seguridad empleados ingeniería civil

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MONOGRAFÍA. 
 
 
Título: Métodos de diseño y análisis de la seguridad empleados en la 
ingeniería civil. 
 
 
Autores: Dr. Sc. Ing. Gilberto Quevedo Sotolongo. 
 Dra. Ing. Ana Virginia González-Cueto Vila 
 Msc. Ing. Francisco Tay Araujo 
 Msc. Ing. Luis Fabian Gattorno Borrell 
 
 
 
Marzo 2013. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. Concepción general de la modelación y métodos de diseño y 
seguridad en la ingeniería civil. 
Modelación de los problemas ingenieriles. 
 
Introducción. 
Históricamente la ingeniería se ha apoyado en el uso de modelos para poder analizar los 
complejos problemas que debe solucionar, y los mismos han ido desde modelos muy 
simples que tratan por ejemplo de interpretar el comportamiento de un material a partir 
de una ecuación lineal de esfuerzo-deformación, hasta modelos muy complejos donde 
analizan la estructura completa en 3D, incluido su interacción con el suelo, la influencia 
de todas las posibles acciones externas e internas, y tomando los modelos más 
representativos del comportamiento del material que la compone. Con el desarrollo de 
la computación y de los potentes software de análisis se le ha dado un verdadero 
impulso a las técnicas de modelación, tratándose con las mismas de lograr acercarse lo 
más posible al conocimiento del verdadero comportamiento de la estructura analizada, 
aunque se conoce que siempre lo que se obtiene es la respuesta del modelo creado y no 
de la estructura en sí. 
 
Por otro lado cada día se utilizan con mayor efectividad la estadística con los conceptos 
probabilísticos de diseños en la ingeniería, apareciendo en las últimas décadas una gran 
cantidad de investigaciones al respecto ( Ang 1984; Blazquez 1984; Ermolaev 1976; 
Harr 1987; Lo 1993), que han contribuido de igual forma a una mejor interpretación de 
los problemas analizados. 
 
Concepción general de la modelación. 
Se han establecido diferentes esquemas para tratar de explicar el proceso de modelación 
de los problemas ingenieriles, algunos generales (Melli Piralla 1986; Sowers 1975), y 
otros particulares para el caso de los problemas de la geotecnia (Becker 1996; Meyerhof 
1970), donde los análisis son mucho más complejos dada la heterogeneidad de los 
suelos y lo difícil que resulta contar con resultados representativos en sus condiciones 
naturales. En todos los casos se trata de estudiar el problema a partir de subdividirlo en 
diferentes aspectos, normalmente en el estudio del comportamiento de los materiales, 
las cargas y el esquema de la estructura o el terreno, que puedan a su vez ser evaluados 
por modelos más simples su comportamiento. Para los fines del trabajo el esquema 
mostrado en la figura #1.1 (Quevedo 1995), aunque expresa de forma simplificada el 
proceso de modelación, resume eficientemente los aspectos que queremos profundizar. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura # 1.1 Esquema del proceso de modelación en la ingeniería. 
 
Como se puede apreciar en el esquema anterior, para el estudio del problema real, que 
es representado esquemáticamente de forma muy irregular dada su complejidad para el 
análisis, se plantean los modelos de las cargas o acciones externas, en lo que se ha 
avanzado de forma significativa en los últimos años con el empleo de las técnicas 
probabilísticas, siendo un buen ejemplo de ello el Eurocódigo 1(Eurocódigo1 1997), 
donde aparece un profundo análisis al respecto, los modelos de los materiales, en lo 
cual de igual forma existe un gran desarrollo a escala internacional, y que para el caso 
del suelo se pueden encontrar resúmenes muy completos en diferentes trabajos (Jiménez 
Salas 1981; Juárez Badillo 1970; Recarey 1999), y los modelos tomados de la estructura 
y el terreno, donde como ya se planteó se han obtenidos grandes avances con el empleo 
de las técnicas de computación más modernas. 
 
Establecidos estos tres modelos se integran los mismos y se solucionan a través de 
diferentes métodos de solución y se diseñan por diferentes procedimientos de diseños 
para obtener la solución del modelo del problema real, que no es idéntica a la que se 
obtendría si se pudiera analizar el mismo de forma directa, por lo que resulta evidente 
que en dicho proceso es necesario introducir de alguna forma un margen de seguridad, 
que garantice que la solución obtenida sea lo más representativa posible de la real y que 
siempre las posibles diferencias puedan ser tomadas por la seguridad introducida. 
 
Ejemplos de esquemas de modelación de problemas reales. 
Modelo de 
las Cargas 
Modelo del 
Material 
Modelo de la 
Estructura 
Solución del 
Modelo del 
Problema 
Real 
Métodos de 
Diseño 
 y 
 Seguridad 
Problema 
Real 
Métodos 
de 
Solución 
 
 
A continuación se un esquema, figura 1.2, del procedimiento de modelación empleado 
para el estudio de: 
 
1. Corroborar que no existe influencia, desde el punto de vista ingenieril, de las 
tensiones que se generan entre las patas principales de la aeronave en estudio, 
para dar cumplimiento a este objetivo se realiza la modelación espacial de la 
estructura de pavimento con la carga proveniente de cada pata de la aeronave, 
tomando en cuenta el tipo de distribución de los neumáticos etc. 
2. Demostrar numéricamente que es posible reducir el análisis a una sola goma de 
la aeronave, con una carga reconocida como carga por rueda simple equivalente 
CRSE. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MODELO DEL MATERIAL 
PROBLEMA REAL 
PISTA AEREA CARGADA (PAV. 
FLEXIBLE) 
MODELO DE LA 
GEOMETRIA 
MODELO DE LAS 
CARGAS 
Pavimento (capas de superficie y base) y suelos de 
cimentación 
Pavimento y suelos de cimentación con 
comportamiento lineal. 
 
a): Carga que proviene de cada 
una de las patas principales 
(representación de ambas 
patas, con todas sus ruedas, 
para ver influencia de 
tensiones entre patas) 
b): Carga que llega a cada 
rueda (representación de una 
sola pata con todas sus ruedas) 
c): CRSE (representación de 
Condiciones 
de contorno 
Dimensiones del 
modelo (análisis 
de fronteras) 
Dimensiones de 
los elementos 
de la malla 
Análisis de resultados 
1. Corroborar que no 
existe influencia (en 
cuanto a tensiones) 
entre las patas 
principales de la 
aeronave. 
2. Puede simplificarse el 
análisis a una rueda 
simple con una carga 
Solución del problema real. Aplicando técnicas de solución 
numérica (MEF): PLAXIS 3D Foudation (version 1) 
 
Figura 1.2 Esquema general de lamodelación para el estudio del efecto de los aviones 
sobre pistas de aeropuertos. 
 
A continuación se muestra un esquema, figura 1.3, del procedimiento de modelación 
empleado para el estudio del comportamiento de los cimientos masivos. 
 
 
 
Figura 1.2 Esquema general de la modelación para el estudio de cimientos masivos. 
 
Métodos de seguridad y diseño. 
Introducción. 
Como ya se analizó en el diseño en la ingeniería existen toda una serie de 
incertidumbres, al trabajar en lo fundamental con parámetros aleatorios, que no 
permiten acometerlo de forma que se logre simplemente una igualdad entre la función 
de las cargas o esfuerzos actuantes y las cargas o esfuerzos resistentes, debiéndose 
 
Modelo de 
las Cargas 
Modelo de la 
Estructura 
Problema Real 
CIMIENTO MASIVO-RIGIDO 
Modelo del 
Material 
HORMIGON 
Solidó deformable con 
plastificación. Criterio de 
Mohr-Coulomb modificado 
SUELO 
Solidó deformable con 
comportamiento elástico. 
Solución del M odelo 
del Problema Real. 
Aplicando técnicas de solución 
numéricas (MEF). 
Solve: ABAQUS/CAE versión 6.4-1 
 
 
Análisis de resultados 
 Determinación de los parámetros 
que caracterizan la distribución de 
tensiones 
 
 h - X 
 X 
N 
 h 
Definir las 
metodologías de 
diseño e insertar 
en la normativa 
vigente los 
resultados de la 
investigación 
Superficie de 
Interacción entre el 
cimiento-suelo 
Condicionesde 
Contorno 
 
introducir en el mismo una seguridad adecuada que permita el correcto funcionamiento 
de las estructuras dentro de una probabilidad razonable y con la máxima economía 
posible. 
 
Métodos de Diseño y Seguridad. 
 
En el propio desarrollo histórico de la ingeniería y en particular de la geotecnia se han 
utilizado distintos métodos de diseño, (Becker 1996; Quevedo 1987), donde han 
cambiado en lo fundamental la forma de introducir la seguridad en el mismo, siendo los 
siguientes: 
 
• Método de la Esfuerzos Admisibles. (MEA) 
• Método del Factor de Seguridad Global. (MFSG) 
• Método de los Estados Límites. (MEL) 
 
Método de los Esfuerzos Admisibles. 
 
Uno de los primeros Métodos de diseño fue el de las Esfuerzos Admisibles cuya 
ecuación fundamental es: 
Y1k ≤ Y2admisible [1.1] 
En esta ecuación 
 Y1k - función de los esfuerzos actuantes, determinados a 
partir de las cargas características. 
 Y2admisible - valor del esfuerzo admisible del material con que se 
trabaja. 
En este método, que está muy ligado con el uso de modelos lineales y elásticos del 
material, toda la seguridad en el diseño se introduce al definir el esfuerzo admisible, el 
que siempre es un valor muy pequeño, lejos de la falla y que le garantice un 
comportamiento lineal. Es bueno aclarar que al determinar la función Y1k a partir de las 
cargas características se introduce en el diseño una cierta seguridad que muchas veces 
no es valorada, al desconocerse en la mayoría de los casos la relación entre carga media 
y característica. 
En el diseño estructural este método dejo de utilizarse hace varias décadas, debido 
fundamentalmente al hecho que no existía base científica para establecer el valor del 
esfuerzo admisible del material y en la práctica los valores que se fijaban eran muy 
bajos, para lograr el comportamiento lineal del material, que no permitían un correcto 
aprovechamiento de su capacidad resistente y por tanto traía consigo diseños 
irracionales. De igual forma contribuyó a lo anterior el empleo de los modelos plásticos 
para la interpretación del comportamiento de los materiales simulando la falla, que 
permitió trabajar con estados tensionales superiores a los límites lineales y por tanto un 
mejor aprovechamiento de su capacidad resistente. 
Para el caso específico de la geotecnia la situación no es la misma, y en la actualidad, 
tanto a escala internacional como en nuestro país (SENCICO 1996; Quevedo 1987), se 
continúa utilizando este método, específicamente en el diseño de cimentaciones 
superficiales, a partir de la siguiente expresión: 
 p ≤ R’s [1.2] 
donde p - valor de los esfuerzos actuantes en el suelo por el efecto 
de las cargas características. 
 R’s - Valor del esfuerzo admisible del suelo, conocida como 
resistencia del suelo. 
El valor de R’s generalmente se fija de forma totalmente empírica y limitando de forma 
significativa la capacidad resistente de la base de la cimentación, obligando por tanto a 
trabajar la misma a estados tensionales muy bajos con el consiguiente incremento de los 
costos. No obstante lo anterior y al hecho de que es conocido que el termino R’s es 
conceptualmente incorrecto dentro de la geotecnia, tanto en Cuba como en muchos 
otros países se continua empleando este método, siendo sin duda uno de los objetivos 
centrales de este trabajo contribuir a la total eliminación del mismo en nuestro país. 
 
 
Método del Factor de Seguridad Global. 
Demostrada la inefectividad, sobre todo económica, del Método de los Esfuerzos 
Admisibles y con el éxito en el uso de los modelos plásticos de comportamiento de los 
materiales surge el Método del Factor de Seguridad Global, cuya ecuación es: 
Y1k ≤ Y2 / K [1.3] 
siendo: Y1k - función de los esfuerzos actuantes, determinados a partir 
de las cargas características. 
 Y2 - función de los esfuerzos resistentes de rotura, 
determinados con los valores medios de la resistencia de 
los materiales. 
 K - factor de seguridad global. 
En este método la función Y1k es igual al caso anterior, mientras que la función Y2 
simula capacidad resistente en la falla, con el uso de modelos plásticos, introduciendo la 
seguridad a través del coeficiente de seguridad global K, que tiene que tomar todas las 
incertidumbres en el diseño y como por tanto como regla es un valor alto para alejar el 
estado tensional de trabajo del de falla. 
Se puede plantear que aún este sigue siendo, a diferencia del diseño estructural, el 
método más usado en el campo de la geotecnia, existiendo casos como el diseño de 
taludes y el de estructuras de sostenimiento de tierras donde es el único empleado 
(Alvarez 1998; Ayala 1987; Baikie 1998; Jiménez Salas 1981; Juárez Badillo 1970; 
Oliva 1999). En el diseño de cimentaciones el panorama mundial ha ido cambiando y 
cada día mas países dejan de utilizarlo pasando al uso del Método de los Estados 
Límites, mientras que en Cuba, a pesar de existir todas las condiciones objetivas, con 
investigaciones de gran actualidad en la materia, no se ha logrado la introducción de los 
métodos más avanzados, e incluso en muchos casos lo que se hace es una mezcla en el 
diseño entre el MEA y el MFSG, como ocurre en otros países (SENCICO 1996). 
El principal problema de este método es la forma en que se fija el valor de K, lo cual se 
realiza de forma totalmente empírica y solo basado en la experiencia práctica, por lo que 
normalmente introduce más seguridad de la requerida y resulta muy difícil 
condicionarlo a factores tan importantes como la variabilidad de las propiedades físico-
mecánicas del suelo y de las cargas (Blazquez 1984; D’Andrea 1981; Meyerhof 1970). 
Para el caso de las cimentaciones en específico la ecuación [1.3] toma la siguiente 
forma: 
 '' q
K
qqbr
qact +
−≤ [1.4] 
donde qact - valor de tensión actuante a nivel de cimentación 
 qbr - capacidad de carga bruta del suelo con sus valores 
normativos. 
 q’ - Valor de la sobre carga circundante a la cimentación. 
 Los valores de este factor K que se utilizan para el caso de cimentaciones superficiales 
están entre 2.5 ~ 3.5 (Jiménez Salas 1981; Juárez Badillo 1970; González 1997; 
Meyerhof 1993), y van a estar determinados por la relación que existe entre Y1k y Y2, 
los cuales se encuentran en función de los valores característicos de las cargas y medios 
de la resistencia; pudiéndose señalar que en la mayoría de los casos el valor empleado 
en la práctica es de K = 3 (Simanca 1999), mientras que en otros problemas de la 
geotecnia como es el caso de la estabilidad de taludes varían 1.2 ~ 1.5 (Oliva 1999; 
Alvarez 1998; Ayala 1987), lo que el propio método no puede justificar científicamente 
y que trataremos de explicar con el uso de técnicas más potentes en el presente trabajo. 
Método de los Estados Límites. 
Como resultado de posteriores investigaciones, donde se trataba de darle un mayor nivel 
científico al establecimiento de la seguridad requerida en el diseño, surge el Método de 
los Estados Límites. Dentro del diseño estructural su generalización en la práctica se 
remonta al inicio de la segunda mitad del siglo XX (Allen 1991; Becker 1996; Day P. 
1999; Keldish 1951), y en la actualidad prácticamente es el único método de diseño 
utilizado, mientras que en el campo de la geotecnia su introducción ha sido mucho más 
lenta, y aunque hay trabajos publicados de la escuela occidental desde mediados de la 
década de los 50 con las investigaciones de Brinch Hansen fundamentalmente, (Brinch 
Hansen 1956; Becker 1996; Meyerhof 1982) y de la escuela rusa en época similar ( 
Ermolaev 1976; Dalmatov 1968; Polshin 1959), solo en 1962 apareció la primera 
normativa en la URSS de diseño de cimentaciones por estados límites (SNIP II-B.I.62 
1962) y posteriormente seha introducido con éxito en los países de más desarrollo 
dentro de la geotecnia como Dinamarca, Canadá, Estados Unidos, Australia, 
etc.(Meyerhof 1970; Day R. 1997; Green 1989; 1991;1993; Manoliu 1993; Orr 1999; 
Ovesen 1981,1991,1993; SNIP 1983). 
En Cuba los primeros trabajos de aplicación de los estados límites al diseño de 
cimentaciones se realizaron a finales de la década de los 80 (Quevedo 1987), llevándose 
a cabo posteriormente toda una serie de investigaciones en la misma dirección.( 
González 2000; Alvarez 1998; Oliva 1999; Caso 1998; Diego 1999), que han permitido 
tener la base teórica para la introducción general de los estados límites en el campo de la 
geotecnia. 
En este método se establecen dos condiciones límites de diseño: 
1er Estado Límite: estado en que se diseña para lograr la resistencia y estabilidad de 
la estructura, con los valores de cálculo. 
2
do
 Estado Límite: estado que garantiza el servicio y utilización de la estructura, se 
chequean factores como la deformación y la fisuración de la misma para los 
valores reales de servicio. 
La ecuación que rige el diseño del 1er Estado Límite es: 
 Y1
* ≤ Y2*/ γs [1.5] 
dónde: 
 Y1
* - función de las cargas actuantes con sus valores de cálculo 
 Y2
* - función de las cargas resistentes con su valor de cálculo. 
 γs - Coeficiente de seguridad adicional, que depende de las 
condiciones de trabajo generales de la obra y el tipo de fallo. 
Este método también es conocido como el Método de los Coeficientes Parciales (Orr 
1999), pues su filosofía se basa en la introducción de la seguridad no a través de un 
coeficiente global, como en el MFSG, sino con la utilización de varios coeficientes 
parciales, unos aplicados a las cargas actuantes, otros aplicados a las propiedades 
resistentes de los materiales y en algunos casos un tercer coeficiente que toma en cuenta 
aspectos que no pueden ser evaluados matemáticamente como la importancia la de la 
obra, las condiciones de trabajo, etc. 
En realidad la formula [1.5] es una de las variantes de aplicación del MEL, es la 
utilizada por los países de la Europa Oriental (SNIP 1983) y similar a la empleada hasta 
el momento en el diseño estructural en Cuba, con la única diferencia que el valor del γs 
en este último caso es un número menor que 1 y por tanto multiplica a Y2
*. Existen 
otras formulaciones como la empleada en la actualidad por el Eurocódigo donde no 
utilizan el γs (Eurocódigo7 1999; Orr 1999; Ovesen 1991), calibrando los demás 
coeficientes para lograr introducir la seguridad adecuada. 
Es importante detenerse en la forma de obtener Y2
*, pues hay quienes, influenciado por 
el procedimiento utilizado tradicionalmente en el diseño estructural, la obtienen con la 
aplicación de los coeficientes parciales de los materiales a los valores característicos de 
las propiedades resistentes de los materiales (Orr 1999; Day R. 1997; ITC 1996), lo que 
implica la aplicación de la seguridad en dos etapas, una de los valores medios a los 
característicos y otra de estos últimos a los de cálculo, mientras hay otro enfoque donde 
Y2
* la obtienen aplicando de los coeficientes parciales de los materiales directamente a 
sus valores medios (SNIP 1984; Quevedo 1987). 
El primero de los enfoques ha dado buenos resultados en el diseño de elementos de 
hormigón armado, pues en esencia en dicho material existen dos momentos que 
influyen en la variabilidad final del material, uno cuando se fabrica el hormigón y otro 
cuando se coloca en obra, mientras que los resultados obtenidos en el caso de la 
geotecnia no siempre han sido satisfactorios, trayendo consigo en algunas oportunidades 
exceso en la seguridad introducida (Day R. 1997). 
El enfoque de Norteamérica (Becker 1996; Kulhawy 2002), que es tomado por la 
mayoría de los países Latinoamericanos en el diseño estructural, difiere en algo del 
anterior, siendo su ecuación general la siguiente: 
 Y1
* ≤ ϕ.Y2k [1.6] 
En este enfoque la función Y1* se determina de igual forma que en el caso anterior, 
aunque no necesariamente con los mismos valores de los coeficientes de cargas, 
mientras Y2k es la capacidad resistente del elemento determinada con los valores 
característicos de las propiedades de los materiales, en tanto ϕ es un coeficiente de 
reducción de la capacidad resistente del elemento, determinado a partir del análisis de la 
variabilidad de la función Y2 de forma experimental. Este es un método mucho más 
simple que el anterior, pero que resulta más complejo de importar pues el valor ϕ esta 
fundamentado en una amplia experimentación y respaldo teórico bajo las condiciones 
de trabajo de Norteamérica, muy distinta de la de nuestros países, resultando muy 
complejo poder realizar variaciones a los valores de dicho coeficiente. 
 
 
 
 Y1m Y1k Y1
* 
 
 
Fig. 1.3.- Distribución estadística de las funciones Y1 y Y2 
En este método se le da respaldo matemático y estadístico a los coeficientes de 
seguridad, pero esto se hace de forma independiente, sin tener en cuenta la interacción 
entre las cargas y los materiales resistentes, tal y como se muestra en la figura # 1.3. 
El MEL es considerado un método semi-probabilístico, al aplicar esta técnica de forma 
independiente a las dos principales variables aleatorias que intervienen en el diseño, las 
cargas y la capacidad resistente del elemento, enfoque que sin duda es práctico, pero no 
representativo del problema analizado, donde ambas variables inciden en una misma 
ecuación de diseño. Es precisamente lo anterior el principal señalamiento que se le 
realiza al MEL, pasándose en la actualidad a la aplicación de los métodos 
Y2Y2KY2
*
probabilísticos, al menos desde el punto de vista investigativo, donde se ha alcanzado 
un gran desarrollo en los últimos años. 
Del análisis realizado resulta evidente que la tendencia mundial actual es ir a la 
introducción y generalización del Método de los Estados Límites en el diseño 
geotécnico, dados los éxitos que el mismo ha alcanzado dentro del diseño estructural y 
las experiencias positivas obtenidas dentro de la propia geotecnia, tal y como se plantea 
por el TC23 del ISSMGE(TC23 2000), donde se especifica como tarea fundamental de 
dicho comité el de revisar el progreso obtenido en la aplicación de los estados límites en 
el diseño geotécnico en todas las Sociedades Nacionales del ISSMGE. Para su 
aplicación y generalización en Cuba resulta necesario encontrar un enfoque general del 
mismo para el diseño geotécnico, adecuado a nuestras particularidades, tradiciones de 
uso en otros problemas ingenieriles y tendencias mundiales y un sistema de coeficientes 
de seguridad propio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Métodos Probabilísticos. Teoría de Seguridad. 
 
Los métodos probabilísticos, a diferencia de los analizados con anterioridad, valoran en 
su conjunto todos los parámetros que consideran aleatorios en el diseño y su influencia 
dentro de la seguridad del mismo, dándole por tanto una mayor exactitud a la hora de 
evaluar esta, pero a su vez un aumento significativo en la complejidad de los análisis. 
En realidad la mayor o menor complejidad está muy relacionada con las 
consideraciones que se tomen a la hora de definir los parámetros que son analizados 
como aleatorios en el diseño y con el hecho de contar con la suficiente información 
confiable de la caracterización estadística de los mismos. La gran mayoría de los autores 
consideran como variables aleatorias las cargas actuantes y las propiedades de los 
materiales queintervienen en le diseño ( Becker 1996; Ermolaev 1976; Meyerhof 1995; 
Quevedo 1988), existiendo bastante información sobre la caracterización estadística de 
las mismas que facilitan su aplicación práctica. 
 
De igual forma se han desarrollado algunas investigaciones en el campo del diseño 
estructural donde se ha tratado de incluir otras variables como aleatorias en el análisis, 
como es el caso de las dimensiones de los elementos (Duprat 1997), pero ello ha traído 
una mayor complejidad de las soluciones obtenidas que dificultan su aplicación 
práctica, considerándose, para el caso del diseño geotécnico, suficiente analizar 
solamente las dos variables mencionadas inicialmente. 
 
En las condiciones de diseño que consideran estos métodos no se realiza una 
comparación entre las funciones de las cargas o esfuerzos actuantes y las cargas o 
esfuerzos resistentes, sino que se valora la seguridad introducida con respecto a la 
seguridad requerida. La forma de valorar la seguridad, siempre a través de 
procedimientos probabilísticos, puede realizarse a partir de dos parámetros, el índice de 
relatividad β (Becker 1996; Lo 1993; Mrazik 1997; Eurocódigo 1997) o el nivel de 
seguridad H ( Ermolaev 1977; Mixeev 1983; Quevedo 1988, 2000), siendo las 
ecuaciones de diseño para los dos enfoques anteriores las siguientes: 
 
 βdiseño ≥ βrequerido [1.7] 
 H diseño ≥ H requerido [1.8] 
 
De los diferentes enfoques analizados anteriormente para la aplicación de los métodos 
probabilísticos, conocidos por algunos autores como teoría de seguridad, partiremos del 
que define como ecuación de diseño la comparación entre el nivel de seguridad 
obtenido en el diseño Hdiseño y el nivel de seguridad requerido Hrequerido. 
 HH requeridodiseño≥ [1.9] 
 
Es cierto que es mucho más utilizado internacionalmente el enfoque que toma como 
parámetro para definir la seguridad el índice de fiabilidad o seguridad β, pero el mismo 
tiene menos significado físico y su valor directamente no nos infiere ninguna medida de 
seguridad como ocurre con el nivel de seguridad H. Por otro lado quedó totalmente 
demostrado que ambos parámetros miden la seguridad de la misma forma y que pueden 
ser correlacionados con facilidad. En la figura # 1.4 se muestra de forma esquemática el 
significado de cada uno de los parámetros anteriores, y de la misma se puede inferir su 
relación. 
 
 
 H 
 Pf 
 
 
 
 βσY Y 
 Figura # 1.4 Relación entre β, H y Pf. 
 
Si analizamos las condiciones [1.7] y [1.8], resulta evidente que lo primero que hay que 
establecer para su aplicación son los valores del índice de relatividad requerido βrequerido 
o el nivel de seguridad requerido Hrequerido, según sea el enfoque que se utilice. 
 
Sobre esta temática se han realizado numerosos trabajos (Meyerhof 1970,1993; 
Ermolaev 1976,1977; Shitova 1980; Mixeev 1983; Blázquez 1984; Ignatova 1984; 
Quevedo 1987,1988; Cristian 1994; Becker 1996; ITC 1996; Eurocódigo1 1997; 
Álvarez 1998; Day R. 1998), existiendo en ellos distintos enfoques para su 
establecimiento, los que pueden ser agrupados en aquellos que tratan establecer βrequerido 
o Hrequerido a partir de la valoración de la probabilidad de falla Pf que debe tener una 
estructura, considerando la misma como un término netamente estadístico, lo que trae 
consigo la utilización de valores muy bajos de Pf y por tanto altos de βrequerido o Hrequerido, 
obteniendo en la mayoría de los casos coeficientes de seguridad muy altos y por tanto 
soluciones irracionales (Day 1998; Eurocódigo1 1997; Becker 1996; Cristian 1994), 
aunque cabe señalar que algunos de los autores anteriores adoptan soluciones 
ingenieriles a la hora de establecer los sistemas de coeficientes de seguridad a utilizar, 
solucionando de forma empírica la dificultad que trae el uso de los valores de βrequerido o 
Hrequerido incorrectos. 
 
El establecimiento de esos valores muy bajos de la Pf para los diseños geotécnicos, 
βrequerido = 3.5- 4.0 y por tanto Pf = 0.00025 – 0.000032 para el estado límite de 
resistencia, por los autores anteriores ha estado influenciado en primer lugar por la 
extrapolación que se ha realizado de los valores que han dado buenos resultados en los 
diseños estructurales en elementos de hormigón armado o acero, sin tener en cuenta las 
particularidades de los diseños geotécnicos, y en segundo lugar por el hecho de 
considerar que los valores de la Pf que fijen se corresponden con la verdadera 
probabilidad de falla que tendrá el elemento, lo cual la práctica se ha encargado de 
negar, debiéndose considerar en la actualidad este parámetro más bien como un 
indicador para poder comparar seguridad en el diseño, y con ello establecer el sistema 
de seguridad adecuado, que como un medidor real de la seguridad obtenida. 
Consideramos que sobre este importante tema en el desarrollo del trabajo se debe 
profundizar y debatir los resultados prácticos obtenidos. 
 
Existen otros autores que tratan de establecer los parámetros anteriores a partir de la 
relación que los mismos tienen con el coeficiente de seguridad global K introducido en 
el diseño, tratando de determinar a partir de qué momento los aumentos de K no traen 
consigo aumentos significativos de β o H (Blázquez 1984; Meyerhof 1970), concepto 
que sin duda tiene mucha lógica pero que en la práctica resulta muy difícil de 
determinar con exactitud, convirtiéndose en la gran mayoría de los casos en un 
problema empírico, que puede tener mayor o menor éxito en función de la experiencia 
del que lo utilice. 
 
Se han realizado algunas investigaciones donde se ha tratado de determinar los valores 
del índice de relatividad o el nivel de seguridad requerido de forma directa por 
procedimientos matemáticos (Ermolaev 1977; Mixeev 1983), pero la aplicación práctica 
de los resultados ha sido muy limitada, pues solo han podido resolver casos muy 
simplificados de los problemas reales, por lo que existe coincidencia de que en la 
actualidad resulta imposible desde el punto de vista práctico realizar la determinación 
matemática de los valores de βrequerido o Hrequerido (Eurocódigo1 1997; Becker 1996; 
Quevedo 1999). 
 
Por último hay un grupo de autores que han tratado de establecer los valores de βrequerido 
o Hrequerido, para los diseños geotécnicos, a partir de realizar un análisis de reingeniería, 
valorando los índices de relatividad o niveles de seguridad que han empleado las 
normativas más reconocidas internacionalmente que establecen los diseños por estados 
límites (Shitova 1980; Ignatova 1984; Quevedo 1987, 1988), y a partir de ello 
considerar como valor requerido de dichos parámetros los menores que se han permitido 
en los diseños esas normativas. 
 
El procedimiento anterior se fundamenta en una lógica netamente práctica que plantea 
que si los diseños realizados por esas normativas han tenido un satisfactorio 
comportamiento histórico y los mismos han permitido los valores mínimos del índice 
de relatividad o del nivel de seguridad determinados, los valores anteriores pueden ser 
tomados como los βrequerido o Hrequerido. Los resultados de estos análisis para los diseños 
geotécnicos por el estado límite de resistencia recomiendan utilizar valores de Hrequerido 
= 0.98, lo que se corresponde con una Pf = 0.02 y un β = 2.05, lo que sin duda ratifica 
el señalamiento que se le había realizado al primer procedimientoanalizado, mientras 
que para el diseño por el segundo estado límite recomienda valores de Hrequerido = 0.85, 
lo que se corresponde con una Pf = 0.15 y un β = 1.04. 
 
Consideramos que el último procedimiento analizado resulta ser el más indicado para 
utilizar en la práctica para el caso de los diseños geotécnicos, dado que el mismo, sin 
dejar de aplicar los conceptos de los métodos probabilísticos, toma en cuenta la 
experiencia acumulada durante años de aplicación del método de los estados límites, 
perfeccionando el mismo con la introducción de un nuevo concepto con el cual se trata 
de unificar la seguridad obtenida en dichos diseños. De igual forma este enfoque es 
suficientemente flexible para cuando para un problema en específico no de resultados 
satisfactorios realizar nuevos análisis y modificar los valores recomendados. 
 
Nivel de seguridad y probabilidad de ocurrencia del fallo. 
 β H Pf 
Elementos de Hormigón Armado 3,8 0,999928 0,000062 
Elementos Metálicos 4 0,999968 0,000032 
Diseño Geotécnico 2,05 0,98 0,02 
 
 
En lo adelante nos centraremos en el procedimiento para la determinación del nivel de 
seguridad de diseño Hdiseño, que lo representaremos por H. 
 
Definida la ecuación básica para la aplicación de la teoría de seguridad, resulta 
necesario desarrollar toda la fundamentación matemática que permita su empleo en la 
práctica, no como procedimiento de diseño en el ámbito de proyectista, lo que resulta 
imposible en el actual grado de desarrollo de esta teoría y su conocimiento general entre 
los especialistas, sino como metodología empleada en investigaciones para la 
calibración de los sistemas de coeficientes de seguridad que se utilizan en el MEL. 
 
Esta teoría parte de analizar la ecuación Y, resultante de la resta de la función de las 
cargas resistentes, evaluada para los valores medios de las propiedades físico-mecánicas 
del suelo, Y2 y la función de las cargas actuantes con sus valores medios Y1. Dicha 
función resulta necesaria caracterizarla estadísticamente, definiendo su valor medio Y y 
su desviación σ según: 
 YYY 12 −= [1.10] yyy σσσ 22
2
1
2 += [1.11] 
dónde: σY - Desviación de la función resultante Y 
 σY1 - Desviación de la función Y1 
 σY2 - Desviación de la función Y2 
 
Analizando la figura # 1.4 se puede establecer que el nivel de seguridad queda 
determinado a partir de evaluar la integral de la función de Laplace φn entre -β y +∞ , tal 
y como mostramos: 
 [ ]+∞−= ,βφ
n
H [1.12] 
 
Considerando una distribución normal para función Y, tomando en cuenta las de 
propiedades de simetría de la misma y conociendo que dicha distribución evaluada 
entre 0 y +∞ es igual a 0.5, puede definirse el nivel de seguridad como: 
 [ ]βφ nH += 5,0 [1.13] 
 de
z
zn ⋅∫ −=
β
π
βφ
0
2
2
2
1
][ [1.14] 
 
Resulta de interés para la aplicación práctica del método definir el nivel de seguridad en 
función de los parámetros que caracterizan la función Y, pudiéndose encontrar 
inicialmente una relación entre β y estos y a partir de la misma, igual relación con el 
nivel de seguridad H. 
 
σ
β
y
Y= [1.15] 





+=
σ
φ
y
n
YH 5.0 [1.16] 
 
Sustituyendo en [1.15] las ecuaciones [1.10] y [1.11] se obtiene el nivel de seguridad H 
en función de los valores medios y desviaciones que caracterizan a las funciones Y1 y 
Y2. 
 








+
−+=
yy
YYH n
σσ
φ
2
2
2
1
125.0 [1.17] 
dónde: Y1 - Valor medio de la función de las cargas actuantes. 
 Y2 - Valor medio de la función de las cargas resistentes. 
 σY1- Desviación de la función Y1. 
 σY2 – Desviación de la función Y2. 
 
Como ya ha quedado definido, la aplicación práctica que se le da en la actualidad a los 
métodos probabilísticos es para la evaluación, y posible ajuste, de los coeficientes de 
seguridad que son utilizados en los diseños por estados límites en las diferentes 
normativas. Tomando en cuenta lo anterior resulta necesario establecer una relación 
entre el nivel de seguridad de diseño H y el coeficiente de seguridad global introducido 
K, medido este entre los valores medios de Y1 y Y2. Para ello debemos recordar la 
forma de determinar K y el coeficiente de variación v de una función. 
 
Y
YK
1
2= [1.18] 
Y
Yv
Y
2,1
2,1
2,1
σ= [1.19] 
dónde : vY1,2 – Coeficiente de variación de las funciones Y1 y Y2 respectivamente. 
 σY1,2 – Desviación de las funciones Y1 y Y2 respectivamente. 
 Y1,2 - Valor medio de las funciones Y1 y Y2 respectivamente. 
 
A continuación se realizará toda una serie de transformaciones matemáticas a la 
ecuación [1.17], con el objetivo de establecer la relación buscada entre H y K. 
Inicialmente se dividirá el numerador y el denominador del argumento de la función de 
Laplace por la Y1, obteniéndose: 
 














+
−
+=
y
Y
y
Y
y
y
H n
2
1
2
2
2
1
2
1
1
2 1
5.0
σσ
φ [1.20] 
 
 














+
−+=
y
Y
Yv
K
H n
2
1
2
22
1
1
5.0
σ
φ [1.21] 
Por último el segundo término del radical del argumento de la función de la Laplace se 
multiplicará por la relación Y2
2/ Y2
2, obteniéndose: 
 














⋅+
−+=
y
y
y
Y
v
k
H
Y
n
2
1
2
2
2
2
2
22
1
1
5.0
σ
φ [1.22] 
 








+
−+=
YvkYv
k
H n 2
2
22
1
1
5.0 φ [1.23] 
La ecuación [1.23] define la relación entre el coeficiente de seguridad global K y el 
nivel de seguridad obtenido en el diseño H, y será la ecuación básica para la aplicación 
de la teoría de seguridad con el fin establecido, permitiendo una vez definido el valor 
del nivel de seguridad requerido Hrequerido, encontrar con facilidad el coeficiente de 
seguridad óptimo Kóptimo, que debe ser empleado en el diseño, ver figura # 2.7. 
 
Resulta de interés realizar una valoración de la relación H vs. K y para ello mostraremos 
en la figura # 2.7 una representación gráfica resultante de evaluar [1.5] para distintos 
valores de K. 
 
 1 
 Hrequerido 
 
 
 
 
 
 0.5 
 1 Kreq.. 
 Figura # 1.5 Relación entre el nivel de seguridad H y el coeficiente de seguridad 
global K. 
 
En la curva anterior existen varios puntos de interés que debemos enfatizar. Por ejemplo 
si se utiliza un coeficiente de seguridad global K=1, el nivel de seguridad obtenido es 
0.5, lo que significa que la estructura tiene la misma probabilidad de fallar o no fallar, 
siendo lógico pues en realidad no se ha introducido ningún coeficiente de seguridad. Si 
se aumenta el valor de K se observa, inicialmente, que crece con rapidez el valor del 
nivel de seguridad, pero posteriormente este crecimiento disminuye y apartir de un 
cierto valor es prácticamente insignificante desde el punto de vista práctico. Lo anterior 
confirma que no todo aumento del coeficiente de seguridad en un diseño se traduce en 
un verdadero aumento de su seguridad, concepto que no es manejado por los 
proyectistas y por ello obtienen con frecuencia diseños irracionales. 
 
Por último se debe hacer notar que por muy grande que sea el coeficiente de seguridad 
global K que se utilice, nunca se obtendrá una seguridad absoluta en el diseño, 
representada por H=1, ya que la función del nivel de seguridad se hace asintótica a 
dicho valor. Lo anterior puede ser analizado matemáticamente a partir de la ecuación 
[2.38], donde para obtener un valor de H=1 es necesario que la función de Laplace sea 
0.5, lo que ocurre únicamente cuando su argumento es ∞. Para que el argumento de la 
función de Laplace, en la ecuación analizada, sea infinito debe valer el radical del 
denominador cero y esto solo es posible cuando los coeficientes de variación de las 
funciones Y1 yY2 son cero. Lo anterior nunca ocurre en los problemas ingenieriles, pues 
ya hemos establecido que tanto las cargas actuantes, como los parámetros del suelo que 
definen Y2, son funciones aleatorias. 
 
2. Procedimientos para la aplicación de los estados límites y la 
teoría de seguridad. 
 
Metodología general para la aplicación del método de los estados límites en el diseño 
geotécnico en Cuba. 
 
Se definirá la formulación matemática general para la introducción del método de los 
estados límites en el diseño geotécnico en Cuba, que permita establecer posteriormente, 
con un enfoque único, las formulaciones particulares para cada uno de los distintos 
diseños geotécnicos que se analicen. Como es conocido en la aplicación del MEL se 
definen los siguientes estados límites de diseño: 
1er Estado Límite - Estado Límite de resistencia o estabilidad, conocido como estado 
límite último. 
2er Estado Límite - Estado Límite de servicio, que para el caso del diseño geotécnico se 
convierte en el estado límite de deformación. 
 
La ecuación de diseño para el 1er Estado Límite que se empleará es la que utiliza un 
sistema de tres coeficientes de seguridad parciales, uno que trate de tomar las 
incertidumbres en el establecimiento de las cargas actuantes, otro que valora la 
variabilidad de las propiedades físico-mecánicas del suelo utilizadas y un tercer 
coeficiente de seguridad adicional, que trata de considerar aspectos del diseño que no 
pueden ser valorados matemáticamente, como pudiera ser la importancia de la obra o las 
condiciones de trabajo de la base. 
 
γ s
Y
Y
*
2*
1 ≤ [2.1] 
 
dónde: Y1
* - Función de las cargas actuantes, con sus valores de cálculos. 
 Y2
* - Función de las cargas resistentes, determinada con los valores de 
cálculo de las propiedades físico-mecánicas del suelo. 
 γs - Coeficiente de seguridad adicional. 
 
La figura # 2.1 muestra de forma simplificada la concepción de diseño de este enfoque 
del MEL, dejando claro el significado de cada uno de los coeficientes de seguridad y la 
forma n que pueden obtenerse las funciones Y1
* y Y2
*. 
 
 K 
 
 
 
 
 Y1 Y1
* Y2
* Y2 
 γf γs γg 
 Figura # 2.1. Relación entre los coeficientes parciales y las funciones de cálculo 
 
 γ
fYY ⋅= 1
*
1
 [2.2] γ
g
YY 2
*
2
= [2.3] 
dónde: Y1 - Función de las cargas actuantes, con sus valores medios. 
 Y2 - Función de las cargas resistentes, determinada con los valores 
medios de las propiedades físico-mecánicas del suelo. 
 γf - Coeficiente de seguridad parcial de las cargas actuantes. 
 γg - Coeficiente de seguridad parcial de las cargas resistentes. 
 
Procedimiento para la aplicación del sistema de coeficiente de seguridad. 
 
Definida la ecuación general a utilizar para la aplicación del MEL en el diseño 
geotécnico, debemos establecer el procedimiento de introducción de los coeficientes de 
seguridad parciales para la determinación de las funciones Y1
* y Y2
*. 
 
Para el caso de las cargas actuantes, en el 1er Estado Límite, es conocido que en los 
diseños generalmente lo que se utiliza es una o varias combinaciones, por lo que en 
realidad las funciones Y1
* y Y1 son el producto de la suma de varias cargas, por ejemplo 
carga muerta, carga viva y carga temporal especial de viento, y cada una con sus 
correspondientes coeficientes de seguridad. Por otro lado las cargas que conoce el 
proyectista son las definidas en las normativas y en estas lo que aparecen son sus 
valores característicos (Eurocódico1 1997), aplicándosele a ellas los coeficientes de 
seguridad para determinar sus valores de cálculo. Lo explicado anteriormente, resumido 
en la figura # 2.2, es lo que se realiza para el diseño estructural y se mantendrá de igual 
forma para el diseño geotécnico, siendo sus ecuaciones generales las siguientes: 
 γ
fikii YY ⋅= 1
*
1
 [2.4] 
 γ fi
n
i
kiYY ⋅∑=
=1
1
*
1 [2.5] 
dónde: Y1
*
i - Valor de cálculo de la carga i. 
 Y1k
*
i - Valor característico de la carga i. 
 γfi - Coeficiente de seguridad de la carga i. 
 n - Número de cargas de la combinación. 
 
 
 
 
 Frecuencia 
 
 
 
 
 Y1 Y1k Y1
* Y1 
 Figura # 2.2 Relación entre las funciones Y1, Y1k y Y1
* 
 
De la expresión [2.2] y de la figura 2.1 se puede obtener la expresión para la 
determinación del coeficiente de seguridad parcial de las cargas actuantes, según: 
 
Y
Y
m
fmc
1
*
1=γ [2.6] 
En el proceso de diseño no se conoce los valores medios de las cargas actuantes, por lo 
que de forma directa no se puede encontrar la función Y1, debiéndose establecer el 
procedimiento para su obtención a partir de sus coeficientes de variación, los valores 
característicos y la probabilidad con que se definieron estos, lo que no siempre está 
correctamente definido en las normas de cargas, siendo aceptado internacionalmente 
una probabilidad α = 0.95 (Eurocódigo 1997, Hospitaler 1997). 
 ( )vtYY ikimi ⋅−= α111 [2.7] 
 ( )vtYY i
n
i
kim
⋅−⋅=∑
=
α1
1
11
 [2.8] 
dónde: Y1mi - Valor medio de la carga i. 
 vi - Coeficiente de variación de la carga i. 
 tα - Valor de la función de la t-student para la probabilidad α. 
 
Sustituyendo [2.5] y [2.8] en [2.6] se puede obtener elvalor de γf en función de los 
valores característicos de las cargas que son los conocidos en el diseño. 
 
( )∑
∑
=
=
⋅−
⋅
=
n
i
iki
n
i
fiki
fmc
vtY
Y
1
1
1
1
1 α
γ
γ [2.9] 
 
Es bueno aclarar que el valor de γf, definido por [2.9], es coeficiente total introducido en 
el diseño producto de las cargas actuantes, medido desde el valor medio hasta su valor 
de cálculo, y será el utilizado a la hora de valorar la seguridad por métodos 
probabilísticos, sin embargo es conveniente definir el valor del coeficiente anterior 
cuando el mismo es medido de los valores característicos de las cargas actuantes Y1k 
hasta sus valores de cálculoY1
*, ya que esta es la forma que tradicionalmente el MFSG 
introduce el coeficiente de seguridad global y debe ser el utilizado a la hora de realizar 
comparaciones entre diseños por el MEL y el MFSG. 
 
∑
∑
=
=
⋅
= n
i
ki
n
i
iki
Y
Y f
fkc
1
1
1
1 γ
γ [2.10] 
dónde: γfkc - Coeficiente de seguridad parcial de las cargas, medido desde su valor 
característico hasta sus valores de cálculo. 
 
Todo lo analizado hasta el momento es válido para el 1er Estado Límite, mientras que en 
el 2er Estado Límite se trabaja con las cargas con sus valores característicos y la 
seguridad que se introduce por esta vía queda definida por el coeficiente de seguridad de 
las cargas medido de sus valores medios hasta los característicos γfmk, según: 
 
Y
Y k
fmk
1
1=γ [2.11] 
 
( )∑ ⋅−
∑
=
=
=
n
i
iki
n
i
ki
fmk
vtY
Y
1
1
1
1
1 α
γ [2.12] 
El procedimiento propuesto para la determinación de la función de las cargas resistentes 
con sus valores de cálculo Y2
* difiere del empleado tradicionalmente en el diseño 
estructural y plantea la aplicación de los coeficientes de seguridad de las propiedades 
físico-mecánicas del suelo directamente a sus valores medios, que sin son valores 
conocidos en el diseño geotécnico obtenidos de los ensayos de laboratorios, 
determinando de esta forma sus valores de cálculo y utilizando estos para evaluar la 
función de cargas resistentes y obtener Y2
. Con lo anterior se elimina la utilización del 
concepto del valor característico, proponiéndose distintas probabilidades para la 
obtención de los valores de cálculo de las propiedades del suelo en cada estado límite, 
α= 0.95 para el 1er Estado Límite y α= 0.85 para el 2er Estado Límite. 
 
Para el 1er Estado Límite las funciones Y2
* y Y2, figura # 2.3, se obtienen evaluando la 
función de las cargas resistentes del problema analizado con los valores de cálculo y 
medios de las propiedades físico-mecánicas del suelo respectivamente, según: 
 
 ( )XfY i**2 = [2.13] ( )XfY i=2 [2.14] 
 
 
 
 
 
 Y2
* Y2 
 γgmc 
 Figura # 2.3 Relación entre las funciones Y2
* y Y2 para el 1
er estado límite. 
Mientras que los valores medios las características físico-mecánicas del suelo y sus 
correspondientes coeficientes de seguridad son obtenidos del análisis estadístico de los 
resultados de laboratorio (GOST 1975, Quevedo 1987, Simanca 1999), siendo sus 
ecuaciones fundamentales las siguientes: 
 γ
gi
i
i
xx =
*
 [2.15] 
dónde: xi - Valor medio de la propiedad i del suelo. 
 xi
* - Valor de cálculo de la propiedad i del suelo. 
 γgi - Coeficiente de seguridad de la propiedad i del suelo. 
 
Para el caso de las propiedades físicas del suelo, que en los diseños geotécnicos la 
principal que intervine es su peso específico γ, el coeficiente γgi se determina de la 
siguiente forma: 
 
n
vt
i
i
gi ⋅−
=
α
γ
1
1
 [2.16] 
dónde: tα - Valor de la función de la t-student, para α= 0.95 y n-1 grados de libertad. 
 vi - Coeficiente de variación de la propiedad i del suelo. 
 ni - Cantidad de resultados de ensayos de la propiedad i del suelo. 
 
Las propiedades mecánicas que intervienen en los diseños geotécnicos son 
fundamentalmente las relacionadas con la resistencia a cortante de los suelos, 
representada por el ángulo de fricción interna ϕ y la cohesión c que son parámetros que 
se obtienen generalmente por un análisis de regresión lineal de los resultados del ensayo 
de cortante, determinándose el coeficiente γgi de la forma siguiente: 
 
vt i
gi ⋅−
=
α
γ
1
1
 [2.17] 
dónde: tα - Valor de la función de la t-student, para α= 0.95 y n-2 grados de libertad. 
 
De la figura # 2.3 se infiere que el coeficiente parcial de las cargas resistentes γg se 
obtiene de la relación entre la función de la capacidad resistente evaluada para los 
valores medios de las propiedades físico-mecánicas del suelo y para sus valores de 
cálculo. 
 
( )
( )xY
xY
i
i
gmc **
2
2=γ [2.18] 
En las normas cubanas de cargas y de diseño geotécnico de cimentaciones superficiales 
se utilizan los siguientes coeficientes de seguridad parciales de las cargas y las 
propiedades físico-mecánicas de los suelos, tabla 2.1. 
 
Tabla 2.1 Combinaciones de Carga más frecuentes en proyecto. 
 
Cargas Resistencia Requerida 
Carga Permanente o Muerta (D) y Sobrecarga (L) 
1.4CM 
1.2CM + 1.6CV 
Carga Permanente o Muerta (D), Sobrecarga (L) y 
Viento (W) 
1.2CM + 1.6CV 
+0.8CTEv 
1.2CM + 1CV +1.3CTEv 
0.9CM +1.3CTEv 
Carga Permanente o Muerta (D), Sobrecarga (L) y 
Carga Sísmica (E) 
1.2CM + 1CV +1.4CTEs 
0.9CM +1.4CTEs 
 
 
De las investigaciones realizadas con la aplicación de los métodos probabilísticos, como 
podremos ver más adelante en el curso, se obtuvieron los siguientes coeficientes de 
seguridad parciales de las propiedades físico mecánicas de los suelos, para el diseño 
geotécnico de las cimentaciones superficiales, tabla 2.2. 
 
 
TIPO DE SUELO 
Coeficiente de 
minoración. 
(γγγγg) 
Suelos cohesivos 
(C >>>> 0, ϕϕϕϕ ≤≤≤≤ 25o) Suelos C-ϕ (ϕ > 25o) 
Suelos ϕ 
(ϕ ≤ 30o) 
Suelos ϕ 
(ϕ > 30o) 
γγγγgγγγγ 1.05 1.05 1.03 1.03 
γγγγgc 1.45 1.40 - - 
γγγγgtgϕϕϕϕ 1.25 1.20 1.15 1.10 
Tabla 2.2 -Valores de γgγ, γgc y γgtgϕ para una probabilidad del 95%. 
 
 
Para el 2er Estado Límite son válidas todas las ecuaciones anteriores, siendo la única 
diferencia, como se muestra en la figura # 2.4, que los valores de cálculo de las 
propiedades físico-mecánicas del suelo, y por tanto la función Y2
*, se obtienen para 
una probabilidad α= 0.85 y que el coeficiente de seguridad parcial de las cargas 
resistentes se determina a partir de: 
 
( )
( )85,0;**2
2
=
=
α
γ
xY
xY
i
i
g [2.19] 
 
 
 
 
 
 
 Y2
* Y2 
 γg 
 
 Figura # 2.4 Relación entre las funciones Y2
* y Y2 para el 2
do estado límite. 
 
Relación entre los coeficientes parciales del MEL y el factor de seguridad global del 
MFSG.Para la calibración del sistema de coeficiente de seguridad a utilizar por el MEL, tanto 
cuando se utiliza métodos probabilísticos como cuando simplemente se realiza una 
comparación con los coeficientes utilizados en el MFSG, resulta necesario establecer el 
procedimiento para la determinación del coeficiente de seguridad global K que se 
introduce en el MEL con la utilización de los coeficientes parciales. La relación entre 
dichos coeficientes parciales y el global se puede observar en la figura # 2.5, pudiéndose 
demostrar que el valor total de K introducido en el MEL, medido de los valores medios 
de las cargas actuantes a los valores medios de las cargas resistentes, y su relación con 
los coeficientes parciales se determinan a partir de: 
 γfmc γs γgmc 
 γfkc γgkc 
 
 
 
 
 
 Y1 Y1kY1
*Y2
*Y2k Y2 
 Figura # 2.5 Relación entre las funciones Y1,Y1k, Y1
*,Y2
*,Y2k y Y2 y los coeficientes 
parciales. 
 
 
γ 5
*
2*
1
YY = [2.20] 
Y
YK
1
2= [2.21] 
 
γ
γ
f
g
Y
Y
K
*
1
*
2 ⋅= 
γγ
γ
f
g
Y
Y
K
1
.
5
*
2
*
2 ⋅= 
 γγγ
sgfmm
K ⋅⋅= [2.22] 
Como ya fue analizado con anterioridad, al realizar la comparación entre los 
coeficientes globales introducidos por el MEL y MFSG, resulta conveniente definir 
también el valor del coeficiente de seguridad global, medido de los valores 
característicos de las cargas actuantes a los valores medios de las cargas resistentes, 
Kkm, el que se determina según: 
 
 γγγ
sgfkckmK ⋅⋅= [2.23] 
 
 γγγ
sgkcfkckkK ⋅⋅= 
 
 
 
Procedimiento para la aplicación de la Teoría de Seguridad. 
 
Ya se había definido que las expresiones que se utilizaría para el diseño empleando la 
teoría de seguridad o métodos probabilísticos son: 
 
 βdiseño ≥ βrequerido [2.24] 
 H diseño ≥ H requerido [2.25] 
 
En realidad también se pudiera utilizar una ecuación de diseño en función de la 
probabilidad de fallo Pf, pues conocemos β, H y Pf están directamente relacionados 
matemáticamente, tal y como recordamos a continuación: 
 
H = 1- Pf [2.26] 
 
[ ]βφ
n
H += 5.0 [2.27] 
 
De igual forma ya conocíamos la relación entre el factor de seguridad global, debe ser 
medido de medio a medio, y el nivel de seguridad, según: 
 
 








+
−+=
YvkYv
k
H n 2
2
22
1
1
5.0 φ [2.28] 
 
Para poder emplear la ecuación [2.28] resulta necesario establecer el procedimiento para 
obtener los coeficientes de variación de las funciones Y1 yY2, que a su vez están 
compuestas por varias variables aleatorias. Dada la complejidad de las funciones 
anteriores en los problemas ingenieriles, fundamentalmente Y2, se presentan casos a la 
hora de obtener vY1,Y2 que no están recogidos con frecuencia en la literatura 
especializada, por lo que consideramos importante resumir las soluciones obtenidas. 
 
Si tenemos una función y que es producto de la sumatoria de los valores representativos 
A i de varias variables aleatorias, su desviación σy se define aplicando el teorema general 
de esta, según: 
 
 ∑= AiY [2.29] ∑= σσ 22 Aiy [2.30] 
 
El caso anterior es válido para la función Y1 cuando la misma es definida por una 
combinación de cargas actuantes xi, obteniéndose σY1 a partir de: 
 ∑= ixY1 [2.31] ∑= σσ 2
2
1 xiY [2.32] 
dónde: Y1 – Valor medio de la función de las cargas actuantes. 
 xi – Valor medio de la carga i. 
 σY1 – Desviación de la función de las cargas actuantes. 
 σxi – Desviación de la carga i. 
 
Resulta de interés práctico establecer la obtención de la desviación σy, cuando la 
función está definida por la división de los valores representativos de dos variables 
aleatorias. 
 
B
A
Y = [2.33] 
B
A
B
BA
y 4
22
2
2
2 σσσ += [2.34] 
 
A partir de la ecuación [2.34] puede solucionarse el problema práctico de obtener la 
desviación de la excentricidad de la carga σe, según: 
 
N
M
e= [2.35] 
N
M
N
NM
e 4
22
2
2
2 σσσ += [2.36] 
dónde: e – Valor medio de la excentricidad de la carga. 
 M – Valor medio del momento actuante. 
 N – Valor medio de la carga vertical actuante. 
 σe – Desviación de la excentricidad de la carga. 
 σm – Desviación del momento actuante. 
 σN - Desviación de la carga vertical actuante. 
 
De forma similar puede utilizarse el procedimiento anterior para obtener la desviación 
de la inclinación de la carga σtgδ. 
 
Cuando debemos evaluar la desviación σy de una función Y dependiente de varias 
variables aleatorias xi, no son válidas las soluciones anteriores, proponiéndose emplear 
el método de desarrollo en series de Taylor, en el que se combinan la linealización de la 
función con la aplicación del teorema general de la desviación, obteniéndose la 
siguiente solución: 
 ( )xfY i= [2.37] σσ 2
2
2
xi
i
Y
x
Y
∑








∂
∂
= [2.38] 
 
La ecuación [2.38] es aplicable a cualquier función, siempre que todas las variables de 
que ella depende sean independientes. En el caso del diseño geotécnico ocurre con 
frecuencia que tenemos que enfrentarnos a funciones de las cargas resistentes Y2 que 
son dependientes de varias variables aleatorias xi y dos de ellas están correlacionadas 
entre sí, xn-1 y xn, como son los parámetros ángulo de fricción interna ϕ y cohesión c 
que definen la resistencia a cortante del suelo. Si se conoce el coeficiente de correlación 
entre ambas variables rxn-1,xn se puede generalizar la ecuación [2.38] para dar solución a 
este complejo caso. 
 ( )nadascorrelacioxyxxfY nni 1; −= [2.39] 
 r
x
y
x
y
x
y
xnxnxn
n
xn
n
xi
i
Y ,11
1
2
2
2 2 −−
−
⋅






∂
∂
⋅






∂
∂
−∑ 






∂
∂
= σσσσ [2.40] 
 
Definidos los procedimientos para la determinación σy para cualquier de las formas que 
pueda quedar definida la función se obtiene vY1,Y2. 
 
Metodología para la calibración del sistema de coeficientes de seguridad a utilizar en 
el MEL con el empleo de la teoría de seguridad. 
 
Definido todo el aparato matemático general para la aplicación de la teoría de seguridad, 
incluyendo sus particularidades para los diversos casos que pueden presentarse en los 
problemas ingenieriles, resulta necesario establecer una metodología para su aplicación, 
enfocada fundamentalmente a permitir la obtención del sistema de coeficientes de 
seguridad a emplear en el MEL. 
 
En realidad muy pocos autores en sus trabajos enuncian de forma clara el procedimiento 
seguidoen la aplicación de estos métodos probabilísticos, y en específico en lo 
relacionado con la calibración de los coeficientes son aún menos explícitos, es por ello 
que consideramos importante resumir, en una metodología única, la experiencia 
obtenida en la aplicación práctica de estos métodos en Cuba en diversos diseños 
geotécnicos (Quevedo 1987;1988,1999,2000; Álvarez 1998; Oliva 1999; Diego 1999; 
González 1997, 2000, Ibáñez 2001), lo que sin duda facilitará su generalización en el 
ámbito nacional e internacional. 
 
I). Definición de los parámetros generales que intervienen en el análisis. 
I.1). Caracterización estadística de todos los parámetros aleatorios considerados. 
En el epígrafe 1.2 se definió que para el caso del diseño geotécnico era suficiente 
considerar como variables aleatorias todas las cargas actuantes y propiedades del suelo 
que intervienen en el diseño, planteando en las tablas 1.1; 1.2 y 1.3 los valores 
recomendados de los coeficientes de variación de dichos parámetros, quedando definida 
por tanto la caracterización estadística de esas variables para la aplicación de los 
métodos probabilísticos. 
 
I.2). Diseño del experimento teórico. 
En este punto se tiene que definir todas las variables que intervienen en el diseño, 
aleatorias o no, y para cada una de ellas, a partir de la experiencia práctica acumulada, 
establecer sus intervalos de variación. Una vez definido lo anterior, hay que determinar 
todas las posibles combinaciones de los distintos valores de las variables analizadas, de 
forma tal que estas contemplen los casos prácticos que se pueden presentar en el diseño 
analizado. Para ello se pueden utilizar técnicas combinatorias conocidas junto con la 
aplicación de la práctica ingenieril que permita eliminar las combinaciones no lógicas y 
con ello reducir el volumen de trabajo a realizar en la investigación. 
 
I.3) Establecimiento del nivel de seguridad requerido Hrequerido. 
Para poder determinar el Krequerido que requiere un diseño es necesario fijar el nivel de 
seguridad que se corresponde con el mismo Hrequerido, pudiéndose obtener este por los 
procedimientos ya mencionados anteriormente, recomendando a partir de nuestra 
experiencia los valores de: 
Para el diseño geotécnico: 
• Hrequerido = 0.98 para diseños por el 1er estado límite. 
• Hrequerido = 0.85 para diseños por el 2do estado límite. 
Para cualquier diseño: 
 
 
 β H Pf 
Elementos de Hormigón Armado 3,5 0.99977 0,000062 
Elementos Metálicos 4 0,999968 0,000032 
Diseño Geotécnico 2,05 0,98 0,02 
 
 
Este es un tema muy discutido a escala internacional, algunos enfoques como los del 
Eurocódigo trantan de definir un Hrequerido, bueno en realidad ellos trabajan con un 
βrequerido, pero ya conocemos que al definir ese término se está definiendo Hrequerido o 
viceversa, único para cualquier material y tipo de diseño, solo distinguen si es en estado 
límite último o de servicio, recomendando un valor de βrequerido = 3.8 (Hrequerido = 
0.9999), otros autores como Fenton G.A de la Dalhouise University de Halifax, Canadá, 
plantean un posible intervalo de βrequerido = 3.1 – 3.7 (Hrequerido = 0.999 – 0.9995), 
mientras que Samuel G. Paikowsky de la Universidad de Massachusetts, 2011 plantea 
igualmente un posible intervalo de βrequerido = 2.33 – 3.1 (Hrequerido = 0.99 – 0.999), pero 
todos valores están en función de la forma en que se aplique los coeficientes de 
seguridad y sobre todo con respecto a qué valor de K se ha determinado β o H, el 
Eurocódigo 1 define muy esto cuando plantea “ debe advertirse que el valor de β y su 
probabilidad de fallo correspondiente es un número meramente formal, que, 
principalmente, pretende ser una herramienta para el desarrollo consistente de las reglas 
de proyecto, en lugar de dar una descripción de la frecuencia de fallo estructural. 
 
II). Determinación de los coeficientes de seguridad global de diseño Kdiseño y requerido 
Krequerido. 
 
II.1). Establecimiento del aparato matemático. 
El enunciado general de este aparato matemático quedó definido para la obtención del 
Kdsiseño, y para llegar a establecer el Krequerido, debiéndose adaptar los mismos, a partir de 
la ecuación de diseño considerada, para cada problema en específico que se estudie. 
 
II.2). Creación de la base computacional. 
Como se definió en la realización de estas investigaciones resulta necesario evaluar un 
gran número de combinaciones de valores de las variables analizadas, lo que unido a la 
propia complejidad del aparato matemático creado, hace que las mismas solo sean 
posibles de realizar cuando todos los procedimientos están automatizados. Para ello no 
se requiere de programas profesionales, siendo muy útil el empleo de sistemas de ayuda 
a la ingeniería como puede ser el Mathcad, con el cual de una forma sencilla y rápida se 
puede crear toda la base computacional para la aplicación de estos métodos. 
 
II.3). Obtención de los valores de Kdiseño y Krequerido para todas las combinaciones 
definidas. 
Establecida la base computacional se aplicará la misma para todas las combinaciones 
posibles definidas en el experimento teórico, obteniéndose los valores de Kdiseño y 
Krequerido para cada caso estudiado. El volumen de información que resulta de este 
análisis es muy grande, por lo que es de suma importancia ir realizando valoraciones 
preliminares que permitan eliminar las variables de menor influencia en el problema, y 
con ello disminuir las combinaciones a estudiar. Por otro lado hay que cuidar que los 
mismos casos utilizados en la determinación del Kdiseño, se empleen en la obtención del 
Krequerido, de forma tal que sea posible la comparación entre ambos valores 
posteriormente. 
 
II.4). Valoración de los resultados y formulación de las conclusiones parciales. 
Los resultados obtenidos en II.3, que como ya se planteó son muy numerosos, son 
necesarios ordenarlos de forma que se posibilite el análisis de los mismos y en lo 
fundamental la comparación entre el Kdiseño introducido con la aplicación del MEL, a 
partir de los coeficientes de seguridad de las cargas definidos en las normativas y los de 
las propiedades físico-mecanicas de los suelos calculados por los análisis estadísticos, y 
el Krequerido que en realidad requiere el diseño, obtenido a partir de la aplicación de la 
teoría de seguridad. 
 
La experiencia práctica de las investigaciones realizadas (Quevedo 1987; Álvarez 1998; 
Becker 1996; González 2000) nos muestra que para la gran mayoría de las 
combinaciones analizadas ocurre que Kdiseño>Krequerido, lo que denota que resulta 
necesario calibrar los coeficientes de seguridad utilizados para la obtención de diseños 
más racionales. 
 
III). Calibración de los coeficientes de seguridad. 
Lo enunciado hasta el momento en I y II en la presente metodología resulta ser una 
aplicación de la estadística y la matemática, adaptada a las particularidades de los 
problemas ingenieriles estudiados, sin embargo el proceso de calibración de los 
coeficientes de seguridad que explicaremos a continuación tiene sin duda un 
componente importante de solución ingenieril, pues por su complejidad resulta 
prácticamente imposible la obtención de una solución matemática. 
 
III.1) Análisis de la influencia de las principales variables en los valores de Kdiseño y 
Krequerido. 
Se debe realizar un estudio teórico de la influencia de las principales variables en los 
valores de Kdiseño y Krequerido, de forma tal de establecer por una parte las de mayor 
influencia y por otra las leyes de dependencia de las mismas, que permitan contar con la 
información necesaria a la hora de realizar la calibración de los coeficientes. Por 
ejemplo resulta de interés conocer la influencia de los coeficientes de variación de las 
cargas y las propiedades de los suelos en los dos valoresestudiados y sobre todo 
analizar dicha dependencia de forma comparativa. 
 
III.2). Determinación de las combinaciones pésimas en cuanto a la relación Kdiseño y 
Krequerido. 
A partir de la información obtenida de los análisis realizados en III.1 se debe llegar a 
establecer los puntos críticos de la relación Kdiseño y Krequerido, donde por ejemplo se 
requiera un mayor Krequerido y se introduzca un menor Kdiseño. En realidad lo anterior no 
es tan simple y en la práctica lo que existen son varios puntos críticos que tendrán que 
ser tomados en cuenta a la hora de la calibración de los coeficientes. 
 
III.3). Calibración del sistema de coeficientes de seguridad a utilizar en el MEL. 
La filosofía que se sigue para la calibración del sistema de coeficiente de seguridad es la 
de lograr que para todos los puntos críticos definidos en III.2 se obtenga que Kdiseño = 
Krequerido, lo que garantiza que en los mismos se cumpla eficientemente la condición de 
diseño de estos métodos probabilísticos Hdiseño = Hrequerido. En la práctica lo anterior se 
logra limitando los valores de los coeficientes de seguridad de las propiedades de los 
suelos, obtenidos del análisis estadístico, a ciertos valores máximos que garantice la 
condición anterior para los puntos críticos. 
 
Este proceder se enmarca dentro de la aplicación de los métodos probabilísticos 
aproximados, que son los únicos que pueden tener resultados prácticos en la actualidad, 
siendo muy importante que la solución final, el sistema de coeficientes calibrados 
propuestos, se le dé al proyectista de forma sencilla para que la pueda aplicar sin tener 
conocimientos sobre los métodos probabilísticos empleados. 
 
III.4). Obtención de los nuevos valores de los Kdiseños con los coeficientes calibrados 
Al cambiar los coeficientes de seguridad de las propiedades del suelo utilizados en los 
diseños, resulta evidente que cambian los valores de los Kdiseño introducidos, los que 
deben ser determinados de nuevo para todas las combinaciones definidas en I.2. 
 
III.5). Valoración de los resultados y formulación de las conclusiones. 
Debe repetirse los análisis realizados en II.4, con los resultados obtenidos con los 
nuevos coeficientes de seguridad, obteniéndose que los Kdiseño se acerquen más a los 
Krequeridos y que para varios casos críticos se logra la igualdad de dicho valores. Cuando 
se analiza los intervalos de variación del Kdiseño y el Krequerido, debe lograrse que los 
valores del Kóptimo se encuentren dentro del intervalo definido para el Kdiseño. 
 
IV). Validación práctica de los resultados. 
IV.1). Análisis técnico-económicos de diseños con los coeficientes calibrados. 
Para validar los resultados obtenidos en la calibración de los coeficientes de seguridad 
resulta necesario la aplicación de los mismos a diversos diseños prácticos, valorando la 
influencia económica de la nueva propuesta y verificando que se cumplan con todos los 
requerimientos de diseño establecidos. 
 
IV.2). Introducción de los resultados obtenidos en las normativas de diseño. 
Para garantizar la generalización de los resultados obtenidos, los mismos deben ser 
enunciados de forma que puedan ser introducidos en las normativas de diseños que 
emplean el MEL. 
 
 
 
El método del ACI 
El ACI, órgano de los EEUU que norma el diseño y ejecución de obras de hormigón, 
introdujo el MEL al valorar diferentes etapas de comportamiento del elemento, bajo el 
nombre de Diseño por Resistencia, primeramente como método alternativo y 
posteriormente como normativa principal. Paulatinamente el Método de Tensiones de 
Trabajo fue siendo relegado hasta que a fines de los 90 desapareció del código. 
 
En cuanto a la forma en que mide la SEGURIDAD PARA EL AGOTAMIENTO , 
introduce los siguientes procedimientos: 
 
- Resistencia de Diseño ≥ Resistencia Requerida 
- Factor de Reducción de la Resistencia (φ ) × Resistencia Nominal ≥ Factor de 
carga × Solicitación de Servicio 
Dónde: 
Factor de reducción de la resistencia (φφφφ): que toma en cuenta la probabilidad de 
que la resistencia de un elemento sea menor que la supuesta debido a las 
variaciones en las resistencias de los materiales y sus dimensiones, las 
imprecisiones de las ecuaciones de diseño, el grado de ductilidad y la 
confiabilidad requerida del elemento cargado, y la importancia del elemento 
dentro de la estructura. 
 
El Factor de Reducción de la resistencia engloba en un coeficiente los factores de 
incertidumbre que tienen que ver con la reducción de la capacidad portante de la 
sección. 
Ru = φ. Rn 
Donde 
 φ depende del tipo de solicitación y elemento como se aprecia en la tabla 2.3 
 
 
 
 
 
 
 
TABLA 2.3: Coeficiente de reducción de resistencia φφφφ en elementos de H.A 
TIPO DE RESISTENCIA φφφφ 
Secciones controladas por tracción 0,90 
Secciones controladas por compresión: 
- Elementos con armadura en espiral 
- Otros elementos armados 
 
0,70 
0,65 
Cortante y torsión 0,75 
Aplastamiento del hormigón 0,65 
Zonas de anclaje de postesado 0,85 
Modelo de bielas y tirantes 0,75 
 
Esta forma de medir la resistencia resulta más completa, pues la capacidad de la sección 
no depende sólo de la calidad de los materiales que lo componen sino, sobre todo, por la 
combinación de estos en un nuevo material encargado de resistir las cargas externas. Al 
emplear coeficientes separados para el hormigón y acero, el CEB-FIB esconde la 
realidad, ya que en determinados elementos el aporte relativo de uno u otro es poco 
significativo. Por eso es que se hace necesario tomar en cuenta que: 
u
n
g R
R
=γ 
Que trata de abarcar el fenómeno en su conjunto. El valor de φ equivale a: 
sg
γγ ⋅
1
 según las disposiciones del CEB-FIB 
En este coeficiente considera en primer lugar el peso del hormigón, con más 
variabilidad en su resistencia, en la capacidad portante de la sección que se evalúa, 
nótese como es menor para las solicitaciones donde este tiene mayor peso en la 
capacidad resistente el hormigón como el cortante y la compresión. Además incluye 
indirectamente la importancia del fallo al diferenciar el que puede producir en una viga 
y una columna, y también en forma sutil la insuficiente confiabilidad en los cálculos al 
minorar las solicitaciones de torsión y cortante. Sin embargo, se nota la ausencia del 
coeficiente γs para evaluar más directamente otros factores y sobre todo la importancia 
de la obra y la calidad del control. 
La relación entre los coeficientes parciales y el coeficiente de seguridad global para este 
caso vendría dado por: 
 
 K= γf/φ 
Para el caso del diseño geotécnico los valores de φ varían en función del tipo de suelo, 
las características de las cargas actuantes y el tipo de elemento que se esté diseñando, a 
modo de ejemplo le ponemos una tabla recomendada por Tabla propuesta por Samuel 
G. Paikowsky de la Universidad de Massachusetts, 2011. 
 
Tabla 2.4 propuesta por Samuel G. Paikowsky de la Universidad de Massachusetts, 
2011 
 Condiciones de carga 
φ
o Vertical 
centrada o 
excéntrica 
Inclinada 
centrada 
Inclinada 
excéntrica 
positiva 
Inclinada 
excéntrica 
negativa 
30 - 34 0.5 0.4 0.4 0.7 
35 - 36 0.6 0.4 0.4 0.7 
37 - 39 0.7 0.5 0.45 0.75 
40 -44 0.75 0.55 0.5 0.8 
 
Enfoque del Eurocódigo. 
En el enfoque del Eurocódigo los coeficiente de seguridad a los materiales no se aplican 
a los valores medios de estos sino a los característicos, tal y como se muestra en la 
figura # 2.6. 
 
 
 
 
 
 Y2
* Y2k Y2 
 
 γgkc 
Figura # 2.6 Relación entre las funciones Y2
*, Y2k y Y2 para el 1
er estado límite. 
 
Por lo tanto la expresión para determinar los valores de las propiedades de los 
materiales de cálculo es la siguiente: 
γ
gi
ki
i
xx =
*
 
 
Donde los valores