wt)
C
− (0)I0 ˙cos(wt)− LI0 ¨cos(wt)− k′(µzgz〈Ŝz〉) = 0
CAPÍTULO 4. MEDICIÓN DE ESTADO DEL SMM 51
En la aproximación cero poniendo k′ = 0 y realizando las derivadas obtenemos:
−I0 cos (wt)
C
+ LI0w
2 cos (wt) = 0
I0
(
− 1
C
+ w2L
)
= 0 (4.23)
A partir de aquí se obtiene la expresión bien conocida para la frecuencia del
resonador:
− 1
C
+ Lw2 = 0
w =
1√
LC
= w0 (4.24)
La cual es la misma que se había encontrado con anterioridad en el tema
Sistema del Microbandas. 4,2. Enseguida obtenemos la frecuencia del sistema
resonador-SMM en la primera aproximación.
El campo magnético oscilatorio transversal en el SMM es con la ecuación 4,18:
Bz =
µ0I0 cos (wt)
2w
Si k = µ0
2w
, entonces Bz = kI0 cos (wt) = B1 cos (wt), por lo que:
k =
Bz
I
=
µ0
2w
(4.25)
De la ecuación 4,21 poniendo R = 0 y mz = µBgz〈Ŝz〉, tenemos:
− I
C
− LÏ − k′µBgz〈Ŝz〉
CAPÍTULO 4. MEDICIÓN DE ESTADO DEL SMM 52
tomando 〈Ŝz〉 de la ecuación 4,15 obtenemos:
−I0 cos (wt)
C
− LI0 ¨cos(wt)
−k′µBgz
−2w1(Sz01)2
[
2(w − wL)− q
√
4(w − wL)2 + (w1Sz01)2
]
¨cos(wt)
(w1Sz01)
2 +
[
2(w − wL)− q
√
4(w − wL)2 + (w1Sz01)2
]2
 = 0
Haciendo la derivada de los cosenos nos damos cuentas que es un término co-
mún por lo que podemos pasarlo al otro lado haciendolo cero, por lo que queda:
−I0
C
+w2LI0−k′µBgz
w22w1(Sz01)2
[
2(w − wL)− q
√
4(w − wL)2 + (w1Sz01)2
]
(w1Sz01)
2 +
[
2(w − wL)− q
√
4(w − wL)2 + (w1Sz01)2
]2
 = 0
Ahora en el segundo término tenemos I0L que lo podemos sacar como término
común y agregar en los términos que hace falta y recordando que w20 =
1
LC
y
haciendo:
P =
−2k′µBgz
I0L
I0L
−w20 + w2 + w2Pw1(Sz01)2
[
2(w − wL)− q
√
4(w − wL)2 + (w1Sz01)2
]
(w1Sz01)
2 +
[
2(w − wL)− q
√
4(w − wL)2 + (w1Sz01)2
]2
 = 0
Si ponemos:
CAPÍTULO 4. MEDICIÓN DE ESTADO DEL SMM 53
N =
w1S
z
01
w0
, r =
wL
w0
, x =
w
w0
I0L
−1 + x2 + Sz01PNx2
[
2(x− r)− q
√
4(x− r)2 +N2
]
N2 +
[
2(x− r)− q
√
4(x− r)2 +N2
]2
 = 0 (4.26)
Recordemos que:
N =
w1S
z
01
w0
=
γzB1S
z
01
w0
, γz =
gzµB
~
Notemos que N y r depende sobre B0.
4.5. Comportamiento histéresis de la frecuencia de
la microtira
En esta sección, describimos la solución numérica de la ecuación 4,26 para
la amplitud de la corriente, I0 = 1µA. La dependencia de la frecuencia Larmor
sobre el campo Magnético B0, es mostrado en la figura 4,4. Dejemos que Bc sea el
campo magnético donde la frecuencia Larmor es equivalente a w0. Para nuestros
parámetros, Bc ≈ 3,266T los cálculos son mostrados en el apéndice E, con lo que
obtenemos:
CAPÍTULO 4. MEDICIÓN DE ESTADO DEL SMM 54
Figura 4.4: Gráfica de la dependencia de wL sobre B0.
Notemos que la descripción clásica del microtiras es válido si la energía es mu-
cho más grande que su energía cuántica: LI20/2 � ~w0. Tomando LI20/2 = ~w0
obtenemos el límite inferior para la amplitud de la corriente:
I ′0 =
√
20~w0/L
I ′0 = 7,044267055× 10−8A
Asumimos que el SMM está inicialmente en su estado base, |0〉.
Capítulo 5
Fase Geométrica
5.1. Antecedentes
Se le llama fase geométrica a la fase que adquiere un sistema al efectuar una
trayectoría que lo devuleve al punto original, mientras se encuentra sujeto a un
párametro que cambia de forma adiabática. El fenómeno fué descubierto por pri-
mera vez en 1956 por Shivaramakrishnan Pancharatnam y redescubierto en 1984
por Michael Berry [46].
Al integrar la ecuación de Scrhödinger dependiente del tiempo a través de un
bucle cerrado, es posible aplicar el teorema de Stokes para transformar la integral
de línea en una integral de superficie. Esto permite relacionar la fase geométrica
que se adquiere con cada bucle con el ángulo sólido definido por la trayectoria del
sistema con respecto a un punto de degeneración, como puede ser una intersección
cónica.
Los factores fase acompañando cambios adiabáticos son expresados en formas
consisas y elegantes y se han encontrado aplicaciones universales en varios campos
de la física, dando así un nuevo punto de vista de la teoría cuántica. [47].
Un sistema cuántico en un eigenestado lentamente transportado alrededor de
un circuito variando parámetros R en su Hamiltoniano Ĥ(R), adquirirá un factor
de fase geométrica eiγ(C) en adición al familiar factor fase dinámica. Una fórmula
general explícita para γ(C) es derivada en términos del espectro y eigenestados
de Ĥ(R) sobre una superficie que abarca C. Si C se encuentra cerca de la dege-
neración Ĥ, γ(C) toma una forma simple la cual incluye como un caso especial
el cambio de signo de las eigenfunciones de las matrices simetricas reales dando
vuelta una degeneración [48].
55
CAPÍTULO 5. FASE GEOMÉTRICA 56
5.1.1. Universalidad de la Fase Geométrica
La detección de la fase de Berry se ha hecho para la luz, el cual es por un lado
muy de mécanica cuántica y relativista, pero por otro lado también descriptible
por la electrodinámica clásica. Las fases geométricas acompañadas de cambios
adiabáticos aparecen en varios sistemas tal como sistemas oscilatorios, sistemas
ópticos, sistemas espín, sistemas moleculares, sin importar si estamos tratando
con mecánica clásica o cuántica. En estado sólido físico, este tipo de argumento
ha sido también usado para explicar el efecto Hall cuántico además del efecto de
la dinámica John-Teller. Por último pero no menos importante la fase de Berry
también ha impactado la teoría de campo. Sin conocimiento previo de la fase geo-
métrica, ha sido posible sin embargo acomodar a una base de tal forma natural
dentro de teorías si uno trata precisamente la ecuación de Schrödinger, la ecuación
de Newton, las ecuaciones de Maxwell y las integrales de camino. Sin embargo, se
puede concluir diciendo que nuestro entendimiento de la mecánica cuántica se ha
profundizado desde la existencia de las fases geométricas fueron explícitamente
reveladas [49].
5.1.2. Teorema adiabático
Es un teorema enunciado por Max Born y Vladimir Fock en 1928, que afirma
lo siguiente: Un sistema físico permanece en su estado propio instantáneo si la
perturbación que actua sobre él es lo bastante lenta y hay un salto energético
entre su valor propio y el resto del espectro de Hamiltoniano.
En otras palabras un sistema mecanocuántico sujeto a condiciones externas
que cambien gradualmente puede adaptar su forma y por tanto permanece en un
estado que le es propio durante todo el proceso adiabático (cambio lento en el
Hamiltoniano cuántico que describe el sistema y que resulta en un cambio de los
valores propios del Hamiltoniano pero no de sus estados propios). Cuantitativa-
mente, el ket |n(t)〉, sujeto a un hamiltoniano variable ψ(t) evoluciona como:
ψ(t) = eiα(t)|n(t)〉 (5.1)
y se considera que el proceso es lo bastante lento cuando se puede aplicar:
|〈m(t)|d
dt
H(t)|n(t)〉| � |En(t)− Em(t)|
4tnm
CAPÍTULO 5. FASE GEOMÉTRICA 57
Donde |m(t)〉 y |n(t)〉 son dos estados del sistema y 4tnm es el periodo carac-
terístico de una oscilación coherente entre estos dos estados.
Las consecuencias de éste teorema son múltiples, variadas y extremadamen-
te sutiles. Una cuantificación de la adiabaticidad de un proceso es la fórmula de
Landau-Lener que calcula la probabilidad de transición en un cruce evitado. Una
aplicación del mismo es la computación adiabática, una propuesta para la compu-
tación cuántica en la que, conocido el problema, se define el estado inicial del
sistema y la evolución en el tiempo del Hamiltoniano externo para que del estado
final se obtenga el resultado del cálculo [50].
Primero consideremos un espín con magnitud S en un campo magnético uni-
forme tiempo-independiente.
Debido al momento magnético asociado con el espín, los niveles de energía
de este sistema cuantizado se dividen en 2S + 1 niveles. El estado ket |n〉 con el
nth energía eigenvalor En se somete a un cambio en el factor fase como (para un
Hamiltoniano constante en el tiempo):
|n〉 = e−iEnt/~|n〉 (5.2)
en la evolución temporal. Esto es el desarrollo temporal del estado estacio-
nario. Enseguida cambiamos la dirección del campo magnético muy lentamente.
Siguiendo el campo magnético variando lentamente, la dirección del espín cambia
también. Se mantiene su componente en la dirección del campo magnético cons-
tante en el tiempo, sin embargo. Así el inicial número cuántico n no cambia para
nada con el cambio del campo magnético. Esto es un típico ejemplo del teorema
adiabático en mecánica cuántica [47, 48].
Generalmente hablando, el teorema adiabático afirma que debe haber inva-
riantes mecánicas bajo la poca variación ejercida externamente sobre un sistema
mecánico. La entropía en sistemas termodinámicos y la acción integral en siste-
mas mecánicos clasicos son, como los números cuánticos en sistemas mecánicos
cuánticos. Aquí simplemente se considera un cambio adiabático como un cambio
temporal que es muy lento comparado con el tiempo para el movimiento propio
en cada sistema [46].
CAPÍTULO 5. FASE GEOMÉTRICA 58
5.2. Fase de Berry
Consideramos el Hamiltoniano del sistema con un párametro externo R(t) de-
pendiente del tiempo denotado como H(R(t)). El ket |n(R(t))〉 del eigenestado
nth correspondiente a R(t) satisface el eigenvalor de la ecuación en tiempo t [46]:
H(R(t))|n(R(t))〉 = En(R(t))|n(R(t))〉 (5.3)
donde el ket |n(R(t))〉 ha sido normalizado. Esta ecuación viene de que los
operadores que aparecen en la ecuación de Scrödinger son lineales. Esto lleva a
favorecer la busqueda de soluciones que tengan un gran interés téorico y práctico
al saber los estados que son propios del operador hamiltoniano [50]. Estos estados
denominados estados estacionarios, son las soluciones de la ecuación de estados y
valores propios.
Hagamos a R evolucionar en tiempo de R(0) = R0. Supongamos que el ket
estado es |n(R0), t0 = 0; t〉 en tiempo t. La ecuación de Scrödinger tiempo depen-
diente que el ket estado obedece es:
H(R(t))|n(R0), t0 = 0; t〉 = i~
∂
∂t
|n(R0), t0 = 0; t〉 (5.4)
donde t0 = 0. Esta ecuación viene de que en mecánica cuántica, el estado en el
instante t de un sistema se describe por un elemento |ψ(t)〉 del espacio complejo
de Hilbert. |ψ(t)〉 representa las probabilidades de resultados de todas las medi-
das posibles de un sistema [49]. Cuando el cambio de R(t) es lo suficiente lento,
esperamos del teorema adiabático que |n(R0), t0 = 0; t〉 deberá ser proporcional
al eigenket de energía nth |n(R(t))〉 de H(R(t)) en tiempo t. Así que lo represen-
tamos como:
|n(R0), t0; t〉 = e−
i
~
∫ t
0 En(R(t
′))dt′eiγn(t)|n(R(t))〉 (5.5)
El primer factor del lado derecho es el factor fase dinámico usual sumando
todos los cambios de fase en el estado estacionario (como lo vimos en 5,2. Por el
otro lado, sustituyendo 5,5 dentro 5,4, es segundo factor fase eiγn(t) se muestra a
CAPÍTULO 5. FASE GEOMÉTRICA 59
ser determinado por:
d
dt
γn(t) = i〈n(R(t))|∇Rn(R(t))〉
d
dt
R(t) (5.6)
Por lo tanto, γn(t) es representado por una integral de camino en el parámetro
espacio (R−):
γn(t) = i
∫ R(t)
R0c
〈n(R(t′))|∇Rn(R(t′))〉dR(t′) (5.7)
donde el camino C de la integral es la del proceso adiabático como los para-
metros externos R cambia de R0 a R(t). Podemos ver que γn es un número real
diferenciado con respecto a R ambos lados de la condición de normalización:
〈n(R(t))|n(R(t))〉 = 1 (5.8)
〈n|∇Rn〉 es puramente imaginario. Ya que la integral 5,7 contiene la deriva-
da de el eigenestado |∇Rn〉, la evaluación práctica aquí puede ser esperada a ser
complicada. Sin embargo, si R describe un bucle cerrado en el parámetro espacio
regresando al punto de inicio después de un intervalo de tiempo T , como es en el
caso de R(T ) = R0, la integral de camino se convierte gratificantemente simplifi-
cada. Primero aplicando el teorema de Stokes, transformamos la integral de línea
a lo largo del bucle cerrado C a un integral de superficie sobre la superficie S(C)
encerrada por el bucle cerrado C. El teorema de Stokes se refiere a la integral de
superficie de la curvatura de un campo vectorial F sobre un superficie � euclideana
en el espacio tridimensional de una integral de linea del campo vectorial sobre su
límite ∂�, entonces tenemos:
γn(c) = i
∮
c
〈n(R)|∇Rn(R)〉dR = −
∫∫
s(c)
Vn(R)dS (5.9)
Vn(R) = Im∇Rn× 〈n(R)|∇Rn(R)〉
CAPÍTULO 5. FASE GEOMÉTRICA 60
= Im〈∇Rn(R)| × |∇Rn(R)〉
Vn(R) = Im
∑
m 6=n
〈∇Rn(R)|m(R)〉 × 〈m(R)|∇Rn(R)〉 (5.10)
donde se ha usado la identidad vectorial:
∇× [f(x)∇g(x)] = (∇f(x))× (∇g(x))
Supongamos que |n(R)〉 es modificado por algún factor fase eix(R). Entonces,
incluso si la integral de línea de 5,9 cambia como:
〈n(R)|∇Rn(R)〉 → 〈n(R)|∇Rn(R)〉+ i∇rx(R) (5.11)
Vn(R) no cambia porque ∇×∇x = 0. Se ha omitido el término m = n en la
última línea de 5,10 porque 〈n|∇Rn〉 es puramente imaginario. Por otro lado los
elementos de la matriz fuera de la diagonal 〈m|∇Rn〉 es representado como sigue.
Multiplicando 〈m| del lado de la ecuación:
(∇RH(R))|n(R)〉+H(R)(∇R|n(R)〉) = (∇RE(R))|n(R)〉+ En(R)(∇R|n(R)〉)
(5.12)
Obtenida diferenciando la ecuación de eigenvalor 5,3 con respecto al paráme-
tro externo R, obtenemos:
〈m(R)|∇Rn(R)〉 =
〈m(R)|∇RH(R)|n(R)〉
En − Em
, m 6= n (5.13)
Por lo tanto el integrando de la integral de superficie 5,9 es dada por:
CAPÍTULO 5. FASE GEOMÉTRICA 61
Vn(R) = Im
∑
m 6=n
〈n(R)|∇RH(R)|m(R)〉 × 〈m(R)|∇RH(R)|n(R)〉
(Em(R)− En(R))2
(5.14)
Aquí notamos que el vector Vn(R) que pasa a través de la superficie de la
integral S(C) es expresado por la forma diferencial de grado 2 del Hamiltoniano
H(R). El conocimiento del estado ket |n(R)〉 en si es usualmente no necesario
para calcular Vn. Para resumir, el estado ket después de una vuelta completa es
expresado como:
|n(R0), t0 = 0;T 〉 = eiγn(C)e−
i
~
∫ T
0 En(R(t
′))dt′|n(R0)〉, (5.15)
γn(C) = −
∫∫
S(C)
Vn(R)dS (5.16)
Aquí, γn(C) es llamado la fase de Berry, y viene del cambio adiabático del
parámetro externo.
Capítulo 6
Procesos Disipativos
6.1. Introducción
El contacto con el ambiente usualmente destruye las operaciones delicadas
de una computadora cuántica, pero los procesos disipativos de ingeniería pueden
permitir una preparación y procesos mas robustos de los estados cuánticos [51].
La evolución temporal convencional de sistemas cuánticos, en diferentes esta-
dos de entrada |ψin〉 conducen a diferentes estados de salida |ψout〉 si una operación
unitaria U es aplicada. La preparación de los estados cuánticos por yacimientos
de ingeniería toman un diferente enfoque. Si la interacción de los sistemas es a
través de ingeniería tal que |ψfin〉 es el único estado estable del proceso disipativo,
entonces el sistema es impulsado a este estado con independencia del estado inicial
iniciando los caminos de evolución ρ1, ρ2, etc [52].
6.1.1. Teorema de Liouville
Este teorema es un resultado de la mecánica Hamiltoniana sobre la evalución
temporal de un sistema mecánico. Un conjunto de partículas con condiciones
incialescercanas pueden representarse por la región conexa que ocupa en el espacio
de fase. El teorema establece que dicha región mantendrá invariante su volumen
a pesar de que se estirará y encogerá a medida que cada partícula evoluciona.
El teorema de Liouville afirma que a pesar de la traslación y el cambio de
forma el volumen total de dicha región permanecerá invariante. Además debido a
la continuidad de la evolución temporal si la región es conexa inicialmente seguirá
siendo conexa todo el tiempo.
62
CAPÍTULO 6. PROCESOS DISIPATIVOS 63
6.1.2. Ecuación de Liouville
El teorema de Liouville puede reescribirse en términos del corchete de Poison,
conocida como la ecuación de Liouville viene dada por:
∂ρ
∂t
= −{ρ,H}
o en términos del operador de Liouville:
L̂ =
d∑
i=1
[
∂H
∂pi
∂
∂qi
− ∂H
∂qi
∂
∂pi
]
que lleva a la forma:
∂ρ
∂t
+ L̂ρ = 0
En mecanica cuántica existe un resultado análogo al teorema de Liouville que
describe la evolución de estado mezcla. De hecho se puede llegar a la versión
mecano-cuántica de este resultado mediante la simple cuantizacion canónica, ob-
teniendo:
∂
∂t
ρ = − i
~
[H, ρ]
Donde ρ es la matriz de densidad. Cuando se aplica el resultado al valor espera-
do de un observable, la correspondiente ecuación dada por el teorema de Ehrenfest
toma la forma [53]:
d
dt
〈A〉 = i
~
〈[H,A]〉
Donde A es un observable.
CAPÍTULO 6. PROCESOS DISIPATIVOS 64
6.1.3. Proceso de Markov
Es un fenómeno aleatorio dependiente del tiempo para el cual se cumple una
propiedad específica: la propiedad de Markov. La propiedad de Markov, o sin
memoria, es uno para el cuál la probabilidad condicional sobre el estado presente,
futuro y pasado del sistema son independientes.
Frecuentemente el término cadena de Markov se usa para dar a entender que
un proceso de Markov tiene un espacio de estado discreto. Una cadena de Markov
se puede caracterizar por la propiedad de ir al estado n + 1 condicionada a que
antes estabamos en el estado n:
P (xn+1|xn)
que es la probabilidad de transición del proceso. La propiedad de las cadenas
de Markov es que las transiciones entre los estados, sólo pueden producirse entre
estados vecinos. Sólo se puede llegar al estado i desde el estado i − 1 o bien de
i+ 1 [54].
6.1.4. Notación Big O
Se utiliza para clasificar los algoritmos de cómo responden a los cambios
de tamaño de entrada. Un algoritmo se dice que lleva tiempo logaritmico si
T (n) = O(log n). Los algoritmos que toman tiempo logarítmico se encuentran
comúnmente en las operaciones en los árboles binarios o cuando se utiliza la
búsqueda binaria. Un algoritmo O(log n) se considera muy eficiente, ya que las
operaciones por instancia requeridas para completar decrece con cada instancia.
Un algoritmo se dice que es la constante de tiempo (escrito como O(1)) si
el valor de T (n) está delimitado por un valor que no depende del tamaño de la
entrada.
La complejidad de tiempo de un algoritmo cuantifica la cantidad de tiempo
empleado por un algoritmo para ejecutar una función de la longitud de la cadena
que representa la entrada. Esto es importante saberlo ya que se utilizará más
adelante en 6,3,1.
La complejidad de tiempo de un algoritmo se expresa comúnmente usando
la notación de la O grande que excluye los coeficientes y los términos de orden
inferior.
El tiempo de complejidad se estima comúnmente contando el número de ope-
raciones elementales realizadas por el algoritmo, donde una operación elemental
CAPÍTULO 6. PROCESOS DISIPATIVOS 65
toma una cantidad fija de tiempo para llevar a cabo. Por lo tanto la cantidad de
tiempo necesario y el número de operaciones elementales realizadas por el algo-
ritmo difiere como máximo en un factor constante [55].
6.1.5. Operador Lindblad
Este operador permite escribir una ecuación para la evolución no unitaria
de la matriz de densidad de un sistema debido a la interacción con un entorno
Markoviano:
dρ
dt
= − i
h
[H, ρ] +
∑
(LµρL
†
µ −
1
2
L†µLµρ−
1
2
ρL†µLµ)
donde el primer término es la evolución unitaria usual, y la suma es sobre
las interacciones elementales Lµ, originadas en el entorno, cada una de las cuáles
produce un salto cuántico en el sistema descrito por ρ. Esta ecuación se emplea a
menudo para describir fenómenos de decoherencia.
Los operadores de Lindblad generan la evolución a un estado final que pro-
duce las mismas correlaciones que el estado |ψ†〉. La ecuación requiere un tiempo
típico 1/4g2 que es desconocido y puede, en principio, ser arbitrariamente peque-
ño [53]. La ecuación de Von Neumann-Liouville (ecuación maestra) está dada por:
dρ̂
dt
= L̂(ρ̂)
Y la ecuación maestra en la aproximación Markoviana:
dρ̂
dt
= L̂1(ρ̂) + D̂(ρ̂)
6.1.6. Estado cluster
Es áquel en el que el procesamiento coherente de la información cuántica se
logra a través de una serie de mediciones de un solo qubit aplicados a un estado
CAPÍTULO 6. PROCESOS DISIPATIVOS 66
fijo cuántico conocido como un estado del cluster. El modelo del estado del cluster
difiere sustancialmente del modelo unitario convencional de computación cuántica.
El cálculo del estado cluster comienza con la preparación de un estado cuántico
especial de muchos qubits enredados, conocido como estado cluster, seguido por
una secuencia de adaptación de las mediciones de un solo qubit el cual procesa el
cluster y finalmente, la lectura del resultado del cálculo a partir de los qubits.
El término estado cluster no se refiere a un único estado cuántico, sino mas
bien a una familia de estados cuánticos. La idea es que para cualquier grafo G de n
vertices podemos definir un estado de cluster n-qubit asociado, primero asociando
a cada vértice un qubit correspondiente, y luego la aplicación de un procedimiento
de elaboración de grafos dependiente de los qubits.
El estado cluster puede ser definido como el resultado de aplicar el siguiente
procedimiento de preparación:
1.-Prepara cada uno de los n qubits en el estado: |+〉 = (|0〉+ |1〉)/
√
2.
2.-Aplicar compuertas fase-controlada entre los qubits cuyo gráfico correspon-
de a los vértices que están conectados.
Tenga en cuenta que las compuertas fase-controlada conmutan una con otra,
por lo que no se necesita especificar el orden en que se aplican las compuertas.
Tenga en cuenta que los estados cluster también son llamado a veces estados grafo.
Una vez que el estado cluster se prepara, el siguiente paso en el cálculo es
llevar a cabo una secuencia de procesamiento de las mediciones sobre el estado.
La salida de cálculo del estado cluster puede definirse de dos maneras diferentes,
ambas útiles. La primera es considerar el cálculo como teniendo un estado cuántico
como salida. La segunda definición es para añadir un conjunto de lectura de las
mediciones, una secuencia de mediciones de un solo qubit aplicados a los qubits
que permanecen cuando las mediciones de procesamiento son completadas [56].
6.2. Procesos Disipativos
La ciencia de la información cuántica usa fenómenos tales como la superposi-
cón y el entrelazamiento para idear dispositivos cuánticos capaces de desarrollar
tareas que no pueden ser logradas clásicamente. Estas aplicaciones son típicamente
basadas en dinámica unitaria. Uno de los grandes problemas prácticos dificultando
la operación de tales dispositivos en el régimen cuántico es la disipación causada
por la interacción del sistema con su ambiente. En los últimos años, un nuevo
enfoque hacia el proceso de información cuántica ha llevado a un replanteamiento
CAPÍTULO 6. PROCESOS DISIPATIVOS 67
de los conceptos tradicionales que confía sobre la dinámica unitaria sola y evita
la disipación incondicionalmente; en vez estos nuevos protocolos aprovechan los
procesos disipativos para la ciencia de la información.
Activamente usando disipación en una manera controlada abre nuevas posi-
bilidades interesantes y tiene importantes ventajas: los protocolos disipativos son
robustos, permiten a uno preparar un estado cuántico deseado, independiente del
estado inicial.. Sin embargo, los procesos subyacentes son intrínsicamente