agilidad mental

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EL CÁLCULO EN LA ESCUELA: LAS CUENTAS, ¿SON UN PROBLEMA? 
 
Graciela Chemello1 
 
El cálculo es, fundamentalmente, un conjunto de procedimientos, y su ejecución está 
unida a los instrumentos que se utilicen para su realización. Por eso, podemos hablar de 
cálculo mental, de cálculo con lápiz y papel, de cálculo con ábaco, de cálculo con 
calculadora, etcétera. 
No olvidemos que la palabra cálculo proviene de calculus, la palabra latina que significa 
piedra pequeña, que era el instrumento con que sus inventores realizaban las cuentas. 
Para los romanos, calcular era sinónimo de manejar correctamente las piedras que 
usaban para hacer las cuentas. 
El cálculo aritmético, entonces, está ligado a la necesidad de resolver cotidianamente 
múltiples situaciones. La naturaleza y el contexto del problema determinan el grado de 
exactitud exigido en la respuesta y la necesidad de uno u otro tipo de cálculo. 
Hace ya tiempo que la enseñanza del cálculo en la escuela ha dejado de ser satisfactoria, 
tanto por la baja eficacia que esta enseñanza ha tenido2, como por el cambio en la 
demanda social de las competencias deseables por desarrollar en los alumnos con 
respecto a esta cuestión. 
Trataremos de fundamentar una propuesta para trabajar con el cálculo durante la EGB, 
que nos parece superadora de algunas de estas dificultades. 
En primer lugar, nos ocuparemos de la elección de instrumento de cálculo, es decir, de la 
relación entre e cálculo necesario para resolver un problema, el contexto que este 
problema proporciona y el tipo de números que involucra. 
En segundo lugar, queremos señalar que al pensar el trabajo con el cálculo, partimos de 
una cuestión esencial en la Didáctica de la Matemática: ¿cómo hacer que los 
conocimientos enseñados tengan sentido?3 
Para que los alumnos puedan construir el sentido, el cálculo no debe plantearse en forma 
aislada, sino como parte de un problema para resolver. Consideramos que el cálculo 
adquiere su sentido por los problemas que resuelve, y también por los que no resuelve (o 
sea, sus límites de aplicación). A su vez, reflexionar sobre el cálculo producido, 
analizando cómo y por qué funciona, posibilitará construir el sentido como problemática 
propia de la disciplina. 
 
Adecuar el instrumento a la necesidad 
 
Durante muchos años, la enseñanza del cálculo estuvo centrada en que los alumnos 
adquirieran la destreza de usar algoritmos convencionales para operar, tarea a la que los 
docentes dedicaron gran parte de las horas de clase4. 
 
1 Graciela Chemello es especialista en Didáctica de la Matemática. Asesora de escuelas en el área y del Ministerio de 
Cultura y Educación de la Nación. Integrante del equipo de asesores de la Secretaría de Educación de la Municipalidad 
de la Ciudad de Buenos Aires. 
2 La baja eficacia está referida a las dificultades de los alumnos para saber cuándo usar cada operación en un problema 
dado, cómo controlar el resultado obtenido, pudiendo explicar los porqués de los distintos pasos de los algoritmos. 
3 En “Aprender por medio de la resolución de problemas” del libro Didáctica de la Matemática, Charnay dice: “la 
construcción de la significación de un conocimiento debe ser considerada en dos niveles: 
♦ un nivel externo: ¿cuál es el campo de utilización de esa noción y cuáles son los límites de ese campo? 
♦ un nivel interno: ¿cómo y por qué funciona tal herramienta?.” 
En nuestra problemática, el nivel externo está relacionado con el tipo de cálculo por utilizar en cada situación particular, 
y el nivel interno, con la respuesta a cómo funciona un algoritmo y por qué conduce al resultado buscado. 
4 Hace algunos años, la enseñanza de los algoritmos estaba orientada por un modelo de aprendizaje en donde el saber 
debía ser comunicado a los alumnos. Este saber era considerado como algo acabado, ya construido. Por lo tanto, en la 
escuela se debían transmitir los algoritmos más económicos que los matemáticos habían inventado para calcular 
resultados. El alumno debía aprender, ejercitar y finalmente aplicar en problemas dichos algoritmos. 
 2 
En otras épocas, conocer y usar los algoritmos no sólo daba una amplia autonomía, sino 
que era una habilidad que permitía ocupar puestos de trabajo de gestión y mayor 
responsabilidad. 
La sociedad en que nos toca vivir ha evolucionado. Los cálculos operatorios se 
simplificaron a través del uso de instrumentos –al alcance de todos–, como las 
calculadoras. 
Esta nueva realidad, que no podemos ignorar dentro del ámbito de la escuela, nos obliga 
a replanteamos cómo intervenir educativamente. 
Entonces, ¿debemos enseñar a nuestros alumnos a calcular únicamente con calculadora, 
que es –indudablemente– el medio más rápido y eficaz de que disponemos para 
realizar esta tarea? Una postura coherente, en nuestra opinión, es adecuar el instrumento 
a la necesidad. 
 
Caso 1: Cuando alcanza con una respuesta aproximada 
 
Supongamos que estamos frente a una persona que recorre el supermercado, poniendo 
distintos productos en su carrito, con una cantidad tope de dinero para gastar. Esa 
persona necesitará conocer el valor aproximado del precio total de su compra, para lo 
cual, irá sumando precios aproximados de los productos. 
 
Si observamos el comportamiento de dicha persona, veremos que no utiliza lápiz ni papel, 
y seguramente tampoco los algoritmos convencionales aprendidos en la escuela. Si debe 
sumar $149 y $192, puede aproximar cada precio de distintos modos, entre ellos, el 
redondeo o el truncamiento.5 
 
Caso 2: Cuando se necesita una respuesta exacta 
 
En otras ocasiones, es necesario realizar cálculos exactos, y éstos pueden involucrar: 
2.a) Números pequeños o redondos. 
Por ejemplo, cuando queremos comprar un producto de $800 que está rebajado un 25%, 
es necesario conocer el resultado exacto. Como en este problema los números son 
redondos, lo mejor será poder operar mentalmente, y no tener necesidad de usar lápiz y 
papel ni calculadora. Para operar mentalmente, habrá que restar al precio total la cuarta 
parte de éste, es decir: 
 
 
 
5 Redondear es aproximar a la decena, centena, etc. más cercana, dependiendo la elección del grado de aproximación 
requerido para el cálculo. En este caso, si aproximamos 149 a decenas enteras, veremos que es un número comprendido 
entre 140 y 150, y está más cerca de 150. Si aproximamos a centenas enteras, 149 es un número comprendido entre 100 
y 200, y está más cerca de 100. 
Veamos cómo sería entonces el cálculo aproximado de la suma por redondeo: 
 redondeo a decenas redondeo a centenas 
 149 
+ 192 
 341 
→ 
→ 
 150 
+ 190 
 340 
→ 
→ 
 100 
+ 200 
 300 
Truncar es reemplazar por ceros un cierto número de cifras significativas, dependiendo esta cantidad de cifras del grado 
de aproximación requerido para el cálculo. En nuestro ejemplo, el cálculo aproximado de la suma por truncamiento 
sería: 
 truncando las unidades truncando las decenas 
 149 
+ 192 
 341 
→ 
→ 
 140 
+ 190 
 330 
→ 
→ 
 100 
+ 100 
 200 
Pruebe con varios ejemplos con las cuatro operaciones, ¿cuál de los dos modos de aproximación es más fácil de hacer?, 
¿cuál aproximación es mejor (más cercana al resultado exacto)? 
 3 
25 % = 1/4 
1/4 de 800 = 200 
800 - 200 = 600 
 
 
2.b) Números largos o difíciles. 
Si queremos abonar con un cheque lo que hemos gastado en alfombrar una superficie 
total de 8,66 m2 sabiendo que el costo es de $11,49 por metro cuadrado, habrá que 
averiguar el resultado exacto, pero esta vez hay que operar con números difíciles de 
multiplicar mentalmente. En tal caso, conviene disponer de algún instrumento que ayude a 
realizar los cálculos, sea éste una calculadora o lápiz y papel. En ambos casos, estos 
instrumentos son sólo una ayuda, puesto que su correcta utilización dependerá del 
usuario y de su posibilidad de ejecutar dichos cálculos. 
Si usa lápiz y papel,deberá recurrir a las tablas (cálculos que habrá memorizado) para ir 
realizando las operaciones parciales y luego usará cálculos mentales para estimar si su 
resultado es del orden que corresponde en relación a los datos. 
Si usa la calculadora, también tendrá que estimar el resultado con un procedimiento 
conveniente, para controlar el producto obtenido. 
Para estimar en el problema planteado se puede pensar, por ejemplo: 
8,66 . 11,49 → 9 . 11 = 99 o sea, alrededor de $100. 
Sin embargo, el cheque debe realizarse por el valor exacto en centésimos: 
8.66 . 11,49 = $ 99,4924, va a figurar $ 99,49 
 Otro ejemplo con números grandes y calculadora: 
“Hice el cálculo 2465 . 3274 y obtuve el resultado 78.962.112, ¿es correcto?” 
En primer lugar, si uno de los dos factores termina en 5, deberíamos esperar que la última 
cifra del producto fuera un 0 ó un 5. Si además pensamos que un número cercano al 
2500, multiplicado por un número cercano al 3000, debería damos un número cercano al 
75 (25 . 3) con cinco ceros, es decir siete millones y pico, pero no setenta y ocho millones 
y pico; podemos concluir que se han pulsado mal las teclas. 
Entonces: en la escuela sería conveniente trabajar siempre con el cálculo en relación a 
los problemas extramatemáticos que resuelve, tratando de que los chicos aprendan a 
distinguir frente a cada situación, si es necesario el cálculo aproximado o el exacto. En 
este último caso, deberá poder realizarlo mentalmente, con lápiz y papel o con 
calculadora. Pero también, en todos los casos deberá buscar la manera de controlar el 
resultado, tanto el orden de los números como la razonabilidad de éste.6 
 
Cálculo mental, escrito y con calculadora 
 
Para reflexionar sobre los procedimientos de cálculo, interesa analizar qué conocimientos 
se ponen en juego en cada caso. Para ello, detengámonos en la resolución de dos sumas 
diferentes en forma escrita con el algoritmo convencional, mentalmente y con la 
calculadora. Los cálculos de los que nos ocuparemos son: 
 
175 + 48 
57 + 38 
 
 
 
6 Controlar el orden de un número significa saber cuántas cifras tiene, o poder encuadrado sabiendo que es un número 
comprendido entre tal y cual. 
Controlar la razonabilidad del resultado implica estimar en qué medida corresponde al contexto del problema, por 
ejemplo, si estamos calculando la posible altura de la puerta de un departamento, ¿es correcto el resultado de 5,10 m? 
 4 
Escrito, con el algoritmo usual, se puede usar el mismo procedimiento para ambos 
cálculos. 
 
 
 1 1 
175 
 + 48 
 
 1 
57 
 + 38 
 
223 
 95 
 
Se considera el valor posicional de cada cifra de los números que intervienen: unidades, 
decenas, centenas. Se suman separadamente, unidades con unidades, decenas con 
decenas, etcétera; para ello se escriben los números en columna, pudiéndose escribir 
sólo un dígito en cada columna. Se suma comenzando por las unidades, se escribe el 
resultado ubicando cada cifra en la columna correspondiente a su valor posicional. 
Sumar las cifras por columna implica cambiar el orden de los sumandos (conmutar) y 
buscar resultados parciales (asociar) convenientemente. 
Al resolver mentalmente se puede usar más de una estrategia. Por ejemplo, dos modos 
posibles de descomposición mental de los términos que transforman la operación en otra 
equivalente más cómoda. 
 
 
175 + 48 = (175 + 25) + 23 = 200 + 23 
175 + 48=100 + (70 + 40) + (5 + 8) = 210 +13 = 223 
 
 
Se usan las propiedades asociativa y conmutativa. 
Para otros números, conviene otra estrategia. Por ejemplo, un redondeo por 
compensación: se alteran los dos términos de la operación buscando el redondeo a ceros 
al menos de uno de ellos. Se efectúa una compensación añadiendo a uno de ellos lo que 
se le quita al otro, es decir se usa una consecuencia de la propiedad asociativa. 
 
 
57 + 38 = (57 + 3) + (38 - 3) = 60 + 35 = 95 
 
 
Al resolver con la calculadora, se pulsa 
 
 
1 7 5 + 4 8 = 
 
 
y va apareciendo en el visor 
 
 
1 → 17 → 175 + 4 → 48 = 223 
 
 
 
Los cálculos: productos históricos 
 
 5 
Finalmente queremos incluir, aunque sea de manera breve, un elemento más en este 
análisis. El algoritmo descripto para resolver el cálculo escrito es un producto histórico, 
que fue inventado sólo con el uso del sistema de numeración decimal. Otros pueblos, con 
otros sistemas de numeración, resolvían los cálculos de maneras diferentes. 
Para ver la estrecha relación entre el modo de representar cantidades y el modo de 
calcular, veamos, a modo de ejemplo, cómo multiplicaban los egipcios. 
Debido a la característica de su sistema de numeración, donde cada símbolo tenía un 
valor que componían en forma aditiva para representar las cantidades, su multiplicación 
también era aditiva y se basaba en el cálculo de dobles. 
Por ejemplo, para multiplicar 5 x 12. 
 
 Notación egipcia Notación indoarábiga 
 
| 
| | 
| | | | 
| | | | | 
 
 
| | n 
| | | | nn 
| | | | | | | | nnnn 
| | n | | | | | | | | nnnn 
 
1 
2 
4 
 
12 
24 
48 
 
Como 5 = 1 + 4, entonces 5. 12 = (1 + 4) .12 = 12 + 48 = 60 
En este procedimiento, se utiliza la propiedad distributiva. 
 
Características de los cálculos 
 
A partir de los ejemplos presentados, analicemos las características de los distintos tipos 
de cálculo. 
 
El cálculo escrito con el algoritmo usual 
 
§ Permite conservar los resultados, y también una parte de los procesos, con 
lo que posibilita localizar y corregir los errores; 
§ permite obtener reglas –algoritmos– estrechamente ligadas a la 
representación gráfico-simbólica, se trata de manipular símbolos sin referencia 
alguna al mundo real; 
§ la existencia de reglas permite ejecutarlos automáticamente; no hace falta 
pensar ni reflexionar, ni siquiera comprenderlos; 
§ necesita del cálculo mental en forma limitada, ya que requiere el uso de las 
tablas de sumar y multiplicar; 
§ es abreviado, oculta gran parte de las operaciones y las transformaciones 
intermedias, que tienen que ver con el uso de las propiedades asociativa, 
conmutativa y distributiva; 
§ es analítico, los números se consideran rotos, las cifras se operan 
separadamente, lo que lleva a perder de vista cuáles son los números con los 
que se está operando; 
§ la comprensión del algoritmo depende de la comprensión de las reglas del 
sistema de numeración posicional decimal; 
§ es general, es decir que cada algoritmo funciona igual con todos los 
números. 
 
 
 
 
 6 
El cálculo mental 
 
§ Se hace con la cabeza; 
§ es globalizador, toma el número como una totalidad que se puede 
descomponer aditiva o multiplicativamente, de forma tal que permite conservar 
el valor de los términos de la operación; 
§ busca sustituir o alterar los datos iniciales para trabajar con otros más 
cómodos o más fáciles de calcular, usando las propiedades conmutativa, 
asociativa y distributiva; 
§ requiere ciertas habilidades: conteos, recolocaciones, descomposiciones, 
redistribuciones, compensaciones; 
§ son particulares, ya que los procedimientos dependen de los distintos 
números involucrados; 
§ sirve para anticipar el resultado. 
 
El cálculo con calculadora 
 
§ La calculadora es la que efectúa el procedimiento; 
§ el usuario introduce los elementos necesarios para operar: los números, las 
operaciones, y en qué orden deben efectuarse; 
§ ahorra los esfuerzos que conlleva el cálculo escrito, permitiendo obviar la 
repetición mecánica de reglas; 
§ es ajena a los errores de pulsación, factor que no debemos olvidar, pues su 
aparición al usar las calculadoras es frecuente y reiterada; 
§ permite resolver problemas en los cuales los datos surgen de la realidad y 
pueden ser complejos. 
 
Vemos entonces que en el caso del cálculo con calculadora no hay necesidad de 
desplegar una estrategia para encontrar el resultado; el procedimiento está a cargo de la 
máquina. 
Pero, tanto para elcálculo mental como para el cálculo escrito, los procedimientos ponen 
en acto las propiedades de las operaciones y una manera de comprender los números, tal 
como se muestra en el cuadro. 
 
Operaciones → Propiedades → Puesta en acto 
 de las de las 
 operaciones propiedades 
 
§ Cálculo con procedimientos no usuales en la escuela: 
conocimiento de los números: encuadramiento 
aproximación 
escrituras aditivas 
§ Cálculo con algoritmo tradicional: conocimiento de la representación de los 
números. 
 
Construir el sentido del cálculo 
 
Producir procedimientos originales de cálculo, implica: 
§ elegir con qué números operar; 
§ elegir la operación; 
§ desarrollar un procedimiento original; 
§ llegar a un resultado; 
 7 
§ reconocer si un resultado es aproximado o exacto; 
§ controlar el resultado. 
 Analizar los procedimientos implica reflexionar sobre: 
§ cómo se pensaron los números; 
§ qué operaciones se usaron; 
§ qué “reglas” se usaron; 
§ la economía de pasos empleados; 
§ cuáles son los errores y cómo remediarlos. 
Veamos si es posible pensar cómo plantear problemas con los distintos instrumentos de 
cálculo, de manera que los alumnos vayan construyendo el sentido del cálculo. 
 
Con calculadora 
 
Al analizar las características del cálculo con calculadora, en problemas extramatemáticos 
como el de nuestro ejemplo –cálculo exacto de una superficie, para averiguar el costo de 
su embaldosado–, vimos que no hay desarrollo de una estrategia. Sin embargo, permite al 
alumno centrarse sobre algunos aspectos: 
§ planteo (¿qué operación?); 
§ organización de las operaciones (¿en qué orden?); 
§ interpretación del resultado (¿el resultado es razonable?). 
Esto contribuye a la construcción del sentido del cálculo en el nivel externo. 
Si pensamos, en cambio, en la calculadora como una herramienta que permite pensar en 
problemas intramatemáticos, es posible trabajar con situaciones que requieran de los 
alumnos la producción de procedimientos propios, trabajando en el nivel interno. 
Veamos ejemplos de problemas internos para resolver con una calculadora elemental de 
cuatro operaciones. 
Una vez hechos, debe reflexionarse sobre cuáles fueron los conocimientos puestos en 
juego. ¿En qué grado podría proponerse cada uno de ellos? ¿Se puede modificar alguno 
para trabajarlo en un grado inferior?, ¿y en uno superior? 
Para qué proponemos esta reflexión: 
 
1. Para entender mejor o para relacionar las operaciones y obtener otros algoritmos. 
§ Dividí 426: 31, suponiendo que no funciona la tecla correspondiente a la 
división. 
§ 237.225: 16 = 14.826,562 ¿Cuál era el resto de la división antes de bajar 
decimales? 
 
2. Para pensar en el valor posicional de las cifras. 
§ Poné 2345 en el visor de la calculadora. ¿Cómo harías, en una sola 
operación, para que en el visor apareciera 2045? 
§ ¿Cómo harías con dos operaciones para que apareciera 2005? ¿Y en una 
sola operación? 
 
3. Para trabajar con cálculo mental. 
Completá los resultados de las tres columnas. 
 
Calculá con 
calculadora 
Calculá 
mentalmente 
Corregí con 
calculadora 
Bien o Mal ¿Por 
qué? 
 8 
 
82 – 35 = 47 
64 – 17 = 47 
325 – 124 = 
 
 
81 – 35 = 46 
65 – 17 = 45 
315 –124 = 
325 – 114 = 
315 – 114 = 
345 – 144 = 
 
B 
M 
 
 
 
 
4. Para trabajar con métodos matemáticos: ensayo-error, redondeo, aproximación. 
§ El cociente de dos números enteros consecutivos es igual a 0,9375. ¿Qué 
números son? 
§ Encontrá el número desconocido para que se cumpla la igualdad: 5_ x _= 
392. 
 
5. Para observar regularidades. 
Calculá 72, 73, 74, ... 79 ¿Cuál es el último dígito de 745? ¿Podrías decir alguno más? 
 
6. Para investigar. 
Observá: (12 + 22). (22 + 32) = 5 . 13 = 65 = 42 +72. 
¿Será cierto que: la suma de dos cuadrados perfectos multiplicados por la suma de dos 
cuadrados perfectos, es la suma de dos cuadrados perfectos? Generalizando: (a2 + b2) . 
(c2 + d2) = m2 + n2. 
 
Actividad 
 
Los siguientes son dos procedimientos para, resolver el primer problema: 
“Resolvé 426 : 31 suponiendo que no funciona la tecla correspondiente a la división.” 
 
PROCEDIMIENTO 1: de restas sucesivas. 
 
 
10 veces 31 
→ 
 426 
– 310 
 
3 veces 31 
→ 
 116 
– 93 
 
116 
 
23 
 
 
Respuesta: 10 + 3 = 13, sobran 23. 
Es un procedimiento en el que se usaron restas y multiplicaciones; se descompuso el 
dividendo en dos partes (propiedad distributiva). 
 
PROCEDIMIENTO 2: 
 
31 x 11 = 
341 
31 x 14 = 
454 
31 x 13 = 
403 
 
Respuesta: 13 y sobran 23. 
Éste es un procedimiento hipotético para aproximaciones sucesivas, se usaron productos; 
se tomó el dividendo globalmente. 
 9 
§ ¿Qué procedimiento es más económico? ¿Cuál es el más sencillo de aplicar 
con números más grandes? 
§ ¿Cómo cree que lo resolvería un chico de 4° grado? ¿Y uno de 6°? 
 
La enseñanza del cálculo 
 
Con respecto a la enseñanza del cálculo mental y del cálculo escrito, desde la perspectiva 
planteada, ambos modos de calcular se trabajan paralelamente: el cálculo mental, como 
soporte del cálculo escrito, y el cálculo escrito, como una manera de ir desarrollando 
distintas estrategias de cálculo mental con números cada vez más grandes. 
Si pensamos que el trabajo en el aula con los procedimientos mismos debería dar lugar a 
reflexiones que permitieran a los alumnos ir progresando en su conocimiento acerca de 
las propiedades de las operaciones, de los números, sus propiedades edades y su forma 
de representación, habría que proponer situaciones para que los alumnos sugirieran 
diferentes procedimientos para resolver cada cálculo, lo que nos llevará a realizar cálculos 
parciales mentalmente, conservar los pasos por escrito, e ir anticipando el resultado para 
prevenir errores. 
La enseñanza del cálculo hoy, pasa de proponer situaciones de cálculos con números de 
una cifra, a usar el algoritmo convencional aplicable a números de cualquier cantidad de 
cifras, interpretando el valor posicional de cada cifra desde la noción de agrupamiento en 
base 10. La propuesta es construir un camino entre estos extremos, que evite el salto, la 
generalización que los chicos de los primeros grados no pueden abordar. 
El algoritmo convencional de cálculo escrito aparecería, entonces, como el último paso de 
un proceso de construcción de algoritmos cada vez más económicos (de menor cantidad 
de pasos) retornando así el valor a que tuvo históricamente, y pudiendo ser analizado 
como el procedimiento que pone en juego una característica esencial de nuestro sistema 
de numeración: cuando se suman los cardinales de dos conjuntos, por ejemplo 2 + 3, el 
resultado es siempre 5, cualesquiera que sean los elementos de ese conjunto, tanto 
cuando se suman unidades (conjuntos de 1 elemento), como decenas (conjuntos de 10 
elementos), etcétera.7 
 
¿Cuál es la realidad en las escuelas hoy? 
 
Con respecto a la enseñanza del cálculo en nuestras aulas, encontraremos –en general– 
que: 
§ Las calculadoras no se usan. Quienes se oponen, dicen que los alumnos 
terminarán por no saber operar y que olvidarán las tablas. Podemos contestar a 
esta objeción proponiendo que piensen cuánto es lo que saben quienes realizan 
cálculos automatizados desprovistos de significado, y en qué medida esas 
operaciones repetitivas no son similares a la pulsación de teclas. 
§ Se enseña el cálculo escrito con el algoritmo usual. El uso de las reglas y la 
consecuente automatización, llevó, poco a poco, a olvidar en muchos casos, las 
razones por las cuales se operaba con esos procedimientos, cuál era el origen 
de las reglas que se usaban. En otros casos, aunque las razones sean 
explicitadas por los docentes, éstas no son comprendidas por la mayor parte de 
los alumnos, quienes no pueden dar cuenta de esas razones cuando se les 
pregunta. Y esto ocurre, porque quienes explican los procedimientos son los 
docentes; ellos se encargan de transmitir procedimientos ya construidos, ellos 
son quienesse hacen cargo del sentido. 
§ El cálculo mental fue limitado casi exclusivamente al uso de las tablas de 
sumar y multiplicar, basado en una simple memorización a ciegas, y dejando de 
 
7 Remitirse al Cap. IX de Psicología del aprendizaje de las matemáticas, de Skemp. 
 10 
lado su valor como actividad de toma de decisiones y elección de estrategias, 
fruto de una reflexión personal. 
¿Cuál es nuestra propuesta? 
 
Pensar las cuentas 
 
Como dijimos al inicio, es posible plantear a los alumnos la resolución de un problema: 
buscar el resultado de un cálculo. 
¿Por qué y cómo hacerlo? 
Si elegimos como modelo de aprendizaje aquél que se centra en la construcción del saber 
por el alumno, habrá que partir de sus concepciones y ponerlas a prueba en distintas 
situaciones con distintos obstáculos, para mejorarlas, modificarlas y construir otras. 
Puede, por ejemplo, plantearse un problema que los alumnos investiguen individualmente 
o en grupos. Los chicos generarán estrategias propias para resolverlo y, frente al cálculo, 
procedimientos propios para llegar a los resultados. 
La producción de dicho procedimiento será realmente un problema para ellos, si hemos 
sabido elegir la situación de manera que les permita poner en juego sus conocimientos 
sobre la operación planteada, sus propiedades, los símbolos que deberán manipular. 
Al principio –casi seguro–, intentarán anticipar una primera estrategia que, al desarrollarla, 
les permitirá comprobar si han obtenido el resultado que querían. En esta etapa, el 
procedimiento es producido y frecuentemente también formulado por escrito. Escribir el 
procedimiento implicará el uso de ciertas reglas del lenguaje: el uso de los signos de las 
operaciones, del signo igual. Este momento de la actividad sirve para formular el 
procedimiento puesto en juego. 
 
Los procedimientos originales de los chicos 
 
La producción de procedimientos conduce, necesariamente, a la diversidad de 
respuestas. Cada chico elaborará un procedimiento que mostrará cuál es el dominio 
efectivo que tiene del campo numérico que conoce. 
Las investigaciones sobre las conceptualizaciones de los chicos en relación al sistema 
posicional de representación,8 muestran que éstas evolucionan sin apoyarse 
necesariamente en concretizaciones externas al sistema. Y, paralelamente a esta 
evolución, se observa la producción de procedimientos de cálculo vinculados a la 
interpretación que los chicos tienen de los números. 
Inicialmente, los chicos elaboran procedimientos basados en el conteo 1 por 1. Contar es 
la primera herramienta que los chicos utilizan para resolver problemas numéricos. Estos 
procedimientos se apoyan en la manipulación de diversos tipos de simbolización de 
cantidades: los palitos, las cifras de nuestro sistema colocadas ordenadamente, y en 
algunos casos los cálculos mentales.9 
Luego, la memorización inicial de algunos cálculos va dando lugar a la construcción de 
otros nuevos, que pasarán más tarde al repertorio de los memorizados.10 Van armando 
 
8 Recomendamos leer el artículo “El sistema de numeración, un problema didáctico”, de Delia Lerner y Patricia 
Sadovsky. 
9 En “El aprendizaje del cálculo”, se describen los distintos procedimientos de conteo, que usan los chicos de 5 y 6 años 
aproximadamente para averiguar la cantidad de elementos de una colección obtenida uniendo otras dos. Por ejemplo: 
 
conteo: 
sobreconteo: 
dobleconteo: 
XXX 
1, 2, 3 
1, 2, 3 
1, 2, 3 
+ XXX 
1, 2, 3, 4 
1, 2, 3, 4 
4 (1), 5 (2), 6 (3), 7 (4) 
 
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. 
3, y 4, 5, 6, 7. 
 
10 Estas ideas son ampliadas en el cap. V de Los niños reinventan la aritmética y el cap. V de Reinventando la 
aritmética II, escritos por Constance Kamii. 
 11 
así una red de relaciones en el conjunto de números que dominan, que les permiten 
construir escrituras aditivas de cada número, y que contribuye a la construcción del 
sentido del número.11 
Posteriormente, el descubrimiento de regularidades en la serie numérica les permite ir 
instrumentando conteos más complejos, por ejemplo, de 10 en 10, de 5 en 5, de 2 en 2, 
que luego utilizan en los procedimientos que desarrollan. 
Entonces, estos procedimientos se elaboran manipulando las cifras, pero sin tener en 
cuenta inicialmente su valor posicional en términos de decenas y centenas. Durante algún 
tiempo, el valor posicional es interpretado por los chicos en forma algorítmica, teniendo en 
cuenta aspectos aditivos o multiplicativos. En esta etapa, el 26, por ejemplo, será 
interpretado como 10 + 10 + 6, y luego como 2 veces 10 + 6. 
Esta manera de pensar los números conduce a la producción de procedimientos donde 
los números son pensados como totalidades, y en general, en ellos se van escribiendo los 
pasos intermedios. 
Veamos ejemplos de procedimientos originales realizados por alumnos de 31 grado frente 
al problema de repartir una ganancia de $ 254 entre cuatro socios, o sea $ 254: 4. 
 
 
 
11 Construir el sentido del número, o de un cierto dominio numérico, implica poder usar esos números en situaciones 
significativas, donde los números funcionen como herramientas eficaces para resolver esas situaciones. 
Las situaciones en que se pueden usar los números pueden ser comunicativas, comparativas o de cálculo. De tal modo, 
poder efectuar cálculos en un cierto conjunto numérico contribuye al conocimiento y dominio de ese conjunto. 
 12 
 
 
 
Analicemos los distintos tratamientos dados por los chicos al dividendo: 
Johanna y Maia han elaborado procedimientos a partir del conteo 1 por 1, Johanna 
manipulando palitos, Maia manipulando palitos y los números de la serie. Pensaron en 
254 como 1 + 1 + ... o en 1, 2, 3, 4, ..., 254. Johanna contó lo que le dio a cada uno de los 
socios, y Maia, que comenzó de la misma manera, buscó luego una cantidad que 
duplicada dos veces estuviera cerca de 254. 
Laura consideró un resultado aproximado que le fuera fácil sumar cuatro veces, y con la 
cantidad restante, repartió contando bolitas de a 1. Es decir, que pensó en 254 como 
totalidad descompuesta en dos partes aditivas 200 + 54. 
Federico y Lionel pensaron en 254 como una totalidad y buscaron sumas o productos 
sucesivos que se fueran acercando a la cantidad total por repartir. 
 13 
Los procedimientos son distintos, además, porque: algunos llegan a un resultado, otros no 
terminan la tarea propuesta, algunos llegan a un resultado aproximado y otros a un 
resultado exacto; algunos comprueban su respuesta, otros no. También usan diferentes 
operaciones para resolver este reparto y no todos han escrito la respuesta del problema. 
Es evidente que esta diversidad de producciones necesita de un docente que vaya 
interviniendo individualmente en forma distinta en cada situación. En algunos casos, 
habrá que preguntar: ¿cuál es la respuesta?; en otros: ¿comprobaste si tu respuesta es 
correcta?, o ¿la respuesta que escribiste corresponde a tu resultado? 
Se propondrá luego la confrontación de los procedimientos. En una rueda grupal, 
conducida por las preguntas del docente, cada uno explicará su procedimiento, cómo 
llegó al resultado. Esto posibilitará a cada chico, frente al posible cuestionamiento de un 
compañero, dar razones de por qué cree que su procedimiento es adecuado y por qué 
cree que el resultado es correcto; es decir que deberá validar su procedimiento. También 
llevará a evaluar el uso del lenguaje simbólico, si todos entienden cómo escribió su 
procedimiento, si hay otras maneras de escribirlo, en qué son distintas su representación 
y la de un compañero. 
Como vemos en nuestro ejemplo, en un grupo de alumnos, en una misma clase, hay 
respuestas muy diversas. 
Todos aprovecharán de este intercambio grupal. El progreso en la comprensión y la 
producción de los procedimientos se dará para cada chico de otra forma según cuál haya 
sidosu producción inicial. La intervención del docente no intentará borrar las diferencias, 
sino que las reconocerá e intentará que cada alumno progrese desde sus 
conceptualizaciones a otras más avanzadas. 
Para ello, el docente podrá preguntar: 
§ qué procedimientos llegaron a un resultado; 
§ cuáles son los resultados exactos y cuáles son los aproximados; 
§ cuál es el resultado exacto; 
§ si es posible el resultado para esos datos; 
§ cuáles fueron los valores de las cifras en los procedimientos que llegaron y 
en los que no llegaron al resultado correcto; 
§ cómo se usaron los signos para escribir cada una de las cuentas. 
Finalmente, el docente deberá institucionalizar los conocimientos puestos en juego: 
§ al dividir, las partes son iguales; 
§ puede sobrar algo del reparto; 
§ para dividir por 4 se puede dividir por 2, dos veces; 
§ qué operaciones se usaron en los distintos procedimientos; 
§ para dividir un número por otro, se puede dividir primero una parte y después 
otra. 
En otra clase, podrá proponer un problema que lleve a la profundización de alguna de las 
conclusiones de la puesta en común. Por ejemplo: 
§ La comprobación de una regla que haya sido usada por alguno de los 
chicos, es decir probar si esa regla se cumple siempre. Para ello, habrá que 
probar en otros casos, si se encuentra un ejemplo donde no se cumpla, 
etcétera. En nuestro ejemplo, se podría tratar de probar alguna de las dos 
conclusiones señaladas anteriormente (“para dividir por 4 se puede dividir por 
2,...” y “para dividir un número por otro...”). 
§ Cómo repartir lo que sobra (cuando no se le puede dar una unidad entera 
más a cada uno). 
 
 14 
 
 
El procedimiento: ¿instrumento para resolver un problema, u objeto de reflexión? 
 
En situaciones como la que hemos descripto, los procedimientos originales de los chicos 
son un instrumento que elaboraron para llegar a una respuesta correcta. Pero los 
procedimientos pueden ser también objeto de reflexión. Si junto a la producción del 
procedimiento de cálculo, se pide a los alumnos que lo expliquen por escrito, cada chico 
deberá pensar ¿qué hice?, ¿cómo lo hice?. Esto le hará tomar conciencia de qué es lo 
que sabe, cuál es el conocimiento que tiene disponible, para luego apoyarse en lo que 
sabe para obtener otros resultados. Explicar el procedimiento utilizado, implica empezar a 
reflexionar sobre éste.12 
Se podrán luego proponer también otras actividades en las que los procedimientos sean 
objeto de reflexión. En ellas, se pueden presentar cálculos resueltos con distintos 
procedimientos de una clase anterior para analizar cuáles son más económicos, o un 
procedimiento incorrecto y proponer que se descubra si hay error y cómo se corrige; 
también procedimientos tomados de la historia de la Matemática para descubrir qué 
propiedades se usaron, y qué relación tiene esa manera de operar y su sistema de 
numeración. 
La reflexión sobre los procedimientos, unida a la búsqueda de un procedimiento de 
resolución más económico, llevará a la comprensión del algoritmo usual, como así 
también de las reglas de nuestro sistema de numeración. 
Partir de un modelo de aprendizaje constructivista, implica no apuntar desde el principio al 
saber acabado, y aceptar su carácter provisorio. Para ello, debemos tomar ciertos 
“errores” sistemáticos de los chicos como parte del proceso, utilizándolos para avanzar en 
la construcción de los procedimientos que mencionamos antes. 
 
 
Graciela Chemello – Agosto de 1995 
 
12 Este tipo de actividades desarrolla en los alumnos una capacidad metacognitiva, es decir la posibilidad de tomar 
conciencia “de lo que piensa, y de cómo lo piensa para que, a largo plazo, él mismo pueda pensado y modificarlo de 
manera autónoma según sus necesidades”.